北师大版八年级数学上册第5章 二元一次方程组(培优试题)

第五章 二元一次方程组

5.1认识二元一次方程组

（1）写出方程组1的求解过程；

（2）请依据方程组和它们的解的变化规律，直接写出方程组n 和它的解．（n 为正整数）

2. 下列是按一定的规律排列的方程组和它的解的解集的对应关系图，若方程组集合中的方

程组自左向右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n.

（1）将方程组1的解填入图中；

（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中（注意：

1-n 2

=(1+n)(1-n)； （3）若方程组⎩⎨⎧=-=+161my x y x ，的解是⎩⎨⎧-==，

，

910y x 求m 的值，并判断该方程组是否符合题中的

规律．

5.2解二元一次方程组

专题 解二元一次方程组的探究性问题 1. 若关于x ，y 的二元一次方程组 ⎩⎨

⎧=+=-10

2y mx y x ，

的解均为正整数，m 也是正整数，则满足

条件的所有m 值的和为__________.

2. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x 、y 的方程组⎩

⎨⎧=--=+)2(142)1(53，，

by x y ax 并请小方和

小龙两位同学到黑板上板演.可是小方同学看错了方程（1）中的a ，得到方程组的解为

⎩⎨⎧==，，23y x 小龙同学看错了方程(2)中的b ，得到方程组的解为⎩

⎨⎧-=-=，，

12y x 你能按正确的a 、 b 值求出方程组的解吗？请试一试.

3．三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3

4x y =⎧⎨=⎩，求方程组1112

22325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的

解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的

系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是多少？

2．解：由题意得方程组⎩⎨⎧=⨯，－14232b 解得⎩

⎨⎧-=，4b

代入原方程组，得

⎨

⎧=+-=+，，144253y x y x 解得⎨⎧-==.

1231y x ，

5.3鸡兔同笼

5.4增收节支

专题方案设计问题

1.某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小

明同学有关租车问题的对话：

李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”

小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”

小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”

根据以上对话，解答下列问题：

（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？

2. （2012福建龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1

辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．

根据以上信息，解答下列问题：

⑴1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

⑵请你帮该物流公司设计租车方案；

⑶若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车

方案，并求出最少租车费．

答案：

1．解：（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x 元，y 元． 由题意列方程组200425000

x y x y -=⎧⎨

+=⎩，

解得900

700x y =⎧⎨=⎩

.

答：平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为900元，700元.

（2）九年级师生共需租金：5×900+1×700=5200（元）. 答：共需租金5200元．

2．解：⑴设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨、y 吨，根据题意得

210211x y x y +=⎧⎨

+=⎩，解得3

4x y =⎧⎨=⎩

， 故1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．

⑵根据题意可得3a +4b =31，b =3134

a

-，

使a ，b 都为整数的情况共有a =1，b =7或a =5，b =4或a =9，b =1三种情况， 故租车方案分别为: ○1A 型车1辆，B 型车7辆；○2 A 型车5 辆，B 型车4辆； ○3A 型车9辆，B 型车1辆．

⑶设租车费为w 元，则w =100a +120b ， 方案○1租车费为100×1+120×7=940(元)； 方案○2租车费为100×5+120×4=980(元)； 方案○3租车费为100×9+120×1=1020(元)．

故方案（1）最省钱，即租用A 型车1辆，B 型车7辆．最少租车费为940元.

5.5里程碑上的数

专题 行程问题

1. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上的数颠倒顺序后的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一次看到的两位数是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17

2. 某人在电车路轨旁与路轨平行的路上行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行走的速度都不变（分别为12u u ，表示），请你根据下面的示意图，求电车每隔几分钟（用t 表示）从车站开出一部？

3. 甲、乙两人分别从相距30千米的A 、B 两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩路程是乙到A 地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．