2019年高考理综新课标Ⅰ卷物理第21题的解析与启示

GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG广东教育·高中2019年第7·8期2019年高考理综新课标Ⅰ卷物理第21题的解析与启示■山东省淄博市张店区第一中学宋宝山东省张店区马尚镇第一中学柳玉梅对2019年高考理综新课标卷Ⅰ物理第21题进行了总体分析，从不同的角度对试题各个选项进行解析，通过解析，得到了关于高考物理备考的几点启示。

一、真题呈现在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图1中实线所示。

在另一星球N 上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a -x 关系如图1中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。

已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则A ．M 与N 的密度相等B ．Q 的质量是P 的3倍C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍二、试题分析本题是一道力学综合题，主要考查万有引力定律、牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律等力学核心知识，重点考查《考试大纲》所要求五种能力中的推理能力、分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。

题目以物体轻放在竖直固定于水平桌面的轻弹簧上，弹簧被压缩为物理背景，分别将两个不同的物体在不同星球上用两根相同的弹簧完成这一过程，通过a -x 关系图像和两星球的半径关系将两物体的质量和两星球表面的重力加速度等相关物理量联系起来，给学生一种既熟悉又陌生的感觉，题目看似容易入手，实则障碍重重，彰显试题命制者命题技艺的娴熟和命题水平的高超。

本题既是理综新课标卷Ⅰ物理试题的一大亮点，又是一道难得的好题。

三、解题方法设物体质量为m ，星球的质量为M ，星球表面的重力加速度为g ，星球半径为R ，弹簧的劲度系数为k 。

本文对物理量的符号作如下约定：不同物体的同一物理量在相应物理量符号的右下角加注角标加以区分，如物体P 、Q 的质量分别为m P 、m Q ，星球M 、N 的质量分别为M P 、M Q ，等等，下文不再另作说明。

取竖直向下为正方向。

根据牛顿第二定律mg -kx=ma 可得a ＝-k mx +g结合a -x 图像知，-k m 为斜率，g 为纵轴上的截距，所以，g M g N =3a 0a 0=31（1）M 与N 的密度关系设星球的密度为籽，在星球表面物体所受重力近似等于星球对物体的万有引力G Mm R 2＝mg ，籽＝M 43仔R 3联立两式可得籽＝3g 4G 仔R。

所以籽M 籽N ＝g M g N R N R M ＝11（2）Q 与P 的质量关系解法1根据a -x 图像斜率求解由图像可知，-km P -k m Q =-3a 0x 0-a 02x 0解得m Q m P ＝61解法2根据物体加速度为零时，重力等于弹簧弹力求解m P g M ＝kx 0，m Q g N ＝k ·2x 0联立两式可得m Q m P ＝2g M g N =61（3）Q 与P 下落过程中的最大动能关系设物体下落过程中的最大动能为E k max 。

解法1根据a -x 图像面积求解物体由静止向下运动，在物体达到最大动能的过程中，合力对物体做正功，当物体所受合力为零时，物体动能最大。

合力对物体所做的功等于物体下落过程中的最大动能。

根据a -x 图像可知，图像与横轴所围成的面积再乘以物体的质量就表示合力的功，即E k max P =12x 0·3a 0m P ，E k max Q =12·2x 0a 0m Q .联立两式可得E k max Q E k max P =2m Q 3m P =41解法2根据动能定理求解图1109广东教育·高中2019年第7·8期理综高参设物体由静止达到最大动能的过程中，弹簧弹力对物体所做的功为W F则m P g M x 0+W FP =E k max P ，m Q g N ·2x 0+W FQ =E k max Q .弹簧弹力F 为变力，无法直接用功的计算公式计算弹力的功。

可作出F -x 关系图像，如图2所示，可知图像与横轴所围成的面积表示物体克服弹力所做的功，即W FP ＝-１２kx 0·x 0＝-１２kx 0２W FQ ＝-１２k ·２x 0·２x 0＝-2kx 0２又m P g M ＝kx 0，m Q g N ＝2kx 0联立以上六式可得E k max Q E k max P ＝41解法3根据机械能守恒定律求解设物体达到最大动能时，弹簧的弹性势能为E P 。

弹簧压缩过程中弹力做负功，弹性势能的增量等于克服弹簧弹力所做的功。

E PP ＝-W FP ＝１２kx 0２，E PQ ＝-W FQ ＝2kx 0２.取重力与弹簧弹力相等时所在的水平面为重力势能参考平面，根据机械能守恒定律m P g M x 0＝E k max P +E PP ，m Q g N ·2x 0＝E k max Q +E P Q .又m P g M =kx 0m Q g N ＝2kx 0联立以上六式可得E k max Q E k max P ＝41解法4根据简谐运动的规律求解可以证明物体在重力和弹簧弹力的作用下做简谐运动。

以P 物体为例证明如下：取重力与弹簧弹力相等位置为坐标原点，竖直向下为x ′轴正方向，如图3所示，物体的位置坐标用x ′表示。

回复力F ′=m P g M -k （x 0+x ′），又m P g M ＝kx 0.联立两式可得F ′=-kx ′所以，P 物体做简谐运动；同理可得，Q 物体做简谐运动。

简谐运动位移与时间的关系为x ′＝A sin （棕t+渍），若物体从静止向下运动开始计时，则x P ′＝x 0sin （棕P t-仔2），x Q ′＝2x 0sin （棕Q t-仔2）.两式分别对时间求导数，可得两物体的速度v P ＝棕P x 0cos （棕P t-仔2），v Q ＝2棕Q x 0cos （棕Q t-仔2）.根据以上两式可得速度的最大值v max P =棕P x 0，v max Q =2棕Q x 0E k max P =12m P v 2max P ，E k max Q =12m Q v 2max Q .又棕P ＝k m P姨棕Q ＝k m Q姨，联立以上六式可得E k max Q E k max P ＝41（3）Q 与P 下落过程中弹簧的最大压缩量关系设弹簧的最大压缩量为x max 解法1根据动能定理求解m P g M x max P -１２kx ２max P =0，m Q g N x max Q -１２kx ２max Q =0.又m P g M =kx 0，m Q g N =2kx 0联立以上四式可得x max Q x max P ＝21解法2根据机械能守恒定律求解取弹簧达到最大压缩量时物体所在的水平面为重力势能参考平面，根据机械能守恒定律m P g M x max P =12kx ２max P ，m Q g N x max Q =12kx ２max Q .又m P g M =kx 0，m Q g N =2kx 0.联立以上四式可得x max Q x max P ＝21解法3根据运动的对称性求解（1）从a -x 关系图像看运动的对称性。

根据a -x 图像可知，加速度为正时，加速度随弹簧压缩量均匀减小，物体做加速度越来越小的加速运动；加速度为负时，加速度随弹簧压缩量均匀增大，物体做加速度越来越大的减速运动。

两段运动具有明显对称性，则x max Q x max P ＝2·2x 02x 0=21（2）简谐运动本身具有对称性，x max Q x max P ＝2·2x 02x 0=21四、几点启示1.提高由图像获取物理信息的能力。

本题题干只给出了一个定量关系“星球M 的半径是星球N 的3倍”，其它定量关系均需通过a -x 关系图像获得。

a -x 图像为一次函数图像，这种图像在高中物理中最为常用，需结合数形结合的思想，根据相应的物理规律写出函数关系式，在明确图像的斜率、截距、交点以及图像与横纵所围成的面积等物理意义的同时，问题往往就能得到解决。

本题两物体的质量关系、两星球表面的重力加速度关系均可通过图像的斜率和截距直接得出，但“a -x 图像与横轴所围成的面积乘以物体的质量表示合力的功”这一关系比较隐蔽，对根据图像获取物理信息的能力要求很高。

除此之外，理综新课标卷Ⅰ物理第20题、第25题也涉及到一次函数图像斜率、面积等物理意义的理解和应用。

2.强化力学基本规律的理解和应用。

总的来说，2019年理综新课标卷加大了力学的考查力度，突出力学在整个物理学中的基础性和重要性。

牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律（功能关系）、动量定理、动量守恒定律是力学的基本规律，这些规律构成了解决力学问题的三大途径，即动力学观点、能量观点和动量观点，要强化这些规律在不同物理情境下的灵活运用。

本题对物体进行受力分析，运用牛顿第二定律可得出a -x 关系式；运用动能定理110GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG广东教育·高中2019年第7·8期求解下落过程中的最大动能时，涉及到弹簧的弹力为变力，可将弹力的功转化为相应图像与横轴所围成的面积来求解；物体、弹簧和地球组成的系统还满足机械能守恒定律。

另外，理综新课标卷Ⅰ物理第25题对力学基本规律的理解和应用提出了更高的要求。

3.提高应用数学知识解决物理问题的能力。

物理学的发展离不开数学的支撑。

一个物理问题往往在经历了建立物理模型、分析物理过程、运用物理规律之后，就将这个物理问题转化成为一个数学问题，从而用数学知识和方法来加以解决。

因此，应用数学处理物理问题的能力是高考物理考查的五大能力之一。

本题对a -x 关系图像的理解从根本上说是数学中的函数及其图像的知识，在求解两物体下落过程中的最大动能关系的解法4中还用到了导数的知识。

其实涉及到变化率的问题都要用导数的知识，如位移对时间的变化率是速度，速度对时间的变化率是加速度，磁通量的变化量对时间的变化率是感应电动势等等。

责任编辑李平安对于历届高三复习，绝大多数学生惧怕同分异构体的书写与计数的题目，空白率高或乱填答案或者浅尝辄止的应付一下等不得章法，导致得分率低。

复习过程中，不少同学感觉投入时间多，但在考场上有限时间内仍无法迅速得出正确答案。

凡此种种，归根结底还是必备知识、关键能力、思维方法等环节并没关联好。

为此，笔者整理出2010-2019这十年全国卷的非选择题部分中有关同分异构体的试题节选印刷给学生，让学生体验近十年高考同分异构体是怎么考的，考了什么，有什么规律或特点，然后具体引导学生从化学核心素养证据推理与模型认知的视域下分门别类、快速建模，从一轮到三轮复习过程中，不断强化，螺旋式上升，最终实现快速解题。