江苏省淮安市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(原卷版)
淮安市2022~2023学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}12M x x =+<，{}1N x a x =<<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],3−∞−B. (),3−∞−C. [)3,1−D. ()3,1−2. 已知直线l 的方向向量()1,1,2e −− ，平面α的法向量1,,12n λ=−，若l α⊥，则λ=（ ）A. 52−B. 12−C.12D.523. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（ ） A.15B.25C.35D.454. 若0x >，0y >，称a =是x ，y 的几何平均数，211b x y=+是x ，y 的调和平均数，则“3a >”是“3b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（ ）A.172B.532C.516D.236. 已知四棱锥P ABCD −的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（ ）A.B.C.D.7. 某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式 A. 49B. 64C. 66D. 738. 设A ，B 是一个随机试验中两个事件，且()13P B =，()56P B A =，()12P B A =，则（ ）A. ()13P A =B. ()16P AB =C. ()34P A B +=D. ()14P A B =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若0a b c <<<，则下列不等式中正确的有（ ） A. 0a b +>B.c c a b> C.b b ca a c+>+ D. 11a b b a+<+ 10. 如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉()7,35B 后，下列说法正确的有（ ）A. 决定系数2R 变大B. 变量x 与y 的相关性变弱C. 相关系数r 的绝对值变大D. 当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯11. 有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ） A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次 B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法12. 在正四棱锥P ABCD −中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（ ）的A. PQB. 当1x =时，三棱锥P ADQ −的体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 随机变量()25,X N σ∼，()138P X <=，则()37P X ≤<=______． 14. 在三棱柱111ABC A B C 中，点M 在线段1CB 上，且12CM MB =，若以{}1,,AB AC AA为基底表示AM ，则AM =______．15. 已知1x ≠−，且0x ≠，则()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中2x 项的系数是______．（用数字作答）16. 已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，当()34E ξ=时，()21D ξ+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知()2nx y −展开式中仅有第4项的二项式系数最大．（1）求展开式的第2项；（2）求展开式的奇数项系数之和．18. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x1 2 3 4 5 平均收入y （千元） 5961646873的（1）根据表中数据，现有y a bx =+与2y c dx =+两种模型可以拟合y 与x 之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．参考数据及公式：()()1217n iii t t y y =−−=∑，()21374nii t t =−=∑，其中2i i t x=．()()()121nii i nii xx y yb xx==−−=−∑∑ ，a y bx =− ．19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的22×列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计50（1）完成上述22×列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．的()2P K k ≥00500.010 0.001 k3.8416.63510.82820. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 是对角线1BD 上异于B ，1D 的点，记1BPBD λ=．（1）当APC ∠为锐角时，求实数λ的取值范围； （2）当二面角P AC B −−的大小为4π时，求点1B 到平面PAC 的距离．21. 已知函数()22,24,22x mx x f x m x x x −+≤= −+> −，m ∈R ． （1）当2x ≤时，求()0f x >的解集；（2）若()f x 的最大值为3，求的值．22. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为13，投入壶耳的概率为16；乙投入壶口的概率为23，投入壶耳的概率为13．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立．（1）求甲投壶3次得分为3分的概率； （2）求乙投壶多少次，得分为8分概率最大．.的。
江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年度第一学期调研测试初三数学试题（2023.11）友情提醒：请在答题纸对应区域答题，在本试卷上答题无效．一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．已知，则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．2．观察下列每组图形，属于相似图形是（）A．B．C．D．3．已知的半径为，则点在（）A．内B．上C．外D．无法确定4．如图，是上的三点，，则的度数是（）（第4题）A．B．C．D．5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）（第5题）A．B．C．D．6．若与的相似比为，则与的面积比为（）A．B．C．D．()350x y y=≠53xy=53x y=35xy=35x y=O3,5OA=AOOO,,A B C O50BAC∠=︒BOC∠40︒50︒90︒100︒4cmEF CD== 1cm2cm5cm212cm5ABC△DEF△1:3ABC△DEF△1:31:93:17．在中，分别为边上一点，，若，则的长是（）A．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（）（第8题）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．圆有______条对称轴．10．在比例尺为的图纸上，长度为的线段实际长为______．11．如图，，那么添加一个条件：______，能确定．（第11题）12．四边形是的内接四边形，，则的度数为______．13．一个四边形的边长分别是，另一个与它相似的四边形最小边长为6，最长边是______．14．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______．（第14题）15．将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中，中间正六边形的中心到直线的距离为______．ABC △D E 、AB AC 、2//,3AD DE BC DB =6AC =CE 65125185245ABCD 2BC AB =A ()0,3B ()1,0D ()7,2()7,5()5,6()6,51:5010cm m BAD CAE ∠=∠ABC ADE ∽△△ABCD O 40A ∠=︒C ∠3,4,5,630A ∠=︒ABC C A B C ''B C A '、15BC =A图1 图216．如图，在正方形中，对角线交于点为的中点，连接，交于点，若的长为______．（第16题）三、解答题（本题共9小题，共102分）17．（8分）如图，的直径是的弦，，垂足为，，求的长．18．（8分）如图，已知，它们依次交直线于点和点，若，求的长．19．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，已知小明的身高为1.6米，他在路灯下的影长为2米，此时小明距路灯灯杆底部的长为3米，求灯杆的高度．20．（10分）如图，在中，，以为直径的分别交于点．ABCD AC BD 、,O E CD BE OC P OP =AB O 10cm,CD AB =O AB CD ⊥M :3:5OM OD =AB ////AB CD EF 123l l l 、、A C E 、、B D F 、、:2:3,9AC CE BF ==DF MN AB NC BN AB ABC △AB AC =AB O AC BC 、D E 、（1）求证：点是的中点；（2）若，求的度数．21．（10分）如图，已知是射线上一点，为圆心、为半径画．（1）当与射线相切时，求的值；（2）写出与射线有公共点的个数及对应的的取值范围．22．（10分）如图，在正方形中，点分别在上，，（1）求证：；（2）求的度数．23．（10分）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：图1 图2（1）在图1中画，使得，且相似比为．（2）在图2中画，使得，且面积比为．24．（12分）如图，点为Rt斜边上的一点，以为半径的与交于点，与交于E BC70C∠=︒BOD∠45,AOB M∠︒=OB OM=M rMMOA rMOA rABCD M N、AB BC、4,1AB AM==34BN= ADM BMN∽△△DMN∠111A B C△111A B C ABC∽△△2:1222A B C△222A B C ABC∽△△2:1O ABC△AB OA OBC D AC点平分．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积．25．（12分）在矩形中，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．图1 图2（1）如图1，若点恰好在边上，连接，求的值；（2）如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长．26．（14分）如图，内接于为的直径，点为上的一动点，且在上方（点不与点重合），．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）连接；（3）若关于直线的对称图形为，连接，试探究三者之间的等量关系，并证明你的结论．九年级数学试题参考答案2023.11一、选择（每小题3分，共24分）题号12345678,E AD BAC ∠BC O 60,2BAC OA ∠=︒=ABCD 4,6AB AD ==A P DE P BC AP APDEE AB EP BCF BF ABC △,O AC O P O AC P ,A C ACB P ∠=∠ABC △AP AP CP =+BCP △BC BCQ △AQ 222,,AQ BQ CQ答案B C C D C B C D二、填空（每小题3分，共24分）9．无数10．511．或或12．13．1214．15．16．三、解答（本大题共10小题，共102分）17．如图，连接．的直径，的半径为，即，又，，，垂足为，，在Rt 中，，．18．即19．由题意得：即答：灯杆的高度为4米20．（1）略（2）又21．（1）如图，过点作，垂足为点，为等腰直角三角形，由勾股定理可求得：B D ∠=∠C AED ∠=∠AD AEAB AC=140︒20πOA O 10cm CD =O ∴ 5cm 5OA OD ==:3:5OM OD = 3OM ∴=ABCD ⊥ M AM BM ∴=AOM △4AM ==2248cm AB AM ∴==⨯=////AB CD EF AC BD AE BF ∴=2239BD =+185BD ∴=1827955DF BF BD ∴=-=-=//AB MN ABC MNC ∴∽△△MN CNAB CB∴=1.6223AB =+4AB ∴=AB AB AC = 70B C ∴∠=∠=︒18040BAC B C ∴∠=-∠-∠=︒︒OA OD = 40ODA OAD ∴∠=∠=︒404080BOD ODA OAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒M MC OA ⊥C45AOB =︒∠ OCM ∴△OM = ∴1CM r ==（2）由（1）可知，根据直线与圆的关系得到：当时，与射线相切，只有一个公共点；当时，与射线相交，有两个公共点；当时，与射线只有一个公共点．22．（1）又（2）23．（5分5分分）图1 图224．（1）如图，连接平分；1r =OOA 1r <≤OOA r >O OA 41413AD AM MB AB AM ==∴=-=-= 4143334AD AM MB BN===AD AMMB BN ∴=90A B ∠=∠=︒ ADM BMN ∴∽△△ADM BMN∽△△12∴∠=∠1390∠+∠︒= 2390∴∠+∠=︒()1802390DMN ∴∠=-∠+∠=︒︒+10=OD,OA OD OAD ADO=∴∠=∠ AD CAB ∠OAD CAD ADO CAD ∴∠=∠∴∠=∠//AC OD ∴C ODB∴∠=∠,90AC BC ODB ⊥∴∠=︒点在上是的切线（2）连接为等边三角形，又25．（1）在矩形中，，，由折叠性质得：，．，．．（2）如图，过点作交于点，．由折叠性质得，．设，则，点是的中点，，，解得：，即，．，，，D O BC ∴O OE DE 、60,BAC OE OA∠=︒= OAE ∴△60AOE ∴∠=︒30ADE ∴∠=︒130,2OAD BAC ADE OAD ∠=∠=︒∴∠=∠ //ED AO∴AED OED S S ∴=△△260223603DOES S ππ⨯⨯∴===阴影扇形ABCD 90BAD ABC ∠=∠=︒90BAP APB ∴∠+∠=︒AP DE ⊥90,BAP AED APB AED ︒∴∠+∠=∴∠=∠90EAD ABP ∠︒∠== ABP DAE ∴∽△△4263AP AB DE AD ∴===E //EH DP AD H //,EH DP HED EDP ∴∠=∠ ,90HDE EDP DPE A ∠=∠∠=∠=︒,HED HDE EH DH ∴∠=∠∴=EH DH x ==6AH x =- E AB 2AE ∴=()222222,26AE AH EH x x +=∴+-= 103x =103DH =83AH ∴=//EH DP 90,90HEP AEH BEF ∴∠=∴∠+∠=︒︒90,90A B AEH AHE ∠=∠=∴∠+∠=︒︒，，即，解得，的长为．26．（1），又，，又是该外接圆的直径，为等腰直角三角形（2）如图，作，并延长交于点，，为等腰直角三角形，，由勾股定理可知，，由（1）可知为等腰直角三角形，，又，，在和中，，，，（3）如图，延长交于点，连接，，,AHE BEF AEH BFE ∴∠=∠∴∽△△AE AH BF BE ∴=8232BF =32BF =BF ∴32,BCBC A P =∴∠=∠ P ACB ∠=∠ A ACB ∴∠=∠AC 90ABC ∴∠=︒ABC ∴△BD PB ⊥PC BD D 45,BPC PB BD ∠=︒⊥ PBD ∴△PB BD ∴=22222PD PB BD PB =+=PD ∴=ABC △,90AB BC ABC ∴=∠=︒90PBD =︒∠ ,ABP PBC CBD PBC ABP CBD ∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴ABP △CBD △AB CBABP CBDPB DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP CBD SAS ∴≌△△AP CD ∴=PC PA PC CD PD ∴+=+==2222BQ CQ AQ+=QC O F AF BF 、45BFQ BPC BQC ∠︒∠=∠==为等腰直角三角形由勾股定理可求得：，又，又，即，为直径，，在Rt 中，有，．BQF ∴△∴222QF BQ =BF BP BQ == BPBF ∴=,AB BC BP AB PF BF BC PF =∴-+=-+ AF PC =,AF PC CQ ∴==AC 90AFQ ∴∠=︒AFQ △222AF QF AQ +=2222BQ CQ AQ ∴+=。
江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1. 命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定是（ ） A. 0x ∃≤，210x x ++> B. 0x ∃≤，210x x ++< C. 0x ∀≤，210x x ++< D. 0x ∀>，210x x ++>【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定为特称命题：∀→∃，并否定原结论即可.【详解】命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定为“0x ∃≤，210x x ++<”， 故选：B2. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解， 【详解】根据双曲线的对称性可设顶点()2,0A ，其中一条渐近线方程是1202y x x y =⇔-=，那么顶点到渐近线的距离d ==故选：A3. 若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =--，并且//αβ，则x 的值为（ ）A. 10B. 10-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据两个法向量共线可得x 的值. 【详解】因为//αβ，,a b 共线，故12124x --==-，故12x =， 故选：C.4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A.113尺 B.10529尺 C.6529尺 D.73尺 【答案】B 【解析】 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列， 且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--， 故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭， 故选：B. 5. 不等式121x ≥-的解集为（ ） A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (]3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法转化为231xx-≤-，解不等式.【详解】1122011x x≥⇔-≥--，即231xx-≤-，即()()231010x xx⎧--≤⎨-≠⎩，解得：312x<≤，所以不等式的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A6. 已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，则点A到平面11A B CD的距离为（）A.23B. 2C. 2D. 22【答案】B 【解析】【分析】由垂直关系可知1AD⊥平面11A B CD，根据边长关系直接求点到平面的距离. 【详解】连结1AD，与1A D交于点M，11A D AD⊥，且11A B⊥平面11ADD A111A B AD∴⊥，且1111A D A B A=，1AD∴⊥平面11A B CD，∴点A到平面11A B CD的距离为1122AM AD==. 故选：B7. 在数列{}n p中，如果对任意()*2n n N≥∈，都有11nnn np pkp p+--=(k为常数)，则称数列{}n p为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（）A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B. 等差数列一定不是比等差数列C. 若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D. 若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质()*2n n N ≥∈有11nn n n p p k p p +--=，判断各项描述是否正确即可. 【详解】A ：若{}n a 为等比数列,公比0q ≠，1n n a q a +=，1n n a q a -=，所以1101n n n n a ak a a +--==≠，A 错误.B ：若1,{}n n b b =为等差数列,故有110n nn n b b b b +--=，为比等差数列，B 错误. C ：令0,1n n a b ==，则0n n a b =，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，C 错误. D ：由题设知：342,3a a ==，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，不是比等差数列，正确. 故选：D8. 已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A. 9-B. 8-C. 7-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b +=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立. 22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪， 即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分)9. （多选题）已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b< B. 22ac bc >C.b a a b> D. 22a ab b >>【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项. 【详解】A.1y x =在()0,∞+上单调递减，所以当0a b >>时，11a b<，故A 正确； B.当0c时，22ac bc >不成立，故B 不正确；C.当0a b >>时，22a b >，两边同时除以ab 得，a bb a>，故C 不正确； D. 当0a b >>时，两边同时乘以a 得，2a ab >，或两边同时乘以b 得，2ab b >，所以22a ab b >>，故D 正确. 故选：AD10. 下列命题正确的是（ ）A. 已知u ，v 是两个不共线的向量.若a u v =+，32b u v =-，23c u v =+则a ，b ，c 共面B. 若向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若()1,0,0A ，()0,1,0B ，则与向量AB共线的单位向最为2,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭D. 在三棱锥O ABC -中，若侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，则底面ABC 是锐角三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理可判断A ；由构成空间向量的基底不能共面可判断B ；根据单位向量的计算公式AB AB可判断C ；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A ，u ，v 是两个不共线的向量，不妨假设a ，b ，c 共面 则c ma nb =+，即()()3223c m n u m n v u v =++-=+， 可得131,55m n ==-，存在一对实数,m n ，使得c ma nb =+，即假设成立，故A 正确； 对于B ，向量//a b ，则a ，b 与任何向量都共面，所以a ，b 与任何向量都不能构成空间一个基底，故B 正确；对于C ，()1,1,0AB =-，所以ABAB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ， OA ，OB ，OC 两两垂直，()()20AB AC OB OA OC OA OA ∴⋅=-⋅-=>，所以AB 与AC 的夹角为锐角，即BAC ∠为锐角，同理ABC ∠，BCA ∠为锐角，ABC ∴是锐角三角形，故D 正确. 故选：ABCD11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A. 614a =B. 数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C. 对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D. 1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.12. 在平面直角坐标系xOy 中，(),P x y 为曲线22:4224C x y x y +=++上一点，则（ ）A. 曲线C 关于原点对称B. 1x ⎡∈-+⎣C. 曲线C 围成的区域面积小于18D. P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】当0x >，0y >时，曲线C 为()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，根据点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，可得曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【详解】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x yx y +=++即()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中0y =可得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个可得纵坐标最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确； 对于选项D ：令()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭中0x =，可得132y =±，所以到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3故选项D 正确， 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C 在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线C 的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)13. 若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断0∆=>，计算即得结果.【详解】二次函数2()f x x ax a =-+是开口向上的抛物线，故要使2()0f x x ax a =-+<有解，则需240a a ∆=->，即()40a a ->，解得0a <或4a >.故实数a 的取值范围为()(),04,-∞+∞.故答案为：()(),04,-∞+∞.14. 已知数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =，则5a =___________. 【答案】8± 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，即可求解. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =， 则252841664a a a =⋅=⨯=，所以58a =±. 故答案为：8±15. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ､右准线为l ，若l 上存在点P ，使得线段PF 的中点恰好在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率的最小值为_____________.1 【解析】 【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点2(,2)a P y c，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得2y ，又20y ≥，解不等式即可得离心率的最小值.【详解】由()2222:10x y C a b a b+=>>，得(,0)F c -，2a l x c =：，设点2(,2)a P y c ，故中点为22(,)2a c y c-，又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得2222222()14a c y a c b-+=， 整理得2222222()[1]04a c y b a c -=⋅-≥，故22222()104a c a c --≥，又(0,1)ce a=∈，整理得2(3)8e -≤，233e -≤≤+，即2231)e ≥-=，1e ≥，故答案为：21-.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16. 已知函数()()()()244422f x a x a x a a R =-++++∈，则该函数()f x 的图象恒过定点________；若满足()0f x <的所有整数解的和为6-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (1). 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭(2). 108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()()()21221f x a x a x =-++⋅+⎡⎤⎣⎦，即可求得函数()f x 的图象所过定点的坐标； 【详解】()()()()()4442221221f x a x a x a a x a x =-++++=-++⋅+⎡⎤⎣⎦，当10a -=时，令()0f x =，得12x =-；当10a -≠时，令()0f x =，得()221a x a +=-或12x =-.综上所述，函数()f x 的图象必过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分以下三种情况讨论：①当10a -=时，即当1a =时，由()()3210f x x =+<，可得12x <-，不合乎题意； ②当10a ->时，即1a >时，()()213021221a a a +⎛⎫--=< ⎪--⎝⎭，则()21212a a +<--， 解不等式()0f x <，可得()21212a x a +<<--，由于不等式()0f x <所有的整数解的和为6-，则不等式()0f x <的所有整数解有3-、2-、1-，所以，()24321a a +-≤<--，解得10875a ≤<；③当10a -<时，即1a <时，()()213021221a a a +⎛⎫--=> ⎪--⎝⎭，可得()21212a a +>--. 解不等式()0f x <，可得12x <-或()221a x a +>-，不等式()0f x <的解中有无数个整数，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17. 命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15m <<；（2）512a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m满足方程221 15x ym m+=--表示双曲线，则()()150m m--<，解得15m<<，（2）实数m满足不等式()223200m am a a-+<>，解得2<<a m a，若p是q的充分不必要条件，则{}|2a a m a<<是{}|15m m<<的真子集，所以125aaa≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a≤≤，所以若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围是512a≤≤.【点睛】易错点睛：若p是q的充分不必要条件则{}|2a a m a<<是{}|26m m<<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a<<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a>，很明显{}|2a a m a<<≠∅.18. 如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3PA PB PC AB AC=====，26BC=.（1）求二面角P BC A--的大小；（2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值.【答案】（1）23π；（2）36【解析】【分析】（1）连接PM，则可证得PMA∠就是二面角P BC A--的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；（2）取PC中点N，连接,MN AN，则AMN∠就是异面直线AM与PB所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM ，因为M 为BC 的中点，3PB PC AB AC ====， 所以,PM BC AM BC ⊥⊥，所以PMA ∠就是二面角P BC A --的平面角. 在直角PMC △中，3,6PC MC ==，则3PM =,同理可得3AM =，在PMA △中，由余弦定理得1cos 2233PMA ∠==-⨯⨯，所以23PMA π∠=，即二面角P BC A --的大小为23π（2）取PC 中点N ，连接,MN AN ，则//MN PB ，故AMN ∠或其补角就是异面直线AM 与PB 所成的角， 因为等边PAC △中，PC 中点为N ，所以333AN == 又13,22MN PB ==3AM =所以在AMN 中9273344cos 3232AMN +-∠==，因为异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以直线AM 与PB 3【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，其满足112a b ==，453S a b =+，328a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若_______，求数列{}n c 的前n 项和n T . 在①11n n n n c b a a +=+，②n n n c a b =，③112n n n n n a c a a b +++=这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）1n a n =+，2nn b =；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项. （2）根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求n T .【详解】（1）设等差数列的公差为d，公比为q，则2434224222228d d qd q⨯⎧⨯+⨯=++⎪⎨⎪++=⎩，解得21qd=⎧⎨=⎩或36qd=-⎧⎨=⎩（舍），故()2111na n n=+-⨯=+，1222n nnb-=⨯=.（2）若选①，()()111221212n nncn n n n=+=-+++++，故()121211111111222334121222nnnTn n n+-=-+-++-+=-+-++-+，若选②，则()12nnc n=+，故()2322324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()234+1222324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()23114222122n n nnT n n++-=++++-+=-⋅即12nnT n+=⋅.若选③，则()()()()113111221222n n n nncn n n n+++==-++++，故()()()12231111111111223232********* n n n nTn n n++ =-+-++-=-⨯⨯⨯⨯+++.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，12AA AB AC===，AB AC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为537，求线段BP 的长度. 【答案】（1）4π；（2）423. 【解析】 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度.【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMH AA PH θ===，[0,]2πθ∈， ∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)0ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：253737||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长.21. 设抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于M ，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5. （1）求抛物线的方程；（2）自M 引直线交抛物线于,P Q 两个不同的点，设MP MQ λ=.若47PQ ⎛∈ ⎝⎦，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得452p+=化简即可； （2）设:1PQ y kx =-，联立直线与抛物线方程设1122(,),(,)P x y Q x y ，用弦长公式表示PQ ，由MP MQ λ=及韦达定理将k 用λ表示出来，此时PQ 用λ表示，结合470,3PQ ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦解不等式.【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5， 又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离， 所以4522pp +=⇒=，故抛物线的方程为24x y =.（2）由题意直线PQ 斜率存在，设:1PQ y kx =-，由2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩，22161601k k ∆=->⇒>， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x kx x +=⎧⎨=⎩，① 所以22222121116164444PQ k x k k k k =+-=+-=+-因为MP MQ λ=，所以112212(,1)(,1)x y x y x x λλ+=+⇒=代入①化简得()2214k λλ+=令()2214t k λλ+==，则24416PQ t t t +-=-因为470,3 PQ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以21129PQ<≤，即2211225616016499316tt t<≤⇒<⇒<≤-≤，所以()22211210164133310303λλλλλλλλ≠⎧+⎧-+>⎪<≤⇒⇒⎨⎨≤≤-+≤⎩⎪⎩即(]1,11,33λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以实数λ的取值范围(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22. 已知直线:l y kx m=+与椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为22，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA，OB的斜率分别为1k，2k，2k=12k k为定值；（3）已知点(2N，当AOB的面积S最大时，求OM ON⋅的最大值.【答案】（1）22142x y+=；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得椭圆的方程.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简1212y y x x 可得所求的定值. （3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求面积，结合基本不等式可求AOB 何时取最大值，再用,k m 表示OM ON ⋅，利用基本不等式可求()2OM ON ⋅的最大值，从而得到OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）因为长轴长为4，故2a =，又离心率为2，故c =b = 故椭圆方程为：22142x y +=. （2）直线:2l y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得22242x x m ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得2220x m +-=，故2820m ∆=->即22m -<<.又()211121212121212122x m x m x x m y k y x x x x x k x ⎫++⎪++⎝⎭⎝⎭===+，而12x x +=，2122x x m =-，故()2122112222k m m k ⨯+=+=-即12k k 为定值. （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124240k x kmx m +++-=， 又()()2222221641224163280k m k m k m ∆=-+-=+->，故2224k m +>，又12AB x =-=故12OABS AB==因为222224122k m mk+-+≤=+，故OABSm=时等号成立，此时2224k m+>成立.而12222,21212M Mx x km mx yk k+-===++，故(2222212122=1m kkmk k kOM ON--+=++⋅+，所以2=kOM ON=⋅，2221211212kk k+-==-++，因为212k+≥-，故2112k-≤+2≤≤当且仅当k=时等号成立.所以OM ON⋅的最大值为2，故OM ON⋅的最大值为2，当且仅当k=，m=时取最大值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系中的最值、定值问题，一般需联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中联考数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知空间向量(1,2,3)a =- ，则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是（ ） A ．(0,1,2)- B ．(1,2,0)- C ．(0,2,3) D ．(1,0,3)-【答案】D【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A =-在坐标平面xOz 上的投影坐标， 纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面xOz 上的投影向量是：(1,0,3)-， 故选：D.2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1cos ,2m n <>=-，则l 与α所成的角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】A【分析】由1cos ,2m n <>=-知直线l 和平面α的法向量所夹锐角为60°，根据直线l 和平面α的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知得直线l 和平面α的法向量所夹锐角为60°，因此l 与α所成的角为30°. 故选：A.【点睛】本题考查线面角.属于基础题.找到向量m ，n 的夹角与l 与α所成角的关系是解本题的关键.3．已知两平面的法向量分别为)0(()10011m n ==，，，，，，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90°【答案】C【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．【详解】1cos,=12m n m n m n⋅=⋅⋅〈〉45m n =︒〈,〉. ∴两平面所成二面角为45︒或18045135︒︒=︒－.故选：C.4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x ⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】∵444111(12)1(12)(12)x x x x x ⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=， 41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．某班级从A ，B ，C ，D ，E ，F 六名学生中选四人参加4×100 m 接力比赛，其中第一棒只能在A ，B 中选一人，第四棒只能在A ，C 中选一人，则不同的选派方法共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【答案】B【分析】分第一棒选A 或选B ，两类求解.【详解】解：当第一棒选A 时，第四棒只能选C ，则有24A 种选派方法； 当第一棒选B 时，则有242A 种选派方法.由分类计数原理得，共有2224442336A A A +== 种选派方法.故选：B6．如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A 地出发，送货到C 地，且途经B 地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法．A ．100B ．80C ．60D ．40【答案】D【分析】考虑小矩形的横边和直边，例如从B 到C 的最短距离就是从2个横边加3个直边共5条线段，不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得．【详解】分两步，第一步从A 到B 的最短距离的走法有13434C C =，第二步从B 到C 的最短距离走法有235310C C =，由分步乘法计数原理得，总方法数为41040⨯=．故选：D ．7．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离|||4||PA n d n ⋅-===故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设(0)a b m m >，，为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921(mod 6)≡，若0122222222222222222a C C C C =++++，(mod10)a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】A【分析】利用二项式定理化简0122222222222222222a C C C C =+⋅+⋅++⋅为11(101)-，展开可得到a 被10除余9，由此可得答案.【详解】0122222222221122222222222(12)39a C C C C =+⋅+⋅++⋅=+==110111101292101011111111111111(101)1010(1)10(1)10(1)(1)C C C C C =-=+-+-++-+-,所以a 被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019， 故选：A. 二、多选题9．下列选项正确的是（ ） A ．A C !mm n nm =B ．11A A m m n n m --=C ．11C C C m m m n n n-+=+ D ．111C C 1m mn n n m +++=+ 【答案】ACD【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求解. 【详解】A ．根据排列和组合数公式，可知A 显然成立； B.12A ()()()1m n n n m n n ---+=，11A (1)(2)(1)m n n n n m --=---+ ，所以11A A m m n n n --=，故B 不成立；C.1!!C C !()!(1)!(1)!m m n n n n m n m m n m -+=+--+-!11(1)!()!1n m n m m n m ⎡⎤=+⎢⎥--+-⎣⎦!(1)(1)!()!(1)n n m n m m n m +=⋅--+-(1)!!(1)!n m n m +=+-， 1(1)!C ,!(1)!m n n m n m ++=+-故C 成立；D.11(1)!1!1C C (1)!()!1!()!1m mn n n n n n m n m m m n m m +++++===+-+-+，故D 成立.故选：ACD10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ）A ．BD //平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．向量AD 与1CB 的夹角为60°D ．1AC ⊥平面11CB D . 【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次判断各选项的对错.【详解】解 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，B 1(1，0，1)，C 1(1，1，1)，D 1(0，1，1)，所以AD ＝(0，1，0)，BD ＝(－1，1，0)，1AC ＝(1，1，1)，11B D ＝(－1，1，0)，1CB ＝(0，－1，1)，对于选项A ，由11B D ＝BD 可得11//B D BD ，BD ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ， 所以//BD 平面11CB D ，A 正确；对于选项B ，由1AC ·1100BD =-++=可得1AC BD ⊥，B 正确； 对于选项C ，由1cos ,AD CB ＝11AD CB AD CB ⋅＝120,180AD CB ︒︒≤≤，故 向量AD 与1CB 的夹角为135，C 错误；对于选项D ，由1AC ·11=1100B D ，1AC ·1=0110CB -+=，所以111AC B D ，11AC CB ，1111B D CB B ＝，111,B D CB ⊂平面11CB D ，所以1AC ⊥平面11CB D ，D 正确； 故选：ABD.11．关于()11a b -的说法，正确的是（ ） A ．展开式中的二项式系数之和为2048B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最大 【答案】AC【解析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知A 正确，B 不正确，C 正确，根据项的系数的符号可知D 不正确.【详解】()11a b -的展开式中的二项式系数之和为1122048=，所以A 正确；因为11n =为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确. 故选：AC【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.12．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种 【答案】ABC【分析】选项A ，B ，C 均可用分类加法计数原理求解；选项D 可用分步乘法计数原理求解.【详解】选项A ：若C 企业最多派1名医生，则有以下两种情况：①派1名医生去C 企业，剩余3名医生派到企业A 或企业B 中，有134232C =种； ②4名医生全部派到企业A 或企业B 中，有4216=种. 故共有321648+=种不同分派方案，故选项A 正确；选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有以下三种情况：①派2名医生去A 企业，剩余2名医生一人去B 企业，一人去C 企业，有214212C C =种；②派2名医生去B 企业，剩余2名医生一人去A 企业，一人去C 企业，有214212C C =种；③派2名医生去C 企业，剩余2名医生一人去A 企业，一人去B 企业，有214212C C =种.故共有12121236++=种不同分派方案，故选项B 正确；选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则有以下三种情况： ①派医生甲去A 企业，再派一名医生去A 企业，剩余2名医生一人去B 企业，一人去C企业，有11326C C =种不同分派方案；②派医生甲去A 企业，派2名医生去B 企业，剩余1名医生去C 企业，有233C =种； ③派医生甲去A 企业，派2名医生去C 企业，剩余1名医生去B 企业，有233C =种. 共有63312++=种不同分派方案，故选项C 正确；选项D ：第一步：派医生甲去3个企业中的任何一个，有3种； 第二步：派医生乙去3个企业中的任何一个，有3种； 第三步：派医生丙去3个企业中的任何一个，有3种； 第四步：派医生丁去3个企业中的任何一个，有3种；由分步乘法计数原理知，所有不同分派方案共4381=种，故选项D 错误； 故选：ABC. 三、填空题13．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260.【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.14．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．【答案】1131234AB AC AD --+ 【详解】由题意，连接AE ，则3243GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）．1131234AB AC AD =--+ . 故答案为1131234AB AC AD --+. 15．空间直角坐标系O xyz -中，经过点000(,,)P x y z 且法向量为(),,m A B C =的平面方程为0()A x x -+00)0(()B y y C z z -+-=，经过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为,,0()()n v v μωμω=≠的直线l 的方程为00x x y y z z v μω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为270x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为352x y ==--l 与平面α所成角大小为________. 【答案】6π 30【分析】依题意可得平面α法向量为(1,2m =-，直线方向向量(3,5,2n =-， 根据空间向量法求出线面角的大小；【详解】解：由平面α的方程为270x y z -+-=得平面α法向量为(1,2m =-， 经过()0,0,0直线l 的方程为352x y ==--(3,5,2n =--， 设直线l 与平面α所成角是θ， 则13(1)(5)2(2)1cos ,2||||1129252m n m n m n ⋅⨯+-⨯-+⨯-<>===++⨯++，又,[0,]m n π<>∈，所以,3m n π<>=，所以6πθ=；故答案为：6π 四、双空题16．若554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x a x a -=-+-+-+-+-+，则12345a a a a a ++++=____________，3a =____________；（用数字作答）【答案】 1 10【分析】利用赋值法求得12345a a a a a ++++，由二项式展开式的通项公式求得3a .【详解】由554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x a x a -=-+-+-+-+-+，令1x =得01a =-，令2x =得012345123450,1a a a a a a a a a a a +++++=++++=.()()55211x x -=--⎡⎤⎣⎦，所以()2235110a C =⋅-=.故答案为：1；10 五、解答题17．已知在212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项. 求：（1）n 的值； （2）展开式中5x 的系数. 【答案】（1）10n = （2）1058【详解】分析：（1）根据212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项，即可求解n 的值； （2）由（1）可得展开式的通项公式，令x 的指数幂为5，求得r 的值，即可得到展开式中5x 项的系数.详解：（1）在根据212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项，则第9项的通项公式为88216488220922r n r n n n T C xx C x -----=⋅⋅⋅=⋅⋅， 所以2200n -=，解得10n =. （2）由（1）可得展开式的通项公式52010201022110102(1)(1)2r r r r rrr r r r T C xxC x-----+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅ ，令52052r-=，解得6r =， 则得到展开式中5x 项的系数6101105248⋅=C . 点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式定理的通项是解答的关键，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．18．用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ (1)偶数不相邻；(2)1和2之间恰有一个奇数，没有偶数； (3)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 【答案】(1)1440 (2)720 (3)840【分析】（1）不相邻问题插空法（2）先考虑12和21的情况，再将它们看作一个整体，与其它元素全排列 （3）先选3个位置排偶数，再在剩下的位置排奇数. 【详解】(1)根据题意，分2步进行分析： ①先将4个奇数排好，有44A 种排法，②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有35A 种排法，则有43451440A A =个符合题意的七位数；(2)根据题意，分2步进行分析：①在1和2之间安排一个奇数，考虑12和21的情况，有223A 种安排方法，②将三个数字看成一个整体，与其他4个数字全排列，有55120A =种排法，则有25253720A A =个符合题意的七位数；(3)根据题意，分2步进行分析：①在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有37C 种排法， ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上，有44A 种排法，则有3474840C A =个符合题意的七位数.19．在二项式1(2n x的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分) 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)212【分析】（1）选择①由01246n n n C C C ++=求解；选择②：由024256n n n C C C +++⋅⋅⋅=求解；选择③：由通项公式为3221C 2--+=r nr r n r n T x，令3202r n-=求解；由9n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项求解； （2）由展开式通项为3189219C 2--+=⋅r r r r T x，令31802r -=求解. 【详解】(1)解：选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46，所以01246n n n C C C ++=，即(1)1462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=， 解得9n =或10n =-（舍去）选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256，所以024256n n n C C C +++⋅⋅⋅=，即12256n -=，解得9n =.选择③：通项公式为32()2211C C 22n rr r n r n r r r nr nnT xx x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，所以32n r =因为展开式中第7项为常数项，即6r =， 所以9n =.所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，5452359163C 216T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，453542269163C 28T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭；(2)展开式通项为：9318(9)9221991C C 22rr r r r r r r T xx x-----+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令31802r -=，6r =， 展开式中常数项为第7项，常数项为637921C 22T -=⨯=. 20．设82345678012345678(31)x a a x a x a x a x a x a x a x a x -=++++++++. (1)求02468a a a a a ++++ 的值；(2)求12326272727272727S C C C C C =+++++除以9的余数；(3)求123482348a a a a a +++++的值.【答案】(1)71522+ (2)7 (3)3072【分析】（1）分别令1x =和1x =-，两式相加即可得结果；（2）根据二项式系数和公式可得9(91)1S =--，再按照二项式定理展开即可得结果； （3）先对函进行求导，再令1x =即可得结果.【详解】(1)（1）对于823801238(31)x a a x a x a x a x -=+++++令1x = ，得：8012382a a a a a =+++++ ①令1x =- ，得：8012384a a a a a =-+-++ ②①+②得：88024682()24a a a a a ++++=+∴7150246822a a a a a ++++=+.(2)12326272792727272727C C C C C 2181S =+++++=-=-9(91)1=-- 09182727278899999999C 9C 9(1)C 9(1)C 9(1)C 9(1)C (1)1=+-+-++-+-+--08172627788999999C 9C 9(1)C 9(1)C 9(1)C (1)2⎡⎤=+-+-++-+--⎣⎦显然，上面括号内的数为正整数，故求S 被9除的余数为7.(3)823801238(31)x a a x a x a x a x -=+++++两边求导数得：7127123824(31)238x a a x a x a x -=++++，令1x =，则有71238242238a a a a ⨯=++++，即12382383072a a a a +++⋯+=.21．如图，在棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点.(1)求证：11EB AD ⊥；(2)求异面直线1D E 与1AB 所成角的余弦值； (3)求点1B 到平面1AD E 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)1010(3)6【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】(1)解：因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，故以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,2,2)C .因为E 为CD 的中点，所以(0,1,0)E ，1(2,1,2)EB =，1(2,0,2)AD =-，所以112(2)10220EB AD ⋅=⨯-+⨯+⨯=， 所以11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥；(2)解：因为1(0,1,0)(0,0,2)(0,1,2)D E =-=-，1(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)AB =-=，所以1111112cos ,||||5D E AB D E AB D E AB ⋅<>===，因为异面直线1D E 与1AB 所成角是锐角， 所以异面直线1D E 与1AB (3)解：设平面1AD E 的法向量是(,,)m x y z = ，则1m AD ⊥，m AE ⊥，即100m AD m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，又1(0,0,2)(2,0,0)(2,0,2)AD =-=-，(0,1,0)(2,0,0)(2,1,0)AE =-=-，所以22020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则2y =，1z=， 所以(1,2,1)m =，又1(2,1,2)EB =， 所以点1B 到平面1AD E 的距离1|||2||EB m d m ⋅===22．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，2PA AD ==，E 为AD 的中点.(1)求证：平面PCE ⊥平面PAD ；(2)求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值； (3)求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 67【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)平面直角坐标系，利用向量方法求解；(3)求二面角的两个半平面的法向量，利用法向量夹角与二面角的平面角的关系结合向量夹角公式求解.【详解】(1)因为四边形ABCD 为菱形，所以DA DC =. 又60ADC ∠=︒，所以ADC 为等边三角形，即有CA CD =， 又在ADC 中，因为E 是AD 中点，所以CE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， 所以CE PA ⊥.又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ， 所以CE ⊥平面PAD ，又CE ⊂平面PCE ， 所以平面PCE ⊥平面PAD .(2)取BC 中点为F ，则AF BC ⊥，又//AD BC ，所以AF AD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以,,PA AD PA AF ⊥⊥故以A 为坐标原点，以AF ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则各点的坐标为：(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(3,0,0)F ，(3,1,0)B -，(3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,0)E .由(1)EC ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量是(3,0,0)EC =，又(3,1,2)=-PC 设直线PC 与平面PAD 所成角是θ， 36sin cos ,4||||3143PC EC PC AF PC EC θ⋅=<>===⨯++⨯， 直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值是64.(3)设二面角A PD C --的平面角为α， 设平面PDC 的法向量(,,)n x y z =， 则,,n PC n PD ⊥⊥所以0,0,n PC n PD ⋅=⋅=而(3,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-， 20,220y z y z +-=-=， 令1z =，则1y =，x =所以)3,1,13(n =， 又平面PAD 的法向量是()3,0,0AF =，所以cos cos ,||||1n AFn AF n AF α⋅=<>===⨯，所以二面角A PD C --。
江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高二上学期期中地理试题(解析版)
2020～2021学年度第一学期期中调研测试试题高二地理一、单项选择题：在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
（本部分共40题，每题2分，共80分）2018年2月6日，美国太空探索技术公司用猎鹰重型火箭将一辆特斯拉汽车送上了太空，下图为“汽车运行轨道示意图”。
读图回答下列各题。
1. 在轨道运行的特斯拉汽车( )A. 始终在银河系B. 远离了太阳系C. 一直在地月系D. 接近河外星系2. 精确定位猎鹰重型火箭返回的着陆地点，主要运用的地理信息技术是( )A. 地理信息系统B. 全球导航卫星系统C. 遥感系统D. 数字地球【答案】1. A 2. B【解析】【1题详解】本题考查天体系统的级别和层次。
天体系统由低到高是地月系-太阳系-银河系-总星系，其中河外星系与银河系是同一级别的。
在轨道运行的特斯拉汽车在太阳系中，但已经远离了地月系，一直在银河系中，没有在河外星系，故A对。
【2题详解】本题考查3S技术。
遥感主要起“看”，相当于千里眼的功能；地理信息系统是起分析处理的功能；全球导航卫星系统起定位和导航功能，数字地球是数字化的地球。
精确定位猎鹰重型火箭返回的着陆地点，主要运用的地理信息技术是全球导航卫星系统，选B，其余选项可排除。
读太阳及其大气结构示意图，完成下面小题。
3. 图中太阳大气①、②、③的名称分别是A. 光球层色球层日冕层B. 色球层日冕层光球层C. 光球层日冕层色球层D. 色球层光球层日冕层4. 太阳黑子和耀斑A. 都发生在①层B. 都发生在②层C. 分别发生在①层和②层D. 分别发生在②层和③层【答案】3. A 4. C【解析】【3题详解】图中太阳大气①、②、③指的是太阳外部大气结构，由内向外，名称分别是光球层、色球层、日冕层，A 对。
B、C、D错。
故选A。
【4题详解】太阳黑子是光球层的一种太阳活动，位于①层；耀斑，又称色球大爆发，位于②层，故选C。
5. 太阳能光热电站通过数以十万计的反光板聚焦太阳能，给高塔顶端的锅炉加热，产生蒸汽，驱动发电机发电。
2020-2021学年江苏省连云港市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞02．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0} 3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b210．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2 12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为．（参考数据：log52≈0.43）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1＞0，故选：D．2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．故选：B．3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣）＝cos＝cos（2）＝cos＝．故选：D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人解：设同时爱好这两项的人最少有a人，作出韦恩图：∵某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，∴22﹣a+a+28﹣a＝45，解得a＝5．故选：B．5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解：∵30.2＞30＝1，log30.3＜log31＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＜c＜a．故选：D．6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+解：由表格中数据作出散点图：由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢，故选：C．7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，由f（x）＝0得x＝0或sin x＝0，即x＝π是右侧第一个零点，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，则不等式|f（2sin x+1）|≤1，即﹣1≤f（2sin x+1）≤1，即f（0）≤f（2sin x+1）≤f（3），又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以0≤2sin x+1≤3，即﹣≤sin x≤1，结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．故选：D．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b2解：对于A：若c＞0时，不等式成立，当c＜0时，不等式不成立，故A错误；对于B：由于a＞|b|，则a2＞b2，故B正确；对于C：由于a＞b＞0，则＞，故C正确；对于D：当a＝﹣5，b＝1时，不等式不成立，故D错误；故选：BC．10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；对于C，log xn y m＝＝＝log x y，故C正确；对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．故选：BCD．11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝A sin（ωt+φ）+B（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），由题意，h max＝6，h min＝﹣2，∴，解得，∵T＝＝60，∴ω＝，则h＝4sin（+φ）+2．当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ＝﹣，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣．h＝，故D错误；令h＝＝6，∴sin（）＝1，得t＝20秒，故A正确；当t＝155秒时，h＝4sin（）+2＝4sin5π+2＝2米，故B正确；当t＝50秒时，h＝4sin（）+2＝4sin+2＝﹣2，故C正确．故选：ABC．12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝﹣2．解：f（1）＝21+2＝4，所以．故答案为：﹣2．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．．解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，）．解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝﹣；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为8．（参考数据：log52≈0.43）解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P＝P0•e kt，∴（1﹣80%）P0＝P0•e4k，得0.2＝e4k，即k＝﹣，由0.25%P0＝P0•e kt，得0.0025＝﹣，∴t＝＝4log5100＝8（1+log52）＝11.44．故整数n的最小值为12﹣4＝8．故答案为：；8．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．解：sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝，若选①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；可得tan＝﹣，原式＝＝﹣．若选②tan（﹣α）＝，可得tanα＝，原式＝＝﹣．若选③3sinα+4cosα＝0，tanα＝﹣，原式＝＝．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．解：A＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|log2（x﹣1）≤log24}＝{x|1＜x≤5}，B＝＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，（1）若a＝1时，B＝[0，2]，A∪B＝[0，5]；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件，即B⊆A，即，解得：2＜a≤4，综上所述：a的取值范围（2，4]．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意得，y＝（6+）p﹣x﹣（10+2p），把p＝3﹣代入得，y＝22﹣（0≤x≤10）；（2）y＝24﹣（）≤24﹣2＝16，当且仅当，即x＝2时取等号，所以促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为16万元．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．解：（1）根据题意：函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R），令t＝sin x，（﹣1≤t≤1），则g（t）＝2t2﹣at﹣a﹣1（﹣1≤t≤1），①当时，即a≤﹣4，f（a）＝，所以无解．②当时，即﹣4＜a≤4，f（a）＝，即a2+8a+12＝0，所以a＝﹣2或a＝﹣6（舍去），③当时，即a＞4时，，所以a＝，（舍去），综上所述：a＝﹣2．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝，当sin x＝1时，即x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为5．即当{x|x＝2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得＝5﹣1，∴ω＝，根据五点法作图，可得×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2cos（x+）的图象；再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，∴m≥2．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，所以，又因为y＝log2x在上为增函数，所以，所以在恒成立，即对恒成立，即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，所以，故，解得，所以a的最小值为；（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，即，可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；②当a﹣2≠0，即a≠2时，，1°当，即时，符合题意；2°当，即a≠﹣2且时，要满足题意，则有或，解得；综上可得，a的取值范围为．。
2020-2021学年江苏省淮安市三县区(金湖洪泽盱眙)苏教版四年级上册期末学业水平调研测试数学试卷
2020-2021学年江苏省淮安市三县区（金湖洪泽盱眙）苏教版四年级上册期末学业水平调研测试数学试卷一、选择题1. 用容量是300毫升的纸杯向容量是2升的水壶中倒水，最少需要()次可以倒满。
A.6B.7C.8D.92. 50÷4＝12……2，那么5000÷400的余数是()。
A.2B.20C.200D.4003. 下面是由5个相同的正方体摆成的物体，从()看到的形状相同。
A.上面和右面B.前面和上面C.左面和上面D.前面和右面4. 下午5时整，钟面上时针与分针所成的角是（）A.直角B.钝角C.锐角D.平角5. 下图中∠1＝20∘，那么∠3＝()。
A. B. C. D.6. 迎新春歌唱比赛中，5位评委老师给张丽打出的分数分别是：9分、9分、8分、10分、10分。
按照此次比赛规则，计算选手的平均分要去掉一个最高分，张丽的平均得分是()分。
A.7B.8C.9D.107. 转动下面的()转盘，指针偶尔会停在涂色区域。
A. B. C. D.8. 芳芳6分钟打了360个字。
如果她打一份480个字的稿件，需要()分钟。
A.7B.8C.10D.129. 下面的图形中，()组的两条直线互相垂直。
A. B. C. D.10. 用一个杯子向空水壶里倒水，如果倒进1杯水，连壶重300克；如果倒进3杯水，连壶重660克。
那么1杯水重()克。
A.180B.240C.300D.360二、填空题一瓶果粒橙饮料净含量是200(________)（填“升”或“毫升”）；(________)瓶这样的果粒橙饮料是1升，5000毫升这样的果粒橙饮料是(________)升。
420分＝(________)时；8升＝(________)毫升1；1个周角＝(________)个直角。
270÷6÷5＝270÷(________)；180÷36＝90÷(________)。
用一副三角板拼成如下图的一个角，这个角是(________)∘，是(________)角。
2021-2022学年江苏省淮安市清浦中学高二年级上册学期10月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省淮安市清浦中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．过点(1,0)且与直线20x y -=垂直的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y +-=C【分析】根据两直线垂直时斜率乘积为1-，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.【详解】因为直线20x y -=的斜率为12，故所求直线的斜率等于2-， 所求直线的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=， 故选：C ．2．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（ ） A ．(x -2)2+(y -3)2 =4 B ．(x +2)2+(y +3)2 =16 C ．(x +2)2+(y +3)2=4 D ．(x -2)2+(y -3)2 =16D【分析】直接利用圆的标准方程求解即可． 【详解】解：由圆的标准方程得：圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是： 22(2)(3)16x y -+-=．故选：D ．3．圆222430x y x y ++-+=的圆心到直线0x y +=的距离为（ ）A ．2BC ．1D B【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得. 【详解】由圆222430x y x y ++-+=可得圆心坐标为：(-1，2)，所以圆心到直线0x y +=的距离为d =故选：B41=的倾斜角大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π D【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解. 1=的倾斜角为大小为α，则tan k α== 因为[0,)απ∈， 所以56πα=， 故选：D5．已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离A【分析】首先通过已知条件求得a ，然后根据两个圆的位置关系确定正确选项. 【详解】圆M 的圆心为()0,M a ，半径为1,0r a a =>， 圆心()0,M a 到直线0x y +=所以22222a a ⎛+=⇒= ⎝⎭， 所以()10,2,2M r =.圆N 的圆心为()3,6N ，半径27r =，215MN r r ==-，所以两个圆的位置关系是内切. 故选：A6．过点()1,2P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是（ ） A ．7k < B ．07k <<C ．37k <<D ．5k >C【分析】根据方程表示圆，以及点()1,2P 在圆222420x y x y k ++-+-=外，列不等式即可求解. 【详解】因为222420x y x y k ++-+-=表示圆， 所以()()2224420k +--⨯->，解得：7k <，若过点()1,2P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线， 则点()1,2P 在圆222420x y x y k ++-+-=外， 所以2212214220k ++⨯-⨯+->，解得3k >， 所以k 的范围是37k <<， 故选：C.7．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则a b+的值为（ ） A ．7- B ．1- C ．1 D ．7A【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13，所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.8．已知圆1C ：2220x y kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，,且点P 在直线20mx ny --=上,则22+m n 的取值范围是（ ）A ．1(,)2+∞B ．1(,]4-∞C ．1[,)2+∞D ．1(,)4-∞C【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程,继而求得()P a b ，,再代入直线20mx ny --=,根据距离的几何意义求解22+m n 即可.【详解】由题,两圆的公共弦方程为()()2222240x y kx y x y ky +-+-++-=,即()240k x y y +--=,定点满足0240x y y +=⎧⎨+=⎩,即22x y =⎧⎨=-⎩,故()2,2P -. 又点P 在直线20mx ny --=上,故2220m n +-=,即10m n +-=.故(),m n 的轨迹为直线10x y +-=.又22+m n 的几何意义为原点()0,0到点(),m n 的距离d 的平方.故最小值为2212d ==,故22+m n 的取值范围是1[,)2+∞. 故选：C本题主要考查了圆的公共弦方程与直线过定点的问题,同时也考查了利用几何意义求解最值的问题.属于中档题.二、多选题9．已知圆()()221:2C x m y m -+-=与圆222:8C x y +=无公共切线，则实数m 的取值可以是（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．32BC【分析】两圆无公切线等价于两圆内含，即两圆的圆心距小于半径差的绝对值.【详解】圆1C 的圆心()1,C m m ，半径1r =2C 的圆心()20,0C ，半径2r = 因为两圆无公切线，所以两圆内含，又两圆圆心距d =，m < 解得11m -<<． 故选:BC ．10．若三条直线2380x y ++=，10x y --=和102x ky k +++=不能围成封闭图形，则实数k 的值为（ ） A ．32B ．1C ．1-D ．12-ACD【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成任何一封闭图形的k 的值．【详解】①三条直线交于同一点，不能围成封闭图形，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩，得交点()1,2--．直线102x ky k +++=过点()1,2--，可得102k --=，得12k =-； ②若直线102x ky k +++=与直线2380x y ++=平行时，则112238k k +=≠，解得32k ； ③若直线102x ky k +++=与直线10x y --=平行时，则112111k k +=≠--，解得1k =-. 综上所述：12k =-或1-或32．故选：ACD ．11．直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程为（ ） A ．250x y --= B ．250x y -+= C ．250x y -+= D ．250x y --=BD【分析】设出直线l 的方程，结合勾股定理求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程. 【详解】圆心为原点，半径为5， 依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，2k =或12k =. 所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=. 故选：BD12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -=的距离都等于1C ．圆22120C :x y x ++=与圆222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y +=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,2BCD将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A ；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B ；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求m 得值，即可判断选项C ；设出点P 坐标，求出以线段PC 为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线AB 的方程，即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：由()()34330m x y m m R ++-+=∈可得：()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -=的距离等于1，圆的半径2r =，平行于:0l x y -=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由 222480C :x y x y m +--+=可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r 1212C C r r =+，14m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥，所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为22222m n x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得：220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny ，消去m 可得：()424n x ny -+=即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确. 故选：BCD. 结论点睛：（1）圆221111:0C x y D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知()11,A x y ，()22,B x y ，以线段AB 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.三、双空题13．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆的半径为________，圆心到直线230x y --=的距离是___________．1或5；【分析】（1）运用待定系数法求解圆的方程进而确定圆的半径； （2）运用点到直线的距离公式计算即可得出答案.【详解】（1）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意，a b =或a b =-，且22r a = a b =时，222(2)(1)a a a -+-=，解得 1a =或5a =1r ∴=或=5ra b =-时，222(2)(1)a a a -++=，此时方程无解所以圆的半径为1或5；（2）由（1）知，圆心坐标为（1，1）或（5，5） 根据点到直线的距离公式可得：点（1，1）到直线230x y --==点（5，5）到直线230x y --==所以圆心到直线230x y --=.四、填空题14．圆22:2210O x y x y ++-+=关于直线30x y -+=的对称圆的标准方程是___．()()22221x y ++-=【分析】化简圆O 的方程为标准方程，求得圆心坐标和半径，结合对称，求得圆心O 关于直线的对称点的坐标，进而求得对称圆的方程.【详解】由题意，圆O 的方程可化为()()22111x y ++-= ，所以圆心()1,1O - ，半径为1 ，设圆心O 关于直线30x y -+= 的对称点坐标为()',O m n ， 则111113022m n n m -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得2,2m n =-=，即()2,2O '- ， 故对称圆的标准为()()22221x y ++-= . 故答案为.()()22221x y ++-=15．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：()2224x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为________．2430x y -+=【分析】由题意可知当直线l 与过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭的直径垂直时，弦AB 最短，通过垂直关系即可求出结果.【详解】直线l ：210mx y m +--=过定点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C ：()2224x y +-=的圆心C ：()0,2，半径为2，当直线l 与直线PC 垂直时，弦AB 最短，此时212102PC k -==--，所以直线AB 的斜率为12，即122m =-，所以14m -=，故此时直线l 的方程为13024x y -+-=，即2430x y -+=， 故答案为.2430x y -+=16．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A -，()1,1B -，若直线0x y m --=上存在点P使得PA =，则实数m 的取值范围是_____．⎡-⎣. 【分析】设(,)P x y由PA =，求出P 点轨迹方程，可判断其轨迹为圆C ，P 点又在直线0x y m --=，转化为直线与圆C 有公共点，只需圆心到直线0x y m --=的距离小于半径，得到关于m 的不等式，求解，即可得出结论.【详解】设(,)P x y，PA =，223PA PB =， 2222(3)(3)3(1)3(1)x y x y ++-=++-，整理得226x y +=，又点P 在直线0x y m --=，直线0x y m --=与圆226x y +=共公共点，圆心(0,0)O 到直线0x y m --=的距离d ≤|m m ≤≤≤故答案为:⎡-⎣.本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.五、解答题17．（1）已知直线1:2740l x y ++=与直线2:320l mx y +-=平行，求m 的值；（2）已知直线()()1:2110l a x a y ++--=与直线()()2:12320l a x a y -+++=互相垂直，求a 的值． （1）67m =；（2）1a =或1a =-．【分析】（1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件，列出方程，即可求解； （2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线1:2740l x y ++=与直线2:320l mx y +-=平行， 可得2370m ⨯-=，解得67m =，当67m =时，1:2740l x y ++=，2:621140l x y +-=，显然1l 与2l 不重合，此时12l l //， 所以67m =.（2）由题意，直线1:(2)(1)10l a x a y ++--=与直线2:(1)(23)20l a x a y -+++=垂直 可得(2)(1)(1)(23)0a a a a +-+-+=，解得1a =或1a =-， 即当直线12l l ⊥时，1a =或1a =-18．已知点(),P x y 在圆22(1)1y x +-=上运动. （1）求12y x --的最大值； （2）求2x y +的最小值.（1 （2）1【分析】（1）设12y k x -=-，转化为直线210kx y k --+=，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；（2）设2m x y =+，转化为20x y m +-=，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),P x y 在圆22(1)1y x +-=上运动， 设12y k x -=-，整理得210kx y k --+=，则k 表示点(,)P x y 与点(2,1)连线的斜率， 当该直线与圆相切时，k 取得最大值和最小值，1=，解得k =，所以k ≤≤所以12y x --（2）设2m x y =+，整理得20x y m +-=， 则m 表示直线20x y m +-=在y 轴上的截距， 当该直线与圆相切时，m 取得最大值和最小值，1=，解得1m =，所以11m ≤所以2x y +的最小值为119．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦(1)求圆M 方程；(2)若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率； (1)22(1)1y x +-= (2)答案见解析【分析】（1）根据圆的弦长满足的关系即可根据勾股定理求解， （2）根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，0b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =，又因为直线截圆M 221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程22(1)1y x +-=；（2）当直线AC 斜率不存在时，直线AC 方程为2x =，则圆心M 到直线AC 的距离0221d r =-=≠=，即直线AC 与圆M 不相切，不符合题意； 同理当直线BC 斜率不存在时，也不符合题意；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设过点()2,4的直线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，圆心到直线的距离212411k d k --+==+，解得2323k =±. 所以，直线AC 的斜率为2323+、直线BC 的斜率为2323-， 或直线AC 的斜率为2323-、直线BC 的斜率为2323+. 20．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k 米的区域，如图，1l 、2l 分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45︒方向，以点O 为坐标原点，1l 、2l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点()100,400M ）和平安检查点（即点()400,700N ）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k ，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线:10000l x y -+=）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.（1）300k =，222200x y +=，()()222400400300x y -+-=；（2）()300,700- （1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径. （2）可先求圆心O 关于:10000l x y -+=的对称点P ,找到直线PC 与l 的交点，即为所求.【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：222200x y +=李叔叔家在王阿姨家的东偏北45︒方向，设李叔叔家所在的位置为(),C c c ，离()100,400M 和()400,700N 距离相等故()()()()2222100400400700c c c c -+-=-+-故()()22100700c c -=-即100700c c -=-故400c =300k =故李叔叔负责区域边界的曲线方程为()()222400400300x y -+-=（2）圆心O 关于:10000l x y -+=的对称点为(),P a b则有1000022a b -+=，1b a =- 解得1000,1000a b =-=1000400310004007PC k -==--- 34000:77PC y x =-+ 联立:10000l x y -+=与34000:77PC y x =-+，可得交点为()300,700- 王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点()300,700-碰面，距离之和最近.求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．21．已知圆C 过点)，且与圆()2219x y ++=外切于点()0,2，过点()2,P t t 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点为M 、N ．(1)求圆C 的标准方程；(2)试问直线MN 是否恒过定点？若过定点，请求出定点坐标.(1)()2244x y +-=(2)直线MN 恒过定点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可知圆C 的圆心在y 轴上，设圆C 的半径为r ，则圆心()2,0C r +，将点)的坐标代入圆C 的方程，求出r 的值，即可得出圆C 的标准方程；（2）求出以点P 为圆心，PM 为半径长的圆，将MN 视为圆P 与圆C 的公共弦，求出直线MN 的方程为()241240t x y y +-+-=，解方程组2401240x y y +-=⎧⎨-=⎩可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：由题意可知圆C 的圆心在y 轴上，设圆C 的半径为r ，则圆心()2,0C r +， 圆C 的方程为()2222x y r r +--=，因为圆C过点)，则()2233r r +-=，解得2r =，故圆C 的方程为()2244x y +-=.（2）解：由题意可知2CMP CNP π∠=∠=，则M 、N 、P 、C 四点共圆， ()()2222242445812PM PC t t t t =-=+--=-+，以P 为圆心，PM 为半径的圆的方程为()()22225812x t y t t t -+-=-+，即22428120x y tx ty t +--+-=，线段MN 可视为圆22428120x y tx ty t +--+-=与圆()2244x y +-=的公共弦，将上述两圆方程作差，消去二次项可得()241240t x y y +-+-=， 由2401240x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得123x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 因此，直线MN 恒过定点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M N 、两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．(1)求圆A 的方程；(2)当219MN =l 的方程．(3)·BQ BP 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．(1)22(1)(2)20x y ++-=；(2)2x =-或3460x y -+=；(3)定值，5-﹒【分析】(1)设出圆A 的半径，根据以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；(2)根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l 过点(2,0)B -，求出直线的斜率，进而得到直线l 的方程；(3)由直线l 过点(2,0)B -，我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论·BQ BP 是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【详解】（1）设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线1:270l x y ++=相切， ∴55R ==∴圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=．（2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知2x =-符合题意②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，连接AQ ，则AQ MN ⊥219MN =∴20191AQ ，则由211AQ k =+，得34k =，∴直线:3460l x y -+=． 故直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=（3）AQ BP ⊥，∴()BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅①当l 与x 轴垂直时，易得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-，又(1,2)BA =，∴5BQ BP BA BP ⋅=⋅=-②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2),2y k x k =+≠-， 则由(2)270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，得47(12k P k --+，5)12k k -+，则55(,)1212k BP k k --=++ ∴51051212kBQ BP BA BP k k --⋅=⋅=+=-++综上所述，·BQ BP 是定值，且·5BQ BP =-．。
江苏省泰州市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学试题(word版,含答案)
2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分 选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立， 又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分 （2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍） 故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=， 即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ， 即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ， 直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ， 进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。
2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v406090100120Q 5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。
江苏省连云港市东海县2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
1
所以， an a1qn1 1 2n1 2n1 ························································6 分
（2） bn 2n an2 2n 4n1
Sn b1 b2 b3 bn 2 40 4 41 6 42 2n 4n1
解：（1）依题意得 g(x) f (x) 0 对任意 x [3, 3] 恒成立， 即 k x2 6x 对任意 x [3, 3] 恒成立，
则 k ≥(x2 6x)max , x 3,3 ，
当 x 3 时， (x2 6x)max 27 ， 所以 k 27 ． ···············································································5 分
余 2），五五数之剩三（除以 5 余 3），问物几何？”现将 1 到 2020 共 2020 个整数中，
高二数学 第 1 页（共 4 页）
同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数
列{ an }，则该数列共有
A．132 项
B．133 项
C．134 项
D．135 项
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
2
AF 2FB (1 x1, y1) 2(x2 1, y2 ) y1 2y2
由
y1y1
y2 4t 2 y2 ,
,
y1 y2
8t, 4t
,
代入 y1 y2 4 ，
因
y1
0
，所以 t
0
，解得 t
1 22
，
AB所在直线方程为2 2x y 2 2 0 ·············································6 分
江苏省天一中学2020-2021学年高二下学期期末学情检测高二数学试题
天一中学2020~2021学年度第二学期期末学情检测高二年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，，则A∩B=A. 0，1，B.C. 0，D.2.已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.3.若且，则与的夹角是A. B. C. D.4.已知函数，在上有且仅有2个实根，则下面4个结论：在区间上有最小值点；在区间上有最大值点；的取值范围是；在区间上单调递减所有正确结论的编号为A. B. C. D.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c成公比为2的等比数列，且B. a，b，c成公比为2的等比数列，且C. a，b，c成公比为的等比数列，且D. a，b，c成公比为的等比数列，且6.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增加D. 减小，减小7.若直线l是曲线的切线，且l又与曲线相切，则a的取值范围是A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则下面说法正确的是A. 曲线与x轴围成的面积等于B. 与的公切线方程为：C. 所在圆与所在圆的交点弦方程为：D. 用直线截所在的圆，所得的弦长为10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得11.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止则下列说法正确的是A. 甲从M到达N处的方法有120种B. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种C. 甲、乙两人在处相遇的概率为D. 甲、乙两人相遇的概率为12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复N次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A. ，B. 数列是等比数列C. 的数学期望ND. 数列的通项公式为N三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足条件，那么的最大值是▲ ．14.已知F为抛物线的焦点，过F作斜率为的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为若，则▲ ．15.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有▲ 人．参考数据及公式如下：，．16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体。
2022-2023学年江苏省淮安市高二上学期1月期末数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省淮安市高二上学期1月期末数学试题一、单选题 1．以直线32y =为准线的抛物线标准方程为（ ） A ．23x y =- B ．23x y = C ．26x y =- D ．26x y =【答案】C【分析】根据给定条件，直接写出抛物线标准方程作答. 【详解】因为抛物线的准线是直线32y =，则该抛物线焦点在y 轴上，开口向下，其标准方程为26x y =-，所以所求抛物线标准方程为26x y =-. 故选：C2．已知直线1l ：10x my +-=，2l ：()2330m x y -++=，若12l l ⊥，则m = （ ） A ．－1 B ．3C ．12-D ．12【答案】D【分析】根据直线垂直得到()2130m m -⨯+=，即可求得结果. 【详解】因为直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，且12l l ⊥， 故()2130m m -⨯+=，解得12m =. 故选：D.3．设数列{}n a 是等比数列，且12341a a a a +++=，34562a a a a +++=，则78910a a a a +++=（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64【答案】A【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式，求出公比q 的平方即可求解作答. 【详解】设等比数列{}n a 的公比q ，因为12341a a a a +++=，34562a a a a +++=，则32124(2)q a a a a +++=，解得22q =，所以237891012346)()(8a a q a a a a q a a +=++=+++=.故选：A4．直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P ，则b =（ ）A ．13B ．1C ．53D ．2【答案】C【分析】直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P ,可得1,k =求得()f x 的导数,可得a ,即可求得答案.【详解】直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k =()3f x ax b =+∴ 2()3f x ax '=由(1)31f a '==,解得:13a =.可得()313b f x x =+, 根据()1,2P 在()313b f x x =+上 ∴ ()1123f b =+=,解得:53b =故选:C .5．已知直线l ：3470x y -+=，圆C ：()()22210x y r r -+=>，若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则r =（ ） A ．1 B ．3 C ．125D ．4【答案】B【分析】由数形结合结合点线距离即可求【详解】由题意得，()1,0C ，则点C 到直线l 的距离为372916d，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则如图所示，直线l 交圆于A 、B 垂直半径CP 于B ，1BP =. 故12BC d r ，故3r =.故选：B6．数列{}n a 满足11a =-，()()*111n n a a n +-=∈N ，则n a 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．－1【答案】B【分析】根据递推公式，写出数列的前几项，判断数列的周期，即可求解.【详解】由条件可知，11a =-，()()*111n n a a n +-=∈N ，则111n na a +=-， 则211112a a ==-，32121a a ==-，413111a a a ==-=-，所以数列{}n a 是周期为3的数列，由前3项可知，n a 的最大值为2. 故选：B7．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线E 的左支上，且12π6F F A ∠=，212AF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 3B 5C ．3D ．7【答案】A【分析】根据题意得24AF a =，12AF a =，12π6F F A ∠=，122F F c =，由余弦定理解决即可. 【详解】由双曲线定义知，212AF AF a -=， 因为212AF AF =，所以2124AF AF a ==，12AF a =， 因为12π6F F A ∠=，122F F c =， 所以在12F F A △中，由余弦定理得2222121122123cos 2AF F F AF F F A AF F F +-∠==⋅ 即222216443242a c a a c +-=⋅⋅(230e =，所以3e =， 故选：A8．已知ln 22a =，ln 4b =，()2ln 2ln 2c =+，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．b c a >>【答案】C【分析】构造函数，利用数形结合即可得出结论.【详解】因为0ln1ln 2ln 1e =<<=，即0ln 21<<，假设ln 2x =，则01x <<， 此时构造函数2x a =，ln 42ln 22b x ===，()22ln 2ln 2c x x =+=+， 由函数图像可知，在01x <<时222x x x x >>+，故a b c >>.故选：C二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆 C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线 【答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】A.当π4α=时，ππ2sin cos 44==222x y +=，即为圆的方程，故A 错误； B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误； D. 当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确. 故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是 （ ）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+- 【答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列； 对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列； 对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项； 对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-， 即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对； 对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++， 即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++， 故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ，公比为2的等比数列， 故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（ ） A ．()()1e 0f f < B ．()()1e 0f f > C ．()()e ln 221f f < D ．()()e ln 221f f >【答案】BC【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>， 所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2lne 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错. 故选：BC.12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1P 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．121x x =- B ．254AB =C ．APQ △的面积为558D ．延长AO 交直线=1x -于点M ，MQ MB λ= 【答案】BCD【分析】A 选项，求出1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭，进而求出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，得到121=x x ，A 错误；求出()4,4B -，利用两点间距离公式求出254AB =，B 正确； 求出111344AP =-=，并求出高，得到三角形面积，C 正确； 求出直线AO 的方程，得到()1,4M --，根据,,M Q B 三点共线，得到D 正确.【详解】24y x =中，令1y =，即41x =，解得：14x =，故1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AB 必经过焦点()1,0F ，故直线AB 的方程为11410114x y --=--， 即4433y x =-+，联立4433y x =-+与24y x =得：241740x x -+=，故121=x x ，所以24x =，A 错误；将24x =代入24y x =中，2244y x =-=-，故()4,4B -， ()2212544144AB ⎛⎫=-+--=⎪⎝⎭，B 正确； 由于12l l //，则APQ △以AP 为底，则高为12145y y -=+=， 其中111344AP =-=， 故111555248APQS=⨯⨯=，C 正确；直线AO 的方程为4y x =，令=1x -，则4y =-，故()1,4M --， 由于直线2:4l y =-，点Q 纵坐标为-4，故,,M Q B 三点共线，故延长AO 交直线=1x -于点M ，MQ MB λ=，D 正确. 故选：BCD三、填空题13．若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()22325x y m -++=外切，则实数m =______．【答案】±【分析】根据两圆外切列方程，从而求得m 的值. 【详解】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2. 圆()()22325x y m -++=的圆心为()3,m -，半径为5.257=+=，得240m =.故解得m =±故答案为：±14．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x -，则()f x 的单调递增区间为______． 【答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出0fx的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x -,则()2cos f x x ' 令()2cos 0f x x '>,即cos x <且()0,πx ∈ 所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,π4⎛⎫⎪⎝⎭15．已知1F ，2F 是双曲线C ：2213x y -=的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M ，则12MF F △的面积为______．【答案】【分析】根据题意求出圆方程和渐近线方程，联立求出M 点的坐标，进而可求面积. 【详解】由题可知1,2a b c ===， 所以线段12F F 为直径的圆方程为224x y +=，渐近线为a y x x b =±=，联立224x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得23x =，因为M在第一象限，所以M x =所以121212MF F M SF F x =⨯=故答案为: 16．小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元．（结果用数字作答）． 参考数据：91.1 2.36=，101.1 2.59=，111.1 2.85=． 【答案】305【分析】根据给定信息，构建数列，再利用错位相减法求和作答.【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列{},N ,10n a n n *∈≤， 102(1)28n a n n =+-=+，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为11111.1(28) 1.1n n n n b a n --=⨯=+⨯，10次投资到第十年年底本金和利息总和为S ， 则2391028 1.126 1.124 1.112 1.110 1.1S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，于是得23410111.128 1.126 1.124 1.112 1.110 1.1S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯， 两式相减得23910110.128 1.12(1.1 1.1 1.1 1.1)10 1.1S -=⨯-++++-⨯2911111.1(1 1.1)30.8210 1.15530 1.11 1.1-=-⨯-⨯=-⨯-，则有11300 1.1550300 2.85550305S =⨯-≈⨯-=， 所以小张共可以取得305万元. 故答案为：305四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，______． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最大值．注：作答前请先指明所选条件．．．．．．．．．．．，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)215n a n =-+；(2)49.【分析】（1）选择①②③，利用已知列出关于等差数列公差、首项的方程组，再解方程组即可作答. （2）利用（1）中结论，求出n S ，再求其最大值作答.【详解】（1）选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113,2a d ==-，所以数列{}n a 的通项公式为()()1312215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113,2a d ==-，所以数列{}n a 的通项公式为()()1312215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113,2a d ==-，所以数列{}n a 的通项公式为()()1312215n a n n =+-⋅-=-+. （2）由（1）知，()()2213215147492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上． (1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程． 【答案】(1)()()221225x y -+-=； (2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=， 则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=． （2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N =，则3d =． 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=， 所以3d ==，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=． 综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n nS ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-，3nn b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式; (2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可. 【详解】（1）因为232-=n n nS ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-， 1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为n c 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332nn c n =--， 则()()()122313132333333143213222n n nn n n n nT n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=-- 所以123332n n n n T +-+-=．20．已知函数()32123f x x x ax =-+++，R a ∈．(1)当3a =时，求函数()f x 的极值； (2)当403a <<时，若函数()f x 在[]0,4上的最小值为23，求实数a 的值．【答案】(1)()f x 的极小值为13，极大值为11；(2)1a =.【分析】（1）把3a =代入，利用导数求出函数()f x 的极值作答.（3）利用导数探讨函数()f x 在[]0,4的单调性，求出最小值即可求解作答.【详解】（1）当3a =时，函数()321323f x x x x =-+++定义域为R ，()()()22313f x x x x x '=-++=-+-，当1x <-或3x >时，()0f x '<，当13x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(),1-∞-，()3,+∞上递减，在()1,3-上递增，因此当=1x -时，()f x 取得极小值()113f -=，当3x =时，()f x 取得极大值()311f =， 所以()f x 的极小值为13，极大值为11．（2）函数()32123f x x x ax =-+++，403a <<，求导得()22f x x x a '=-++，因为04x ≤≤，则由()0f x '=得1x =14，当01x <<()0f x '>，当14x +<时，()0f x '<， 因此函数()f x在[0,1+上单调递增，在(14]上单调递减，而()02f =，()104423f a =-<，则函数()f x 在[]0,4上的最小值为()1024433f a =-=，解得1a =， 所以实数a 的值为1. 21．已知函数()2ln x af x x+=，a ∈R ． (1)若()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若()1e 1xf x x x≤+-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(],2-∞- (2)(],2-∞【分析】（1）()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，即()0f x '≥在(20,e ⎤⎦上恒成立，由函数单调性讨论恒成立问题即可；（2）由导数法直接研究或由换元法化简后研究恒成立问题.【详解】（1）()222ln x a f x x--'=，因为()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增， 所以(20,e x ⎤∀∈⎦，()222ln 0x a f x x--'=≥恒成立，即2ln 20x a -+-≥恒成立， 因为2ln 2y x a =-+-在(20,e ⎤⎦上单调递减，所以2min 2220y lne a a =-+-=--≥，则2a ≤-． 故实数a 的取值范围为(],2-∞-； （2）因为()2ln 1e 1x x af x x x x+=≤+-恒成立，所以22ln e 10x x x x a +-+-≤恒成立， 设()222ln e 1g x x x x a =+-+-，0x >，则()()()222112e 2e x x g x x x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎝'⎪⎭， 设()21e xh x x =-，0x >，则()32e 0x h x x -'-=<，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且1402h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11e 0h =-<，则01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00201e 0x h x x =-=，即()00g x '=，且0201e x x =，002ln x x =-，列表得所以()()02200000002max 012ln e 1120x g x g x x x x a x x x a a x ==+-+-=--⋅+-=-≤，则2a ≤. 解法二：()2ln 1e 1x x af x x x x+=≤+-恒成立，即22ln e 10x x x x a +-+-≤恒成立， 令2e x t x =，0x >，则()22e 0xt x x '=+>，所以2e x t x =在()0,∞+上单调递增，因为0x =时，0=t ，所以2e x t x =在()0,∞+上的值域为()0,∞+．因为()222ln ln ln e ln x xx x lne x x t +=+==，所以()0,t ∀∈+∞，ln 10t t a -+-≤恒成立，设()ln 1t t t a ϕ=-+-，()0,t ∈+∞，则()111tt t tϕ-=-='，令()0t ϕ'=得1t =，列表得所以()()max 120t a ϕϕ==-≤，则2a ≤． 解法三：()2ln 1e 1x x af x x x x+=≤+-恒成立，即22ln e 10x x x x a +-+-≤恒成立， 令2ln t x x =+，0x >，则2ln t x x =+在()0,∞+上单调递增，2ln t x x =+的值域为R ． 因为22ln 2ln e e e e e x x x x x t x +=⋅==，所以t ∀∈R ，e 10t t a -+-≤恒成立，设()e 1t t t a ϕ=-+-，t ∈R ，则()1e tt ϕ'=-，令()0t ϕ'=得0=t ，列表得所以()()max 020t a ϕϕ==-≤，则2a ≤．故实数a 的取值范围是(],2-∞．22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>A ，B 为椭圆的左、右顶点，C 为椭圆的上顶点，原点O 到直线AC． (1)求椭圆E 的方程；(2)P 为椭圆上一点，直线AC 与直线PB 交于点Q ，直线PC 与x 轴交于点T ，设直线PB ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，求122k k -的值． 【答案】(1)2214x y +=(2)12-【分析】（1）根据条件建立关于,,a b c 的方程组，即可求解；（2）解法一：首先设点()00,P x y ，利用点P 的坐标表示直线PB 的斜率1k ，以及直线PC 的方程，并利用直线方程联立求得点Q 和T 的坐标，代入并化简直线QT 的斜率2k ，计算122k k -的值； 解法二：设直线PB ：()12y k x =-，与直线AC 方程联立求点Q 的坐标，并于椭圆方程联立求点P 的坐标，再求直线PC 方程，得到点T 的坐标，即可求直线QT 的斜率2k ，并计算122k k -的值. 【详解】（1）原点O 到直线AC ：1x y a b +=-即0bx ay ab -+=的距离d =，又c e a ==222a b c =+，解之得2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）解法一：设()00,P x y ，则220014x y +=，直线PB 的斜率0102y k x =-，因为()2,0A -，()2,0B ，()0,1C ，所以PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得01x x y =-，所以00,01x T y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又AC ：112y x =+，PB ：()0022y y x x =--，联立可得00000002444,2222x y y Q y x y x ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭， 直线QT 的斜率()00000222000000000004041222444484221y y y y x k x y x x y x y y y x y ---+==+---+---+- ()()()0000022200000000004141184822444484y y y y y y x y y x y y yx y y ---===--++----+-，所以()()()()()00000001200000022212122222222y x y y x y y k k x x y x x y +------=-⨯=-+--+- ()22000000000022000000000022242224124442442444y x y x y y x y x y x x y x y y x y x y -++--++-===-+--+-+--+．解法二：因为()2,0A -，()2,0B ，()0,1C ，所以AC ：112y x =+， 与PB ：()12y k x =-联立可得1111424,2121k k Q k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭， 将PB ：()12y k x =-代入2214x y +=得()222211141161640k x k x k +-+-=，所以2121164241P k x k -=+，则21218241P k x k -=+，2111221182424141P k k y k k k ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭， 所以2112211824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则直线PC 的斜率为()()()()()1222111112211111214121214144182822212122141PCk k k k k k k k k k k k k ---+-++---====--+--+， 所以PC ：()()11211221k y x k -+=+-，令0y =得114221k x k -=+，则1142,021k T k ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以QT 斜率为()()()()()()1111111************42142121142424221422116242121k k k k k k k k k k k k k k k k k --++-====++-++-----+， 则12122k k -=-．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
江苏省苏州市太仓市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？
20．已知数列 满足 ， ， ， ．
（Ⅰ）令 ，证明： 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式．
21．已知函数 ， .
（1）当 时，不等式 的解集；
（2）若 ， 同时满足下列两个条件：
① ，使 ；② ，使 ，
A． B． C． D． ， ，
13．下列说法正确的有（）
A．命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
B．对于命题 ：“ ， ”，则 为“ ， ”.
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件.
D．“ ”是“ 对 成立”的充分不必要条件.
三、填空题
14．不等式 的解集为________.
15．已知等比数列 的公比为2，且 ，则 ______.
8．B
【分析】
由 ， ，可得 ， ，则 ，再由基本不等式即可得到所求的最小值
【详解】
由 ， ，
可得 ， ，
则
，
当且仅当 ，即 ， ，取得最小值7．
故选：B．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，注意满足的条件：一正二定三等，属于基础题．
9．A
【分析】
要求 ，已知 ，可得 ，先求 ，然后由 可求 ，然后求解 ．
7．B
【分析】
设等差数列的公差为 ，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简计算可得所求值．
【详解】
等差数列 的首项和公差 均不为0，且满足 ， ， 成等比数列，
可得 ，
即 ，
化为 ，即 ，
则 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),且P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0．954 4,P (μ-σ<X<μ+σ)=0．682 6．若μ=4,σ=1,则P (5<X<6)=( )A ．0．135 9B ．0．135 8C ．0．271 8D ．0．271 6 1．(文科做)若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ． a >－3C ． a ≤－3D ．a ≥－32．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a ｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．3个 D ． 4个3．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{3,6}B ．{2,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}4．已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B (10,0．6),则E (η)和D (η)的值分别是( ) A ．6和2．4B ．2和5．6C ．2和2．4D ．6和5．64．(文科做)函数y ＝f (2x －1)的定义域为[0,1]，则y ＝f (x )的定义域为( )A ． [0,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ． [－1,1] D ．[]－1，0其线性回归方程一定过的定点是（ ） A ．(2,2) B ．(1,2) C ．(1．5,0)D ．(1．5,5)6．已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A ∩B=( )A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<4或x>5}C ．{x|2<x<5}D ．{x|x<2或x>5}7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(文科做)已知某四个家庭xx 上半年总收入x (单位：万元)与总投资y (单位：万元)的对照数据如表所示：根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0．7x ＋0．35，则m 的值为( )A ． 3B ． 5C ． 4D ．68．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，x 0 1 2 3 y2468x 3 4 5 6y 2．5 3 m 4．5则E (ξ)等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1 9． 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0．12B ．0．42C ．0．46D ．0．889．(文科做)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( )A ．(－∞，－3)B ．[2，＋∞)C ．[0,2)D ．[－3,2]10(文科做)．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．13B ．0C ．－13D ．1 10．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×4911． f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1， 当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．[8,9] C ．(8,9] D ．(0,8) 12．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ． (－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,用ξ表示取到白球的个数,则P (ξ=1)= 13．（文科做）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1．其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为_______14,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )=14(文科做)．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋xx ，且f (xx)＝xx ，则f (－xx)＝________．15．下列是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：那么a= ,b= ,c= ,d= ,e= ．16．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本题满分10分）已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率为2/3 (1)记甲击中目标的次数为X ,求X 的概率分布列及数学期望E (X ); (2)求乙至多击中目标2次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19(文科做)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围20（本题满分12分）将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． (1)求1号球恰好落入1号盒子的概率；(2)求ξ的分布列．20(文科做)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0， 50] (50， 100] (100， 150] (150， 200] (200， 250] (250， 300] (300， ＋∞) 空气 质量 优 良 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 中度 重污染 重度 污染 天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2≥k 0)0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10021．（本题满分12分）已知函数f(x)＝x·|x|－2x．(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．22．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．西宁市第四高级中学xx —17xx 第二学期期末测试试题答案高二数学1 2 3 4 5 6 A DABCD7 8 9 10 11 12 AB D D D B （13)0.6 13文(2)(3)(4) （14)6/5 文 xx （15)47 92 88 82 53 （16) a>5/617. 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18.对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.19. (1)X 的概率分布列为X 0 1 2 3 PE (X )=0E (X )=3(2)乙至多击中目标2次的概率为1(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2.B 1,B 2为互斥事件,P (A )=P (B 1)+P (B 2)19 文科做(1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.20.(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子”，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38，P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13， P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ的分布列为20．文科做(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元”为事件A .由400<S ≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P (A )＝20100＝15. (2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计85 15100K 2＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．21.(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图由图象可得实数m ∈(－1,1)．22. (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知离散型随机变量的概率分布如表：则其数学期望等于（ ）ξ()E ξξ135P 0.5m 0.2A ．1B ．0.6C ．D ．2.423m+【答案】D【解析】根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m 的值，求期望即可．【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，∴0.5+m +0.2＝1，∴m ＝0.3，∴随机变量的数学期望E （ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．故选：D ．【点睛】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种【答案】D【分析】由分步乘法原理计算．【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.5232=故选：D3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为1111ABCD A B C D -D E 1BB F 的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．11A D AEFA ．（1，，4）B ．（，1，）2-4-2-C ．（2，，1）D ．（1，2，）2-2-【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据(,,)n x y z =AEF 法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，(2,0,0),(2,2,1)A E (1,0,2)F ∴，(0,2,1),(1,0,2)AE AF ==-设向量是平面的法向量，(,,)n x y z = AEF 则取，得，20,20,n AE y z n AF x z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩1y =2,4z x =-=-则是平面的一个法向量，(4,1,2)n =-- AEF 结合其他选项，只需和共线即可，(4,1,2)n =--检验可知，ACD 选项均不与共线.(4,1,2)n =-- 所以能作为平面的法向量只有选项B AEF 故选：B ．4．已知随机变量，，且，，则（ ）()6,X B p ~()2,Y N μσ()122P Y ≥=()()E X E Y =p =A ．B ．C ．D ．12131416【答案】B【分析】根据随机变量可知，再根据，，()6,X B p ~()6E x p=()2Y N μσ，()122P Y ≥=可求出，利用，建立方程，即可求出结果.()2E Y =()()E X E Y =【详解】因为随机变量，所以，()6,X B p ~()6E X p=因为，，所以，即，()2Y N μσ，()122P Y ≥=2μ=()2E Y =又()()E X E Y =所以，即.62p =13p =故选：B.5．从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（ ）A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种【答案】B【分析】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，故这是一个分步完成的排列组合综合问题.【详解】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，有种方法，23C 第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，有种方法，33A 由分步乘法计数原理可得共有种方法.233318C A =故选：B.6．的展开式的常数项是（ ）()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．10-9-119【答案】B【分析】写出的展开式的通项为，分别令，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭1r -=-，即可求得常数项.0r -=【详解】因为的展开式的通项为，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r rr r T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭所以令，，则，，1r -=-0r -=0r =1r =所以的展开式为常数项的是()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()1011005521C 11C 1019x x x -⋅-+⋅-=-+=-故选：B7．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比13赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5277272919【答案】B【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.【详解】分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；131139⨯=②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；1112(1)33327-⨯⨯=③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：.1112(1)33327⨯-⨯=故甲获胜的概率为：.12279272727++=故选：B.8．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC 上的射111ABC A B C -1A 影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与所成的角的为（ ）1CCA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C 【分析】连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 定理，即可求解.【详解】连接，由，所以为异面直线与所成的角，11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，111ABC A B C -23在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，1A可得,11AD A D A B ======由余弦定理，可得，19471cos 2322A AB +-∠==⨯⨯因为，所以，1(0,]2A AB π∠∈13A AB π∠=所以异面直线AB 与所成的角的为.1CC 3π故选：C.二、多选题9．下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）A ．B ．A C !mmnnn =()()2221A A m m n n n n ++++=C ．D ．111C C C m m m n n n +++=+1232C C C C n nn n n n =++++ 【答案】BC【分析】对于AC,根据组合数的公式即可;对于B ，根据排列数的公式即可;对于D ，根据二项式定理即可.【详解】对于A,,故A 错误；A C !mmnnm =对于B ，，故B 正确；()()()121221A 2A A m m m n n n n n n ++++++=+=对于C ，组合数的性质，，故C 正确；111C C C m m m n n n +++=+对于D ，由二项式定理知，=，故D 错误；()012311C C C C +C nnn n n n n+=++++ 2n故选：BC.10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X ～B ，再利用方差公式求解判26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭断；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．由P (B |A )＝求解判断；D ．易()()p A B P A ⋂得每次取到红球的概率P ＝，然后再利用对立事件求解判断.23【详解】A.恰有一个白球的概率，故A 正确；12243635p C CC ==B.每次任取一球，取到红球次数X ～B ，其方差为，故B 正确；26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝，P (A ∩B )＝，所以23432655⨯=⨯P (B |A )＝，故C 错误；()()35p A B P A ⋂=D ．每次取到红球的概率P ＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D 正确．23322611327⎛⎫--=⎪⎝⎭故选：ABD.11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）A ．若女生必须站在一起，那么一共有种排法5335A AB ．若女生互不相邻，那么一共有种排法3434A A C ．若甲不站最中间，那么一共有种排法1666C AD ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法7676A 2A -【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共A 33A有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；55A 5335A A A 选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，B 44A 有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；35A 4345A A B 选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方C 式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故16C 66A 1666C A 正确；C 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有D 77A 66A种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共66A 55A 有种排法，故不正确；765765A 2A A -+D 故选：AC.12．如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（ 1111ABCD A B C D -E F BC 1CC ）A ．1A D AF⊥B ．与平面1D CAEF C ．二面角的余弦值为A EF C --13D ．平面截正方体所得的截面周长为AEF +【答案】BD【分析】利用坐标法，对A ，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B ，由向量法求线面角；对C ，由向量法求面面角；对D ，分析得，则平面AEF 截正方体所得的截面为四边形1//EF AD，即可根据几何关系求周长，1EFD A 【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D xyz -，()()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,1,0,0,2,0,2,0,1,2,0D A A F D CE 对A ， ，，故与不垂直，A 错；()()12,0,2,2,2,1A D AF =--=-140220A D AF ×=+-=¹1A D AF 对B ，，设平面AEF 的法向量为，则()()()11,2,0,2,2,1,0,2,2AE AF CD =-=-=-(),,n x y z =，令，则有，20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩2x =()2,1,2n = 设与平面AEF 所成角为，则B 对；1D Cθ111||sin cos ,n CD θn CD n CD×===对C ，平面EFC 的一个法向量为，则，∴二面角()0,1,0m =1cos ,3m =的余弦值为，C 错；A EF C --13-对D ，由，，可得，平面AEF 截正方体所得的截()()12,0,2,1,0,1AD EF-=-=12AD EF=1//EF AD 面为四边形，1EFD A 则有AEF截正方体所得的截面周长为11AD EF AE D F ==D 对.故选：BD.三、填空题13．现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩作为样本进行分ξ析，成绩近似服从正态分布，且，则__________．ξ()273,N σ()770.78P ξ<=()6973P ξ<<=【答案】/0.28725【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：，则，()730.50P ξ≤=()73770.28P ξ<<=故.()()697373770.28P P ξξ<<=<<=故答案为：.0.2814．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为1a ，…，第行的第3个数字为，则___________.2a 1n +n a 12310a a a a ++++=【答案】220【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可.21C n n a +=【详解】由题意，得，21C n n a +=所以12310a a a a ++++ 222223411C C C C =+++⋅⋅⋅+65768798109111013610212121212121⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯13610152128364555=+++++++++.220=故答案为：220.15．在长方体中，，，若E 为的中点，则点E 到面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB 的距离是______.1ACD 【答案】13【分析】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法DA DC 1DD能求出点E 到面的距离.1ACD 【详解】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：DA DC 1DD ，，，，()1,1,0E ()1,0,0A ()0,2,0C ()10,0,1D ，，，()1,2,0AC =-()11,0,1AD =-()0,1,0AE =设平面的法向量，1ACD (),,n x y z =则，取，得，1200n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()2,1,2n = ∴点E 到面的距离为.1ACD 13AE n d n ⋅==故答案为：.13【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.16．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则34ξ取得最大值时的值为__________.()P k ξ=k 【答案】4【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 0,1,2,3,4,5ξ=可得出答案.【详解】由已知可得，，.0,1,2,3,4,5ξ=35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 则，，()0553310C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()141533151C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()23253390452C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3235332701353C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()4145334054C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5055332435C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时，取得最大值.4k =()P k ξ=故答案为：.4四、解答题17．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.22nx ⎛ ⎝(1)求展开式中所有二项式系数的和；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；10n =（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.x 9180T =【详解】（1）前三项的二项式系数和为，()0121C C C 1562n n n n n n -++=++=解得或-11（舍去），10n =中，展开式中所有二项式系数的和为；1022x ⎛ ⎝1021024=（2）的展开式通项公式为，1022x ⎛ ⎝()()1520102102211010C 21C 2rr r r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令得，故.52002r -=8r =()8829101C 2454180T =-⋅=⨯=18．已知向量，()1,0,1a =- ()1,2,0b =- (1)求与的夹角；a ()a b - (2)若与垂直，求实数t 的值．2a b + a tb -【答案】(1)π4(2)1【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1），，()1,0,1a =- ()1,2,0b =-∴()2,2,1a b -=- ，3a -= 令与的夹角为，a()a b -θ则，cos a a b a a bθ=→→→→→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭==⋅-则与的夹角为.a ()a b - π4（2），， ()21,2,2a b +=-- ()1,2,1a tb t t -=-- 又与垂直，，2a b + a tb - ∴()()20a b a tb +-= 即，解得.()()1122120t t -⨯--+⨯-+⨯=1t =19．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.【答案】(1)5400（种）(2)840（种）(3)3360（种）【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有种，后排有种，32415353C C C C +55A 所以共有不同选法（种）.()3241553535C C C C A 5400+⋅=（2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法（种）.4474C A =840⋅（3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法（种）.414744C C A 3360⋅⋅=20．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．(1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；(2)从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望．X X 【答案】(1)15(2)分布列见解析，期望为.35【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据超几何分布求解概率，进而可求分布列以及期望.【详解】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，1B 2B 所以.()()()()()112282241101210125P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=（2）可能为0，1，2,X38310C 567(0)C 12015P X ====2182310C ×C 567(1)=C 12015P X ===.1282310C ×C 81(2)=C 12015P X ===的分布列为：X X012P 715715115.7713()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=21．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：X 疼痛指数X10X ≤1090X <<90X ≥人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.(1)统计学中常用表示在事件A 发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取()()P B A L P B A =∣∣B 1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的A B L 值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且X ()2N 50,σ.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感()19010P X ≥=染者人数为，求的分布列及数学期望.Y Y 【答案】(1)19(2)分布列见解析，2.4【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【详解】（1）由题意得：，8199991981(),(),(),(),()10010100100100100P A P B P B P AB P AB +======，()()()9110091010P AB P B A P A ∴===∣，81()9100()9()1010P AB P B A P A ===∣.1()1109()910P B A L P B A ∴===∣∣（2），()()1109010P X P X ≤=≥= ，则，14(1090)12105P X ∴<<=-⨯=4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 可能的取值为，Y 0,1,2,3()()()3221233311141241480C ;1C ;2C ;51255512555125P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⨯===⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3334643C 5125P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭的分布列为：Y ∴Y0123P 1125121254812564125数学期望.∴()43 2.45E Y =⨯=22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠=【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．⊂（2）在平面内作，垂足为，PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FAx AB .F xyz -由（1）及已知可得，，，.A ⎫⎪⎪⎭P ⎛⎝B ⎫⎪⎪⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，.PC ⎛=⎝ )CB =PA = ()0,1,0AB = 设是平面的法向量，则(),,n x y z = PCB 即0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取.(0,1,n =- 设是平面的法向量，则(),,m x y z =PAB 即可取.0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0.z y =⎪=⎩()1,0,1m =则，cos,n mn mn m⋅==所以二面角的余弦值为A PB C--【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.。
2020-2021学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(A卷) (解析版)
2020-2021学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、单项选择题（共8小题）.1．﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13…的第（）项．A．98B．99C．100D．1012．“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在正四面体P﹣ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．4．日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．设将1t水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为t1，t2，则＝（）A．B．16C．D．255．已知双曲线的离心率为，则点（2，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折至的位置△A1DE，使得面A1DE⊥面BCDE，则点A1到平面BCDE的距离为（）A．1B．2C．D．7．若函数e x f（x）（e＝2.718⋅⋅⋅，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x3C．f（x）＝sin x D．f（x）＝lnx 8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…．则2035年年底存栏头数为（）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4）A．1005B．1080C．1090D．1105二、多项选择题（共4小题）.9．已知直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，圆C：x2+y2﹣2x＝0，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C恒有两个公共点B．圆心C到直线l的最大距离是C．存在一个m值，使直线l经过圆心CD．当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称10．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{S n}不是递增数列C．数列{a n}的最大项为a11D．数列{S n}的最大项为S1111．设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（）A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其长轴长是短轴长的，若点P是椭圆上不与F1，F2共线的任意点，且△PF1F2的周长为16，则下列结论正确的是（）A．C的方程为B．C的离心率为C．双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为D．点Q是圆x2+y2＝25上一点，点A，B是C的左、右顶点（Q不与A，B重合），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，则25k1＝16k2三、填空题（共4小题）.13．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l 的方程为．14．两圆（x+1）2+y2＝9和x2+y2+4x﹣4y＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D 所成角的余弦值为．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B 两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为．四、解答题（共6小题）.17．已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，求实数k的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和是A n，数列{b n}的前n项和是B n，若a1＝1，a n+1＝2a n+1，n∈N*，再从三个条件：①B n＝﹣n2+21n；②B n+1﹣b n＝B n﹣2，b1＝20；③b n＝22﹣2log2（a n+1），中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝，记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间t（x）关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，求直线MN与直线PA 所成角的余弦值．21．已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线x＝4上任取一点T（4，m）（m≠0），直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4ln2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13…的第（）项．A．98B．99C．100D．101解：等差数列﹣5，﹣9，﹣13…中，a1＝﹣5，d＝﹣9﹣（﹣5）＝﹣4∴a n＝﹣5+（n﹣1）×（﹣4）＝﹣4n﹣1令﹣401＝﹣4n﹣1，得n＝100∴﹣401是这个数列的第100项．故选：C．2．“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，由a（a﹣2）﹣3＝0，解得a＝3或﹣1．经过验证a＝3时两条直线重合，舍去．∴“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的充要条件．故选：C．3．在正四面体P﹣ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．解：如图所示，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，D是棱AB中点，所以＝（+），所以•＝•（+）＝•+•＝×1×1×cos60°+×1×1×cos60°＝．故选：D．4．日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．设将1t水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为t1，t2，则＝（）A．B．16C．D．25解：因为，所以，故，，故．故选：B．5．已知双曲线的离心率为，则点（2，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．解：双曲线的离心率为，可得，所以＝＝1，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，点（2，0）到C的渐近线的距离为：＝．故选：A．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至的位置△A1DE，使得面A1DE⊥面BCDE，则点A1到平面BCDE的距离为（）A．1B．2C．D．解：在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，所以△ABD是边长为2的等边三角形，又因为E为AB的中点，所以DE⊥A1E，又面A1DE⊥面BCDE，面A1DE∩面BCDE＝DE，A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥平面BCDE，又A1E＝，故A1E为点A1到平面BCDE的距离为1．故选：A．7．若函数e x f（x）（e＝2.718⋅⋅⋅，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x3C．f（x）＝sin x D．f（x）＝lnx解：对于A：f（x）＝x2﹣1，则g（x）＝e x f（x）＝e x（x2﹣1），g′（x）＝e x（x2﹣1）+2xe x＝e x（x2+2x﹣1）≥0在实数集R上不恒成立，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上不是增函数，对于B：f（x）＝x3，则g（x）＝e x f（x）＝e x•x3，g′（x）＝e x•x3+3e x•x2＝e x（x3+3x2）＝e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，当x＞﹣3时，g′（x）＞0，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上先减后增；对于C：f（x）＝sin x，则g（x）＝e x sin x，g′（x）＝e x（sin x+cos x）＝e x sin（x+），显然g（x）不单调；对于D：f（x）＝lnx，则g（x）＝e x lnx，则g′（x）＝e x（lnx+）＞0，函数g（x）递增，∴具有M性质的函数的为D，故选：D．8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…．则2035年年底存栏头数为（）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4）A．1005B．1080C．1090D．1105解：由题意得：a1＝1200，a2＝1200×1.08﹣100，a3＝1200×1.082﹣100×1.08﹣100，×1.08﹣100，1.082﹣100×1.08﹣100，…∴2035年年底存栏头数为：﹣100（1.0814+1.0813+1.0812+…+1.08+1）≈1200×3.2﹣100×＝1090．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，圆C：x2+y2﹣2x＝0，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C恒有两个公共点B．圆心C到直线l的最大距离是C．存在一个m值，使直线l经过圆心CD．当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称解：由直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，即m（x+y﹣1）﹣2y+1＝0，得，解得，则直线l过定点P（，），圆C：x2+y2﹣2x＝0化为（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标为C（1，0），∵|PC|＝＜1，点P在圆C内部，∴直线l与圆C恒有两个公共点，故A正确；圆心C到直线l的最短距离为|PC|＝，故B错误；∵直线系方程mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0不包含直线x+y﹣1＝0（无论m取何值），而经过P（，）的直线只有x+y﹣1＝0过C（1，0），故C错误；当m＝1时，直线l为x﹣y＝0，圆C的圆心坐标为（1，0），半径为1，圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为（0，1），半径为1，两圆的圆心关于直线x﹣y＝0对称，半径相等，则当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称，故D正确．故选：AD．10．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{S n}不是递增数列C．数列{a n}的最大项为a11D．数列{S n}的最大项为S11解：因为12月27日新增确诊人数小于12月26日新增确证人数，即a7＞a8，所以{a n}不是递增数列，所以A错误；因为1月22日新增确诊病例为0，即S33＞S34，所以{S n}不是递增数列，所以B错误；因为12月31日新增确诊病例最多，从12月20日算起，12月31日是第11天，所以数列{a n}的最大项是a11，所以C选项正确，数列{S n}的最大项是最后一项，所以选项D错误，故选：BC．11．设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（）A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0解：对于A，当a＝﹣4时，f（x）＝x（x﹣1）（x+4），则f（x）在上的平均变化率为，故A正确；对于B，当a＝1时，f（x）＝x（x﹣1）2＝x3﹣2x2+x，则f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），令f'（x）＝0，则x＝或x＝1，∴当x＞1或x＜时，f'（x）＞0；当＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，∵，结合f（x）的单调性可知，方程f（x）＝﹣1有一个实数根，故B正确；对于C，当a＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣1）[（x﹣1）2﹣1]＝（x﹣1）3+（x﹣1），则f（x）+f（﹣x）＝（x﹣1）3+（x﹣1）+（﹣x﹣1）3+（﹣x﹣1）＝﹣2（3x2+2）≠2，∴f（x）的图象不关于点（0，1）中心对称，故C错误；对于D，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），f′（x）＝（x﹣1）（x﹣a）+x（2x﹣a﹣1）＝3x2﹣2（a+1）x+a，令f′（x）＝0，则3x2﹣2（a+1）x+a＝0，∵△＝4（a2﹣a+1）＝（2a﹣1）2+3＞0，且函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴x1，x2为方程3x2﹣2（a+1）x+a＝0的两个实数根，则，∴f（x1）+f（x2）＝x1（x1﹣1）（x1﹣a）+x2（x2﹣1）（x2﹣a）＝＝＝，∵a⩾2，∴f（x1）+f（x2）⩽0，故D正确．故选：ABD．12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其长轴长是短轴长的，若点P是椭圆上不与F1，F2共线的任意点，且△PF1F2的周长为16，则下列结论正确的是（）A．C的方程为B．C的离心率为C．双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为D．点Q是圆x2+y2＝25上一点，点A，B是C的左、右顶点（Q不与A，B重合），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，则25k1＝16k2解：根据题意可得，解得a＝5，b＝4，c＝3，对于A：椭圆的方程为+＝1，即A正确；对于B：e＝＝，即B错误；对于C：双曲线的渐近线为y＝±x＝±x，联立，且x＞0，y＞0，解得x＝，y＝，∴双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为，即C正确；对于D：由题意知，A（﹣5，0），B（5，0），设P（x1，y1），则k1＝，∵Q在圆x2+y2＝25上，且A，P，Q三点共线，∴AQ⊥BQ，∴k2＝＝，∴＝＝＝，即25k1＝16k2，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l 的方程为2x+3y﹣π＝0．解：由，得y′＝﹣sin（），∴，又，∴直线l的方程为y＝，即2x+3y﹣π＝0．故答案为：2x+3y﹣π＝0．14．两圆（x+1）2+y2＝9和x2+y2+4x﹣4y＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为．解：根据题意，设圆C为：（x+1）2+y2＝9，其圆心C为（﹣1，0），半径r＝3，圆C：（x+1）2+y2＝9，即x2+y2+2x﹣8＝0，联立，则有2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0，即两圆公共弦MN所在直线的方程为x﹣2y+4＝0，圆心C到直线x﹣2y+4＝0的距离d＝＝，则|MN|＝2×＝2×＝．故答案为：．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D 所成角的余弦值为．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，连接AF，则∠AFE为直线EF与平面AA1D1D所成角．设正方体的棱长为2a，则AE＝A1F＝a，AF＝a，EF＝a，∴cos∠AFE＝＝．即直线EF与平面AA1D1D所成角的余弦值为．故答案为：16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C 交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为24．解：由抛物线的方程可得F（1，0），所以c＝1，即，解得λ＝4，所以双曲线的方程为：，由题意设直线l1的方程为：y＝k1（x﹣1），直线l2的方程为：y＝k2（x﹣1），则k，联立方程，消去y整理可得：k x，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x，同理可得x，由抛物线的性质可得|AB|＝x，|DE|＝x，所以|AB|+|DE|＝8+＝8+，当且仅当k时取等号，此时|AB|+|DE|的最小值为24，故答案为：24．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，求实数k的取值范围．解：（1）设圆心为（t，t），半径为r，根据题意圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为，可得，所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18或（x+2）2+（y+2）2＝18．（2）由（1）知圆C的圆心为（﹣2，﹣2）或（2，2），半径为，由圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，可知圆心到直线l：y＝kx的距离：．即，所以1+k2﹣4k≤0，解得，所以直线l斜率的取值范围为．18．已知数列{a n}的前n项和是A n，数列{b n}的前n项和是B n，若a1＝1，a n+1＝2a n+1，n∈N*，再从三个条件：①B n＝﹣n2+21n；②B n+1﹣b n＝B n﹣2，b1＝20；③b n＝22﹣2log2（a n+1），中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝，记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）由a n+1＝2a n+1，得a n+1+1＝2（a n+1），又a1＝1，则a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴即．若选①当n＝1时，b1＝B1＝20，当n≥2时，b n＝B n﹣B n﹣1＝22﹣2n，∴b n＝22﹣2n．若选②由B n+1﹣b n＝B n﹣2得b n+1﹣b n＝﹣2，所以数列{b n}是以20为首项，﹣2为公差的等差数列，b n＝22﹣2n．若选③b n＝22﹣2log2（a n+1）＝22﹣2n．（2）由（1）知，∴当1≤n≤3时，，当n≥4时，，所以：．19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间t（x）关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？解：（1）由题意知，|AC|＝300﹣x，∴；（2），令t'（x）＝0，得，当时，t'（x）＜0，故f（x）单调递减，当时，t'（x）＞0，故f（x）单调递增，所以时t（x）取最小值，所以当点C选在距B点68km时运输时间最短．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，求直线MN与直线PA 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵，AD＝3，∴AM＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，∵N为PC的中点，∴TN∥BC，＝AM，又AD∥BC，故TN∥AM，∴四边形AMNT为平行四边形，∴MN∥AT，∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB．（2）解：取BC的中点E，连接AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，，以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P（0，0，h），则A（0，0，0），，∴，设平面AMN的法向量为，则，即，令x＝h，则y＝0，z＝﹣，∴，又平面PAD的法向量为，且平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝，解得h＝2，∴P（0，0，2），，∴，设直线MN与直线PA所成角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝，∴直线MN与直线PA所成角的余弦值为．21．已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线x＝4上任取一点T（4，m）（m≠0），直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，∴点Q的轨迹是以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴曲线C的方程为．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），AT：，BT：，将与联立，消去y整理得（m2+27）x2+4m2x+4m2﹣108＝0，∴，∴，∴，故，同理，当m≠±3时，直线MN方程为，直线MN恒过定点（1，0）；当m＝3时，，直线MN：过点（1，0）；同理可知，当m＝﹣3时直线MN恒过点（1，0），综上，直线MN恒过定点（1，0）．22．已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4ln2．解：（1）∵f（x）＝x2+ax+2lnx，x∈（0，+∞），∴，设g（x）＝2x2+ax+2，x∈（0，+∞），当﹣4≤a≤4时，△≤0，2x2+ax+2≥0成立，则有f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＜﹣4时，△＞0，由2x2+ax+2＞0得x＞或x＜（舍），由2x2+ax+2＜0得＜x＜，令﹣4+＞0，解得：a＞4（舍）或a＜﹣4，故﹣4≤a＜﹣4时，＜0，故f（x）在（0，+∞）递增，a＜﹣4时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减，综上：当﹣4≤a≤4，时，函数f（x）在（0，+∞）的单调递增，当a＜﹣4时，函数f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减；（2）证明：由（1）知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足2x2+ax+2＝0，∴，不妨设0＜x1＜1＜x2，则f（x）在（x1，x2）上是减函数，故f（x1）＞f（x2），∴＝＝，令，则t＞1，又，即，解得1＜x2≤2，故，∴1＜t≤4，设，则，∴h（t）在（1，4]上为增函数，∴，所以．。
2020-2021学年江苏省南通市如东县高二上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2+2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为（）A．4B．6C．8D．102．命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．抛物线y＝ax2的焦点是直线x+4y﹣1＝0与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（）A．B．x＝﹣1C．D．y＝﹣14．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（）A．7B．8C．9D．105．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 6．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（）A．B．[1，+∞）C．（0，1]D．7．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a2，，，成公比为4的等比数列，则k3＝（）A．84B．86C．88D．968．已知函数f（x）＝lnx，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有[f（x1）﹣f（x2）]（x12﹣x22）＞k（x1x2+x22）恒成立，则实数k的最大值是（）A．﹣1B．0C．1D．2二、选择题（共4小题）.9．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A．f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数B．当x＝3时，f（x）取得最小值C．当x＝﹣1时，f（x）取得极小值D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4上是减函数10．等差数列{a n}中，a5＝11，a12＝﹣10，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．a1+a16＝1B．S8是{S n}中的最大项C．S9是{S n}中的最小项D．|a8|＜|a9|11．下列命题中是真命题的是（）A．的最小值为2B．当a＞0，b＞0时，C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为12．已知F1，F2是椭圆（a1＞b1＞0）和双曲线（a2＞b2＞0）的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（）A．a12﹣b12＝a22﹣b22B．b12＝3b22C．＝1D．e12+e22的最小值为1+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年江苏省苏州中学高二(上)期初数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷试题数：14，总分：1001.（单选题，5分）设A={x|x 2-x-2＜0}，B={y|y=3x }，则A∩B=（ ） A.（0，+∞） B.（0，2） C.（-1，0） D.（-1，2）2.（单选题，5分）如果f （ √x +1）=x+2 √x ，则f （x ）的解析式为（ ） A.f （x ）=x 2（x≥1） B.f （x ）=x 2-1（x≥0） C.f （x ）=x 2-1（x≥1） D.f （x ）=x 2（x≥0）3.（单选题，5分）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）等于（ ） A. −49B. −43C. 43D. 494.（单选题，5分）直线y=ax-a 是圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0的一条对称轴，过点A （ 4a， 2a）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A. √2 B.2 √2 C. √5 D.15.（单选题，5分）已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a （a+c ），则sin (B−A )sin 2A的取值范围是（ ）A. (√2，+∞)B. (√3，+∞)C. (√2，2)D. (√3，2)6.（单选题，5分）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）A. V1＞V2B. V2＜V2C.V1＞V2D.V1＜V27.（多选题，5分）已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是（）A.函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点B.函数y=f（x）的最小值为-4C.函数y=f（x）的最大值为4D.函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称8.（多选题，5分）已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x+√5y=0的距离最小时，圆C的方程为（）A. (x+4)2+(y−√5)2=20B. (x−4)2+(y+√5)2=20C. (x+4)2+(y+√5)2=20D. (x−4)2+(y−√5)2=209.（填空题，5分）已知函数f（x）=cos2x+asinx+c在区间(−π6，π2)内是减函数，则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题，5分）已知直线l1：ax-by-4=0和直线l2：（a-2）x+y-b=0，若l1 || l2，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab的值为___ ．11.（填空题，5分）如图，已知线段AB=4，四边形ABNM 的两顶点M 、N 在以AB 为直径的半圆弧上，且MN=2，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是___ ．12.（问答题，15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cosA a +cosBb =sinCc． （1）求证： 1tanA +1tanB 为定值；（2）若 b 2+c 2−a 2=65bc ，求tanC 的值．13.（问答题，15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，AB=AC ，SB=SC ，点M 是BC 上一点，P 是SB 上一点，N 是SC 的中点，且MN || 平面ASB ． （1）求证：BM=MC ；（2）若P 为SB 中点，求证：平面ANP⊥平面SAM ．14.（问答题，15分）已知圆C 1：（x+3）2+y 2=4，圆C 2：（x-4）2+（y-5）2=16． （1）过点M （1，3）作圆C 1的切线MA ，MB ，A ，B 为切点，求直线AB 的方程；（2）是否存在定点P ，使得过点P 有无穷多对互相垂直的直线l 1，l 2分别被圆C 1和圆C 2截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P 的坐标；否则，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析试题数：14，总分：1001.（单选题，5分）设A={x|x 2-x-2＜0}，B={y|y=3x }，则A∩B=（ ） A.（0，+∞） B.（0，2） C.（-1，0） D.（-1，2） 【正确答案】：B【解析】：可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：A={x|-1＜x ＜2}，B={y|y ＞0}； ∴A∩B=（0，2）． 故选：B ．【点评】：考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.（单选题，5分）如果f （ √x +1）=x+2 √x ，则f （x ）的解析式为（ ） A.f （x ）=x 2（x≥1） B.f （x ）=x 2-1（x≥0） C.f （x ）=x 2-1（x≥1） D.f （x ）=x 2（x≥0） 【正确答案】：C【解析】：把已知函数解析式配方，可得f （ √x +1）= (√x +1)2−1 ，从而得到函数解析式．【解答】：解：f （ √x +1）=x+2 √x = (√x +1)2−1 ， 令t= √x +1≥1 ， ∴f （t ）=t 2-1（t≥1）． 则f （x ）=x 2-1（x≥1）．故选：C ．【点评】：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了配方法求函数解析式，是基础题． 3.（单选题，5分）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）等于（ ） A. −49 B. −43 C. 43 D. 49【正确答案】：A【解析】：由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】：解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =- |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 又∵AM=1 ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 23∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 49故选：A ．【点评】：判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法： ① 定义：三条中线的交点． ② 性质： PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 或 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 取得最小值 ③ 坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．4.（单选题，5分）直线y=ax-a 是圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0的一条对称轴，过点A （ 4a ， 2a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A. √2 B.2 √2 C. √5 D.1【正确答案】：D【解析】：利用对称轴过圆心求得a ，从而确定点A ，结合图形即得切线长．【解答】：解：由圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0，得圆心C （2，1）， 则1=2a-a=a ，即a=1， ∴A （4，2）， 如图，B （4，1）， 可得切线长为|AB|=2-1=1， 故选：D ．【点评】：本题考查了圆的对称性，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 5.（单选题，5分）已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a （a+c ），则sin (B−A )sin 2A的取值范围是（ ）A. (√2，+∞)B. (√3，+∞)C. (√2，2)D. (√3，2) 【正确答案】：C【解析】：由b 2=a （a+c ）利用余弦定理，可得c-a=2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin （B-A ）=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sin (B−A )sin 2A的取值范围．【解答】：解：由b 2=a （a+c ）， 余弦定理，可得c-a=2acosB ，正弦定理边化角，得sinC-sinA=2sinAcosB ， ∵A+B+C=π，∴sin （B+A ）-sinA=2sinAcosB ， ∴sin （B-A ）=sinA ， ∵ABC 是锐角三角形， ∴B -A=A ，即B=2A ． ∵0＜B ＜ π2 ， π2 ＜A+B ＜π，那么： π6＜A ＜ π4，可得sinA∈（ 12， √22）， 则sin (B−A )sin 2A = 1sinA∈（ √2 ，2）． 故选：C ．【点评】：本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 6.（单选题，5分）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A. V 1＞V2B. V 2＜V2 C.V 1＞V 2 D.V 1＜V 2【正确答案】：D【解析】：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．【解答】：解：设大球的半径为R，则小球的半径为：R2，由题意可得：V= 4π3R3 = 4•4π3(R2)3−V1+V2所以V2−V1=4π3R3−4•4π3(R2)3=2π3R3 =V2＞0即：V2＞V1故选：D．【点评】：本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．7.（多选题，5分）已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是（）A.函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点B.函数y=f（x）的最小值为-4C.函数y=f（x）的最大值为4D.函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称【正确答案】：AB【解析】：求出函数的零点判断A；求解函数的最小值判断B；利用函数的值域判断C；函数的定义域判断D．【解答】：解：函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3 =（log2x-1）2-4，令f（x）=0，解得log2x-1=±2，可得x=8，或x= 12，所以A正确；f（x）=（log2x-1）2-4≥-4，所以函数的最小值为-4，所以B正确，没有最大值，所以C不正确；函数的定义域为：x＞0，所以函数的图象不可能关于x=2对称，所以D不正确；故选：AB．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.（多选题，5分）已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x+√5y=0的距离最小时，圆C的方程为（）A. (x +4)2+(y −√5)2=20 B. (x −4)2+(y +√5)2=20 C. (x +4)2+(y +√5)2=20 D. (x −4)2+(y −√5)2=20 【正确答案】：AB【解析】：设圆心为C （a ，b ），半径为r ，由圆C 被x 轴分成两部分的弧长之比为1：2，得r=2|b|，再由圆被y 轴截得的写出为4，可得a 2+4=4b 2，说明C （a ，b ）在双曲线 y 2−x 24=1 上，求出双曲线 y 2−x 24=1 上与直线 x +√5y =0 平行的切线的切点坐标，即圆心坐标，由此可得圆的方程．【解答】：解：设圆心为C （a ，b ），半径为r ，圆C 被x 轴分成两部分的弧长之比为1：2，则其中劣弧所对圆心角为120°， 由圆的性质可得r=2|b|，又圆被y 轴截得的写出为4，∴a 2+4=r 2， ∴a 2+4=4b 2，变形为 b 2−a 24=1 ，即C （a ，b ）在双曲线 y 2−x 24=1 上，易知双曲线 y 2−x 24=1 上与直线 x +√5y =0 平行的切线的切点为（a ，b ），此点到直线 x +√5y =0 有最小距离．由 {x +√5y =m y 2−x 24=1 ，消去y 得x 2+8mx-（4m 2-20）=0．∴△=64m 2+4（4m 2-20）=0，解得m=±1． 当m=1时， {x =−4y =√5 ，当m=-1时， {x =4y =−√5 ．即切点为（-4， √5 ）或（4，- √5 ），半径r 为 2√5 ．∴圆的方程为 (x +4)2+(y −√5)2=20 或 (x −4)2+(y +√5)2=20 ． 故选：AB ．【点评】：本题考查圆的标准方程，考查导数的几何意义，解题的关键是圆心到直线 x +√5y =0 的距离的最小值的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题． 9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cos2x+asinx+c 在区间 (−π6，π2) 内是减函数，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-2]【解析】：由题意利用二倍角公式可得f （x ）=-2 (sinx −a 4)2 +c+1+ a 28 在区间 (−π6，π2) 内是减函数，再利用二次函数的性质可得 a 4 ≤- 12 ，由此求得a 的范围．【解答】：解：∵函数f （x ）=cos2x+asinx+c=-2sin 2x+asinx+c+1=-2 (sinx −a 4)2 +c+1+ a 28 在区间 (−π6，π2) 内是减函数． 由于 y=sinx 在区间 (−π6，π2) 内单调递增，且sinx∈（- 12 ，1），∴ a 4 ≤- 12 ，∴a≤-2，故答案为：（-∞，-2]．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．10.（填空题，5分）已知直线l 1：ax-by-4=0和直线l 2：（a-2）x+y-b=0，若l 1 || l 2，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab 的值为___ ．【正确答案】：[1] 83 或-8【解析】：由题意利用两条直线平行的性质，线段的中点公式，求出a 、b 的值，可得ab 的值．【解答】：解：∵直线l 1：ax-by-4=0和直线l 2：（a-2）x+y-b=0，若l 1 || l 2，则 a−2a = 1−b ≠ −b −4 ，求得a=2b-ab ．∵直线l 1、直线l 2和y 轴的交点分别为（0，- 4b ）、（0，b ），直线l 1、直线l 2和x 轴的交点分别为（ 4a ，0）、（ b a−2 ，0），且坐标原点到这两条直线距离相等，∴b - 4b =0， 4a + b a−2 =0．求得 b=2，a= 43 ；或 b=-2，a=4，∴ab= 83 或 ab=-8，故答案为： 83 或-8．【点评】：本题考查两条直线平行的性质，线段的中点公式，考查运算求解能力，是基础题．11.（填空题，5分）如图，已知线段AB=4，四边形ABNM 的两顶点M 、N 在以AB 为直径的半圆弧上，且MN=2，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，2]【解析】：连接OM ，ON ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-2+ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+4cos ＜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ ，结合 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围即可求解．【解答】：解：连接OM ，ON ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4+2×2× 12 + AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-2+ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+4cos ＜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ ， 当线段MN 在 AB ̂ 上运动时， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角由 π3 到0再到 π3， 所以0≤ ＜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ ≤π3， 即可得 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（0，2]． 故答案为：（0，2]．【点评】：本题考查向量数量积的运算，关键是对 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的变形，要尽量用知道模和夹角的向量来表示，是一道中档题．12.（问答题，15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA a +cosB b =sinC c ． （1）求证： 1tanA +1tanB为定值； （2）若 b 2+c 2−a 2=65bc ，求tanC 的值．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理化简已知等式，由于sinAsinB≠0，可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB，进而根据同角三角函数基本关系式即可求得1tanA +1tanB=1，从而得解．（2）由已知利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，tanA的值，由（1）进而可求tanB的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解tanC的值．【解答】：解：（1）证明：因为：cosAa +cosBb=sinCc，所以由正弦定理可得：cosAsinA +cosBsinB= sinCsinC=1，①因为A，B为三角形的内角，所以sinAsinB≠0，所以① 式两边同时乘以sinAsinB，可得：sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB，所以1tanA +1tanB= cosAsinA+cosBsinB= sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=1，得证．（2）因为b2+c2−a2=65bc，所以2bccosA= 65 bc，可得cosA= 35，因为A为三角形内角，sinA＞0，所以sinA= √1−cos2A = 45，可得tanA= sinAcosA= 43，因为由（1）可得1tanA +1tanB= 34+ 1tanB=1，解得tanB=4，所以tanC=-tan（A+B）=- tanA+tanB1−tanAtanB =-43+41−43×4= 1613．【点评】：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.（问答题，15分）如图，在三棱锥S-ABC中，AB=AC，SB=SC，点M是BC上一点，P是SB上一点，N是SC的中点，且MN || 平面ASB．（1）求证：BM=MC；（2）若P为SB中点，求证：平面ANP⊥平面SAM．【正确答案】：【解析】：（1）由线面平行的性质和平行线的性质，即可得证；（2）由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面SAM，再由中位线定理和面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】：证明：（1）由MN || 平面ASB，MN⊂平面SBC，且平面SBC∩平面SAB=SB，可得MN || SB，又N是SC的中点，可得M为BC的中点，即BM=MC；（2）由SB=SC，M为BC的中点，可得BC⊥SM，由AB=AC，M为BC的中点，可得BC⊥AM，又SM∩AM=M，可得BC⊥平面SAM，由PN为△SBC的中位线，可得NP || BC，则NP⊥平面SAM，又NP⊂平面ANP，可得平面ANP⊥平面SAM．【点评】：本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．14.（问答题，15分）已知圆C1：（x+3）2+y2=4，圆C2：（x-4）2+（y-5）2=16．（1）过点M（1，3）作圆C1的切线MA，MB，A，B为切点，求直线AB的方程；（2）是否存在定点P，使得过点P有无穷多对互相垂直的直线l1，l2分别被圆C1和圆C2截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P的坐标；否则，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求出以MC1为直径的圆的方程，C3是圆C1与圆C3的相交弦，将两圆方程相减即可的答案；（2）利用直线的垂直关系，进一步建立点到直线的距离公式的关系式，进一步建立方程组，求出点的坐标．【解答】：解：（1）因为M（1，3），C1（-3，0），以MC1为直径的圆C3的方程：（x-1）（x+3）+（y-3）y=0，又圆C1：（x+3）2+y2=4，圆C3和圆C1的方程相减可得：4x+3y+8=0．即直线AB的方程：4x+3y+8=0．（2）设P点坐标为（m，n），直线l1的斜率为k（依题意k≠0），则直线l1的方程为y-n=k（x-m），（x-m），即kx-y+n-km=0，直线l2的方程为y-n=- 1 k即x+ky-kn-m=0．因为直线l1被圆C1截得的弦长的2倍与直线l2被圆C2截得的弦长相等，且圆C2的半径是圆C1的半径的2倍，所以圆心C1到直线l1的距离的2倍与圆心C2到直线l2的距离相等，整理得：（2m+n+1）k+（m-2n-4）=0或（2m-n+11）k+（4-2n-m）=0．由于关于k的方程有无穷多解，所以m-2n-4=0，2m+n+1=0，或-m-2n+4=0，2m-n+11=0，解得n=- 95，m= 25，或m=- 185，n= 195，所以所有满足条件的P点坐标为（25，- 95）或（- 185，195）．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，方程组的解法，点到直线的距离公式的应用．属于中档题．。
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17．已知 为等差数列 的前n项和，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
18．已知抛物线 ( )经过点 ，直线l过抛物线C焦点F且与抛物线交于M、N两点，抛物线的准线与x轴交于点B.
（1）求实数p的值；
（2）若 ，求直线l的方程.
19．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 平面ABCD， ， ，点E是棱SD的中点.
【详解】
因为 是等比数列，且 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列 中，已知 ，则有 .
7．A
【分析】
根据等边三角形的特点，用 表示出 ，再结合 即可计算出双曲线的离心率.
【详解】
因为 且 是等边三角形，
所以 ， ，
由双曲线的定义可知： ，
所以 .
故选：A.
（1）若该批小型货车购买n年后盈利，求n的范围；
（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： ( 的离心率为 ，焦距为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M是椭圆C上一点，过点O作OM的垂线交直线 于点N，设OM的斜率为k( ).求证： 为定值.
（1）求异面直线CE与BS所成角的余弦值；
（2）求二面角 的大小.
20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.
因为 ，所以 ，所以 ，
【点睛】
本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率.
8．C
【分析】
将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出 的值.
【详解】
将等差数列记为 ，其中第 节的容积为 ，
22．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ( ).
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
参考答案
1．D
【分析】
根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果.
【详解】
因为 的否定为 ， 的否定为 ，
所以命题的否定为： ， .
故选：D.
【点睛】
A． B． C．8D．±8
7．如图，已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( )
江苏省淮安市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“ ， ”的否定是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
4．C
【分析】
根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出 的值.
【详解】
因为直线 平面 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若 则有 ，若 则有 .
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 ，则 的充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
10．与直线 仅有一个公共点的曲线是( )
A． B．
C． D．
11．已知数列 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A． B．
C． D．
12．如图，在正方体 中，下列各式中运算的结果为 的有( )
5．C
【分析】
将 变形为 ，然后根据基本不等式求解出 的最小值即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
6．D
【分析】
根据等比数列下标和的性质，得到 是 、 的等比中项，从而可计算出 的值.
3．A
【分析】
先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出 的值即可得到抛物线的标准方程.
【详解】
因为准线方程为 ，所以设抛物线方程为 ，
又因为准线方程 ，所以 ，
所以抛物线标准方程为： .
故选：A.
【此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中 的值即可得到标准方程.
本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.
2．B
【分析】
根据 与 的互相推出情况，确定出 是 的何种条件.
【详解】
当 时， ，
所以 不能推出 ， 能推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知数列 的前 项和为 ，点 在函数 的图象上，则 ________.
14．在空间直角坐标系中， ， ， ，若 ，则实数t的值为________.
15．若关于x的一元二次不等式 的解集为 ，则实数 的值为________.
四、双空题
16．已知椭圆 ( )的焦点为 ， ，如果椭圆C上存在一点P，使得 ，且 的面积等于4，则实数b的值为_______，实数a的取值范围为_______.
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．准线方程为 的抛物线的标准方程为( )
A． B． C． D．
4．若直线l的方向向量 ，平面 的法向量 ，且直线 平面 ，则实数x的值是( )
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
5．函数 的最小值是( )
A．2B．4C．6D．8
6．已知数列 是等比数列， ， ，则 ( )