两点式和截距式方程
两点式_截距式方程
9 3 ( , ) 定点__________ 5 5
变式2：已知3m-n=1,则直线mx+ny=2所经过的
(6,2) 定点__________
变式3：已知m+n=k(k≠0),则直线mx+ny=2所经过
2 2 ( , ) 的定点__________ k k
.
C
变式1:BC边上中线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程?
变式3:BC边上垂直平分线的方程? 3x-5y-7=0
例1、 三角形的顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3) 求三边所在的直线的方程
变式1、求BC边上的高所在的直线的方程 变式2、求BC边上的中线所在的直线的方程
变式3、求BC边的垂直平分线的方程
0
1
3 4
x
-1
-2
变式3、求过点P(2,1) 与两坐标轴所围成的 三角形的面积为3的直线有几条？
例5、求过点P(2,1) 与两坐标轴正半轴所围成 的三角形的面积为4时的直线方程 y
2
P(2,1)
0
1
3 4
x
-1
-2
变式4、求过点P(2,1) 与两坐标轴所围成的三 角形的面积为5的直线有几条？
例6、求过点P(2,1) 与两坐标轴正半轴所围成 的三角形的面积为4时的直线方程 y
两点式方程
l y
P2(x2,y2) P1(x1,y2)
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
O
x
注意：既不垂直x轴，也不垂直y轴! 1.左边全为y，右边全为x 2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同
点斜式,斜截式,两点式,截距式之间的联系 -回复
点斜式,斜截式,两点式,截距式之间的联系-回复点斜式、斜截式、两点式和截距式是四种不同的方程形式，它们都可以表示一条直线。
每种形式都有其特点和适用场景，但它们之间也存在着密切的联系。
下面将从定义、方程形式和适用场景等方面进行详细阐述。
一、点斜式点斜式方程表示一条通过某一点且斜率为k的直线。
其方程形式为：y-y1=k(x-x1)。
其中，(x1，y1)为直线通过的点，k为直线的斜率。
二、斜截式斜截式方程表示一条与y轴交于b点的直线，且该直线的斜率为k。
其方程形式为：y=kx+b。
其中，k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐标。
三、两点式两点式方程表示一条通过两点(x1，y1)和(x2，y2)的直线。
其方程形式为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
其中，(x1，y1)和(x2，y2)为直线通过的两点坐标。
四、截距式截距式方程表示一条与x轴交于a点，与y轴交于b点的直线。
其方程形式为：x/a+y/b=1。
其中，a为直线与x轴的交点坐标，b为直线与y轴的交点坐标。
五、联系斜截式与截距式：斜截式方程y=kx+b可以转化为截距式方程x/a+y/b=1。
当b≠0时，将y=kx+b两边同时除以b，即可得到截距式方程；当b=0时，截距式方程不适用。
两点式与斜截式：通过两点式方程(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，可以推导出斜截式方程y=kx+b。
将两点式方程中的x用(x-x1)替换，同时令y=0得到截距式方程，再通过斜率k和截距b还原为斜截式方程。
两点式与截距式：通过两点式方程可以推导出截距式方程。
在两点式方程中令x=0或y=0，即可得到截距式方程。
点斜式与斜截式：点斜式方程y-y1=k(x-x1)可以转化为斜截式方程y=kx+b。
将点斜式方程两边同时减去y1，再乘以1/k得到斜截式方程。
六、总结点斜式、斜截式、两点式和截距式四种方程形式之间可以通过一定的转化得到相互联系。
直线方程题型及解题方法
直线方程题型及解题方法直线方程是数学中的常见题型，往往需要用到代数、几何和图像的知识进行解答。
本文将介绍几个常见的直线方程题型，并提供相应的解题方法。
一、点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常见的一种形式。
它可以通过给定直线上的一点和直线的斜率来确定直线的方程。
具体的表示形式为：y - y₁ = m(x - x₁)其中(x₁, y₁)是直线上的一点坐标，m是直线的斜率。
以下是使用点斜式方程解题的步骤：步骤 1：根据题目给出的信息，确定直线上的一点(x₁, y₁)和直线的斜率m。
步骤 2：代入点斜式方程，计算直线的方程。
例题 1：已知直线上的一点为 P(2, 4)，斜率为 3，求直线的方程。
解题步骤：步骤 1：将 P 的坐标代入点斜式方程，得到y - 4 = 3(x - 2)。
步骤 2：展开并化简方程，得到y - 4 = 3x - 6。
最终答案为y = 3x - 2。
二、截距式方程截距式方程是直线方程的另一种常见形式。
它可以通过给定直线在 x 轴和 y 轴上的截距来确定直线的方程。
具体的表示形式为：y = yy + y其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
以下是使用截距式方程解题的步骤：步骤 1：根据题目给出的信息，确定直线在 x 轴和 y 轴上的截距，即(0, b)和(a, 0)。
步骤 2：利用截距式方程，代入相应的截距和斜率，计算直线的方程。
例题 2：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 -3，求直线的方程。
解题步骤：步骤 1：将 x 轴上的截距代入截距式方程，得到y = mx + 2。
步骤 2：将 y 轴上的截距代入方程，得到-3 = m * 0 + 2。
解方程得到m = -3/2。
最终答案为y = -3/2x + 2。
三、两点式方程两点式方程是直线方程的一种形式，用于通过直线上的两点来确定直线的方程。
具体的表示形式为：(y - y₁) / (x - x₁) = (y - y₂) / (x - x₂)其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
直线方程的两点式、截距式
例:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边 所在直线的方程.
记忆特点：
左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同
两点式方程的适应范围
是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式 y y x x 写出直线方程呢？
1 1
y2 y1
1
x2 x1ຫໍສະໝຸດ 不是!当x＝x2或y1= y2时，直线P1 P2 没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时， 两点式的分母为零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线．
三、直线的截距式方程
y0 xa , b0 0a
即
x y 1. a b
x y 1. a b
截距式直线方程:
x y 1. a b
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
7.5.2 两点式、截距式
一、复习、引入
复 习
1). 直线的点斜式方程：
y- y1 =k(x- x1 ) k为斜率， P1(x1 ,y1)为经过直线的点
巩 固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
二、直线方程的两点式
代入点斜式得：
定义
方程可写为： 两点式：由直线上两点确定的直线方程叫做直线方程的两点式.
直线的两点式与截距式方程
吕梁贺昌中学 数学组
王晓彦
直线的截距式方程 例2:已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,且 线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学 数学组
王晓彦
忽视截距为0的情形 例3：已知直线l过点P(2,-1),且在两个坐标轴 上的截距相等,求直线l的方程.
直线的一般式方程 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程, 并化为一般式方程. (1)斜率是 3,且经过点 A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
判断下列说法是否正确,正确的在 后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”.
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学 数学组
王晓彦
问题 2：求经过两点 P ( a, 0), Q (0, b) 的直线 l 的过两点 P ( a, 0), Q (0, b) ， 所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
直线的方程 —— 两点式与截距式 吕梁贺昌中学 数学组 王晓彦
截距式方程
x y 整理得 1 a b
直线的方程 —— 两点式与截距式 吕梁贺昌中学 数学组 王晓彦
x y 整理得 1 a b
注意：
（１） 其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直 线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
直线的方程 —— 两点式与截距式 吕梁贺昌中学 数学组 王晓彦
那么经过两个定点的直线的方
程能否用“公式”直接写出来呢？
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学 数学组
两点式截距式方程
（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标
(Ⅲ)两点式方程
思考：已知两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), (其中x1≠x2,y1≠y2),
如何求出通过这两个点的直线方程呢？
l
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y2)
O
x
注意：既不垂直x轴 ，也不垂直y轴!
中点
第三步：点斜式求方程
y 3 2(x 3)
y 2x 3
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截 距的两倍，求直线l的方程.
▪ 解法1：设直线l的方程为y+1=k(x+4), ▪ 令x=0,得y=4k-1;令y=0,得x=(1/k)-4. ▪ 由(1/k)-4=2(4k-1),得8k2+2k-1=0. ▪ 可解得k=-1/2,k=1/4. ▪ 所求直线方程为：x+2y+6=0或x-4y=0.
例3 如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的 交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程. y B(0，b)
l
A(a，0)
O
x
注意：既不垂直x轴
纵截距
横截距
，也不垂直y轴,且 不过原点!
a叫做直线在x轴上的截距；
b叫做直线在y轴上的截距.
截距式
P96例4
y
C(0,2)
A(-5,0)
▪ 作业
▪ B：P100 A1 (4)(6)， A3， A4, A9.
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距的 两倍，求直线l的方程.
我们发现少了一条直 线！怎样发生的？
是由截距式方程形式限制 了直线不能过原点！
高中数学必修2直线与圆常考题型：直线的两点式方程、直线的一般式方程
直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
人教版数学必修二3.2.2《直线的两点式和截距式方程》上课课件(共18张PPT)
课前预热
思考：如何确定一条直线？ 1、已知点(x0, y0)与斜率——点斜式 y yo k(x x0 ) 2、已知斜率与纵截距b——斜截式 y kx b
3、已知两点坐标如何求直线方程？——两点式 4、已知横纵截距如何求直线方程？——截距式
一、直线的两点式方程
引入：
例1、完成下列问题：
（1）已知直线经过点 A(2,1) ，B(2,7) ，求直线的方程.
（2）已知直线经过点P1(2,3), P2(5,4) ，求直线的方程.
（3）已知直线经过点A(2,1), B(3,4) ，且点 P(3, m) 在直 线上，求m的值.
题型一：利用两点式求直线方程
例1 解：（1）因为A、B横坐标相等，所以直线方程为x=2
当
x1
x2
时，直线的斜率
k
y2 x2
y1 x1
任取P1, P2 中一点，如取 P1(x1, y1) ，由点斜式方程，
得
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
当
y2
y1
时，可写为：y
y2
y1 y1
x x1 x2 x1
我们把该方程叫做直线的两点式方程（两点式）
一、直线的两点式方程
法2： 设 P(x, y)是异于 P1, P2 的任意一点，利
2：求过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线方程.
3：一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，求此直线方程.
B(－2,3)，C(2,1)，求AC边上中线所在直线的方程.
解：设AB边中点为M（x，y），则 x=4，y= -3,即M（4，-3） 根据直线两点式方程求BM方程为：
直线两点式截距式方程
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复习
直线的方程—一般式
1、直线的倾斜角、斜率
2、直线方程的点y斜 y式 1 k( x x1 )
3、直线方程的斜y截 式 kx b
4、直线方程的两yy2点 y式 y11
x x1 x2 x1
5、直线方程的截x距 式 y 1 ab
新课
以上的四种直线方程形式都是 方程，但都有局限性。
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2、过点 P(0,1) 的直线 l，它在两直线 l1 : x 3 y 10 0与 l2 : 2x y 8 0 间截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程
3、两直线 A1 x B1 y 1 0 (A12 B12 0)和
A2 x
B2
y
1
0 (A22
B
2 2
0)相交于点P(3,2)，
变式2、求过点B 且在两坐标轴上截距 互为相反数的直线方程
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练习
直线的方程—两点式、截距式
2、求过点 P(2,4)在两坐标轴上的 截距之和为15的直线方程
变 式1、 求 过P (2,4)且 与 两 坐 标 轴正 方 向 围 成 面 积 为18的 三 角 形 的 直 线 方 程
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b0 0a
直线方程的截距式
x y 1 ab
直线方程的截距式不能表示哪些直线？
截距式适用于的_横__、__纵__截__距__都__存__在__且__都__不__为__0__直线.
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练习
1、三角形的顶点A(5,0)，B(3,3)， C (0,2)，求这个三角形三边所在 的直线方程
变 式1、 求AB边 上 的 中 线 所 在 的 直 线方 程 和ABC的 重 心 坐 标
直线的两点式和截距式方程
直线的两点式和截距式方程（导学案）知识目标：1•能根据点斜式方程推导两点式方程、根据两点式方程推导截距式方程2.掌握直线的两点式方程和截距式方程，会应用两点式方程和截距式方程解决相关问题（重点）3.能已知条件的特点，恰当选取方程的形式来求方程探究1写出下列经过A、B两点的直线的方程：(1) A (8，- -1)， B (-2, 4)解:(2) A (6，- -4)， B (-1, 2)解:y) B (X2, y2),其中X1M x2 , y M y(3) A （X1，解：思考1：上面问题的求解过程可以简化吗？已知两点Pg , y i） , P2 （ X2 , y2）,其中x i丰X2 , y i丰目2，则经过这两点的直线方程为思考2：若P1 , P2中有x1 = x2或y1 = y2，此时过这两点的直线方程是什么？综上所述，在运用两点式公式时应注意什么？探究2 已知直线I与x轴的交点为A （a，0），与y轴的交点为B （0，b），其中aM 0， bM 0，求直线I的方程。
思考3:应用截距式公式时应注意什么问题?y — y 0 = k(x-x 0)适用于不垂直于x 轴的任意直线;②斜截式y= kx + b 适用于不垂直x 轴的任意直线;x-計1适用于不垂直x轴的任意直线. 伊严 例4已知三角形的三个顶点A (— 5, 0), B (3,— 3), C (0 , 2), 求BC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程。
例2根据下列条件，写出直线的方程(1) 倾斜角为30°,经过A (8,— 2);(2) 经过点B ( — 2, 0),且与x 轴垂直；(3) 斜率为一4,在y 轴上的截距为7;(4) 经过点 A (— 1, 8), B (4,— 2);(5) 在y 轴上的截距是2,且与x 轴平行；(6) 在x 轴，y 轴上的截距分别是4,— 3;例5经过点A (1, 2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 几条？请求出这些直线方程。
7.2(2)直线的方程-两点式,截距式.ppt
直线 l 的斜率为 k
由点斜式方程 y y1 y 2 y1 x 2 x1
y 2 y1 x 2 x1
p2
( x x 1 ).
( y1 y 2 )
化简为
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
——直线方程的两点式
例1 、已知直线l于x轴交于点A(a,0), 于y轴 交于B(0, b), (a 0, b 0)，求直线l的方程。
直线 l过点 P ( 4 ,1) 4 1 1 4 b a ab a b
2 4 ab 4 ab ab 16
P(4,1)
A
0
x
S
S min
1
ab 8 （当 a 4 b 即 a 8 , b 2时取等号）
2 x y 8 , 直线 l 方程为 1 x 4y 8 0 8 2
解：
(1)
y 1 3 1 y5 05 y 50
x2 02 x0 50
y 2 x 3.
(2)
y x 5.
5 4
(3)
x 42
y
x.
y y0 k ( x x0 )
应用范围
k存在 k存在
k存在 且k 0
k存在且 0 且不过原点
y kx b
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
x a
y b
1.
课堂练习
1 .求过下列两点的直线的 （1） P1 ( 2 ,1)、 P2 ( 0 , 3 ); ( 2 ) A ( 0 , 5 )、 B ( 5 , 0 ); ( 3 ) C ( 4 , 5 )、 D ( 0 , 0 ). 两点式方程，再化成斜 截式方程：
直线的两点式方程 课件
(3)如果将直线两点式转化为:(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此 时只要直线上两点不重合,都可以用该等式表示出来(即这个变 形方程可以表示过任意已知两点的直线).
关于光线的反射问题 【典型例题】 一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(-1,6),求入射 光线和反射光线所在直线的方程.
【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3,-2), 点B关于x轴的对称点为B1(-1,-6).因为A1 在反射光线的延长线上,
B1在入射光线的延长线上,
由两点式可得直线A1B的方程为
轴上的截距.
(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标 轴的交点),在求直线方程时合理地选择形式,会提高解题速度.
类型 一 直线的两点式方程
【典型例题】
1.过点(2，5)，(2，-6)两点的直线方程是( )
A.x=2
B.y=2
C.x+y=5
D.x+y=-6
2.已知A(-3,2)，B(5,-4)，C(0,-2)，在△ABC中，
(1)直线的斜率不存在时，没有两点式方程.( )
(2)与坐标轴平行的直线没有截距式方程.( )
(3)
都是直线的截距式方程.( )
x y 1与 x y 2 35 35
提示：(1)正确.直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2， y1≠y2，即斜率存在且不等于0. (2)正确.因为截距式方程的应用前提是a≠0,b≠0. (3)错误.不符合截距式方程的标准形式，即左边“+”连接， 右边为1. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
一次函数的点斜式,两点式和截距式
一次函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将围绕一次函数的点斜式、两点式和截距式展开深入探讨。
1. 一次函数的定义一次函数又称为一元一次方程，是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数且a不等于0。
在一次函数中，x的最高次数为1，因此它是一个直线函数。
一次函数的图像通常呈现为一条直线，这也是它的特点之一。
2. 点斜式一次函数的点斜式是表达一次函数的一种常用方式。
点斜式可以用来描述直线上的任意一点，以及直线的斜率。
在点斜式中，我们需要知道直线上的一个点的坐标(x1, y1)和直线的斜率k。
通过这些信息，我们可以得到直线的方程为y - y1 = k(x - x1)。
这种形式的方程更直观地揭示出了直线的特征，可以方便我们理解直线的斜率和截距等信息。
3. 两点式另一种常用的描述直线的方式是两点式。
两点式是通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)来描述直线的方程。
通过这两个点的坐标，我们可以得到直线的斜率k为(y2-y1)/(x2-x1)，进而得到直线的方程为y -y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x - x1)。
两点式的方式更加直接地表达了直线经过两个点的特性，使得我们更容易理解直线的位置和倾斜程度。
4. 截距式一次函数的截距式又称为常数项式，它是一次函数的另一种表达方式。
在截距式中，我们描述直线与x轴和y轴的交点。
对于一次函数y=ax+b，它与x轴的交点为(-b/a, 0)，与y轴的交点为(0, b)。
通过这些交点的坐标，我们可以直接得到一次函数的方程为y = ax + b。
截距式的方式直观地呈现了直线与坐标轴的交点位置，便于我们快速理解直线的特点。
总结回顾：通过以上对一次函数的点斜式、两点式和截距式的探讨，我们可以看到不同的表达方式展现了一次函数的不同特点。
点斜式直观地表达了直线的斜率和经过的点的位置，两点式展现了直线经过两点的特性，而截距式则展示了直线与坐标轴的交点位置。
2.2.2 直线的两点式方程(解析版)..
2．2.2直线的两点式方程知识梳理知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点题型探究题型一、直线的两点式方程1．已知点(1,2)A 、(1,2)B --，则直线AB 的两点式方程是______．【答案】2142y x --=--【详解】直线的两点式方程为：112121y y x x y y x x --=--，将点(1,2)A 、(1,2)B --代入得：2142y x --=--.故答案为：2142y x --=--.2．已知ABC 的三个顶点分别为)(7,4A ，)(3,1B -，)(5,2C -．(1)求ABC 的三边所在直线的方程；(2)求ABC 的三条中线所在直线的方程．【答案】(1):54190AB x y --=；:3810BC x y +-=；:6170AC x y -+=；(2)BC 边上的中线716150x y -+=；AB 边上的中线20350x y +-=；AC 边上的中线250x y +-=【详解】(1)由)(7,4A ，)(3,1B -，)(5,2C -知直线AB 的方程为471437y x --=---，整理得54190x y --=直线BC 的方程为(1)32(1)53y x ---=----整理得3810x y +-=直线AC 的方程为472457y x --=---，整理得6170x y -+=(2)BC 的中点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又)(7,4A 所以BC 边上的中线所在的直线方程为1(1)217(1)42y x ---=---，整理得716150x y -+=AB 的中点坐标为35,2⎛⎫⎪⎝⎭，又)(5,2C -所以AB 边上的中线所在的直线方程为35235522y x --=---，整理得20350.x y +-=AC 的中点坐标为()1,3，又)(3,1B -所以AC 边上的中线所在的直线方程为311331y x --=---，整理得250x y +-=．3．已知直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，求这条直线的方程．【详解】由直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．(1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得，当m ＝1时，直线方程为x ＝1；当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0.题型二、直线的截距式方程1．回答下列问题：(1)任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？(3)如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？(4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？【答案】(1)不是都有；(2)不可能相同；(3)不可能相同；(4)不都可以.【详解】(1)直线10x -=在x 轴上的截距为1，在y 轴上无截距.则任一条直线不是都有x 轴上的截距和y 轴上的截距.(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，则这两条直线互相平行，那么它们在y 轴上的截距不相同.(3)假设两条直线在x 轴上的截距相同，又两条直线在y 轴上的截距相同，则这两条直线斜率相同，这与已知中两直线斜率不同矛盾.故如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距不可能相同.(4)直线10x -=在x 轴上的截距为1，在y 轴上无截距，不能用截距式方程表示.故任一条直线不都可以用截距式方程表示2．已知直线经过点)(2,5M -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，求该直线的方程．【答案】520x y +=或280x y ++=【详解】若直线经过原点()0,0，满足题意要求，此时直线方程为52y x =-，整理得520x y +=.若直线不经过原点，不妨设直线方程为12x ya a+=，又其过点()2,5M -，故可得151a a -=，解得4a =-，故此时直线方程为184x y -=-，整理得280x y ++=；综上所述，所求直线方程为：520x y +=或280x y ++=.3．已知不过原点的直线l 过点()3,2-且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程是______．【答案】50x y -+=【详解】l 不过原点且在两个坐标轴上的截距互为相反数，∴可设其方程为1x ya a-=，又l 过点()3,2-，321a a ∴--=，解得：5a =-，:155x yl ∴-+=，即l 方程为：50x y -+=.故答案为：50x y -+=.4．若直线1,(0,0)x ya b a b+=>>过点()2,4，则2a b +的最小值为___________.【答案】16【详解】因为直线1(00)x y a b a b +=>>，过点()2,4，所以241a b+=，因为0,0a b >>所以()24821622448216a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82a bb a=，即4,8a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为16故答案为：165．求经过点()1,4P ，且分别满足下列条件的直线方程：(1)在两坐标轴上的截距相等；(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．【答案】(1)5x y +=或4y x =；(2)260x y +-=【详解】(1)①当过(0,0)O 时，两坐标轴上截距为0，40410k -==-，所以直线方程为:4l y x =；②当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，即x y a +=，过点(1,4)A ，14a ∴+=，5a =，∴直线方程:5l x y +=.综上：直线方程:5l x y +=或4y x =(2)设直线的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则有141a b+=，144()1()()5549b aa b a b a b a b a b∴+=+⨯=+⨯+=+++= ，当且仅当4b aa b=，即3a =，6b =时取“=”．∴直线方程为260x y +-=．跟踪训练1．已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【答案】5360x y +-=；1350x y ++=．【详解】过(3,3),(0,2)B C -的两点式方程为203230y x --=---，整理得5360x y +-=．即BC 边所在直线的方程为5360x y +-=，BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为3032,22+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．过(5,0)A -，31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线的方程为05130522y x -+=--+，即11350222x y ++=．整理得1350x y ++=．所以BC 边上中线所在直线的方程为1350x y ++=．2．（1）已知直线l 经过点()()2,1,2,7A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点()()2,1,3,4A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是()()()1,0,3,1,1,3A B C --，求三角形三边所在直线的方程.【答案】（1）2x =；（2）2m =-；（3）AB ：410x y ++=；BC ：250x y +-=；AC ：3230x y -+=.【详解】（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，故直线的斜率不存在，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.3．判断命题“如果直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，则l 的斜率是ba”的真假．()【答案】错误【详解】由直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，可得直线过点()(),0,0,a b ，∴直线的斜率为00b bk a a-==--.∴命题“如果直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，则l 的斜率是ba”为假命题.故答案为：错误.4．求下列直线的方程：(1)通过(2,3),(1,2)A B --的直线；(2)通过(4,5),(0,0)M B 的直线；(3)在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是5-的直线；(4)在x 轴与y 轴上的截距都是12-的直线．【答案】(1)5310x y --=；(2)540x y -=；(3)52100x y ++=；(4)2210x y ++=【详解】(1)(2,3),(1,2)A B --,235123k --∴==--,∴直线方程为53(2)3y x -=-，即5310x y --=.(2)(4,5),(0,0)M B ,505404k -∴==-,∴直线方程为54y x =，即540x y -=.(3)在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是5-的直线,∴直线的方程为125x y +=--，即52100x y ++=.(4)在x 轴与y 轴上的截距都是12-∴直线的方程为11122x y +=--，即2210x y ++=.5．已知直线l 过点()2,1，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的两倍，则直线l 的方程为___________.【答案】20x y -=或240x y +-=【详解】当截距为0时，设直线方程为y kx =，直线l 过点()2,1，所以12k =，解得12k =，直线方程为12y x =，即20x y -=；当截距不为0时，设直线方程为12x ya a +=，直线l 过点()2,1，所以2112a a+=，解得2a =，直线方程为142x y+=，即240x y +-=；故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=.故答案为：20x y -=或240x y +-=.6．求过点(1,2)且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为92的直线方程．【答案】30x y +-=或460x y +-=.【详解】依题意，设直线在x ，y 轴上的截距分别为,a b (0,0a b >>)，则此直线的方程为1x ya b+=，因直线过点(1,2)，则121a b +=，又1922ab =，解得33a b =⎧⎨=⎩或326a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，于是有133x y +=或1362x y+=，即30x y +-=或460x y +-=，所以所求直线方程为30x y +-=或460x y +-=.高分突破1．已知0a b >>0，，直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．10【答案】B【详解】因为直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，所以10b a+=，即1ab =，因为0a b >>0，，所以9296a b ab +≥=，当且仅当9a b =，即13,3a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为6，故选：B2．直线221x ya b-=在y 轴上的截距是()A ．||b B ．2b -C ．2b D ．b±【答案】B【详解】根据直线的截距式可知直线咋y 轴上的截距为-b 2故选：B3．（多选）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=【答案】AB【详解】若直线l 过原点，则直线的方程为y kx =，将点(2,3)P 代入得32k =，所以直线方程为32y x =，即320x y -=；若直线l 不过原点，根据题意，设直线方程为1x ya a-=，将点(2,3)P 代入得1a =-，故直线l 的方程为10x y -+=；所以直线l 的方程为：320x y -=或10x y -+=．故选：AB ．4．(多选)下列说法中不正确的是()A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式【答案】ABC5．已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为__________．【答案】4350x y ++=【详解】由直线方程的两点式可得123112y x -+=--+,化简得4350x y ++=,故答案为：4350x y ++=.6．设m 为实数，若直线:210l x y m -+-=在y 轴上的截距为12，则m 的值为______．【答案】2【详解】直线:210l x y m -+-=,令x =0,则12m y -=，根据题意可知11,222m m -==，故答案为：27．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．【答案】3【详解】直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为32，2时，xy 取得最大值3.8．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=；(2)6220x y +-=【详解】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1），所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=；(2)直线AB 的斜率为51612+=-+.所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=.9．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程．解∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a (a ≠0)，则直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a (a ≠0)，故直线方程为xa ＋y －a ＝1，即x －y －a ＝0.∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.10．已知直线l 过点()2,1P .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点且斜率为负，O 为坐标原点，求OA OB +的最小值.【答案】(1)12y x =或3x y +=；(2)223+【详解】(1)当直线l 过原点时，则直线l 的方程为12y x =在两坐标轴上的截距相等；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=，将点()2,1P 代入得211a a+=，解得3a =，所以直线l 的方程为3x y +=，综上所述直线l 的方程为12y x =或3x y +=；(2)设直线l 的方程为()12,0y k x k -=-<，当0x =时，21y k =-+，当0y =时，12x k=-+，故()()1123223223OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-+≥-⋅-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当()12k k⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即22k =-时取等号，所以OA OB +的最小值为223+.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的截距式方程．【详解】(1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M 0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y －52＝1.12．已知直线l 过点()1,2P ，与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 的面积为254，求直线l 的方程；(2)求OAB 的面积的最小值．【答案】(1):250l x y +-=或8100x y +-=；(2)4【详解】(1)法一：（1）设直线():1,0x y l a b a b +=>，则12112524a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或5410a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．法二：设直线():21l y k x -=-，0k <，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -．则()21225122178024S k k k k ⎛⎫=--=⇒++= ⎪⎝⎭，∴12k =-或﹣8所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．(2)法一：∵121212a b a b =+≥⋅，∴8ab ≥，∴142S ab =≥，此时2a =，4b =．∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．法二：∵0k <，∴()()()121414124424222S k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+-+-≥+-⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，此时2k =-，∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．。
截距式斜截式两点式一般式
截距式斜截式两点式一般式平面直线表达式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)适用于所有直线，A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A，纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)适用于不垂直于x轴的直线，表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b适用于不垂直于x轴的直线，表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (x1≠x2，y1≠y2)适用于不垂直于x轴、y轴的直线，表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线这些都是平面几何中直线的表达式，从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
人教版高一数学必修二：3.2.2两点式截距式方程(1)
截距式
y
B(0，b)
l
A(a，0)
代入两点式方程得
y0 xa b0 0a
化简得
x
x y 1
ab
截距式
横截距 纵截距
A(-5,0)
y
C(0,2)
xM
xB xC 2
3 2
x
M(xM，yM)
yM
yB
yC 2
1 2
中点
B(3,-3)
M
3 2
,
P2(x2，y2)
x
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
小节
已知两点坐标，求直线方程的方法： • ①用两点式 • ②先求出斜率k，再用斜截式。
y
B(0，b)
截距
一次函数
y kx b
l
A(a，0)
斜率
截距
x
a为直线在x轴上的截距 b为直线在y轴上的截距
复习
1.点斜式方程
y y0 k(x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
小结
点斜式 斜截式
两点式 点斜式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
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（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；
（6）在x轴，y轴上的截距分别是4，－3；
小结：
1.我们学习了那些直线方程？ 2.大家要掌握各种直线方 程，并能熟练运用。
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
3.注意各种直线方程的适用范 围。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作业：
1.P97 练习 ， 3. 1 2， 2.P 习题A组3，. 4 100
（3） A（x1，y1），B（x2，y2）
其中x1≠x2 ，y1≠y2
可以简化这个求解过程吗？
已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 其中x1≠x2， y1≠y2，则通过这两点的直 线方程为
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
思考：若P1,P2中有x1＝x2或y1＝y2，此时 过这两点的直线方程是什么？
两点式和截距式方程
执教人:戴兵
复习回顾
（1）直线方程的点斜式： 已知直线上一点P（x0，y0）与斜率k， 直线方程为 y-y0=k（x-x0）
（2）直线方程的斜截式： 已知直线斜率k与在y轴上的截距 为b，直线方程为 y=kx+b
探究一
写出下列各直线的方程：
（1）A（8，－1），B（－2，4） （2） A（6，－4），B（－1，2）
x y y x 1 1 适用于不垂直x轴的 a b ④截距式
a
b
任意直线.
错误
典例解析：
例1.已知三角形的三个顶点 （- 5,0）， A B（3，3），C（0,2），求AC及BC所 在直线的方程，以及 边上中线AM BC 所在直线的方程。
C
A
O
M
B
根据条件灵活选取方程的形式来求方
练习： 根据下列条件，写出直线的方程 （1）倾斜角为30°，经过A（8，－2）； （2）经过点B（－2，0），且与x轴垂直； （3）斜率为－4，在y轴上的截距为7； （4）经过点A（－1，8），B（4，－2）；
两点式公式在运用时应注意什么？
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
使用两点式公式的时候，必须注意使分母不为零。 也就是说两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。
探究二
已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与 y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0， 求直线l的方程。
y B
思考 经过点A（1，2）并且在两 个坐标轴上的截距的绝对值相等 y l l 的直线有几条？请求出这些直线 l 方程。
1 3 2
A
o
x
x y 4.截距式： 1 a b
下列说法中不正确的命题有（2）个
①点斜式y－y1＝k（x－x1）适用于不垂直 于x轴的任意直线；正确 ②斜截式y＝kx＋b适用于不垂直x轴的任 意直线； 正确 y y1 x x1 ③两点式 适用于不垂直于 y2 y1 x2 x1 x轴的任意直线； 错误
o
A
x
x y 1 a b
截距式
思考：这个截距式在使用时应注 意什么问题？
结论：截距式不能表示垂直于坐标轴以及过 原点的直线。
及时小结：
我们现在已经学习几种直线的方程？
1.点斜式：y y0 k ( x x0 )
2.斜截式：y kx b
y y1 x x1 3.两点式： y2 y1 x2 x1