高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2231 5

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【热点题型】题型一 分组转化法求和例1、已知数列{an}的通项公式是an ＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n 项和Sn.【提分秘籍】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【举一反三】(1)数列{an}中，an ＋1＋(－1)nan ＝2n －1，则数列{an}前12项和等于( ) A ．76B ．78C ．80D ．82(2)已知数列{an}的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an ＝________，其前n 项和Sn ＝________.答案 (1)B (2)3n －1＋2n 12n(3n ＋1)＋2n ＋1－2 解析 (1)由已知an ＋1＋(－1)nan ＝2n －1，① 得an ＋2＋(－1)n ＋1an ＋1＝2n ＋1，②由①②得an ＋2＋an ＝(－1)n·(2n －1)＋(2n ＋1)， 取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10， 结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78. (2)由已知得数列{an}的通项公式为 an ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴Sn ＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n) ＝n 2＋3n －12＋21－2n1－2＝12n(3n ＋1)＋2n ＋1－2. 题型二错位相减法求和例2、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝(4－an)qn －1(q≠0，n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a1＋3d ＝6，8a1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝－1.故an ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n. (2)由(1)得，bn ＝n·qn －1，于是 Sn ＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn －1. 若q≠1，将上式两边同乘以q 有qSn ＝1·q1＋2·q2＋…＋(n －1)·qn －1＋n·qn.两式相减得到(q －1)Sn ＝nqn －1－q1－q2－…－qn －1 ＝nqn －qn －1q －1＝nqn ＋1－n ＋1qn ＋1q －1.于是，Sn ＝nqn ＋1－n ＋1qn ＋1q －12.若q ＝1，则Sn ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.所以Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12，q ＝1，nqn ＋1－n ＋1qn ＋1q －12，q≠1.【提分秘籍】(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an ＝bn×cn 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围． 【举一反三】已知首项为12的等比数列{an}是递减数列，其前n 项和为Sn ，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝an·log2an ，数列{bn}的前n 项和为Tn ，求满足不等式Tn ＋2n ＋2≥116的最大n 值．(2)由于bn ＝anlog2an ＝－n·(12)n ，∴Tn ＝－[1·12＋2·(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －1＋n·(12)n]， 于是12Tn ＝－[1·(12)2＋…＋(n －1)·(12)n ＋n·(12)n ＋1]， 两式相减得：12Tn ＝－[12＋(12)2＋…＋(12)n －n·(12)n ＋1]＝－12·[1－12n]1－12＋n·(12)n ＋1，∴Tn ＝(n ＋2)·(12)n －2. ∴Tn ＋2n ＋2＝(12)n≥116，解得n≤4， ∴n 的最大值为4. 题型三裂项相消法求和例3 、已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14nanan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.解 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an ＝2n －1.【提分秘籍】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【举一反三】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n 项和Sn 满足S2n ＝an ⎝⎛⎭⎫Sn －12. (1)求Sn 的表达式；(2)设bn ＝Sn2n ＋1，求{bn}的前n 项和Tn.解 (1)∵S2n ＝an ⎝⎛⎭⎫Sn －12， an ＝Sn －Sn －1 (n≥2)， ∴S2n ＝(Sn －Sn －1)⎝⎛⎭⎫Sn －12， 即2Sn －1Sn ＝Sn －1－Sn ，① 由题意得Sn －1·Sn≠0，①式两边同除以Sn －1·Sn ，得1Sn －1Sn －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．∴1Sn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴Sn ＝12n －1.(2)∵bn ＝Sn2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【高考风向标】【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（II ）由（I ）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ） 112221n n ++--【高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 14(31)4.9n n n T ++-⋅=【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-【高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）+1=2n n a ，（Ⅱ）21n n T .【解析】（1）设n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,3,22a d a d 化简得11322,,2a d a d 解得11=1,2a d，故通项公式1=1+2n n a ，即+1=2n n a . (2)由（1）得141515+1=1==82b b a ，.设n b 的公比为q,则341q 8b b ,从而2q .故n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n nb q T q .1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足 anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0. (1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an }的前n 项和Sn.2．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【解析】(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d 为整数． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0，10＋4d≤0， 解得－103≤d≤－52， 因此d ＝－3.故数列{an}的通项公式为an ＝13－3n.(2)bn ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.3．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an ＝2n －1. (2)由题意可知， bn ＝(－1)n －14nanan ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝⎛⎭⎪⎫或Tn ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1【高考押题】1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和Sn 的值等于( )A ．n2＋1－12nB ．2n2－n ＋1－12nC ．n2＋1－12n －1D ．n2－n ＋1－12n 答案 A解析 该数列的通项公式为an ＝(2n －1)＋12n ，则Sn ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n2＋1－12n .2．已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )A ．0B ．－100C ．100D ．10200答案 B3．数列a1＋2，…，ak ＋2k ，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．185答案 C解析 a1＋…＋ak ＋…＋a10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－2＋20×102＝240－110＝130.4．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－6n ，则{|an|}的前n 项和Tn 等于( )A ．6n －n2B ．n2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n21≤n≤3，n2－6n ＋18n>3D.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n21≤n≤3，n2－6n n>3答案 C5．数列an ＝1n n ＋1，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.6．数列{an}满足an ＋an ＋1＝12(n ∈N*)，且a1＝1，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S21＝________.答案 6解析 由an ＋an ＋1＝12＝an ＋1＋an ＋2，∴an ＋2＝an ，则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×12＝6.7．已知数列{an}满足an ＋an ＋1＝－1n ＋12(n ∈N*)，a1＝－12，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S ＝________.答案 －100728．设f(x)＝4x 4x ＋2，若S ＝f(1)＋f(2)＋…＋f()，则S ＝________. 答案 1007解析 ∵f(x)＝4x 4x ＋2，∴f(1－x)＝41－x 41－x ＋2＝22＋4x， ∴f(x)＋f(1－x)＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f(1)＋f(2)＋…＋f()，①S ＝f()＋f()＋…＋f(1)，②①＋②得，2S ＝[f(1)＋f()]＋[f(2)＋f()]＋…＋[f()＋f(1)]＝，∴S ＝2＝1007.9．已知数列{an}是首项为a1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设bn ＋2＝143log n a (n ∈N*)，数列{cn}满足cn ＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n 项和Sn.解 (1)由题意，知an ＝(14)n(n ∈N*)， 又bn ＝143log 2n a ，故bn ＝3n －2(n ∈N*)．(2)由(1)，知an ＝(14)n ，bn ＝3n －2(n ∈N*)，所以cn ＝(3n －2)×(14)n(n ∈N*)． 所以Sn ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1.两式相减，得34Sn ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1.所以Sn ＝23－3n ＋23×(14)n(n ∈N*)．10．正项数列{an}的前n 项和Sn 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)令bn ＝n ＋1n ＋22a2n，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn<564. (1)解 由S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0，得[Sn －(n2＋n)](Sn ＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn ＋1>0.所以Sn ＝n2＋n(n ∈N*)．n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n ，n ＝1时，a1＝S1＝2适合上式．∴an ＝2n(n ∈N*)．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。