第五节 线性子空间
线性子空间
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
1.1线性空间及其子空间
( A B ) C A ( B C ) ;
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) ,
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) .
2019/2/23 10
1.1.1 集合
定义1.2 x ,) y | x A , y B } .
( 6 ) , Å , x X , 有 ( x ) () x ;
则称 X 是数域 上的线性空间.
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( 5 ) x X ,有 1 x x ;
17
1.1.2 线性空间的定义及例子
上述加法运算和数乘运算统称为线性运算． 当 时, 称X 是为实线性空间; 当 时, 称X 是为复线性空间. 在一个线性空间中, 零元素 0 是惟一的; 任何一个元素 x 的负元素也是惟一的, 记之为x .
集合 A 的基数.
不含任何元素的集合称为空集, 记作 .
规定空集是一切集合的子集 .
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8
1.1.1 集合
集合之间的运算 定义1.1 设 A, B 是两个集合, 则定义它们的
交 A B { x | x A 且 x B } ;
并 A B { x | x A 或 x B } ; 差
是 3 的一个线性子空间, 其中a, b, c 是三个给定实数.
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1.1.3 线性空间的子空间
Ax 0 的解的集合
T n { x ( ,,,) | A x 0 } 1 2 n
例1.5 设 A mn, b m, b 0, 则齐次线性方程组
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1.1.2 线性空间的定义及例子
线性代数中的向量空间与子空间
线性代数中的向量空间与子空间线性代数是现代数学的基础学科之一，它研究的是向量、向量空间和线性变换等概念及其性质。
在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是由一组向量和与标量乘法以及向量加法相容的运算所构成的数学结构。
而子空间则是向量空间的一个重要的概念，它指的是一个向量空间中的一个子集，同时也是一个向量空间。
1. 向量空间的定义向量空间是由一组向量和两种运算所构成的数学结构。
具体地说，向量空间必须满足以下几个条件：- 向量空间中的任意两个向量的和仍然属于该向量空间。
- 向量空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该向量空间。
- 向量空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
2. 子空间的定义与性质子空间是一个向量空间中的一个子集，并且也是一个向量空间。
具体地说，子空间必须满足以下几个条件：- 子空间中的任意两个向量的和仍然属于该子空间。
- 子空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该子空间。
- 子空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
子空间的几个重要性质包括：- 子空间的任意非空交集仍然是一个子空间。
- 子空间的维数不超过其所在的向量空间的维数。
- 子空间与原向量空间之间存在一一对应关系。
3. 子空间的示例在线性代数中，有许多常见的子空间存在，包括：- 零空间：由使得线性变换为零向量的所有向量组成。
- 列空间：由所有线性变换的列向量所张成的空间。
- 行空间：由所有线性变换的行向量所张成的空间。
- 切空间：由曲线或曲面上的切向量所张成的空间。
4. 向量空间与子空间的重要性向量空间和子空间在数学和应用中具有重要的地位。
它们不仅可以用来描述线性系统的性质，还可以应用于物理学、计算机科学等领域中。
通过对向量空间和子空间的研究，我们可以更好地理解线性变换和矩阵运算的本质，进而应用于解决实际问题。
5. 总结线性代数中的向量空间和子空间是重要的数学概念。
向量空间是一个由向量和两种运算构成的数学结构，而子空间则是一个向量空间的子集，同时也是一个向量空间。
线性子空间——精选推荐
§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。
例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。
从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。
二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。
分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。
①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。
对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。
三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。
2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。
其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。
例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。
例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。
例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。
例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。
§5 线性子空间
由它的一组基生成. 即Pn 由它的一组基生成 类似地， 类似地，还有
事实上， 事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 ,L , x n−1 ) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 a0 , a1 ,L , an−1 ∈ P
一、线性子空间 二、生成子空间
一、线性子间
1、线性子空间的定义
是数域P上的线性空间 设V是数域 上的线性空间，集合 W ⊆ V (W ≠ ∅ ) 是数域 上的线性空间， 对于V中的两种运算也构成数域 若W对于 中的两种运算也构成数域 上的线性空间 对于 中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 的一个线性子空间 子空间． 则称 为 的一个线性子空间，简称为子空间 线性子空间也是数域P上一线性空间 上一线性空间， 注：① 线性子空间也是数域 上一线性空间，它也 有基与维数的概念. 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数. 维数.
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 若为 的子空间，求出其维数与一组基. 的子空间， 不是P 的子空间. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是 n的子空间. 事实上， 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以， 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,L , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,L , n − 1}
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
矩阵论 线性子空间
例4 n元齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 s2 2 sn n s1 1
( ＊)
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1 , 2 ,, r 的一切线性 组合所成集合.
定义：V为数域P上的线性空间，
则子空间
二、一类重要的子空间 ——生成子空 间 , ,, V
1 2 r
，
W {k11 k2 2 kr r ki P , i 1,2, , r }
i
有 a1 1 a2 2 an n
故有 P L( 1 , 2 , , n )
n
即 Pn 由它的一组基生成. 类似地，还有
事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.
P[ x ]n L(1, x , x 2 , , x n1 ) a0 a1 x an1 x n1 a0 , a1 , , an1 P
n1 (1,0,,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x1 , x2 ,, xn ), ( y1 , y2 ,, yn )
则 ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn ) ( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) 1 1 2
第五节 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
第五节线性子空间
2 生成子空间的性质
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价； 2） L(1, 2 ,, r ) 的维数等于向量组1,2 ,, r 的秩；
定理 4 设W 是 n 维线性空间V 的 m 维子空间，1, 2 ,, m 是W 的一组 基，那么这组基必定可扩充为整个空间的基，即在V 中必定可以找到 n m 个 向量 m1, m2 ,, n ，使得1, 2 ,, m ， m1, m2 ,, n 是V 的一组基。
例 7 设W {A | A P nn ,且 | A | 0} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
二、子空间的构造 1 生成子空间
r
L(1, 2 ,, r ) { ki i | ki P, i 1,2,, r} i 1
例 8 在 P[x] 中，由1, x, x2 ,, xn1 生成的子空间为 L(1, x, x 2 ,, x n1 ) P[x]n 。
n
例 4 设W {(a1, a2 ,, an ) | ai 0, ai P} ，问W 是否是 Pn 的子空 i 1
间？ 例 5 设 A Pmn ， X (x1, x2 ,, xn ) ，令W {X | AX 0}，问W 是
否是 Pn 的子空间？
例 6 设W {A | A P nn ,且A A} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
3）当
A
0
0
2 0
0
时，求
C(
A)
的维数和一组基。
线性子空间知识点
线性子空间知识点线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等等。
其中，线性子空间是线性代数中的一个重要概念，本文将逐步介绍线性子空间的相关知识点。
1.什么是线性子空间？在了解线性子空间之前，我们首先要明白什么是向量空间。
向量空间是一个满足一系列特定条件的集合，其中包含了一些特殊的向量，可以进行向量的加法和标量乘法运算。
而线性子空间就是向量空间中的一个子集，满足向量加法和标量乘法运算的封闭性。
2.线性子空间的特点线性子空间具有以下几个特点：•包含零向量：线性子空间必须包含零向量，即加法单位元素。
•封闭性：线性子空间对于向量的加法和标量乘法运算都是封闭的，即对于任意属于线性子空间的向量，进行这两种运算后得到的向量仍然属于该线性子空间。
•相对于向量空间的操作：线性子空间是向量空间的一个子集，因此线性子空间遵循向量空间的所有运算规则和性质。
3.线性子空间的例子现在我们通过几个具体的例子来更好地理解线性子空间的概念。
例子1：考虑三维空间中的一个平面P，该平面上的所有向量构成了一个线性子空间。
这个线性子空间满足加法和标量乘法运算的封闭性，包含零向量，并且相对于三维空间的操作遵循向量加法和标量乘法的规则。
例子2：在n维空间中，所有分量为零的向量构成了一个线性子空间，也就是零子空间。
这个线性子空间是向量空间的一个子集，满足线性子空间的所有特点。
4.线性子空间的基与维数对于一个线性子空间来说，它可以由一个或多个向量张成。
我们将这些向量称为线性子空间的基。
一个线性子空间的基向量要满足以下两个条件：•线性无关：基向量之间不能通过线性组合得到零向量。
•极大线性无关组：如果再添加任意一个向量进来，就会导致线性相关。
而线性子空间的维数则是由基向量的个数决定的。
维数是线性子空间的一个重要概念，可以用来描述线性子空间的大小和维度。
5.线性子空间的运算线性子空间之间可以进行加法和标量乘法运算。
线性子空间
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
第六章 线性空间 §5 线性子空间
有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
第六章 线性空间 §5 线性子空间
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即Pn 由它的一组基生成.
第六章 线性空间 §5 线性子空间
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0
线性空间与子空间的性质与运算
线性空间与子空间的性质与运算线性空间（也称为向量空间）是数学中重要的概念之一，它是一种满足特定性质的集合。
任何一个线性空间都有一些性质和运算规则，而子空间则是线性空间的一个重要概念。
一、线性空间的性质1. 加法封闭性：对于线性空间V中的任意两个向量x和y，它们的和x+y也属于V。
2. 数乘封闭性：对于线性空间V中的任意向量x和数k，它们的乘积kx也属于V。
3. 加法交换律：对于线性空间V中的任意两个向量x和y，它们的和x+y与y+x相等。
4. 加法结合律：对于线性空间V中的任意三个向量x、y和z，它们的和满足(x+y)+z = x+(y+z)。
5. 零元素存在性：线性空间V中存在一个特殊的元素0，称为零向量，它满足对于任意向量x，x+0 = x。
6. 负元素存在性：对于线性空间V中的任意向量x，存在一个特殊的元素-x，使得x+(-x) = 0。
7. 乘法结合律：对于线性空间V中的任意数k1和k2以及任意向量x，满足(k1k2)x = k1(k2x)。
8. 分配律：对于线性空间V中的任意数k以及向量x和y，满足k(x+y) = kx+ky。
二、子空间的性质与运算子空间是线性空间的一个重要概念，它是指一个非空集合H，若H也是线性空间，且包含于另一线性空间V中，则称H为V的子空间。
1. 零子空间：零向量所在的所有子空间都称为零子空间，也记作{0}。
2. 平面子空间：当子空间H包含线性空间V中两个或多个线性无关的向量时，它们所张成的平面子空间称为V的平面子空间。
3. 线子空间：当子空间H中的向量都可以用一个非零向量来表示时，该子空间称为线子空间。
子空间的运算包括加法和数乘运算。
对于一个子空间H，对于任意两个向量x和y，以及任意数k，都有以下性质：1. 加法封闭性：如果向量x和y属于子空间H，则它们的和x+y也属于H。
2. 数乘封闭性：如果向量x属于子空间H，数k属于实数域R或复数域C，则kx也属于H。
注意，几个子空间的交集仍然是子空间，而子空间的并集不一定是子空间。
子空间的直和
§6.7 子空间旳直和
三、多种子空间旳直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V旳子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 旳分解式
i 1
1 2.
§6.7 子空间旳直和
注意 余子空间 一般不是唯一旳(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ),
则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换
§6.7 子空间旳直和
一、直和旳定义 二、直和旳鉴定 三、多种子空间旳直和
§6.7 子空间旳直和
引入
设V1,V2 为线性空间V旳两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有两种情形：
0.
故 V1 V2 0.
§6.7 子空间旳直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 0
4、(定理10) 设U是线性空间V旳一种子空间， 则必存在一种子空间W，使 V U W .称这么旳W 为U旳一种余子空间（complementary subspace）.
泛函分析读书笔记(上)
第一部分线性代数第一章 线性空间第一节 线性空间一、基本概念1、 定义：数域P ＝复数子集＋四则运算封闭2、 定义：线性空间=•+），；；（P V 数域P 上的线性空间V ＝线性空间V ⑴、解释：=V 非空集合⑵、解释：V V V →⨯=+【加法，加法保持封闭】 ⑶、解释：V V P →⨯=•【数乘，数乘保持封闭】 ⑷、解释：=•+），（线性运算【满足8条规则】3、 8条规则加法规则：⑴、交换律：αββα+=+⑵、结合律：)()(γβαγβα++=++⑶、零元素：V ∈∃0，对于V ∈∀α，都有αα=+0⑷、负元素：对于V ∈∀α，V ∈∃β，使得0=+βα【记为：α-】数乘规则：⑸、αα=1⑹、αα)()(kl l k =加法数乘规则：⑺、βαβαk k k +=+)(⑻、αααl k l k +=+)(二、基本性质1、 性质⑴、性质：零元素唯一⑵、证明：假设：V ∈∃10，对于V ∈∀α，都有αα=+10 V ∈∃20，对于V ∈∀α，都有αα=+20 对于V ∈∀α，都有⇒=+αα10特别：212000=+对于V ∈∀α，都有⇒=+αα20特别：121000=+12120000+=+【交换律】2100=⇒ ⑶、性质：负元素唯一2、 性质⑴、性质：ααα-=-==)1(0000，，k⑵、证明：ααααααα==+=+=+1)10(100【规则5＋规则8】 )()(]0[0αααααααα-+=-++⇒=+⇒αααααααα000)]([0)(]0[=+=-++=-++⇒【结合律】0)(=-+αα【负元素的定义】00=⇒α第二节 线性无关一、基本概念1、 概念：线性组合（线性表出）如果：r r k k k αααα+++=Λ2211则称：向量α是向量组r ααα，，，Λ21的一个线性组合 或称：向量α可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出2、 概念：线性相关如果：存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性相关3、 概念：线性无关如果：不存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 4、 关键：00212211====⇒=+++r r r k k k k k k ΛΛααα二、基本性质1、 性质⑴、性质：向量组r ααα，，，Λ21线性相关 ⇔其中某一向量可由其余向量线性表出 ⑵、证明：必要性：r r r r k kk k k k k αααααα)()(0121212211-++-=⇒=+++ΛΛ 充分性：0)()(221221=-++-+⇒++=r r r r k k k k ααααααΛΛ2、 性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 并且：可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出 则有：s r ≤⑵、证明：∑∑===⇒=⇒+++=sj j ji i sj j j s s t tt t t 111112211111βαβαβββαΛ∑∑∑∑∑=======⇒=+++s j ri j ji i ri sj j jiiri iir r t k tk k k k k 111112211][][0ββααααΛ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=+++=+++=+++⇒000221122222111122111sr r s s rr r r t k t k t k t k t k t k t k t k t k ΛΛΛΛs 个方程，r 个未知数⇒如果s r >，则方程存在非零解r k k k ，，，Λ21 ⇒向量组r ααα，，，Λ21线性相关⇒矛盾3、 等价⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量⑶、证明：假设：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 向量组s βββ，，，Λ21线性无关4、 性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 并且：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关 那么：β可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出，并且表法唯一 ⑵、证明：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关 ⇒存在不全为0的P k k k k r ∈β，，，，Λ21 使得：02211=++++βαααβk k k k r r Λr r k kk k k k k αααβββββ)()()(02221-++-+-=⇒≠⇒Λ 假设：r r k k k αααβ+++=Λ2211r r l l l αααβ+++=Λ22110)()()(222111=-++-+-⇒r r r l k l k l k αααΛ⇒===⇒r r l k l k l k ，，，Λ2211表法唯一第三节 维数、基和坐标1、 定义：n 维线性空间V ：恰好存在n 个线性无关的向量2、 定义：n 维线性空间V 的一组基：n 个线性无关的向量n εεε，，，Λ213、定义：坐标：对于V ∈∀α，向量组n εεε，，，Λ21线性无关 向量组n a εεε，，，，Λ21线性相关【否则1+n 维】 n n a a a εεεα+++=⇒Λ2211⇒坐标)(21n a a a ，，，Λ=4、 定理⑴、定理：如果：向量组n ααα，，，Λ21线性无关 并且：线性空间V 中的任意向量，均可由它们线性表出那么：V 的维数n =，并且n ααα，，，Λ21是V 的一组基 ⑵、证明：假设：V 的维数1+=n⇒121+n βββ，，，Λ线性无关，可由向量组n ααα，，，Λ21线性表出 ⇒n n ≤+1⇒矛盾第四节 极大线性无关组1、 定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组 如果：该部分组线性无关并且：添加任一向量均线性相关2、 性质⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价⑵、证明：假设：向量组r k αααα，，，，，ΛΛ21= 极大线性无关组k ααα，，，Λ21= k ααα，，，Λ21⇒可由r k αααα，，，，，ΛΛ21线性表出 对于}{21r k ααααβ，，，，，ΛΛ∈∀ βααα，，，，k Λ21⇒线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】 β⇒可由k ααα，，，Λ21线性表出3、 性质⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量 ⑵、证明：向量组与极大线性无关组1等价 向量组与极大线性无关组2等价⇒极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】第五节 线性子空间1、 定义：），；；（•+P W 是线性空间），；；（•+P V 的一个子空间 ＝W 是数域P 上的线性空间V 的一个子空间 ＝W 是线性空间V 的一个子空间如果：⑴、V W =的非空子集⑵、两种运算封闭：W W W ∈+∈∀∈∀βαβα，， W k W P k ∈∈∀∈∀αα，，2、 )(21r L ααα，，，Λ ⑴、性质：如果：∈r ααα，，，Λ21线性空间V 那么：所有可能的线性组合r r k k k ααα+++Λ2211构成V 的一个子空间称为：由r ααα，，，Λ21生成的子空间 记为：)(21r L ααα，，，Λ ⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭3、 性质⑴、性质：)()(2121s r L L βββααα，，，，，，ΛΛ= ⇔向量组r ααα，，，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价⑵、证明：①：充分性：∑==+++=⇒∈∀ri ii r r r k k k k L 1221121)(αααααααααΛΛ，，，∑∑===⇒=+++=sj j ji i s j j j s s i t t t t t 1111221111βαββββαΛ∑∑∑∑∑========⇒s j ri j ji i r i sj j jiir i ii t k tk k 11111][][ββαα)()()(212121s r s L L L βββαααβββα，，，，，，，，，ΛΛΛ⊂⇒∈⇒ ②：必要性：)()(2121s i r i L L βββααααα，，，，，，ΛΛ∈⇒∈ i α⇒可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出4、 性质⑴、性质：如果：W 是n 维线性空间V 的一个m 维子空间并且：m ααα，，，Λ21是W 的一组基 那么：m ααα，，，Λ21可以扩充为线性空间V 的一组基 ⑵、证明：V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关 反证法：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒线性空间V 的维数⇒=m 矛盾第六节 子空间的交与和1、 定义：}|{22112121V V V V ∈∈+=+αααα，2、 性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间 那么：21V V I 也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：=21V V I 非空子集【至少都包含零元素】 2121V V V V ∈∈⇒∈∀ααα，I 2121V V V V ∈∈⇒∈∀βββ，I2121V V V V I ∈+⇒∈+∈+⇒βαβαβα，3、 性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间 那么：21V V +也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，， 22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀ββββββ，， 222111V V ∈+∈+⇒βαβα，2122112121)()()()(V V +∈+++=+++=+⇒βαβαββααβα4、 维数公式⑴、公式：维+1V 维=2V 维+)(21V V I 维)(21V V +⑵、证明：假设：m αα，，Λ1是21V V I 的一组基 111n m ββαα，，，，，ΛΛ是1V 的一组基 211n m γγαα，，，，，ΛΛ是2V 的一组基证明：21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ是21V V +的一组基①、线性无关：022********=++++++++n n n n m m q q p p k k γγββααΛΛΛ2211111111n n n n m m q q p p k k γγββααα---=+++++=ΛΛΛm m l l V V V V αααααα++=⇒∈⇒∈-∈⇒ΛI 112121， m m n n m m l l p p k k ααββαα++=+++++ΛΛΛ11111111 01111====⇒n m m p p l k l k ，，m m n n l l q q ααγγ++=++ΛΛ11221100211=====⇒n m q q l l ，Λ②、21V V +∈∀α，均可由21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ线性表出第七节 子空间的直和1、 直和⑴、定义：=+21V V 直和⇔任何元素的分解式唯一⑵、分析：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，唯一2、 性质⑴、性质：=+21V V 直和⇔零元素的分解式唯一⑵、证明：充分性：假设：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈αααααα，，221121V V ∈∈+=ββββα，，)()()()(022112121βαβαββαα-+-=+-+=⇒ 2211βαβα==⇒，3、 性质⑴、性质：=+21V V 直和}0{21=⇔V V I⑵、证明：充分性：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，2211210V V ∈∈+=⇒αααα，，1221221121V V V V ∈∈∈∈⇒-=⇒αααααα，，， 021212211==⇒∈∈⇒ααααV V V V I I ， 必要性：212121V V V V V V ∈-∈⇒∈∈⇒∈∀ααααα，，I 00)(=⇒=-+ααα4、 性质⑴、引理：⇔=}0{V 维0=V⑵、证明：必要性：向量0线性相关⇒不存在线性相关的向量组 充分性：假设：线性空间V 至少包括一个非零向量α ⇒≠⇒0α向量α线性无关α⇒可以扩充为线性空间V 的一组基⇒维1≥V ⇒矛盾⑶、性质：=+21V V 直和⇔维+1V 维=2V 维)(21V V +第八节 线性空间的同构1、 定义：同构如果：=W V ，线性空间并且：存在W V →的双射σ【双射＝一一映射＝满射＋单射】并且：σ满足两条性质：①)()()(βσασβασ+=+②)()(ασασk k = 则称：V 和W 同构，=σ同构映射2、 基本性质⑴、性质：数域P 上的n 维线性空间V 与n P 同构⑵、证明：①、=•+)(，，；P P n线性空间【两种运算封闭＋满足8条性质】 n n n n P b b b P a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα )(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα n n P a a a P k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ②、构造nP V →的双射σ【向量到坐标的双射】假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 )()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα ③、σ满足两条性质)()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα )()(212211n n n b b b b b b V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀βσεεεββn n n b a b a b a εεεβα)()()(222111+++++=+⇒Λ)()()()(2211βσασβασ+=++++=+⇒n n b a b a b a ，，，Λ3、 性质群1⑴、性质：)()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ΛΛ ⑵、证明：σ的两条性质⑶、性质：r ααα，，，Λ21线性无关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性无关 ⑷、证明：必要性：假设：0)()()(2211=+++r r k k k ασασασΛ0)(2211=+++⇒r r k k k ααασΛ由于0)0(=σ，并且=σ双射00212211====⇒=+++⇒r r r k k k k k k ΛΛααα⑸、性质：r ααα，，，Λ21线性相关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性相关 ⑹、证明：反证法⑺、性质：同构的线性空间同维⑻、证明：假设：线性空间V 和W 同构，并且维n V =)(，维m W =)(维⇒=n V )(存在n 个线性无关的向量组V n ∈ααα，，，Λ21 ⇒存在n 个线性无关的向量组W n ∈)()()(21ασασασ，，，Λ ⇒维n m W ≥=)( 同理：n m n m =⇒≤4、 性质群2⑴、性质：如果：1V 是线性空间V 的一个子空间那么：}|)({)(11V V ∈=αασσ是线性空间)(V σ的子空间 ⑵、证明：①、=1V 非空子集=⇒)(1V σ非空子集②、两种运算封闭假设：111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-αασασασα【双射】 111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-ββσβσβσβ111*)(*)(V ∈+⇒--βσασ【运算封闭】)(*)](*)([111V σβσασσ∈+⇒--【定义】【σ的两条性质】***)]([*)]([*)](*)([1111βαβσσασσβσασσ+=+=+----)(**1V σβα∈+⇒⑶、性质：=-στσ、1同构映射 ⑷、证明：①、=-1σ双射②、1-σ的两条性质)]([)]([)]([111βσσασσβασσβαβα---+=+⇒+=+ )]()([)]([111βσασσβασσ---+=+⇒【σ的两条性质】)()()(111βσασβασ---+=+⇒第二章 欧几里得空间第一节 实线性空间1、 定义：实线性空间)(•+=，；；R R n⑴、两种运算：①、向量加法n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα)(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα ②、向量数乘n n R a a a R k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ⑵、两种运算封闭＋满足8条性质第二节 欧几里得空间一、基本概念1、 定义：内积==)(βα，内积的4条性质 ⑴、交换：)()(αββα，，= ⑵、数乘：)()(βαβα，，k k =⑶、分解：)()()(γβγαγβα，，，+=+ ⑷、正定：0)(≥αα，，00)(=⇔=ααα，2、 欧几里得空间【欧氏空间】⑴、定义：欧几里得空间+•+=)(，；；R V 内积⑵、分析：未确定因素；③，；②①•+V 内积⑶、典例：=nE 实线性空间+•+)(，；；R R n内积 ⑷、分析：①、nR V =；②、=•+，向量加法＋向量数乘；③、内积：n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα n n b a b a b a +++=⇒Λ2211)(βα，【满足内积的4条性质】3、 基本概念⑴、概念：向量长度)(||ααα，== ⑵、概念：单位向量||αα=⑶、概念：向量距离)(||)(βαβαβαβα--=-==，，d ⑷、概念：夹角||||)(cos 1βαβαβα，，->==<二、柯西不等式1、 基本公式⑴、公式：|||||)(|βαβα≤，⑵、证明：①0)(0||0==⇒=βαββ，， ②⇒≠0β令βαγt +=022≥++=++=⇒），（），（），（），（），（βββαααβαβαγγt t t t04]2[2≤-=∆⇒），）（，（），（ββααβα【开口向上＋单根或者无根】），）（，（），（ββααβα≤⇒2][③等号成立条件：βαβαγγγt t -=⇒=+⇒=⇒=000），（），（），（βββα-=-=a b t 2【单根】 βαββββαα、），（），（⇒=⇒线性相关2、 推论⑴、推论：||||||βαβα+≤+⑵、证明：），（），（），（），（βββαααβαβα++=++2 222|]||[|||||||2||βαββαα+=++≤⑶、推论：||||||γββαγα-+-≤-⑷、证明：令γαβαγβββαα-=+⇒-=-=，【代入上式】第三节 标准正交基1、 基本概念⑴、定义：两个向量正交【如果0)(=βα，，则称βα、正交，记为βα⊥】⑵、性质：n 维欧几里得空间V 的内积∑∑====n j ni jiji b a 11)()(εεβα，，⑶、证明：假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 n n a a a V εεεαα+++=⇒∈∀Λ2211n n b b b V εεεββ+++=⇒∈∀Λ22112、 基本概念⑴、定义：正交向量组＝两两正交的非零向量组⎩⎨⎧≠==≠==ji ji j i 00)(αα，⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量3、 基本性质⑴、性质：正交向量组线性无关⑵、证明：假设：=r ααα，，，Λ21正交向量组 02211=+++++⇒r r i i k k k k ααααΛΛ0)()(2211==+++++⇒i i i i r r i i k k k k k ααααααα，，ΛΛ 0=⇒i k4、 定理⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基⑵、证明：①假设：=m ααα，，，Λ21线性空间V 的正交向量组 V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关 否则：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒维V ⇒=m 矛盾 ②∑=+-=mj jj m k 11αβαm i k i mj j j i m ，，，，，，Λ21)()(11=-=⇒∑=+ααβαα0))1=-=-=∑=），（，（），（，（i i i i i mj j j i k k αααβαααβ），（，（i i i i k αααβ)=⇒5、 定理⑴、定理：如果：V n =εεε，，，Λ21的一组基 那么：可以找到一组标准正交基n ηηη，，，Λ21 并且：)()(2121n n L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ⑵、证明：①||111εεη=②假设：已经找到一组单位正交向量m ηηη，，，Λ21 使得：)()(2121m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ∑=+++-=⇒mj j j m m m 1111)(ηηεεγ，m i i mj j j m m i m ，，，，，，，Λ21))(()(1111=-=⇒∑=+++ηηηεεηγ))(()())(()(11111i i i m i m i mj j j m i m ηηηεηεηηηεηε，，，，，，++=++-=-=∑0))(()(11=-=++i i i m i m ηηηεηε，，， ||111+++=⇒m m m γγη ③∑=++++-=nj j j m m m m 11111)(||ηηεεγη，1+⇒m η可由121+m εεε，，，Λ线性表出 1+m ε可由121+m ηηη，，，Λ线性表出121+⇒m εεε，，，Λ与121+m ηηη，，，Λ等价 )()(121121++=⇒m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ第四节 正交补1、 基本概念⑴、定义：V ⊥α：如果V ∈∀β，都有0)(=βα，则称V 、α正交，记为V ⊥α⑵、定义：W V ⊥：如果W V ∈∀∈∀βα，，都有0)(=βα，则称W V 、正交，记为W V ⊥⑶、定义：正交补：假设：=21V V ，线性空间V 的两个子空间 如果：V V V V V =+⊥2121，则称：12V V =的正交补，记为：⊥=12V V2、 性质⑴、性质：如果：s V V V ，，，Λ21两两正交 那么：=+++s V V V Λ21直和 ⑵、证明：假设：i i s V ∈+++=αααα，Λ21000)(0)(21=⇒=⇒=+++⇒i i i i s ααααααα，，Λ3、 性质⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一⑵、证明：假设：=1V 线性空间V 的一个子空间，⊥=12V V ①、V V V =⇒=21}0{②、1211}0{V V m =⇒≠εεε，，，Λ的一组正交基 ⇒可以扩充为=n m εεε，，，，ΛΛ1V 的一组正交基 )(12n m L V εε，，Λ+=⇒⊥=⇒12V V 【证明集合相等】【根据定义证明正交】③、假设：21V V ⊥，并且V V V =+2131V V ⊥，并且V V V =+313311312222V V V V ∈∈+=⇒∈∀⇒∈∀ααααααα，，00((111131112=⇒=⇒+=⇒ααααααααα），），（），），（ 32323323V V V V ⊂⇒∈⇒∈=⇒αααα， 同理可证：3223V V V V =⇒⊂第三章 线性变换一、线性变换的定义1、 定义：线性变换假设：=T 线性空间），；；（•+P V 的一个变换 如果：T 满足两个条件⑴、V T T T ∈∀+=+βαβαβα，，)()()( ⑵、V P k kT k T ∈∀∈∀=ααα，，)()(则称：=T 线性变换2、 等价条件⑴、性质：T 的两个条件等价于V P k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(⑵、证明：①必要性：)()()()()(212121βαβαβαT k T k k T k T k k T +=+=+②充分性：)()()(121βαβαT T T k k +=+⇒==)()(021ααkT k T k k k =⇒==，二、线性变换的运算1、 线性变换的乘积⑴、定义：V T T T T ∈=ααα，))(())((2121 ⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换⑶、证明：①))(())(())((2212121βαβαβα（）T T T T T T T +=+=+))(())(())(())((21212121βαβαT T T T T T T T +=+=②）））ααααα)(()(()(())(())((2121212121T T k T kT kT T k T T k T T ====2、 线性变换的加法⑴、定义：V T T T T ∈+=+αααα，)()())((2121 ⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换 ⑶、证明：同上类似三、线性变换的矩阵1、 定理：⑴、定理：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 =n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在唯一的一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε ⑵、证明：存在性和唯一性2、 唯一性⑴、性质：如果：n i T T i i ，，，，Λ2121==εε 那么：21T T =⑵、证明：n n x x x x V x εεε+++=⇒∈∀Λ2211n n n n T x T x T x x x x T x T εεεεεε1212111221111)(+++=+++=⇒ΛΛ x T x x x T T x T x T x n n n n 2221122222121)(=+++=+++=εεεεεεΛΛ3、 存在性⑴、性质：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基=n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε⑵、证明：①变换T ：∑==+++=⇒∈∀ni ii n n x x x x x V x 12211εεεεΛ∑==+++=⇒ni ii n n ax a x a x a x Tx 12211Λ②线性变换T ：假设：∑∑===⇒∈∀=⇒∈∀ni ii ni i i z z V z y y V y 11εε，∑∑===+=+⇒ni i i ni i i iky ky z yz y 11)(εε，Tz Ty a z a y a z yz y T ni i i n i i i ni i i i+=+=+=+⇒∑∑∑===111)()(kTy a y k aky ky T ni i i ni ii ===⇒∑∑==11)(③证明i i a T =ε：n i i εεεεε010021+++++=ΛΛi n i a a a a a T =+++++=⇒0100221ΛΛε4、 定义：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 V T =的一个线性变换那么：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=⇒nnn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛ22112222112212211111 )()(2121222211121121n nn n n n n n T T T a a a a a a a a a εεεεεε，，，，，，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒ )()(2121n n T T T A εεεεεε，，，，，，ΛΛ=⇒ 则称：=A 线性变换T 在n εεε，，，Λ21下的矩阵⑵、性质：如果：取定一组基并且：=ϕ线性变换n n T ⨯→矩阵的一个映射那么：=ϕ双射⑶、证明：①单射：假设：2211)()(A T A T ==ϕϕ，212121T T T T A A i i =⇒=⇒=εε【唯一性】②满射：i i ni i i i a T a a a a A =⇒=⇒ε)(21，，，Λ【存在性】5、 定理⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分泛函分析第一章 度量空间第一节 度量空间一、度量空间1、 符号约定：），；；（），；；（•+⇒•+F R P V2、 定义：距离ρρ==），（y x 的两条性质⑴、正定：R y x y x y x y x ∈∀=⇔=≥，；），（，），（00ρρ⑵、三角不等式：R z y x z y z x y x ∈∀+≤，，）；，（），（），（ρρρ3、 定义：度量空间)ρ，（R =【距离空间】⑴、解释：=R 非空集合⑵、解释：=ρ距离【满足ρ的两条性质】4、 对称性⑴、性质：），（），（x y y x ρρ= ⑵、证明：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤），（），（），（），（），（x y y x x y x x y x ρρρρρ≤⇒+≤⇒同理可证：），（），（），（），（x y y x y x x y ρρρρ=⇒≤二、基本概念1、 子空间⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间⑵、证明：假设：=)ρ，（R 度量空间， =)ρ，（M 度量空间的子空间证明：=M 非空子集，ρ的两条性质仍然满足2、 一致离散：如果：0>∃α使得：y x R y x ≠∈∀，，；都有：αρ>），（y x则称：=R 一致离散的度量空间3、 等距映射和等距同构⑴、定义：等距映射：假设：=))11ρρ，，（，（R R 度量空间；1R R →=ϕ的映射 如果：），（），（y x y x ϕϕρρ1= 则称：1R R →=ϕ的等距映射⑵、性质：1R R →=ϕ的等距映射1R R →=⇒ϕ的单射⑶、证明：y x y x y x y x ϕϕϕϕρρ≠⇒≠⇒≠⇒≠001），（），（⑷、定义：等距同构：假设：1R R →=ϕ的等距映射如果：1)(R R =ϕ则称：=))11ρρ，，（，（R R 等距同构【双射】 ⑸、性质：11)(R R R R →=⇒=ϕϕ的满射三、极限1、 极限⑴、定义：假设：=R 度量空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0)(lim =∞→x x n n ，ρ则称：点列}{n x 按距离收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】 并称：=}{n x 收敛点列，}{n x x =的极限⑵、归纳：0)(lim lim =⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n ，ρ2、 性质⑴、性质：收敛点列的极限唯一⑵、证明：假设：0)(lim =⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim =⇒→∞→y x y x n n n ，ρ )()()(0y x x x y x n n ，，，ρρρ+≤≤⇒【三角不等式】0)]()([lim )(0=+≤≤⇒∞→y x x x y x n n n ，，，ρρρ【夹逼原则】 y x y x =⇒=⇒0)(，ρ3、 性质⑴、性质：如果：00y y x x n n →→，那么：)()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=∞→【y x y x ，，=)(ρ的连续函数】 ⑵、证明：0)(lim 00=⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim 00=⇒→∞→y y y y n n n ，ρ )()()()(0000n n n n y y y x x x y x ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()()()(0000y y y x x x y x n n n n ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()(|)()(|00000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-≤⇒0)]()([lim |)()(|lim 00000=+≤-≤⇒∞→∞→y y x x y x y x n n n n n n ，，，，ρρρρ )()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=⇒∞→4、 定义：开球})(|{)(00R x r x x x r x O ∈<==，，，ρ其中：=R 度量空间，R x ∈0，+∞<<r 0【=r 有限正数】5、 定义：有界集：假设：=R 度量空间，R M =中的点集如果：M 包含在某个开球)(0r x O ，中则称：R M =中的有界集6、 性质⑴、性质：如果=}{n x 收敛点列，那么=}{n x 有界集⑵、证明：=}{n x 收敛点列0lim x x n n =⇒∞→ 0>∃⇒N ，使得当N n >时，都有1)(0<x x n ，ρ1)1)()(m ax (001+=⇒，，，，，x x x x r N ρρΛ }{n x ⇒包含在开球)(0r x O ，中四、常见的度量空间1、 欧氏空间nE =，其中：)()(y x y x y x --=，，ρ【内积】2、 函数空间==][b a C ，区间][b a ，上的连续函数的全体其中：|)()(|max )(][t y t x y x b a t -=∈，，ρ第二节 范数一、范数1、 定义：R 上的实值函数)(x P 的4个条件【范数的4个条件】⑴、正定1：R x x P ∈∀≥，0)(⑵、齐次性：R x F x P x P ∈∀∈∀=，，ααα)(||)(⑶、三角不等式：R y x y P x P y x P ∈∀+≤+，，)()()(⑷、正定2：00)(=⇔=x x P2、 定义：范数：假设：=•+），；；（F R 实数域F 上的线性空间如果：R 上的实值函数)(x P 满足范数的4个条件则称：x x P =)(的范数记为：x x =||||的范数【)(||||x P x =】并称：=R 赋范线性空间【赋范空间】3、 性质⑴、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件⑵、性质：范数的第4个条件可以简化为：00)(=⇒=x x P⑶、证明：0)0(0)(|0|)0()0(00=⇒===⇒=P x P x P P x4、 典例：函数空间][b a C ，⑴、性质：如果：][|)(|max ||||][b a C f x f f b a x ，，，∈∀=∈ 那么：=][b a C ，赋范线性空间⑵、证明：①=][b a C ，线性空间），；；（•+F R 定义：=+向量加法，=•向量数乘⇒两种运算封闭＋满足8个条件②范数的4个条件正定1：0|)(|max ||||][≥=∈x f f b a x ， 齐次性：||||*|||)(|max |||)(|max ||||][][f x f x f f b a x b a x αααα===∈∈，， 三角不等式：|)()(|max ||||][x g x f g f b a x +=+∈， |||||||||)(|max |)(|max ][][g f x g x f b a x b a x +=+≤∈∈，， 正定2：0)(0|)(|max 0||||][=⇒=⇒=∈x f x f f b a x ，5、 典例：n 维向量空间n R⑴、范数1：n n ni i R x x x x x x x x x ∈=∀===∑=)()(||||||2112，，，，，Λ ⑵、范数2：∑==n i ix x 1|||||| ⑶、范数3：||max ||||1i ni x x ≤≤=二、范数和距离1、 性质⑴、性质：利用范数可以定义距离：||||)(y x y x -=，ρ⑵、证明：距离的两个条件①正定：0||||)(≥-=y x y x ，ρy x y x y x =⇔=-⇔=0||||0)(，ρ②三角不等式：||||||||||||y x y x +≤+y x y x y z y z x x -=+⇒-=-=，||||||||||||||||||||z y z x y z z x y x -+-=-+-≤-⇒)()()(z y z x y x ，，，ρρρ+≤⇒⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离⇒度量空间【线性空间＋范数＋距离】2、 极限⑴、定义：假设：=R 赋范线性空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0||||lim =-∞→x x n n 则称：点列}{n x 按范数收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】 ⑵、归纳：0||||lim lim =-⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n3、 性质⑴、性质：如果0x x n →，那么||||||||lim 0x x n n =∞→【x x =||||的连续函数】 ⑵、证明：0||||lim 00=-⇒→∞→x x x x n n n ||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||000x x x x n n -≤-≤⇒0||||lim |||]||||[|||lim 000=-≤-≤⇒∞→∞→x x x x n n n n ||||||||lim 0||]||||[||lim 0||||||||||lim 000x x x x x x n n n n n n =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→4、 性质⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件①、)0()(，，y x y x -=ρρ②、)0(||)0(，，x x ρααρ=⑵、证明：①、||||)(y x y x -=，ρ||||||0||)0(y x y x y x -=--=-，ρ②、||||*||||||||0||)0(x x x x ααααρ==-=，||||*||||0||*||)0(||x x x ααρα=-=，5、 性质⑴、性质：如果：)(y x ，ρ满足两个条件那么：可以利用距离定义范数：)0(||||，x x ρ=⑵、证明：范数的4个性质①正定1：0)0(||||≥=，x x ρ②齐次性：||||*||)0(||)0(||||x x x x αρααρα===，，③三角不等式：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤ ），（），（），（），（），（），（00000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤-⇒+≤⇒ ），（），（），（00|1|0y y y ρρρ=-=- ），（），（），（），（），（），（000000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤+⇒-+≤-⇒ ||||||||||||y x y x +≤+⇒④正定2：00)0(0||||=⇒=⇒=x x x ，ρ6、 定理⑴、利用范数，可以定义距离⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】第二章 有界线性算子第一节 度量空间中的点集1、 基本概念⑴、概念：0x 的-ε环境})(|{)(00R x x x x x O ∈<==，，，ερε⑵、概念：A x =0的内点：如果存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⑶、概念：=A 开集：如果A 的每一个点都是内点⑷、概念：0x 的环境==)(0x O 包含0x 的开集2、 基本性质⑴、性质：)(00ε，x O x ∈，)(00ε，x O x =的内点【ερ<=0)(00x x ，】【2*εε=】⑵、性质：)(00x O x ∈，)(00x O x =的内点【定义】3、 重要性质⑴、性质：=)(0ε，x O 开集⑵、证明：ερε<⇒∈∀)()(00x z x O z ，，)(*0)(000x z x z ，，ρεερε-<<⇒-<⇒*)(*)(ερε<⇒∈∀z x z O x ，， ερερρρ<+<+≤⇒)(*)()()(000z x z x z x x x ，，，，)(*)()(00εεε，，，x O z O x O x ⊂⇒∈⇒)(0ε，x O z =⇒的内点=⇒)(0ε，x O 开集4、 重要性质⑴、性质：0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，都是0x 的环境⑵、意义：-ε环境=环境的特殊情况⑶、证明：=∈)()(000εε，，，x O x O x 开集⑷、性质：A x =0的内点⇔存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0⑸、意义：利用环境定义内点⑹、证明：①：A x =0的内点⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⇒存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0②：存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，A x =⇒0的内点5、 定理⑴、定理：⇔→0x x n对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⑵、意义：利用环境定义收敛点列⑶、证明：①：任取0x 的一个环境)(0x O =)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒→0x x n 对于0>ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(0x x n ，)()(00x O x x O x n n ∈⇒∈⇒ε，②：对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈00)(x x x x n n →⇒<⇒ερ，⑷、推论：⇔→0x x n对于0x 的任何-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ ⑸、意义：利用-ε环境定义收敛点列第二节 连续映射1、 函数)(x f 在0x 点连续⑴、传统描述：对于00>∃>∀δε，，当δ<-||0x x 时，ε<-|)()(|0x f x f⑵、环境描述：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈2、 映射f 在0x 点连续【双重扩展】⑴、定义：假设：=Y X ，度量空间，X D =的一个子空间，Y D f →=的映射如果：对于)(0x f 的任何环境Y x f O ⊂=))((0存在0x 的一个环境D x O ⊂=)(0当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈则称：映射f 在0x 点连续⑵、定义：如果：映射f 在D 上的每一点都连续则称：D f =上的连续映射3、 等价定理⑴、定理：①：映射f 在0x 点连续②：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈③：)()(00x f x f x x n n →⇒→⑵、证明：①⇒②映射f 在0x 点连续⇒对于)(0x f 的任何环境))((0x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈【定义】⇒对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈【-ε环境=环境的特殊情况】 )(00x O x =的内点⇒存在0x 的一个-δ环境)()(00x O x O ⊂=δ，⇒结论【全局满足则局部满足】⑶、证明：②⇒③⇒→0x x n 对于0>∀δ，存在0>N ，当N n >时，)(0δ，x O x n ⊂ N 由δ决定，δ由ε决定⇒N 由ε决定⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈)()(0x f x f n →⇒⑷、证明：③⇒①反证法：映射f 在0x 点不连续⇒存在)(0x f 的一个环境))((0x f O =对于0x 的任何环境)(0x O =存在)(0x O x ∈，))(()(0x f O x f ∉⇒对于0x 的任何环境)1(0nx O ，=，存在)(0x O x n ∈，))(()(0x f O x f n ∉ 0)(lim 1)(0)(000=⇒<<⇒∈∞→x x nx x x O x n n n n ，，ρρ【夹逼定理】 )()(00x f x f x x n n →⇒→⇒【条件】⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈ ))(()(00x f O x f =的内点⇒存在)(0x f 的一个-*ε环境))((*))((00x f O x f O ⊂=ε，⇒对于0*>ε，存在0>N ，当N n >时，))((*))(()(00x f O x f O x f n ⊂∈ε， ⇒存在0>N ，当N n >时，))(()(0x f O x f n ∈⇒矛盾【N 由*ε决定，*ε由))((0x f O 决定】第三节 线性算子1、 算子⑴、定义：算子＝映射⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子2、 线性算子⑴、定义：假设：=Y X ，实数域F 上的线性空间X D =的子空间Y D T →=的映射如果：T 满足条件：D F k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(则称：=T 线性算子并称：T D =的定义域，T D x Tx TD =∈=}|{的值域⑵、定义：如果：=T 线性算子并且：F TD ⊂则称：=T 线性泛函第四节 线性算子的有界性与连续性一、有界算子1、 连续定理⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续⑵、描述：假设：=Y X ，赋范线性空间，X D =的一个子空间，Y D T →=的线性算子 如果：T 在D x ∈0连续那么：D T =上的连续算子⑶、证明：①：假设：x x D x n →∀⇒∈∀②：x x n →⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(x x n ，||||)(x x x x n n -=，ρ【=X 赋范线性空间】||||)(00x x x x x x n n -=+-，ρ⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<+-)(00x x x x n ，00x x x x n →+-⇒③：T 在0x 点连续00)(Tx x x x T n →+-⇒【等价定理①⇒③】00Tx Tx Tx Tx n →+-⇒【=T 线性算子】Tx Tx n →⇒【=Y 赋范线性空间】T ⇒在x 点连续【+∀n x 等价定理③⇒①】T ⇒在D 上处处连续【x ∀】。
线性代数子空间
x4 3x5 0 x1 2 x2 x3 2 x 4 2 x5 0 0 0
取 x2 , x4 , x5 为自由变量，则解为：
x1 2x2 x4 3x5 , x3 2x4 2x5 .
(2) V x 1, x , , x
(1) V1 x 0, x2 , , xn
2 2 n
T
x2 , , xn R
2 n
T
x , , x R
T T T
解： (1) 0, a2 ,, an , 0, b2 ,, bn V1
x, y,0 W x,0, z W 0, y, z
W1
2 3
T
T
T
x, z R y, z R
x, y R
XY平面 XZ平面 YZ平面
W1 ,W2 ,W3 均是 R 3 的子空间.
一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述.
例：判别下列集合是否为向量空间.
必要条件
则称 H 为 R n的子空间.
简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的 R n 的非空子集.
R n 加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间.
n n R H span , , R , 1 2 是 的 例4.4.1 若 1 2 则
子空间.
证明：零向量显然在H中. 任取H中两个向量
解：b在ColA中当且仅当方程组 Ax b 有解.
1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 4 3 4 6 2 3 0 6 18 15 0 6 18 15 A b 0 3 7 6 4 0 2 6 5 0 0 0
3.2.2 线性子空间
设W 是V的 线性空间，Φ≠W
W对于V的两种运算封闭。 Φ≠W 注：W
V,则W是V的子空间。
V
V
a,b V,a+b V k
K, aV, kaV
A
A
定理3.2.1：
如果线性空间V的非空子集W对于V的两种运算是封闭的，那么 W是V的一个子空间。 例3.2.5： 在几何空间V3中，考虑过O的一个平面上的一切向量，这 些 向量对于向量加法和数与向量的乘法构成实数域的一个线性空 间，它是V3的一个子空间，记为V2.
在几何空间v3中考虑过o的一个平面上的一切向量这些向量对于向量加法和数与向量的乘法构成实数域的一个线性空间它是v3的一个子空间记为v2
同学们
3.2.2 线性子空间
定义 3.2.2 数域K上线性空间V的一个非空子集W 称为V的一个子空间(或线性子空间)， 如果W对于V的 两种运算仍构成线性空间。
例3.2.4 任何线性空间V都有两个子空间， 一个是V本身
1.解： 数域K上线性空间V是一个在其上规定了两种运算的非空集 合。而通常讲的非空集合V是不涉及其元素的运算关系的。 2.解：
那是由于向量之间的加法运算满足交换律和结合律的缘故。 3.解： 单独一个数零组成的集合对于通常数的加法和乘法构成数
域K上的线性空间。 4.解： 1α=α表示数1与向量α的标量乘积等于α， 而其他要么与标量
向量无关，要么左右两边均是标量乘积运算， 而上式却定义了标性空间V与非空集合V有何不同？ 2.数域K上线性空间V中任意n个向量α 1,α2,α3,...,αn相加（习惯上 记为α1+α2+...+αn）为什么有完全确定的意义。
线性空间 知识点及其注释
第五章线性空间-知识点及其注释知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示, 向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间, 子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和 子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。
#n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数印包,…，寺组成 的n 元有序数组，常记为（a i ,a 2,|||,a n ）T或（a i ,a 2,…，a .），又称为n 元（数组） 向量。
由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数 组）向量空间，记为F n。
#线性组合#表达式k ^<H k ^^ ^l + k ^s 称为向量组a 1,口2；" Q s 的系数分别为k i ，k 2，|||,k s 俨F ）的线性组合，k i ，k 2,…，k s 称为线性组合系数。
#线性表示#向量a 可由向量组…,叫线性表示（出）是指存在数域F 中的数ki,k2,…,ks ,使a =k ^^k ^a^)| + k ^s 。
向量组Ct 」2,…,叭可由向量组际码川卫线性表示是指每个a i（i=l2...,s ）都可由向量组Pi,p2,IH,3t线性表示。
显然，向量组的线性表示具有传递性。
在F n 中，向量《可由向量组a /2,…，叫线性表示二 线性方程组S X i + a x 2111 +a sX s = a 有解二 ran “"，企，川,ct s ,® =rank(%,a 2,HI ,叫)。
#向量组等价#向量组％,冬,…,叫与向量组匕,卩2,lll,P t 等价是指向量组 %巴2,…,叫与向量组Pi,p2,lll,P t 可以相互线性表示。
显然，向量组等价是 等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
1)2) 1, 2,若矩阵A经过有限次行初等变换成为B,则A与B的行向量组等价。
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二、线性子空间的判定
线性空间一个非空子集要满足什么条件才能成 为线性子空间?
设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算， W 中的向量满足线性空间定 义的八条规则中的 1) , 2) , 5) , 6) , 7) , 8) . 为了使W 自身构成一线性空间，主要的条件是要求W 对于V 中原来运算的封闭性，以及规则 3) 与 4)成立. 即
线上.
§6.5 线性子空间
z
k P2(kx1,ky1,kz1) P1(x1,y1,z1 )
o
y
x y 4 .5 线性子空间
例 7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn R } 是 Rn 的子空间，并求它的一个基，确定它的维
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
证毕
例 8 在 P 4 中，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 生
成的子空间的基与维数.
1 (1,1,0,1) , 2 (0,1,2,4) , 3 (2,1,2,2) , 4 (0,1,1,1) .
§6.5 线性子空间
L(1 , 2 , … , m , m +1 )
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1
§6.5 线性子空间
(x,
y, z) R3
|
x 2
y4 1
z 1
3
是否为 R3 的子空间，并说明其几何意义.
解 设 = ( x1 , y1 , z1 ) W , x1 y1 4 z1 1 . 2 1 3
取 k R (k≠1), 因为
则有
kx1 ky1 4 kz1 1 ,
证明 对维数差 n - m 作归纳法，当 n - m = 0
时，定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V
的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立，下面考虑 n - m = k + 1 的情形.
§6.5 线性子空间
既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线 性无关的，那么在 V 中必定有一个向量m +1不能被 1 , 2 , … , m 线性表出， 把 m +1 添加进去1 ,2 , … , m , m +1 必定是线性无关的. 子空间
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) , 那么每个向量 i ( i = 1 , 2, … , r ) 作为 L (1 , 2 ,
§6.5 线性子空间
… , s )中的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出; 同样每个向量 j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (1 , 2 , … , r ) 中的向量也都可以被 1 , 2 , … , r 线性表
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第五节 线性子空间
§6.5 线性子空间
一、线性子空间的概念
定义 1 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子集 合W 称为 V 的一个线性子空间 (或简称子空间), 如 果 W 对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运算 也构成数域 P 上的线性空间.
出，因而这两个向量组等价.
充分性 如果这两个向量组等价，那么凡是可
以被 1 , 2 , … , r 线性表出的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出，反过来也一样，因而
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) .
§6.5 线性子空间
§6.5 线性子空间
定理 2 1) 两个向量组生成相同子空间的充 分必要条件是这两个向量组等价.
2) L (1 , 2 , … , r ) 的维数等于向量组 1 , 2 , … , r 的秩.
证明 1) 必要性 设 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 是两个向量组. 如果
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
§6.5 线性子空间
1. W 对数量乘法运算封闭，即若 W, k P,
则
k W .
2. W 对加法运算封闭，即若 W, W，则 + W.
3. 0 W.
4. 若 W, 则 - W.
3, 4 两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形.
§6.5 线性子空间
例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实 系数多项式组成一个子空间.
例 4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间. 例 5 在线性空间 P n 中，齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn
§6.5 线性子空间
的线性子空间.
取
e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) ,
e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) ,
…………..
en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) . 显然 e2 , e3 , …, en W, 且线性无关，又因为 W 中
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
数. 解 任取 1 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) W ,
1 = ( 0 , b2 , b3 , … , bn ) W ,
k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W , k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W ,
1 0 2 0
令
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
)
1 0 1
1 2 4
1 2 2
1
1 1
行变换
1 0 2 0
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0 01
.
所以子空间 L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基为 1 , 2 , 4 ,
解 向量组1 , 2 , 3 , 4 的任一极大无关组
都是由它生成的子空间
L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基，而向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩即为子空间的 维数. 下面用矩阵的初等行变换，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩和一个极大无关组.
§6.5 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
组向量，这组向量所有可能的线性组合
k11 + k22 + … + krr
所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因
而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由1 , 2 , … , r 生成的子空间，记为
L (1 , 2 , … , r ) .
§6.5 线性子空间
关于向量组生成的子空间，有
2) 设向量组 1 , 2 , … , r 的秩是 s , 而 1 , 2 , … , s ( s r ) 是它的一个极大线性无关组. 因 为 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 等价， 所以 L(1 , 2 , … , r ) = L(1 , 2 , … , s ). 所以 1 , 2 , … , s 就是 L(1 , 2 , … , r ) 的一个基， 因而 L (1 , 2 , … , r ) 的维数就是 s .
任一向量 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) ，有 = a2 e2 + a3 e3 + … + an en ，
所以 e2 , e3 , …, en 即为 W 的一个基，W 的维数 是n - 1 .