2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.3弦切角定理学案北师大版选修4-1

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高中数学第一章直线、多边形、圆1第三课时直角三角形的射影定理学案北师大版选修4-1(2021学年)

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第三课时直角三角形的射影定理[对应学生用书P９]错误!射影定理射影定理文字语言直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．符号语言在Rｔ△AＢＣ中ＡＣ⊥ＣＢ,ＣＤ⊥AＢ于D，则AC２＝AD·AB，BＣ2＝BD·BA，CD2=BD·AD。

图形语言如图所示错误!在直角三角形中,勾股定理与射影定理有什么联系?提示：在Ｒt△ＡＢC中，∠C＝90°，CＤ是AB边上的高．应用射影定理可以得到AC2＋BC2=ＡD·ＡＢ＋BＤ·ＡB=(AD＋BD）·AB＝AB２.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁.[对应学生用书P9］利用射影定理解决计算问题［例1] 如图，D为△ＡBC中ＢC边上的一点,∠CＡD＝∠B,若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长.[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ＡBC为直角三角形,进一步由射影定理求ＣD。

高中数学第一章直线、多边形、圆 2.1 圆周角定理学

2．1 圆周角定理[对应学生用书P12][自主学习]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O 中，BC 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC ，∠BOC ，则有∠BAC ＝12∠BOC ＝1(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．[合作探究]1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．[对应学生用书P13][例1] [思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点A 的位置不确定，所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧．[精解详析] (1)当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图①所示．∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB . ∵∠OBC ＝35°，∴∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝110°. ∴∠BAC ＝12∠BOC ＝55°.(2)当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图②所示．设P 为圆上与圆心O 在BC 的同侧一点，连接PB ，PC . ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB . ∵∠OBC ＝35°，∴∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝110°. ∴∠BPC ＝12∠BOC ＝55°.∴∠BAC ＝180°－∠BPC ＝180°－55°＝125°. 综上所得，∠A 的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A ＝50°，则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：选A 连接OB .因为∠A ＝50°，所以BC 弦所对的圆心角∠BOC ＝100°，∠COD ＝12∠BOC ＝50°，∠OCD ＝90°－∠COD ＝90°－50°＝40°.所以∠OCD ＝40°.[例2] 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC ＝4 cm.(1)试判断OD 与AC 的关系； (2)求OD 的长；(3)若2sin A －1＝0，求⊙O 的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB ＝90°.利用OD ∥BC 可得OD ⊥AC .用相似可得OD 的长，由边角关系可求⊙O 的直径．[精解详析] (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵OD ∥BC ， ∴∠ADO ＝∠ACB ＝90°，∴OD ⊥AC . (2)∵△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝AO AB ＝12，∴OD ＝12BC ＝12×4＝2(cm)． (3)∵2sin A －1＝0，∴sin A ＝12.∵sin A ＝BC AB，∴BC AB ＝12，∴AB ＝2BC ＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB 于D ”，求CD . 解：由勾股定理知AB ＝5， ∵S △ACB ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴3×4＝5×CD ，∴CD ＝125.[例3] 如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，AF＝AB，BF和AD相交于E，求证：AE ＝BE.[思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析] ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.∵AB＝AF，∴∠FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO 的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，由∠ABC ＝30°，所以∠CAB ＝60°.又OB ＝OC ，所以∠OCB ＝∠OBC ＝30°，所以∠BOD ＝60°，所以∠CAB ＝∠BOD .(2)在Rt△ABC 中，∠ABC ＝30°，得AC ＝12AB ，又OB ＝12AB ，所以AC ＝OB .由BD 切⊙O 于点B ，得∠OBD ＝90°. 在△ABC 和△ODB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB ＝∠BOD ，∠ACB ＝∠OBD ，AC ＝OB ，所以△ABC ≌△ODB .本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质． [自主尝试] 连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B .于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .[对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，∠BCD ＝25°，则下列结论错误的是( )A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．∠AOD ＝50°D ．D 是AB 的中点解析：选B 因为CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，所以AD ＝BD ，AE ＝BE ，因为∠BCD ＝25°，所以∠AOD ＝2∠BCD ＝50°，故A ，C ，D 正确，B 不能得证．2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上的一点，且AC ＝8，BC ＝6，则⊙O 的半径r 等于( )A ．52B ．5C ．10D ．不确定解析：选B 由已知得∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，即2r ＝10，r ＝5.3.如图，直径为10的⊙C 经过点A (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙C 弧上一点，则cos ∠ABO 的值为( )A ．12B ．32C ．35D ．45解析：选B 法一：设⊙C 与x 轴另一个交点为D ，连接AD ，如图所示：因为∠AOD ＝90°，所以AD 为⊙C 的直径，又因为∠ABO 与∠ADO 为圆弧AO 所对的圆周角，所以∠ABO ＝∠ADO ，又因为A (0,5)，所以OA ＝5，在Rt△ADO 中，AD ＝10，AO ＝5，根据勾股定理得：OD ＝AD 2－OA 2＝5 3.所以cos ∠ABO ＝cos ∠ADO ＝OD AD ＝5310＝32，故选B. 法二：连接CO ，因为OA ＝5，AC ＝CO ＝5，所以△ACO 为等边三角形， ∠ACO ＝60°， ∠ABO ＝12∠ACO ＝30°，所以cos ∠ABO ＝cos 30°＝32. 4．已知P ，Q ，R 都在弦AB 的同侧，且点P 在AB 上，点Q 在AB 所在的圆内，点R 在AB 所在的圆外(如图)，则( )A ．∠AQB <∠APB <∠ARB B ．∠AQB <∠ARB <∠APBC ．∠APB <∠AQB <∠ARBD ．∠ARB <∠APB <∠AQB解析：选D 如图所示，延长AQ 交圆O 于点C ，设AR 与圆O 相交于点D ，连接BC ，BD ，则有∠AQB >∠ACB ，∠ADB >∠ARB .因为∠ACB ＝∠APB ＝∠ADB ，所以∠AQB >∠APB >∠ARB . 二、填空题5.如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是．解析：因为∠AOC ＝60°，所以弧ABC 的度数为60°，AC 对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC ＝150°. 答案：150°6.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B ＝60°，∠BOD ＝100°，则∠C 的度数为．解析：因为∠BOD ＝100°，所以∠A ＝12∠BOD ＝50°.因为∠B ＝60°，所以∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°. 答案：70°7.如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC ＝68°，则∠BAC ＝ .解析：因为AB 是圆O 的直径，所以弧ACB 的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－∠ADC ＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为．解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中， ∵OC ＝OB 2－BC 2＝22－32＝1(cm)，∴OC OB ＝12， ∴sin ∠B ＝12，∠B ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°. 答案：120° 三、解答题9.如图，在⊙O 中，弦AB ＝16，点C 在⊙O 上，且sin C ＝45.求⊙O 的半径长．解：作直径AD ，连接BD ，则∠ABD ＝90°，∠D ＝∠C .因为sin C ＝45，所以sin D ＝45.在Rt△ABD 中，sin D ＝AB AD ＝45，又因为AB ＝16，所以AD ＝16×54＝20，所以OA ＝12AD ＝10，即⊙O 的半径长为10.10．如图，已知在⊙O 中，直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD 和BD 的长．解：因为AB 为直径，所以∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8(cm)．因为CD 平分∠ACB ，所以AD ＝DB ，所以△ADB 为等腰三角形．所以AD ＝BD ＝22AB ＝22×10＝52(cm)． 11.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，∠1＝∠C . (1)求证：CB ∥MD .(2)若BC ＝4，sin M ＝23，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角，所以∠C ＝∠M .又∠1＝∠C ，所以∠1＝∠M ，所以CB ∥MD (内错角相等，两直线平行)． (2)由sin M ＝23知，sin C ＝23，所以BN BC ＝23，BN ＝23×4＝83.由射影定理得：BC 2＝BN ·AB ，则AB ＝6. 所以⊙O 的直径为6.。

【配套K12】高中数学第1章直线多边形圆1.2.1圆周角定理学案北师大版选修4_1

§2.圆与直线 2.1 圆周角定理1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论.2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.[基础·初探]教材整理1 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的孤的度数的一半.1.△ABC 内接于⊙O ，且︵AB ∶︵BC ∶︵CA ＝3∶4∶5，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________.【解析】 ∵︵AB ∶︵BC ∶︵CA ＝3∶4∶5，∴︵AB 的度数为90°，︵BC 的度数为120°，︵CA 的度数为150°， ∴∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°. 【答案】 60° 75° 45° 教材整理2 圆周角定理的两个推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆.2.如图121，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，︵AD ＝︵CD ，则∠DAC 的度数是( )图121A.30°B.35°C.45°D.70°【解析】 ∵∠BAC ＝20°， ∴︵BC 的度数为40°， ∴︵AC 的度数为140°. ∵︵AD ＝︵CD ， ∴︵CD 的度数为70°. ∴∠DAC ＝35°. 【答案】 B3.如图122，A ，B ，C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍.【导学号：96990014】图122【解析】 ∵∠ACB ＝12∠AOB ，∠CAB ＝12∠BOC ，又∵∠BOC ＝3∠BOA ， ∴∠CAB ＝3∠ACB . 【答案】 3[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]＝CE ，∠1＝∠2.图123求证：AB ＝AC .【精彩点拨】证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等.进而构造等弦、等弧的条件.【自主解答】延长AD ，AE ，分别交⊙O 于F ，G ，连接BF ，CG ，∵∠1＝∠2，∴︵BF ＝︵CG ， ∴BF ＝CG ，︵BG ＝︵CF ， ∴∠FBD ＝∠GCE . 又∵BD ＝CE ， ∴△BFD ≌△CGE ， ∴∠F ＝∠G ，︵AB ＝︵AC ， ∴AB ＝AC .1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键.2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.[再练一题]1.如图124，△ABC 内接于⊙O ，高AD ，BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图124【证明】∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.如图AB＝10 cm，OD⊥AC 于D.求四边形OBCD的面积.图125【精彩点拨】由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求.【自主解答】∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝8 cm，BC＝6 cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4 cm，OD＝3 cm.∴S四边形OBCD＝S△ABC－S△AOD＝12×6×8－12×3×4＝24－6＝18(cm2).1.解答本题时利用AC ∶BC ＝4∶3，得到AC 与BC 的关系，然后根据勾股定理可求出AC 与BC 的长度.2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.[再练一题]2.如图126，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2 cm ，点C 在圆周上，且∠BAC ＝30°，∠ABD ＝120°，CD ⊥BD 于D .求BD 的长.【导学号：96990015】图126【解】如图，连接BC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＝30°，AB ＝2 cm ， ∴BC ＝AB2＝1(cm).∵∠ABD ＝120°，∴∠DBC ＝120°－60°＝60°. ∵CD ⊥BD ，∴∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BD ＝BC 2＝12＝0.5(cm).于E ，且AE＝BE .图127(1)求证：︵AB ＝︵AF ；(2)如果sin∠FBC ＝35，AB ＝45，求AD 的长.【精彩点拨】 BC 为半⊙O 的直径，连接AC ，构造Rt△ABC . 【自主解答】 (1)证明：如图，连接AC .∵BC 是半⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90° 又AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴∠1＝∠3.在△AEB 中，AE ＝BE ， ∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即︵AB ＝︵AF . (2)设DE ＝3x ，∵AD ⊥BC ，sin∠FBC ＝35，∴BE ＝5x ，BD ＝4x . ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝5x ，AD ＝8x .在Rt△ADB 中，∠ADB ＝90°，AB ＝45， ∴(8x )2＋(4x )2＝(45)2，解得x ＝1， ∴AD ＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似，解三角形等来计算.[再练一题]3.已知：如图128，△ABC 内接于⊙O ，︵AB ＝︵AC ，点D 是︵BC 上一点，AD 交BC 于E 点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长.图128【解】 ∵︵AB ＝︵AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE ，又∵︵BD ＝︵BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD ， ∴△ABD ∽△CED ， ∴AD CD ＝BD DE，即63＝5DE ， ∴DE ＝2.5(cm).[探究共研型]探究1 【提示】不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但︵BC ≠︵EF . 探究2 圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补.(江苏高考)如图129，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明：∠OCB ＝∠D .图129【精彩点拨】︵AC 所对的圆周角是∠B 与∠D ，∠B ＝∠D ，△OBC 为等腰三角形，∠OCB ＝∠B .【自主解答】因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC . 故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D . 因此∠OCB ＝∠D . [再练一题]4.在半径等于7 cm 的圆内有长为7 3 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )【导学号：96990016】A.60°或120°B.30°或150°C.60°D.120°【解析】如图所示，⊙O 的半径为7 cm ，AB ＝7 3 cm ，过O 作OC ⊥AB 于C ，则AC ＝723 cm ，∴sin∠AOC ＝AC AO ＝32， ∴∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补，故弦AB 所对的圆周角为60°或120°. 【答案】 A[构建·体系]1.如图1210，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数是( )图1210A.80°B.100°C.120°D.130° 【解析】 ∵∠AOB ＝100°， ∴︵AMB 所对圆心角为260°， ∴∠ACB ＝130°. 【答案】 D2.如图1211，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图1211A.4πB.8πC.12πD.16π【解析】连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°. 又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形. 又AB ＝4， ∴OA ＝OB ＝4. ∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D3.如图1212，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE与AD 相交于点F ，则AF 的长为________.图1212【解析】如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°. 故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.【答案】2334.如图1213，G 是BC 为直径的圆上一点，A 是劣弧︵BG 的中点，AD ⊥BC ，D 为垂足，连接AC 、BG ，其中BG 交AD ，AC 于点E ，F .求证：BE ＝EF .图1213【证明】连接AB ，∵BC 为直径， ∴∠BAC ＝90°， ∴∠2＋∠DAC ＝90°.∵∠C ＋∠DAC ＝90°， ∴∠2＝∠C .∵︵BA ＝︵AG ，∴∠1＝∠C ， ∴∠1＝∠2，∴AE ＝BE . 又∵∠1＋∠BFA ＝90°， ∠2＋∠DAF ＝90°， ∴∠BFA ＝∠DAF ， ∴AE ＝EF ，∴BE ＝EF .我还有这些不足：小初高试卷教案类(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)K12小学初中高中。

高中数学第1章直线、多边形、圆1.1 平面直角坐标系学案北师大版

1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础²初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( )(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.( )(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.( )【解析】(1)√(2)√(3)³因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)³教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x 轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x 2＋y 2＝1表示的曲线是____________. 【答案】 (1)y ＝0 (2)x 2＋y 2＝1 (3) 椭圆教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.( )(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线.( )【解析】 (1)√ 因为x 2＋y 2＝4的圆的形状变为方程x 24＋y 2＝1表示的椭圆.(2)³ 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】 (1)√ (2)³ (3)√[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此 4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A ，B ，C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23).∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上.k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4). ①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2).②联立①②，解得P 点坐标为(8,53). ∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A ，B ，C 的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点).以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0). 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图. 因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33 x ＋1 ，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332²⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km.G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程；(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝32，故c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3).∵|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，化简得x 2＋(x ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x 轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |P (M )}； ③用坐标表示条件P (M )，写出方程f (x ，y )＝0； ④化简方程f (x ，y )＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程. (3)代入法(相关点法)：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图111，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →²QM →＝2.图111(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程.【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM 为正三角形. ∴QC →²QM →＝r 2²cos 60°＝2， ∴圆C 的半径为2. 又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝23，∴椭圆方程为：x 24＋23＋y 223＝1.[探究共研型]探究 1 线和抛物线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2 平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3 在伸缩变换中，若x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍后，变换后的坐标(x ′，y ′)与原坐标(x ，y )有什么关系？【提示】一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】先按要求改变x 轴或y 轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题 2 中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题 3 中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x 225＋y 29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的53倍；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的35倍.【解】 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y29＝1的图形如图②.[构建²体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A.(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】将答案代入验证知D 正确. 【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A.|x |－|y |＝1 B.|x －y |＝1 C.||x |－|y ||＝1 D.|x ±y |＝1【解析】由题知C 正确. 【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )【解析】如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B.【答案】 B 4.将圆x2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程.【解】如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x | ＝2 x －1 2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.我还有这些不足： (1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)。

高中数学第1章直线、多边形、圆 1.2.3 弦切角定理学案北师大版选修4-1

2.3 弦切角定理1.理解弦切角的定义.2.掌握弦切角定理，并能解决与弦切角有关的问题.3.体会分类思想、运动变化思想和化归思想.[基础·初探]教材整理1 弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.1.如图1250所示，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( )图1250A.15°B.20°C.25°D.30°【解析】法一：∵∠A＝35°，∴∠ACO＝35°，∴∠POC＝70°。

∵PC是⊙O切线，∴OC⊥PC.∴∠P＝90°－70°＝20°.法二：如图，连接BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB＝∠CAB＝35°.又∠PBC＝∠CAB＋∠ACB＝35°＋90°＝125°，∴∠P＝180°－125°－35°＝20°.【答案】B教材整理2 弦切角定理(1)文字语言：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半.(2)图形语言：如图1251，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠ADC.图12512.如图1252所示，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于________.图1252【解析】∵CD是⊙O的切线，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABC＝90°－40°＝50°.【答案】50°3.如图1253，在⊙O中，AB为弦，AC为⊙O的切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD＝________.【导学号：96990024】图1253【解析】由题意知∠ABD＝∠DAE＝∠EAB，又∵∠ABD＋∠DAE＋∠EAB＝90°，∴∠ABD＝30°.【答案】30°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]弦切角定理的简单应用＝∠CAB . 【精彩点拨】本题考查弦切角定理的应用.解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决.【自主解答】法一：如图(1)，延长AD 交⊙O 于E ，AB 切⊙O 于A ，(1)∵CD ⊥AE ， ∴︵AC ＝︵CE .又∵∠DAC 的度数等于︵CE 度数的一半， ∠CAB 的度数等于︵AC 度数的一半， ∴∠DAC ＝∠CAB .法二：如图(2)，延长BO 交⊙O 于E ，(2)连接AE ，则∠CAE ＝90°. 又∵AD ⊥CE ，∴∠DAC ＝∠E . ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB ＝∠E .∴∠DAC ＝∠CAB .1.由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件.2.借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等.[再练一题]1.如图1254，⊙O 的弦AB 的延长线和切线EP 相交于点P ，E 为切点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别相交于C ，D .求证：EC ＝ED .图1254【证明】 ∵PE 切⊙O 于点E ， ∴∠BEP ＝∠A ，∵PC 平分∠APE ，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠3＋∠A ，∠2＝∠4＋∠BEP ， ∴∠1＝∠2，∴EC ＝ED .弦切角定理的综合应用如图1255，PA ，PB 是⊙O 的切线，点C 在︵AB 上，CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F ，求证：CD 2＝CE ·CF .图1255【精彩点拨】连接CA ，CB ，∠CAP ＝∠CBA ，∠CBP ＝∠CAB →Rt△CAE ∽Rt△CBD Rt△CBF ∽Rt△CAD →CE CD ＝CDCF →结论【自主解答】连接CA ，CB . ∵PA ，PB 是⊙O 的切线.∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ， ∴Rt△CAE ∽Rt△CBD ， Rt△CBF ∽Rt△CAD ，∴CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝CFCD，∴CE CD ＝CD CF，即CD 2＝CE ·CF .1.解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡.2.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.3.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.[再练一题]2.如图1256，AB 为⊙O 的直径，弦CD ∥AB ，AE 切⊙O 于A ，交CD 的延长线于E .求证：BC 2＝AB ·DE .图1256【证明】连接BD ，OD ，OC ， ∵AE 切⊙O 于A ，∴∠EAD ＝∠ABD ，且AE ⊥AB . 又AB ∥CD ， ∴AE ⊥CE ， ∴∠E ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠E ＝∠ADB ， ∴△ADE ∽△BAD ， ∴AD AB ＝DE AD， ∴AD 2＝AB ·DE . ∵CD ∥AB ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又知∠2＝∠4，∴∠1＝∠3， ∴︵AD ＝︵BC ，∴AD ＝BC ， ∴BC 2＝AB ·DE .[探究共研型]弦切角的特点探究1 CE 是⊙O ACE 所夹的弧吗？【提示】如图，弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，弦切角∠BCE 所夹的弧是︵BC ，弦切角∠ACE 所夹的弧是︵ABC .探究2 如何正确使用弦切角定理？【提示】要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切角，弦切角的特点是： (1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)； (2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)； (3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦).三者缺一不可，例如上图中，∠CAD 很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD 与圆相交，∠BAE 也不一定是弦切角，只有已知AE 切圆于点A ，才能确定它是弦切角.第二步要准确地找到弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行.如图1257，AB ，CB 分别切⊙O 于D ，E ，试写出图中所有的弦切角.图1257【精彩点拨】本题考查弦切角的定义.解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断.【自主解答】由弦切角的定义可知，∠ADE，∠BDE，∠BED，∠CED都是弦切角.[再练一题]3.如图1258，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？图1258【解】弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部；即∠BAN，∠CAN，∠DAN为弦切角.[构建·体系]1.如图1259，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若∠BCM＝38°，则∠B＝( )图1259A.32°B.42°C.52°D.48°【解析】如图，连接AC.∵∠BCM＝38°，MN是⊙O的切线，∴∠BAC＝38°，∵AB为⊙O的直径，∴∠B＝90°－38°＝52°.【答案】C2.已知，如图1260，PA切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP 交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是( )图1260A.1B.2C.3D.4【解析】如图所示，连接OA，OE，则△AOE为等腰三角形.∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP＝∠ABC.【答案】C3.如图1261，PC与⊙O相切于C点，PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于( )图1261A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】如图，连接OC ，∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°，连接BC ，∵OC ＝OB ，∴∠B ＝12∠POC ＝25°，∴∠ACP ＝∠B ＝25°. 【答案】 B4.如图1262，EB ，EC 是圆O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是圆O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A ＝________.【导学号：96990025】图1262【解析】连接OB ，OC ，AC ，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.【答案】 99°5.如图1263，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B )，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E .求证：CB ＝CE .图1263【证明】法一：连接BE .因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又因为AD⊥l，所以BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB.因为直线l是圆O的切线，所以∠DCE＝∠CBE.所以∠CBE＝∠CEB.所以CE＝CB.法二：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF.又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.所以CE＝CB.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)欢迎您的下载，资料仅供参考！。

高中数学第一章直线多边形圆2-2圆的切线的判定和性质学案北师大版选修4_1

高中数学第一章直线多边形圆2-2圆的切线的判定和性质学案北师大版选修4_1[对应学生用书P15]1．切线的判定定理文字语言符号语言图形语言切线的判定定理并且外端经过半径的于这条半径的直垂直线是圆的切线OA是圆O的半径．直，则l∈A且OA⊥l线l是圆O的切线2．切线的性质定理及推论文字语言符号语言图形语言切线的性质定理圆的切线垂直于经过切半径点的直线l与圆O相切于点OA⊥l，则A推论1经过圆心且垂直于切线切点的直线经过直线l与圆O相切于点A.过O作直线m⊥l，则A∈m推论2经过切点且垂直于切线圆心的直线经过直线l与圆O相切于点A过A作直线m⊥l，则O∈m过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．[对应学生用书P16]切线的判定定理的应用[例1] DE⊥BE 交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．[思路点拨] 本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明A C⊥OE即可．[精解详析] 连接OE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E为⊙O半径OE的外端，∴AC是⊙O的切线．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理．几何证明问题常用方法(3)．1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的。

2016-2017学年高中数学第1章直线多边形圆1.2.5相交弦定理学案北师大版选修

2.5 相交弦定理1.掌握相交弦定理及其证明过程.2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.[基础·初探]教材整理相交弦定理图12104(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形表示如图12104，弦AB与CD相交于圆内一点P，则有：PA·PB＝PC·PD.1.在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，PA＝3 cm，PB＝5 cm，PC＝2.5 cm，则弦CD的长为( )【导学号：96990033】A.6 cmB.7.5 cmC.8 cmD.8.5 cm【解析】利用相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，即3×5＝2.5×PD，所以PD＝6 cm.所以PD＋PC＝CD＝8.5 cm.【答案】D2.圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB＝8，AB把CD分成长为3和4两部分，求AP.【解】设AP＝x，则BP＝8－x，由相交弦定理得x(8－x)＝3×4，∴x＝2或6，即AP＝2或AP＝6.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]相交弦定理的简单应用如图OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.图12105【精彩点拨】由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可.【证明】连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.1.相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明.2.由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.[再练一题]1.如图12106，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM ，PN 的延长线分别交⊙O 于Q ，R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR .图12106【证明】 ∵OM ＝ON ，OA ＝OB ， ∴AM ＝BN ，BM ＝AN ， ∴AM ·BM ＝AN ·BN ，又∵PM ·MQ ＝AM ·BM ，PN ·NR ＝AN ·BN ，∴PM ·MQ ＝PN ·NR .相交弦定量的综合应用如图12107，△ABC 内接于⊙O ，P 是△ABC 的高CE 的延长线上一点，PC 交⊙O 于D ，若PA 2＝PD ·PC ，AE ＝2，CE ＝32，cos∠ACB ＝13，求BE 的长.图12107【精彩点拨】由PA 2＝PD ·PC 知PA 是⊙O 的切线，∠ACB 等于∠PAE ，则PA 可求，在Rt△APE 中PE 可求，由切割线定理求出PD ，进而求出DE ，再由相交弦定理求BE .【自主解答】由PA 2＝PD ·PC ，知PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAE ＝∠ACB . ∵PC ⊥AB ，∴∠AEP ＝90°. 又∵cos∠ACB ＝13，∴在Rt△PAE 中，cos∠PAE ＝AE PA ＝13.∵AE ＝2，∴PA ＝6.在Rt△PAE 中，PE ＝PA 2－AE 2＝62－22＝42， ∴PC ＝PE ＋CE ＝42＋32＝72， ∵PA 2＝PD ·PC ，∴PD ＝PA 2PC ＝6272＝1872，∴DE ＝PE －PD ＝42－1827＝1072. ∵AE ·BE ＝DE ·CE ， ∴BE ＝DE ·CE AE＝1072×322＝307.1.解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论.2.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论.[再练一题]2.如图12108所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .图12108(1)求证：PA·PE＝PC·PD；(2)当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长.【解】(1)证明：连接AB，CE，∵CA切⊙O1于点A，∴∠1＝∠D.又∵∠1＝∠E，∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，∴△APD∽△CPE.∴PAPC＝PDPE，即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.∴4PB＝6×2，∴PB＝3.∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，DE＝PD＋PE＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.[探究共研型]相交弦定理、切割线定理、切线长定理的关系探究【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论.若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想.探究2 应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可.如图12109所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD ，BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .图12109(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求PA 的长.【精彩点拨】本题考查切割线定理、相交弦定理.以及相似三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用.解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用.【自主解答】 (1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE ∶CE ＝EF ∶ED . ∵∠DEF 是公共角， ∴△DEF ∽△CED . ∴∠EDF ＝∠C . ∵CD ∥AP ，∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA . ∴DE ∶PE ＝EF ∶EA . 即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD ，BC 相交于点E ， ∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4， ∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝EP －BE ＝272－6＝152，PC ＝EP ＋CE ＝272＋9＝452，又∵AP 2＝BP ·PC ＝152×452＝6754，∴PA ＝6754＝1532.相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题.因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理.[再练一题]3.如图12110所示，已知：从圆外一点P ，作切线PA .A 为切点，从PA 的中点B 作割线BCD ，交圆于C ，D ，连接PC ，PD ，分别交圆于E ，F .求证：EF ∥PA .图12110【证明】 ∵PBA 是圆的切线，BCD 是圆的割线. ∴BA 2＝BC ·BD .又∵B 为PA 中点，∴PB ＝BA . 即PB 2＝BC ·BD ，PB BD ＝BCPB.又∵∠PBC ＝∠DBP ，∴△BPC ∽△BDP ，∠BPC ＝∠D . 又∵∠E ＝∠D ，∴∠BPC ＝∠E ，EF ∥PA .[构建·体系]1.如图12111所示，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于点E ，AC 和DB 的延长线交于点P ，下列结论成立的是( )图12111A.PC ·CA ＝PB ·BDB.CE ·AE ＝BE ·EDC.CE ·CD ＝BE ·BAD.PB ·PD ＝PC ·PA【解析】由切割线定理的推论知PB ·PD ＝PC ·PA ，故选项D 正确. 【答案】 D2.如图12112，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.【导学号：96990034】图12112【解析】延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 【答案】3553.⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，那么CE ＝______________cm.【解析】 ∵AB 与CD 相交于E ，∴AE·BE＝CE·DE.∵AE＝6 cm，BE＝2 cm，CD＝7 cm，DE＝CD－CE＝7－CE.∴6×2＝CE(7－CE)，即CE2－7CE＋12＝0，∴CE＝3(cm)或CE＝4(cm).【答案】3或44.如图12113所示，A为⊙O上一点，⊙A和⊙O相交于C，D，两圆的连心线交⊙A 于E，F，交⊙O于A，B，交CD于G.图12113求证：AG·BG＝EG·FG.【证明】由相交弦定理得AG·BG＝CG·GD，CG·GD＝EG·FG，∴AG·BG＝EG·FG.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

高中数学第1章直线、多边形、圆 1.2.1 圆周角定理学案北师大版选修4-1

§2.圆与直线 2.1 圆周角定理1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论.2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.[基础·初探]教材整理1 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的孤的度数的一半.1.△ABC 内接于⊙O ，且︵AB ∶︵BC ∶︵CA ＝3∶4∶5，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________.【解析】 ∵︵AB ∶︵BC ∶︵CA ＝3∶4∶5，∴︵AB 的度数为90°，︵BC 的度数为120°，︵CA 的度数为150°， ∴∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°. 【答案】 60° 75° 45° 教材整理2 圆周角定理的两个推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆.2.如图121，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，︵AD ＝︵CD ，则∠DAC 的度数是( )图121A.30°B.35°C.45°D.70°【解析】 ∵∠BAC ＝20°， ∴︵BC 的度数为40°， ∴︵AC 的度数为140°. ∵︵AD ＝︵CD ， ∴︵CD 的度数为70°. ∴∠DAC ＝35°. 【答案】 B3.如图122，A ，B ，C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍.【导学号：96990014】图122【解析】 ∵∠ACB ＝12∠AOB ，∠CAB ＝12∠BOC ，又∵∠BOC ＝3∠BOA ， ∴∠CAB ＝3∠ACB . 【答案】 3[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]与圆周角定理相关的证明＝CE ，∠1＝∠2.图123求证：AB ＝AC .【精彩点拨】证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等.进而构造等弦、等弧的条件.【自主解答】延长AD ，AE ，分别交⊙O 于F ，G ，连接BF ，CG ， ∵∠1＝∠2，∴︵BF ＝︵CG ， ∴BF ＝CG ，︵BG ＝︵CF ， ∴∠FBD ＝∠GCE . 又∵BD ＝CE ， ∴△BFD ≌△CGE ， ∴∠F ＝∠G ，︵AB ＝︵AC ， ∴AB ＝AC .1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键.2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.[再练一题]1.如图124，△ABC内接于⊙O，高AD，BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：BF＝BH.图124【证明】∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.直径所对的圆周角如图1AB＝10 cm，OD⊥AC 于D.求四边形OBCD的面积.图125【精彩点拨】由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求.【自主解答】∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝8 cm，BC＝6 cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4 cm，OD＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝S △ABC －S △AOD＝12×6×8－12×3×4＝24－6＝18(cm 2).1.解答本题时利用AC ∶BC ＝4∶3，得到AC 与BC 的关系，然后根据勾股定理可求出AC 与BC 的长度.2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.[再练一题]2.如图126，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2 cm ，点C 在圆周上，且∠BAC ＝30°，∠ABD ＝120°，CD ⊥BD 于D .求BD 的长.【导学号：96990015】图126【解】如图，连接BC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＝30°，AB ＝2 cm ， ∴BC ＝AB2＝1(cm).∵∠ABD ＝120°，∴∠DBC ＝120°－60°＝60°. ∵CD ⊥BD ，∴∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BD ＝BC 2＝12＝0.5(cm).与圆周角定理有关的计算问题AD 于E ，且AE ＝BE .图127(1)求证：︵AB ＝︵AF ；(2)如果sin∠FBC ＝35，AB ＝45，求AD 的长.【精彩点拨】 BC 为半⊙O 的直径，连接AC ，构造Rt△ABC . 【自主解答】 (1)证明：如图，连接AC . ∵BC 是半⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90° 又AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴∠1＝∠3.在△AEB 中，AE ＝BE ， ∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即︵AB ＝︵AF . (2)设DE ＝3x ，∵AD ⊥BC ，sin∠FBC ＝35，∴BE ＝5x ，BD ＝4x . ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝5x ，AD ＝8x .在Rt△ADB 中，∠ADB ＝90°，AB ＝45， ∴(8x )2＋(4x )2＝(45)2，解得x ＝1， ∴AD ＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似，解三角形等来计算.[再练一题]3.已知：如图128，△ABC 内接于⊙O ，︵AB ＝︵AC ，点D 是︵BC 上一点，AD 交BC 于E 点，AD＝6 cm，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长.图128【解】 ∵︵AB ＝︵AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE ，又∵︵BD ＝︵BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD ， ∴△ABD ∽△CED ， ∴AD CD ＝BD DE，即63＝5DE ， ∴DE ＝2.5(cm).[探究共研型]圆周角相等的前提条件探究1 【提示】不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但︵BC ≠︵EF . 探究2 圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补.(江苏高考)如图129，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明：∠OCB ＝∠D .图129【精彩点拨】︵AC 所对的圆周角是∠B 与∠D ，∠B ＝∠D ，△OBC 为等腰三角形，∠OCB ＝∠B .【自主解答】因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC . 故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D . 因此∠OCB ＝∠D . [再练一题]4.在半径等于7 cm 的圆内有长为7 3 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )【导学号：96990016】A.60°或120°B.30°或150°C.60°D.120°【解析】如图所示，⊙O 的半径为7 cm ，AB ＝7 3 cm ，过O 作OC ⊥AB 于C ，则AC ＝723 cm ，∴sin∠AOC ＝AC AO ＝32， ∴∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补，故弦AB 所对的圆周角为60°或120°. 【答案】 A[构建·体系]1.如图1210，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是( )图1210A.80°B.100°C.120°D.130°【解析】∵∠AOB＝100°，∴︵AMB所对圆心角为260°，∴∠ACB＝130°.【答案】D2.如图1211，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于( )图1211A.4πB.8πC.12πD.16π【解析】连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形.又AB＝4，∴OA＝OB＝4.∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】D3.如图1212，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD 相交于点F ，则AF 的长为________.图1212【解析】如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°.故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233. 【答案】 233 4.如图1213，G 是BC 为直径的圆上一点，A 是劣弧︵BG 的中点，AD ⊥BC ，D 为垂足，连接AC 、BG ，其中BG 交AD ，AC 于点E ，F .求证：BE ＝EF .图1213【证明】连接AB ，∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠DAC ＝90°.∵∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠2＝∠C .∵︵BA ＝︵AG ，∴∠1＝∠C ，∴∠1＝∠2，∴AE ＝BE .又∵∠1＋∠BFA ＝90°，∠2＋∠DAF ＝90°，∴∠BFA ＝∠DAF ，∴AE ＝EF ，∴BE ＝EF .我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)欢迎您的下载，资料仅供参考！。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1 第三课时直角三角形的射影定理学案北师大版选修41

第三课时直角三角形的射影定理对应学生用书P9][自主学习]射影定理[合作探究]在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高．应用射影定理可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．对应学生用书P9]利用射影定理解决计算问题[例1] 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC 为直角三角形，进一步由射影定理求CD .[精解详析] 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°，∴∠C ＋∠B ＝90°，∴∠BAC ＝90°， ∴在Rt △ABC 中，AD ⊥BC .由射影定理可知，AD 2＝BD ·CD ，∴62＝8×CD ， ∴CD ＝92.利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 是斜边上的高，AC ＝5，BC ＝8，求S △CDA ∶S △CDB .解：∵△CDA 和△CDB 同高， ∴S △CDA S △CDB ＝AD BD.又AC 2＝AD ·AB ，CB 2＝BD ·AB ， ∴AC 2CB 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD . ∴S △CDA S △CDB ＝AC 2CB 2＝5282＝2564.2.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt△BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt△BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ，所以CD 2＝16，因为BD 2＝BE ·BC ，所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝164 3＝4 33.[例2] 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC于F ，DE ⊥AB 于E .求证：(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3＝BC ·BE ·CF .[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析] (1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ，∴AB ·AC ＝AD ·BC .(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC . ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC . ∴AD 4＝BD 2·DC 2，∴AD 4＝BE ·CF ·AB ·AC . ∴AD 3＝BE ·CF ·AB ·AC ·1AD.又AB ·AC ＝BC ·AD ， ∴AD 3＝BE ·CF ·BC .在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式．同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC . 证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，由射影定理知AC 2＝CD ·BC ，即AC CD ＝BC AC.∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF .∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD . ∴AE DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝BC AC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC .4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF，所以AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt△ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ，所以DF 2＝GF ·HF .本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题．[考题印证]如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝4 3，则CD ＝ .[命题立意]本题主要考查利用射影定理计算线段长问题． [自主尝试] 由射影定理知CD 2＝AD ·BD ，BC 2＝BD ·AB∴BC 2＝(AB －AD )·AB . 即AB 2－2AB －48＝0.∴AB ＝8，∴BD ＝6，故CD 2＝2×6＝12， ∴CD ＝2 3. 答案：2 3对应学生用书P11]一、选择题1．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD＝( )A ．34 B ．43 C ．169D ．916解析：选C 由射影定理知，BD ＝AB 2BC ，CD ＝AC 2BC ，所以BD CD ＝AB 2AC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2又AC AB ＝34，所以BD CD ＝169. 2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C ．3∶ 2D ．2∶ 3解析：选C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC2＝BD ·AB ，又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋ BD ＝5. ∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10. ∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶ 2. 3．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能确定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝2 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AB ＝7，BD ＝4，CD ＝2 3解析：选B 在A 中，AD ＝2，AC 2＝AD ·AB ，故△ABC 为直角三角形；在B 中，CD ＝5，CD 2＝5≠AD ·DB ＝4，故△ABC 不是直角三角形，同理可证C ，D 中三角形为直角三角形．4．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ·DC ，则∠BAC ( ) A ．大于90° B ．等于90° C ．小于90°D ．不能确定解析：选D 如图(1)，由AD 2＝BD ·CD ，有AB 2＋AC 2＝BD 2＋CD 2＋2AD 2＝BD 2＋CD 2＋2BD ·CD ＝(BD ＋CD )2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，可得∠BAC ＝90°，如图(2)，显然AD 2＝BD ·CD ，D 点在△ABC 外，则∠ACB >90°，所以△ABC 是直角或钝角三角形．二、填空题5.如图所示，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，点C 在AB 上的正射影为D ，且AC ＝3，AD ＝2，则AB ＝ .解析：∵AC ⊥BC ，又D 是C 在AB 上的正射影， ∴CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .又AC ＝3，AD ＝2，∴AB ＝AC 2AD ＝92.图1图2答案：926.(湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CE EO的值为．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .；∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8.答案：87．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD ＝ . 解析：如图，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，设BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：128.如图，在△ABC 中，D ，F 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，则AC ＝ .解析：；在△ABC 中，设AC ＝x ，因为AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.所以AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ，因为BD ＝DC ＝1，所以BE ＝EC . 又因为AF ⊥BC ，所以DE ∥AF ，所以DE AF ＝DC AC ，所以DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，因为DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＝12，所以x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4.所以x ＝32. 所以AC ＝32. 答案：32 三、解答题9．如图所示，在△ABC 中CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，求∠BAC .解：因为BD ＝AB －12AC ，所以AB －BD ＝12AC ＝AD .因为CD ⊥AB ，所以∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中， cos ∠CAD ＝AD AC ＝12AC AC ＝12.∴∠BAC ＝60°.10.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x .因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ，所以BC ＝12m ，又因为CD ⊥AB ，所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m ，所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316m 2，得CD ＝34m .因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m . 11．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G ，H ，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF .求证：GD 2＝GF ·GH .证明：因为∠H ＝∠BCF ，∠EBC ＝∠GBH ，所以△BCE ∽∠BHG ，因为CE ⊥BH ，所以∠BGH ＝90°，所以HG ⊥BC . 在Rt△BCD 中，因为BD ⊥DC ，所以GD 2＝GB ·GC . ①在△FCG 和△BHG 中，因为∠FGC ＝∠HGB ＝90°，∠BCF ＝∠H ，所以△FCG ∽△BHG ，所以GF GB ＝GC GH，即GB ·GC ＝GF ·GH ， ②由①②得，GD 2＝GF ·GH .。

《1.2.3弦切角定理》教学案2

《1.2.3弦切角定理》教学案教学目标1.了解弦切角的概念；2.掌握弦切角定理的推理过程；3.理解弦切角定理的推论.教学过程(一).创设情境，以旧探新(约8分钟)1.复习：什么样的角是圆心角？(顶点在圆心的角叫圆心角.)什么样的角是圆周角？(顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.) 2.揭示课题：今天我们继续学习圆中的第三种角.3.请同学们观察右图(盲生提供盲图)，图中的角是圆周角吗？(点C 在圆上，CA 与圆相交，CB 与圆相切，∠ACB 是圆周角吗？)师生共同发现这个角的特征：(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切． 4.教师说明弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角动态的形成过程：弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角.(电脑辅助教学，全盲生用吸管拼摆)【注意辅导后进生】5.用反例图形继续剖析定义，揭示概念本质属性：即时练习：判定下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：【给盲生充足的摸图时间】以上图1～图3中的角都不是弦切角，图4是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件.图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件.图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件.通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可.图4 图3图图(二).操作、观察、猜想(约5分钟)在作图板上进行点C的运动操作(如图5)，观察∠P与∠BAC的关系，并进行大胆的猜想：∠P=∠BAC.操作完后，低视生观察电脑动画(如图6～8)图5【图5显示的是学生课堂上在作图板上图形，图钉处的字母是后来加上的，课堂上学生经过以往的训练很容易记住其表示的点的名称，且字母的添加也不是很方便，所以学生的作图板上是没有字母的.在此图中，图钉是固定不动的，代表点；画圈处的工字钉插取方便，故用其代表移动的点C；用皮筋代表线段，可根据需要更改其长短.点A上方圆周上的点C＇是点C的特殊位置(此时的AC是直径)，故让学生用图钉固定.】图6图7图8【图6～8分别显示了弦切角的三种情况，在点C的变化过程中，右边的两个角的度数也相应的同时变大或变小，这使得低视生有了更加直观的认识.总之，在本环节中，盲生在操作的过程中体会弦切角的三种情况；低视生通过观察几何画板制作的动画更加清晰地了解了弦切角和它所夹的弧对的圆周角的关系】(三).类比联想、论证(15分钟)【这是本节课的重点也是难点】1.首先让学生回忆联想：(1)圆周角定理的证实采用了什么方法？(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证实呢？2.分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．由此发现，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．3.迁移圆周角定理的证明方法先证明情况1：弦切角的一边过圆心.(即一边为过切点的直径)再考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.(1)圆心在弦切角外部，这时弦切角是一个锐角，怎样将其转化为特殊的直角情形？学生不难想到要找直径(过点A作⊙O的直径AQ)，有了直径就要有直径所对的圆周角(连结PQ或CQ).因此需要添加两条辅助线.【教学预设】看学生对第二条辅助线是怎样想的，如果绝大多数学生选择“连结CQ”，就请学生看书上的图；若选择“连结PQ”，就发给学生盲图，即图(1).【实际教学】班级有盲生10人，有7为学生选择“连结PQ”，故我采用了不同于课本的证明：如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ－∠1＝∠APQ－∠2＝∠APC.(2)圆心在弦切角外部，这时弦切角是一个钝角，怎样将其转化为特殊的直角情形？——留给学生课后自己学习书上的证明方法，并想一想有没有其他证明方法(如图 (2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QP A十∠2＝∠APC.) (在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)4.回顾证明方法：将三种情形图都化归至直角的那种情形，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.推论：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.【讲解证明要让学生多思考，根据学生的课堂“灵动”，及时调整教学思路】(四).深化结论，巩固练习(约10分钟)1.已知AB是⊙O的切线A为切点，由图填空：【给盲生提供盲图】∠1= 30º；∠2= 70º；∠3= 65º；∠4= 40º .2.如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．求证：∠ATC＝∠TBC．【预设：本小题根据课堂教学实际用时可进行适A AAB B B当的调整(放在小结之后)】分析：欲证∠ATC=∠TBC，可证△ATC∽△TBC或角的其它性质，(此题为课本的练习题，证实方法较多，组织学生讨论，归纳证法.)【实际教学】由于定理的证明花费了较多的时间，练习的第2题来不及课堂完成，我先进行了课堂小结，将此题的证明稍加提示后留给学生课后完成.(五).归纳小结(约2分钟)教师组织学生归纳：1.这节课我们主要学习的知识：(1)弦切角定义：(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切.(2)还可以从运动的角度，通过圆周角一边的旋转产生弦切角.(3)弦切角定理及其证明：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？(化归思想、分类思想)。

高中数学第一章直线、多边形、圆 2.2 圆的切线的判定和性质学案北师大版选修41

2．2 圆的切线的判定和性质[对应学生用书P15][自主学习]1．切线的判定定理2．切线的性质定理及推论3．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．[合作探究]怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．[对应学生用书P16][例1] 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．[思路点拨] 本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明AC⊥OE即可．[精解详析] 连接OE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E为⊙O半径OE的外端，∴AC是⊙O的切线．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理．几何证明问题常用方法(3)．1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A 当AB＝AC时，如图：连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝BD，因为AO＝BO，所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．所以B正确．当CD＝BD时，AO＝BO，同B，所以C正确．当AC∥OD时，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．所以D正确．2．已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.∵∠DCB是BD所对的圆周角，∠BOD是BD所对的圆心角，∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，从而∠BOC＝120°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，∵∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC .在△BOE 中， ∵∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°，∴BE ＝2OE ＝2EC ，∴CE BE ＝CD DA ＝12，∴AB ∥OD .∴∠ABO ＝90°，故AB 是△BCD 的外接圆的切线.[例2] O 切AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[精解详析] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°.∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ，∴OE BC ＝AO AB.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13，∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．3.如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：选B 连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°，又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上，所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.4．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .证明：连接OD ，则OD ⊥DC ，又OA ＝OD ，DA ＝DC ，所以∠DAO ＝∠ODA ＝∠DCO ， ∠DOC ＝∠DAO ＋∠ODA ＝2∠DCO ，所以∠DCO ＝30°，∠DOC ＝60°，所以OC ＝2OD ，即OB ＝BC ＝OD ＝OA . 所以AB ＝2BC .[例3] 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线交AC 于E .求证：DE ⊥AC .[思路点拨] 本题主要考查切线性质定理的应用．解题时由于DE 是⊙O 的切线，则OD ⊥DE ，故要证DE ⊥AC ，只需证明OD ∥AC 即可．[精解详析] 连接OD 、AD ，如图． ∵AB 为⊙O 直径，∴AD ⊥BC . ∵AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形， ∴AD 为BC 边上的中线，即BD ＝DC . 又OA ＝OB ，∴OD 为△ABC 的中位线．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切线问题的一个关键点．5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P 的度数．解：如图，连接OB，∵OA＝OB，OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠OAB＝∠OBA.又∠BAC＝20°，∴∠OBA＝20°，∠BAP＝90°－∠BAC＝70°，∠ABP＝90°－∠OBA＝70°.∴∠P＝180°－∠BAP－∠ABP＝40°.6.如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求证：(1)BD＝CD.(2)△AOC≌△BDC.证明：(1)因为AD为⊙O的直径，所以∠ACD＝90°，又因为∠A＝30°，OA＝OC＝OD，所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，又因为BC与⊙O切于C点，所以∠OCB＝90°，所以∠BCD＝30°，所以∠B＝30°，所以∠BCD＝∠B，所以BD＝CD.(2)因为∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，所以AC＝BC，在△AOC 和△BDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，AC ＝BC ，∠ACO ＝∠BCD ，所以△AOC ≌△BDC .本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档．[考题印证]如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA ＝ .[命题立意]本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用． [自主尝试] 如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是PA ＝OA tan 60°＝ 3. 答案： 3[对应学生用书P18]一、选择题1．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切的边有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条解析：选C 以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条．2.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，若∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，连接OE ，OF ，则∠EOF ＝( )A ．30°B ．45°C ．100°D ．90°解析：选C 因为∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，所以∠A ＝80°，则∠EOF ＝180°－80°＝100°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．33 B ．23 C ．35D ．25解析：选A 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ.又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC .所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中，r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO ＝( )A ．1010B ．210 C ．55D ．24解析：选A 连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°，∠BCA ＝45°.∴sin ∠BCO ＝OB OC＝OB 5OB ＝55， cos ∠BCO ＝BC OC＝2OB5OB＝255. ∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin45°cos∠BCO －cos45°sin∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 二、填空题5．如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为．解析：设⊙O 与BC 边的切点为D ，连接OD 以及OC ，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得OD ⊥BC ，∠OCD ＝30°，OD 即为圆的半径．又由BC ＝2，则CD ＝1，所以在Rt△OCD 中，OD CD＝tan 30°，解得OD ＝33. 答案：336．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝，AD ＝ .解析：据题意设圆的半径为R ，连接OD ，由OD ∥BC 得：OD BC ＝AO AB ⇒R 6＝10－R 10⇒R ＝154，故AE ＝10－2R ＝52，由AD AC ＝OD BC，得AD ＝5. 答案：5257．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝ .解析：AB ＝AP 2－PB 2＝ 3.由AB 2＝PB ·BC ， ∴BC ＝3，Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝2 3. ∴R ＝ 3. 答案： 38．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于．解析：如图所示，设点E 为BC 与⊙O 的切点，连接OE ，则OE ⊥BC .又∵∠C ＝90°，∴OE ∥AC ，CE ＝OE ＝r ，∴DE ＝1－r . ∴DE DC ＝OE AC， ∴1－r 1＝r 4，解得r ＝45. 答案：45三、解答题9.如图，AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O于点B ，连接AB ，且PC ＝10，PA ＝6.求：(1)⊙O 的半径． (2)cos ∠BAC 的值．解：(1)因为AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，所以CA ⊥PA ，即∠PAC ＝90°，因为PC ＝10，PA ＝6，所以AC ＝PC 2－PA 2＝8，所以OA ＝12AC ＝4，所以⊙O 的半径为4.(2)因为AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠PAC ＝90°，所以∠P ＋∠C ＝90°，∠BAC ＋∠C ＝90°，所以∠BAC ＝∠P ，在Rt△PAC 中，cos ∠P ＝PA PC ＝610＝35，所以cos ∠BAC ＝35. 10．如图，已知PAB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，PA ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数；(2)求DE 的长．解：(1)∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形．∵OC ＝OA ＝1， PO ＝PA ＋AO ＝2，∴sin P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°. (2)∵BD ⊥PD ，在Rt △PBD 中，由∠P ＝30°，PB ＝PA ＋AO ＋OB ＝3，得BD ＝32. 连接AE ，则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD .∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12. 11．如图所示，⊙O 的外切四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠A ＝∠B ＝90°.(1)求证：OC ⊥OD .(2)若CD ＝4 cm ，∠BCD ＝60°，求⊙O 的半径．解：(1)证明：因为AD ∥BC ，所以∠BCD ＋∠ADC ＝180°，由题意知∠ODC ＝12∠ADC ，∠OCD ＝12∠BCD ，所以∠ODC ＋∠OCD ＝12∠ADC ＋12∠BCD ＝90°，所以∠DOC ＝90°，即OC ⊥OD .(2)过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则四边形ABED 是矩形，DE 等于⊙O 的直径，在Rt△DEC 中，∠DEC ＝90°，∠ECD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝4 cm ，所以CE ＝12CD ＝2 cm ，DE ＝42－22＝2 3 cm ，所以⊙O 的半径为 3 cm.。

高中数学第一章直线多边形圆1第三课时直角三角形的射影定理学案北师大版选修296

第三课时直角三角形的射影定理[对应学生用书P9][自主学习]射影定理[合作探究]在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高．应用射影定理可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．[对应学生用书P9][例1] 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC 为直角三角形，进一步由射影定理求CD .[精解详析] 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°， ∴∠C ＋∠B ＝90°，∴∠BAC ＝90°， ∴在Rt △ABC 中，AD ⊥BC .由射影定理可知，AD 2＝BD ·CD ，∴62＝8×CD ， ∴CD ＝92.利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 是斜边上的高，AC ＝5，BC ＝8，求S △CDA ∶S △CDB .解：∵△CDA 和△CDB 同高， ∴S △CDA S △CDB ＝AD BD.又AC 2＝AD ·AB ，CB 2＝BD ·AB ， ∴AC 2CB 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD . ∴S △CDA S △CDB ＝AC 2CB 2＝5282＝2564.2.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt△BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt△BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ，所以CD 2＝16，因为BD 2＝BE ·BC ，所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝164 3＝4 33.[例2] 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC于F ，DE ⊥AB 于E .求证：(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3＝BC ·BE ·CF .[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析] (1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ，∴AB ·AC ＝AD ·BC .(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC . ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC . ∴AD 4＝BD 2·DC 2，∴AD 4＝BE ·CF ·AB ·AC . ∴AD 3＝BE ·CF ·AB ·AC ·1AD.又AB ·AC ＝BC ·AD ， ∴AD 3＝BE ·CF ·BC .在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式．同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC . 证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，由射影定理知AC 2＝CD ·BC ，即AC CD ＝BC AC.∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF .∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD . ∴AE DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝BC AC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC .4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF，所以AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt△ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ，所以DF 2＝GF ·HF .本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题．[考题印证]如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝4 3，则CD ＝ .[命题立意]本题主要考查利用射影定理计算线段长问题． [自主尝试] 由射影定理知CD 2＝AD ·BD ，BC 2＝BD ·AB∴BC 2＝(AB －AD )·AB . 即AB 2－2AB －48＝0.∴AB ＝8，∴BD ＝6，故CD 2＝2×6＝12， ∴CD ＝2 3. 答案：2 3[对应学生用书P11]一、选择题1．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD＝( )A ．34 B ．43 C ．169D ．916解析：选C 由射影定理知，BD ＝AB 2BC ，CD ＝AC 2BC ，所以BD CD ＝AB 2AC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2又AC AB ＝34，所以BD CD ＝169. 2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C ．3∶ 2D ．2∶ 3解析：选C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋ BD ＝5. ∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10. ∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶ 2. 3．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能确定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝2 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AB ＝7，BD ＝4，CD ＝2 3解析：选B 在A 中，AD ＝2，AC 2＝AD ·AB ，故△ABC 为直角三角形；在B 中，CD ＝5，CD 2＝5≠AD ·DB ＝4，故△ABC 不是直角三角形，同理可证C ，D 中三角形为直角三角形．4．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ·DC ，则∠BAC ( ) A ．大于90° B ．等于90° C ．小于90°D ．不能确定解析：选D 如图(1)，由AD 2＝BD ·CD ，有AB 2＋AC 2＝BD 2＋CD 2＋2AD 2＝BD 2＋CD 2＋2BD ·CD ＝(BD ＋CD )2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，可得∠BAC ＝90°，如图(2)，显然AD 2＝BD ·CD ，D 点在△ABC 外，则∠ACB >90°，所以△ABC 是直角或钝角三角形．二、填空题5.如图所示，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，点C 在AB 上的正射影为D ，且AC ＝3，AD ＝2，则AB ＝ .解析：∵AC ⊥BC ，又D 是C 在AB 上的正射影， ∴CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .图1图2又AC ＝3，AD ＝2，∴AB ＝AC 2AD ＝92.答案：926.(湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CE EO的值为．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .；∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8.答案：87．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD ＝ . 解析：如图，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，设BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：128.如图，在△ABC 中，D ，F 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，则AC ＝ .解析：；在△ABC 中，设AC ＝x ，因为AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.所以AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ，因为BD ＝DC ＝1，所以BE ＝EC . 又因为AF ⊥BC ，所以DE ∥AF ，所以DE AF ＝DC AC ，所以DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，因为DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＝12，所以x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4.所以x ＝32. 所以AC ＝32. 答案：32 三、解答题9．如图所示，在△ABC 中CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，求∠BAC .解：因为BD ＝AB －12AC ，所以AB －BD ＝12AC ＝AD .因为CD ⊥AB ，所以∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中， cos ∠CAD ＝AD AC ＝12AC AC ＝12.∴∠BAC ＝60°.10.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x .因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°.因为AB ＝m ，所以BC ＝12m ，又因为CD ⊥AB ，所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m ，所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316m 2，得CD ＝34m .因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m . 11．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G ，H ，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF .求证：GD 2＝GF ·GH .证明：因为∠H ＝∠BCF ，∠EBC ＝∠GBH ，所以△BCE ∽∠BHG ，因为CE ⊥BH ，所以∠BGH ＝90°，所以HG ⊥BC . 在Rt△BCD 中，因为BD ⊥DC ，所以GD 2＝GB ·GC . ①在△FCG 和△BHG 中，因为∠FGC ＝∠HGB ＝90°，∠BCF ＝∠H ，所以△FCG ∽△BHG ，所以GF GB ＝GC GH，即GB ·GC ＝GF ·GH ， ②由①②得，GD 2＝GF ·GH .。

《1.2.3弦切角定理》教学案1

《1.2.3弦切角定理》教学案教学目标(1)使学生知道弦切角的定义，会在图形中识别弦切角；(2)会叙述弦切角定理及其推论；(3)能运用弦切角定理及其推论证明有关几何问题；(4)培养学生分类讨论的思想方法和辩证唯物主义的观点.教学的重、难点重点：(1)探索弦切角定理的证明方法；(2)运用弦切角定理证明有关的几何问题.难点：用分类的思想方法证明弦切角定理.教学过程(一)创设情境，以旧探新1、复习：什么样的角是圆周角？2、弦切角的概念：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，得∠BAE．提问：∠EAC有何特点？弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.【设计意图】观察由圆周角到弦切角的运动变化过程，发现弦切角与圆周角的区别与联系.注意引导学生发现弦切角的三个要点，使学生在形象、直观的学习活动中掌握新的概念.(二)观察、猜想观察图形，提问:(1)、图7(1)中，∠A与∠P有何关系？为什么？(2)、图7(2)中，∠EAC与∠P有何共同点？分析比较：既然图7(1)中∠A＝∠P，那么图7(2)中，∠EAC=∠P吗？CCBP PEAA(B)图7这一结论是否能成立呢？我们不妨从最特殊的情形考虑一下.(1)、圆心O在弦切角∠BAC的边AC上，此时显然有∠BAC=∠P=90°.由此我们完全有信心提出一个猜想：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(三)类比联想、论证1、已经证明了最特殊的情形，下面考虑圆心在角内与角外两种情形.(2)、圆心在角外，作⊙O 的直径AQ ，连接PQ (如图9)，则∠BAC =∠BAQ -∠1=∠APQ -∠2=∠APC .(3)、圆心在角内，作⊙O 的直径AQ ，连接PQ (如图10)，则∠BAC =∠BAQ +∠1=∠APQ +∠2=∠APC .QC Q C22P O P11B B 2O O P 1A P 1A B BC 2O Q C QA A图9图9图10图102、回顾证明的方法：将情形(2)、(3)都归至情形(1)，利用角的合成，对三种情形进行完全归纳，从而证明了上述的猜想，我们把所证得的结果取名为弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.【设计意图】弦切角定理是这节课的重点也是难点，通过创设问题情境，引导学生在解决问题的过程中学习新的知识.利用问题激发学生探索弦切角定理证明的其他情况.学生进行思考和探索，锻炼学生的动手能力，激发学生学习的积极性.在总结弦切角定理量要注意对“所夹”与“所对”两个关键词的理解.3、例题解析：例1如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD ⊥CE 垂足为D .求证:AC 平分∠BAD .证明：连接BC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90.∴∠B +∠CAB ＝90.∵AD ⊥CE ，∴∠ADC ＝90.∴∠ACD +∠DAC ＝90.又∵AC 是弦，且直线CE 和⊙O 切于点C ，∴∠ACD =∠B .∴∠DAC =∠CAB ，即AC 平分∠BAD .0000例2已知：如图，⊙O和⊙O’相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D.求证：AB是BC和BD的比列中项.证明：因为AC，AD分别是两圆的切线，所以∠C=∠1，∠2=∠D，所以△ACB与△DAB相似.所以BC AB=,即AB BDAB2=BC∙BD,所以AB是BC和BD的比列中项.4、练习巩固1.如图12，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点C，若∠ACD=40°，则∠BAC=()A、30°；B、40°；C、50°；D、60°.BOAE C D图122.DE切⊙O于点A，AB、AC是⊙O的弦，若AB=AC，且∠DAB=45°，则∠BAC=( )A、4 5°；B、50°；C、60°；D、90°.5、课堂小结(1)分清弦切角与圆周角的区别，正确地识别弦切角所夹弧所对的圆周角.(2)要学会从特殊情况入手，再把一般情况转化为特殊情况，即“特殊----一般------特殊”的思想方法.。