(9)北师大课件 组合与杨辉三角
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1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质ppt课件
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
中考复习 杨辉三角ppt课件
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
4
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
中考复习 规律问题之杨辉三角
1
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
得6分
则3k5≥－1 6k≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92. 又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华 1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论： (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展
开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝ 4n.
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
得6分
则3k5≥－1 6k≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92. 又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华 1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论： (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展
开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝ 4n.
杨辉三角优质课件
n 1
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
杨辉三角形及组合数的性质
每行除两端1以外的每一个数 都等于它肩上的两个数的和
2.通项公式法
Cr n
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C
0 6
C16
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
C
r n
中的上下标，类似于点的坐标……
在与不在： 含与不含： 至多与至少：
特殊优先直接法 正难则反间接法
定序
1.倍缩(等概率)法：
N n ! m!
本质上、是不尽相异元素的全排列
不尽相异元素的全排列公式
已知n个元素中，有m1个元素相同，又有m2个元素相同
……又有mk个元素相同(m1+m2+…+mk≤n)
则这n个元素所有的排列数为：
N
n!
0 1
C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 3
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
2.通项公式法
Cr n
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C
0 6
C16
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
C
r n
中的上下标，类似于点的坐标……
在与不在： 含与不含： 至多与至少：
特殊优先直接法 正难则反间接法
定序
1.倍缩(等概率)法：
N n ! m!
本质上、是不尽相异元素的全排列
不尽相异元素的全排列公式
已知n个元素中，有m1个元素相同，又有m2个元素相同
……又有mk个元素相同(m1+m2+…+mk≤n)
则这n个元素所有的排列数为：
N
n!
0 1
C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 3
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C48·(2x)4＝1 120x4.
设第 r＋1 项系数最大，则有
Cr8·2r≥Cr8－1·2r－1 Cr8·2r≥Cr8＋1·2r＋1
⇒5≤r≤6.
∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5 或 r＝6.
问题 2 在(a＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于 偶数项的二项式系数的和，为什么？ 答 在展开式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋C2nan－2b2＋…＋ Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)中，令 a＝1，b＝－1，则得 (1－1)n＝C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)nCnn， 即 0＝(C0n＋C2n＋…)－(C1n＋C3n＋…)， 所以 C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…， 即在(a＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数 项的二项式系数的和．
跟踪训练 1 在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两
个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，
第________行会出现三个相邻的数，其比为 3∶4∶5.
第0行
1
第1行
11
第2行
124641
第5行
1 5 10 10 5 1
解析 根据题意，设所求的行数为 n，则存在正整数 k， 使得连续三项 Ckn－1，Ckn，Ckn＋1，有CCkn－nk 1＝34且CCkn＋kn1＝45. 化简得n－kk＋1＝34，nk＋－1k＝45，联立解得 k＝27，n＝62. 故第 62 行会出现满足条件的三个相邻的数． 答案 62
∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐 增大 的．由对称性知它的后半
部分是逐渐 减小 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数
π C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
Cn－2 1n，Cn＋2 1n
相
等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
[解析] 由题意及杨辉三角的特点可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19) ＝(C22＋C23＋C24＋…＋C29)＋(2＋3＋…＋9) ＝C310＋8×22＋9 ＝164.
求解二项展开式的系数和问题的方法： “赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所 取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项， 令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
探究三 二项展开式系数最值问题 [典例 3] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项． [解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第 r＋1 项系数最大，则有CC8r8r··22rr≥≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ⇒5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
求解二项展开式系数最值问题： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式 系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得．
杨辉三角与二项式系数的性质一ppt课件
最大项与增减性
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk k
1 决定．
k
可知，当
k
n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
你知道这是什么图表吗？
《 杨辉 三角
详
解
九 章
杨
算
辉
法
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
解 : 设f (x) (1 2x)7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1)
a1 a3 a5 a7
倒序相加法
知识对接测查3
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0__1_; 1023
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
杨辉三角形及组合数的性质PPT文档45页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生ห้องสมุดไป่ตู้
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
杨辉三角形及组合数的性质
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
杨辉三角形及组合数的性质
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
高考数学 第一章《计数原理》杨辉三角与二项式系数的性质(二)课件
A. 3 n B. 3n 1 C. 3 n 1 D. 3 n 1
2
2
2．在 x23x25的展开式中x的系数为（
）
A．160
B．240
C．360
D．800
(1x)(1x)2 (1x)16
的展开式中 x 3 项的系数.
4．已知(1x)(1x)2 (1x)n
a0a1xa2x2 anxn,a1a2 an1
证明： Sn 2n Cn1 2n1 Cn2 2n2
C n1 n
2
1
(2
1)n
Sn 3n
Sn 4n 1 3n 4n 1
因为n为偶数，设 n 2k , k N *
Sn 4n 1 3n 4n 1 32k 8k 1 (8 1)k 8k 1
Ck0 8k Ck1 8k 1
0 .0 0 1 ，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴
0 .9 9 8 6 ( 1 0 .0 0 2 ) 6 C 6 0 C 6 1 ( 0 .0 0 2 ) 1 0 .9 9 8
，
一般地当 a 较小时 (1a)n 1na
新疆 王新敞
奎屯
（三）、课堂练习：
1. C n 1 2 C n 2 4 C n 3 2 n 1 C n n等于 （ ）
3 4C 1 6 03 3C 1 7 03 2C 1 8 03 C 1 90
（四）、课后作业：
1.求证：
C n 1 2 C n 2 3 C n 3 n C n n n 2 n 1 ,( n N * )
提示：采用倒序相加法
f(x ) (1 2 x )m (1 4 x )n ,m ,n N *
一、教学目标：1、知识与技能：掌握二项式系数的 四个性质。2、过程与方法：培养观察发现，抽象概 括及分析解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本 图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理 得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二 项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式 系数的性质解题。 三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程
120227高二数学(理)杨辉三角”及二项式系数的性质(1)(
(2)求a100
(1)写出这个三角形数表的第四行, 第五行各数。
第四行：17、18、20、24； 第五行：33、34、36、40、48
(2)求a100 a100=16640源自《考一本》P30 -P32
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
(3)该小弹子落入第 n层第 m 1个竖直 通道的概率与该小弹子 落入第 n层第 m个 竖直通道的概率之和等 于什么？
(2007年湖南)将杨三角中的奇数换成
1, 偶数换成0, 得到如图所示的0−1三角
数表: 第1行
11
第2行
101
第3行 第4行 第5行
1111 10001 110011
…… ……………………………
在交点处向左或向右是 等可能的。若竖直线段
有一条的为第一层 ,有两条 的为第二层 ,..., 以此类推 , 现有一颗小弹子从第一 层的通道里向下运动。
入口 第一层 第二层
第二 通道
第三层 第四层
(1)求该小弹子落入第四层 第二个竖直 通道的概率（从左到右 数）；
(2)猜想落入第 n 1层第 m个竖直通道 的里的概率；
研读教材P32-P33： 1. 什么是杨辉三角？ 2.“杨辉三角”与二项式系数间有怎 样的联系？ 3. 从杨辉三角的数表中, 你可以发现 哪些规律？
探究教材P35-P36： “杨辉三角” 中的一些秘密
(苏锡常联考模拟题 )如图是在竖直平面内
的一个“通道游戏”。 图中竖直线段和斜线段
表示通道 ,并且在交点处相通 ,假设一个小弹子
从上往下数, 第1次全行的数都 为1的是第1行, 第2次全行的数都为1 的是第3行, ……, 第n次全行的数都 为1的是第____行；第61行中1的个数 是____个。
(1)写出这个三角形数表的第四行, 第五行各数。
第四行：17、18、20、24； 第五行：33、34、36、40、48
(2)求a100 a100=16640源自《考一本》P30 -P32
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(3)该小弹子落入第 n层第 m 1个竖直 通道的概率与该小弹子 落入第 n层第 m个 竖直通道的概率之和等 于什么？
(2007年湖南)将杨三角中的奇数换成
1, 偶数换成0, 得到如图所示的0−1三角
数表: 第1行
11
第2行
101
第3行 第4行 第5行
1111 10001 110011
…… ……………………………
在交点处向左或向右是 等可能的。若竖直线段
有一条的为第一层 ,有两条 的为第二层 ,..., 以此类推 , 现有一颗小弹子从第一 层的通道里向下运动。
入口 第一层 第二层
第二 通道
第三层 第四层
(1)求该小弹子落入第四层 第二个竖直 通道的概率（从左到右 数）；
(2)猜想落入第 n 1层第 m个竖直通道 的里的概率；
研读教材P32-P33： 1. 什么是杨辉三角？ 2.“杨辉三角”与二项式系数间有怎 样的联系？ 3. 从杨辉三角的数表中, 你可以发现 哪些规律？
探究教材P35-P36： “杨辉三角” 中的一些秘密
(苏锡常联考模拟题 )如图是在竖直平面内
的一个“通道游戏”。 图中竖直线段和斜线段
表示通道 ,并且在交点处相通 ,假设一个小弹子
从上往下数, 第1次全行的数都 为1的是第1行, 第2次全行的数都为1 的是第3行, ……, 第n次全行的数都 为1的是第____行；第61行中1的个数 是____个。
杨辉三角的研究课
五月初 成熟第一二代兔子各生了一對小兔子
五對小兔子
六月初 成熟三對兔子各生了一對小兔子
八對小兔子
七月初 成熟五對兔子各生了一對小兔子
13對小兔子
八月初 成熟八對兔子各生了一對小兔子
21對小兔子
九月初 成熟13對兔子各生了一對小兔子
34對小兔子
十月初 成熟21對兔子各生了一對小兔子
55對小兔子
11月初 成熟34對兔子各生了一對小兔子
5．教学小结：
这是一个由数字组成的三角形数表，它具有以下特点。
1. 除第一行外，每行两端都是 1，除1以外，每个数都等于它上面 两个数之和；
2. 每一横行都表示(a+b) n展开式中的系数，其中n等于行数减1； 3. 可以求出n＝7、8、9…时二项展开式各项的系数； 4. 第(n+1)行各数之和，即(a+b) n展开式各项系数之和等于2n； 5. 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的系数最大；如果二项式
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都 等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释 锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家 帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）, 他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角 的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学 的成就是非常值得中华民族自豪的．
的幂指数是奇数，中间两项系数相同并且最大； 6. 若n是一个质数，那么第(n+1)行除了两端的1以外的各个数，都
是n的倍数。如3 、5 、7是质数，则第4 、6 、8 行都有这一特性； 7. 斜数第一列的数字全是1； 斜数第二列的数字是1、2、3、4…那
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正好是二项式 ( a + b )n 展开式各项对应的系数，即是
( a+b )n = C0 a n + C1 an-1 b + C2 a n-2 b 2 + n n n
+ Cn1 abn-1 + Cn b n n
n
展开式中各项的系数，令 a = b = 1，则得到
2n = C0 C1 C2 Cn1 Cn n n n n n
15
湖北难题 秘密可问杨辉
对应到莱布三角形中，得“一数踩一串” 的性质：
1 1 1 1 1 1 2 3 12 30 60 105
以下研究式子右边“和的极限”： 按“脚踩两数”的规律，我们在所踩 的两数中“勾一个踢一个”： 勾右边的数，踢左边的数. 对1/2来讲， 勾得的数如实线所示. 踢去的数如虚线所示. 由于“踢去数”的极限为0，所以 “勾得数”的极限是1/2.
由此得x=r+1
对应到莱布三角形中，得加法性质： 1 1 1 r x ( n 1)Cn ( n 1)Cn nCr 1 n
14
湖北难题 秘密可问杨辉
把杨辉三角中的“一数顶一串”的性质：
10=4+3+2+1 对应到莱布三角形中，得“一数踩一串” 的性质：
1 1 1 1 2 3 12 30
4
从集合到组合
组合的加法性质
对于子集集合所形成的组合数 Cr ，我们总可以利用两分 n 法进行“两分”，也就是我们总可以把 r 看作是由两部 Cn 分合成. 办法是，在 n 个元素中，我们可以任意指定某个 元素作为参照物，把 r 分成含这个参照元素的组合和不 Cn 含这个参照元素的组合. 其中， ①含某个元素k的组合，有 Cn1 种； ②不含元素k的组合，有 C
1 1 1 1 1 1 答案： 3 12 30 60三角是个宝 各种关系藏得巧
幂集合到幂数列
谜底多多自己找
17
Cr 1 Cr 1 C0r n n 2 n
Cr 的分解公式，它等于 r +1个组 这实际上是组合数 n 合数的和. 回到集合，组合数的加法性质寄寓在子集计数之中.
6
从组合数到杨辉三角
杨辉三角形的形成
把集合Hn={x1,x2,…,xn -1，xn}的子集组合数按n=0,1,2,…,n-1， n分行排成如下的阵图
C C
r n
n r n
从集合的角度看问题，此式的正确性是显然的. 从n个元素中每次取出 r 个元素作子集，每次剩下的n-r 个元素也自然形成一个子集. 因此， r 有多少个，则 Cn
C
nr n
就有多少个.
事实上，组合的所有性质，都可以用集合的观点加以解 释，这比单纯的看抽象的公式要形象得多、具体得多.
这就是著名的杨辉三角形，组合的许多性质可在这里查到.
7
从组合数到杨辉三角
在杨辉三角形中看幂数列
把杨辉三角形中的每行一数分别相加，得到图右的幂数列.
幂数列的许多性质，寄寓在杨辉三角形之中.
8
从组合数到杨辉三角
在杨辉三角形中看二项式定理
杨辉三角形的第 n 行的n+1个数
C 0 , C1 , C2 ,, Cn1 , Cn n n n n n
组合与杨辉三角
集合当中选子集
序 曲
组合从此有定义
组合公式太抽象
回到集合见具体
1
组合与杨辉三角
目 录
一 从集合到组合 二 从组合数到杨辉三角 三 从数形结合看杨辉三角
四 湖北难题 秘密可问杨辉
2
从集合到组合
组合的概念从集合演出
3
从集合到组合
用集合的概念解释组合性质
组合的第一条性质可用式子表示如下：
n
n
。
12
湖北难题 秘密可问杨辉 莱布三角形是杨辉三角形的“倒数式”，因此莱布三角形可 化为杨辉三角形求解.
把杨辉三角中的“一肩扛两数”倒 装过来，到莱布三角形中，就成了 “一脚踩两数”. 见左图中的连线.
13
湖北难题 秘密可问杨辉
把杨辉三角中的加法性质
r+1 Cr+Cn =Cr+1 n n+1
个如右图所示的分数三角形，称来莱 布尼茨三角形。从莱布尼茨三角形可 以看出
1 1 1 ，其 r x r (n 1)Cn (n 1)Cn nCn1
中x=
令
。
1 1 1 1 1 1 an 3 12 30 60 nC21 (n 1)C2 n n
则
lim a
r n1 r 1
种.
由此得到组合数的加法性质
Cr Cr 1 Cr 1 n n n 1
5
从集合到组合
组合加法性质的推广
我们可以继续利用两分法，将组合的加法性质进行推广
Cr Cr 1 Cr 1 n n n 1 Cr 1 Cr 1 Cr 2 n n 2 n 2
这就是幂数列通项公式 2n 的组合展开式.
9
从数形结合看杨辉三角
组合加法图解
组合加法
C C
r n
r n 1
C
r 1 n 1
反映到图中是 “一肩扛两数”：
10=4+6
6=3+3 3=2+1
2=1+1
1=1+0
表演 一肩扛两数
10
从数形结合看杨辉三角
组合加法推广图解
组合加法的推广
Cr Cr 1 Cr 1 C0r n n n 2 n
反映到图中是： “一肩顶串数”： 10=4+3+2+1 4=3+1 3=2+1 2=1+1 1=1+0 表演 肩上串数： 抓一个 抛一个
11
湖北难题 秘密可问杨辉
鄂卷2006年的难题不是压轴题，而是题号为15题的填空题：
将杨辉三角中的每一个数 Cr 都 n
1 换成分数 r ，就得到一 (n 1)Cn
( a+b )n = C0 a n + C1 an-1 b + C2 a n-2 b 2 + n n n
+ Cn1 abn-1 + Cn b n n
n
展开式中各项的系数，令 a = b = 1，则得到
2n = C0 C1 C2 Cn1 Cn n n n n n
15
湖北难题 秘密可问杨辉
对应到莱布三角形中，得“一数踩一串” 的性质：
1 1 1 1 1 1 2 3 12 30 60 105
以下研究式子右边“和的极限”： 按“脚踩两数”的规律，我们在所踩 的两数中“勾一个踢一个”： 勾右边的数，踢左边的数. 对1/2来讲， 勾得的数如实线所示. 踢去的数如虚线所示. 由于“踢去数”的极限为0，所以 “勾得数”的极限是1/2.
由此得x=r+1
对应到莱布三角形中，得加法性质： 1 1 1 r x ( n 1)Cn ( n 1)Cn nCr 1 n
14
湖北难题 秘密可问杨辉
把杨辉三角中的“一数顶一串”的性质：
10=4+3+2+1 对应到莱布三角形中，得“一数踩一串” 的性质：
1 1 1 1 2 3 12 30
4
从集合到组合
组合的加法性质
对于子集集合所形成的组合数 Cr ，我们总可以利用两分 n 法进行“两分”，也就是我们总可以把 r 看作是由两部 Cn 分合成. 办法是，在 n 个元素中，我们可以任意指定某个 元素作为参照物，把 r 分成含这个参照元素的组合和不 Cn 含这个参照元素的组合. 其中， ①含某个元素k的组合，有 Cn1 种； ②不含元素k的组合，有 C
1 1 1 1 1 1 答案： 3 12 30 60三角是个宝 各种关系藏得巧
幂集合到幂数列
谜底多多自己找
17
Cr 1 Cr 1 C0r n n 2 n
Cr 的分解公式，它等于 r +1个组 这实际上是组合数 n 合数的和. 回到集合，组合数的加法性质寄寓在子集计数之中.
6
从组合数到杨辉三角
杨辉三角形的形成
把集合Hn={x1,x2,…,xn -1，xn}的子集组合数按n=0,1,2,…,n-1， n分行排成如下的阵图
C C
r n
n r n
从集合的角度看问题，此式的正确性是显然的. 从n个元素中每次取出 r 个元素作子集，每次剩下的n-r 个元素也自然形成一个子集. 因此， r 有多少个，则 Cn
C
nr n
就有多少个.
事实上，组合的所有性质，都可以用集合的观点加以解 释，这比单纯的看抽象的公式要形象得多、具体得多.
这就是著名的杨辉三角形，组合的许多性质可在这里查到.
7
从组合数到杨辉三角
在杨辉三角形中看幂数列
把杨辉三角形中的每行一数分别相加，得到图右的幂数列.
幂数列的许多性质，寄寓在杨辉三角形之中.
8
从组合数到杨辉三角
在杨辉三角形中看二项式定理
杨辉三角形的第 n 行的n+1个数
C 0 , C1 , C2 ,, Cn1 , Cn n n n n n
组合与杨辉三角
集合当中选子集
序 曲
组合从此有定义
组合公式太抽象
回到集合见具体
1
组合与杨辉三角
目 录
一 从集合到组合 二 从组合数到杨辉三角 三 从数形结合看杨辉三角
四 湖北难题 秘密可问杨辉
2
从集合到组合
组合的概念从集合演出
3
从集合到组合
用集合的概念解释组合性质
组合的第一条性质可用式子表示如下：
n
n
。
12
湖北难题 秘密可问杨辉 莱布三角形是杨辉三角形的“倒数式”，因此莱布三角形可 化为杨辉三角形求解.
把杨辉三角中的“一肩扛两数”倒 装过来，到莱布三角形中，就成了 “一脚踩两数”. 见左图中的连线.
13
湖北难题 秘密可问杨辉
把杨辉三角中的加法性质
r+1 Cr+Cn =Cr+1 n n+1
个如右图所示的分数三角形，称来莱 布尼茨三角形。从莱布尼茨三角形可 以看出
1 1 1 ，其 r x r (n 1)Cn (n 1)Cn nCn1
中x=
令
。
1 1 1 1 1 1 an 3 12 30 60 nC21 (n 1)C2 n n
则
lim a
r n1 r 1
种.
由此得到组合数的加法性质
Cr Cr 1 Cr 1 n n n 1
5
从集合到组合
组合加法性质的推广
我们可以继续利用两分法，将组合的加法性质进行推广
Cr Cr 1 Cr 1 n n n 1 Cr 1 Cr 1 Cr 2 n n 2 n 2
这就是幂数列通项公式 2n 的组合展开式.
9
从数形结合看杨辉三角
组合加法图解
组合加法
C C
r n
r n 1
C
r 1 n 1
反映到图中是 “一肩扛两数”：
10=4+6
6=3+3 3=2+1
2=1+1
1=1+0
表演 一肩扛两数
10
从数形结合看杨辉三角
组合加法推广图解
组合加法的推广
Cr Cr 1 Cr 1 C0r n n n 2 n
反映到图中是： “一肩顶串数”： 10=4+3+2+1 4=3+1 3=2+1 2=1+1 1=1+0 表演 肩上串数： 抓一个 抛一个
11
湖北难题 秘密可问杨辉
鄂卷2006年的难题不是压轴题，而是题号为15题的填空题：
将杨辉三角中的每一个数 Cr 都 n
1 换成分数 r ，就得到一 (n 1)Cn