正规矩阵
矩阵正规性
1C 1n 12 = O.
从而 C li =O ， i=2 ， 3 ， … ， n.
当 i<j 时 ， C ij
= 0 , í , j = 1 ， 2 ，… ， n.
(<=)显然.证毕.
推论 2 A 仨 Mn(C) ， A = (αij)ηXn 是正规矩阵∞主1|aq|2 二主 |λi 1 2 ' ).，i 是 A 的特征根
HH= BH … HB … B=(BH)k'Bk=AHA. 从而 A 为正规阵.证毕.
引理 2
证明略. 命题 5 A 仨 Mn(C) 是正规阵仲A 可以分解为 A=HU=UH ， U 为西阵， H 为半正定 Hermite
设 AεMn( C) ，则必存在西阵 Uε Un 及两个半正定 Hermite 阵 Ht ， l元，使 A=
2i .. 4
=AHA … AAH:;?:O ,
由命题 1 知， A 为正规阵.
(斗)反之亦然，证毕.
命题 10
AεMn(C) ，证 IA 1 = (AHA)l 忍，如JA 是正规矩阵∞ IA 12~(ReA)2+ (ImA )2.
推论 4
命盟 11
命题 12
AεMn(C) ，设 IAI = (A HA)V2 ， 则 A 是正规矩阵样 IA 12 = (ReA )2 + (ImA )2.
矩阵正规性
1E 2 E
t
UHAU= r
Ar
)1[， 2....'r 是 A 的互不相同的特征根.令
,E
,~
E '0
1. ~ r~
B2
1.
1, ... , , r
~
0
O
Er
则 UHAU=1B 1
+ 2 B 2 十… + ，Br. 于是，
A =IUBtUH+2UBzUH+ …十九 UBr uH = t P 1 + 2P 2 + … +λ 丑 ， Pi = UB; uH.
工 (A H + αE)(A + αE)
于是 A 十 αE 是正规阵.
= (A
+ αE)H(A + αE).
(<=)显然.证毕.
2
由舒尔引理推出的等价条件
首先介绍复矩阵的对角化引理.
引理 1
(舒尔引理)
若 A 仨 Mn(C) ，则 A 西相似于一个上三角阵 B ， B 的对角线上元素均
为 A 的特征值.即 A= UHBU ， 其中 U 为西矩阵.
)., 1
C 12 '''C 1n
)., 2… C m
C 12
C 12 )., 2
矩阵的标准形式是什么
矩阵的标准形式是什么
矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。在研
究矩阵的性质和特征时，我们常常需要将矩阵转化为其标准形式。那么，矩阵的标准形式究竟是什么呢？本文将对此进行详细的介绍和解释。
首先，让我们来了解一下矩阵的基本概念。矩阵是由 m 行 n 列元素组成的一
个数表，通常记作 A=(aij)m×n。其中，aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。矩
阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们来介绍矩阵的标准形式。在线性代数中，矩阵的标准形式通常指
的是特殊的形式，通过一系列的变换，可以将任意的矩阵转化为标准形式，从而更好地研究其性质和特征。常见的矩阵标准形式包括行阶梯形、列阶梯形、对角形和标准型等。
首先，我们来介绍行阶梯形。一个矩阵被称为行阶梯形，如果满足以下条件，
首先，非零行（如果存在）在零行的上面；其次，每个非零行的首个非零元素为1；最后，每个非零行的首个非零元素所在的列，除了该元素外，其余元素都为0。行
阶梯形的矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的线性相关性和线性无关性。
其次，是列阶梯形。一个矩阵被称为列阶梯形，如果其转置矩阵为行阶梯形。
列阶梯形的矩阵同样具有重要的性质，可以帮助我们进行矩阵的分解和求解。
接着，是对角形。一个矩阵被称为对角形，如果除了对角线上的元素外，其余
元素都为0。对角形的矩阵在矩阵的对角化和特征值分解中有着重要的应用。
最后，是标准型。一个矩阵被称为标准型，如果它是行阶梯形并且满足一定的
特定条件。标准型的矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的相似性和等价性。
3正规矩阵
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
8、 循环矩阵是正规矩阵 .
c0 c1 c n 1 c n 1 c0 c n 2 方 阵C 称 为n阶 循 环 矩 阵 ， c c 2 c0 1 记 为circ(c0 ,c1 , ,cn- 1 ).
方阵P circ(0 ,1, ,0)称为基本循环阵 . 任一循环矩阵都是基本 循环阵的多项式 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2、A是可酉对角化矩阵；
3、
标准形矩阵与单位矩阵
标准形矩阵与单位矩阵
标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。在介绍标准形矩阵之前，我们先来了解一下单位矩阵的概念。
单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其它位置上的元
素全为0。单位矩阵通常用符号I来表示，它满足矩阵乘法的单位元的性质，即对
于任意的矩阵A，有AI=IA=A。单位矩阵在矩阵运算中起着重要的作用，类似于
数学中的1，在矩阵乘法中起到“乘法中的1”的作用。
接下来，我们来介绍标准形矩阵。标准形矩阵是指一个矩阵经过一系列的行变
换或列变换后，可以化为某种特殊的形式。在线性代数中，我们常见的标准形矩阵有行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和对角形矩阵等。
首先，我们来介绍行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵是指矩阵中的非零行在全零行
的下方，且每一非零行的首个非零元素在上一行首个非零元素的右方。例如，一个3×3的行阶梯形矩阵可以写成如下形式：
```。
1 2 3。
0 4 5。
0 0 6。
```。
其次，我们介绍行最简形矩阵。行最简形矩阵是指在行阶梯形矩阵的基础上，
每个首个非零元素都为1，并且该元素所在列的其它元素都为0。例如，一个3×3
的行最简形矩阵可以写成如下形式：
```。
1 0 0。
0 1 0。
0 0 1。
```。
最后，我们介绍对角形矩阵。对角形矩阵是指除了主对角线上的元素外，其它位置上的元素都为0的矩阵。例如，一个3×3的对角形矩阵可以写成如下形式：```。
1 0 0。
0 2 0。
0 0 3。
```。
通过对矩阵进行行变换或列变换，我们可以将一个矩阵化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵或对角形矩阵。这些特殊形式的矩阵在矩阵运算和矩阵分解中有着重要的应用，能够简化计算和分析过程，提高计算效率。
内积空间正规矩阵与H矩阵
(1) AH ( AT ) (2) ( A B)H AH BH (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H BH AH
(5) ( Ak )H ( AH )k (6) ( AH )H A (7) A A (8) ( AH )1 ( A1)H
容而易R验n成证为(一个,欧氏)空1 是间。Rn如上果的规一定个内积，从
(, )2 x1 y1 2x2 y2 nxn yn
容 这易 样验R证n又(成为,另外)一2 也个是欧氏Rn空上间的。一个内积,
例2 在 nm 维线性空间 Rnm 中，规定 ( A, B) tr( ABT )
基底，对于V 中的任意两个向量
n
n
xii , y j j
i 1
j 1
那么 与 的内积
n
n
n
(, ) ( xii , yii ) xi y j (i , j )
i 1
j 1
i, j1
令
gij (i , j ) , i, j 1, 2, , n
(1) (, k ) k(, )
(2) (, ) (, ) (, )
t
t
(3) ( kii , ) ki (i , )
i 1
i 1
矩阵分析第三章
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
第三节
酉变换、正交变换
定义：设 定义： 设A∈Cn×n, 若AHA = AAH = E, 则称A为酉矩阵, 记为 A∈Un×n, (1) A−1 = AH; (2) |det(A)| = 1; (4) ∀A, B∈Un×n, AB, BA∈Un×n (3) AH∈Un×n;
设A∈Rn×n, 若ATA = AAT = E, 则称A为正交矩阵, 记为A∈ En×n, (1) A−1 = AT; (2) det(A) = ±1; (3) AT∈En×n; (4) ∀A, B∈En×n, AB, BA∈En×n 定理：设 定理： 设A∈Cn×n, 则 A∈Un×n ⇔ A的n个列（或行）构成标准正交向量组
正规矩阵的性质及判定资料
正规矩阵的性质及判定
彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*
（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）
摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.
关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵
中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言
酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].
在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是1
1
n
n
ik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵
的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且T
A 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理
什么是标准形矩阵
什么是标准形矩阵
首先，让我们来看一下标准形矩阵的定义。标准形矩阵是指一个矩阵经过一系
列的行变换和列变换之后，可以化为一种特定的标准形式。这种标准形式通常具有一些简单的性质，比如对角矩阵或者上三角矩阵。通过这种变换，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，简化计算过程，以及解决一些实际问题。
其次，让我们来讨论一下标准形矩阵的性质。标准形矩阵具有一些特定的性质，比如对角矩阵的特征值就是对角线上的元素，上三角矩阵的特征值也具有一些特定的性质。这些性质使得标准形矩阵在矩阵理论和矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程，方便理论分析，以及解决一些实际问题。
最后，让我们来谈一下标准形矩阵的应用。标准形矩阵在线性代数、矩阵理论、以及工程数学中有着广泛的应用。比如在矩阵的对角化过程中，我们需要将一个矩阵化为对角矩阵，这就是一个标准形矩阵的应用。另外，在控制理论、信号处理、以及优化问题中，标准形矩阵也有着重要的应用，可以简化问题的分析和求解过程。
总之，标准形矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一些特定的性质和特征，通过一系列的行变换和列变换可以将矩阵化为一种特定的标准形式。标准形矩阵在矩阵理论和矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程，方便理论分析，以及解决一些实际问题。它在线性代数、矩阵理论、以及工程数学中有着广泛的应用，对于深入理解和应用矩阵理论有着重要的意义。希望本文对于读者能够有所帮助，对标准形矩阵有更深入的理解和应用。
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
T n×n
n×n
换种说法，就是矩阵 的逆等于它的复共轭 转置。由此可见，对 于这类矩阵，求逆矩 阵是十分方便的。
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(3), AT ∈ E n×n
(4), if B ∈ U
,
n×n
then AB, BA ∈ U
(4), if B ∈ E n×n , then AB, BA ∈ E n×n
( β1 ,β2 , , β r )正交
β1 β2 βr ( , , , )标准正交 β 1 β2 βr
正交基，标准正交基
正交向量组是无关向量组。既然是无关的，那么自然而 然可以想到，拿他们来构成线性空间的一组基，这组基称为 标准正交基。
定义2.1: 设V是n维酉（欧氏）空间，由n个正交向量组 成的基，称为正交基，由n个标准正交向量组成的基，称 为标准正交基。
定义2.1:
设V是酉（欧氏）空间，对 ∀α , β ∈ V 若,
(α , β )＝0
那么称向量 α , β 正交，记为 α ⊥ β 正交向量组： 向量组 {α i } 内的向量两两正交。
在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内 积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这 它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。
第3节酉相似对角化
定理
设A ∈ C
则
m× n
, A A与AA 的特征值均为非负实数 。
H H
证明 设λ是AHA的特征值，x是相应的特征向量， 的特征值， 是相应的特征向量， 的特征值 是相应的特征向量 AHAx= λx 由于AHA为Hermite 矩阵，故λ是实数。又 矩阵， 是实数。 由于 为
0 ≤ ( Ax, Ax) = ( Ax) ( Ax) = λx x
则A = UΛU H
由U H U = I , ΛH Λ = ΛΛH , 则
AAH = (UΛU H )(UΛU H )H = UΛU HUΛHU H = UΛΛHU H = UΛH ΛU H = (UΛHU H )(UΛU H ) = AH A
充分性 由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T， schur定理知， 酉相似于一个上三角矩阵T 定理知
aij = 0, j ≠ i, i = 1,2,L, n
定理 设A ∈ C n×n 则A酉相似于一个对角矩阵的充 ， 分必要条件是A为正规矩阵， 分必要条件是A为正规矩阵，即
A H A = AA H ⇔ U H AU = diag (λ1 , λ2 ,L, λn ),U H U = I
证明
必要性
设U H AU = Λ, Λ = diag (λ1 , λ2 ,L, λn ),
a11 a12 L a1n a22 L a2n A= , O M ann
什么叫标准型矩阵
什么叫标准型矩阵
标准型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。在矩阵理论中，标准型矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有一些特定的性质和特征。了解标准型矩阵的定义、性质和应用对于深入理解线性代数和矩阵理论具有重要意义。
首先，让我们来了解一下标准型矩阵的定义。标准型矩阵是指一个矩阵经过一系列可逆的行变换或列变换后，可以化为特定的形式。对于实数域上的矩阵来说，标准型矩阵通常是对角矩阵或者上三角矩阵。而对于复数域上的矩阵来说，标准型矩阵通常是对角块矩阵。通过行变换或列变换，我们可以将任意的矩阵化为标准型矩阵，这为矩阵的运算和分析提供了便利。
其次，标准型矩阵具有一些重要的性质。首先，标准型矩阵的对角线上的元素被称为特征值，它们是矩阵的特征值的一种表示形式。其次，对于实数域上的标准型矩阵，它可以表示为一系列的线性变换的组合，这些线性变换可以将原始的向量空间变换为一个更加简单的形式。最后，标准型矩阵的性质使得我们可以更加方便地对矩阵进行运算和分析，例如求矩阵的特征值、特征向量，以及进行矩阵的对角化等操作。
除此之外，标准型矩阵在实际应用中也具有重要的意义。在工程领域，标准型矩阵可以用来描述线性系统的动态特性，例如控制系统的稳定性和响应特性。在数学领域，标准型矩阵可以用来研究线性变换的性质和特征。在计算机科学领域，标准型矩阵可以用来进行数据压缩和降维分析，例如主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等算法都与标准型矩阵有着密切的联系。
综上所述，标准型矩阵是线性代数中的重要概念，它具有特定的定义、性质和应用。通过对标准型矩阵的深入理解，我们可以更好地理解线性代数和矩阵理论的基本原理，为实际问题的建模和求解提供有力的数学工具。因此，对标准型矩阵的学习和掌握对于数学和工程领域的学习者来说具有重要的意义。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用标准型矩阵的相关知识。
正规矩阵——精选推荐
正规矩阵
正规矩阵 normal matrix
复矩阵A H A=AA H，实矩阵A T A=AA T
⼀个矩阵当且仅当它与三⾓矩阵(diagonal matrix)⾣相似(unitarily similar)时，为正规矩阵所以⼀个正规矩阵⼀定可以三⾓化
复矩阵
复矩阵中的⾣矩阵、 hermitian 和shew-hermitian矩阵⼀定是正规矩阵
实矩阵中的正交矩阵、对称矩阵、斜对称矩阵都是正规矩阵
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矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
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一、 内积空间及其性质
1、定义：设V为R上的线性空间， 若在V中定义了二元函数 ， ) ( 满足以下条件:
(1)对称性：， ) ( ， )； ( ( 2)齐次性：k， ) k (， )； ( (3)可加性： ， ) (， ) ( ， )； ( (4)非负性：， ) 0， ( 当且仅当 0时等号成立. T ( 则称V为R上的内积空间， (， )称为内积. 注： ， ) 而 例3、 dim V n， 1， 2， ， n为V的基且， 在基下的坐标为 设
i 1
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二、度量矩阵 1、定义： dimV n且1， 2， ， n为V的基，， )为内积， 设 ( 令 ( i， j ) gij，i， 1，， ， j 2 n
则称矩阵G ( gij )nn 为基 1， 2， ， n的度量矩阵.
即A与B为合同关系
( 1， 2， ， n ) (1， 2， ， n )C，
B [( 1， 2， ， n )C ]T [( 1， 2， ， n )C ] C T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]C C T AC . 注： V为酉空间， B C H AC 若 则
矩阵论-谱分解
定义：设Cn V1 V2.x Cn可唯一的分解成x y z,其中 y V1, z V2 ,此时称y为x在V1上的投影. 令E L(Cn , Cn ),Ex=y,称E为投影变换.
0(i
j)
i 1
定理1：设n阶矩阵A有r个互异特征值1, ,r , 特征值i的代数
重数是n i
,则A为正规矩阵
存在r个n阶矩阵E1,
, Er , 满足：
r
1)A=
j
E
j
;
2)
E
H j
Ej
(E j )2;3)E j Ei
0(i
j)
j 1
r
4) E j I;5)满足上述性质的E j唯一; j 1
1.求A的r个互异特征值1, ,r； 2.对每个i ,求特征子空间E(i )的一组标准正交基i1,
ni
3.令Ei = ij (ij )H j 1
r
则A= i Ei. i 1
,
ni i
,
1 0 -2
例
设A=
0
0
0 ，求A的谱分解，并求100 Ai.(课本例题)
-2 0 4
矩阵的规范型
矩阵的规范型
矩阵规范化是一种线性代数技术，用于研究多元一次方程组。它能够将方程组变换为简单
的形式，使得解决方程有利于理解和计算。矩阵规范化是一项重要的线性代数应用，可以
有效地解决复杂的多元一次方程。
规范化方法在矩阵分析中也很常见，它使用转化的方法把复杂的矩阵简化为更容易理解的形式。规范型方法也称为矩阵变换，主要根据矩阵的系数释放矩阵的值，不会改变矩阵的
功能和逻辑性。而在算法上，它使用行变换、列变换或混合变换来求解复杂的矩阵。另一
方面，它也可以使用Gauss-Jordan消去法来求解复杂的数学方程组。
在解决复杂问题时，矩阵规范型是一个重要的工具，因为它可以将复杂的数学问题转化为简单可控的形式，从而让程序员更好地理解，解决和计算该问题。它不仅可以让程序员更容易理解复杂的篇章，而且也可以有效地解决复杂的线性方程组。在许多数值计算的领域，规范化方法的运用可以削减计算成本，提高程序的效率，加快计算速度。
综上所述，矩阵规范型是一种有用的线性代数技术，在解决复杂的多元一次方程组时非常有用，它可以将复杂的数学问题变换为简单易控的形式，从而让程序员更好的理解和解决该问题，也可以有效提高程序的效率，提高程序的计算速度。
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第二学期第八次课
设A 是n 维酉空间V 内的线性变换,如果V 内的线性变换A *
满足∀
α,β∈V,有
(A α,β)=(α,A *
β)
则称A *
是A 的共轭变换. A *
为A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置.
共轭变换的五条性质: 1)E *=E 2)(A *
)*= A 3)(k A )*
=k A *
4)(A +B )*
=A *
+B *
5)(AB )*
=B *
A *
如果A *= A,则称A 是一个厄米特变换.
设A 是n 阶复矩阵,如果A '=A,则称A 是一个厄米特矩阵.
n 个复变量n 21x x x ，，
，⋯的二次齐次函数 ∑∑===n
i n
j j i ij x x a f 11 (ji ij a a =)
称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。
（酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.）
如果A *A = A A *
,则称A 为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：）
命题 酉空间V 上的线性变换A 的不变子空间M 的正交补⊥
M 是共轭变换A *
的不变子空间.
证明 ∀
α∈M, β∈⊥M ,有
(α,A *
β)=(A α,β)=0 这表明A *
β∈⊥
M .
命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A*的属于特征值λ的特征向量.
证明按假设,有Aξ=λξ则
(A*ξ-λξ,A*ξ-λξ)=((A-λE)*ξ, A*ξ-λξ)
=(ξ,(A-λE)(A-λE)*ξ)
=(ξ,(A-λE)*(A-λE)ξ)
=(ξ,0)=0
从而A*ξ=λξ.
命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交.
证明设Aξ=λξ,Aη=μη则
λ(ξ,η)=(Aξ,η)=(ξ,A*η)=(ξ,μη)=μ(ξ,η)
必有(ξ,η)=0.
定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
证明对维数n做数学归纳法.
推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
命题厄米特变换的特征值都是实数.
证明若Aξ=λξ,则λξ=A*ξ=Aξ=λξ⇒λ=λ⇒λ是实数.
推论 n 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.
定理 厄米特二次型f 在适当的酉变数替换下可以化为标准形
,111n n n y y d y y d f ++=
其中n d d ,,1 都是实数.
证明 f 的矩阵A 是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=='n d d d
2
1D AU U 为实对角矩阵.令X=UY,即可.
（推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换）
数域K 上的n 维线性空间V 的任一满秩双线性函数f 都可以定义V 上的度量（以及一组基的度量矩阵n n j i ⨯=)),(f (G εε）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:
设A 是V 上线性变换,如果存在线性变换A *
,使 f(A α,β)=f(α,A *
β) ∀α,β∈V
则称A *
是A 的(关于f 的)共轭变换. 如果线性变换A 满足
f(A α,A β)=f(α,β) ∀
α,β∈V
则称A 为(关于f 的)正交变换.
在给定的基（度量矩阵为G ）下一个线性变换A （矩阵为A ）的共轭变换的矩阵
G A G A '=-*1，（这是因为f(A α,β)=f(α,A *β)⇒Y GA X GY )AX (*
'=',从而
*='GA G A ）
如果A 是正交变换，A 的共轭变换等于A
1
-。(因为f(α,β)=f(A α,A β)=f(α,A *
A β)
故f(α,(A *
A -E )β)=0,由f 非退化知A *
A = E.).