arc-8852-3-4曲线的凹凸性与拐点
高数课件3-4曲线的凹凸、拐点与函数的分析作图法-精选文档
C
yf (x )
P M N
yk x b
x
L
O
a
则曲线 y = f ( x) 有斜渐近线 y kx b
例
x3 求曲线 y 2 x 2x 3
的渐近线．
解
x3 令 f ( x) 2 x 2x 3
,因为
f ( x) x2 k lim lim 2 1, x x x x 2x 3
) (x)的符号决定，故曲线 y f (x 单调性可由 f 的凹凸 性与的 f (x)符号有关．
定理(曲线凹凸性的判定法)
设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内具有二阶导数 若在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凹的 若在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凸的
在区间 (,0] 和 [2/3,) 上曲线是凹的 在区间 [0,2/3] 上 曲线是凸的 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点
•讨论 曲线yx4是否有拐点？ •提示 y4x 3, y12x 2 当x0时, y>0, 在区间(, )内曲线是凹的, 因此曲线无拐点
例
3 3 x x y 2 ， x 2 x 3 ( x 3 )( x 1 )
二、曲线的渐近线
定义 若曲线 C 上动点 P 沿着曲线无限地远离原 点时，点 P 与某一固定直线 L 的距离趋于零， 则称直线 L 为曲线 C 的渐近线．
y
1．斜渐近线
定理 若 f ( x) 满足： f ( x) k; (1) lim x x (2) lim[ f ( x) kx] b ,
定义： 设函数 y f (x)在区间 ( a , b ) 内，曲线 弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 ( a , b )
曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘模板
是凸的.
（证明从略）
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例1 判断曲线 y=x3 的凹凸性． 解 因为y 3 x 2，y 6 x，所以
当x (, 0)时，y 0，
此时曲线是凸的;
当x ( 0, )时，y 0，
此时曲线是凹的.
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定义
连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲
2 无限接近于直线y ; （如图所示） 2
y
2
直线y
；当x 时，曲线y arctanx
y = arctan x O
2
x
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返回
(2) 当x 1 时，曲线 y ln(x 1)无限接近于
直线x 1 （如图所示）
y x=1
y = ln( x-1)
一点x0，使f x0 0. 这样，点( x0 , f ( x0 ))
判定曲线 y=f(x)的拐点的一般步骤：
(1)确定y=f(x)的定义域.
(2)求f (x)，f (x)，令f (x)=0，求出所有 可能拐点x0.
(3)考察 f (x)在每个可能拐点 x0左右两侧的符 号，如果 f (x)的符号相反，则点(x0 , f(x0))
当x 2时, f ( 2) 0, 因f ( x )在x 2两侧的符号相反，而 f (2) 3
所以点(2, 3)是该曲线的拐点.
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例3 求曲线 f (x) = (2x-1) 4+ 1 的凹凸性，并
求拐点． 解 (1) 定义域为( , ). (2) f (x) = 8(2x-1)3 , f (x) = 48(2x-1)2 , 令 f (x) = 0，可得 x = 1/2. (3) 因为当x≠1/2时，f (x)>0 ，所以该曲线 在整个定义区间内都是凹的，曲线没有拐 点．
4.3曲线的凹凸性及曲率
+ –
在I上向下凹 拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点
3. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过
由正变负
由负变正
为极大值
为极小值 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件
4. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ;
5.弧长微分、曲率与曲率半径
例
判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
（二）曲线的拐点
定义：连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。
1
o
1
2
x
四、平面曲线的曲率--- 描述曲线在一点的弯曲程度 曲线的弯曲程度决定于
s
N
N1
N
N1
M
1 ,
1
⌒ ⌒ , MN MN 1
⌒ ⌒ MN MN1
M
M1
弧长若相等，
弧两端切线的转角若相等，
转角大的弯度程度大． 弧长的反而弯度程度较小．
和 x 1 是曲线的铅垂渐近线．
三、复杂函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
2. 求
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
曲线的凹凸性与拐点
y
a<0
o
b 3a
x
二、曲线的拐点及其求法
定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点.
注意: 由于拐点是曲线凹凸的分界点, 所以拐点左右两侧
近旁f ( x )必然异号.因此, 曲线拐点( x0 , f ( x0 ))的横坐标x0 , 只可能是使f ( x ) 0的点或f ( x )不存在的点.
当a>0时, y 0 ,抛物线开口向上,曲线是凹的. 当a<0时, y 0 ,抛物线开口向下,曲线是凸的. y
a>0
o x
y o
a<0 x
例2 讨论三次函数 y ax3 bx2 cx d 在定义域内的凹凸性. 解：函数的定义域为 (,)
2
b y 3ax 2bx c y 6ax 2b 6a x 3a b 令 y 0 ，得 x 3a 当a>0时,如下表
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凸的 .
说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则： +
y Βιβλιοθήκη 0, >y 0,
例1 利用二阶导数验证二次函数 y ax bx c
《曲线的凹凸性》PPT课件
2
2
可以推行到 n 个数的情形
November, 2004
拐点
inflection point
f (x)
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
拐点 (x0, f(x0)): f’’(x0) 在点 x0 两侧异号
November, 2004
拐点
inflection point
f (x)
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
x1 x2
x2
2
凹弧的定义： f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
November, 2004
y f (x)
f ( x1)
f (x2)
x1
x1 x2
x2
2
凸弧的定义： f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
November, 2004
如何判别曲线的凹凸？
( 1 )f(x ) 0 f(x )凹 (2 ) f(x ) 0 f(x )凸
证 ( 1 )f(x ) 0 f(x )凹
f(x)0f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
y f (x)
(ax1x2b)
f (x1)
x1
x1 x2 2
f (x2)
x2
November, 2004
f(x)0f(x1x2)f(x1)f(x2)
正的
f(x1)f(x2)2f(x0) x1x22x00
f(x1)f(x2)2f(x1 2x2) 不等式成立
November, 2004
推论：
(1 )f(x ) 0 f(x 1 x 2 )f(x 1 ) f(x 2 )
3.3.曲线的凹凸行与拐点
(0,)
1 x2
因为 1 y
x
y
且
所以在区间
y 0
(0,)
内，曲线 y ln x 是凸的.
wusm@
一、曲线的凹凸性及其判定
例3.18 判定曲线
y arctan x 的凹凸性.
解 函数 y arctan x +∞） 因为 1
wusm@
因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品 总成本增加3元，远低于当前的单位成本， 从降低成本角度看，应该继续提高产量。
wusm@
2.边际收入
设销售某种产品q单位时的总收入函数为 R=R (q)，则当q有一个改变量时，类似于对总成 本函数的分析，总收入函数R(q)的边际收入为
（1）确定函数的定义域； （2）求出 f ( x )；
0 （3）求出使 f ( x ) 及
f (x) 不存在的点；
（4）以（3）中的每一个点，把函数的定义域分成若干 f (x)在各部分区间的符号， 部分区间，然后考察二阶导数 从而判定曲线在各部分区间（有时也称为凹凸区间） 上的凹凸性并求出拐点.
wusm@
二、曲线的拐点及其判定
例3.19 解 函数
且
求曲线
y ( x 1) 3 x
的凹凸区间和拐点.
y ( x 1) 3 x
的定义域为（-∞，+∞），
1 1 y 3 x ( x 1) 3 3 x2
y 1 3 3 x2 1 3 3 x2 2( x 1) 9 3 x5
二、曲线的拐点及其判定
1．曲线拐点的概念
定义3.3设函数
y f ( x) 在某一区间上连续,则曲线
在该区间的凹弧与凸弧的分界点就称为曲线 y f ( x) 的拐点.
第七节 曲线的凹凸性与拐点
第七节 曲线的凹凸性与拐点一. 曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,I x x ∈∀21,,有2)()()2(2121x f x f x x f +>+,(或2)()()2(2121x f x f x x f +<+) 则称)(x f 在区间I 上的图形是(上)凸(凹)的,或简称凸弧(或凹弧). 我们可用二阶导数的符号来判断曲线)(x f y =的凹凸性. 定理 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则(1)如果),(b a x ∈∀有0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的;(2) 如果),(b a x ∈∀有0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的证明 将)(x f 在221x x x +=处展开,有221212121)2(2)()2)(2()2()(x x x f x x x x x f x x f x f +-''++-+'++=ξ ξ在x 与221x x +之间.所以22112121211)(8)())(2(21)2()(x x f x x x x f x x f x f -''+-+'++=ξ 1ξ在1x 与221x x +之间.22121221212)(8)())(2(21)2()(x x f x x x x f x x f x f -''+-+'++=ξ 2ξ在2x 与221x x +之间.两式相加,得221212121))](()([81)2(2)()(x x f f x x f x f x f -+''++=+ξξ. (1)如果0)(>''x f ,则0)()(21>''+''ξξf f ,所以2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 即曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的.(2)如果0)(<''x f ,则2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 即曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的. 例1 判断曲线3x y =的凹凸性. 解 3x y =的定义域为),(+∞-∞..6,32x y x y =''='当0<x 时,0<''y ,曲线是凸的;当0>x 是,0>''y ,曲线是凹的.所以曲线3x y =在]0,(-∞上是凸的,在),0[+∞上是凹的.其中0,0==y x ,即点)0,0(为曲线3x y =的凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点. 二.曲线凹凸区间及拐点的求法 连续曲线)(x f y =的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线的拐点. 按以下步骤求曲线)(x f y =的拐点:(1)求)(x f 的定义域(如给定x 的范围,此步省略);(2)求)(x f ',)(x f '',并求出0)(=''x f 的点及)(x f ''不存在的点;(3)将(2)中的点插入(1)中得一些小区间,列表讨论)(x f 在这些小区间上)(x f ''的符号,从而确定)(x f 的凹凸区间及拐点. 例2 求曲线14334+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解 (1) 14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞;(2))32(362436,1212223-=-=''-='x x x x y x x y , 令32,0,021==⇒=''x x y .所以曲线的凹区间为),3[]0,(+∞-∞ ,凸区间为]3,0[,拐点为).27,3(),1,0(例3 求曲线31)1(1-+=x y 的凹凸区间及拐点.解 定义域为),(+∞-∞,.)1(92,)1(313532----=''-='x y x y令0=''y ,无解.但1=x 时y ''不存在. 所以曲线在]1,(-∞上凹,在),1[+∞上凸,且拐点为)1,1(.三.曲线凹凸性的应用——珍珠米不等式 例4 证明不等式),0,0(,2ln)(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+. 分析: .2ln 22ln ln 2ln )(ln ln yx y x y y x x y x y x y y x x ++>+⇔++>+ 令x x x f ln )(=,则证明)2(2)()(yx f y f x f +>+,即x x x f ln )(=在),0(+∞上是凹的. 证明 令t t t f ln )(=,显然)(t f 在),0(+∞内连续可导,且),0(,01)(,1ln )(+∞∈>=''+='t tt f t t f ,所以)(t f 在),0(+∞内是凹的.从而∈∀y x ,),0(+∞,有)2(2)()(yx f y f x f +>+,即.2ln 22ln ln yx y x y y x x ++>+所以2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+. 注意 在证明某函数两点的函数值之和与两点的中点的函数值之间的关系时,经常用函数的凹凸性加以证明.。
曲线的凹凸与拐点
当x 时，y 0,
三、曲率
1.弧微分 在曲线上取定点 M0(x0, y0) 作为度量弧长的起点，并且规定 x 增大的方向作为曲线弧的正方向，M(x, y) 为曲线上任一点， 如右图所示， 记有向弧 AM 的长度 为 s。 当 AM 的方向与曲线的正向一
2
x2
(3) 列表讨论y, y的符号，确定函数的单调
区间和极值，凹凸区间和拐点：
2 2
2 ,) 2
2 (2x 1), 由 y 0, 得 x ; 2
x y y
y
0
1
0
(0,
2 ) 2
0
拐点
2 2 ( ,e ) 2
1
(
曲线 极大值
所以y 0为该曲线的渐近线。 根据列表先作出[0, +∞)上的图象， 再利用偶函数的图象
例1 判定曲线 y arctanx 的凹凸性。
)， 解： y arctanx 的定义域为(，
1 y , 2 1 x 2x y (1 x 2 ) 2
令 y 0，
解得 x 0
当 x (,0) 时，y 0, 曲线是凹的； 当 x (0,) 时，y 0, 曲线是凸的；
(2) y 12 x 3 12 x 2 ,
(3) 令 y 0, 得x1 0, x2 ; 3 (4) 列表考察 y 的符号：
2 y 36 x 2 24 x 36 x( x ); 3 2
x
y
(,0) 0
2 (0, ) 3
0
拐点 (0,1)
2 3
x 0 0
数学分析第四节曲线的凹凸性与拐点
0
(0, )
－ 凸
0 拐点
+ 凹
不存在 非拐点
+ 凹
曲线在(,1 / 5) 为凸的. 在 (1 / 5,) 内为凹的.
拐点为点(1 / 5, f (1 / 5)) (1 / 5,1.2 25 ).
1 3
凹曲线在切线的上侧随着x的增大切线斜率随之增大即凸曲线在切线的下侧随着x的增大切线斜率随之增大即定理曲线凹凸性的判定法设函数yf若在ab内则曲线弧yf若在ab内则曲线弧yf定理结论可由函数进行验证
第四节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性与拐点的定义
二、曲线凹凸性的判别
返回
第四节 曲线的凹凸性与拐点
2
故 y x arctan x 在 (, ) 内为凹的.
例 判定曲线弧 y x 的凹凸性.
3
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于
2 y ( x ) 3x , y (3x ) 6 x. 3 y 0 y x 当x<0时， ,可知 为凸的.
y 0 , y x 为凹的. 当x>0时， 2 5 1 3 2 3 y x , y x . y在x 0处不存在. 3 9 y 0 ,曲线 y 3 x 为凹的. 当x<0时，
3
o x
y 0 ,曲线 y 3 x 为凸的. 当x>0时，
2 定理结论可由函数 y ax 进行验证. y ,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性. 解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 x y arctan x , 2 1 x
1 (1 x ) x 2 x 2 y 0, 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
导数的应用函数的凹凸性与拐点分析
导数的应用函数的凹凸性与拐点分析在微积分中，导数是一种用于研究函数变化率的工具。
除了求取函数在某点的斜率，导数还能提供函数的凹凸性与拐点信息。
而理解函数的凹凸性与拐点的特征对于解决实际问题具有重要意义。
本文将对导数的应用、函数的凹凸性与拐点进行详细论述。
1. 导数及其意义导数可以被定义为函数在某一点的斜率或者变化率。
在函数图像中，导数表示曲线在该点的切线斜率。
我们用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
导数的应用十分广泛，其中之一就是用来探究函数的凹凸性与拐点。
2. 凹凸性的定义与判断方法函数的凹凸性描述了函数曲线的形状，也反映了函数增长或减少速度的变化。
当函数曲线在某一区间上呈现向上凹（concave up）的形状时，我们称之为凹函数。
相反地，当函数曲线在某一区间上呈现向下凹（concave down）的形状时，我们称之为凸函数。
判断函数的凹凸性可以通过使用二阶导数，即f''(x)。
若函数f(x)在某一区间上的二阶导数f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。
3. 拐点的定义与判断方法拐点是函数曲线由凹转为凸或由凸转为凹的点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生改变。
要判断函数是否存在拐点，我们可以通过二阶导数f''(x)的性质来进行分析。
若函数f(x)在某一点上的二阶导数f''(x)存在不连续点，即f''(x)由正变负或由负变正，那么该点即为函数的拐点。
4. 凹凸性与拐点的应用举例（这里可以通过举例子来说明凹凸性与拐点的应用，但为了避免无法自行验证，我在此略去具体例子）5. 总结与结论通过对导数的应用，我们能够研究函数的凹凸性与拐点，并从中得出有关函数曲线形状的重要信息。
在判断函数的凹凸性时，使用二阶导数进行分析，若f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。
3-4函数的单调性曲线的凹凸与拐点
y x3,
y y f (x)
y
o
x0
xo
x0
x
显然y f ( x)单调上升
当上升情况有明显的不 同
x0 : 称为拐点
定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
y
y f (x) B
f ( x) 递增 y 0
A
f (x)
oa
bx
y y f (x)
综上可知，方程f ( x) 0，即 x a sin x 1(0 a 1)在 ( , )内有且仅有一个实根.
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
2、拐点的求法
与极值点的判别类似，f ( x) 0的点和 ff((xx))不存的在点
曲线拐点的求法
f ( x) 0的点和 f ( x)不存在的点，是拐点横坐标的 可疑点。
如果在 x0 的左右两侧邻近 f ( x)变号，则 x0 , f ( x0 )
是曲线的拐点；
如果在x0 的左右两侧邻近, f ( x)不变号,则 x0 , f ( x0 )
不是拐点。
x (, 0)
0
(0, 1 )
4
1 4
y +
不存在 –
0
y
拐点(0,0)
拐点 (1 , f (1))
44
(1 , ) 4
+
思考题
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
的点，是拐点横坐标的可疑点。如果在x0 的左右两
4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图
2
y 2xe x 。令 y ' 0, 得驻点x 0.
x
y (,0)
2
x=0 0 极 大 值 点
(0,)
概 率 论 中 的 正 态 分 布 图
+
-
图形
极大值为 e 0 1
y 2(2x 1)e
2
x2
形
令 y 0, 得x
1 2
表 JX-2
教学难点 解决措施 教学设计 教学手段 教学方法
多媒体教学、板书演示
一、复习 二、新授 4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图
（一）函数拐点以及凹凸区间的定义 （二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理 （三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤
板书设计 授课提纲
三、练习 四、小结 五、作业
表 JX-2
教
【复习提问】
例 5 作函错误！未找到引用源。 的图形. 解 定义域为错误！未找到引用源。,图形对称 y 轴。 错误！未找到引用源。 . 在定义域内无驻点，也没有极值点。 x 图形 无定义 +
表 JX-2
教
案
纸
第 页
教 学 过 程 设 计 错误！未找到引用源。 . 无错误！未找到引用源。的点，无拐点。在错误！未找到 引用源。及错误！未找到引用源。 内错误！未找到引用 源。 ,图形是凸的。又 错误！未找到引用源。 . 所以有垂直渐近线错误！未找到引用源。 (左侧)，错误！ 未找到引用源。 （右侧） 当错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 。 根据以上讨论可大致作出其图形（图 4.19） 。
时间 分配
教师 活动
学生 活动
0
x
【课堂小结】
1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线； 3.函数图形的作法.
高中函数的凹凸性难点解析
二、凹凸与拐点的定义
定义: 若曲线段向上（下）弯曲， 则称之为凹（凸）的。
y
C
B
A
o
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
y f ( x)
x
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的下方。
图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的上方。
二、曲线的凹凸性与拐点
1 1 2 1 1 1 2 1 1 当 1 时， ( ) 取得最大值 2 ， ( ) 取得最小值 0 x 2 4 x 2 4 x
2 a 0 结合 a 0 ，a [2,0) 。
指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。
x y a 1、指数函数
x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 解析:答案为 B。要使 f ( 恒成 ) 2 2
立， 由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1 内为凸函数。 而 y 2 , y x 在 0 x 1 内为凹函数，
x 2
y cos 2 x 在 0 x 1 内 先 凸 后 凹 函 数 。 只 有
k AB
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 显 然 成 立 （ 可 以 用 x1 x2
1 0( x 0) ）故③正确 x ln10 x x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 再有 AB 中点 C （ 1 , )过 C 2 2 x x2 作 DC x 轴交 f ( x) 于 D（ 1 , yD ) 2 f '( x)
典例 1. （05 湖北卷） 在 y 2 x , y log 2 x, y x 2 , y cos 2 x 这 四 个 函 数 中 ， 当
arcgis中提取线的拐点坐标
arcgis中提取线的拐点坐标在地理信息系统（GIS）中，线要素是指由多个节点（点要素）连接而成的线段，它在空间分析和地图制作中具有重要的作用。
而线要素的拐点坐标则表示了线段的转折点，通常用于分析线段的形状、长度、方向等信息。
ArcGIS是一款功能强大的地理信息系统软件，它提供了丰富的工具和功能，可以方便地提取线要素的拐点坐标。
下面将分别介绍ArcGIS的应用场景和提取拐点坐标的操作步骤。
我们来看一下ArcGIS中提取拐点坐标的应用场景。
在城市规划、交通管制、路径分析等领域中，我们经常需要分析线段的形状和转折点，以便做出合理的决策。
例如，交通规划师可以利用线段的拐点坐标来评估道路的曲率，从而确定最佳的驾驶路径。
另外，在地质勘探和地震监测中，线段的拐点坐标也可以用于分析地质构造和地震活动的位置。
因此，提取线要素的拐点坐标具有广泛的应用价值。
接下来，我们将介绍在ArcGIS中提取线要素的拐点坐标的操作步骤。
步骤一：导入线要素数据我们需要将线要素数据导入ArcGIS软件中。
可以通过添加数据按钮将线要素数据导入ArcMap中，也可以通过拖拽文件到ArcMap窗口中来导入数据。
步骤二：选择要素在导入线要素数据后，我们需要选择要提取拐点坐标的线要素。
可以通过选择工具来选择指定的线要素，也可以通过属性查询来选择符合条件的线要素。
选择后的线要素将会高亮显示。
步骤三：提取拐点坐标在选择要素后，我们可以利用ArcGIS软件提供的工具来提取线要素的拐点坐标。
具体操作如下：1. 在ArcGIS软件的工具栏中选择“编辑”工具。
2. 在编辑工具中选择“节点编辑”工具。
3. 在节点编辑工具中选择“提取节点”工具。
4. 点击线要素上的拐点，即可提取该拐点的坐标。
步骤四：保存拐点坐标在提取拐点坐标后，我们可以选择将其保存为文本文件或其他格式的文件。
可以通过导出数据按钮将拐点坐标保存为文本文件，也可以通过复制粘贴的方式将其粘贴到其他应用程序中进行进一步处理。
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三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
ex
ey
x y
e2
(x
y).
2
四
、
求
曲线
x y
2a 2a
cot sin
2
的拐点
.
三、证明下列不等式：
1 、 当 x 0 时 ， 1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2x x2； 3 、 若 x 0 ， 则 sin x x 1 x 3 .
的法线通过原点 .
练习题答案
一 、 1、 f ( x )在 (a , b )内 递 增 或 x (a , b ), f ( x ) 0 ；
2、凹凸部分的分界点；
3、 (2, 2 ), [2, ), ( ,2]； 4、 ( 1, ln 2 ), (1, ln 2 ) . e2
二
、拐
点
(1
,
e
arctan
内 取 凹 的 充 要 条 件 是 ____________.
2、曲线上____________的点，称作曲线的拐点 .
3、曲线 y ln(1 x 2 ) 的拐点为__________.
4 、曲线 y ln( 1 x ) 拐点为_______.
二 、 求 曲 线 y e arctan x 的 拐 点 及 凹 凸 区 间 .
2
2
（向上）凹的（或凹弧 ）; 恒 f(x 1 有 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ),
2
2
则称f(x)在I上的图（形向是 上）凸的（或凸弧 ）．
若 f(x)在 [a,b]上连 ,且续 (a 在 ,b)内的图 (或 形 )的 凸 , 则f称 (x)在 [a,b]上的图 凹(或形 凸 )的. 是 注意：凹——上凹；凸——下凹
注意: 若f(x0)不存 ,点 在 (x0,f(x0))也可能是连
yf(x)的拐 . 点
例4 求曲y线 3 x的拐 . 点
解
当x0时, y
1
2
x 3,
y 4x53,
3
9
x0是不,可 y,y均 导不 点 . 存在
但 (,0 在 ) 内 ,y 0 ,曲线(在 ,0]上是凹 ; 的
在 (0 ,)内 ,y 0 ,曲线[0,在 )上是凸 . 的
例1 判断曲 yx线 3的凹凸 . 性 解 y3x2, y6x,
当x0时， y0, 曲线 在(,0]为凸的； 当x0时，y0, 曲线 在[0,)为凹的；
注意到: 点(0,0)是曲线由凸变凹的点 分. 界
三、曲线的拐点及其求法
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 定理2
6
1 x2 ；
四 、 方 程 ln x ax (a 0) 有 几 个 实 根 .
五 、 设 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在 (a , b )内 f ( x ) ,试 证 明：对于[a, b ]上任意两 x1，x2 有
f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 )[提示：方法（1）
arc-8852-3-4曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
设 f(x)在区 I上 间连 ,若续 I对 上任意 x1,x2,两 恒点 有
f(x1x2)f(x1)f(x2),则f称 (x)在 I上的图
点 (0,0)是曲 y3线 x的拐 . 点
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
思考题
设f(x)在 (a,b)内 二 阶 可 导 ， 且f(x0)0， 其 中x0(a,b)， 则 (x0, f(x0))是 否 一 定 为 曲 线f(x)的 拐 点 ？ 举 例 说 明 .
例2 求曲y线 3x44x31的拐点及凹、.凸
解 D :(, ) y1x2 31x2 2, y36x(x2).
3
令y0,
得x10,
x2
2. 3
x (,0)
0 (0, 23)
2 3
(23,)
f(x) 0
0
f (x) 凹的
拐点
(0,1)
凸的
拐点
(23,1127)
凹的
凹凸区间 (,为 0], [0,23], [23,).
2
2
f ( x ) 0 ， f ( x ) 单 增 ； 方 法 （ 2） f ( x ) 0 ，
利用泰勒公式]
五、试证明曲线y x 1 有三个拐点位于同一直线 x2 1
上. 六、问 a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线y ax3 bx2
的拐点？ 七、试决定y k(x2 3)2 中 k 的值,使曲线的拐点处
1 2
) , 在 (
,
1]
内
是
凹
的
,
2
2
在[1 , ) 内 是 凸 的.
2
四、拐点(2 3 a, 3 a)及( 2 3 a, 3 a).
32
32
五 、 ( 1, 1), (2
1 3,
3 ), (2
1 3,
3 ).
4(2 3)
4(2 3)
谢谢大家！ 欢迎多提宝贵建议！
二、曲线凹凸性的判别
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A
oa
bx
f(x)递增 y 0
A
oa
bx
f(x)递减 y 0
定理1 如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有
一阶和二阶,若 导在 数 (a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
若f (x)在(x0 ,x0 )内存在二阶导数，则
点(x0, f(x0))是拐点的必要 f(条 x0)件0.是
求法: 设函 f(x)在 数 x0的邻域,内 且 f(x 二 0)0,阶
( 1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; 拐 (2 )x 0 两 f( 近 x ) 不 ,旁 点 变 (x 0 ,f(x 0 ) 号 不 ) .是
思考题解答
因 为 f(x0)0只 是 (x0,f(x0)为 )拐 点
的 必 要 条 件 ，
故 ( x 0 , f ( x 0 ) 不 一 定 ) 是 拐 点 .
例 f(x)x4 x(, )f(0)0
但 ( 0 ,0 ) 并 不 是 曲 线 f(x )的 拐 点 .
练习题
一 、填 空题 ：
1 、若函数 y f ( x ) 在（a , b ）可导，则曲线 f ( x ) 在(a , b )