函数逼近与曲线拟合

i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
，其中
a
k

( x Pk, Pk ) (Pk, Pk )
, bk
( P k 1, P k 1)
( Pk, Pk )
.
（ 5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
例 已知点集 {xi}
3．正交
定义3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若 计 算 方 法 课 件
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
i 0
( xP0 , P0 ) i xi P0 2 ( xi ) 2.5
i 0
( xP0 , P0 ) a0 0.5 ( P0 , P0 )
P 1 ( x) x a0 x 0.5
由此得
计 算 方 法 课 件
2 (P , P ) P i 1 ( xi ) 0.625 1 1 i 0
定义 1 使得
设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元素
x1,x2,…,xn∈S ，如果存在不全为零的数 a1,a2,…,an∈P ，
计 算 方 1 1 2 2 n n 法 课 …,x 线性相关，否则称x ,x ,…,x 线性无关 则称 x ,x , 1 2 n 1 2 n 件
a x a x ... a x 0,
i=0,1,…,4
={0,0.25,0.5,0.75,1} 和
计 权数 { i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于 算 ( x), P1 ( x), P2 ( x) 该点集的正交多项式 P 0 方 法 解 先令 P0(x)=1 ，由此得 课 件 4 4
( P0 , P0 ) i P0 2 ( xi ) 5
x a x a x ,
坐标，记作 (a1,…,an)，如果 S中有无限多个线性无关元 素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.
下面考虑次数不超过 n 实系数多项式集合 Hn ，其
元素p(x)∈Hn表示为
计 0 1 算 方 法 它由n+Fra Baidu bibliotek个系数(a , a ,…,a )唯一确定. 0 1 n 课 件 关，它是Hn的一组基，故集合
p( x ) a a x an x
n
1,x,…,xn 线性无
Hn=span{1, x,…,xn}，
且(a0, a1,…,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的.
对连续函数 f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性
无关的函数表示，故C[a, b]是无限维的，但它的任一
计 元素f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使 算 误差 方 法 课 件 a xb
连续区间上正交多项式
连续区间上的正交多项式的概念与离散 计 算 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 方 的定义作相应的改变 。 法 课 定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为 件 b
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx, f , g C[a, b]
介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.
数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定 关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合 称为空间。
计 算 方 法 课 件
例1 所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成 实数域R上的线性空间---Rn,称为n维向量空间. 例 2 对次数不超过 n的（ n为正整数）实系数多项式 全体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线 性空间--Hn,称为多项式空间. 例3 所有定义在 [a,b] 集合上的连续函数全体，按函 数的加法和数乘构成数域 R上的连续函数线性空间 – C[a, b],称为连续函数空间. 类似地记Cp[a, b]为具有p 阶连续导数的函数空间.
离散点集上的正交多项式
计 算 方 法 课 件
定义 设有点集 {xi}
i=0,1,…,m，函数
f (x) 和 g (x) 在
离散意义下的内积定义为
( f , g ) i f ( xi ) g ( xi )
i 0
m
(1)
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x) 的2-范数定义为 (2) || f ||2 ( f , f ) 有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。

a
(3) 对非负的连续函数g (x) 若

b
a
g ( x) ( x)dx 0
则在(a, b)上g (x) 0
称 (x)为[a, b]上的权函数
2．内积
定义2 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，
计 算 方 法 课 件
则称
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
，即只有当a1=a2=…=an=0时等式(1.1)才成立.
若线性空间 S是由 n 个线性无关元素 x1,…,xn生成的
，即对任意x∈S，都有
计 1 1 n n 算 方 法 则 x , … ,x 称为空间 S 的一组基 , 记为 S=span{x , … ,x }, 并 1 n 1 n 课 件 称空间 S 为 n 维空间，系数 a1,…,an 为 x 在基 x1,…,xn 下的
max f ( x ) p( x ) f ( x ) p( x )
其中ε为任意给的小正数，即精度要求. 这就是下面著
名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.
定理1 设f(x)∈C[a, b]，则对任何ε>0，总存在一 个代数多项式p(x) ，使
计 算 在[a, b]上一致成立. 方 伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式 法 n k 课 Bn ( f , x) f Pk ( x), (1.1) 件 n k 0
给定点集{xi}
点集 {xi}
i=0,1,…,m和权数{
i}i=0,…m ，并且
计 算 项递推公式 方 （ 4） P 0( x ) 1, P1( x ) x a 0, 法 P k 1( x ) ( x a k ) P k ( x ) b k P k 1( x ), k 1, 2,n 1 课 n 件 给出的多项式序列 Pk ( x)k 0(n m) 是正交多项式序列
4
( xP 1, P 1 ) x P ( xi ) 0.3125
i 0 2 i i 1
4
从而有
( xP (P 1, P 1) 1, P 1) a1 0.5 , b1 0.125 , (P ( P0 , P0 ) 1, P 1)
2 P2 ( x) ( x a1 ) P ( x ) b P ( x ) ( x 0.5) 0.125 1 1 0
本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 A中给 定的函数 f(x) ，记作 f(x)∈A ，要求在另一类简单的
计 算 方 法 课 件
便于计算的函数类 B 中求函数 p(x)∈B ，使 p(x) 与
f(x)的误差在某种度量意义下最小”. 函数类A通常 是区间[a, b]上的连续函数，记作C[a, b]，称为函数 逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分 段低次多项式等 . 为了在数学上描述更精确，先要
第8章
计 算 方 法 课 件
函数逼近与曲线拟合
§ 8.1 数据拟合
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题. 上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准 是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体 某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了 拟合和逼近的概念. 对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况 .若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高 的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插 值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是 由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有 的点既不现实也不必要.
n n
故Bn ( f , x )是稳定的.
由(1.1)式给出的Bn(f, x)也是f(x)在[0, 1]上的一个
逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.
更一般函数逼近的概念：
f x C a , b, 令集合 span 0 , 1 ,..., n C a，b. 计 算 方 所谓函数逼近问题就是: 对任何f C a，b, 法 在子空间 中 找到一个元素 , 课 件
a
（ 6）
其中的 (x)0为给定的权函数。按连续意义下的内
积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满足条件(6),则称它为
在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交多项式序列。
连续区间上正交多项式
连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多
项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。
1．权函数 计 算 定义1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果有下列性质： 方 法 (1) (x) ≥0，对任意x [a, b]， 课 件 n b (2) 积分 x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)，
f ( x ) p( x )

n k 其中Pk ( x ) x (1 x )n k , 使得 k lim Bn ( f , x) f ( x )，在[0,1]上一致成立；
(m ) 若f ( x ) C m [0,1]，则 lim Bn ( f , x ) f ( m ) ( x ). n
n
其他性质： n k Pk ( x ) 0; Pk ( x ) x (1 x )n k 1. k 0 k 0 k
n n
计 算 方 法 课 件
若 f ( x ) , x [0,1]，则 k Bn ( f , x ) f Pk ( x ) max f ( x ) Pk ( x ) , 0 x 1 n k 0 k 0
a
b
为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0；
(2) (f, g) = (g, f )；
(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
i x i 0 来逼近 可用一组在 C a , b上线性无关的函数集合
n
使f x x 在某种意义下最小 .
最常用的度量标准：
(一) 一致逼近
计 算 方 法 课 件
以函数f (x)和p (x)的最大误差：
x[ a ,b ]
max f ( x) p( x)
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 (二) 平方逼近： 采用
[ f ( x) p( x)] dx
2 a
b
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为 平方逼近或均方逼近。
8.2 正交多项式
计 算 方 法 课 件
正交多项式是数值计算中的重要工具 ，这里只介绍正交多项式的基本概念、某 些性质和构造方法。离散情形的正交多项 式用于下节的数据拟合，连续情形的正交 多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下 章的高斯型求积公式的构造。它们在数值 分析的其他领域中也有不少应用。
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
计 算 方 法 课 件
0, i j (i , j ) ai 0, i j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi} i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列. 下面给出离散点上正交多项式的构造方法 .