NA-5-3-高斯(Gauss)求积公式

数值分析
数值分析
例
对积分 f ( x )dx， 试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使

1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )
数值分析
数值分析
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
I ( f ) ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
n
定义：若求积公式

b
a
( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) 对一切
k 0
不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对 于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的 代数精度为m.
这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一 般区间的积分.
数值分析
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例
对积分 f ( x )dx， 试利用n 1的两点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1和A0 , A1 使

1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
数值分析
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利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
1. 以 n 1次正交多项式的零点 x 0 , x1 , x n作为积分点 (高斯点）， 2 .用高斯点 x 0 , x 1 , x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
f ( x)
l ( x) f ( x )

1 1 1
( 1 x 2 ) dx A 0 A1
2
2 1 (1 x ) xdx A 0 ( 4 5 ) A1 ( 联立解出 A 0 A 1 3 得到两点高斯求积公式 为
1 2
2 ) 5
4 2 2 1 (1 x ) f ( x )dx 3 f ( 5 ) f ( 5 ) 数值分析
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n 0,
n1
1 1
f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n

1 1
f ( x )dx 2 f (0)

1
1
f ( x )dx f ( 0.5773502692) f (0.5773502692)
n2

1
1
f ( x )dx 0.555555556 f ( 0.7745966692)
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ), Ak
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n i k
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
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第四节 高斯(Gauss)求积公式
前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。 我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。
3 3 x1 , x2 3 3
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（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) Pi ( x ) P j ( x )dx 0, ( i j )
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常用的高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式

1 1
f ( x )d x

n
k0
Ak f ( x k )
(1)
其中高斯点为Legendre多项式的零点
Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询.

1
(1
1
1
x )x dx
2
2

1
(1 x 2 ) d x
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定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式

b a
( x ) f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
的代数精度最高为2n+1次。 证明：取特殊情形 ( x ) 1, 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为 等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2 ...... b r r r r x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a x dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
0.888888889 f (0) 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
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例 : 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分 x 1.5dx 1 解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
1

1
1
x 1.5dx
0.555556( 0.725403 2.274596) 0.888889 1.5 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 1 x 1.5dx 3 ( 0.5 4 1.5 2.5) 2.395742
0
数值分析
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来自百度文库
以 2 ( x )的 零 点 x 0
2
5 5 两点高斯公式 n 1, 应有 3次代数精度，求积公式 形如
, x1
2
作为高斯点。

1
1
(1 x 2 ) f ( x )dx A0 f ( x 0 ) A1 f ( x1 )
将 f ( x ) 1, x依次代入上式两端，令 其成为等式。
为Gauss型求积公式。 解：先作变量代换 1 1 1 1 x (a b ) (b a )t (1 t ), dx dt 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 于是 f ( x )dx f ( (1 t ))dt F ( t )dt 1 0 2 1 2 2 1 由两点Gauss Legendre求积公式 F (t )dt F (0.577) F (0.577) 1 得 1 1 1 1 1 1 1 1 0 f ( x)dx 2 1 f ( 2 (1 t ))dt 2 f ( 2 (1 0.577)) 2 f ( 2 (1 0.577))
(i 0,1,n)
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解： 首先在 1， 1 上构造带权 （ x） 1 x 2的 正交多项式
例 对于积分 （1 x 2）f ( x )dx , 试构造两点高斯求积公式.
1
1
0 ( x ), 1 ( x ), 2 ( x ). 0( x) 1 1 ( x ) ( x 1 ) 0 ( x ) x 2 ( x ) ( x 1 ) 1 ( x ) 1 0 ( x )

b
a
( x) f ( x)dx ( x)q( x)Pn1 ( x)dx ( x)r( x)dx
a a
数值分析
b
b
数值分析
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 于n，故有


b a
b
a
( x )r ( x )dx Ak r ( xk ) Ak f ( xk ) (4)
a
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有

b a
( x ) P ( x ) Pn ( x )dx 0, n 1
4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。
数值分析
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定理2 设x0,x1, …,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式

b
a
数值分析
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(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）

1 1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c 2 1, 求解得： c1 + c2=2 c1 x1+ c2 x2=0 c1 x12+ c2 x22 =2/3 c1 x13+ c2 x23 =0 所求Gauss公式为： 1 3 3 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析
左

b a
( x ) g ( x )dx 0，
右
A
k 0
n
k
g( xk ) 0
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
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定义: 使求积公式

b a
( x ) f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公 式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
数值分析
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上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1. 事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(xxn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式 都精确成立。 证毕
( x 0 ( x ), 0 ( x )) 1 ( 0 ( x ), 0 ( x ))
(1 x 2 ) dx 1 2 2 同 理 求 出 2 (x) x 5 2 2 2 ( x )的 零 点 为 x 0 , x1 5 5

1
1 1
(1 x 2 ) xdx
该积分的准确值

1 1
x 1.5dx 2.399529
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一般区间的Gauss - Legendre 求积公式
如果积分区间是[a,b]，用线性变换 ba ab x t 2 2 将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积 分法有

b
a
ba 1 ba ab f ( x )dx f( t )dt 2 1 2 2
i0 i i
b n a i0 b ( x )l i ( x )dx f ( xi ) a i 0 n
n
代入积分式

b
a
( x ) f ( x )dx ( x )( l i ( x ) f ( x i ))dx
因此，求积系数为
b a
Ai ( x )li ( x )dx