(9)北师大课件组合与杨辉三角

合集下载

杨辉三角ppt

第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1
C
1 n
Cn2
… ……C…nr … …
C n2 n1
1
C n1 n
1
2、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除
其第余0行的所有数，则行数1P是质数 ( 素数 )
2
练习3：
3
56
9 10 12
17 18 20 24
33 34 36 40 48
65 66 68 72 8 0 96
则表中各数按从小到大的顺序排列，第100个数是多少？
分析:首先计算第100 个数位于表中第几行, ∵ 1 + 2 + 3 + … + 13 = 91 ∴第100 个数位于第 14 行,第 9 个数其次计算第 14 行第1个数: 3 + 21 + 22 + … +213 = 16385 最后计算第 9 个数: 16385 + 20 +21 +22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27
4

中考复习杨辉三角ppt课件

第1行
1
第2行
234
第3行
98765
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 24 20 19 18 17
…
…
• 则2 018在第__4_5___行．
11
什么规律? 第0行
1
从第3个数起, 任一个数是前2个数字的
第1行
11
和,是斐波那契数列.
第2行
12 1
第3行
1 3 31
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 6
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5Biblioteka Baidu
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有

高中数学《杨辉三角》课件

三角
Leabharlann Baidu辉三角
例1.证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.
解：令a=1,b=-1 即
赋值法
例2.已知(x2 -1)n的展开式的各项二项式系数和是1024,求展开式中含x6的项. 解：
例3.求(1- x)8的展开式中二项式系数的最大项. 解：
目标检测
杨辉三角
杨辉三角
杨辉三角
南宋数学家、数学教育家
数学著作有《日用算法》、《杨辉算法》、《详解九章算法》等
在欧洲，杨辉三角被认为是法国数学家、物理学家帕斯卡首先发现的,称帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右
课后作业
课本P30，第1、2、4题查阅资料，尝试探究：
杨辉三角虽然也叫帕斯卡三角，但是两者有区别吗？给出自己的观点 .

数学课件：1.3.2 杨辉三角

C�� = ��(��-1)1(��×��-22×)×3…×…×(×��(-��-+12)×)(��-��+1),
…, C�� =1.
因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,所以二项
题型一题型二题型三题型四
(2)设在第 n 行出现三个相邻的数,它们的比是 3∶4∶5,并设这
三个数分别为C��-1, C�� , C��+1,
则有
C��-1 C��
=
3 4
,
C�� C��+1
答案:34
12
2.二项式系数的性质从杨辉三角表,可以看出二项式系数具有下面的性质: (1)表中每一行的两端都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.事实上,设表中任一不为 1 的数为C��+1,那么它“肩上”的两个数分别为C��-1和C�� ,由组合数的性质,有C��0�� =1,C�� =1,C��+1 = C��-1 + C�� . (2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等. (3)如果二项式的幂指数 n 是偶数,那么其展开式中间一项��2��+1 的二项式系数最大;如果 n 是奇数,那么其展开式中间两项��+1与

数学探究：杨辉三角的性质与应用课件(备用)

三
一
十
二
十
一
四
六
十
十
五
右
隅
五
十
五
中
藏
者
皆
廉
图2
一
一
六
右
袤
乃
隅
算
左
袤
乃
积
数
知识讲解
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》
《日用算法》和《杨辉算法》．在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典
籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法．杨辉在《详解九章算法》里
指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世
知识讲解
（二）杨辉三角的应用
在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数
列问题等．
例如，开方古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何．
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方．因此，
这个问题相当于解方程 x4＝1 336 336．
……
……
图5
知识讲解
利用杨辉三角，就可以解决以上问题，并获得每层圆球数所构成的数列的
一般求和公式．你可以试一试．
除此之外，你还可以通过查阅相关书籍或上网搜索相关资料，从杨辉三角

杨辉三角上课用PPT课件

从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.
n
※当n是偶数时，中间的一项
的二项式系数C
2 n
取得最大值
；
C C ※当n是奇数时，中间的两项二项式系数 n1 和 2 且同时取得最大值。 n
n 1 相等， 2 n
即T 和 T n1 1
n11
第3页/共32页2
2
思考1
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
例2:(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相
等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大
解的: 项T6 . Cn5 2x 5 , T7 Cn6 2x 6 ,依题意有Cn5 25 C6n 26n 8. 1 2x 8 的展开式中,二项式系数最大的项为T5 C84 2x 4
1120x4.
设第r 1项系数最大,则有
C2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20
C3 6
第四条斜线上：1+4+10=15
C
4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）
上前n个数字的和，等于
第m+1条斜线上的第n个数.
第17页/共32页
C 1＋1＋1＋．．．＋1＝ 1 （第1条斜线）

“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4
f（1）＋f（－1）
＋…＝
2
，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5
f（1）－f（－1）
＋…＝
2
.
类型 3 二项式中关于系数的最值问题(规范解答)
3
[典例 3] 已知( x2＋3x2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．审题指导：求二项式系数最大的项，利用性质知展
59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9，令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，

高考数学第一章《计数原理》杨辉三角与二项式系数的性质(二)课件精品

答案： C171 C141 330
例3、求证：32n2 8n 9(n N*)能被64整除。
32n2 8n 9 9n1 8n 9
9 (8 1)n 8n 9
9 Cn08n 9 Cn18n1
9
Cn2 n
82
9
Cnn18
9
Cnn
80
8n
9
9 Cn08n 9 Cn18n1
的展开式中 x3 项的系数.
4．已知(1 x) (1 x)2 (1 x)n
a0 a1x a2 x2 an xn , a1 a2 an1
2 n
n1
最大
n1
当n为奇数时，Cn2 =Cn2 且最大
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
（二）、应用举例
例式系1.数证的明和在等(a(于a偶b数b)n)项的n 的展二开项式式中系，数奇的数和项。的二项
证明:在(a+b)n的展开式中令a=1，b=-1
(1 1)n Cn0 Cn1 Cn2 (1)r Cnr (1)nCnn
例3.已知 Sn 2n Cn1 2n1 Cn2 2n2
C n1 n
2
1,
(n
N
*
)
求证：当n为偶数时，Sn 4n 1 能被64整除
例3.已知 Sn 2n Cn1 2n1 Cn2 2n2
C n1 n

《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)

成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。十
十天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
波
1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．
那
契
3 数学文化，拓展视野
斐波那契螺旋线
3 数学文化，拓展视野
1
2
一
《竹》张南史一
一
《诗》白居易
竹,竹。披山,连谷。
诗,诗。
一二一
绮美,瑰奇。
出东南,殊草木。一三三一明月夜,落花时。
叶细枝劲,霜停露宿。
能助欢笑,亦伤别离。
一四六四一
3 数学文化，拓展视野
斐波那契数列与“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的《算术之法》中提出：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
斐
C m1 n 1
Cm n 1

杨辉三角ppt PPT课件

求证：(a

b)n

C
a0
n
n

C a b 1 n1 1 n

C a b r nr r n

C
bn n
n
证明：1)当n=1时，左边＝a+b,右边＝a+b 所以等式成立．
2）假设当n=k时等式成立，即
(a
b)k

C k0a k
Ck1ak b1 1

Cr k
a
k

r
br

第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
奖品高于中间区奖品？
“概率三角形”
1
1
1
1
2
2
1
2
1
4
4
4
1
3
3

杨辉三角课件

n
n1 n1
C C 当n是奇数时，中间的两项
2， 2 相等，
n
n
且同时取得最大值。
2 （4）二项式系数之和: n (由赋值法求得 )
2、数学方法：赋值法、归纳猜想
(3)增减性与最值：
n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
T
中间项可表示为
n 1 2
n
C . 其二项式系数为
2
n
n为奇数时，中间两项二项式系数相等且最大；
中间两项可表示为
T n
与T
1
n
; 11
2
2
n1
其二项式系数为
C2 n
,
n1
C2 n
(a + b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
课堂练习:
1、在(x y)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，
8 则n
2、在(x 1)n 展开式中，第3项的二项式系数与第5项
6 x
的二项式系数相等，则n
1 3、在(2x2 1)6展开式中,二项式系数和为 x
64
各项系数之和为
4、在( x 3 )n 展开式中各项系数和与二项式系数和
3x
4. 通项： Tr1 Cnra b nr r (0 r n, r N, n N )
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn

杨辉三角PPT优秀课件

5、在杨辉三角中，若行数P是质数（素数），则P整除第P行中除1外的所有数。你能证明吗？
作业：请思考：杨辉三角还有什性质吗？
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存

09杨辉三角课件

杨辉三角
1 1 2
1 1
问题：问题：从图中 1 3 3 1 1 4 6 4 1 你能得出哪些 1 5 10 10 5 1 性质？性质？ 1 6 15 20 15 6 1 问题：会证明这些性质吗？问题：会证明这些性质吗？
总结提炼1: 总结提炼
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等表中每行两端都是外的每一个数都等
0 2
3 2 1 2 0 1 2C = 10 + = 5 C C4C 3C4C 3 C 33 3
C
1 5
1
2
2
C
0பைடு நூலகம்5
0 4
C c + c =Cc
r1 1 n 4
2r 4n
r 3 n+ 4 1
4 5
C
4 4
C
1 6
C
2 6
2 5
C
3 6
3 5
C
4 6
C
5 6
5 5
不大时，可用该表来求二项式系数。当n不大时，可用该表来求二项式系数
1.3.2杨辉三角和二项式系数性质 1.3.2杨辉三角和二项式系数性质
复习回顾
二项式定理及展开式: 二项式定理及展开式:
0 1 − 2 − n r − n a +b）= Cn an +Cnan 1b1 + Cn an 2b2 +L+Cn an rbr +L+ Cn bn （

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章5二项式定理课件北师大版选修2-3

∵n、r∈N*，∴n 最小为 7.
课堂典例探究
求展开式中的特定项
(1)(x －
1 x
)6
的二项展开式中的常数项为
________．
(2)(2015·北京理，9)在(2＋x)5 的展开式中，x3 的系数为
Hale Waihona Puke Baidu
________．(用数字作答)
(3)( x－31x)10 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数有
(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
()
A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
(2)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________. [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋ax)(1＋5x＋10x2＋10x3＋ 5x4＋x5)，展开式中 x2 的系数为 5a＋10＝5，
() A．0 个
B．2 个
C．4 个
D．6 个
(4)(2015·安徽理， 11) x3＋1x 7 的展开式中 x5 的系数是 ________．(用数字填写答案)
[解析] (1)Tr＋1＝Cr6x6－r·(－1)r·( 1x)r＝(－1)r·Cr6x6－32r，令 6－32r＝0，得 r＝4， ∴常数项为(－1)4C46＝15. (2)利用通项公式，Tr＋1＝Cr525－r·xr，令 r＝3，得出 x3 的系数为 C35·22＝40.

杨辉三角与组合定理

杨辉三角是一种中国古老而神奇的数学图形，以其独特的性质和美

妙的规律而闻名于世。组合定理是数学中一个重要的概念，与杨辉三

角有着密切的关系。本文将对杨辉三角与组合定理进行探讨，介绍其

定义、性质以及应用。

一、杨辉三角的定义与性质

杨辉三角是一个由数字排列成金字塔形状的三角形，其中每个数字

是由它上方两个数字的和给出。三角形的左侧和右侧都为1，其他位置上的数字是由上方两个数字相加得到。例如，第三行的数字为1、2、1，第四行的数字为1、3、3、1，以此类推。

杨辉三角具有许多有趣的性质。其中最为著名的性质是每一行的数

字之和都等于2的n次方，其中n为行数。例如，第三行数字之和为

1+2+1=4，等于2的2次方。这一性质被称为二项式定理。

另一个有趣的性质是杨辉三角中的数字与组合数相关。组合数是组

合学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中取出k个元素的方法数。杨辉三角中的每个数字都可以用来表示一种组合数。例如，第三

行的数字1、2、1分别对应着1个元素取1个、2个元素取1个、以及

2个元素取2个的组合数。

二、组合定理的定义与性质

组合定理是一个用于计算组合数的公式。组合数计算的问题可以简化为利用组合定理求解。组合定理有两种常见的形式，分别是阶乘形式和递推形式。

阶乘形式的组合定理表示为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，其中n!表示n的阶乘。这个公式意味着从n个元素中取出k个元素的方法数等于n的阶乘除以k的阶乘乘以(n-k)的阶乘。

递推形式的组合定理利用了杨辉三角的性质来计算组合数。根据杨辉三角的规律，第n行第k个数字等于第n-1行第k-1个数字与第n-1行第k个数字之和。因此，可以使用递推公式C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)来计算组合数。

杨辉三角形及组合数的性质

⑦分配
均匀分配非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
⑩染色——递推法
分组
1.相同元素的分组：参分配 2.不同元素的非均匀分组：常规法处理 3.不同元素的均匀分组：
①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法
每行除两端1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和
2.通项公式法
Cr n
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C
0 6
C16
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
C
r n
中的上下标，类似于点的坐标……
即得 C0n C1n C2n C3n Cnn 2n
证明②：令a=－b=1,代入