2017-2018学年北京市西城区高二下学期期末考试理数试题-解析版
2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)
数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。
(全优试卷)北京市西城区度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ， 则11(),()22P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. (5)分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， (7)分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，1ln 1ln 0F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x ='与在区间上的情况如下：令3ln 02≥，得 312ea ≥-. 此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xx xf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e0x x a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
2018.7北京西城高二期末理科答案
北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2018.7 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. C2. B3. D4. A5. C6. A7. B8. A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.1410. 24 11. 31-，8912. 1440 13. (0,1]14. 12注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得213a =，315a =，417a =. ………………………… 3分 （Ⅱ）解：由1a ，2a ，3a ，4a 猜想121n a n =-. ………………………… 5分 以下用数学归纳法证明：对任何的*n ∈N ，121n a n =-. 证明：① 当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11211=⨯-，所以1n =时等式成立. ……………………… 7分② 假设当()n k k =∈*N 时，121k a k =-成立， ……………………… 8分 则1n k =+时，111121121212(1)12121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以 当1n k =+时，等式也成立. ………………………… 12分根据 ① 和 ②，可知对于任何n ∈*N ，121n a n =-成立. …………………… 13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ） 解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A ，B ，C ， ………………1分 设乙答对这道题的概率()P B x =，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A ，B ，C 是相互独立事件.由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得31()()()(1)(1)412P A B P A P B x ⋅=⋅=-⨯-= ………………………… 4分解得23x =， 所以，乙对这道题的概率为2()3P B =. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ，丙答对这道题的 概率()P C y =， ………………………… 7分 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得21()()()34P B C P B P C y ⋅=⋅=⨯=， ………………………… 9分解得38y =. ………………………… 10分 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ 323(1)(1)(1)438=---596=. …………………… 12分 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答 对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为591()19696P M =-=. ………………………… 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得2()2f x x ax b '=++. ………………………… 1分因为函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，所以(1)120f a b '=++=. ………………………… 3分 又因为2a =-，所以3b =，验证知其符合题意. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得120a b ++=，即21a b =--. 所以3211()32b f x x x bx +=-+，2()(1)()(1)f x x b x b x b x '=-++=--. ……5分 当1b ≤时，得当(1,)x ∈+∞时，()()(1)0f x x b x '=-->，此时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. 这与题意不符. …………………… 7分 当1b >时，随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(,1)-∞，(,)b +∞上单调递增，在(1,)b 上单调递减.由题意，得3b ≥. ………………………… 9分 所以当4b ≥时，函数()f x 在[1,4]上的最小值为40(4)43f b =-； …………… 11分 当34b <≤，函数()f x 在[1,4]上的最小值为3211()62f b b b =-+，综上，当4b ≥时，()f x 在[1,4]上的最小值为40123b-；当34b <≤，()f x 在[1,4]上的最小值为321162b b -+. ………………………… 13分(或写成：函数()f x 在[1,4]上的最小值为3211, 34,62()404, 4.3b b b g b b b ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤≥ ）.18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件A ， ………………………… 1分依题意 0,1,2,,9m =，共有10种可能. ………………………… 2分 由乙队平均得分超过甲队平均得分，得11[8993(90)92](88919296)44m ++++>+++， 解得3m >，所以当4,5,6,,9m =时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能．…… 4分 所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率63()105P A ==． ………………… 5分 （Ⅱ）解：当5m =时，记甲队的4次比赛得分88, 91, 92, 96分别为1234,,,A A A A ，乙队的4次比赛得分89, 93, 95, 92分别为1234,,,B B B B ，则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4416⨯=种， 它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B ，……… 6分则这2个比赛得分之差的绝对值为的所有取值为0,1,2,3,4,5,7. …………… 7分因此1(0)16P X ==，41(1)164P X ===，21(2)168P X ===，3(3)16P X ==，3(4)16P X ==，X1(5)16P X ==，21(7)168P X ===. ………………………… 9分所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分（Ⅲ）解：{7,8,9}m ∈． ………………………… 13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x a x x a '=---=--，……………………2分 因为0a ≤，所以e 20x a ->，所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 为增函数.故当1x =时，()f x 存在极小值(1)e f =-；()f x 不存在极大值. …………… 5分 （Ⅱ）证明：解方程()(1)(e 2)0x f x x a '=--=，得11x =，2ln 2x a =. 当ln 21a >，即e2a >时， 随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………………… 7分所以函数()f x 在(,1)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(1,ln 2)a 上单调递减. 又因为(1)e 0f =-<，所以函数()f x 至多在区间(ln 2,)a +∞存在一个零点； ……………………… 9分 当ln 21a =，即e2a =时， 因为()(1)(e 2)0x f x x a '=--≥（当且仅当1x =时等号成立），所以()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 至多存在一个零点； ………………………… 11分当ln 21a <，即e2a <时， 随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………………… 12分 所以函数()f x 在(,ln 2)a -∞，(1,)+∞上单调递增，在(ln 2,1)a 上单调递减. 又因为0a >，所以当1x ≤时，2()(2)e (1)0x f x x a x =---<， 所以函数()f x 至多在区间(1,)+∞存在一个零点.综上，当0a >时函数()f x 不可能存在两个零点. ………………………… 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()ln 1f x x '=+， ………………………… 1分 又因为(1)2f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=. ………………… 3分 （Ⅱ）解：设函数()()ln 2F x f x ax x x ax =+=++， 求导，得()ln 1F x x a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上为单调函数，所以在区间(e,)+∞上，()0F x '≥恒成立，或者()0F x '≤恒成立， ………… 4分 又因为||1e (e,)a +∈+∞，且||1(e )||110a F a a +'=+++>，所以在区间(,)e +∞上，只能是()0F x '≥恒成立，即ln 1a x --≥恒成立. … 6分 又因为函数()ln 1h x x =--在区间(e,)+∞上单调递减， 所以()(e)2h x h <=-，所以2a -≥. ………………………… 8分 （Ⅲ）证明：设2()()()ln 2h x f x g x x x x x=-=+-+，0x >. …………………… 9分 求导，得22()ln h x x x'=-．设22()()ln m x h x x x'==-，则314()0m x x x '=+>（其中0x >）. 所以当(0,)x ∈+∞时，()m x （即()h x '）为增函数. ………………………… 10分 又因为(1)20h '=-<，22(e)10eh '=->，所以，存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=． ………………… 11分 且()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0()()h x h x ≥． ………………………… 12分又因为0(1,e)x ∈，00202()ln 0h x x x '=-=， 所以000002()ln 2h x x x x x =+-+0042x x =-+42e 0e>-+>， 所以()0h x >，即()g x 的图象在()f x 图象的下方. ………………………… 14分。
2017-2018学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
2017-2018学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数＝（）A．1﹣3i B．3﹣3i C．D．2．（5分）若函数f（x）＝sin x，则＝（）A．B．C．1D．03．（5分）设函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1的导函数为f'（x），若f'（x）为奇函数，则有（）A．a≠0，c＝0B．b＝0C．a＝0，c≠0D．a＝c＝04．（5分）射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分．已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）A．2.1B．2C．0.9D．0.635．（5分）已知一个二次函数f（x）的图象如图所示，那么＝（）A．1B．C．D．26．（5分）有5名男医生和3名女医生．现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有（）A．45种B．60种C．90种D．120种7．（5分）已知函数，若∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．前三个答案都不对8．（5分）某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为A，B，C，D，E，F，G．其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系．若加工工序Y必须要在工序X完成后才能开工，则称X为Y的紧前工序．现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（）（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断．）A．11个小时B．10个小时C．9个小时D．8个小时二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）函数的图象在x＝4处的切线的斜率为．10．（5分）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）11．（5分）已知某随机变量ξ的分布列如下（q∈R）：那么ξ的数学期望E（ξ）＝，ξ的方差D（ξ）＝．12．（5分）若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相，则其中任意2名教师不相邻的站法有种．（用数字作答）13．（5分）设函数，其中a＞0．若对于任意x∈R，f'（x）≥0，则实数a的取值范围是14．（5分）某电影院共有n（n≤3000）个座位．某天，这家电影院上、下午各演一场电影．看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）．已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n的可能取值有个．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否是相互独立的．（Ⅰ）求乙答对这道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．17．（13分）设a，b∈R，函数在区间（﹣1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减．（Ⅰ）若a＝﹣2，求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，4]上的最小值（用b表示）．18．（13分）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：，乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m表示．（Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；（Ⅱ）当m＝5时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列；（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m的取值集合．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝（x﹣2）e x﹣a（x﹣1）2，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞0时，证明：函数f（x）不可能存在两个零点．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx+2．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ax在区间（e，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数，其中x＞0．证明：g（x）的图象在f（x）图象的下方．2017-2018学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：＝．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，f（x）＝sin x，则f′（x）＝cos x，则f（x）+f′（x）＝sin x+cos x，则＝sin+cos＝+＝；故选：B．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；63：导数的运算．【解答】解：函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1的导函数为f′（x）＝3ax2+2bx+c，∵函数f′（x）＝3ax2+2bx+c是定义在R上的奇函数，∴f'（x）＝﹣f'（﹣x），即3ax2+2bx+c＝﹣3ax2+2bx﹣c，∴3ax2+c恒成立，a＝c＝0．故选：D．【点评】本题考查导数的运算、函数奇偶性的判断、函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．4．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分．已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分X～B（3，0.7），∴他射击3次的得分的数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．【考点】3V：二次函数的性质与图象；67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：设二次函数的解析式为f（x）＝ax2+1，由f（1）＝a+1＝0，得a＝﹣1，所以，f（x）＝1﹣x2，因此，＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中等题．6．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人有2男1女，有C52C31＝30种组队种数，②，选出的3人有1男2女，有C51C32＝15种组队种数，则一共有30+15＝45种组队种数，故选：A．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意依据题意进行分类讨论，属于基础题．7．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：，若∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，则函数g（x）＝x2﹣ax+a的图象应该如下：则解得a＞4；故实数a的取值范围为（4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．8．【考点】EG：工序流程图（即统筹图）．【解答】解：一台机器这样安排生产：C→B→G，需要工时数为4+2+5＝11，另一台机器这样安排生产：A→D→E→F，需要工时数为3+1+2+2＝8，则完成该产品的最短加工时间是11（小时）．故选：A．【点评】本题考查了工序流程图的应用问题，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝，可得图象在x＝4处的切线的斜率为k＝＝．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是关键，属于基础题．10．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x4﹣2r，令4﹣2r＝0，求得r＝2，可得常数项为•（﹣2）2＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．11．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：由随机变量ξ的分布列知：＝1，解得q＝．∴ξ的数学期望E（ξ）＝＝﹣，ξ的方差D（ξ）＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将4名学生全排列，有A44＝24种情况，②，4名学生排好后，有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名教师，有A53＝60种情况，则任意2名教师不相邻的站法有24×60＝1440种；故答案为：1440【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：根据题意，函数，则其导数f′（x）＝，若f'（x）≥0，则有ax2﹣2ax+1≥0恒成立，又由a＞0，则有（﹣2a）2﹣4a≤0，解可得：0＜a≤1，则a的取值范围为（0，1]；故答案为：（0，1]．【点评】本题考查导数的计算，关键是求出函数f（x）的导数，属于基础题．14．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则n≥＝2007，当n＝2007时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上；当n＝2008时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11 人在同一座位上，…当n＝2018时，则丙中学的2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上；当n＝2019人时，丙中学的2019人中可以没有人在同一座位上．∴n可以取的值有：2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015，1016，2017，2018，共12个取值．故答案为：12．【点评】本题考查实数值的求法，考查简单的合情推理等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【解答】（Ⅰ）解：由题意，得，，．（Ⅱ）解：由a1，a2，a3，a4猜想．以下用数学归纳法证明：对任何的n∈N*，．证明：①当n＝1时，由已知，得左边a1＝1，右边，所以n＝1时等式成立．②假设当n＝k（k∈N*）时，成立，则n＝k+1时，，所以当n＝k+1时，等式也成立．根据①和②，可知对于任何n∈N*，成立．【点评】本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．16．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，………………（1分）设乙答对这道题的概率P（B）＝x，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件．由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得…………………………（4分）解得，所以，乙对这道题的概率为．…………………………（6分）（Ⅱ）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y，…………………………（7分）由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，…………………………（9分）解得．…………………………（10分）甲、乙、丙三人都回答错误的概率为＝＝．……………………（12分）因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为．…………………………（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）求导，得f'（x）＝x2+2ax+b，∵函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减，∴f′（1）＝1+2a+b＝0．又∵a＝﹣2，∴b＝3，验证知其符合题意；（Ⅱ）由（Ⅰ），得1+2a+b＝0，即2a＝﹣b﹣1．∴，f′（x）＝x2﹣（b+1）x+b＝（x﹣b）（x﹣1）．当b≤1时，得当x∈（1，+∞）时，f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）＞0，此时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，这与题意不符；当b＞1时，随着x的变化，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：∴函数f（x）在（﹣∞，1），（b，+∞）上单调递增，在（1，b）上单调递减．由题意，得b≥3．∴当b≥4时，函数f（x）在[1，4]上的最小值为；当3≤b＜4，函数f（x）在[1，4]上的最小值为．综上，当b≥4时，f（x）在[1，4]上的最小值为；当3≤b＜4，f（x）在[1，4]上的最小值为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件A，…………………………（1分）依题意m＝0，1，2，…，9，共有10种可能．…………………………（2分）由乙队平均得分超过甲队平均得分，得，解得m＞3，所以当m＝4，5，6，…，9时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能．……（4分）所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率．…………………（5分）（Ⅱ）解：当m＝5时，记甲队的4次比赛得分88，91，92，96分别为A1，A2，A3，A4，乙队的4次比赛得分89，93，95，92分别为B1，B2，B3，B4，则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4×4＝16种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），………（6分）则这2个比赛得分之差的绝对值为X的所有取值为0，1，2，3，4，5，7．……………（7分）因此，，，，，，．…………………………（9分）所以随机变量X的分布列为：…………………………（10分）（Ⅲ）解：m∈{7，8，9}．…………………………（13分）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、实数的取集集合的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【考点】52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】（Ⅰ）解：求导，得f'（x）＝（x﹣1）e x﹣2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x﹣2a），……………………（2分）因为a≤0，所以e x﹣2a＞0，所以当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数．故当x＝1时，f（x）存在极小值f（1）＝﹣e；f（x）不存在极大值．……………（5分）（Ⅱ）证明：解方程f'（x）＝（x﹣1）（e x﹣2a）＝0，得x1＝1，x2＝ln2a．当ln2a＞1，即时，随着x的变化，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：…………………………（7分）所以函数f（x）在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上单调递增，在（1，ln2a）上单调递减．又因为f（1）＝﹣e＜0，所以函数f（x）至多在区间（ln2a，+∞）存在一个零点；………………………（9分）当ln2a＝1，即时，因为f'（x）＝（x﹣1）（e x﹣2a）≥0（当且仅当x＝1时等号成立），所以f（x）在R上单调递增，所以函数f（x）至多存在一个零点；…………………………（11分）当ln2a＜1，即时，随着x的变化，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：…………………………（12分）所以函数f（x）在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上单调递增，在（ln2a，1）上单调递减．又因为a＞0，所以当x≤1时，f（x）＝（x﹣2）e x﹣a（x﹣1）2＜0，所以函数f（x）至多在区间（1，+∞）存在一个零点．综上，当a＞0时函数f（x）不可能存在两个零点．…………………………（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】（Ⅰ）解：求导，得f'（x）＝lnx+1，又因为f（1）＝2，f'（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y+1＝0；（Ⅱ）解：设函数F（x）＝f（x）+ax＝xlnx+ax+2，求导，得F'（x）＝lnx+a+1，因为函数F（x）＝f（x）+ax在区间（e，+∞）上为单调函数，所以在区间（e，+∞）上，F'（x）≥0恒成立，或者F'（x）≤0恒成立，又因为e|a|+1∈（e，+∞），且F'（e|a|+1）＝|a|+1+a+1＞0，所以在区间（e，+∞）上，只能是F'（x）≥0恒成立，即a≥﹣lnx﹣1恒成立．又因为函数h（x）＝﹣lnx﹣1在区间（e，+∞）上单调递减，所以h（x）＜h（e）＝﹣2，所以a≥﹣2；（Ⅲ）证明：设，x＞0，求导，得．设，则（其中x＞0）．所以当x∈（0，+∞）时，m（x）（即h'（x））为增函数，又因为h'（1）＝﹣2＜0，，所以，存在唯一的x0∈（1，e），使得．且h'（x）与h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，函数h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（x0）．又因为x0∈（1，e），，所以＝，所以h（x）＞0，即g（x）的图象在f（x）图象的下方．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
北京市西城区度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，1ln 1ln 0F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：令3ln 02≥，得 312ea ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xx xf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e0x x a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
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北京市西城区度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ， 则11(),()22P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. (5)分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， (7)分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，1ln 1ln 0F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x ='与在区间上的情况如下：令3ln 02≥，得 312ea ≥-. 此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xx xf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e0x x a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
【高二数学试题精选】北京西城区2018年高二数学下学期期末试卷(文带答案)
北京西城区2018年高二数学下学期期末试卷（文带答案）5北京市西城区2的等差数列，如果a1和a5的等差中项为-1，那么a2=A -3B -2 c l D 33 下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是A =-x2B =lg x c =（）x D =x-4 函数=x 的图象大致是A B c D5 若a b 0，c d 0，则一定有A ad bcB ad bc c ac bd D ac bd6 设{an}是等比数列。
下列结论中不正确的是A 若a1a2 0，则a2a3 0B 若a1+a3 0，则a5 0c 若a1a2 0，则a1a5 0 D 若0 a1 a2，则a1+a3 2a27 函数f（x）= +cx2，其中c为常数。
那么“c=0”是“f（x）为奇函数”的A 充分而不必要条B 必要而不充分条c 充分必要条 D 既不充分也不必要条8 已知函数f（x）的定义域为R。
若常数c 0，对 x R，都有f （x）+c≥f（x+c），则称函数f（x）具有性质P。
给定下列三个函数①f（x）= x+1；②f（x）=x2；③f（x）=2x。
其中，具有性质P的函数的序号是A ①B ② c ③ D ①③二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9 已知命题p“ R，x≥2”，那么命题 p为_______________。
10 函数f（x）=csx，则f ‘（）=__________。
11 已知函数f（x）=lg3x。
若正数a，b满足b=9a，则f（a）。
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绝密★启用前北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末考试理数试题一、单选题1．复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数除法的运算法则，分子分母同乘，化简即可.详解：故选C.点睛：复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.2．若函数，则（）A. B. C. 1 D. 0【答案】B【解析】分析：根据基本导数公式求，将代入计算即可得答案.详解：根据题意，，则故选B.点睛：本题考查导数的计算，关键要掌握基本导数的计算公式.3．设函数的导函数为，若为奇函数，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据基本导数公式求，由为奇函数可知，，整理得恒成立，所以.详解：求导数，，为定义在上奇函数，，即恒成立，即.故选D.点睛：本题考查导数的计算，函数奇偶性的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.4．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）A. 2.1B. 2C. 0.9D. 0.63【答案】A【解析】分析：射击3次得分的可能取值为，，，，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和数学期望.详解：由题意可知，射击3次得分的可能取值为，，，，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，所以，射击3次得分故选A.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布的判断和数学期望的计算，解题关键是根据定义判断随机变量符合二项分布.5．已知一个二次函数的图象如图所示，那么（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】分析：根据函数图象求出函数的解析式，然后利用定积分运算法则求出答案.详解：根据函数的图象可知二次函数图象过点，，从而可知二次函数故选C.点睛：本题考查二次函数解析式的求法和定积分的计算.6．有5名男医生和3名女医生，现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有（）A. 45种B. 60种C. 90种D. 120种【答案】A【解析】分析：根据题意，不同的组队方案有两类：一类是一男两女，另一类是两男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将两类组数相加，即可求得答案.详解：根据题意，选3名医生组成地震医疗小组的组队方案有两类：（1）一男两女，有种，（2）两男一女，有种.共种.故选A.点睛：本题考查排列组合的分类加法和分步乘法原理，解题时注意各个公式适用的条件与不同的使用方法.7．已知函数，若为的一个极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 前三个答案都不对【答案】B【解析】分析：求导数，令，则与符号相同，由题可知，为函数的零点，且两侧函数值为左正右负，根据二次方程根与系数的关系建立方程组并求解，即可得到实数的取值范围.详解：由题可知，令，则与符号相同，易得对称轴为，若为的一个极大值点，且在上，在上即为函数的零点，且两侧函数值为左正右负，由二次函数的性质，得，解得.实数的取值范围.故选B.点睛：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查转化思想和基本知识掌握的准确度. 8．某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系，若加工工序必须要在工序完成后才能开工，则称为的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（）（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.)A. 11个小时B. 10个小时C. 9个小时D. 8个小时【答案】A【解析】分析：有两台机器同时加工，根据所给表格分析好可以合并的工序，及所有工序的先后顺序，绘制统筹工序图，即可通过计算得到答案．详解：由题意可知：工序A、C在工序B、D前完成，工序B需要在工序E，G之前完成，工序D需要在工序F前完成.绘制统筹工序图．由图可知，机器一：①—③—④—⑤—⑦，小时机器二：①—②—⑥—⑦，小时所以，两台机器同时加工完成该产品的最短加工时间为小时.故选A．点睛：本题考查统筹问题的思想和工序流程图，根据已知画出符合条件的工序流程图，利用图象的直观性进行分析是解题关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．函数的图象在处的切线的斜率为__________．【答案】【解析】分析：求函数导数，将代入即可求出在处的切线的斜率.详解：，所以，函数的图象在处的切线的斜率为.故答案为.点睛：本题考查了导数的几何意义，在函数图象上某点处切线的斜率为该点处的导数值是解题关键.10．在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答）【答案】24【解析】分析：根据展开式的通项公式，令的指数为，即可求得答案.详解：展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是故答案为24.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.11．已知某随机变量的分布列如下:那么的数学期望__________．的方差___________.【答案】【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质求出，再根据数学期望和方差的公式求出答案.详解：由离散型随机变量分布列的性质得，，解得，的数学期望，的方差故答案为.点睛：本题考查离散型随机变量分布列的性质、数学期望和方差的计算方法，属于基础题.12．若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照，则其中任意2名教师不相邻的站法有__________种．（用数字作答）【答案】1440【解析】分析：先将4名演讲比赛获奖学生全排列，再根据不相邻问题插空位原则，安排三位指导教师，由分布计数原理即可求得答案.详解：根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖学生全排列，有种站法，站好后有5个空位，在其中选三个空位，安排指导教师，有种情况，则有种符合题意的站法.故答案为.点睛；本题考查排列组合的实际应用，分布计数原理和不相邻问题的算法是解题关键.13．设函数，其中.若对于任意，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】分析：先求函数的导数，令，由题可知，对于任意，恒成立，再结合二次函数的性质，即可求得答案.详解：由题可知，令，则与符号相同，对于任意，对于任意，恒成立，又根据二次函数的图象与性质，得，解得,实数的取值范围是.故答案为.点睛：本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题.由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论：（1）不等式对任意实数恒成立或(2)不等式对任意实数恒成立或.14．某电影院共有个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么的可能取值有__________个.【答案】12【解析】分析：由题可知总的观影人数为人，则，而人数最多的学校有人，所以，综合上述即可求出可能的取值个数.详解：由题可知，总的观影人数为人，上、下午各一场所以，，又可知若存在上、下午坐的是同一所学校的学生的座位，则必有，所以的范围是，，则的可能取值有个.故答案为12.点睛：解答时应仔细审题，找到解决问题的突破口和关键点，然后进行推理并小心验证，最终得出结论.三、解答题15．在数列中，，其中.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）分别将代入递推公式，即可求得，，的值；（Ⅱ）猜想，检验时等式成立，假设当时等式成立，证明当时等式也成立.详解：解：（Ⅰ）由题意，，，（Ⅱ）由猜想以下用数学归纳法证明：对任何的,证明：①当时，由已知，得左边，右边所以时成等式.②假设当时，成立，则时，，所以，当时，等式也成立.根据①和②，可知对于任何，成立.点睛：本题考查数列的递推公式，合情推理，运用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；16．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的.(Ⅰ）求乙答对这道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；（Ⅱ）设丙答对这道题的概率，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案.详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,设乙答对这道题的概率，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得解得，所以，乙对这道题的概率为(Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率.由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得,解得甲、乙、丙三人都回答错误的概率为因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析.17．设,函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值（用表示）.【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）对函数求导，由为导数的零点，建立等式关系，求出参数c；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中条件，求函数的导数，分类讨论不同取值条件下，函数的单调性和在上间上的最小值，综合后即可答案.详解：解：（Ⅰ）求导，得因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以又因为，所以，验证知其符合题意.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即.所以当时，得当时，此时，函数在上单调递增，这与题意不符.当时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在上单调递增，在上单调递减.由题意，得所以当时，函数在上的最小值为；当，函数在上的最小值为综上，当时，函数在上的最小值为为当，在上的最小值为（或写成：函数在上的最小值为）.点睛：本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查了导数的应用，分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类是解题关键.：函数的导数或换元后的导数有两个零点和型问题在闭区间上最值问题的解题步骤为：（1）时，确定函数的单调性，得到最值.（2），确定和与区间的关系，结合函数图象规律，确定最值；（3），确定和与区间的关系，结合函数图象规律，确定最值；18．甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用表示.（Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；（Ⅱ）当时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为，求随机变量的分布列；（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出的取值集合.(结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析；（Ⅲ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据表中数据，写出的全部可能，求甲、乙队的平均成绩，列出关于的不等式，求出的取值集合，再由古典概型的概率计算公式求出答案.（Ⅱ）2个比赛得分之差的绝对值的所有取值为0，1，2，3，4，5，7，求出相应概率，即可求出随机变量的分布列.（Ⅲ）写出甲、乙两队的方差，列出关于的不等式，即可求出的取值集合.详解：解：（Ⅰ）设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件,依题意，共有10种可能.由乙队平均得分超过甲队平均得分，得解得所以当时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能.所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率为（Ⅱ）当时，记甲队的4次比赛得分88，91，92，96分别为，乙队的4次比赛得分89，93，95，92分别为则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有种，它们是则这2个比赛得分之差的绝对值为的所有取值为0，1，2，3，4，5，7.因此所以随机变量的分布为：(Ⅲ）点睛：本题考查随机变量的均值和方差的计算，古典概型概率的计算，以及随机变量分布列，正确求概率是解题关键.19．设函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，条件下，判断出函数的单调性，求出函数的极值.（Ⅱ）令，求得两个根，对分类讨论，分别研究函数的单调性与极值的取值，通过判断即可证明结论.详解：（Ⅰ）解：求导，得，因为，所以，所以当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数；故当时，存在极小值，不存在极大值.（Ⅱ）证明：解方程得当即时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，所以函数至多在区间存在一个零点；当，即时，因为（当且仅当时等号成立），所以在单调递减，所以函数至多存在一个零点；当，即时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，所以当时，，综上，当时，函数不可能存在两个零点.点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和零点问题.利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性增减。