高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第2节 参数方程 理

第二节 参数方程

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．

(对应学生用书第201页)

[基础知识填充]

1．曲线的参数方程

(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数

t 的函数⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝f (t )，

y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，

y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系

的变数t 叫作参变数，简称参数．

相对于参数方程，我们直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．

(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

[意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)参数方程⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝f (t )，y ＝g (t )

中的x ，y 都是参数t 的函数．( )

(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α

(t 为参

数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的

有向线段M 0M →

的数量．( ) (3)方程⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ

表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )

(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2cos t ，

y ＝4sin t

(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t

＝π

3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)曲线⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1＋cos θ，

y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上

D ．在直线y ＝x ＋1上

B [由⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1＋cos θ，

y ＝2＋sin θ，

得⎩⎪⎨⎪⎧

cos θ＝x ＋1，

sin θ＝y －2，

所以(x ＋1)2

＋(y －2)2

＝1.

曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2＋2

2

t ，y ＝1＋2

2t (t 为参数)的普通方程

为________．

x －y －1＝0 [由x ＝2＋

22t ，且y ＝1＋2

2

t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.] 4．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝5cos φ，y ＝3sin φ

(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，

B ，则|AB |min ＝________.

18

5 [由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝5cos φ，y ＝3sin φ

(φ为参数)，消去参数φ得x 225＋y 2

9

＝1，

当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝18

5

.]

5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－8＋t ，y ＝t

2

(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝2s 2

，

y ＝22s

(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求

点P 到直线l 的距离的最小值．

[解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,

22s )， 从而点P 到直线l 的距离

d ＝|2s 2

－42s ＋8|12＋(－2)2

＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝45

5

.

因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值45

5

.

(对应学生用书第202页)

(1)求直线⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2＋t ，y ＝－1－t

(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝3cos α，y ＝3sin α

(α为参数)的交点个

数．

(2)在平面直角坐标系xOy

中，若直线l ：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝t ，

y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.

【导学号：79140389】

[解] (1)将⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2＋t ，y ＝－1－t

消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；

将⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝3cos α，y ＝3sin α

消去参数α得圆x 2＋y 2

＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距

离d ＝

2

2

<3.