2.7有理数的乘方(1)
2.7 有理数的乘方(1)
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂
是正数．
1.有理数的乘方的意义和相关概念。
幂的底数是分数或负数时,底数应该添上括号. 2.乘方的有关运算。
如果你第一天给我1元，第二天 给我2元，第三天给我4元，以 此类推，一直给20天，我就答 应你！
每天给我10 元，一共给 20年。
我就不 吃你！ 灰太狼能不 能吃着喜羊 羊呢？
1 22011 2
2010
（4、）计算
2
2011
1 2
2010
喜羊羊的学问
第1天: 第2天: 第3天: 第4天: 1 2 2 4 =2×2 =2 3 8 =2 ×2 ×2 =2
4
第5天: 16 = 2 ×2 ×2 ×2 =2
……
19个2
· · · · · ×2 =2 第20天 =2×2×·
19
73000
524288
返回
8分题
8分题
10分题
12分题
返回
（每题4分）
10个（-2）
思考：
1. (－4)3的底数是什么？指数是什么？
幂是多少？ 2. 23和32的意义相同吗？ 3. (－2)3 、－23 、 －(－2)3分别表示什 么意义？
2 4 2 4. ( 3 ) 、- 3 分别表示什么意义？
4
思考：
1. (－4)3的底数是－4，指数是3，幂是－64． 2. 23表示3个2相乘的积，32表示2个3相乘的积．
初中数学 七年级(上册)
2.7
作
有理数的乘方(1)
者：卞同根（甸垛初中）
如果你第一天给我1元，第二天 给我2元，第三天给我4元，以 此类推，一直给20天，我就答 应你！
2.7：有理数的乘方
9的4次幂
做
2 2 底数 指数 4 的_____次幂，其中， 叫做_______,4叫做_______. 3 3
4、 8 0
0的8次方 0 8 的底数是_______,指数是_________,读作___________
2005年10月，我国的科考队测的珠 峰的高度为8844.43米，用科学记数法表 示为：（ 8.84443 103 ）
我国研制出的“曙光3000超级服务器” 排在全世界运算速度最快的500台高性能 计算机的第80位左右，它的峰值计算速度 达到每秒403 200 000 000次。用科学记数 法表示为：___________。 4.032×1011
有理数的混合运算顺序
3 2
应先算乘方,再算乘除; 最后算加减,如 果遇到括号,就先进行括号里的运算.
1、比较下列各数的值。
3 2 （1） ( ) 5
3
和
3 5
2
（2） 3) ， (
2、计算
3
3
3 和
3
（1） (3)3 （2）
3
3
3
（3） 3
练练吧
计算 （1） 100 1
1
(2) 1
【例】用科学记数法表示下列各数：
1000 000， 57 000 000， 123 000 000 000。 解： 000 000=106 1 57 000 000 = 5.7 ×10 000 000 =5.7×107 123 000 000 000= 1.23 ×100 000 000 000 =1.23×1011 【注】用科学记数法表示一个数时，10的指数比 原数的整数位数少1。
有理数的乘方(1)
记作什么呢？
记作an
求几个相同因数的积的运算，叫
做乘方。乘方的结果叫做幂。
a叫做底数，n叫做指数、an读
作a的n次幂或a的n次方
幂 an
指数
底数
指出下列各数读作什么？其中 底数是什么？指数是什么？表 示什么意义?(用乘法表示)
23
32 （-4）2 -24
(- 51)2
记得 哦！！
-(51)2
8
底数为负数和分数要加括号！
例 计算：
（1）（-2）3
（2）（-2）4
（3）（-2）5
(4 ) 43
解：
(1) (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8
(2) (-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)=-32
(3) (-2)5 =(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32
(4) 43 =4*4*4=64
(- 4)2＝（）
5
150＝ （） －1100＝（） （-0.2）＝（）
2
-
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有理数乘方(1)教案
有理数乘方(1)教案11有理数的乘方（1）一、教学目的:1、通过现实背景，使学生理解并掌握有理数乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算，并让学生经历探索乘方的有关规律的过程。
2、通过尝试过程，感受数学的奇妙性，领会重要的数学建模思想、归纳思想、形成数感、符号感，发展抽象思维。
二、教学重点难点：重点：理解有理数乘方的意义和表示，会进行乘方运算。
三、教学设计：（一）、复习旧知，引入新课1、有理数加法和减法法则？两个学生回答2、将一张作业本的纸对折30次，你们猜一猜它有多厚？学生们可讨论、想象，教师在此不作任何解答。
3、我们小学学过相同加数的简便运算用乘法，那么相同因数的乘法的简便运算又可用什么方法呢？（二）、讲授新课：1、通过探索，得出乘方的意义由边长为2的正方形，面积：422，棱长为2的正方体，体积：8222为了简便，将它们分别记作322,2，读作“2的平方”（或2的二次方），“2的立方”（或2的三次方）同样：的四次方”，读作“）记作（22),2()2()2()2(4，）的五次方”，读作“（））记作（（）（）（）（）（52525252525252512aaaaa可以记作什么？读作什么？师提出：aaaa（n个a,n为正整数）呢？生归纳总结：（抽学生回答）可以记作na，读作a的n次方。
板书①一般地，n个相同的因数a相乘，即aaaa（n个a），记作na，读作“a的n次方”。
②定义：求n个相同因数的积的运算，叫作乘方。
乘方的结果叫做幂，在na中，相同的因数a叫底数，（a可取任何有理数），n叫作指数，（n取正整数）。
注意：⑴乘方是一种运算，⑵幂是乘方的结果，na看作是a的n的次方的结果时，也可读作a 的n的次幂。
（没有特别说明：a的n的次方和a的n次幂，两种读法都正确。
）⑶单独的一个数可以看作这个数本身的一次方。
例：3就是13，指数是1的通常省略不写。
2、应用乘方的意义回答下列的问题（1）、32读作________，或________，或_______，幂是______；2)2(的底数是_______，指数是_____，幂是_______；3)21(的底数是_______，指数是_____，幂是_______；431)(读作________，底数是_______，指数是_______。
《有理数的乘方》(一)教案
一次二次8个2个4个《有理数的乘方》（一）教案一、教学目标。
1、知识与技能目标：理解并掌握乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算。
2、过程与方法目标：在生动的情境中让学生获得有理数乘方运算的初步经验；给学生充分观察、分析、概括的机会,让学生以动脑、动手、动口的方式培养自己探索归纳的能力，并从中感受“类比”的研究方法和“化归”的数学思想。
3、情感与态度目标：学生通过观察、分析、概括，总结出有理数乘方运算中符号的确定方法，从而感受探索的乐趣，增强数学学习的信心。
二、教学重难点。
教学重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方的运算；教学难点：熟练掌握负底数幂的乘方运算。
三、教学方法。
在教学活动中，以学生为主体，通过创设合理的问题情境，给学生提供讨论交流的平台，我采用启发诱导式与自主探究式相结合的教学方法。
四、教学过程。
1、创设情景，引入新知首先提出问题一：下面是细胞分类示意图。
思考：第10次分裂会有多少个细胞？2×2×2×2×2×2×2×2×2×2或2×2×…×2 接着提问:对于上面的算式有没有简洁的表示方法呢？学生可能会得到以下的表示方法:2 ×102 ×(10)2(10)(10)2102102102102102……10个2n a 底数乘方的结果叫做幂然后提出问题二:边长为2的正方形面积以及边长为2的正方体体积分别是多少?22222×2=2222×2×2=3S=?V=?然后引导学生进行类比不难得到： 2×2×…×2 =102 紧接着再提出问题:2×2×…×2 = ?a ×a ×a …×a =? 学生不难得到结果如下：2×2×…×2 = 2na ×a ×a …×a =n a由此成功地引出乘方的定义，进入环节二的学习。
2-7 有理数的乘方(教师版)2021-2022学年七年级数学上册讲义(苏科版)
第2章有理数2.7 有理数的乘方课程标准课标解读1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；1、有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．2、有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．知识点01 有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在n a中，a叫做底数， n叫做指数．【微点拨】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．【即学即练1】1．计算()23-的结果是（）A．9-B．9C．6-D．6【答案】B【分析】目标导航知识精讲根据乘方的法则即可求解．【详解】解：（-3）2=9．故选：B．知识点02 乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如n a≥0．【微点拨】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【即学即练2】2．下列运算中错误的是（）A．4(2)16-=B ．328327=C．3(3)27-=-D．104(1)1-=【答案】B【分析】利用乘方的意义对各选项进行判断．【详解】解：A、（-2）4=16，正确，故选项不符合；B、323=83，错误，故选项符合；C、（-3）3=-27，正确，故选项不符合；D、（-1）104=1，正确，故选项不符合；故选：B．考法01 有理数的乘方运算1．求n个相同因数的积的运算叫做乘方。
能力拓展2． 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
2.7有理数的乘方(1)
例题
例1 ：计算 （1） 26 （5 ） 6 2
（6）(－ 4) 3 （7）－4 3
（2 ） 7 3
（3） (－3)4
（4）－34
分别将上面的7个式子读一读！ 比一比： （1）与（5）一样吗？ （3）与（4）一样吗？ （6）与（7）一样吗？
例题
例2 ：计算
1 5 （1）( ) （2） 2
3 （ 3） 5
7
你得出了什么结论? 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数． 你还能得出什么结论吗? -1 -1的偶次幂是___;-1 1 的奇次幂是____.
D
C
D A
(3) 4
14
3的4次方(幂)
2
196
100000 1000000 10000000
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
如:
10 读作 10的平方 ，也读作 10的二次方 8 读作 8的立方 ，也读作 8的三次方
——————————— 3 ——————————— 2 —————————————— ———————————————
。
。
指出下列每个幂的底数和指数：
2 3 3 2 3 , ( 2) , ( ) , 5 , 0.5 5 2 2 4 5 2 8 13 , ( ) , ( 3) , 7 , 0 7
注意
a
n
①底数是相同的因数； ②指数是相同的因数的个数； ③幂是乘方运算的结果，与加法的和、减法的 差、乘法的积、除法的商地位一样． ④乘方运算不具有交换性.即：32和23的区别. ⑤特殊地，指数为1可省略，指数为2也称为平 方，指数为3也称为立方．
七年级数学2.7有理数的乘方知识点解读有理数的乘方
知识点解读：有理数的乘方同学们，一张普通白纸的厚度只有0.01厘米，但是当你把这一张普通的白纸连续对折30次后，你知道有多厚吗？它的厚度竟然超过珠穆朗玛峰！你相信吗？通过对有理数乘方的学习，我们就会知道其中的奥妙了。
知识点一：有理数乘方的意义一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n a a a ⋅⋅⋅个，记作a n ，读作a 的n 次方.求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂。
知识点二：如何进行乘方运算1.乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，是乘法运算的特殊情况。
a n 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算；2.幂的符号法则：负数的奇次幂是负的，负数的偶次幂是正的，即（－a ）2n ＝a 2n ，（－a ）2n+1＝－a 2n+1（n 是正整数），a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数；正数的任何次幂是正的； 0的任何次幂都是0；3.一个数可以看作这个数本身的一次方，如5就是51，通常指数为1时可以省略不写。
4.有理数的混合运算时，应注意的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.例1 计算：（1）（－3）4；（2）(－8)3；（3）(－13)4 分析：根据乘方的意义可直接用乘法来求出各乘方的值。
解：（1）(－3)4＝(－3) (－3) (－3) (－3)＝81.（2）(－8)3＝(－8) (－8) (－8)＝－512.（3）(－13)4＝(－13)(－13)(－13)(－13)＝181. 说明：这里应特别注意“－”号问题，计算时也可以先根据符号法则确定其结果的符号，然后直接计算正数的乘方。
例2 计算(－0.125)12×813的值.分析：直接计算(－0.125)12与813有一定的难度，但观察发现0.125×8＝1，于是提醒我们利用乘方的意义和乘法的运算律就能比较容易地求值了。
七年级数学2.7有理数的乘方知识点解读科学记数法和近似数
知识点解读：科学记数法和近似数要点梳理：科学记数法：一般地，一个数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法．准确数是与实际完全符合的数，如班级的人数，一个单位的车辆数等.近似数是与实际非常接近的数，但与实际数还有差别.如我国有12亿人口，地球半径为6.37×106m 等.注意：1．对于数目很大的数用科学记数法的形式表示起来又科学、又简单。
2．科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。
其中一个因数为a（1≤a＜10），另一个因数为10n （n是比A的整数部分少1的正整数）。
3．用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。
当有了负整数指数幂的时候，小于1的正数也可以用科学记数法表示。
例如：0.00001=10的负5次方，即小于1的正数也可以用科学记数法表示为a乘10 的负n次方的形式，其中a是正整数数位只有一位的正数，n是正整数。
4．在a×10n中，a的范围是1≤a＜10，即可以取1但不能取10．而且在此范围外的数不能作为a．如：1300不能写作0.13×104．5．有效数字：是指从该数字左边第一个非0的数字到该数字末尾的数字个数（有点绕口）。
举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字，1.9×103有两个有效数字（不要被103迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10n看作是一个单位）。
6．精确度：即数字末尾数字的单位。
比如说：9800.8精确到十分位（又叫做小数点后面一位），80万精确到万位。
9×105精确到10万位（总共就9一个数字，10n看作是一个单位，就和多少万是一个概念）。
例1 填空：(1)地球上的海洋面积为36100000千米2，用科学记数法表示为__________．(2)光速约3×108米/秒，用科学记数法表示的数的原数是__________．点拨：(1)用科学记数法写成a×10n，注意a的范围，原数共有8位，所以n＝7．原数有单位，写成科学记数法也要带单位．(2)由a×10n还原，n＝8，所以原数有9位．注意写单位．解：(1)3.61×107千米2. (2)300000000米/秒.注意：1．科学记数法形式与原数互化时，注意a的范围，n的取值．2．转化前带单位的，转化后也要有单位，一定不能漏.例2 分别用科学记数法表示下列各数．(1)100万；(2)10000；(3)44；(4)0.000128-.点拨：(1)1万＝10000，可先把100万写成数字再写成科学记数法的形式．(2)(3)(4)直接写成科学记数法形式即可．解：(1)100万＝1000000＝1×106＝106.(2)10000＝104.(3)44＝4.4×10.(4)40.000128 1.2810--=-⨯说明：1．在a ×10n 中，当a ＝1时，可省略，如：1×105＝105.2．对于44和4．4×101虽说数值相同，但写成4．4×10并非简化．所以科学记数法并非在所有数中都能起到简化作用，数位较少的数，用原数较方便．3．对于10n ，n 为几，则10n 的原数就有几个零．例3 设n 为正整数，则10n 是 ( )A ．10个n 相乘B ．10后面有n 个零C ．a ＝0D ．是一个(n ＋1)位整数点拨：A 错，应是10n 表示n 个10相乘；B 错，10n 共有n 个零，10中已有一个零，故10后面有(n －1)个零；C 当a ＝1时，a ×10n ＝1×10n ＝10n ，可有1．若a ＝0，a ×10n ＝0；D 在10n 中，n 是用原数的整数位数减1得来的，故原数有(n ＋1)位整数．解答：D.例4 判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数：(1)初一(2)班有43名学生，数学期末考试的平均成绩是82.5分；(2)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加；(3)通过计算，直径为10cm 的圆的周长是31.4cm ；(4)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80000万个；(5)1999年我国国民经济增长7.8％．解：(1)43是准确数．因为43是质数，求平均数时不一定除得尽，所以82.5一般是近似数；(2)一万二千是近似数；(3)10是准确数，因为3.14是π的近似值，所以31.4是近似数；(4)80000万是近似数；(5)1999是准确数，7.8％是近似数．说明：1．在近似数的计算中，分清准确数和近似数是很重要的，它是决定我们用近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据．2．产生近似数的主要原因：(1)“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等等；(2)用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；(3)不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数；(4)由于不必要知道准确数而产生近似数．例5 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？(1)38200；(2)0.040；(3)20.05000；(4)4×104分析：对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，如38200，就精确到个位；如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分位；象0.040有三位小数就精确到千分位；像20.05000就精确到十万分位；而4×104=40000，只有一个有效数字4，则精确到万位．有效数字的个数应按照定义计算．解：(1)38200精确到个位，有五个有效数字3、8、2、0、0．(2)0.040精确到千分位(即精确到0.001)有两个有效数字4、0．(3)20.05000精确到十万分位(即精确到0.00001)，有七个有效数字2、0、0、5、0、0、0．(4)4×104精确到万位，有一个有效数字4．说明：(1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零．如20.05000的有效数字是2、0、0、5、0、0、0七个．而20.05的有效数字是2、0、0、5四个．因为20.05000精确到0.00001，而20.05精确到0.01，精确度不一样，有效数字也不同，所以右边的三个0不能随意去掉．(2)对有效数字，如0.040，4左边的两个0不是有效数字，4右边的0是有效数字．(3)近似数40000与4×104有区别，40000表示精确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、0，而4×104表示精确到万位，有1个有效数字4．例6下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？(1)70万；(2)9.03万；(3)1.8亿；(4)6.40×105.分析：因为这四个数都是近似数，所以(1)的有效数字是2个：7、0，0不是个位，而是“万”位；(2)的有效数字是3个：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；(3)的有效数字是2个：1、8，8不是十分位，而是“千万”位；(4)的有效数字是3个：6、4、0，0不是百分位，而是“千”位．解：(1)70万. 精确到万位，有2个有效数字7、0；(2)9.03万.精确到百位，有3个有效数字9、0、3；(3)1.8亿.精确到千万位，有2个有效数字1、8；(4)6.40×105.精确到千位，有3个有效数字6、4、0．说明：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万=90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．2019-2020学年初一下学期期末模拟数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列说法不正确的是（ ）A ．三角形的三条高线交于一点B ．直角三角形有三条高C ．三角形的三条角平分线交于一点D ．三角形的三条中线交于一点 2．25的平方根是（ ）A ．±5B ．5C ．﹣5D ．±253．已知a 、b 均为实数，a ＜b ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A ．3﹣|a|＞3﹣|b|B ．a 2＜b 2C ．a 3+1＜b 3+1D ．22a b -<- 4．小明准备用20元钱购买笔记本和水笔，若笔记本每本3元，水笔每支2元，当他买了3本笔记本后，用剩余的钱购买水笔，则他最多可以购买水笔是（ ）A ．3支B ．4支C ．5支D ．6支5．下列调查活动中适合使用全面调查的是( )A ．某种品牌插座的使用寿命；B ．了解某班同学课外阅读经典情况；C ．全国植树节中栽植树苗的成活率；D ．调查“厉害了，我的国”大型记录电影在线收视率.6．为确保信息安全,信息需加密传输，发送方由明文一密文(加密) ,接收方由密文一明文(解密)，已知加密规则为:明文a b c d ,,,对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++.当接收方收到密文14.9, 23. 28时，则解密得到的明文是( )A ．7，6，1，4B ．6，4，1， 7C ．4，6，1，7D ．1，6,，4， 77．不等式组31230x x -⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．对于二元一次方程27x y ，-=用含x 的方程表示y 为（ ）A ．72x y -=B ．72x y -=C ．7y x =-D ．7y x =-9．某学生某月有零花钱a 元，其支出情况如图所示，那么下列说法不正确的是( )A ．该学生捐赠款为0.6a 元B ．其他消费占10%C ．捐赠款是购书款的2倍D ．捐赠款所对应的圆心角为240° 10．下列算式中错误的是A ．B ．C ．D ．二、填空题题11．若()2320m n -++=，则m+2n 的值是______。
七年级初一数学2.7有理数的乘方学习导航
《有理数的乘方》学习导航有理数的乘方是有理数乘法运算的延续和拓展，是继续学习整式运算、方程、函数等初中数学知识的基础，也是中考命题的热点。
其内容主要包括乘方运算和科学记数法。
一、学习目标：1、知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方；2、知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数幂；3、会用科学记数法表示较大的数； 二、知识点归纳： 1、乘方运算（1）求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂n 个a 相乘a a a a ⨯⨯⨯⨯ 记作n a ，读作a 的n 次方，或a 的n 次幂，在na 中，a 叫底数，n 叫指数，指数n 应写在底数a 的右上角，要比a 稍微小一点，na 叫做幂。
（2）内容解读：①幂的指数与底数不具有交换性，即不能把52写成25，52表示5个2相乘，其结果为32，而25表示2个5相乘，其结果为25，②指数是1表示只有1个因数，即a a =1，所以指数1通常省略不写，反过来，任何一个数也都可以看作是这个数本身的1次方。
③当底数是负数或分数时，一定要用括号把整个底数括起来，例如，3)52(就不能写成523；3)52(表示3个52相乘，其结果应为1258；而523分母为5，而分子为32，其结果应为58；同样4)2(-也不能写成42-，4)2(-表示4个2-相乘，其结果应为16；而42-则表示42的相反数，其结果应为16-④正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数， ⑤一个数的二次方也称为这数的平方，一个数的三次方也称为这个数的立方 （3）链接中考①（05年福州市中考题）32表示（ ）（A ）、222⨯⨯；（B ）、32⨯；（C ）、33⨯；（D ）、222++；②（05年连云港市中考题）与算式222333++的运算结果相等的是（ ） （A ）、33；（B ）、32；（C ）、63；（D ）、83；③（05年四川内江市中考题）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，那么这个过程要经过（ ）(A)、1小时；（B ）、2小时；（C ）、3小时；（D ）、4小时；④（05年福建南安市中考题） ,2433,813,273,93,3354321======那么20053的个位数字是解析：①根据乘方运算的意义，22223⨯⨯=，故应选（A ）②根据幂的运算法则，3222327999333==++=++，故应选（A ）③这种细菌每半小时分裂一次，每分裂一次，都可由一个分裂为两个，那么由1个分裂为16个需经4次，故应选（B ）④通过观察可以发现其规律，底数为3，k 为整数，幂143+k 的个位数字为3，幂243+k 的个位数字为9，幂343+k 的个位数字为7，幂k43的个位数字为1，而145012005+⨯=，所以幂20053的个位数字为32、科学记数法（1）一个大于10的数，可以写成na 10⨯的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记数法称为科学记数法（2）内容解读：将一个大于10的数，用科学记数法表示为na 10⨯时，a 一定要遵循1≤a ＜10的规定，例若将231000写成4101.23⨯时，由于a 为23.1＞10，所以这种表示就不是科学记数法，10的指数n 应为这个数的整数位数减1。
有理数的乘方(1)
课 题：2．7有理数的乘方（1）同步练习一、学以致用：1． 计算： （1）（－121）3 （2）413- （3）－（－3）4（4）()2232-⨯- （5）222233⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ （6）()()4422---2． 已知 ，求 的值。
二、巩固提高：一、选择题1．对于式子（－4）3，正确的说法是 （ ）。
A . －4是底数，3是幂 B . 4是底数，3是幂C . 4是底数，3是指数D . －4是底数，3是指数2．118表示 ( )。
A .11个8相乘B .11乘以8C .8个11相乘D .8个11相加3．一个数的平方一定是 ( )。
A .正数B .负数C .非正数D .非负数4．计算()－12010＋()－12011的值等于 （ ）。
213()02a b ++-=23,,,a a b ab bA .0B .1C .－1D .25．如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是（ ）。
A ．正数B ．负数C ．非负数D ．任何有理数6. 下列各数中数值相等的是 ( )。
A .32与23B .－23与(－2)3C .－32与(－3)2D .[－2×()－3]2与2×(－3)27. a 和b 互为相反数,则下列各组中不互为相反数的是( )。
A .a 3和b 3B .a 2和b 2C .－a 和－bD . a 2与b 2二、填空题1．25读作 _______________，结果是________________。
2．—25读作 _______________ ，结果是________________。
3．（—2）5读作 _______________ ，结果是________________。
4．—（—2）5读作 _______________ ，结果是________________。
5．平方等于64的数是 ，立方等于64的数是 。
6．（－1）101= ；（－1）100= 。
三、计算(1) (－6)2 (2) 212⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) 40.3-（4）334⎛⎫-- ⎪⎝⎭(5) 323- (6) 22512+(7) ()2183-÷- (8) 23233(3)(2)2---+--四.已知A＝a＋a2＋a3＋…＋a2009，若a＝1，则A等于多少？若a＝－1，则A等于多少？b＋22＝0，求()a＋b1013的值。
2.7 有理数的乘方(1)-2021-2022学年七年级数学上册一课一练(苏科版)(解析版)
2.7有理数的乘方（1）1.（﹣5）6表示的意义是（ ）A ．6个﹣5相乘的积B ．﹣5乘以6的积C ．5个﹣6相乘的积D ．6个﹣5相加的和 【答案】A【解析】解：6(5)-表示的意义是6个—5相乘的积，故选A.2.下列各式结果为正数的是（ ）A ．﹣（﹣2）2B ．（﹣2）3C ．﹣|﹣2|D ．﹣（﹣2） 【答案】D【解析】A ：2(2)4--=-，故此选项错误；B ：3(2)8-=-，故此选项错误；C ：|2|2--=-，故此选项错误；D ：(2)2--=，故此选项正确；故答案选D ．3.下列各式中，不相等的是（ ）A ．（﹣5）2和52B ．（﹣5）2和﹣52C ．（﹣5）3和﹣53D ．|﹣5|3和|﹣53|【答案】B【解析】选项A ：22(5)(5)(5)5-=--=选项B ：22(5)(5)(5)525-=--==；25(55)25-=-⨯=-∴22(5)5-≠-选项C ：3(5)(5)(5)(5)125-=---=-；35(555)125-=-⨯⨯=-∴33(5)5-=-选项D ：35555555125-=-⨯-⨯-=⨯⨯=；35(555)125125-=-⨯⨯=-= ∴3355-=-故选B ．4. 一根1m 长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭mB ．712⎛⎫ ⎪⎝⎭mC ．812⎛⎫ ⎪⎝⎭mD ．1212⎛⎫ ⎪⎝⎭m 【答案】C 【解析】解：第一次剪去全长的12，剩下全长的12， 第二次剪去剩下的12，剩下全长的1122⨯＝212， 第三次再剪去剩下的12，剩下全长的212×12＝312， 如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为812×1＝812＝812⎛⎫ ⎪⎝⎭（m ）． 故选：C ．5.如图，数轴的单位长度为1，如果P ，Q 表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，哪一个点表示的数的平方值最大（ ）A ．PB ．RC ．QD ．T【答案】D【解析】∵点P ，Q 表示的数是互为相反数，而PQ ＝5，∴点P 表示的数为−2.5，Q 点表示的数为2.5，∴点R 表示的数为−0.5，T 点表示的数为3.5，∵2.52＝6.25，（−2.5）2＝6.25，（−0.5）2＝0.25，3.52＝12.25，∴表示的数的平方值最大的点是T ．故选D ．6.(－3)4的指数是________，底数是________，它表示的意义是______________，结果是______；－34的指数是________，底数是________，它表示的意义是__________________，结果是________．【答案】4 －3 4个－3相乘 81 4 3 4个3相乘的积的相反数 －81【解析】(－3)4的指数是4，底数是-3，它表示的意义是4个－3相乘，结果是81；－34的指数是4，底数是3，它表示的意义是4个3相乘的积的相反数，结果是-81．7.观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128．通过观察，用你所发现的规律确定22015的个位数字是________．【答案】8【解析】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6四个数字为一个周期依次循环的，∵2015÷4=503…3，所以22015的个位数字与23的个位数字相同是：8，故答案为8．8.如果2(3)|4|0a b -++=，则2019()a b += ．【答案】-1【解析】解：根据题意得，30a -=，40b +=，解得3a =，4b =-，所以，20192019()(34)1a b +=-=-．故答案为：1-．9.计算：(1)(－5)4； (2)－54； (3)(－43)3； (4)－343； (5)－(－25)3. 【答案】(1)625;(2)－625;(3)－6427;(4)－643;(5)8125 【解析】(1)(－5)4=（-5）×（-5）×（-5）×（-5）=625；(2)－54=5×5×5×5=-625；（3)(－43)3=(－43)×(－43)×(－43)=-444333⨯⨯⨯⨯=-6427； (4)－343=-4443⨯⨯=-643； (5)－(－25)3=.812510.某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按101010⨯⨯箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片．()1这批药共有多少箱？()2这批药共有多少片？【答案】()1这批药共有410箱；()2这批药共有810片．【解析】（1）10×10×10×10=104（箱）；答：这批药共有104箱；（2）10×10×10×10×100×100=108（片），答：这批药共有108片．11.(－5)×(－5)×(－5)×(－5)可以表示成( )A ．－54B ．(－5)4C ．－(＋5)4D ．－(－5)4 【答案】B【解析】（-5）×（-5）×（-5）×(－5)是4个（-5）相乘，所以可以写成（-5）4． 故选B ．12.下列各对数中，数值相等的是( )A ．－27与(－2)7B ．－32与(－3)2C ．3×23与32×2D ．－(－3)2与(－2)3 【答案】A【解析】A ．（－2）7=－27 ， 故正确； B ．－32=-9，（－3）2 ="9" ，不相等，故错误；C ．－3×23=-24，－32×2="-18" ，不相等，故错误；D ．―（―3）2=-9，―（―2）3 ="8" ，不相等，故错误； 故选A ．13.若223a =-⨯，()223b =-⨯，()223c =-⨯，则下列大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】解：223a =-⨯=-18；()223b =-⨯=-36；()223c =-⨯=3636>-18>-36，>>∴c a b故选D.14.下列计算正确的是( )A．(－2×3)2＝－36; B．32×(－32)＝0C．－24＝－16; D．23＝32【答案】C【解析】试题解析：A. (－2×3)2＝（-6）2=36≠－36，故该选项错误；B. 32×(－32)＝9×（-9）=-81≠0，故该选项错误；C. －24＝－16，正确；D. 23＝8，32=9，故23≠32，故该选项错误.故选C.15.一个数的平方等于它本身的数是________；一个数的立方等于它本身的数是________．【答案】0、1 －1、0、1【解析】一个数的平方等于它本身的数是0，1；一个数的立方等于它本身的数是-1，0，1．16.看过电视剧《西游记》的同学，一定很喜欢孙悟空，孙悟空的金箍棒能随意伸缩，假设它最短时只有1厘米，第1次变化后变成3厘米，第2次变化后变成9厘米，第3次变化后变成27厘米……照此规律变化下去，到第5次变化后金箍棒的长是________米．【答案】2.43【解析】试题解析：：∵金箍棒只有1厘米，∴每1次变化能变为原来的3倍长，即为3cm；∴第2次变换后是32cm，以此类推，∴第5次变化后应是35cm，∴金箍棒的长为35厘米=2.43米．17.如果a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式a2015+2016b+c2017的值为【答案】0【解析】根据a是最大的负整数，可得a=-1，b是绝对值最小的有理数，可得b=0，c 是倒数等于它本身的自然数，可得c=1，所以代入可得a 2015+2016b+c 2017=-1+0+1=0.故答案为0.18.有一组数：(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，(4，16，64)，…，则第100组的三个数的和为________．【答案】1010100【解析】由①（1，1，1）⇒（1，12，13），②（2，4，8）⇒（2，22，23），③（3，9，27）⇒（3，32，33），④（4，16，64）⇒（4，42，43），…因此第100组的三个数为（100，1002，1003）⇒（100，10000，1000000）；100+10000+1000000=1010100．故第100组的三个数的和1010100．故答案为1010100.19.计算：(1)－53； (2)(－4)4； (3)－(－6)3； (4)33()2-； (5)343()(2)4--⨯-； (6)3223()34⨯-． 【答案】(1)－125(2)256(3)216(4)278-(5)274(6)32【解析】(1)－53=-5×5×5=-125； (2)(－4)4=（-4）×（-4）×（-4）×（-4）=256；(3)－(－6)3=-[(-6) ×(-6) ×(-6)]=216； (4)332⎛⎫- ⎪⎝⎭=32⎛⎫- ⎪⎝⎭×32⎛⎫- ⎪⎝⎭×32⎛⎫- ⎪⎝⎭=-278； (5)()34324⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭=272716=644⨯； (6)232334⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=89316⨯=32.20.如图，将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得到7条折痕，那么对折4次可以得到多少条折痕？如果对折n 次呢？【答案】对折4次后折痕有15条 对折n 次后折痕有(2n －1)条【解析】试题分析：对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n 次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．试题解析：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，…，依此类推，第n 次对折，把纸分成2n 部分，2n -1条折痕.21.如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为12的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为14的正方形分成两个面积为18的长方形，如此进行下去……，试用图形揭示的规律计算：111111248163264+++++11128256++=__________．【答案】8112- 【解析】解:原式＝12551-=256256=8112- 故答案为8112-22.阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝__；（2）归纳、概括：a m•a n＝__；（3）如果x m＝4，x n＝9，运用以上的结论，计算：x m+n＝__．【答案】a7a m+n36【解析】解：（1）根据材料规律可得a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝a7；（2）归纳、概括：a m•a n＝m na a a a⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=a m+n；（3）如果x m＝4，x n＝9，运用以上的结论，计算：x m+n＝x m•x n＝4×9＝36．故答案为：a7，a m+n，36．。
2.7有理数的乘方(1)教案
二、师生合作、探究新知：
探究活动：
将一张报纸对折，再对折......直到无法对折为止，你对折了多少次？请用算式表示你对折出来的报纸层数.
你还能举出类似的实例吗？
三、精讲精练、交流展示：
（一）典型例题：
例.
2.7有理数的乘方（1）
【教学目标】
1.理解乘方的意义，会进行有理数的乘方运算；
2.了解底数、指数和幂的概念，会求有理数的正指数幂.
3.在学习有理数乘方法则的过程中，体会“特殊到一般”的数学思想.
【教学重难点】有理数的乘方运算.
【教学过程】
一、创设情境、引入新课：
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
例2、计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
通过计算我们发现：
正数的任何次幂都是___________；
负数的奇数次幂是________，负数的偶数次幂是__________.
（二）课堂练习：
1.在 中，底数是______，指数是______，它表示____________________．
【修改意见】
（二备内容）
2.计算：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
3.计算：
(1) ；(2) ；(3) ．
4.已知 ，求 的值.
4、课堂小结
5、作业布置
6、板书设计
【教学过程个性化设计】（二备内容）
（1）导入设计：
2.7__有理数的乘方(1)
15
±8 (1)平方得64的数是__________ 4 (2)立方得64的数是___________ 1,0 的平方等于它本身 (3)_________ ±1,0 的立方等于它本身 (4) __________
13
解决问题
珠穆朗玛峰是世 界最高峰，海拔高度 是8844米。
把一张足够大的 厚度为0.1毫米的纸， 连续对折30次的厚度 能超过珠穆朗玛峰吗?
3
n
把下列各式写成乘方的形式：
（1）6×6×6 = 63
2 2.1 （2）2.1×2.1=
（3）（-3）×（-3）×（-3）×（-3）=
1 （ 4） 2
(3) 4
1 ×2
1 ×2
1 ×2
1 ×2
1 5 = ( ) 2
4
（1）73中底数是 7 ，指数是
读作:7的3次方 读作:
3 4
3 . 2 . 4 .
(2) 和 2 ；
4 4
4
负数的乘方要 注意小括号
（ 2） 的意义是 2的4次方； 即4个 2相乘；
2 的意义是2的4次方的相反数。
4
6
• 思考:说说下列各数的意义,它们一样吗?
2 的意义是“2的平方再除以3”。 3
7
2
2 2 的意义是 的平方； 3 3 2 即2个 相乘； 3
初中数学 七年级(上册)
2.7 有理数的乘方(1)
1
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方.
2×2×2×2 记作
2
4
2× 2× 2× · · · · · · 2×2 记作 2n
n个2
2
n个a a× a × … × a × a
幂
有理数的乘方》(1)
• 活动二：复习引导，探究新知。 • 引例：边长为a的正方形的面积可表示为a.a 简记为a²，读作a 的平方（二次方）； 设计意图： • 边长为a 的正方体的体积可表示为 a.a.a， 让学生从熟悉的 平方，立方过渡 简记为a³ ，读作a 的立方（三次方） 到4次方，5次方， • 类推： 6次方至n次方上 来，学会读写乘 a·a·a·a 可以简记为a4， 方运算。其次让 读作a的四次方； 学生经历从特殊 到一般的推导过 a·a·a·a·a.可以简记为a5， 程，通过观察、 读作a的五次方； 联想、猜想发现 6 a·a·a·a·a·a.可以简记为a ， 乘方的意义实际 就是求几个相同 读作a的六次方……。 因数的积，从而 依此类推，如果有n个a相乘又怎样表示呢？ 得到乘方运算的 概念。 概念：求n个相同的因数的积的运算， 叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
创设情境 导入新课 复习引导 探究新知
教 巩固练习 辨析概念 例题精讲 突出重点 课堂训练 巩固概念 过 即学即用 解决问题 程 本课小结 巩固新知 作业设计 强化训练
学
• 四、教学过程设计 • 活动一：创设情境，导入新课。 故事导入：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明 了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了感激 这位聪明的大臣。国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣 说：“就在这个棋盘里放些米粒吧。 第一个格放2粒米，第二格放4粒米， 设计意图： 第三格放8粒米，然后是16粒米，32 通过故事引 入，创设问 粒米……一直到第64格。“你真傻，就要 题情境，引 起学生的好 这么一点米粒？”国王哈哈大笑，大臣说： 奇心，从而 “就怕您的国库里没有这么多大米？”。你 激发学生的 学习兴趣。 们认为国王的国库里有这么多大米吗？
• 2）教学目标： 根据本节内容在教材中的地位和作用，依据新课程标准及 七年级学生的认知结构和心理特征，本课时的教学力求 达到以下目标： ①、通过现实背景理解有理数乘方的意义。 ②、会进行有理数的乘方运算，并会用计算器完成乘方运 算。 ③、理解并运用正数、负数正整数次幂的符号规律。 ④、通过对乘方意义的探究过程，向学生渗透由特殊到一 般、联想、猜想、归纳，建立数学模型的数学思想。 • 重点：理解乘方的意义，会进行有理数的乘方运算 • 难点 练习2：P42页练习1，2，3
七年级数学2.7有理数的乘方知识拓展乘方和幂
乘方和幂民间流传着这样一个古老的问题：路上走着七位老人，每位老人有七根拐棍，每根拐棍有七个树杈，每个树杈上挂着七只口袋， 每只口袋里装着七个布包， 每个布包里装着七只麻雀．请你帮我算一算，共有多少只麻雀？这个题目不难算，共有麻雀7×7×7×7×7×7＝117649(只)． 这是一个求相同因数连乘积的运算，人们嫌相同因数个数多，写起来麻烦，便发明了一种方法，把它写成：7×7×7×7×7×7＝76．这种写法很方便，例如100个7连乘，如果用乘法写，要写100个7，太麻烦了．用这种方法写，只要写成7100就可以了．一般说来，n 个a 连乘，可以写成 n n aa a a a a ⋅⋅⋅⋅=个．像这样求相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂．在数学课上，老师有时把a n 读作“a 的n 次方”；有时又读作“a 的n 次幂”．同样一个符号a n，为什么会有两种不同的读法呢？这是因为乘方和幂，既是两个不同的概念，又是两个有关联的名词．乘方是一种特殊的乘法运算，从运算的角度考虑，就可以把a n 读成a 的n 次方；而幂是乘方运算的结果，那就只能读作a 的n 次幂．有趣的是，符号(a m )n ，还要读成“a 的m 次幂的n 次方”．虽然a n 的读法有两种，但是数学运算是方法，运算的答案是结果，方法和结果终究是两回事，它们是不能混淆的． 在初中数学中，学过的代数方法有加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种．加法运算的结果叫做“和”，减法运算的结果叫做“差”，乘法运算的结果叫做“积”，除法运算的结果叫做“商”，乘方运算的结果叫做“幂”，开方运算的结果叫做“方根”．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，长方形ABCD 的边AB 平行于x 轴，物体甲和物体乙由点()2,0P 同时出发，沿长方形ABCD 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第4次相遇点的坐标是（ ）A ．()1,1-B ．()2,0C ．()1,1-D ．()1,1--【答案】C 【解析】由坐标得到矩形的周长，得到第四次相遇时所走的总路程，求解第四次相遇的时间，再计算甲所走的路程可得相遇点的坐标．【详解】解：(42)212ABCD C =+⨯=（个）单位，两个物体第4次相遇，共走12448⨯=．相遇时间：48(12)16÷+=（秒），甲所走的路程是16116⨯=（个）单位又12ABCD C =（个）单位，16124-=（个）单位，故从P 逆时针走4个单位，即为()1,1-，故选C【点睛】本题考查的平面直角坐标系内点的运动与坐标的变化，掌握运动规律是解题关键．2．单位在植树节派出50名员工植树造林，统计每个人植树的棵树之后，绘制出如图所示的频数分布直方图（图中分组含最低值，不含最高值），则植树7棵及以上的人数占总人数的（ ）A ．40%B ．70%C ．76%D ．96%【答案】C 【解析】由图可得，植树7棵及以上的人数占总人数的5029650-=％ ，故选D. 3．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群 人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有多少两？设银子共有x 两，列出方程为（ ）A ．4879x x +=-B ．4879x x +-=C ．4879x x -=+D ．4879x x -+= 【答案】D【解析】设银子共有x 两，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”及人的数量不变，即可得出关于x 的一元一次方程.【详解】解：设银子共有x 两. 由题意，得4879x x -+= 故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程. 找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.4．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -<【答案】A【解析】两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x+y ＞0，故选A ．5．如果0a b <<，下列不等式中错误的是（ ）A ．0ab >B ．1a b <C ．0a b +<D ．0a b -< 【答案】B【解析】根据a ＜b ＜0，可得ab ＞0，a+b ＜0，b a ＞0，a-b ＜0，从而得出答案． 【详解】A 、ab ＞0，故本选项不符合题意；B 、a b＞1，故本选项符合题意； C 、a+b ＜0，故本选项不符合题意；D 、a-b ＜0，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，是基础知识比较简单．6．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】首先根据题意，直接代入，即可得解.【详解】解：根据题意，得即为故答案为A.【点睛】此题主要考查利用代入法解二元一次方程组，熟练运用即可解题，注意符号的变化.7．如图，在ABC ∆中，90B =∠，//MN AC ，155∠=，则C ∠的度数是（ ）A ．25B ．35C ．45D ．55【答案】B 【解析】由//MN AC 可得∠A=155∠=，再根据直角三角形两内角互余求解即可.【详解】∵//MN AC ，∠A=155∠=，∴∠C=90°-55°=35°.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键. 平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了直角三角形中两个锐角互余.8．下列说法正确的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．在同一平面内，不平行的两条直线一定互相垂直C ．点P(2，﹣3)在第四象限D ．一个数的算术平方根一定是正数【答案】C【解析】直接利用对顶角的性质以及算术平方根和平行线的性质以及坐标与图形的性质分别分析得出答案．【详解】解：A 、相等的角是对顶角，错误；B 、在同一平面内，不平行的两条直线一定相交，故此选项错误；C 、点P （2，﹣3）在第四象限，正确；D 、一个数的算术平方根一定是正数或零，故此选项错误．故选：C ．此题主要考查了坐标与图形的性质、对顶角的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．9．某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成直方图，图中从左至右前四组的百分比分别是4%、12%、40%、28%，第五组的频数是8，下列结论错误的是（）A．该班有50名同学参赛B．第五组的百分比为16%C．成绩在70～80分的人数最多D．80分以上的学生有14名【答案】D【解析】A.8÷（1-4 %-12 %-40 %-28 %）=50（人），故正确；B. 1-4 %-12 %-40 %-28 %=16%，故正确；C.由图可知，成绩在70～80分的人数最多，故正确；D.50×（28 %+16 %）=22（人），故不正确；故选D.10．下列调查中，适宜采用全面调查的是()A．对现代大学生零用钱使用情况的调查B．对某班学生制作校服前身高的调查C．对温州市市民去年阅读量的调查D．对某品牌灯管寿命的调查【答案】B【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A、对现代大学生零用钱使用情况的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误；B、对某班学生制作校服前身高的调查，需要全面调查，故此选项正确；C、对温州市市民去年阅读量的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误；D、对某品牌灯管寿命的调查，有破坏性，用抽样调查，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查和抽样调查的优缺点再结合实际情况去分析．二、填空题题11．在平面直角坐标系中，点P(a，5)关于y轴对称点为Q(3，b)，则a+b=__________．【答案】2【解析】分析：由于两点关于y轴对称，则其纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此即可解答．详解：∵点P(a,5)和点Q(3,b)关于x轴对称，∴b=-3，a=5，-+=，∴a+b=352故答案为：2.点睛：关于x轴、y轴对称的点的坐标.12．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（-y+1，x+2），我们把点P′（-y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点，已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n，若点P1的坐标为（2，0），则点P3的坐标为______．【答案】（-3，3）．【解析】根据坐标变换规律求出P2坐标、再求出P3坐标即可.【详解】∵点P1的坐标为（2，0），∴点P2的坐标为（1，4），∴点P3的坐标为（-3，3），故答案为（-3，3）．【点睛】本题考查坐标的变换规律，理解题意，根据坐标变换的规律计算是解题关键.13．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm，则这个等腰三角形周长为_____cm．【答案】1【解析】首先设腰长为xcm，等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm，可得x﹣6＝4或6﹣x＝4，继而可求得答案．【详解】解：设腰长为xcm，根据题意得：x﹣6＝4或6﹣x＝4，解得：x＝10或x＝2（舍去），∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝1cm．故答案为：1．【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解三角形中线的意义是关键.14．如图，由边长为1的小正方形组成的44⨯网格中，ABC ∆的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，所投的针都随机落在正方形网格中，则落在ABC ∆内部的概率是________.【答案】516 【解析】先求出三角形ABC 的面积，然后用概率公式计算．【详解】解：正方形面积4×4=16，三角形ABC 的面积111442142345222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 则落在△ABC 内部的概率是516故答案为516 ． 【点睛】本题考查了概率，熟练运用概率公式是解题的关键．15．如图，点D 在AOB ∠的平分线OC 上，点E 在OA 上，//ED OB ，50AOB ∠=︒，则ODE ∠的度数是_______．【答案】25︒【解析】利用角平分线与平行线的性质得到ODE AOC BOC ∠=∠=∠即可得到答案．【详解】解：OC 平分AOB ∠，AOC BOC ∠=∠∴//ED OB ，,BOC ODE ∴∠=∠50AOB ∠=︒1252ODE AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=∠=︒． 故答案为：25︒．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质是中考必考的一个考点，掌握此相关联的性质是解题的关键．16．如果x 2+kx+1是一个完全平方式，那么k 的值是___________.【答案】k=±1．【解析】试题分析：这里首末两项是x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 的系数和常数1的积的1倍，故k=±1．解：中间一项为加上或减去x 的系数和常数1的积的1倍，∴k=±1．故答案为k=±1．17．已知关于x 的不等式(2)50m n x m n -+->的解集1x <，则关于x 的不等式mx n >的解集是__________． 【答案】12x < 【解析】根据不等式和解集间的关系可知1x =时，(2)50m n x m n -+-=，化简可得m,n 的关系，由此可解不等式mx n >.【详解】解：由题意得1x =时，(2)50m n x m n -+-=，即250m n m n -+-=，化简得2m n =， 且不等式的解集变号了，说明20m n -<，等量代换可得 40,30,0n n n n -<<<，不等式mx n >即为2nx n >，由不等式基本性质可得12x <. 故答案为：12x <【点睛】 本题考查了不等式，熟练掌握不等式的性质及不等式与解集间的关系是解题的关键.三、解答题18．（1）分解因式23218ax a -．（2）先化简再求值：2(4)(2)(2)(2)x x y x y x y x y -++---，其中2x =-，1y =-．【答案】（1）2(3)(3)a x a x a +-；（2）222x y -，2.【解析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：原式()2229a x a =- 2(3)(3)a x a x a =+-（2）解：原式222222244442x xy x y x xy y x y =-+--+-=-当2x =-，1y =-时，原式422=-=.【点睛】此题考查了因式分解和整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知二元一次方程x+2y=-1．当x 取什么值时，y 的值是大于-1的负数？【答案】当-1＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数【解析】先用x 表示y ，从而得到-1＜-12x-52＜0，然后解不等式组即可． 【详解】∵x+2y=-1．∴y=-12x-52， 而-1＜y ＜0，∴-1＜-12x-52＜0，解得-1＜x ＜-3， ∴当-1＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数．【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤．20．如图，在所给的方格纸图中，完成下列各题：(1)画出△ABC 关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1；(2)直接写出∠A 1＝______°，∠B 1＝______°，∠C 1＝______°，(3)求△ABC 的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）90︒ ，45︒ ，45︒；（3）52. 【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC 关于直线DE 对称的111A B C ∆；（2）依据111A B C ∆为等腰直角三角形，即可得出∠A 1＝90°，∠B 1＝45°，∠C 1＝45°；（3）依据三角形面积计算公式，即可得到△ABC 的面积．【详解】解：（1）如图所示，111A B C ∆即为所求；（2）由图可得，111A B C ∆为等腰直角三角形，∴∠A 1＝90°，∠B 1＝45°，∠C 1＝45°；故答案为：90，45，45；(3)11555.222S ABC AC AB =⋅= 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．21．在ABC ∆中，已知40B ∠=︒，60C ∠=°，AD 平分BAC ∠，点E 为AD 延长线上的点，EF BC ⊥于F ，求DEF ∠的度数.【答案】10°.【解析】利用三角形的外角的性质求出∠ADC，再利用三角形内角和定理求出∠DEF即可．【详解】∵∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=40°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∴∠EDF=∠ADC=80°，∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠DEF=90°−80°=10°.【点睛】此题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，解题关键在于利用外角的性质求出∠ADC.22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=42︒，∠C=70︒，求：∠DAE的度数.【答案】∠DAE=14°【解析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=12∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC．【详解】解：∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=42°，∠C=70°，∴∠BAE=∠EAC=12（180°-∠B-∠C）=12（180°-42°-70°）=34°．在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=70°，∴∠DAC=90°-70°=20°，∠EAD=∠EAC-∠DAC=34°-20°=14°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高．求角的度数时，经常用到隐含在题中的“三角形内角和是180°”这一条件．23．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．【答案】．(1) 三角形三边的长为185cm、365cm、365cm;(2) 能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm【解析】（1）可设出底边xcm，则可表示出腰长，由条件列出方程，求解即可；（2）分腰长为4cm和底边长为4cm两种情况讨论即可．【详解】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，,依题意，得x2x2x18++=，解得18x5 =，∴362x5=，∴三角形三边的长为185cm、365cm、365cm；（2）若腰长为4cm，则底边长为18-4-4=10cm，而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形，若底边长为4cm，则腰长为1842-=7cm，此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．24．计算或求x的值：（1（2）2（x﹣13）2＝18【答案】 (1)324;(2)12108,33x x==- .【解析】根据是实数的性质即可进行求解.【详解】解：（1＝6﹣4+34＝234； （2）2（x ﹣13）2＝18x ﹣13 即x ﹣13＝±3， 解得12108,33x x ==- 【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知实数的性质及运算法则.25．（1）2ab •（﹣14b 3） （2）利用整式乘法公式计算：（m+n ﹣3）（m+n+3） （3）先化简，再求值：（2xy ）2﹣4xy （xy ﹣1）+（8x 2y+4x ）÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝﹣12 【答案】（1）﹣12ab 4；（2）m 2+2mn+n 2﹣9；（3）6xy+1，1． 【解析】（1）原式利用单项式乘以单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（3）原式利用积的乘方运算法则，单项式乘以多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值.【详解】解：（1）原式＝﹣12ab 4； （2）原式＝（m+n ）2﹣9＝m 2+2mn+n 2﹣9；（3）原式＝4x 2y 2﹣4x 2y 2+4xy+2xy+1＝6xy+1，当x ＝﹣2，y ＝﹣12时，原式＝6+1＝1． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：① BC平分∠ABE；② AC∥BE；③ ∠CBE+∠D＝90°；④ ∠DEB＝2∠ABC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可．【详解】∵AF∥CD，∴∠ABC=∠ECB，∠EDB=∠DBF，∠DEB=∠EBA，∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB=∠BCA，∠EBD=∠DBF，∵BC⊥BD，∴∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE+∠EBC=90°，∴∠EDB=∠DBE，∴∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA，∴①BC平分∠ABE，正确；∴∠EBC=∠BCA，∴②AC∥BE，正确；∴③∠CBE+∠D=90°，正确；∵∠DEB=∠EBA=2∠ABC，故④正确；故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，2．下列说法中，正确的是（）A．腰对应相等的两个等腰三角形全等；B．等腰三角形角平分线与中线重合；C．底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等； D．形状相同的两个三角形全等．【答案】C【解析】根据全等三角形和等腰三角形的性质对各项进行判断即可．【详解】A. 腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；B. 等腰三角形顶角的角平分线与底边中线重合，底角的角平分线与腰上的中线不一定重合，错误；C. 底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等，正确；D. 形状相同的两个三角形不一定全等，错误；故答案为：C ．【点睛】本题考查了全等三角形和等腰三角形的问题，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．3．空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）A ．扇形图B ．直方图C ．条形图D ．折线图【答案】A【解析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据； 频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别． 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图表示的是事物的变化情况；【详解】解：根据题意得： 要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选：A ．【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，频数分布直方图各自的特点．掌握它们的特点是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长是2，点A 的坐标是()1,1-，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A B C D A →→→→......路线运动，当运动到2019秒时，点P 的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()1,3C ．()1,3-D ．()1,1-【答案】C【解析】因为正方形的边长为2，动点P 每秒运动2个单位，从点A 出发经过4秒又回到点A ，故动点P 的运动每4秒一循环，用2019除以4得504余3，故点P 第504次运动到点A 后仍需运动3秒，到达点D ，所以D 点坐标即为所求.【详解】解：由题意得正方形的周长248=⨯=，动点P 每秒运动2个单位，从点A 出发又回到点A 经过时间为824÷=秒，201945043÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故点P 第504次运动到点A 后仍需运动3秒，到达点D (1,3)-，所以P 点坐标为(1,3)-【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的确定，找到动点P 运动的规律是解题的关键.5．若a ＜b ，那么下列各式中不正确的是（ ）A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．﹣a ＜﹣bC ．3a ＜3bD ．【答案】B【解析】根据不等式的性质求解即可．【详解】A ．两边都减1，不等号的方向不变，故A 不符合题意；B ．两边都乘﹣1，不等号的方向改变，故B 错误；C ．两边都乘3，不等号的方向不变，故C 不符合题意；D ．两边都除以4，不等号的方向不变，故D 不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．6．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是( )A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【答案】C【解析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】360÷40=9，即这个多边形的边数是9，故选C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．7．如图，//EF AD ，//AD BC ，CE 平分BCF ∠，120DAC ∠=，20ACF ∠=.则FEC ∠的度数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．60【答案】B 【解析】根据AD∥BC，得到∠DAC+∠ACB=180°，从而得到∠ACB=60°，由∠ACF=20°，得∠BCF 的度数，根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠FEC=∠BCE，即可得出∠FEC=∠FCE．【详解】∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB=180°．∵∠DAC=120°，∴∠ACB=60°．∵∠ACF=20°，∴∠BCF=40°．∵CE 平分∠BCF，∴∠BCE=∠ECF=20°．∵EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠FCE=20°．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解答本题的关键．8．下列运算正确的是（ ）A 9=3±B ．（m 2）3=m 5C ．a 2•a 3=a 5D ．（x+y ）2=x 2+y 2【答案】C【解析】A 9，本选项错误；B 、（m 2）3=m 6，本选项错误；C 、a 2•a 3=a 5，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+y 2+2xy ，本选项错误，故选C9．已知不等式2x+a ＜x+5的正整数解有2个，求a 的取值范围.（ ）A ．2＜a ＜3B ．2＜a≤3 C．2≤a≤3 D．2≤a ＜3【答案】B【解析】由2x+a ＜x+5得x ＜5-a ，由题意得2≤5-a <3，解不等式组可得.【详解】由2x+a ＜x+5得x ＜5-a因为，不等式2x+a ＜x+5的正整数解有2个，所以，2≤x <3，所以，2≤5-a <3，所以，2＜a≤3故选：B【点睛】本题考核知识点：不等式组.解题关键点：理解不等式解集的意义.10．下列命题中的真命题．．．是（ ） A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．如果a 3＝b 3，那么a 2＝b 2D ．两个角的两边分别平行，则这两个角相等【答案】C【解析】分析：对每一个命题进行判断，找出其中的假命题即可得出答案．详解：选项A ，相等的角是对顶角是假命题，例如两个直角三角板中的两个直角相等，但这两个直角不是对顶角；选项B ，内错角相等是假命题，只有当两直线平行时，内错角相等；选项C ， 如果a 3＝b 3，那么a 2＝b 2是真命题；选项D ， 两个角的两边分别平行，则这两个角相等是假命题，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补.故选C.点睛：本题主要考查了命题的有关知识，在解题时要能根据真命题和假命题的定义对每一项进行正确判断，找出其中的假命题是本题的关键．二、填空题题11．如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若32FEG ∠=︒，则FGC ∠=______.【答案】64度【解析】先根据图形折叠的性质求出∠C′EF=∠FEG，再根据平行线的性质得出∠EFG 的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠FEG 由∠C′EF 折叠而成，∴∠FEG=∠C′EF，∵AD′∥BC′，∠FEG=32°，∴∠C′EF=∠EFG=32°，∴∠FGC=∠EFG +∠FEG =32°+32°=64°．故答案为：64度．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．12．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿EF 折叠后，D 、C 两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝66°，则∠AED′等于_____度．【答案】1【解析】根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠D′EF ，即可求出答案．【详解】解：∵∠EFB＝66°，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝66°，∴∠D′EF＝∠DEF＝66°，∴∠AED′＝180°−66°−66°＝1°，故答案为：1．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质等，解题时注意：两直线平行，内错角相等13．如图，已知DE BC ,DAB=56∠︒；ACF=115∠︒，则BAC=∠__________°.【答案】59【解析】由平行线的性质可求出∠ABC=DAB=56∠︒，再由三角形外角的性质即可求出∠BAC的值.【详解】∵DE BC,DAB=56∠︒，∴∠ABC=DAB=56∠︒，∴∠BAC=∠ACF-∠ABC=115°-56°=59°.故答案为：59.【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了三角形外角的性质. 14．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1＝_____°．【答案】78【解析】如图，由题意可知∠AOB=138°-60°=78°，∵直线a和直线b相交于点O，∴∠1=∠AOB=78°.故答案为78.15．不等式组62{132x xx->-<的解集为__________．【答案】26x << 【解析】62{132x x x ->-<①②由①得：x>2,由②得：x<1,所以不等式组的解集为2<x<1;故答案是2<x<1．点睛：求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解．16．在ABC ∆中，如果::4:5:9A B C ∠∠∠=，那么ABC ∆按角分类是________三角形.【答案】直角；【解析】根据三角形的内角和等于180︒求出最大的角C ∠，然后作出判断即可． 【详解】解：918090459C ∠=︒⨯=︒++， ∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，求出最大的角的度数是解题的关键．17．若m ，n 为实数，且0，则（m n ）2018的值为_____． 【答案】1【解析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质得出m ，n 的值，进而得出答案．0，∴m+3＝0，n ﹣3＝0，∴m＝﹣3，n ＝3， ∴（m n）2018＝1． 故答案为1．【点睛】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确得出m ，n 的值是解题关键．三、解答题18．某校九年级举行数学竞赛，学校准备购买甲、乙、丙三种笔记本奖励给获奖学生，已知甲种笔记本单价比乙种笔记本单价高10元，丙种笔记本单价是甲种笔记本单价的一半，单价和为80元．（1）甲、乙、丙三种笔记本的单价分别是多少元？（2）学校计划拿出不超过950元的资金购买三种笔记本40本，要求购买丙种笔记本20本，甲种笔记本超过5本，有哪几种购买方案？【答案】 (1) 甲种笔记本的单价为36元，乙种为26元，丙种为18元 ;(2)见解析.【解析】（1）设甲种笔记本的单价为x 元，乙种为（x-10）元，丙种为2x 元，根据“单价和为80元”列出方程并解答；（2）设购买甲种笔记本y 本，根据“不超过950元的资金购买三种笔记本40本，要求购买丙种笔记本20本，甲种笔记本超过5本”列出不等式组并解答．【详解】解：（1）设甲种笔记本的单价为x 元，乙种为（x ﹣10）元，丙种为x 2元，根据题意得 x+（x ﹣10）+x 2=80，解得x=36， 乙种单价为x ﹣10=36﹣10=26元，丙种为x 2=362=18元． 答：甲种笔记本的单价为36元，乙种为26元，丙种为18元．（2）设购买甲种笔记本y 本，由题意得36y 2620y 1820950y>5（）+-+⨯≤⎧⎨⎩解得5＜y≤7， 因为y 是整数，所以y=6或y=7 则乙种笔记本购买14本或13本，所以，方案有2种：方案一：购买甲种笔记本6本，乙种笔记本14本，丙种笔记本20本；方案二：购买甲种笔记本7本，乙种笔记本13本，丙种笔记本20本．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用, 一元一次方程的应用,解题的关键是找到关系式列出式子19．如图，△ABC≌△DBE,点D 在边AC 上,BC 与DE 交于点P ．已知,,,. (1)求∠CBE 的度数．(2)求△CDP 与△BEP 的周长和．。
2.7《有理数的乘方》教案
1.数学抽象：通过有理数乘方的学习，使学生能够从具体实例中抽象出乘方的概念，理解数学表达式的内涵，发展数学抽象能力。
2.逻辑推理：引导学生运用已知的数学性质和定理，推理出有理数乘方的相关性质，培养逻辑思维和推理能力。
3.数学建模：结合实际例题，培养学生运用乘方知识建立数学模型，解决现实问题的能力，增强数学应用意识。
（1）有理数乘方的定义：理解有理数乘方的概念，掌握乘方的表示方法，如a^n（a为有理数，n为整数）。
举例：教师可以通过具体的实例，如2的3次方（2^3），让学生理解乘方的意义，即2自乘3次。
（2）有理数乘方的性质：掌握负数的奇数次幂和偶数次幂的性质，以及非零有理数的零次幂等于1。
举例：教师可引导学生通过计算-2的奇数次幂（如-2^3）和偶数次幂（如-2^4），让学生发现性质并加以总结。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《有理数的乘方》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算相同数的连乘的情况？”比如，计算一块正方体木块的体积，就需要用到2的3次方。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索有理数乘方的奥秘。
在今天《有理数的乘方》这节课的教学过程中，我注意到了几个值得反思的地方。首先，学生们对于乘方的概念理解整体上是顺利的，但仍有部分学生在具体的运算过程中出现了混淆。特别是在处理负数的奇数次幂和偶数次幂时，一些学生还是容易犯错。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更多地将理论讲解与实际例题结合起来，通过具体案例来加深学生对乘方性质的理解。
2.7有理数的乘方
制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握 两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为 一扣）如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．
…
第一次 拉扣后 第二次 拉扣后 第三次 拉扣后
第1次拉扣后面条的根数： 第2次拉扣后面条的根数：
2 2 2
第3次拉扣后面条的根数：
3
解：(1)(-3)4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) =81; (2)(-4)3 = (-4)×(-4)×(-4) =-64;
2 2 2 2 2 2 32 ; (3) 3 3 3 3 3 3 243 3 3 3 3 3 ( 3 3 3 ) 27 (4) . 125 5 5 5 5 5 5 5
1米长 的小棒
第 1次 截去一 半后
第 2次 截去剩 下的一 半后
第 3次 截去剩 下的一 半后
知识归纳
一般地， a ·a ·a ·····a记作an 读作“a的n次方” n个
底数
n a
加法 减法 乘法
指数
幂
除法 乘方
运算
结果
和
差
积
商幂Leabharlann 练一练填空 乘方 2 3
1 3 ( ) 5
底数 3
1 5
指数 2 3
5
辨析思考
5 2 2 (1)比较 与 ，然后计算； 3 3 5
(2)比较(3) 与 3 ，然后计算.
4 4
练一练
1.课本51页 练一练第1题. 2.判断 3 (1) 2 2 3 × (3) 32 (3) (3)
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(
1
) , (
3
1
) , ( 4 ) , ( 1)
3 3
29
3 2 你得出了什么结论? 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数。 你还能得出什么结论吗? -1 -1的偶次幂是___;-1 的奇次幂是____; 1
( 5) ( 1 3 0 .2 5 ( 4)
2
4 3
3
4
2
)
2
初中数学七年级上册
（苏科版）
有理数的乘方(1)
手工拉面是我国的传统面食.制作时,拉面师 傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后,手握两端 用力拉长,然后将长条对折,再拉长,再对折,每次 对折称为一扣,如此反复操作,连续扣六七次后便 成了许多细细的面条.假如一拉扣了6次,你能算 也共有多少钱根面条吗?
做做看!
(1) 一根绳子对折一次并剪开是（
2
)根？
(2) 一根绳子对折二次并剪开是（ 2 2 )根? (3) 一根绳子对折三次并剪开是（ 2 2 2 )根? (4) 一根绳子对折四次并剪开是（ 2 2 2 )根? 2
2 2 2 2 (5) 一根绳子对折二十次并剪开是( 2 )根
3
(
2
)
表示 5 的相反数 表示__________________. 5
2 2
( 5) 与 5 有 区 别 吗 ? 底数为分数和负数的时候应注意加括号.
2 2
6.一个数可以看成是这个数的____次方. 1 如:4是41 .
注:
一个数的二次方，也称这个数的平方. 一个数的三次方，也称这个数的立方.
3 3
2
13 , (
4
2 7
) , ( 3) , 7 , 0
2 5 2
8
例1 ：计算
（1） 26 （4） 62
（2） (－3)4
（3）(－ 4) 3
（5）－34
（6） － 43
分别将上面的7个式子读一读！ 比一比： （1）与（5）一样吗？（3）与（6）一样吗？ （4）与（7）一 底数 )
a的 n 次 方 3. a 读作____________,也可读作
n
___________. a的 n 次 幂
-5的8次方 4.( 5) 读作__________,其中底数是 _____,8叫做______. 指数 -5
8
5. (
2 5
表示3个 5 相乘 ) 表示__________________,
例3.计算：
(1) 3 ( 2 ) , ( 2 ) 3 2
2 3 2
3
(3)( 8 ) ( 2 ) , ( 4 )
3
3
2
4
1. -2的平方是___，-2的立方是___. -8 4
2. 平方得9的数是________. 3和-3
3. 立方得-8的数是_____. -2
4. ________ 的平方等于它本身. 0和1 5. 0 和 1 _______的立方等于它本身.
1 8
1
6.立方等于
的数是____. 2
课堂小结
你有什么收获？
(4) (7)
2
3
3
( 3) ( 3) ( 1 3 ( 1 3 )
2
2
9 9
1 9
0.25
2 2
1 16 1 16
2
( 0.25)
2
)
2
( 6) 36 6
2
36
1 9
0 0
2
结论:(1)互为相反数的两个数的平方相等 (2)任何一个数的平方都不为负数 (3)0的平方等于0
二 十 个 2相 乘
2 2 2
2222
二 十 个 2相 乘
2222222
2 2 2 2 2
十 个 2相 乘
2 2 2 2 2
你还能举出类似的实例吗?
你能找出这些式子的特点吗?
阅读课本P50,填空 求相同因数的积的运算 1.____________________ 叫做乘方. 2.( 幂 )
（1） ( )
2
3 5
1
5
（4）
3
3
5
（2）(
)
3
比一比:
( ) 5 3
3
与
3
3
（3）(
2 3
5
相同吗?
)
4
探究规律
24
计算并观察结果的符号：
1 ，
2 ，（
5
1 3
）， 1 .2
3
2
你得出了什么结论? 正数的任何次幂都是正数
计算并观察结果的符号： 探究规律 1 2 1 4 2 6 ( 1 ) , ( ) , ( 4 ) , ( 1) 3 2
如:
10 读 作 8 读作
3 2
10的平方 ， 也 读 作 10的二次方
———————————
。
——————————————
———————————
8的立方 ， 也 读 作 8的三次方
。
———————————————
指出下列每个幂的底数和指数：
3 , (2) , (
5 3
2 5
) , 5 , 0 .5