复数问题的类型与解法
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
复数的引入，不仅拓展了数学的范畴，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中关于复数的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、复数的定义。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实数可以看作是虚部为0的复数，而虚数可以看作是实部为0的复数。
二、复数的运算。
1. 复数的加法和减法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁±z₂=(a₁±a₂)+(b₁±b₂)i。
2. 复数的乘法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 复数的除法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，且z₂≠0，则z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+(b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)i。
三、复数的表示形式。
1. 三角形式。
若z=a+bi，设z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
2. 指数形式。
若z=a+bi，设z=re^(iθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
四、复数的共轭和模。
1. 复数的共轭。
设z=a+bi，则z的共轭是a-bi，记作z。
2. 复数的模。
设z=a+bi，则|z|=√(a²+b²)。
五、复数方程的解法。
1. 一元二次方程。
对于形如az²+bz+c=0的一元二次方程，可以使用求根公式z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。
2. 复数方程。
对于形如az²+bz+c=0的复数方程，同样可以使用求根公式来求解，只是此时可能会有两个共轭复数解。
解复数方程的常见方法与技巧
解复数方程的常见方法与技巧复数方程是指含有复数变量的方程。
解复数方程是求出满足方程的所有复数解的过程。
在数学中，解复数方程的常见方法和技巧有以下几种。
一、图像法图像法是解复数方程的一种直观方法。
我们可以将复数方程转化为在复平面上的几何问题。
利用复数的模和幅角的性质，我们可以通过观察复平面上的图像来找到解。
例如，对于方程z^2=1，我们可以将其转化为在复平面上求两个点的问题，即找到模为1，幅角为0或π的点作为解。
通过画出复平面上的点和线，我们可以直观地找到方程的解。
二、代数方法代数方法是解复数方程的一种常用方法。
我们可以通过代数运算和方程变形来求解方程。
例如，对于方程z^2+2z+2=0，我们可以利用配方法将其转化为完全平方的形式。
然后，通过求解完全平方后的方程来找到解。
代数方法通常适用于形式更为复杂的复数方程。
三、方程组法方程组法是解复数方程组的一种有效方法。
当复数方程中存在多个未知量时，我们可以将其转化为一个方程组，然后通过求解方程组来找到解。
例如，对于方程组z^2+w=5和2z+w=3，我们可以联立这两个方程，消去变量w，然后求解剩余的未知量z。
通过方程组法，我们可以将复数方程中的多个未知量转化为一个或几个方程，从而求解复数方程。
四、三角形式法三角形式法是解复数方程的一种常用技巧。
利用复数的三角形式，我们可以将复数方程转化为三角方程，然后求解得到解。
例如，对于方程z^2=2，我们可以将复数z表示为模和幅角的形式，然后将方程转化为一个三角方程。
通过求解三角方程，我们可以找到复数方程的解。
总结起来，解复数方程的常见方法和技巧包括图像法、代数方法、方程组法和三角形式法。
不同的方法适用于不同类型的复数方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决复数方程。
通过灵活运用这些方法和技巧，我们可以高效地求解复数方程，进而提升数学解题的能力和水平。
这些是解复数方程的常见方法与技巧，希望对你有所帮助。
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
解决数学中的复数方程复数的运算与解法
解决数学中的复数方程复数的运算与解法解决数学中的复数方程——复数的运算与解法数学中的复数方程是指包含复数的方程。
复数本质上是由实数和虚数部分组成，表示为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
在解决复数方程的过程中，我们需要了解复数的运算规则和解法。
一、复数的运算规则1. 加法运算：将两个复数的实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (-4 + 5i) = (2 - 4) + (3 + 5)i = -2 + 8i2. 减法运算：将两个复数的实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (-4 + 5i) = (2 + 4) + (3 - 5)i = 6 - 2i3. 乘法运算：根据FOIL法则，将两个复数的实部和虚部进行分别相乘，并结合虚数单位的平方规则，得到最终结果。
例如：(2 + 3i) * (-4 + 5i) = (2 * -4) + (2 * 5i) + (3i * -4) + (3i * 5i)= -8 + 10i - 12i + 15i²= -8 + 10i - 12i - 15= -23 - 2i4. 除法运算：将两个复数分别乘以其共轭复数，再利用共轭复数的性质进行化简。
最后将结果分别除以共轭复数的模的平方。
例如：(2 + 3i) / (-4 + 5i) = (2 + 3i)(-4 - 5i) / (-4 + 5i)(-4 - 5i)= (-8 - 10i - 12i + 15) / (16 + 20i - 20i - 25i²)= (-17 - 22i) / (41)= -17/41 - 22i/41二、复数方程的解法1. 一元一次复数方程的解法：一元一次复数方程的一般形式为az + b = 0，其中a和b为复数，z 为未知数。
解法与实数方程类似，将方程转化为az = -b，并通过除以a 的操作解得z。
例如：3z + 5i = 7 - 2i3z = 7 - 2i - 5iz = (7 - 2i - 5i) / 32. 二次复数方程的解法：二次复数方程的一般形式为az² + bz + c = 0，其中a、b和c为复数，z为未知数。
高中数学解题技巧之复数方程求解
高中数学解题技巧之复数方程求解在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的运算和方程的解法。
掌握复数方程的求解技巧，不仅可以帮助我们解决具体的问题，还能提高我们的数学思维能力。
本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用。
一、一次方程的复数解复数方程中的一次方程是最简单的一种情况，它可以表示为：ax + b = 0其中，a和b都是实数，x是复数。
要求解这个方程，我们可以通过移项和化简的方法来进行。
例题1：求解方程2x + 3 = 0解法：首先，将方程中的常数项3移到等式的右边，得到2x = -3。
然后，将方程两边同时除以2，得到x = -3/2。
所以，方程2x + 3 = 0的解为x = -3/2。
例题2：求解方程3x - 2i = 0解法：首先，将方程中的常数项-2i移到等式的右边，得到3x = 2i。
然后，将方程两边同时除以3，得到x = 2i/3。
所以，方程3x - 2i = 0的解为x = 2i/3。
通过以上两个例题可以看出，一次方程的复数解可以通过移项和化简的方法求解，注意在复数解中，虚部的表示方式为i。
二、二次方程的复数解二次方程是复数方程中常见的一种情况，它可以表示为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c都是实数，x是复数。
要求解这个方程，我们可以通过配方法、求根公式和因式分解的方法来进行。
例题3：求解方程x² + 4x + 5 = 0解法：首先，根据二次方程的求根公式，可以得到方程的两个根为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a将方程的系数带入公式中，可以得到x = (-4 ± √(-4))/ 2 = -2 ± i。
所以，方程x²+ 4x + 5 = 0的解为x = -2 ± i。
例题4：求解方程2x² + 3x + 1 = 0解法：首先，根据因式分解的方法，可以将方程进行分解为(2x + 1)(x + 1) = 0。
高三数学 复数的运算,在复数集中解方程,复数运算的几何意义 知识精讲
高三数学 复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义 知识精讲（一）复数的运算（1）复数的代数形式：()z a bi a b R =+∈,；（2）复数的加法与减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±； （3）复数的乘法与除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++；a bi c di ac bd c d bc adc d i ++=+++-+2222； （4）z z z z z z z z z m n m n m n mn n n n⋅==⋅=⋅+，，()()1212； （5）i 的周期性ii i i i i n Z n n n n 414243411++-+==-=-=∈，，，()； （6）ω的性质及应用：若n 为虚数，且ω31=，则称ω为1的虚立方根， 1的立方根为112321232，，-+--i i 且有性质：102++=ωω。
ωωωωω3211===-，，（7）常用计算结果：①()()a bi a bi a b +-=+22； ②()122±=±i i ；③11+-=ii i ； ④122±⎛⎝⎫⎭⎪=±i i 。
（二）在复数集中解方程（1）形如()f z z z ，，||=0型的复数方程解法，通常设()z x yi x y R =+∈,，利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化。
（2）一元二次方程ax bx c 20++=，若a 、b 、c 中至少有一个虚数，则 ①求根公式仍适用； ②韦达定理仍适用；③判别式判别根的情况无效； ④虚根成对出现性质无效。
（3）解形如ax b n+=0的二项方程()a b C ,∈（三）复数运算的几何意义（1）复数加、减法的几何意义（平行四边形和三角形法则） （2）复数乘法的几何意义（逆时针和顺时针旋转） （3）复数除法的几何意义 （4）复数开方的几何意义注意：有关模与辐角（主值）的变化。
高中数学复数方程求解与代数性质解题方法
高中数学复数方程求解与代数性质解题方法在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的性质和运算，也是解析几何和函数的基础。
本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并结合具体题目来说明解题的技巧和考点，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、一元复数方程的求解1. 一次方程：一元复数方程中，一次方程是最简单的形式。
例如，我们考虑求解方程z + 3 = 5，其中z为复数。
解这个方程的关键是找到z的实部和虚部。
对于这个方程，实部为Re(z) + 3 = 5，虚部为Im(z) = 0。
因此，我们可以得到z = 2 + 0i。
2. 二次方程：一元复数方程中，二次方程是较为复杂的形式。
例如，我们考虑求解方程z^2 + 2z + 3 = 0。
解这个方程的一种方法是利用求根公式，即z = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
将方程中的系数代入公式，我们可以得到z = (-2 ± √(-8))/(2)。
由于√(-8) = 2i√2，因此解为z = -1 ± i√2。
二、复数方程的代数性质解题方法1. 复数的共轭性质：复数的共轭性质是解复数方程的重要工具。
例如，我们考虑求解方程z + conj(z) = 8，其中z为复数，conj(z)表示z的共轭复数。
根据共轭性质，我们知道conj(z + conj(z)) = 2Re(z)，即方程可以化简为2Re(z) = 8。
因此，我们可以得到Re(z) = 4，即z的实部为4。
由于方程没有虚部，因此z为实数4。
2. 复数的模性质：复数的模性质也是解复数方程的重要工具。
例如，我们考虑求解方程|z - 2| = |z + 2|，其中z为复数。
根据模的定义，我们知道|z - 2|表示z与2之间的距离，|z + 2|表示z与-2之间的距离。
因此，方程的解是在与2和-2的距离相等的点上。
根据几何直观，我们可以得到解为x轴上的点，即z为实数。
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质复数是数学中的一个重要概念，它包括实部和虚部。
在高考数学中，复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是经常出现的考点。
本文将对这三个内容进行详细的讲解。
一、复数的运算复数的运算主要包括加减法、乘法和除法。
复数的加减法就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(4-2i)-(3+5i)=1-7i。
复数的乘法是将实部与实部相乘然后减去虚部与虚部相乘。
例如，(2+3i)*(4+5i)=7+22i，(4-2i)*(3+5i)=26+10i。
复数的除法需要将分母有理化，将分子与分母乘以共轭复数，再进行简化。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23-2i)/41。
二、复数方程的解法复数方程是指方程中含有未知数的复数解的方程。
对于一元一次复数方程a+bi=0，解析解为x=-b/a。
对于一元二次复数方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式进行求解。
其中，根的公式为x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
若b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b^2-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b^2-4ac<0，则方程有两个共轭复数根。
三、复数函数的性质复数函数是指函数自变量或者函数取值是复数的函数。
复数函数的性质主要包括奇偶性、周期性和双曲线。
对于函数f(x)，若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
对于周期性，复数函数f(x)的周期是指存在常数T>0，使得f(x+T)=f(x)成立。
对于双曲线，复数函数f(x)的双曲线是指将复平面看作坐标平面后，函数的图像在复平面上的表示为双曲线。
总结：高考数学中关于复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是需要掌握的重要知识点。
掌握了复数的运算规则，能够灵活运用加减法、乘法和除法进行计算。
高中三年数学掌握复数的运算与方程求解方法
高中三年数学掌握复数的运算与方程求解方法在高中数学课程中，复数是一个重要的概念，它不仅仅可以用来进行运算，还可以用来解决各种类型的方程。
本文将介绍高中三年数学中关于复数的运算以及方程求解方法。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常用a+bi表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部可以是任意实数。
二、复数的表示与运算1. 复数的表示形式复数可以有多种表示形式，主要有代数形式、三角形式和指数形式。
其中，代数形式最常用，即a+bi的形式；三角形式利用复数的模长和辐角表示；指数形式则利用欧拉公式，将复数表示为e^(iθ)的形式。
2. 复数的运算（1）复数的加减法复数的加减法遵循实部相加减，虚部相加减的原则，即(a+bi)±(c+di) = (a±c) + (b±d)i。
（2）复数的乘法复数的乘法可以通过分配律展开，即(a+bi)×(c+di) = ac + (ad+bc)i + bdi²，由于i²=-1，可化简为(ac-bd) + (ad+bc)i。
（3）复数的除法复数的除法通常将被除数与除数进行有理化，即先将除数的共轭复数乘以分子和分母，然后进行简化。
三、复数方程的求解方法1. 一元二次方程对于一元二次方程a x²+b x+c=0，如果其判别式（x²−4xx）< 0，那么该方程没有实数解，但可以用复数进行求解。
求解时，可以通过配方法把方程转化为标准形式，然后利用求根公式计算复数解。
2. 复数根的性质如果一个多项式方程的系数都是实数，但方程没有实数解，那么它一定有复数根。
而且复数根是以共轭对出现的，即如果a+bi是方程的一个根，那么a-bi也是方程的一个根。
3. 复数方程的解法（1）对于一元多次方程，通过将其转化为标准形式，然后利用求根公式进行求解即可。
（2）对于多个方程联立时，如果方程系数都是实数，但方程无实数解，可以通过用复数进行求解，先求得方程的复数根，然后进行验证，求解出符合要求的复数解。
复数的应用与解法技巧
复数的应用与解法技巧复数（Complex number）是由实数和虚数构成的数，其中虚数单位$i=\sqrt{-1}$。
虽然复数在我们的日常生活中不常用，但是在数学、物理以及电学等领域中具有极其重要的作用。
本文将主要探讨复数的应用与解法技巧。
一、复数的应用1.1 复数在几何中的应用复数与几何可以说是密不可分的。
我们知道在平面直角坐标系下，一个点可以用坐标表示。
类似的，一个复数可以表示为坐标系中的点。
对于复数$a+bi$，我们可以将其在直角坐标系中表示为$(a,b)$，这个点就称为复平面上的点。
其中实部$a$表示横坐标，虚部$b$表示纵坐标。
在复平面中，一条线段可以表示为一个复数，两个复数之间的距离可以通过计算它们在复平面中对应点的距离来得出，即$$ |z_1-z_2|=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2} $$复数的乘法和除法的几何意义也很有趣：当两个复数相乘时，它们的距离相乘，角度相加，并且与$x$轴的夹角相加。
当两个复数相除时，它们的距离相除，角度相减，并且与$x$轴的夹角相减。
1.2 复数在物理中的应用在物理学中，复数经常被用来表示振动运动。
我们知道，任何一个周期运动都可以表示为正弦或余弦函数的线性组合。
而正弦或余弦函数相当于是一个在复平面上旋转的指针。
因此，我们可以将任何一个周期运动表示为一个复数$z=Re(e^{i\omega t})$，其中$R$表示振幅，$\omega$表示角频率。
1.3 复数在电学中的应用在电学中，复数同样被经常地使用。
例如，交流电中的电流和电压可以表示为复数形式，而阻抗和电容等电路参数也可以被表示为复数。
例如，一个满足欧姆定律的电路可以表示为$$ V=IR $$其中$V$为电压，$I$为电流，$R$为电阻。
上式可以写成复数形式：$$ \tilde{V}=\tilde{I}\tilde{Z} $$其中$\tilde{V}$表示电压的复数形式，$\tilde{I}$表示电流的复数形式，$\tilde{Z}$表示电阻的复数形式。
初中数学知识归纳复数的运算和方程的解法
初中数学知识归纳复数的运算和方程的解法初中数学知识归纳：复数的运算和方程的解法在初中数学中，学生们将接触到复数的运算和方程的解法。
复数是由实部和虚部组成的数，是数学中一种重要的概念。
本文将对初中数学中与复数运算和方程解法相关的知识进行归纳总结。
一、复数的定义和表示方式复数是由实数和虚数结合而成的。
实数是我们平常所熟悉的，而虚数是-1的平方根，通常用“i”来表示。
复数可以用排列成 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部。
二、复数的运算法则1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
3. 复数的乘法：使用分配律，将实部和虚部分别相乘，再根据 i 的平方为 -1 的性质进行变换。
4. 复数的除法：将复数进行有理化后，用乘法逆元进行计算。
三、复数的共轭和模1. 共轭复数：将复数的虚部取相反数即可得到共轭复数。
2. 复数的模：复数的模表示复数到原点之间的距离，可以通过勾股定理计算。
四、复数方程的解法1. 一元二次方程：将方程中的变量用复数表示后，应用一元二次方程的求根公式进行求解。
注意判别式的值决定了方程的解的性质。
2. 复数方程的性质：复数方程的解具有共轭性，即如果一个复数是方程的解，那么它的共轭复数也是该方程的解。
五、综合应用在实际问题中，复数的运算和方程的解法也有应用。
例如在电路分析中，复数可以用来表示交流电信号；在几何问题中，复数可以用来表示平面上的点等等。
综上所述，初中数学中的复数运算和方程的解法是非常重要的内容。
通过掌握复数的定义、运算法则、共轭和模的概念，以及复数方程的解法，学生们可以更好地理解和运用复数的知识。
希望本文对初中数学学习者有所帮助。
复数问题的题型与方法
复数问题的题型与方法复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等．一、数学规律： 1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律（1）i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；（3）i n· i1n +· i2n +·i3n +=-1， i n ＋i1n +＋i2n +＋i3n +=0；；3．辐角的运算规律（1）Arg （z 1·z 2）＝Argz 1＋Argz 2（3）Argzn=nArgz （n ∈N ）…，n -1。
或z ∈R 。
要条件是|z|＝|a|。
（6）z 1·z 2≠0，则4．根的规律复系数一元n 次方程有且只有n 个根，实系数一元n 次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|的运用。
即|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对应的向量共线且同向。
|z 1±z 2|≥|z 1|-|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对立的向量共线且异向。
二、主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数z 和z ，宜统一形式，正面求解。
【解】解法一 设z ＝x ＋yi （x ，y ∈R ），原方程即为223313x y y xi i +--=+ 用复数相等的定义得：∴1z =-1，2z =-1+3i.两边取模，得：代入①式得原方程的解是1z =-1，2z =-1+3i.【例2】 （1993·全国·理）设复数 z=cos θ＋isin θ（0＜【解】 ∵z ＝cos θ+isin θ 4z =cos4θ＋isin4θcos(2)sin(2)22tan 2cos 2sin 2i i ππθθθθθ-+-=+tan 2cos(4)sin(4)22i ππθθθ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦即3tan 23ωθ==，又∵0＜θ＜π，当3tan 23θ=时，12πθ=或712πθ=【说明】 此题转化为三角问题来研究，自然、方便。
复数的基本运算与复数方程的解法
复数的基本运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数构成的数，可以用形如a+bi的表达式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数既可以进行基本运算，如加减乘除，也可以用来解决复数方程。
一、复数的基本运算1. 复数的加法和减法复数的加法是将实部和虚部分别相加，即(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
减法同理，即(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 复数的乘法复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的平方性质来计算。
设复数z1 = a+bi，z2 = c+di，其中a、b、c、d为实数，则z1 * z2 = (a+bi) * (c+di) = ac + (ad+bc)i + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 复数的除法复数的除法可以通过有理化的方法得到结果。
设复数z1 = a+bi，z2 = c+di，其中a、b、c、d为实数，则z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)。
首先，将分母有理化，即乘以分子分母的共轭复数，得到分子m = (a+bi) * (c-di) = (ac+bd) + (bc-ad)i，分母n = (c+di) * (c-di) = c^2 + d^2。
然后，将分子分母分别除以n，最终得到结果(m/n) = [(ac+bd)/n] + [(bc-ad)/n]i。
二、复数方程的解法1. 复数方程的定义复数方程是指含有复数解的方程，一般形式为az^2 + bz + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0，z为未知复数。
2. 复数方程的求根公式针对一元二次复数方程az^2 + bz + c = 0，可以使用求根公式得到解。
根据求根公式，令判别式D = b^2 - 4ac，若D>0，则有两个不相等的实数解；若D=0，则有两个相等的实数解；若D<0，则有两个共轭复数解。
复数的四则运算与复数方程的解法
复数是数学中一个重要的概念，它是由实数与虚数的和构成。
复数的四则运算是指对复数进行加法、减法、乘法和除法的运算。
而复数方程是指含有未知数为复数的方程。
掌握复数的四则运算和解复数方程的方法，对于解决数学问题和应用数学模型起到关键的作用。
首先，复数的四则运算是基于实数和虚数的运算规则。
实数是我们通常所熟悉的数，而虚数是指形式上为bi的数，其中b为实数，i是一个虚数单位，满足i² = -1。
一个复数可以表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi是虚数部分。
加法和减法的运算规则与实数相似，实数部分与实数部分相加减，虚数部分与虚数部分相加减。
乘法的运算规则是先将复数的实数部分与虚数部分分别相乘，然后将两个部分相加。
除法的运算规则是将被除数和除数分别乘以其共轭复数，然后求商。
通过这些运算规则，我们可以对任意的复数进行四则运算。
其次，对于复数方程的解法，我们需要将复数方程转化为实数方程。
这一过程通常用代数方法完成。
例如，对于一个复数方程z² + 2z + 2 = 0，我们可以设z = x + yi，其中x和y都是实数，然后将它代入方程中。
通过整理方程，我们可以得到实数部分和虚数部分的系数，然后我们可以得到一个关于x和y的实数方程。
通过求解这个实数方程，我们可以确定x和y的值。
最后，我们将x和y代回z = x + yi中，就得到了原复数方程的解。
这种方法被称为代数法。
另一种解复数方程的方法是几何法。
我们可以将复数看作是在平面上的一个点，实数部分和虚数部分分别对应点的x坐标和y坐标。
复数方程可以看作是表示两个点之间的关系。
通过分析这些点的位置和关系，我们可以找到方程的解。
这种方法被称为几何法。
在数学中，复数的四则运算和解复数方程是非常重要的概念和技巧。
它们不仅在数学问题的解决中发挥作用，而且在物理学、工程学和其他应用数学领域也有广泛的应用。
通过掌握复数的四则运算和解复数方程的方法，我们可以更好地理解和应用复数的概念，进一步提高数学水平和解决实际问题的能力。
复数的运算与方程的解法
复数的运算与方程的解法复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。
复数在数学中起着非常重要的作用，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
复数的运算包括四则运算和幂次运算，而解复数方程则是找到满足方程的复数解。
一、复数的四则运算1. 加法复数的加法可以直接将实部相加，虚部相加，即 (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法复数的减法可以直接将实部相减，虚部相减，即 (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法复数的乘法可以使用分配律展开计算，即 (a+bi) × (c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法复数的除法可以通过有理化的方法计算，即先将分母的虚部变为实数，再进行乘法运算，最后将结果分别除以分母的模长的平方，即(a+bi) ÷ (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
二、复数方程的解法解复数方程的一般思路是将复数方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程得到复数解。
1. 一元一次复数方程一元一次复数方程的一般形式为 a(z+c) + b = 0，其中 a、b、c都是已知的复数，而 z 是未知的复数。
解这样的方程可以通过将方程转化为代数方程进行计算。
例如，要解方程 (3+z) + 2i = 0，可以将复数 z 写为 x + yi 的形式，代入方程进行计算。
得到 3+x + 2i + 2xi - y = 0，将实部和虚部分别等于0，得到 3+x+2xy = 0 和 2-x+y = 0 两个代数方程，解得 x=-3/13，y=-17/13。
所以原方程的解为 z = -3/13 - 17i/13。
2. 一元二次复数方程一元二次复数方程的一般形式为 az^2 + bz + c = 0，其中 a、b、c 都是已知的复数，而 z 是未知的复数。
高中数学竞赛复数解法
高中数学竞赛复数解法
一、基本概念
1. 复数的定义：复数是一类有虚数单位i(i^2=-1)的数，由实数部分和虚数部分组成，可以写成a+bi(a、b为实数）；
2. 共轭复数：如果z=a+bi(a、b为实数)，则z的共轭复数为z*=a-bi；
3. 复数的模：复数z=a+bi的模为|z|=√(a^2+b^2)；
4. 复数的幅角：复数z=a+bi的幅角为tanθ=b/a(a≠0)；
二、运算技巧
1. 加减法：(a±bi)+(c±di)=(a+c)±(b+d)i；
2. 乘法：(a±bi)(c±di)=(ac-bd)±(ad+bc)i；
3. 除法：若z1=a+bi,z2=c+di(c≠0)，则z1/z2=（ac+bd）/（c^2+d^2）±（bc-ad）/（c^2+d^2）i；
4. 幂次：幂次可以按照分解平方和公式(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi 求解；
三、解题技巧
1. 计算复数的模和幅角：在求复数的模和幅角时，采用简单的数学计算手段可以节省大量的时间；
2. 按照运算法则：解决复数的问题，要按照复数的运算法则(加减乘除法)，熟练掌握，灵活运用；
3. 变量代换：在复数问题中，往往可以将解变量代入原方程，做判断，简化计算量；
4. 提取公因数：在复数的运算过程中，可以通过提取公因数，简化计算量。
复数方程的解法和应用
复数方程的解法和应用一、复数方程的解法复数方程是含有未知数和复数的方程。
解决复数方程的方法需要掌握复数相关的性质和运算规则。
1. 直接求解法对于形如az^2 + bz + c = 0（其中a、b、c为实数，z为复数）的二次复数方程，可以使用求根公式进行求解。
一般形式为：z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中±表示两个解。
根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负性可以确定解的类型：- 当Δ > 0时，存在两个不相等实数解；- 当Δ = 0时，存在两个相等实数解；- 当Δ < 0时，存在共轭复数解。
2. 复数系数方程的化简若复数方程的系数为复数，可使用复数的共轭性质进行化简。
假设方程为az + b = 0，其中a和b为复数，则可以将方程中的复数系数化为实数系数的方程，如下：az + b = 0(a + b*)(z + c) = 0其中b*表示b的共轭复数，c = -a*/b*。
二、复数方程的应用复数方程在数学及其他领域中有广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：1. 电路分析在电路分析中，复数方程可以用来描述电源、电阻和电感之间的关系，并求解未知电流和电压的数值。
使用复数方程可以简化电路计算，并且可以准确地描述交流电路的性质。
2. 控制理论在控制理论中，复数方程可以用来描述系统的稳定性和频率响应。
通过求解复数方程可以得到系统的极点和零点，进而分析系统的动态特性和稳定性。
3. 物理学在物理学研究中，复数方程可以用来描述波动现象，例如声波、光波等。
通过求解复数方程可以得到波的传播速度、频率以及波函数的形式等信息。
4. 统计学在统计学中，复数方程可以用来进行数据拟合和模型建立。
通过求解复数方程可以找到最佳拟合曲线或平面，进而对数据进行预测和分析。
总结：复数方程的解法和应用是数学和科学研究中的重要内容。
掌握复数方程的解法可以帮助我们解决相关问题，而复数方程的应用则广泛涉及到电路分析、控制理论、物理学和统计学等领域。
高中数学备课教案复数的运算与方程组的解法
高中数学备课教案复数的运算与方程组的解法高中数学备课教案复数的运算与方程组的解法一、复数的运算复数由实部和虚部组成，可以用 a+bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法可以直接对实部和虚部分别进行运算。
例如，对于复数 a+bi 和 c+di 的加法运算：实部相加得到新复数的实部，即 (a+c)；虚部相加得到新复数的虚部，即 (b+d)；因此，a+bi + c+di = (a+c) + (b+d)i。
复数的减法运算类似，只需要将第二个复数取负数，然后按照加法的规则进行计算。
2. 复数的乘法复数的乘法遵循以下规则：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2= ac + (ad+bc)i + bdi^2= (ac-bd) + (ad+bc)i因此，两个复数相乘时，实部分别相乘后减去虚部相乘，得到新复数的实部；实部和虚部分别相乘并相加，得到新复数的虚部。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行计算。
根据乘法的规则，复数 a+bi 除以复数 c+di 可以表示为：(a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)注意到 (c-di)(c+di) = c^2 + d^2 是实数，所以可以将分母转换为实数。
通过乘法分配律展开分子，并组合实部和虚部，可以得到最终的结果。
二、方程组的解法方程组是多个方程组成的集合，通常需要求解未知数的取值，使得方程组中的每个方程都成立。
1. 二元一次方程组的解法二元一次方程组通常有两个方程，形式如下：{ax + by = c,dx + ey = f}可以使用消元法进行求解，步骤如下：首先，通过第一个方程消去其中一个变量（通常选择 x）：{(a/e) * (dx + ey) - (a/e) * (f/e) - ax + by = c - (a/e) * (f/e)(a/e)d(x) + (a/e)e(y) - (d/a)f - ax + by = (aex + bdy) - (d/a)f - (c - (a/e) * (f/e))[(a/e)d - a]x + [(a/e)e + b]y = [(d/a)f - (c - (a/e) * (f/e))]}然后，通过第二个方程消去另一个变量（通常选择 y）：{(d/(a/e)e) * [(a/e)d - a]x + (d/(a/e)e) * [(a/e)e + b]y = (d/(a/e)e) * [(d/a)f - (c - (a/e) * (f/e))]dx + [(d/(a/e)e)b - d]y = [(d/(a/e)e)(d/a)f - (d/(a/e)e)(c - (a/e) * (f/e))]}化简后，得到二元一次方程组的解。
初中数学 复数方程的解如何计算
初中数学复数方程的解如何计算解决复数方程的方法取决于方程的类型和性质。
下面将介绍一些常见的复数方程类型及其解法，以帮助初中数学学生更好地理解和计算复数方程的解。
一、一元复数方程1. 一次复数方程：一次复数方程是未知数的最高次数为1的方程。
例如，z+2=5是一个一次复数方程。
解决一次复数方程可以通过代入法或直接化简得到。
例如，对于方程z+2=5，我们可以通过将z的值代入方程中来求解，得到z=3。
2. 二次复数方程：二次复数方程是未知数的最高次数为2的方程。
例如，z^2+2z+1=0是一个二次复数方程。
解决二次复数方程可以使用配方法、公式法或因式分解法等。
- 配方法：如果二次复数方程的形式是az^2+bz+c=0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方形式。
例如，对于方程z^2+2z+1=0，我们可以将其写成(z+1)^2=0的形式，然后求解得到z=-1。
- 公式法：二次复数方程的求解可以使用二次方程的求根公式。
对于方程az^2+bz+c=0，根的公式为z=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
例如，对于方程z^2+2z+1=0，我们可以带入a=1，b=2，c=1，然后根据公式计算得到z=-1。
- 因式分解法：如果二次复数方程可以进行因式分解，我们可以通过因式分解法求解。
例如，对于方程z^2-1=0，我们可以将其因式分解为(z-1)(z+1)=0，然后求解得到z=1和z=-1。
二、多元复数方程多元复数方程是含有多个复数未知数的方程。
解决多元复数方程可以使用代入法、消元法或矩阵法等。
- 代入法：通过将一个未知数的值代入方程中，将多元复数方程化简为一元复数方程，然后求解得到该未知数的值，再将该值代入其他方程中求解其他未知数的值。
- 消元法：通过消去一个未知数的方法，将多元复数方程化简为一个未知数的方程，然后求解得到该未知数的值，再将该值代入其他方程中求解其他未知数的值。
- 矩阵法：多元复数方程可以通过矩阵的形式进行表示和求解。
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复数问题的类型与解法大家知道，复数问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷必有一个五分小题。
从题型来看是，属于选择题或填空题，难度系数都比较低。
纵观近几年高考试题，复数问题归结起来主要包括：①复数的概念问题；②复数的运算问题；③复数几何意义的问题；④给定一定的条件，求参数的值（或潜在范围）的问题等几种类型。
各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。
那么在解答复数问题时，如何抓住问题的特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、复数Z=（2+i ）（1+i ）的共轭复数为（ ）A 3-3iB 3+3iC 1+3iD 1-3i【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用复数运算的法则和方法对圆锥复数进行运算，根据共轭复数的定义与性质就可作出选择。
【详细解答】Q Z=（2+i ）（1+i ）=2+2i+i+2i =1+3i ，∴Z =1-3i ，⇒D 正确，∴选D 。
2、已知复数Z=2+i ，则Z. Z =（ ）B C 3 D 5【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用共轭复数的性质，得到共轭复数，根据复数的运算法则和方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】Q Z=2+i ，∴Z =2-i ，⇒ Z. Z =（2+i ）（2-i ）=4-2i =4+1=5，⇒D 正确，∴选D 。
,3、设复数Z 满足i （Z+1）=-3+2i(i 是虚数单位),则Z 的实部是 ；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a ，b 的值，从而得出复数Z 的代数表示，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q i （Z+1）= i （a+bi +1）=ai+b 2i +i=-b+（a+1）i=-3+2i ，∴-b=-3，a+1=2，⇒a=1，b=3，∴ Z=1+3i, ⇒Z 的实部是1。
4、（1）若复数Z=1ai i +（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为-1，则a= ； （2）复数Z=21i i+（i 为虚数单位）的虚部为 ； 【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②复数虚部的定义与确定方法；③一元一次方程的定义与解法。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数虚部的定义得到关于a 的方程，求解方程就可求出a 的值；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式，根据分式虚部的定义就可得出结果。
【详细解答】（1）Q Z=1ai i += (1)(1)(1)ai i i i -+-= 221ai ai i --= 2a + 2a i 的虚部为-1，∴2a =-1， ⇒a=-2；（2）Q Z=21i i +=2(1)(1)(1)i i i i -+-=22221i i i --=1+i ，∴复数Z 的虚部为1。
5、（1）设有下列四个命题：1P ：若复数Z 满足1Z∈R ，则Z ∈R ；2P ：若复数Z 满足2Z ∈R ，则Z ∈R ；3P ：若复数1Z ，2Z 满足1Z 2Z ∈R ，则1Z =2Z ；4P ：若复数Z ∈R ，则Z ∈R 。
其中的真命题为（ ）A 1P ，3PB 1P ，4PC 2P ，3PD 2P ，4P（2）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A i 2(1)i +B 2i （1-i ）C 2(1)i + D i(1+i) 【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质；③纯虚数的定义与性质；④命题真假判断的基本方法。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，结合命题真假判断的基本方法，分别对各命题的真假进行判断就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法对各选项通过运算，结合纯虚数的定义就可得出结果。
【详细解答】（1）对1P ，设Z=a+bi,Q1Z =1a bi +=a bi a bi a bi -+-（）.（）=22a bi a b -+=22a a b + -22b a b +i ∈R ，∴22b a b +=0，⇒b=0，∴Z ∈R ，1P 是真命题，可以排除C ，D ；对3P ，Q 复数1Z ，2Z 满足1Z 2Z ∈R ，∴复数1Z ，2Z 互为共轭复数，⇒1Z =2Z 正确，∴3P 为真命题，⇒A 正确，∴选A 。
（2）Q i 2(1)i +=i （1+2i+2i ）=22i =-2是实数，∴A 错误；Q 2i （1-i ）=2i +i=-1+i 不是纯虚数，∴B 错误；Q 2(1)i + =1+2i+2i =2i 是纯虚数，∴C 正确，⇒选C 。
6、设复数Z 满足（1+i ）Z=2i ，则|Z|=（ ）A 12D 2 【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②复数模的定义与求法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算结果与条件的结果比较求出a ，b 的值，得到复数的代数表示式，根据复数模的运算方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】设Z=a+bi,Q（1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b2i=（a-b）+(1+b)i=2i，∴a-b=0，1+b=2，⇒a=b=1，∴Z=1+i，⇒，⇒C正确，∴选C。
7、i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法；③复数的运算法则和方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q（1+i）z=（1+i）z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b2i=（a-b）+(1+b)i=2，∴a-b=2，1+b=0，⇒a=3，b=-1，∴Z=3-i，∴复数Z的实部为3。
8、若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A 3，-2B 3，2C 3，-3D -1，4【解析】【知识点】①复数运算的法则和方法；②两个复数相等的充分必要条件；③二元一次方程组的定义与解法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到关于a，b的方程组，求解方程组就可得出结果。
【详细解答】Q（1+i）+（2-3i）=3-2i= a+bi，∴a=3，b=-2，⇒A正确，∴选A。
9、若复数Z满足：（3-4i）Z=|4+3i|，则Z的虚部为（）A -4B - 45C 4 D45【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数虚部的定义与确定方法；③复数模的定义与求法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数虚部的定义得到该复数的虚部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q（3-4i）Z=（3-4i）（a+bi）=3a+3bi-4ai-4b2i=（3a+4b）+(-4a+3b)i==5，∴3a+4b=5，-4a+3b=0，⇒a=35，b=45，∴Z=35+45i，∴复数Z的虚部为45，⇒D正确，∴选D。
『思考问题1』（1）【典例1】是与复数的概念相关的问题，主要涉及复数的实部、虚部的定义，复数的分类，复数相等的充要条件，复数的模和共轭复数等问题，解决这类问题应该弄清如下问题：①复数实部与虚部的定义；②复数的分类；③复数相等的充要条件；④复数模的定义与计算方法；⑤共轭复数的定义与性质；（2）处理有关复数概念的问题，首先要注意复数标准的代数表示形式，如果复数不是标准的代数形式，则应通过代数运算把复数化成标准的代数形式，再根据定义解题。
〔练习1〕解答下列问题：1、若1Z =（2m +m+1）+（2m +m-4）i （m ∈R ），2Z =3-2i ，则“m=1”是“1Z =2Z ”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件2、已知a ∈R ，复数1Z =2+ai ，2Z =1-2i ，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为（ ） A 1 B i C 23D 0 3、如果复数21m i mi+-是实数，则实数m 等于（ ） A -1 B 1 C-D4、 设a 、b ∈R ，且b ≠0，若复数3（a+b)是实数，则（ ） A 2b =32a B 2a =32b C 2b =92a D 2a =92b5、设1Z 是复数，2Z =1Z -i 1Z （其中1Z 表示1Z 的共轭复数），已知2Z 的实部是-1，则2Z 的虚部为 ；6、复数222i i +的虚部为 ； 7、复数Z=a+bi ，a 、b ∈R ，且b ≠0，若2Z -4bZ 是实数，则有序实数对（a ，b ）可以是，（写出一个有序实数对即可）8、若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b=（ ）A -2B -12C 12D 2 【典例2】解答下列问题：1、若Z （1+i ）=2i ，则Z=（ ）A -1-iB -1+iC 1-iD 1+i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数相等的充分必要条件；③复数代数表示式。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a ，b 的值，从而得出复数Z 的代数表示式就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q （1+i ）Z=（1+i ）（a+bi ）=a+bi+i+b 2i =（a-b ）+(1+b)i=2i ， ∴a-b=0，1+b=2，⇒a=b=1，∴Z=1+i ，⇒D 正确，∴选D 。
2、（1）31i i++=（ ） A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i（2）（1+i ）（2+i ）=（ ）A 1-iB 1+3iC 3+iD 3+3i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（1）Q 31i i ++=3)1)1)1)i i i i +-+-（（（（=22331i i i i -+--=2-i ，⇒D 正确，∴选D ；（2）Q （1+i ）（2+i ）=2+i+2i+2i =1+3i ，⇒B 正确，∴选B 。