函数逼近与曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近
1. 插值法
插值法是最简单的函数逼近方法之一。它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。拉格朗日插值多项式的形式为：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-
x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$
其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。牛顿插值多项式的形式为：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-
1}(x-x_{j})$
其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点
$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法
最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。它的基本思想是：给
定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。最小二
乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
(整理)数值分析课件 第3章 函数逼近与曲线拟合
第三章 函数逼近与曲线拟合
1 函数的逼近与基本概念
1.1问题的提出
多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞
==∑，
()(0)!
k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最
大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
数值分析 董玉林第三章 函数逼近与曲线拟合
.
T4 (x) 8x4 8x2 1
.
T5 (x) 16x5 20x3 5x
T6 (x) 32x6 48x4 18x2 1
➢ 奇偶性：
切比雪夫多项式 Tn ，当 n 为奇数时为奇函数；
n为偶数时为偶函数。
Tn x cos n arccosx cosn n arccos x
1n cosn arccos x 1n Tn x
pn xHn
f x pn x
其中， H表n 示由所有次数不超过n的代数多项式构成 的线性空间。
这就是 Ca,b 空间中的最佳一致逼近问题。
二、Ca,b上 最佳一致逼近多项式的存在性
定理2
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对
f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
注：对区间为［a,b］的情形，先作变换
x=(b-a)t/2+(b+a)/2
(2)
然后对变量为t的多项式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2) 式的反变换得到［a,b］上的最佳一致逼近多项式.
§3 最佳平方逼近
一、内积空间
1、定义5 设X 为(实)线性空间, 在X上定义了内积是指
对X 中每一对元素x, y, 都有一实数，记为 x, y与 之对应，
为 f x 与 Pn x 在a,b 上的偏差。
. 注：显然 f , Pn 0, f , Pn 的全体组成一个集合， 它有下界0
7函数逼近与曲线拟合
a
b
则称 是 f ( x) 在 中的最佳平方逼近函数。 定理7.3
f ( x)
在 中的最佳平方逼近函数存在且唯一 66
证
令 ( x) a j j ( x) ，定义m+1元函数
j 0
m
2 H (a0 , a1 , , am ) || f ||2 ( x )[ f ( x ) a ( x ) ] j j dx 2 b a j 0
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 ( m , 0 ) ( m , 1 ) ( m1 , 0 ) ( m1 , 1 )
( 0 , m1 ) (1 , m ) (1 , m1 ) ( m , m ) ( m , m1 ) ( m1 , m ) ( m1 , m1 )
m
由多元函数的极值的必要条件知，在最小值点处有
H 0 ai
b
i 0,1, 2,
m
,m
(7.1)
,m (7.2)
即 故有
2 ( x)[ f ( x) a j j ( x)]i ( x)dx 0
a j 0
( , )a
j 0 i j
m
j
( f , i )
1 3
解之,有
小波分析之函数逼近与曲线拟合
线性空间
设L是一个非空集合，K是实（或复）数域，并 可 在其上定义“加法”，“数乘”运算，而且满足以 下公理 • 加法交换律：x+y= y+x • 加法结合律：(x+y)+z= x+(y+z) • 存在零元：x+0=x • 存在逆元：x+(-x)=0 • 数乘：1x=x • a(bx)= (ab)x • (a+b)x=ax+bx • a(x+y)=ax+ay 则称L是数域K上的线性空间
2
= =
∑
n
x
2 i
i = 1
∞
m a x
1 ≤ i ≤ n
x
i
n与C[a,b]上范数的扩充关系 R
= = =
• 向量范数： 范数： 范数
x x x
1
∑
n
x
i = 1
i
2
∑
n
x
2 i
i = 1
∞
max
x
1 ≤ i ≤ n
i
• 函数范数：
数值分析函数逼近与曲线拟合
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是实数域上的线性空间，x S，如果存在唯一
实数 || ||，满足条件
(1) || x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0;
(正定性)
(2) x || x ||, R;
( 齐次性)
(3) x y || x || || y ||, x, y S.
[(x2
1)n ],
(n 0,1,2,)
称为n次 Legendre多项式 .
其首项系数an
2n (2n 1)(n 2n n!
1)
(2n)! 2n ( n! )2
.
首项系数为1的勒让德多项式为
P~n (
x)
n! (2n)!
dn dxn
[( x 2
1)n
],
(n 0,1,2,)
定理 2 设X为一个内积空间，对u,v X , 有
| (u,v) |2 (u,u)(v,v).
(1.6)
称为Cauchy Schwarz不等式.
定理3 设X为一个内积空间，u1, u2,, un X , 矩阵
(u1, u1) (u2, u1) (un , u1)
G
(u1, u2
(1) (u,v) (v,u), u,v X;
数值分析 第3章 函数逼近与曲线拟合)
例如
Rn : n维向量空间； Hn : 多项式空间； C[a, b]: 数域 R 上的线性空间；
C p[a, b] : 具有p阶连续导数的函数空间；
定义1 设集合S是数域 P 上的线性空间，元素 x1， , xn S，如 果存在不全为零的数 a1， , an P ，使得 a1 x1 an xn 0 ，则 称 x1， , xn 线性相关 .否则，则称 x1， , xn 线性无关 .
1、函数逼近
在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函
数表求得．用计算机计算时若把函数表存入内存进行查表，则占 用单元太多，不如直接用公式计算方便．因此，我们希望求出便 于计算且计算量省的公式近似已知函数f (x)．例如，泰勒展开式 的部分和
Pn ( x)
f ( x0 )
f
( x0 1!
(1,1) 2 ,(sin kx,sin kx) (coskx,coskx)
而对
k, j 1,2, ,当k j时有 (coskx,sin kx) (1, coskx) (1,sin kx) 0; (coskx, cos jx) (sin kx,sin jx) (coskx,sin jx) 0
n1(x) (x an )n (x) n n1(x)
(n 0,1,...)
其中 0 (x) 1, －1(x) 0, n (xn (x),n (x)) /(n (x),n (x)), n (n (x),n (x)) /(n1(x),(n1(x))
数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合
数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合
1曲线逼近方法的比较
1.1问题描述
曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。
考虑实验2.1中的著名问题。下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。
x=-1:0.2:1;
y=1./(1+25*x.*x);
xx=-1:0.02:1;
p2=polyfit(x,y,2);
yy=polyval(p2,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy);
xlabel(‘x’);
ylabel(‘y’);
hold on;
p3=polyfit(x,y,3);
yy=polyval(p3,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy);
hold off;
实验要求：
(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。
1.2算法设计
对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。
1.3实验结果
1.3.1多项式拟合
1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系
1 / 13
首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。
函数逼近与曲线拟合 曲线拟合
i ( x) xi ( i 0...m)
( ) � ( ) � m
m
如果记 k , j wik ( xi ) j ( xi ), y, j wi yi j ( xi ),( j 0...m) ，则正则方程组为
i 1
i 1
� � �((10
,0 ,0
) )
� � � �( m..,.0 )
( 0,1 ) ( 1,1 )
Least Squares)，函数(x) 称为这组数据的最小二乘函数。
2.给 出 线 性 最 小 二 乘 法 的 一 般 形 式 。
答：
给定数据组，( xi为, f已i ) (知i 的1,一2.组..m上) 的线0 (性x)无,1关( x函) ,数...,，m ( x)
[ a,b]
选取近似函数为特(别x)的当a0就0 (是x)多+项... +式a的m拟m (合x) ,
i 1
i 1
i 1
i 1
￥
￥n
n
n
n
n
￥
￥￥
a
0
i 1
xim
+a1
wk.baidu.com
i 1
xim+1
+a2
i 1
xm +2 + +am
i 1
xi2m
第三章函数逼近和曲线拟合
既：f(x)与g(x)在[a,b]上带权 正交。
若函数族 0 (x),1(x),...,n ( x),...
满足
( j
,k
)
b
a
(
x)
j
(
x)k
(
x)dx
Ak
0
0
jk jk
则称该函数族是在[a,b]上带权 的正交函数族。
Ak 1 时为标准正交函数族
例如，三角函数族
1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,....
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
如果存在不全为0的数 1,2 ,...,n P ，使得
1x1 2 x2 ... n xn 0
(1.1)
则称 x1, x2 ,..., xn 线性相关，否则，若等式(1.1)只对
1 2 ... n 0
成立，则称为线性无关。
若线性空间S是由n个线性无关元素生成的，即：
(整理)函数逼近与曲线拟合.
函数逼近与曲线拟合
3.１函数逼近的基本概念
3.1.1 函数逼近与函数空间
在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的
简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函
数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识．
数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及
向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间．
定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得
， (3.1.1)
则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关．
若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有
Matlab中的曲线拟合与函数逼近
Matlab中的曲线拟合与函数逼近
Matlab是一种功能强大的数学工具，广泛应用于科学计算、工程分析和数据处理等领域。在Matlab中，曲线拟合和函数逼近是常见的数学问题，它们可以帮助我们从一组离散数据中找到合适的函数形式，从而更好地理解数据的规律和趋势。本文将介绍Matlab中的曲线拟合和函数逼近的常见方法和技巧，并通过实例来说明其应用。
一、简单线性回归拟合
简单线性回归是最基本的曲线拟合方法之一，在Matlab中使用polyfit函数可以实现。假设我们有一组离散的数据点，分别表示自变量x和因变量y的取值，我们可以通过简单线性回归来寻找一条直线，使得该直线与这些数据点的拟合误差最小。
```matlab
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.2, 9.8];
coefficients = polyfit(x, y, 1);
```
在上述代码中，x和y分别是自变量和因变量的数据点。polyfit函数的第三个参数表示我们希望拟合的曲线的阶数，这里是1表示直线拟合。函数返回的coefficients是拟合曲线的系数，其中第一个元素表示直线的斜率，第二个元素表示直线的截距。
我们可以利用polyval函数来计算拟合直线上的点的函数值，从而与原始数据进行比较。
```matlab
y_fit = polyval(coefficients, x);
```
通过绘制拟合直线和原始数据，我们可以直观地看到拟合效果。
```matlab
plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-')
数值分析ppt第3章_函数逼近与曲线拟合
而
a u
j 1 j
n
j
a1 u1 a 2 u2 a n un 0
( 9)
n n a juj , a juj 0 j 1 j 1
n a j u j , uk 0, k 1, , n j 1
上页 下页
对Rn上的向量 x＝(x1,x2,…,xn)T, 三种常用范数为：
称为 －范数或最大范数
n ||x|| | x |, 1 i i 1
称为 1－范数
称为 2－范数
n ||x||2＝ xi2 i 1
1 2
上页
下页
类似的对连续函数空间C[a, b], 若f∈C[a, b]
可定义以下三种常用函数的范数
|| f || max | f ( x) |,
a x b
称为 范数
|| f ||1 | f ( x) | dx,
a
b
称为 范数 1
||f ||2 ( f 2 ( x)dx) ,
a
b
1 2
称为2 范数
可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.
＝(y1,y2,…,yn)T，则其内积定义为
( x , y ) xi yi
i 1
n
(12)
第3章 函数逼近与曲线拟合
从以上等价关系可知， G 0等价于从方程(1.8)推出 det a1 a 2 a n 0，而后者等价于从方程(1.9)推出 a1 a 2 a n 0，即u1 , u 2 , , u n 线性无关。
权函数
考虑到(x)在区间[a,b]上各点的函数值比重不同,
常引进加权形式的定义
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
f
2
b
a
( x) f ( x)dx
2
这里函数(x)是非负连续函数,称为[a,b]上的权函数.
它的物理意义可以解释为密度函数.
• 权函数定义：设[a, b]是有限或无限区域， 在[a, b]上的非负函数(x)满足条件 b （1） x k ( x)dx 存在且为有限值（k=1,2，…）
P P
[ f ( xi ) P( xi )]2 ,
i 0
m
则称P ( x)为f ( x)的最小二乘拟合 。
3.2 正交多项式
1) 正交的定义 若f(x),g(x)∈C[a,b],ρ(x)为[a,b]上的权函数且满 足 b
( f ( x), g ( x)) ( x) f ( x) g ( x)dx 0,
段低次多项式等.
数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确 定关系称为集合以某种空间结构赋予，并将这 样的集合称为空间。
函数逼近与曲线拟合(演示)精编
第三章 函数逼近与曲线拟合
1 函数的逼近与基本概念
1.1问题的提出
多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设
()f x 是[1,1]-上的光滑函数，
它的Taylor 级数0
()k
k k f x a x
∞
==
∑，
()(0)!
k k f a k =
在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11
()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分
布是不均匀的。当0x =时，(0)0n
e
=，而
x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1
x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n
f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经
济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保
留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近
第五章曲线拟合和函数逼近
b 0.1323.
正交多项式曲线拟合
定义：设有 0 ( x), 1 ( x),,n ( x) ，若其在点集 {xi }im 0 上满足
jk 0, ( j ,k ) i j ( xi )k ( xi ) ， 2 i 0 || j ||2 , j k
2
设y 1 / y 设y 1 / y , x 1 / x 设y y 2 x 设y y 设x 1 / x
b c y a 2 x x
例. 给定数据如下表，用最小二乘法求形如 y aebx 的经验公式。
x
y
2.2 65
2.7 60
3.5 53
4.1 50
4.8 46
解： y aebx ln y ln a bx ，记 a ln a,
中求函数 P( x) akk ( x) ，使得平方和
k 0
n
Q i P( xi ) yi
i 0
2
n i akk ( xi ) yi min 。 k 0 i 0
m
2
10
问题如何求解系数 a0 , a1,, an ？
则对应的一次拟合多项式为 y 1.05 2 x 。
解二：设一次拟合多项式为 y a0 a1 x ，
1 1 1 0 , G 1 1 1 2
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i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
，其中
a
k
( x Pk, Pk ) (Pk, Pk )
, bk
( P k 1, P k 1)
( Pk, Pk )
.
（ 5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
例 已知点集 {xi}
3．正交
定义3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若 计 算 方 法 课 件
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
i 0
( xP0 , P0 ) i xi P0 2 ( xi ) 2.5
i 0
( xP0 , P0 ) a0 0.5 ( P0 , P0 )
P 1 ( x) x a0 x 0.5
由此得
计 算 方 法 课 件
2 (P , P ) P i 1 ( xi ) 0.625 1 1 i 0
定义 1 使得
设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元素
x1,x2,…,xn∈S ，如果存在不全为零的数 a1,a2,…,an∈P ，
计 算 方 1 1 2 2 n n 法 课 …,x 线性相关，否则称x ,x ,…,x 线性无关 则称 x ,x , 1 2 n 1 2 n 件
a x a x ... a x 0,
i=0,1,…,4
={0,0.25,0.5,0.75,1} 和
计 权数 { i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于 算 ( x), P1 ( x), P2 ( x) 该点集的正交多项式 P 0 方 法 解 先令 P0(x)=1 ，由此得 课 件 4 4
( P0 , P0 ) i P0 2 ( xi ) 5
x a x a x ,
坐标，记作 (a1,…,an)，如果 S中有无限多个线性无关元 素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.
下面考虑次数不超过 n 实系数多项式集合 Hn ，其
元素p(x)∈Hn表示为
计 0 1 算 方 法 它由n+Fra Baidu bibliotek个系数(a , a ,…,a )唯一确定. 0 1 n 课 件 关，它是Hn的一组基，故集合
p( x ) a a x an x
n
1,x,…,xn 线性无
Hn=span{1, x,…,xn}，
且(a0, a1,…,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的.
对连续函数 f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性
无关的函数表示，故C[a, b]是无限维的，但它的任一
计 元素f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使 算 误差 方 法 课 件 a xb
连续区间上正交多项式
连续区间上的正交多项式的概念与离散 计 算 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 方 的定义作相应的改变 。 法 课 定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为 件 b
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx, f , g C[a, b]
介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.
数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定 关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合 称为空间。
计 算 方 法 课 件
例1 所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成 实数域R上的线性空间---Rn,称为n维向量空间. 例 2 对次数不超过 n的（ n为正整数）实系数多项式 全体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线 性空间--Hn,称为多项式空间. 例3 所有定义在 [a,b] 集合上的连续函数全体，按函 数的加法和数乘构成数域 R上的连续函数线性空间 – C[a, b],称为连续函数空间. 类似地记Cp[a, b]为具有p 阶连续导数的函数空间.
离散点集上的正交多项式
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定义 设有点集 {xi}
i=0,1,…,m，函数
f (x) 和 g (x) 在
离散意义下的内积定义为
( f , g ) i f ( xi ) g ( xi )
i 0
m
(1)
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x) 的2-范数定义为 (2) || f ||2 ( f , f ) 有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
a
(3) 对非负的连续函数g (x) 若
b
a
g ( x) ( x)dx 0
则在(a, b)上g (x) 0
称 (x)为[a, b]上的权函数
2．内积
定义2 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，
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则称
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
，即只有当a1=a2=…=an=0时等式(1.1)才成立.
若线性空间 S是由 n 个线性无关元素 x1,…,xn生成的
，即对任意x∈S，都有
计 1 1 n n 算 方 法 则 x , … ,x 称为空间 S 的一组基 , 记为 S=span{x , … ,x }, 并 1 n 1 n 课 件 称空间 S 为 n 维空间，系数 a1,…,an 为 x 在基 x1,…,xn 下的
max f ( x ) p( x ) f ( x ) p( x )
其中ε为任意给的小正数，即精度要求. 这就是下面著
名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.
定理1 设f(x)∈C[a, b]，则对任何ε>0，总存在一 个代数多项式p(x) ，使
计 算 在[a, b]上一致成立. 方 伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式 法 n k 课 Bn ( f , x) f Pk ( x), (1.1) 件 n k 0
给定点集{xi}
点集 {xi}
i=0,1,…,m和权数{
i}i=0,…m ，并且
计 算 项递推公式 方 （ 4） P 0( x ) 1, P1( x ) x a 0, 法 P k 1( x ) ( x a k ) P k ( x ) b k P k 1( x ), k 1, 2,n 1 课 n 件 给出的多项式序列 Pk ( x)k 0(n m) 是正交多项式序列
4
( xP 1, P 1 ) x P ( xi ) 0.3125
i 0 2 i i 1
4
从而有
( xP (P 1, P 1) 1, P 1) a1 0.5 , b1 0.125 , (P ( P0 , P0 ) 1, P 1)
2 P2 ( x) ( x a1 ) P ( x ) b P ( x ) ( x 0.5) 0.125 1 1 0
本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 A中给 定的函数 f(x) ，记作 f(x)∈A ，要求在另一类简单的
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便于计算的函数类 B 中求函数 p(x)∈B ，使 p(x) 与
f(x)的误差在某种度量意义下最小”. 函数类A通常 是区间[a, b]上的连续函数，记作C[a, b]，称为函数 逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分 段低次多项式等 . 为了在数学上描述更精确，先要
第8章
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函数逼近与曲线拟合
§ 8.1 数据拟合
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题. 上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准 是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体 某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了 拟合和逼近的概念. 对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况 .若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高 的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插 值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是 由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有 的点既不现实也不必要.
n n
故Bn ( f , x )是稳定的.
由(1.1)式给出的Bn(f, x)也是f(x)在[0, 1]上的一个
逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.
更一般函数逼近的概念：
f x C a , b, 令集合 span 0 , 1 ,..., n C a，b. 计 算 方 所谓函数逼近问题就是: 对任何f C a，b, 法 在子空间 中 找到一个元素 , 课 件
a
（ 6）
其中的 (x)0为给定的权函数。按连续意义下的内
积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满足条件(6),则称它为
在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交多项式序列。
连续区间上正交多项式
连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多
项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。
1．权函数 计 算 定义1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果有下列性质： 方 法 (1) (x) ≥0，对任意x [a, b]， 课 件 n b (2) 积分 x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)，
f ( x ) p( x )
n k 其中Pk ( x ) x (1 x )n k , 使得 k lim Bn ( f , x) f ( x )，在[0,1]上一致成立；
(m ) 若f ( x ) C m [0,1]，则 lim Bn ( f , x ) f ( m ) ( x ). n
n
其他性质： n k Pk ( x ) 0; Pk ( x ) x (1 x )n k 1. k 0 k 0 k
n n
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若 f ( x ) , x [0,1]，则 k Bn ( f , x ) f Pk ( x ) max f ( x ) Pk ( x ) , 0 x 1 n k 0 k 0
a
b
为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0；
(2) (f, g) = (g, f )；
(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
i x i 0 来逼近 可用一组在 C a , b上线性无关的函数集合
n
使f x x 在某种意义下最小 .
最常用的度量标准：
(一) 一致逼近
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以函数f (x)和p (x)的最大误差：
x[ a ,b ]
max f ( x) p( x)
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 (二) 平方逼近： 采用
[ f ( x) p( x)] dx
2 a
b
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为 平方逼近或均方逼近。
8.2 正交多项式
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正交多项式是数值计算中的重要工具 ，这里只介绍正交多项式的基本概念、某 些性质和构造方法。离散情形的正交多项 式用于下节的数据拟合，连续情形的正交 多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下 章的高斯型求积公式的构造。它们在数值 分析的其他领域中也有不少应用。
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
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0, i j (i , j ) ai 0, i j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi} i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列. 下面给出离散点上正交多项式的构造方法 .