2019-2020学年度高中数学1-1空间几何体1-1-2棱柱棱锥和棱台的结构特征预习导学案新人教B版必修2

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2棱柱棱锥和棱台的结构特征预习导学案新人教B版必修2

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课程目标学习脉络

1．要结合模型、动态或静态的直观图，了

解、认识和研究多面体、棱柱、棱锥、

棱台的结构特征，并结合这些结构特征

认识日常生活中见到的几何体．

2．了解棱柱、棱锥和棱台的分类，学会表

示它们的方法，初步了解它们的一些性

质．

3．认识直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台

这些特殊多面体的结构特征和性质，认

识和研究正棱锥或正棱台中可以称之为

核心图形的那些直角三角形或直角梯

形．

1．多面体及其相关概念

(1)定义．

由若干个平面多边形所围成的几何体叫多面体．

(2)相关概念．

(3)凸多面体．

把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．

思考1 一个多面体至少有几个面？几个顶点？几条棱？

提示：最简单的多面体是四面体，有4个面，4个顶点，6条棱．2．棱柱

有两个互相平行的面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共边称为棱柱的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高．

(2)棱柱的表示法．

用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．

(3)棱柱的分类．

按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．

思考 2 有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？

提示：这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例：如图所示．

3．棱锥

有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面．顶点到底面的距离，叫做棱锥的高．

(2)棱锥的表示法．

用表示顶点和底面各顶点的字母来表示或用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．

(3)棱锥的分类．

按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

(4)正棱锥的概念．

如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．思考 3 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？

提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这3个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3)．反例如图所示．

4．棱台

(1)棱台的概念．

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面；其他各面称为棱台的侧面；相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点；两底面间的距离叫做棱台的高．

(2)棱台的表示法．

用表示上、下底面各顶点的字母表示棱台．

(3)棱台的分类．

按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……

(4)正棱台的概念．

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．

思考4 如何判断一个多面体是棱台？

提示：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是否平行，其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台．5．特殊的四棱柱

思考5 正四棱柱与长方体有何内在联系？

提示：正四棱柱一定是长方体，但长方体不一定是正四棱柱，用集合语言可描述为{正四棱柱长方体}．