鹤山一中2012-2013第一学期期末考试(文科数学)答案

鹤山一中2012－2013学年度第一学期期末考试
数学试题（文科）参考答案和评分标准
一、选择题（每题5分，共50分）
二、填空题（每题5分，共20分）
11．N x ∈∃，x x <2
； 12. 2 13．－4 14． 0,1
45,2
n n n =⎧⎨
-≥⎩
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.
15．（本题满分12分）
解: 解：{}{}2422A x x x x =<=-<<， …………………………………………2分
{}{}(1)(3)031B x x x x x =-+<=-<<. …………………………………………4分
（1）{}21A B x x ∴=-<< . ……………………………………………………6分 （2）{}32A B x x =-<< . …………………………………………………………8分 因为220x ax b ++<的解集为{}32x x -<<，
所以32-和为220x ax b ++=的两根，………………………………………………9分
故322322
a
b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪
=-⨯⎪⎩， ……………………………………………………………………11分
所以2a =，12b =-． ………………………………………………………………12分
16、（本题满分12分）
（1）34+3；应用基本不等式即可，若没有“相等的条件适当扣1-2分”共6分。

(2) 34+1；应用基本不等式即可，若没有“相等的条件适当扣1-2分”。

（共6分）
17、（本题满分14分） 解:⑴∵a
b =,∴所求圆锥曲线为等轴双曲线.
∴设双曲线方程为
222
2
1(0)
x y a a
a
-
=> …………………………………………２分
∵图象经过点,∴
22
2
2
21a
a
-
= ∴1a =……………………………………5分
∴所求双曲线方程为2
2
1x y -= ………………………………………………6分
⑵22
22
1(1)2201
y kx k x kx x y =+⎧⇒-++=⎨-=⎩……………………………………8分 ()2
111,k k ==±∴当时，直线与双曲线的渐近线平行，
直线与双曲线有一个交点。

………………………10分
222
2
2148(1)02k k k k k ≠∆=--=⇒=⇒=（）当时， (3)
1k ∴=-、1-直线与双曲线有一个公共点 (4)
18．（本题满分14分） 解：
（1）'2()369f x x x =-++………………………………………………………………2分 令'2()03690f x x x <-++<即………………………………………………………3分 解得3x >或1x <-…………………………………………………………………………4分 再令'2()03690f x x x >-++>即
解得13x -<<……………………………………………………………………………6分 所以该函数的单调递减区间为(,1)-∞-、(3,)+∞；单调递增区间为(1,3)-…………8分 （2）令'()0f x =，得到1x =-或3x =（舍）…………………………………………10分 由（1）知道该函数在[2,1]--上递减，在[1,2]-上递增，
那么，最小值为(1)54f d -=-=-，所以1d =…………………………13分
而
f(2)=-8+12+18+1=23f(-2)=8+12-18+1=3
所以函数f(x)的最大值为23…………………………………………………………14分
19．（本题满分14分）
（1） 解:设椭圆C:
222
2
1,(0)x y a b a
b
+
=>>的焦距为2c,
∵椭圆C:
222
2
1,(0)x y a b a
b
+
=>>的焦距为2, ∴
2c=6,即c=3……………………1分 又∵1F 、2F 分别是椭圆C:
222
2
1,(0)x y a b a
b
+
=>>的左焦点和右焦点,且过1F 的弦
AB 两端点A 、B 与2F 所成⊿AB 2F 的周长是.
∴⊿AB 2F 的周长 = AB+(AF 2+BF 2)= (AF 1+BF 1)+ (AF 2+BF 2)=4a =
∴a = …………………………………………………………………………4分
又∵222a b c =+, ∴2
1899b =-=∴椭圆C 的方程是
2
2
118
9
x
y
+
=………………6分
（2）解一： 点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上不同的两点，
∴
2
2
1
1118
9
x y +
=，
2
2
2
2118
9
x y +
=.…………………………………………………………7分
以上两式相减得：
2
2
22
12
12
018
9
x x y y --+
=，……………………………………………8分
即2222
12122()0x x y y -+-=，12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=，…………9分
∵线段PQ 的中点为(2,1)M ，∴12124,2x x y y +=+=.…………………………10分
∴12124()4()0x x y y -+-=，…………………………………………………………11分 当12x x =，由上式知，12y y = 则,P Q 重合，与已知矛盾，因此12x x ≠，…………12分 ∴
1212
1y y x x -=--. ………………………………………………………………13分
∴直线PQ 的方程为1(2)y x -=--，即03=-+y x . …………………………14分 解二: 当直线PQ 的不存在时, PQ 的中点在x 轴上, 不符合题意.
故可设直线PQ 的方程为()21-=-x k y , ()()1122,,,P x y Q x y .………………8分
由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1918
212
2y
x x k y ， 消去y ，得()()()
028********=--+--+k k x k k x k (*) 2
2
212148k
k k x x +-=
+∴. …………………………………………………………10分
PQ 的中点为()1,2M ,
421=+∴x x .421482
2
=+-∴
k
k
k
.解得1-=k . ……………………………………12分
此时方程(*)为01232=-x x ,其判别式0144>=∆.…………………………………13分
∴直线PQ 的方程为03=-+y x . ……………………………………………14分 20．（本题满分14分）
解：(1)当n=1时，a 1=S 1=2…………………………………2分
当n ≥2时，241-=-=-n S S a n n n ………………4分
)(24+∈-=∴N n n a n ……………………………5分
∴b 1=a 1=2,41
12
==b b q ∴)(4121
+-∈⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯=N n b n n …………7分
(2) 由(1)知，1
1
4
)12(41224--⋅-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-=
=
n n n
n n n n b a c …………9分
∴ 1
24)12(45431-⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=n n n T ①…………10分
n
n n T 4)12(45434 432⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=∴② ①-②得…………11分
n
n n Tn 4)12(4
24242131
2--⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=--n
n n 4)12(4
1)
4
1(42
11
----+=-…13分
∴95
4956+⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛-=n n n T …………………………14分。