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浙江专用高考数学复习小题综合限时练十

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小题十套答案

小题十套答案

小题定时训练答案（一）1．C 【解析】根据题意，集合A ={x |2x −2x >0}={x |x <0或x >2}，B ={x |yx |x 1}，UB ={x |x <1}，从而A ∪UB ={x | x <1或x >2}，故选C ．2．C 【解析】解法一 因为(1+i)z =2，所以z =221i (1i)(1i)=++-=1−i ， 所以|z，故选C ．解法二 因为(1+i)z =2，所以|(1+i)||z |=|2||z |=2，即|z，故选C ． 3．B 【解析】由(4)f x +=()f x 知()f x 是周期为4的周期函数，又()f x 是定义在R 上的偶函数，故(4)f =(0)f =−1，(1)f =(1)f -，又−1∈[−2，0]，所以(1)f -=−12-=−12， 所以(1)f =−12，(1)f +(4)f =−32，选B ． 4．B 【解析】x ，y 的变化如下表：x =9，y =8时，满足x <2y ，则输出y 的值为8．选B ．5．C 【解析】作出约束条件2024020x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y =−3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由2240x x y =⎧⎨-+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即A (2，3)，故z max =9．由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得02x y =⎧⎨=⎩，即B (0，2)，故z min =2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C ．6．C 【解析】当n =1时，()f x =3x 为幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，故p 是真命题，则¬p 是假命题；“∃x ∈R ，2x +2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，2x +2 3x ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，¬p ∧q ，¬p ∧¬q 均为假命题，p ∧¬q 为真命题，选C ． 7．B 【解析】由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为(5.4−x )×3×1+π×(12)2×x =16.2−3x +14πx =12.6，又π=3，故x =1.6．故选B ． 8．C 【解析】由已知，得R (32，A )，则RP =(−1，−A )，RQ =(1，−A )，于是RP RQ ⋅=A 2−1=3，得A =2，又51222T =-，∴T =4，ω=2T π=2π，由2π·12+φ=2kπ，k ∈Z 及|φ|<2π，得φ=−4π，故()f x =2sin(2πx −4π)．因为()g x 与()f x 的图象关于x =1对称， 则()g x =f (2−x )=2sin[2π (2−x )− 4π]=2sin[π−(2πx +4π)]=2sin(2πx +4π)．9．D 【解析】∵直线y=3(x +c )过左焦点1F ，且其倾斜角为30°， ∴∠12PF F =30°，∠21PF F =60°，∴∠21F PF =90°，即1F P ⊥2F P ． ∴|2PF |=12|12F F |=c ，|1PF |=|12F F， 由双曲线的定义得2a =|1PF |−|2PF−c ， ∴双曲线C 的离心率e=c a==+1，选D ． 10．B 【解析】令2()g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+，()[()()]xf x eg x g x ''=+，∵1x =-是函数2()()xf x ax bx c e =++的一个极值点， 所以有(1)(1)0g g '-+-=，得c a =．设2()()()(2)h x g x g x ax b a x a b '=+=++++，若0b =，则0a c =≠，2()(1)h x a x =+，()h x '在1x =-的两侧不变号，与1x =-是函数 2()()x f x ax bx c e =++的一个极值点矛盾，故0b =一定不成立，选择B ．11．A 【解析】设球的半径为r ，则4π2r =864169π，得r=13．如图，过A 作AD 垂直于BC ，垂足为D ，过S 作底面ABC 的垂线1SO ， 垂足为1O ，依题意可得1O 在直线AD 上， AD=2a ，1AO=232⨯a=3a ， 故1SO3=a ．设O 是球心，连接OA ， 依题意可得OA =r，1OO−r， 在直角三角形1OO A 中，)222， 得到2a −2413a =0，得a =2413，选A ． 12．C 【解析】依题意知P (−1，0)，F (1，0)，设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由|FB |=2|F A |，得2x +1=2(1x +1)，即2x =21x +1 ①，∵P (−1，0)，则AB 的方程为y=kx +k ，与2y =4x 联立，得2k 2x +(22k −4)x +2k =0，则Δ=(22k −4)2−44k >0，即2k <1，1x 2x =1 ②，由①②得1x =12，则A (12，∴k=013(1)2=--．∴1x +2x =52，|AB2，选C ．13．2【解析】由二项式系数的性质可得5n =，522155C 1()C r r r r r rr T ax a x -+==，得2r =，由225C 40a =，得24a =，又*a ∈N ，所以2a =．14|a |=2，|b |=1可得24=a ，21=b ，由( a −2b ) ·(2a +b )=9可得222329-⋅-=a a b b ，即233219⨯-⋅-⨯=a b ，得到1⋅=-a b ，故||+===a b ．a −2b =(1，2)−(2x ，−4)=(1−2x ，6)，2a +b =(2，4)+(x ，−2)=(2+x ，2)， 因为向量a −2b 与2a +b 平行，所以(1−2x )×2−6(2+x )=0，解得x =−1， 故a ·b =(1，2)·(−1，−2)=−1−4=−5．15．9【解析】通解 设等差数列{n a }的公差为d ，由7S =11S 可得71a +762⨯d =111a +11102⨯d ， 即21a +17d =0，得到d =−2171a ， 所以n S =n 1a +(1)2n n -d =n 1a +(1)2n n -×(−2171a )=−117a (n −9)2+81171a ， 由1a >0可知−117a<0．故当n =9时，n S 最大．优解 根据7S =11S 可得8a +9a +10a +11a =0．由等差数列的性质可得9a +10a =0，由1a >0可知9a >0，10a <0．当所有正数项相加时，n S 取得最大值，所以前9项和9S 最大．16．，【解析】由正弦定理，可将2c ab-cos B =cos A ，化简得(2sin C −sin A )cos B −sin B cos A =0，得sin C (2cos B −1)=0，根据题意sin C ≠0，所以cos B =12，又B 为∀ABC 的内角，故B =3π．因为b ， B =3π，由正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===2，即a =2sin A ，c =2sin C ，∀ABC 的周长L +2sin A +2sin C 23π−C )+2sin CC +6π)，其中6π<C <2π，因此∀ABC 的周长L 的取值范围是，]．（二）1．B 【解析】由已知得B ={x |x <2或x >5}，则RB ={x |2 x 5}，所以A ∪(R B )=[2，8)，故选B ．2．B 【解析】解法一 依题意可得z =2i1i-+3i =2i(1i)(1i)(1i)-+-+−i=−(i−1)−i=1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．解法二 依题意，由(i−1)(z −3i )=2i 得(−1−i)(−1+i)(z +i)=2i(−1−i)，即z+i=i(−1−i)，z =1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．3．C 【解析】通解 设等差数列{n a }的公差为d ，则11767142109a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得111a d =-⎧⎨=⎩，所以2018a =−1+2 017=2 016．故选C ． 优解 设等差数列{n a }的公差为d ，则14=177()2a a +，即17a a +=4，所以24a =4，即4a =2，又11a =4a +7d =2+7d =9，所以d =1，2018a =4a +2 014=2+2 014=2 016．故选C ． 4．A 【解析】易知抛物线2y =8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a =2．又双曲线的离心率e =32，所以c =3，2b =2c −2a =5，所以双曲线的方程为22145x y -=，选A ．5．D 【解析】解法一 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )=455201405453+-=++，选D ．解法二 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”， 则P (A )=1−40201405453+=++，选D ．6．D 【解析】作出该三视图所对应的几何体的直观图，并将其放到正方体中，如图，易知该几何体是正方体中的四棱锥S −ABC D ．由三视图知，SA =AB =AD =2，所以SC，即该几何体的外接球的直径为，所以该几何体的外接球的体积为43π，选D ．7．D 【解析】根据输出结果为170判断何时退出循环体，从而得到判断框内可以补充的条件．S =0+2=2，i =1+2=3，不满足条件，执行循环体； S =2+8=10，i =3+2=5，不满足条件，执行循环体； S =10+32=42，i =5+2=7，不满足条件，执行循环体； S =42+128=170，i =7+2=9，满足条件，退出循环体． 故判断框内的条件可以为i 9，故选D ．8．C 【解析】因为a =132-=131()2=161()4，b =21log 32(2)- =123-=121()3=161()27，所以a >b ，排除B ，D ；c =14sin x π⎰dx =−14cos x 0π=−14(cos π−cos 0)=12=121()4，所以b >c ，所以a >b >c ，选C ．9．A 【解析】解法一 由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k ∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x =2sin(2x −3π)的图象，令−2π+2kπ 2x −3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−12π+kπ x 512π+kπ(k ∈Z )，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+kπ](k ∈Z )．又x∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π， 3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π，3π]，选A ． 解法二 由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k ∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．令−2π+2kπ 2x +3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−512π+kπ x 12π+kπ(k ∈Z )，所以()f x 的单调递增区间为[−512π+kπ，12π+kπ](k ∈Z )．由于把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+kπ](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π，3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π， 3π]，选A ． 10．A 【解析】取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角，由此能求出异面直线P A 与MN 所成角的大小．取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则OM ∥12BC ，ON ∥12P A ，∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角．由MN =BC =4，P AOM =2，ON∴cos ∠ONM =2222ON MN OM ON MN +-⋅=∴∠ONM =30°，即异面直线P A 与MN 所成角的大小为30°．故选A ．11．B 【解析】由n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，可以得到1n S ++n S =32(1)n ++2(n +1)+4，两式相减得1n a ++n a =6n +5，故2n a ++1n a +=6n +11，两式再相减得2n a +−n a =6．对于n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，由n =2得1a +2a +1a =20，即2a =20−2a ，故偶数项为以20−2a 为首项，6为公差的等差数列，从而2n a =6n +14−2a ．对于n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，由n =3得1a +2a +3a +1a +2a =37，即3a =2a −3，从而21n a +=6n −9+2a ．由题意得20261426926926(1)142a an a n a n a n a <-⎧⎪+-<-+⎨⎪-+<++-⎩，解得234<a <203，故正整数a 的值为6．12．B 【解析】当−1 x <0，即0 x +1<1时，由(1)f x +=1()1f x +可得()f x =1(1)f x +−1，即()f x =111()2x +−1=12x +−1，如图，作出函数y=()f x 在区间(−1，1]上的图象及函数()g x =2x +m 的图象．当函数()g x 的图象过点A (1，12)时，有21+m =12，解得m =−12， 当函数()g x 的图象过点B (−1，0)时，有2(1)-+m =0，解得m =−1， 当函数()g x 的图象过点C (0，1)时，有20+m =1，解得m =1．故当方程()f x =2x +m 在(−1，1]上只有一个解，即函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点时，由图象知，m ∈(−1，−12)∪{1}． 13．−1【解析】依题意知1r T +=(−1)r×8Cr×(m3x )8r-×(x)r =(−1)r ×22r×8C r ×m 8r -×x 244r -，令24−4r =4，得r =5，因为二项式(m 3x−x)8的展开式中4x 的系数为， 所以(−1)5×522×58C ×m 3，m =−1．14．15【解析】设AC 与BD 相交于点O ，设B ，D 到AC 的距离分别为B d ，D d ，则S 四边形ABCD =12×|AC |×B d +12×|AC |×D d =12×|AC |×(B d +D d )≤12×|AC |×|BD | =12ABCD 的面积最大时， AC ·BD =1×m +3×(−3)=0，得m =9，S 四边形ABCD =15．15．−1【解析】因为u =2x +y +2，设z =2x +y ，则u =z +2，因为u =2x +y +2的最小值为−4，所以z =2x +y 的最小值为−6，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，目标函数z=2x +y 过点A (2k ，2k )时，取得最小值z min =4k +2k =−6，解得k =−1．16．52【解析】由题意，在P (0x ，0y )处的切线方程为0022yy xx a b +=1，∵直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，∴A (20b x ，0)、B (0， 2a y )，∴AOB S ∆=12·2200ab x y ．∵202y a +202x b =1 002x y ab ，∴001x y 2ab，∴AOB S ∆ ab，当且仅当002y x a b ==时，∆AOB 的面积最小．设|1PF |=x ，|2PF |=y ，由余弦定理可得42c =2x +2y −xy ，∴xy =432b ， ∴12PF F S ∆=12xy2b ，∴12×2c ×0x2b ，∴0x2=b ，∴c，∴a．∵在12PF F ∆中，∠12F PF， ∴12×xa×12+12×y×122b ， ∴122m⨯ (x +y)=32b ， ∴122m ⨯×2a=32b ，∴m =52．（三）1．A 【解析】由2{|lg(10)}==+M y y x 得{|1}=≥M y y ，所以UM =(−∞，1)，故()U NM =(0，1)，故选A ．2．A 【解析】令z =x +y i(x ，y ∈R)，则x +y i+2(x −y i)=3+6i ，所以2326x x y y +=⎧⎨-=⎩，所以16x y =⎧⎨=-⎩，所以z =1−6i ，故选A ． 3．C 【解析】∵0.73a =>03=1，0<20170.7b =<00.7，20181log 2017c =<2018log 1=0， ∴a >b >c ，故选C ．4．D 【解析】由一个焦点为(2，0)，得c =2，又22221x y a b -=的渐近线方程为y =±bax ，即bx ±ay =0，焦点(c ，0)到渐近线的距离d=b ，∴b =1，2a =2c −2b =3，∴双曲线的方程为2213x y -=，故选D ．5．D 【解析】由题意得()f x x +cos2x =2sin(2x +6π)，∵x ∈[−6π，3π]， ∴−6π+ 2x +6π 56π，∴−12 sin(2x +6π) 1，∴−1 ()f x 2，∴M =2，N =−1，则M −N =3．故选D ．6．B 【解析】开始：A =1，B =1，k =3，执行程序：C =2，A =1，B =2，k =4；C =3，A =2，B =3，k =5；C =5，A =3，B =5，k =6；C =8，A =5，B =8，k =7，执行“否”，输出C 的值为8．故选B ．7．A 【解析】不妨记AB =1，则由AC 2=AB ·BC 得AC =12，从而BC =32-，于是“黄金矩形”−2．现在线段AB 上任取一点C ，设AC =x ，则BC =1−x ，由x (1−x 得0<x <32-或12<x <1，故所求概率为P =32+1−128．B 【解析】四面体的直观图如图中ABCD 所示，BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面ABC ，AB =AD =3，BC =4，所以BD ，AC =5，故四面体的表面积为12×3×4+12×3×3+12+12，故选B ．9．C 【解析】解法一 由题意知，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为a >0，b >0，所以由可行域得，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，所以4a +6b =10．22a b++2a =(a +1)2+b 2−1的几何意义是直线4a +6b =10 上任意一点(a ，b )到点(−1，0)的距离的平方减去1，那么其最小值是点(−1，0)到直线4a+6b =10的距离的平方减去1，则22a b ++2a 的最小值是)2−1=3613．解法二 由题意知，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为a >0，b >0，所以由可行域得，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，所以4a +6b =10，a =532b-，所以22a b ++2a =(532b -)2+2b +5−3b =2134b −212b +454，当b =2113时，22a b ++2a 取得最小值3613． 10．D 【解析】因为()f x =32265x ax x -++，所以()f x '=234x ax -+6，又()f x 在x ∈[1，2]上是增函数，所以()f x ' 0在x ∈[1，2]上恒成立， 即23x −4+ax + 6 0，4ax 23x +6在x ∈[1，2]上恒成立，因为x ∈[1，2]，所以4a (3x +6x)min ， 又3x +6x，当且仅当3x =6x，即x时取“=”，所以4a，即a2． 11．A 【解析】因为∆ABC 为等边三角形，所以AB =AC =BC ，又∠P AB =∠P AC =60°，P A =AB=3的球心在底面的射影为∆ABC 的外心，如图所示，取∆ABC 的外心1O ，连接1PO ，1AO ，则外接球的球心O 在1PO 上，连接OA ，因为AB =AC =BC所以1AO =3，1PO，设外接球的半径为R ，则1OO−R ，在Rt ∆1OO A 中，2AO =21AO +21OO ，即2R =23R )2，解得R12．B 【解析】由题意知，a =2，c=1．由角平分线的性质得，1212||||||||||||F P F P PI IQ F Q F Q ==，利用合比定理及椭圆的定义得，1212||||||2||||||2F P F P PI aIQ F Q F Q c+==+=2， 所以11||||1|||2F Q IQ PI F P +=， 则11|||||||F Q PQ PI F P +=||||||PI IQ PI ++11||||F Q F P =1+||||IQ PI +11||||F Q F P =1+12+12=2． 13．−6【解析】AB BD ⋅=AB · (AD −AB )=AB AD ⋅−2AB =3×2cos3π−32=−6． 14．10【解析】解法一 ∵cos A =35，∴sin A =45，又sin A >sin B ，∴A >B ，∴cos B=5， ∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B=45+35由正弦定理得，245=，解得c=10． 解法二 ∵cos A =35，∴sin A =45，由正弦定理sin sin a b A B =，即245=， 解得b=2cos A =2222b c a bc +-得254352c +-=，解得cc舍去)， ∴c15．55【解析】由题意，分五种情况讨论：(1)不选用红色，即全部用蓝色涂警示牌，有1种情况；(2)有1块警示牌涂红色，则有7块警示牌涂蓝色，有8种情况；(3)有2块警示牌涂红色，则有6块警示牌涂蓝色，只需先将6块警示牌涂蓝色，再在形成的7个空中插入2块红色即可，有27C =21种情况；(4)有3块警示牌涂红色，则有5块警示牌涂蓝色，同理可得有36C =20种情况；(5)有4块警示牌涂红色，则有4块警示牌涂蓝色，同理可得有45C =5种情况．故共有1+8+21+20+5=55种涂色方案．16．(−∞，12-)∪(12+，2)【解析】令()g x =|x −a |+a ，()h x =2x+1，作出函数()h x =2x +1的图象，易知直线y =x 与函数()h x =2x+1的图象的两交点坐标为(−1，−1)和(2，2)，又函数()g x =|x −a |+a 的图象是由函数y =|x |的图象的顶点在直线y =x 上移动得到的，且当函数()h x =2x+1的图象和()g x =|x −a |+a 的图象相切时，切点为，)，(−)，切线方程为y =−x +1或y =−x +1，又两切线与y =x 的交点分别为(12+，12+)，(12-，12-)，故a =12±，结合图象可知a的取值范围是(−∞，12-)∪(12+，2)．（四）1．B 【解析】因为A ={0，1}，UB ={0，4，5}，所以A ∩(UB )={0}．2．A 【解析】通解 根据题意，设z =a +b i ，则(a +b i)(1+i)=2i+1，化简得12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得a =32，b =12，从而可得z =32+12i ， 因此复数z 在复平面内对应的点为(32，12)，其位于第一象限．故选A ． 优解 根据z (1+i)=2i+1可得z =2i 11i ++=32+12i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(32，12)，其位于第一象限．故选A ． 3．D 【解析】设等比数列{n a }的公比为q (q >0)，由13a a =16知2a =4，从而有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，得1a =2，q =2， 所以数列{n a }的通项公式为n a =2n，则5a =32．故选D ．4．C 【解析】设AC =x ，则BC =10−x ，0<x <10，由题意π2x +π(10−x )2<58π，得2x −10x +21<0，得3<x <7，故所求的概率为732105-=． 5．D 【解析】对于A ，两个平面垂直，其中一个平面内可以找到无数条直线平行于另一个平面，故选项A 不是假命题．对于B ，两个平面不垂直，α内一定不存在直线垂直于β，选项B 不是假命题．对于C ，两个相交平面垂直另一个平面，其交线也垂直于这个平面，选项C 不是假命题．对于D ，两个平面垂直，α内并非所有的直线都垂直于β，选项D 为假命题．6．D 【解析】依据题意，初始值S =1，i =1；第一次循环：S =1×112e⨯，i =2；第二次循环：S =1×112e⨯×123e⨯，i =3；……；第2 016次循环：S =1×112e⨯×…×120162017e⨯=20162017e，i =2 017．因此输出的x 为ln S =20162017．故选D ． 7．D 【解析】∵AC =λAM +μBN =λ()AB BM ++μ()BC CN +=λ1()2AB AD ++μ1()2AD AB -=1()2AB λμ-+1()2λμ+AD ， 又AC AB AD =+，∴112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴λ+μ=85．8．A 【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线3x +y −M =0经过点A (−1，2)时，目标函数M =3x +y 取得最小值−1．又由平面区域知−1 x 3，则当x =−1时，N =1()2x−72取得最大值−32．由此可知一定有M >N ，选A ． 9．D 【解析】如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3=15．棱柱的高为8，体积V =15×8=120．故选D ．10．A 【解析】设点P (0x ，208x )，A (1x ，218x )，B (2x ，228x )，Q (a ，2)，R (b ，2)．由2822x y y x ⎧=⎨=-⎩得2x −16x +16=0，12x x =16．由P ，A ，Q 三点共线得2220110*********x x x x x a x x x --+==--，a =01011210201010116()x x x x x x x x x x x x x x x +++==+++， 同理b =20102()x x x x x ++，ab =10201()x x x x x ++×20102()x x x x x ++=12x x =16，OR OQ ⋅=ab +4=20，故选A ．11．D 【解析】由题意得，3a +2a =3，5a +4a =−5，……，2017a +2016a =−2017，将以上各式相加得，2017S −1a =−1008．又2017S =−1007−b ，所以1a +b =1，又1a b >0， 所以1a >0，b >0． ∴11a +2b =11a b a ++12()a b b+=3+1b a +12a b，当且仅当1b a =12a b 时等号成立． 12．A 【解析】由已知，问题等价于函数()f x 在[−2，7]上的值域是函数()g x 在[−2，2]上的值域的子集，由分段函数()f x =22,20log (1),07x x x x ⎧--<⎨+⎩≤≤≤，得其值域为[−4，3]．当a >0时，()g x ∈[−2a +1，2a +1]，因而有214213a a -+-⎧⎨+⎩≤≥，解得a 52；当a =0时，()g x =1，不符合题意；当a <0时，()g x ∈[2a +1，−2a +1]，因而有214213a a +-⎧⎨-+⎩≤≥，解得a −52．综上，实数a 的取值范围为(−∞，−52]∪[52，+∞)，故选A ． 13．13【解析】根据题意，1()4f =−1，1(())4f f =(1)f -=13．142解法一 由题意可知，圆心C 在原点和点A (−1，−5)的中垂线x +5y +13=0上，又圆心C 在直线2x +y −1=0上，因此圆心为C (2，−3)所以圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=13．设点C (2，−3)到弦AO 的距离为d ，弦长OA则 d2．解法二根据题意，圆心C在原点和点A(−1，−5)的中垂线x+5y+13=0上，又圆心C 在直线2x+y−1=0上，因此圆心为C(2，−3)，直线OA的方程为y=5x，则圆心C到弦AO的距离d．15．512【解析】在二项式)n的展开式中，前三项分别为)n，1Cn1n-，2Cn)2n-)2，因为前三项的系数成等差数列，所以2×12n=1+(1)8n n+，得n=8，所以二项式)n展开式的通项为1rT+=8C r)8r-)r=(12)r2438Crr x-．易知当r=0，3，6时为有理项，其余6项为无理项，所以有理项互不相邻的概率P=636799A A5A12=．16．13【解析】由正弦定理及已知，得2sin C cos B=2sin A+sin B，由A+B+C=π，得sin A=sin(B+C)，则2sin C cos B=2sin(B+C)+sin B，即2sin B cos C+sin B=0．又0<B<π，所以sin B>0，故cos C=−12，因为0<C<π，故C=23π，则∀ABC的面积S=12ab sin C=4ab=12c，即c=3ab．由余弦定理2c=2a+2b−2ab cos C，化简得2a+2b+ab=922a b，因为2a+2b 2ab，当且仅当a=b时取等号，所以2ab+ab 922a b，即ab13，故ab的最小值是13．（五）1．A 【解析】A ={x |223x x -- 0}={x |−1 x 3}，故A ∪B =[−1，4]，选A ．2．C 【解析】由(1+i)z=2−i ，得z=2i (2i)(1i)13i1i (1i)(1i)2----==++-， 由共轭复数的概念知z =13i 22+． 3．B 【解析】解法一 因为sin α+cos α=15，α是第四象限角，所以sin α=−35，cos α=45， 则tan 2α=sin2cos 2αα=22sin 22sin cos 22ααα=1cos sin αα-=13-． 4．D 【解析】由三视图知，几何体的表面积S =2×1212该几何体的体积V =13×12=272，设其内切球半径为r ，则V =13×S ×r=272，得rV 球=43πr 3=43．5．B 【解析】14 356=8 251×1+6 105，8 251=6 105×1+2 146， 6 105=2 146×2+1 813， 2 146=1 813×1+333， 1 813=333×5+148， 333=148×2+37，148=37×4+0，此时r =0，输出m 的值为37． 6．B 【解析】通解 设M (0x ，0)，由已知可设P (02x ，0y )，因而20y =2p ×02x ，即0y由于∀OPM 为等腰直角三角形，02x ，则0x =4p ，所以P (2p ，±2p )，F (2p ，0)，从而|PF52p =，故选B ． 优解 设P (0x ，0y )，因为∀OPM 为等腰三角形，且OP ⊥MP ，因而0x =|0y |，所以20x =2p 0x ，则P (2p ，±2p )，故|PF |=0x +2p =52p ，故选B ． 7．C 【解析】由()f x 是奇函数和(2)f x -=()f x 知，()f x 是周期为4的周期函数，且关于直线x =1+2k (k ∈Z)对称，关于点(2k ，0)(k ∈Z)对称， 因此y=()f x 在(−4，2]上的零点分别是1e −4，−2−1e ， −2 ，1e −2， −1e ，0 ， 1e ，2−1e，2，共9个零点． 8．D 【解析】∵()f x =sin(2x +φcos(2x +φ)=2sin(2x +φ+3π)，∴将函数()f x 的图象向左平移4π个单位长度后，得到y =2sin[2(x +4π)+φ+3π]=2cos(2x +φ+3π)的图象．∵该图象关于点(2π，0)对称，对称中心在函数图象上，∴2cos(2×2π+φ+3π)=2cos(π+φ+3π)=0，解得π+φ+3π=k π+2π，k ∈Z ，解得φ=k π−56π，k ∈Z ．∵0<φ<π，∴φ=6π．∴()cos()6g x x π=+，∵[,]26x ππ∈-，∴[,]633x πππ+∈-，∴1cos()[,1]62x π+∈，则函数()cos()g x x ϕ=+在[,]26ππ-上的最小值是12．故选D ．9．D 【解析】通解 由n a =−1143n n a a --++=−1−113n a -+，得n a +2=1−113n a -+=1123n n a a --++，易知n a ≠−2，所以12n a +−112n a -+=1，所以数列{12n a +}是等差数列，且首项为112a +=2，公差为1，则12n a +=2+(n −1)×1=n +1，n a =11n +−2，99a =1100 −2=−199100． 优解 由1a =−32及n a =−1143n n a a --++，得2a =−342332-+-+=−53，3a =−542532-+-+=−74，……，归纳知，n a =−211n n ++，故99a =−199100，故选D ．10．B 【解析】连接DN 并延长交F A 于点P ，连接BP ．由△APN ∽△EDN 得，点P 为F A的中点，则23DN DM DP DB ==，∴MN ∥BP ，∴BP 与平面ABCD 所成的角即直线MN 与平面ABCD 所成的角．设AP =1，则AB =4，BPsin ∠PBA． 11．D 【解析】由双曲线的定义，知221||||PF PF =211(2||)||a PF PF +=1||PF +214||a PF +4a ，已知点P在双曲线左支上，因而1||PF c −a ．①当c −a 2a ，即1<e 3时，由基本不等式得，当且仅当1||PF =2a 时，1||PF +214||a PF +4a 取得最小值8a ，不符合题意；②当c −a >2a ，即e >3时，由于函数y =t +24a t 在[c −a ，+∞)上单调递增，因而当且仅当1||PF =c −a 时，1||PF +214||a PF +4a 取得最小值2()c a c a +-=9a ，即2e −7e +10=0，解得e =5或2，其中e =2舍去，故选D ．12．C 【解析】根据题意设y=()f x 上的切点为(1x ，1y )，y=()g x 上的切点为(2x ，2y )，()f x '=−xe −1，()g x '=a −2sin x ．根据已知，对任意1x ，存在2x ，使得(−1xe −1)(a −2sin 2x )=−1，即2sin 2x =a −111x e +对任意1x ∈R 均有解2x ，故−2 a −111x e + 2对任意1x ∈R 恒成立，则a −2 111x e + 2+a 恒成立．又111x e +∈(0，1)，所以2021a a -≤⎧⎨+≥⎩解得−1 a 2，所以实数a 的取值范围是[−1，2]．故选C ．13．5【解析】因为a =(1，y )，b =(−2，4)，且a ⊥b ，所以a ·b =1×(−2)+4y =0，得y =12， 所以2a +b =(2，1)+(−2，4)=(0，5)，所以|2a +b |=5．14．2号和3号【解析】若要开启1号阀门，由(i)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ii)知，关闭4号阀门，由(iii)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门． 15．[0，1]【解析】由已知作出可行域如图中阴影部分所示，z=1y x+的几何含义为可行域内的点与定点A (0，−1)连线的斜率，其中过A (0，−1)，且与函数y=ln x 的图象相切的直线的斜率最大，设y=ln x 图象上点P (0x ，0y )处的切线过A (0，−1)，则切线方程为 y−ln 0x =01x (x −0x )，则−1−ln 0x =01x (0−0x )，得0x =1，则PA k =1， 由图易知点A (0，−1)与可行域内的点连线的斜率的最小值为0， 因而z=1y x+的取值范围为[0，1]．16．AB =AC =a ，AD =BD =bBC =2AB 得，BC=3a ． 在∀ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC=2222222a a AB BC AC AB BC+-+-==⨯⨯， ∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC=． 在∀ABD 中，由余弦定理2AD =2AB +2BD −2×AB ×BD ×cos ∠ABD ， 得2b =2a +2b −2×a ×bab ．解法一 由正弦定理sin sin AD ABABD ADB =∠∠sin a ADB =∠， 解得sin ∠ADB=3，又222b a >，∴ADB ∠为锐角，∴1cos 3ADB ∠==，tan ADB ∠=． 解法二 由余弦定理得，cos ∠ADB =2222AD BD AB AD BD +-⨯=2222123b b a b +-=，∴sin ∠ADB 3=，tan ADB ∠=． （六）1．C 【解析】解法一 z i==，故选C ．解法二 zi ==，故选C ． 2．D 【解析】不等式2x −x −6<0的解集为{x |−2<x <3}，又x ∈N ，所以A ={0，1，2}，故集合A 的子集的个数为32=8，故选D ． 3．C 【解析】∵x >1，y >0，∴yx >1，0<yx-<1，则y x −yx->0．4．D 【解析】输入x =2.4，则y =2.4，x =[2.4]−1=1>0，∴x =yz=1.2；y =1.2，x =[1.2]−1=0， ∴x =yz=0.6；y =0.6， x =[0.6]−1=−1<0，则z =x +y =−1+0.6=−0.4，故选D ．5．A 【解析】依题意，c ，∵一条渐近线与直线(3y x =-平行，∴b a =2228a bc +==，解得a =b = ∴双曲线的方程为22135x y -=，故选A ． 6．C 【解析】当0<x <1时，()f x =x ln x <0，2()f x =2x ln x <0，2()f x =2x ln 2x <0，[()f x ]2=(x ln x )2>0．又2()f x −2()f x =2x ln x −x 2ln 2x =2x ln x −22x ln x=2x (1−x )ln x <0，所以 2()f x <2()f x <[()f x ]2．故选C ．7．A 【解析】由三视图知该几何体是一个组合体，右边是半个圆柱(底面半径为2，高为3)，左边是一个四棱锥(底面是长和宽分别为4和3的长方形，高为2)．则该几何体的体积V =12×π×22×3+13×3×4×2=6π+8，侧面积S 侧=π×2×3+12×3×2+128．B 【解析】由a cos B =b cos A 及正弦定理得sin A cos B =sin B cos A ，所以sin(A −B )=0，故B =A =6π，c，由余弦定理得16=2c +2()2a −2c ·2a cos 6π，得a，c，S =12ac sin B．9．C 【解析】由2x +2y =2，x ≥0，y ≥0，知围成的区域D的四分之一圆面，因而其面积S =14)2=2π．作出图形如图所示，y与2x +2y =2的交点为 M (1，1)，过点M 作MB ⊥x 轴于点B ，连接OM ， 则S 阴影=⎰+S 扇形OAM −S ∆OBM =321203x +124π⨯)2−12×1×1=146π+．由几何概型概率公式知所求概率P =11146232S S πππ+==+阴影，故选C ．10．C 【解析】解法一 由题意得双曲线的渐近线方程为y =±bax ，右顶点A (a ，0)，右焦点F (c ，0)，则点A 到渐近线的距离dabc=，|AF |=c −a ． 由已知得ab cc −a )，即2ab(c −a )，42a 2b =32c (c −a )2， 由于2b =2c −2a ，因而42a (2c −2a )=32c (c −a )2，∴3e 4−6e 3−e 2+4=0， 3e 3(e −2)−(e +2)(e −2)=0，(e −2)(e −1)(3e 2+3e +2)=0，得e =2，故选C ．解法二 如图，过A 作渐近线的垂线，垂足为B ，由已知得d =2|AF |=2(c −a )，即|ABc −a )．又|AB |=|OA |sin ∠BOA =a =ab c ，∴abc = (c −a )，∴2ab (c −a )，42a 2b =32c (c −a )2，由于2b =2c −2a ，因而42a (2c −2a )=32c (c −a )2，∴3e 4−6e 3−e 2+4=0，3e 3(e −2)−(e + 2)(e −2)=0， (e −2)(e −1)(3e 2+3e +2)=0，得e =2，故选C ．11．D 【解析】如图，在∆ABC 中，由已知得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BC cos ∠ABC=4+4−2×2×2×(−12)=12，因而AC =2√3．设圆1O 的半径为r ，则2r =sin120=4，∴r =2．连接OO 1，O 1B ，又圆锥母线与底面所成的角为45°，因而在∆OO 1B 中，OO 1=O 1B =r =2，则球O 的半径R =OB ，球O 的体积V =3333R π=，故选D ．12．D 【解析】将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为()g x =sin[ω(x +12π)+ϕ]=sin(ωx +12πω+ϕ)，又()g x 的图象关于原点对称， 则12πω+ϕ=k π，k ∈Z ，2πω=6k π−6ϕ，且sin ϕ=−sin(6k π−5ϕ)，k ∈Z ， 即sin ϕ=sin 5ϕ，所以5ϕ=2nπ+ϕ或5ϕ=2nπ+π−ϕ，n ∈Z ，又ϕ≠0且−2π<ϕ<2π，因而ϕ=−6π或ϕ=6π，故选D ． 13．9 000【解析】设工人数为n ，由已知最多为600人，则劳动力的年生产能力为n × 2 000 =2 000n ．由生产该产品平均每件需要120个工时， 得产量为 2 000n ÷120=503n ≤503×600=10 000(件)，而这10 000件产品需要某重要部件的数量40 000>2 000+34 000=36 000，因此从供应部提供的信息知年生产量为 36 000÷4=9 000，刚好达到预计销售量的最低限， 由此可见，明年产量最多为9 000件．14．4【解析】通解 如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设(1)CF CB CE λλ=+-，则33(1)24CF CD CA λλ=+-． 又A ，F ，D 三点共线，∴32λ+34(1−λ)=1， 得λ=13，∴1233CF CB CE =+=1132CB CA +，1132AF CF CA CB CA =-=-，1132FD CD CF CB CA =-=-，即F 为AD 的中点，因而ABF S ∆=12ABD S ∆=16ABC S ∆=4．优解 如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知2CD DB =，得DH ∥13CE ，又3CE EA =，因而DH ∥EA ，∆AEF ≌△DHF ， 则F 为AD 的中点，因而ABF S ∆=12ABD S ∆=16ABC S ∆=4．15．649【解析】令x =2，则92=0a +1a +2a +…+9a ，令x =0，则0=0a −1a +2a +…−9a ，因而1357902468a a a a a a a a a a ++++=++++ =82，而9x =[1+(x −1)]9，其中789=C T (x −1)7，因而7a =79C =36，则135797a a a a a a ++++=25636=649．16．(1，54)【解析】作出函数()f x 的图象如图1所示，作出函数()g x 的图象如图2所示．y =(())g f x −a 有4个零点，等价于方程(())g f x =a 有4个不同的实数解， 设t =()f x ，则t ≤1，g (1)=54，()g t =a ，数形结合可知，当()g t =a ，t =()f x 各有2个不同的解时，方程(())g f x =a 才能有4个不同的实数解，又t ≤1，要使()g t =a 有2个不同的实数解，则a ∈[1，54]．当a =54时，()g t =a 有2个不同的实数根1t ，2t ，且满足0<1t <12，2t =1，对于2t =1，t =()f x 仅有1解，即方程(())g f x =a 有3个不同的实数解，不符合题意；当a =1时，()g t =a =1有2个实根3t =0，4t =12，又()f x =0仅有1解，()f x =12有2个不同的解，即方程(())g f x =1有3个不同的实数解，不符合题意．综上所述，a ∈(1，54)．图1 图2（七）1．C 【解析】由题意得A ={x |−2<x <3}，B ={x |0<x 1}，B R={x |x >1或x 0}，则A ∩(B R)=(−2，0]∪(1，3)，故选C ．2．B 【解析】由x −1i y-=i ⇒(1−i)x −y =i(1−i)⇒x −y −x i=1+i ⇒12x y =-⎧⎨=-⎩，于是x −y i=−1+2i ，其在复平面内对应的点(−1，2)位于第二象限．选B ． 3．B 【解析】通解 因为()f x −()g x =12x-，()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()f x +()g x =12x+，所以()g x =12(12x +−12x -)，则(1)g -=−32． 优解 由题意知，()f x -=()f x ，()g x -=−()g x ，(1)f −(1)g =1，(1)f -−(1)g -=4，所以(1)f +(1)g =4，所以2(1)g =3，即(1)g =32，所以(1)g -=−32． 4．C 【解析】∵5a =2a q 3<0，2a <0，∴q >0，∴n a <0恒成立，∴n S −1n S - =n a <0，{n S }单调递减，故为充分条件； n S −1n S -=n a <0∀2a <0，5a <0，故为必要条件．故选C ．5．A【解析】由题意知，222c a a a c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2b =2a −2c =1，所以椭圆C 的方程为22x +2y =1．6．A 【解析】当n =1时，()f x =1−1()f x =1−12=12； 当n =2时，()f x =1−1()f x =1−112=−1；当n =3时，()f x =1−1()f x =1−11-=2；……； 则()f x 取值的周期为3，则由循环语句知，当运算到n =2 016时，()f x =2； 当n =2 017时，跳出循环，输出x =2 017，()f x =2．故选A ．7．D 【解析】通解 过点D ，E 分别作DF ⊥AB ，EH ⊥AB ，垂足分别为F ，H ．因为在等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =2，所以AF =1．由12(2+4)·DF =6，得DF =2．又E 为AD 的中点，所以HE =12DF =1，AH =HF =12． 在Rt∀AHE中，AE =DE =AEcos A故BE CE ⋅= (BA +AE )·(CD +DE )=BA ·CD +BA ·DE +AE ·CD +AE ·DE314． 优解 设梯形的高为h ，由12(2+4)h =6，得h =2．以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (3，2)，D (1，2)，得E (12，1)，于是BE=(−72，1)，CE =(−52，−1)，则BE CE ⋅=354−1=314．8．A 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和1S 等于3个球的表面积，即1S =3×4π×12=12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为2S =6(22−π×12)=24−6π．所以该组合体的表面积为S =1S +2S =12π+(24−6π)=24+6π．9．D 【解析】由(x +2y −3z )9=[x +(2y −3z )]9，得1r T +=9C r·9rx-·(2y−3z)r =9C r ·9rx-·C tr ·(2y)r t -(−3z)t=9C r ·C tr ·2r t -·(−3)t ·9rx-·y r t -·z t ，结合题设得3294t r t r =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩⇒35t r =⎧⎨=⎩，于是423x y z 的系数为5395C C ⨯×22×(−3)3=−136 080．10．A 【解析】第一类，这三名歌手中没有A 和B ，由其他歌手出席该义演活动，共有33A 种情况；第二类，只有A 和B 中的一人出席该义演活动，需从C ，D ，E 中选两人，共有123233C C A 种情况；第三类，A ，B 均出席该义演活动，需再从C ，D ，E 中选一人，因为A 在B 前，共有133322C A A 种情况．由分类加法计数原理得不同的出场方法有33A+123233C C A +133322C AA =51种．11．B 【解析】由1+tan tan A B =2c b ，得1+sin cos 2sin cos sin sin A B CA B B=， 即cos A sin B +sin A cos B =2sin C cos A ，即sin(A +B )=2sin C cos A ． 又sin(A +B )=sin(π−C )=sin C ≠0，所以2cos A =1，即cos A =12，所以A =3π． 因为ac，所以a >c ，所以A >C．由正弦定理得sin sin3Cπ=， 所以sin C=2．又A >C ，所以C =4π．选B ． 12．B 【解析】由()f x 0得(3x +1) 1x e++mx 0，即mx −(3x +1)1x e+，设()g x =mx ，()h x =−(3x +1)1x e+，则()h x '=−[31x e ++(3x +1)1x e+]=−(3x +4)1x e+，由()h x '>0得−(3x +4)>0，即x <−43，由()h x '<0得−(3x +4)<0，即x >−43，故当x =−43时，函数()h x 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y=()h x ，y=()g x 的大致图象如图所示，当m 0时，满足()g x ()h x 的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时，要使()g x ()h x 的整数解只有两个，则需满足(2)(2)(3)(3)h g h g --⎧⎨-<-⎩≥，即125283e m e m--⎧-⎨<-⎩≥，即25283m e m e ⎧-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩≥，即−52e m <−283e ，即实数m 的取值范围是[−52e ，−283e )，故选B ．13．y=sin(x −1835π)【解析】将函数()f x =sin(5x +5π)的图象向右平移7π个单位长度所得图象对应的解析式为y=sin[5(x −7π)+5π]=sin(5x −1835π)，再将其横坐标伸长到原来的5倍，所得图象对应的解析式为y=sin(x −1835π)．14．200【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z=60x +20y 得y=−3x +20z ，表示斜率为−3，且随z 变化的一簇平行直线，20z 是直线的纵截距． 当20z最大时，z 的值最大． 显然，当直线过点A (2，4)时，20z取得最大值，z max =60×2+20×4=200．15．1【解析】将问题转化为函数()g x =()f x −2的零点个数，由(1)f ->2，(1)f <2，得。

高考数学小题专项训练

高考数学小题专项训练

高考数学小题专项训练一、选择题1．设集合M ={}0≤-m x x ，}12|{R ，xy y N x ∈-==，若M ∩N =φ，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．1-≥m B ．1->mC ．1-≤mD ．1-<m 2．若函数)(x g 的图象与函数)2()2()(2≤-=x x x f 的图象关于直线0=-y x 对称，则=)(x g （ ） A ．)0(2≥-x x B ．)0(2≥+x xC ．)2(2≤-x xD ．)2(2-≥+x x3．若n xx )2(-二项展开式的第5项是常数项，则自然数n 的值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．154．已知等差数列{a n }的前n 项和为n s ，若4518a a =-,则8s 等于（ ）A ．72B ．54C ．36D ．185．给定两个向量)2,1(=a ，)1,(x b =，若)2(b a +与)22(b a 平行，则x 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．31 D ．21 6．不等式02)1(≥+-x x 的解集为（ ）A ．),1[∞+B ．}2{),1[-∞+C ．)1,2[-D ．),2[∞+-7．已知函数y = 2sin(ωx )在［3π-，4π］上单调递增，则实数ω的取值范围是（ ） A ．（0，23] B ．（0，2]C ．（0，1]D ．]43,0( 8．若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，并且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是（ ）A ．41B ．21C ．1D ．29．椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为532，N MF 2∆的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）A ．522B ．53C ．54 （D ）517 10．已知二次函数f (x ) = x 2 + x + a （a >0），若f (m ) < 0，则f (m + 1)的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．符号与a 有关11．已知函数f (x )（0 ≤ x ≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若1201x x <<<，则（ ）A ．2211)()(x x f x x f <B ．2211)()(x x f x x f = C ．2211)()(x x f x x f > D ．前三个判断都不正确 12．点P 在直径为6的球面上，过P 作两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这3条弦长之和的最大值是（ D ） A ．B ．6C ．534D ．5212 二、填空题 13．对甲乙两学生的成绩进行抽样分析，各抽取5门功课，得到的观测值如下：甲：70 80 60 70 90乙：80 60 70 84 76那么，两人中各门功课发展较平稳的是 ．14．当∈k 时，23)(kx x x f +=在]2,0[上是减函数．15．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为 .16．）AB 垂直于BCD ∆所在的平面，4:3:,17,10===BD BC AD AC ，当BCD ∆的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 .。

浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十)(含答案详析)

浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十)(含答案详析)

专题限时集训(十)[第10讲 等差数列、等比数列](时间：45分钟)12项和的5倍，则此数列的公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 4＝12，则S 12的值为( )A ．64B ．44C ．36D ．223．在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．84．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 11＝S 10，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．245．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 6．公差不为零的等差数列{a n }的第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知等差数列{a n }的前n 项和为n 1313＝13，则a 1＝( )A ．－14B ．13C ．－12D ．－118．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则数列{a n }的前5项和S 5＝( )A ．20B ．30C ．25D ．409．已知等比数列{a n }中，各项均为正数，前n 项和为S n ，且4a 3，a 5，2a 4成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．1610．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．11．已知等差数列{a n }的公差为－2，a 3是a 1与a 4的等比中项，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．12．已知{a n }为等比数列，a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2，则a 5＋a 6＋a 7＝________．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{b n }的前n 项和T n .14．数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1，2，3，…)，且a 1，a 2，a 3成公比不为1的等比数列．(1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式．15．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且－a 2，a 3，a 1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{nS n }的前n 项和T n .专题限时集训(十)1．B [解析] 设此数列的公比为q ，根据题意得q >0且q ≠1，由a 1（1－q 4）1－q＝5a 1（1－q 2）1－q，解得q ＝2. 2．C [解析] 由S 8－S 4＝12得a 5＋a 8＝a 6＋a 7＝a 1＋a 12＝6，则S 12＝122×(a 1＋a 12)＝36. 3．C [解析] 由a 3·a 5＝64可得a 1·a 7＝64，则a 1＋a 7≥2 a 1a 7＝16.4．B [解析] 由S 11＝S 10得，a 11＝0，即a 1＋(11－1)×(－2)＝0，得a 1＝20.5．B [解析] 由a 3·a 9＝2a 25，可得q 2＝2，所以q ＝2，则a 1＝a 2q ＝22. 6．C [解析] 由(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )得d ＝－2a 1，因此可罗列该数列的前6项为a 1，－a 1，－3a 1，－5a 1，－7a 1，－9a 1，则公比为3.7．D [解析] 在等差数列中，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13，得a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11，选D.8．C [解析] 由数列{a n }是公差为2的等差数列，得a n ＝a 1＋(n －1)·2，又因为a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1·a 5＝a 22，即a 1·(a 1＋8)＝(a 1＋2)2，解得a 1＝1，所以S 5＝5a 1＋5×（5－1）2·d ＝5×1＋20＝25. 9．C [解析] 由4a 3＋2a 4＝2a 5得q 2(q 2－q －2)＝0，由题意知q ＝2，则S 4＝1＋2＋4＋8＝15.10．2n －1 [解析] 由3（a 1＋a 3）2＝S 3，得a 3＝5，故d ＝2，a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 11．－n 2＋9n [解析] 由a 23＝a 1·a 4可得a 1＝－4d ＝8，故S n ＝8n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋9n .12．24 [解析] 由a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2得q ＝－2，由a 2＋a 2q ＝1，得a 2＝－1，因此a 5＋a 6＋a 7＝8－16＋32＝24.13．解：(1)由S 3＝9得3a 2＝9，a 2＝3，因为a 3＝5，所以d ＝2，从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由题意知b 2＝3，b 3＝9，q ＝3，故T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12. 14．解：(1)a 1＝3，a 2＝3＋c ，a 3＝3＋3c ，∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴(3＋c )2＝3(3＋3c )，解得c ＝0或c ＝3.当c ＝0时，a 1＝a 2＝a 3，不符合题意，舍去，故c ＝3.(2)当n ≥2时，由a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ，则a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n （n －1）2c . 又∵a 1＝3，c ＝3，∴a n ＝3＋32n (n －1)＝32(n 2－n ＋2)(n ＝2，3，…)． 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ＝32(n 2－n ＋2)． 15．解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意得a 1－a 2＝2a 3，且a 1＝12， 即a 1－a 1q ＝2a 1q 2，化简得2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝12.故a n ＝12n . (2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，故 S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，则nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋222＋…＋n 2n ，① T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.② 由①－②得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1 ＝n （n ＋1）4－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－1＋12n ＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4＋n ＋22n ＋1－1，所以T n ＝n （n ＋1）2＋n ＋22n －2.。

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

2020年高考冲刺数学小题狂刷卷（浙江专用）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a R ∈,复数122,12z ai z i =+=-，若12z z 为纯虚数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】B 【解析】 由()()122(12)222(4)2241212(12)555ai i z ai a a i a a i z i i i +++-++-+====+--+， 因为复数是纯虚数，所以1a =满足题意，故选B.2．函数()233sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（ ） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数 【答案】A 【解析】()2323sin 3cos 323f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，3T π=，为偶函数.故选A. 3．已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ）A ．{}1AB ⋂=B ．R A B A ⋂=ðC ．()(]R 0,1A B ⋂=ð D ．A B =R U 【答案】B【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或ð 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ð ；R A B ⋃≠；故选B.4．点()1,1M 到抛物线22y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．18或124- D ．14-或112【答案】C 【解析】依题意可知0a ≠，抛物线的标准方程为212x y a= 当0a <时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得124a =-.当0a >时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a =-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得18a =.所以a 的值为18或124-.故选C. 5．若x y ，满足约束条件0300x y x y x m +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩,且2z x y =-的最大值为9．则实数m 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】画出可域如下图，其中x=m 是一条动直线，由于已知max 2x-9y =（），所以当29x y -=经过可行域某个顶点（或边界）时取到最大值，此时点A(3,-3)，所以m=3,选D.6．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ）A ．40B ．36C ．32D ．20 【答案】A【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故答案为A. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为（ ） A ．-3B ．-5C ．-6D ．-9【答案】D【解析】由112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥可知12,3m m a a +==， 设等差数列{}n a 的公差为d ，则1d =，∵0m S =，∴12m a a =-=-，则3n a n =-，(5)2n n n S -=，2(5)2n n n nS -=,设2(5)(),02x x f x x -=>，23'()5,02f x x x x =->，∴()f x 的极小值点为103x =，∵n Z ∈，且(3)9f =-，(4)8f =-，∴min ()9f n =-，故选D.8．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【答案】D【解析】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==-,随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-,所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-,()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--, 当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确,故选D.9．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上（包含端点），且2AC =，则()PB PD PA +⋅u u u v u u u v u u u v 有（ ） A ．最大值为12，没有最小值 B ．最小值为12-，没有最大值 C ．最小值为12-，最大值为4 D ．最小值为4-，最大值为12 【答案】C 【解析】如图：2PB PD PO +=u u u r u u u r u u u r 所以2PB PD PA PO PA +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）,（1）当点P 在AO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当12a =时,有最小值12-;（2）当点P 在CO 上,设||[0,1]PO a =∈u u u r ,()22(1)PB PD PA PO PA a a +⋅=⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当1a =时,有最大值4;综上()PB PD PA +⋅u u u r u u u r u u u r 有最小值为12-,最大值为4.故选C. 10．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得221∠=∠BAF BF F ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,23]+B ．(1,25]+C ．(3,23]+D ．(3,25]+【答案】D 【解析】在2BAF V 和21BF F V 中，由221221,BAF BF F ABF F BF ∠=∠∠=∠,可得221BAF BF F V V ∽, 即有221212BF F A BA k BF BF F F ===,即为112212,2AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩ 121111222(1)21a BF BF a BF kBF a k BF a BF k-=-=∴-=∴=-Q ，， . 2112112211,,2BF AF kBF AF BF kBF AF a BF k BF -=∴=-∴-=-Q ,()222211a k c a k k ∴⋅-=--21,3a k e c a∴=<∴>-.1122()12,,253a a c a BF a BF c a e c a c a -⎛⎫-==≥+∴≤+ ⎪--⎝⎭故选D. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020高考数学 小题专题练(六套) 浙江专用

2020高考数学 小题专题练(六套) 浙江专用

2020高考数学小题专题练（六套）浙江专用小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1．已知集合M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．[－4，2) B ．(1，4] C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >12＋4x ，x ≤1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．13．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[1，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，1]∪[5，＋∞)5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．46．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，2]8．函数f (x )＝(x ＋1)ln(|x －1|)的大致图象是( )9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－5411．若2a ＝3b ＝6，则4－a＝________；1a ＋1b＝________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值为________．13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为________，最大值为________．14．已知p ：0<x <2，q ：x <a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝|x 2＋a |＋|x ＋b |(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )在区间(0，1)内有两个零点，则3a ＋b 的取值范围是____________．17.已知函数f ′(x )和g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)小题专题练(一)1．解析：选B.集合N ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}， 集合M ＝{x |x ＞1}， 所以M ∩N ＝{x |1＜x ≤4}． 故选B.2．解析：选B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋412＝2＋2＝4，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (4)＝log 124＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－2.3．解析：选C.法一：当a ＞b ≥0时，a ＞b ⇔a 2＞b 2⇔a |a |＞b |b |，当a ，b 一正一负时，a ＞b ⇔a ＞0＞b ⇔a |a |＞0＞b |b |，当0≥a ＞b 时，0≥a ＞b ⇔a 2＜b 2⇔－a |a |＜－b |b |⇔a |a |＞b |b |，所以a ＞b ⇔a |a |＞b |b |，故选C.法二：构造函数f (x )＝x |x |，易知为奇函数且为增函数，所以当a ＞b 时，f (a )＝a |a |＞b |b |＝f (b )，所以选C.4．解析：选C.因为不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空等价于|x ＋3|＋|x －2|的最小值小于或等于a ，由于不等式|x ＋3|＋|x －2|≥5在x ∈R 上恒成立，所以a ≥5.选C.5．解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.6．解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.7．解析：选B.由f (x )在(－∞，1]上单调递减得t ≥1，由对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，得f (x )max －f (x )min ≤2，即f (0)－f (t )≤2，t 2≤2，因此1≤t ≤2， 选B.8．解析：选C.根据函数表达式，当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x <－1时，函数值小于0，故可排除B 和D 选项，进而得到C 正确．故答案为C. 9．解析：选C.因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]， 所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的图象，如图所示，数形结合可得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上有三个根．故选C.10．解析：选A.因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2， 易知，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以g (x )在区间[1，2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立， 只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.11．解析：由题可得a ＝log 26，b ＝log 36，所以4－a＝4－log 26＝122log 26＝12log 262＝162＝136， 1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.答案：136112．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝f (9－6)＝f (3)＝log 24＝2，当x ≤0时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 所以函数的最小值为f (－1)＝1－2＝－1； 当x ＞0时，函数是增函数，x ＝0时f (0)＝0，所以x ＞0时，f (x )＞0，综上函数的最小值为－1，故答案为2，－1. 答案：2 －1 13.解析：画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，最大值为2－（－1）0－（－1）＝3，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43，最大值为4. 答案：43414．解析：据充分不必要条件的概念，可知只需A ＝{x |0<x <2}是集合B ＝{x |x <a }的真子集即可，结合数轴可知只需a ≥2即可．答案：[2，＋∞)15．解析：去绝对值，f (x )＝±(x 2＋a )±(x ＋b )，利用二次函数的性质可得，f (x )在[－2，2]的最大值为f (－2)，f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中之一，所以可得M (a ，b )≥f (－2)＝|4＋a |＋|－2＋b |，M (a ，b )≥f (2)＝|4＋a |＋|2＋b |， M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋b ，M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋b ，上面四个式子相加可得4M (a ，b )≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫|4＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－b |＋|b ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－b≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋12 ＝252，即有M (a ，b )≥258， 可得M (a ，b )的最小值为258，故答案为258.答案：25816．(－5，0)17．解析：由题意知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则可设f (x )＝12x 2＋a ，g (x )＝13x 3＋b ，其中a ，b ∈R .(1)因为f (1)＝1，所以12×12＋a ＝1，所以a ＝12，所以f (－1)＝12×(－1)2＋12＝1.(2)因为h (x )＝f (x )－g (x )，所以h (x )＝12x 2＋a －13x 3－b ，所以h (－1)＝56＋(a －b )，h (0)＝a －b ，h (1)＝16＋(a －b )，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)小题专题练(二) 三角函数与平面向量1．若角α的终边过点P (－1，m )，且|sin α|＝255，则点P 位于( )A ．第一象限或第二象限B ．第三象限或第四象限C ．第二象限或第三象限D ．第二象限或第四象限2．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为43．设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B. 2 C ．2D ．2 24．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．45.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.636．若函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(|φ|<π)满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，a 为常数，a ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6的值为( )A.32B ．±1C ．0 D.127.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.76π D.73π8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π12 C.π4D.π39．已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A.3π4 B.4π3 C.5π3D.3π210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 311．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝________． 12．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．13．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________．14．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 008tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为13(a 2＋c 2－b 2)，且∠C为钝角，则tan B ＝________；c a的取值范围是________．16．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________；最大值是________．17．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋OB →＝OC →，则a 的值为________．小题专题练(二)1．解析：选C.因为角α的终边过点P (－1，m )，所以OP ＝1＋m 2，所以|sin α|＝255＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 1＋m 2，解得m ＝±2，所以点P 的坐标为(－1，2)或(－1，－2)，即点P 位于第二象限或第三象限．2．解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 3．解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.4．解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.5．解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 6．解析：选C.由f (a ＋x )＝f (a －x )知，直线x ＝a 为函数f (x )图象的对称轴，所以f (a )＝sin(3a ＋φ)＝±1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6＝sin(3a ＋φ＋π2)＝cos(3a ＋φ)＝0.7．解析：选C.由题中图象知T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2.又知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝712π，所以A ·ω＝76π.故选C. 8．解析：选 A.由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.9．解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C. 10．解析：选C.因为c 2＝(a －b )2＋6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.11．解析：因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12 ＝sin ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎦⎥⎤α＋π6－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－ 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案：1725012.解析：方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．答案：[3，2)13．解析：因为〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案：1 2 314．解析：由tan A tan B tan A ＋tan B ＝1 008tan C 得1tan A ＋1tan B ＝11 008×1tan C ，即cos Asin A ＋cos B sin B ＝11 008×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C 1 008，根据正、余弦定理得c 2ab ＝11 008×a 2＋b 2－c22ab，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 016，a 2＋b 2c2＝2 017，所以m ＝2 017.答案：2 01715．解析：因为S ＝12ac sin B ＝13(a 2＋c 2－b 2)所以34sin B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B 即tan B ＝43，因为∠C 为钝角，所以sin B ＝45，cos B ＝35.由正弦定理知c a ＝sin C sin A ＝sin （A ＋B ）sin A ＝cos B ＋sin B cos A sin A ＝35＋451tan A.因为∠C 为钝角，所以A ＋B ＜π2，即A ＜π2－B .所以cot A ＞cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝tan B ＝43. 所以c a ＞35＋45×43＝53，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：43⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 16．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →| 取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5. 答案：0 2 517．解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2， 因为OA →＋OB →＝OC →， 所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos ∠AOB ＝2， 故∠AOB ＝120°.则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos 60°＝22＝|a |2，即|a |＝1，即a ＝±1. 答案：±1小题专题练(三) 数 列1．无穷等比数列{a n }中，“a 1>a 2”是“数列{a n }为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( ) A.12 B.1716C ．2D ．173．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－124．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋ (2)a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.2115.如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D ．2206．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n .若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值为( ) A ．10B.92C.72D.12＋2 2 7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 8．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n ＞0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有( )A ．S n ≤2n 2＋3 B ．S n ≥n 2＋4n C ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．2110．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 4＝________，S 5＝________．13．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .设{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若n 2(T n ＋1)＝2n S n ，n ∈N *，则d ＝________，q ＝________．14．已知数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1，则a n ＝________；若b n ＝n ＋22n ＋2a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 3＝________．15．对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋12n －32，其前n 项和为S n ，则对任意m ，n ∈N *(m <n ), S n －S m 的最大值为________．17．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *,b n ＝2an，若任意n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是________．（2an－1）（2an＋1－1）小题专题练(三)1．解析：选B.数列{a n }递减⇒a n <a n －1.反之不成立，例如a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，此数列是摆动数列．故选B.2．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B. 3．解析：选D.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解得a 1＝－12.4．解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，两式相减得2na n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，故选C.5．解析：选C.由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x＝n ＋1n ，得x ＝1n(x ＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，则|A n B n|＝n －1n，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.6．解析：选B.由已知得S n ＋8a n＝na 1＋n （n －1）d 2＋8a 1＋（n －1）d＝n 2＋8n ＋12≥2n 2·8n ＋12＝92，当且仅当n ＝4时“＝”成立．7．解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 8．解析：选D.因为a n ＞0，所以a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1.因为a n a n ＋1＝n ＋1，所以{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝（2＋n ＋1）n 2＝（n ＋3）n 2，所以数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和S n ≥2×（n ＋3）n 2＝(n ＋3)n ＝n 2＋3n .9．解析：选C.因为a 9＋3a 11<0，所以由等差数列的性质可得a 9＋3a 11＝a 9＋a 11＋2a 11＝a 9＋a 11＋a 10＋a 12＝2(a 11＋a 10)<0，又a 10·a 11<0，所以a 10和a 11异号， 又因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是递减的等差数列，所以a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19×2a 102＝19a 10>0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，所以S n 取得最小正值时n 等于19. 10．解析：选B.由条件得1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n ，即有1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝1a 1－1－1a 2 017－1＝3－1a 2 017－1.又a n ＋1－a n ＝(a n －1)2≥0，则a n ＋1≥a n ≥…≥a 1>1，当n ≥2时，从而有(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝(a n －1)2－(a n －1－1)2＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1－2)≥0，则a n ＋1－a n ≥a n －a n －1≥…≥a 2－a 1＝19，则a 2 017＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a 2017－a 2 016)≥43＋2 0169＝22513，得a 2 017－1≥22413>1，即有0<1a 2 017－1<1，则m ∈(2，3)，故选B.11．解析：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－2，d ＝－1，所以a 1＝a 3－2d ＝7，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×7＋21×(－1)＝28. 答案：8－n 2812．解析：法一：由a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，故a n ＋1＝2n，即a n ＝2n－1，所以a 4＝15，S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，S 5＝57.法二：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，可猜想a n ＝2n－1，验证可知满足题意，故S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，所以S 5＝57.答案：15 57 13．2 214．解析：法一：由a n ＋1a n ＝n n ＋2可得，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×…×n －1n ＋1，得a n ＝2n （n ＋1）.b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 法二：由(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1易得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，…，猜想a n ＝2n （n ＋1），易证结论成立．故b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 答案：2n （n ＋1） 316415．解析：令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，…a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)·b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.答案：10016．解析：由a n ＝－n 2＋12n －32＝0，得n ＝4或n ＝8，即a 4＝a 8＝0.又函数f (x )＝－x 2＋12x －32的图象开口向下，所以数列的前3项均为负数，当n >8时，数列中的项均为负数．在m <n 的情况下，S n －S m 的最大值为S 7－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：1017．解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3或a 1＝0.由a n >0得，a 1＝3. 由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1.两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . 所以b n ＝2an（2an －1）（2an ＋1－1）＝8n（8n －1）（8n ＋1－1） ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17(18－1－182－1＋182－1－183－1＋…＋18n －1－18n ＋1－1)＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1<149. 要使任意n ∈N *，k >T n 恒成立，只需k ≥149，所以k 的最小值为149.答案：149小题专题练(四) 立体几何1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D ．棱台各侧棱的延长线交于一点2．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．23.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱BB 1的中点，若用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．4∶3B ．2∶1C ．5∶3D ．3∶25．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3 C.83D.7－π37．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235B.23913C.54D.438．已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α9．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm10．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝ 2.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为( )A．1 B. 2C.33D.3211．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．第11题图第12题图12．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比为________，三棱锥P­ABC的体积是________．13．已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．14．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．15．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE ＝20°，∠CDF ＝30°.将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．第15题图 第16题图16．如图，在四边形ABCD 中，CD ⊥BD ，∠ABD ＝π3，AB ＝BD ＝4，CD ＝2，现将△BCD 沿BD 折起，当二面角A ­BD ­C 的大小处于[π6，5π6]的过程时，线段AC 长度的最小值是________，最大值是________．17．已知△ABC 在平面α内，∠ACB ＝90°，点P ∉α，PA ＝PB ＝PC ＝7，AB ＝10，AC ＝6，则点P 到平面α的距离等于________，PC 与平面PAB 所成角的正弦值为________．小题专题练(四)1．解析：选D.直棱柱的侧棱与底面垂直，底面形状不定，故选项A ，C 都不够准确；选项B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故B 不正确．2．解析：选D.由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．解析：选C.如图，取DD 1的中点F ，连接AF ，FC 1，则过点A ，E ，C 1的平面即为面AEC 1F ，所以剩余几何体的侧视图为选项C.4．解析：选 A.圆锥的侧面积＝π×12×120360＝π3，圆锥的底面半径＝2π×1×120360÷2π＝13，圆锥的底面积＝π·19＝π9，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝4π9，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.5．解析：选A.由于cos 〈m ，n 〉＝－12，所以〈m ，n 〉＝120°.所以直线l 与α所成的角为30°.6．解析：选B.由三视图得，该几何体是从四棱锥P ­ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形，高是2，圆锥的底面半径是1，高是2，则所求几何体的体积V ＝13×2×2×2－12×13π×12×2＝8－π3.7.解析：选B.如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913. 8．解析：选A.由l ，m ，n 为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A 中，若m ⊥α，m ⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A 正确；在B 中，若l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则l 与α相交、平行或l ⊂α，故B 错误；在C 中，若α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则m 与β相交，故C 错误；在D 中，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故D 错误．故选A.9．解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h ，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x ，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧πx ＝9πy ，x ＋20＝y ＋28⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以h ＝29.10.解析：选A.将长方体中含有ABD 1的平面取出，过点A 作AM ⊥BD 1，延长AM ，使MP ＝AM ，则P 是A 关于BD 1的对称点，如图所示，过P 作PE ⊥BC 1，垂足为E ，依题意AB ＝1，AD 1＝3，BD 1＝2，∠ABD 1＝60°，∠BAM ＝30°，∠PBE ＝30°，PE ＝12，BE ＝32，所以PC 1＝1，故选A.11．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M ­A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以VM ­A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝43.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5，A 1M ＝22＋（23）2＝2103，B 1M ＝22＋（43）2＝2133，MN ＝22＋22＋（13）2＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.答案：4373312．解析：作三棱锥P ­ABC 的正视图时，点A 的正投影是D ，点P 的正投影在C 1D 1上，因此三棱锥P ­ABC 正视图的面积S 正＝12×12＝12，作三棱锥P ­ABC 的侧视图时，点A 的正投影是B ，点P 的正投影在C 1B 1上，因此三棱锥P ­ABC 的侧视图的面积S 侧＝12×12＝12，故S 正∶S 侧＝1∶1，三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝16.答案：1∶1 1613．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：214．解析：如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ， 同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面， 即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13.答案：1315．解析：AB 不动，因为AB ∥CD ，故无论直线DF 运动到哪里，其与CD 的夹角不变，与AB 的夹角也不变为30°.若DF 不动，AB 转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB 转动到BF 的另一侧且与原始位置共面时，若DF 不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF 转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．因此，本题正确答案是70°.答案：70° 16.解析：设二面角A ­BD ­C 的平面角为α，如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ＝2 3.因为AC →＝AE →＋ED →＋DC →，所以AC →2＝AE →2＋ED →2＋DC →2＋2AE →·ED →＋2ED →·DC →＋2AE →·DC →＝12＋4＋4＋0＋0＋2×23×2×cos(π－α)＝20－83cos α，因为α∈[π6，5π6]，所以cos α∈[－32，32]，所以AC →2∈[8，32]，故线段AC 长度的取值范围是[22，42]．答案：2 2 4 2 17.解析：如图所示，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，因为PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，又△ABC 为直角三角形，所以AD ＝CD ，又PA ＝PC ，所以△APD ≌△CPD ，所以∠CDP ＝∠ADP ＝90°，所以PD ⊥DC .又AB ∩DC ＝D ，则PD ⊥α，PD 为点P 到平面α的距离，又PA ＝7，AB ＝10，所以AD ＝5，PD ＝PA 2－AD 2＝2 6.法一：设点C 到平面PAB 的距离为d ，PC 与平面PAB 所成角的大小为θ，由V P ­ABC ＝V C ­PAB得13PD ·S △ABC ＝13d ·S △PAB ，即13×26×12×6×8＝13d ×12×10×26，所以d ＝245.故sin θ＝d PC ＝2435. 法二：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接PE ，因为PD ⊥α，PD ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面PAB ＝AB ，所以CE ⊥平面PAB ，则∠CPE 为PC 与平面PAB 所成的角，在Rt △ABC 中，易得CE ＝245，所以sin ∠CPE ＝CE PC ＝2435.答案：2 62435小题专题练(五) 解析几何1．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．已知A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线l ：x ＋2y －4＝0，点P (x 0，y 0)在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得∠OPQ ＝45°(O 为坐标原点)，则x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，65B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，85C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，85 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65 7．已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为( )A ．22－2 B.56 C ．3－322D ．23－28．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．129．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．210．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 11．抛物线y 2＝2x 的焦点坐标是________，准线方程是______________．12．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝2，圆心C 在曲线y ＝1x(x ∈[1，2])上，则ab ＝________，直线l ：x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦长的取值范围是________．13．已知抛物线C ：x 2＝ay (a ＞0)上一点P (2a ，4a )到焦点F 的距离为17，则实数a 的值为________，直线PF 的一般方程为________．14．已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．16．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是________．17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为________．小题专题练(五)1．解析：选C.直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件a (a －2)＝3，解得a ＝－1或a ＝3，当a ＝3时，两直线重合，所以解得a ＝－1，故选C.2．解析：选 B.由题意及双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以 |PF 2|＝9.3．解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．解析：选B.将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．5．解析：选A.由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.6．解析：选B.因为直线与圆有公共点，故由题设|OP |sin 45°≤2，即x 20＋y 20≤4，又y 0＝4－x 02，所以4x 20＋x 20－8x 0＋16≤4×4，即5x 20－8x 0≤0，所以0≤x 0≤85，故选B.7．解析：选A.设直线的倾斜角为θ，根据焦半径的计算知，|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，所以|AF |－2|BF |＝21－cos θ－(1＋cos θ)＝1＋cos 2θ1－cos θ，令t ＝1－cos θ∈(0，2)，则|AF |－2|BF |＝2－2t ＋t 2t ＝t ＋2t －2≥22－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2∈(0，2)取等号，故选A.8．解析：选B.抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以 a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以 x A＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.9．解析：选D.依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2， 所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2，所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2＋a 2c 2＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2＝2.。

高考数学二轮复习小题综合限时练十文

高考数学二轮复习小题综合限时练十文

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋5i ，2＋4i(i 为虚数单位)对应的点分别为A 、C .若C 为线段AB的中点，则点B 对应的复数是( ) A.－2＋3i B.4＋i C.－4＋i D.2－3i解析 ∵两个复数对应的点分别为A (6，5)、C (2，4)，C 为线段AB 的中点，∴B (－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A. 答案 A2.如图，设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤8}，B ＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.7 D.8解析 依题意，A ∩B ＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A. 答案 A3.对具有线性相关关系的变量x 、y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为( ) A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5解析 依题意得＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，＝15(20＋40＋60＋70＋80)＝54，回归直线必过中心点(5，54)，于是有a ^＝54－10.5×5＝1.5，当x ＝20时，y ＝10.5×20＋1.5＝211.5.故选C. 答案 C4.已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤3，x ＋y≥2，x≥0，y≥0，若z ＝x －y ，则z 的最大值为( )A.3B.4C.5D.6解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤3，x ＋y≥2，x≥0，y≥0所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y ＝x －z ，平移直线y ＝x －z 可知，当直线经过点(3，0)时，z 取最大值，代值计算可得z ＝x －y 的最大值为3.故选A. 答案 A5.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2. 答案 D6.已知实数x ＜y ＜0，则下列关系式恒成立的是( ) A.x 2＋y 2≤2xy B.tan x ＜tan y ＜0 C.ln(1－x )＞ln(1－y )＞0 D.1x ＜1y＜0解析 当x ＝－π，y ＝－1时，满足x ＜y ＜0.但x 2＋y 2＞2xy ，0＝tan x ＞tan y ，1y ＜1x＜0，故排除A 、B 、D.故选C. 答案 C7.阅读如图所示的程序框图，输出结果s 的值为( )A.12B.316 C.116 D.18。

高考数学浙江专版(理)一轮复习：小题专项集训10.pdf

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小题专项集训?十?　直线与圆(建议用时：40分钟　分值：75分) 1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )． A．1 B. C. D．2 解析　直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0间的距离d＝＝，故应选B. 答案　B 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )． A．D＋E＝2 B．D＋E＝1 C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，－－＝1，即D＋E＝－2，故应选D. 答案　D 3．(2012·济南二模)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( )． A．－3或－1 B．3或1 C．－3或1 D．－1或3 解析　l1l2?k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0(1－k)(k＋3)＝0k＝1或k＝－3. 答案　C 4．圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )． A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0 解析　由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此时圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，则直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即得x＋y－4＝0，故应选D. 答案　D 5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )． A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析　依题意得圆心坐标是(0,2)，因此所求圆的方程是x2＋(y－2)2＝1，选A. 答案　A 6．(2012·乌鲁木齐三模)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )． A. B. C. D. 解析　易知圆的圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是. 答案　B 7．(2013·安徽省江南十校联考)若点P(1,1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )． A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析　易知圆的圆心为C(3,0)；据圆的垂径定理知MNPC.∵kPC＝－，kMN＝2.直线MN方程为：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案　D 8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A．30 B．18 C．6 D．5 解析　由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：＋3＝5＋3，最小距离为：5－3，故最大距离与最小距离的差为6. 答案　C 9．(2012·宁德模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )． A．4 B．2 C. D. 解析　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心，即2a·(－1)－b·2＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案　A 10．(2013·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )． A．(x－2)2＋2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－3)2＝2 D．(x－)2＋(y－)2＝9 解析　设所求圆的圆心坐标是(a>0)，则点(a>0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是，半径是3，所求圆的方程为(x－2)2＋2＝9，选A. 答案　A 11．(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________． 解析　分两种情况：(1)直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；(2)l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝－2，y＝3代入得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上：l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 答案　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0 12．(2012·长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________． 解析　l1∥l2，可设直线l1：3x＋4y＋b＝0. l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，＝1， b＝9或b＝－1， l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 答案　3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 13．过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 解析　易知PA的斜率kPA＝＝－1，PB的斜率kPB＝＝1，又直线l与线段AB没有公共点． 直线l的斜率k的取值范围为k1， 结合正切函数图象得倾斜角的范围是. 答案 14．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为________． 解析　由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0. 答案　2x－4y＋3＝0 15．(2013·苏州一模)过直线y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________． 解析 如图，据题意， 1＝2，3＝4； 1＋2＋3＋4＝180°， 2∠2＋23＝180°， 2＋3＝90°， CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝＝3. 答案　3。

2019高考数学浙江精编冲刺练“10+7”满分限时练(十)

2019高考数学浙江精编冲刺练“10+7”满分限时练(十)

A . b v c v aB . a v b v c 限时练（十）（限时：45分钟）、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）1 •设集合 A = {1 , 2, 3, 4} , B = { — 1, 0, 2, 3} , C = {x € R | — 1<x v 2}，则(AA • { — 1,1} C . { — 1, 0, 1}•••(A U B) PC = { — 1, 0, 1}.故选 答案 C 2. i 是虚数单位,复数芳科=（C . 3+ i答案 B答案 C 4.设 a = log s ： , b =，c = log 2(log 2 . 2),则( )B • {0 , 1} D . {2 3, 4}解析由题意得A U B = { — 1, 0, 1,2, 3, 4}，又 C = {x € R |— 1<x v 2}, C. 解析凹1— 2i ) 1+ 2i (1 + 2i )(1— 2i )6+ 14+ 7i — 12i3.已知互相垂直的平面 a, B 交于直线 l ,若直线m, n 满足m// a n 丄B 则（A . m //Im II nC . n 丄I m ± n 解析由已知，aG l , • l B,又T n 丄B, 丄I , C 正确.故选C.A . (— 1)nB . 11 1 1解析 I c = log 2^=— 1 = log 3g >log 34= a ， b >0， ••• b >c >a.故选 D. 答案 D5. 一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为 方形，则该六面体的表面积是()12 + 2 514 + 2 5 16 + 2 518 + 2,5解析 依题意，该几何体是一个直四棱柱，其中底面是一个上底长为1、下底长1为2、高为2的梯形，侧棱长为2,因此其表面积等于2>2>(1+ 2) )2+ (1 + 2 + 2 + 5) )= 16+ 2 .5.故选 C. 答案 C 6.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则 在 第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为()故选D.A 3A \ 1法二 第一次抽到理综题的概率 P (A )=2，第一次抽到理综题和第二次抽_3_A 3A 3 3P (AB ) 10 3到文综题的概率 P(AB) = A A A ■二10，二P(BA)= =〒=5•故选D.P (A ) —2C .解析法 第1次抽到理综题的条件下，依次抽取 2道题，共有C 3C 5 = 15种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有119C 3C S = 9种，因此，所求概率P =15=侧覘图答案D7 •组合式C0—2c n + 4c n—8C3+…+ (—2)n c n的值等于()A . (—1)nB . 1A . n n .C . 3D . 3 — 1解析 在(1 + X )n = c n + C ?i x + &X 2+ …+ c n x n 中， 令 x = — 2,得原式=(1 — 2)n = ( — 1)n . 答案 A58.设随机变量X 〜B(2, p), 丫〜B(4, p),若P(X > 1) = 9,则P(Y >2)的值为()八 32f 11 65 16 A.81B.27C.81D茁解析 P(X > 1)= P(X = 1)+ P(X = 2) = c [p(1 — p) + C 2P 2=9,解得 P =g (O W p < 1, 5故P = 3舍去).2申故 P(Y >2) = 1 — P(Y = 0)— P(Y = 1)= 1 — C °°X 3答案 B9. 过抛物线y 2二2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为解析 记抛物线y 2= 2px 的准线为I ，作AA 1丄l ,|BC| |BB 1| — |AA 11A 1、B 1、C ,则有 cos /ABB 1==,A B| |AF| + |BF| AF|+ |BF|BF| — |AF| = 1 |AF|+ |BF 「2,由此得|BF| = 3.故选A. 答案 A10. 已知函数f(x)= 2ax 3 + 3, g(x)= 3x 2 + 2,若关于x 的方程f(x)= g(x)有唯一解 1 1 2 311 —。

浙江省杭州市塘栖中学高三数学(理)高考复习作业选10(

浙江省杭州市塘栖中学高三数学(理)高考复习作业选10(

高三理科数学高考复习作业选（10）班级__________姓名_________ 训练日期:__ _月___日1. 已知函数()x x x f cos sin 3-=， R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围______________ 2. 已知数列}{n a 是等差数列,若0129>+a a ，01110<⋅a a ，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,那么当S n 取得最小正值时,n 等于 .3. 已知点),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，B A ,为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 _4. 设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=5. 已知a,b,c 分别为ABC ∆三个内角A, B,C 的对边，cos sin 0b A A c a --=.(1)求B (2) 求sin cos A C 的取值范围6 如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E是AB 的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，2AD =，AM =．（1）求证：AC ⊥BN ；（2）求二面角M EC D --的大小.7．已知数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N *=-∈，（1）求n a ； （2）设23n n n b a a +=⋅，123n n T b b b b =++++，若112014m m T b +->成立，求正整数m 的最大值。

8. 已知函数1()a ax a R --+∈2f(x)=x（1）当a<0时，f(x)在[-2，-1]上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）求f(x)在[0，1]上的最大值M(a)。

（1） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππ （ 2） 20（3） 2 （ 4）5、（本题14分）(1)由cos sin 0b A A c a --=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0B A B A C A --=-------------3分因为C A B π=--,sin cos sin sin 0B A B A A --=，由于sin 0A ≠,所以1sin()62B π-=,-----------------------------------------6分 ,3B ππ<<=又因为0故B -----------------------7分 （2）sin cos sin cos()sin cos()3AC A A B A A π=-+=-+---------9分由于11sin cos()sin (cos )sin(2)3223A A A A A A ππ-+=-=-+----12分 又因为20,3A π<<所以52,333A πππ<+<11sin cos 22A C ⎡∈-+⎢⎣⎦------------------------------14分6、（本题15分）解：（1）连结BD ，则AC BD ⊥.由已知DN ⊥平面ABCD ，因为DN DB D =，所以AC ⊥平面NDB .……………………3分又因为BN ⊂平面NDB ，所以AC BN ⊥ (6)（2）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，E , (0,2,0)C ，1,7M -,(3, 2.0)CE =-，(0,1,7EM =-.………………………7分错误！未找到引用源。

浙江专用高考数学复习教师用书6小题综合限时练

浙江专用高考数学复习教师用书6小题综合限时练

限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) D.(－1，3]答案 A2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x答案 C3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，因为E 是OD 的中点，∴|DE ||EB |＝13，∴|DF |＝13|AB |，∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝16AC →－16BD → ＝16a －16b ， AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b .答案 C4.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝22sin 2x D.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .答案 A5.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立. 答案 C6.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－8213解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210，选A. 答案 A7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A8.现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，a ＝C 05cos 5θ－C 25cos 3θsin 2θ＋C 45cos θsin 4θ，b ＝C 15cos 4θsin θ－C 35cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i 等于( ) A.cos 5θ＋isin 5θ B.cos 5θ－isin 5θ C.sin 5θ＋icos 5θD.sin 5θ－icos 5θ解析 (e i θ＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)a ＋b i ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)－C 25cos 3θsin 2θ－C 35cos 2θ(isin 3θ)＋C 45cos θsin 4θ＋C 55(isin 5θ) ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)＋C 25cos 3θ(i 2sin 2θ)＋ C 35cos 2θ(i 3sin 3θ)＋C 45cos θ(i 4sin 4θ)＋C 55(i 5sin 5θ) ＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i ×5θ＝cos 5θ＋isin 5θ.答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2 10.计算：log 222＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________.解析 log 222＝log 22－12＝－12，2log23＋log43＝232log2 3＝2log 2332＝27＝3 3.答案 －123 311.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.解析 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2＝－3a 1d ，则d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，所以a 1＝23，d ＝－1.答案 23－112.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________. 解析 由题可得f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32 ，所以最小正周期T ＝π，最小值为3－22.答案 π3－2213.设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），f （x ） （x <0），则g (－2)＝________；函数y＝g (x )＋1的零点是________.解析 由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e. 答案 －ln 3 1－e14.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 715.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，同理，在△ADC 中，由余弦定理有：x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，即15cos D －8cos B ＝7，①又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝12(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， －240cos(B ＋D )＝4S 2－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230限时练(二) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45 B.－45C.4D.－4解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A. 答案 A3.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2 B.－ 2 C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ， 则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2， ∴a 6＝a 4q 2＝2；同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C4.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C.答案 C5.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D6.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A.9 B.8 C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A.答案 A7.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C8.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，eC.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 22解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e . 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________(用数字作答).解析 设4个公司分别为A 、B 、C 、D ，当甲、乙都在A 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在B 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在C 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在D 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12.∴总数为4A 13A 12＝24种. 答案 2410.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得：a n ＋1＝2S n ＋1，①a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1×（1－35）1－3＝121.答案 1 12111.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13可得22(cos θ－sin θ)＝－13，则cos θ－sin θ＝－23，两边平方可得1－sin 2θ＝29，sin 2θ＝79.又θ是锐角，cos θ<sin θ，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－429，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝7－4618.答案 79 7－461812.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________.解析 由“正三棱锥的对棱互相垂直”可得SB ⊥AC ，又SB ⊥AM ，AM 和AC 是平面SAC 上的两条相交直线，所以SB ⊥平面SAC ，则SB ⊥SA ，SB ⊥SC .所以正三棱锥S －ABC 的三个侧面都是等腰直角三角形.又AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，故正三棱锥S －ABC 是棱长为2的正方体的一个角，其体积为16SA ·SB ·SC ＝43，其外接球的直径2R ＝23，外接球的表面积为4πR 2＝12π.答案 4312π13.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 中的元素最大值为________；“好集”P 的个数为________.解析 由集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c＝4b ，故满足条件的“好集”P 为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0，b ∈Z )的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503(b ≠0，b ∈Z )，当b ＝503时，“好集”P 中的最大元素4b ＝2 012，且符合条件的b 可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006. 答案 2 012 1 00614.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3.答案 43或8 315.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2限时练(三) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( )A.－1B.1C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ， －x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a＝4，a ＝2. 答案 C4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A6.设函数f (x )＝e x＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22 B. 2C.322D.2 2解析 f (x )＝e x＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②， 解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－2，2]∪[4，＋∞)C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.已知x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析 T r ＋1＝C r5x ·x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r5x 6－32r .由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.答案210.已知双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________.解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝355.答案 2 535511.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2]. 答案 2 (－1，2]12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________.解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象. 答案π12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π613.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a 2016＝________.解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n－1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1a 1＝1.答案 n 2＋n 114.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6. 答案π6或5π615.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________.解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，1a n ＋2＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n.答案 3n限时练(四) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C2.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B3.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.答案 D4.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632 C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D.答案 D5.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B.π4C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A.答案 A6.已知向量a 、b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →＝3a ＋2b ，OQ →＝a ＋3b ，则P 、Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3D. 2解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×12＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝12，∴|PQ →|＝2 3.故选C. 答案 C7.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192 B.11 C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9D.c >9解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9]. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)10.已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝________，cos(a 3＋a 7)的值为________.解析 由{a n }为等差数列得a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos 16π3＝cos 4π3＝－12. 答案 24π －1211.函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2x －1的最小正周期为________，最大值为________.解析 f (x )＝2sin 2x ＋cos 2x ＝5sin(2x ＋φ)，tan φ＝12，所以最小正周期T ＝2π2＝π，最大值为 5. 答案 π512.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3（x ＋1）|，－1<x ≤0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝________，若f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意可得f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝12，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.当－1<a ≤0时，f (a )＝|log 3(a ＋1)|<1，－1<log 3(a ＋1)<1，解得－23<a <2，所以－23<a ≤0；当0<a <1时，f (a )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2a <1，0<π2a <π4，0<a <12，综上可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－23，12.答案 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12 13.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率k ＝________，r ＝________.解析 两圆的方程相减可得点P 的横坐标为1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，同理可得△CBP 为等边三角形，所以∠OPC ＝60°.又|OP |＝|OC |，所以△OCP 为等边三角形，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案3 214.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 15.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案 （－2）n－13限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B. 答案 B2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( )A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin5π6＝1，选A. 答案 A4.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0 B. 5 C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C.另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果.答案 C5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C.答案 C6.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56 B.25 C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A.答案 A7.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C8.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x－x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e ，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________(请用数字作答).解析 因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n ＝8，展开式通项为T k ＋1＝C k 8x8－k (－1)k x －k ＝(－1)k C k 8x 8－2k，令8－2k ＝2，得k ＝3；则展开式中含x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56. 答案 －5610.已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的离心率为5，则b ＝________，又以(2，1)为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r ＝________. 解析 因为e ＝c a＝c ＝5，所以b ＝c 2－a 2＝（5）2－12＝2；因为以(2，1)为圆心的圆与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线渐近线2x －y ＝0相切，所以r ＝|2×2－1|22＋12＝355. 答案 235511.已知等差数列{a n }的公差为－3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n ＝________，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.解析 由题意得a 23＝a 1a 4，即(a 1－6)2＝a 1(a 1－9)，解得a 1＝12，所以a n ＝12＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋15；由－3n ＋15≥0得n ≤5，所以当n ＝4或5时S n 取得最大值，所以(S n )max ＝5×12＋5×42×(－3)＝30. 答案 －3n ＋15 30 12.设奇函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x －3sin x ＋c ，x ≥0，cos x ＋b sin x －c ，x <0，则a ＋c 的值为________，不等式f (x )>f (－x )在x ∈[－π，π]上的解集为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即a cos 0－3sin 0＋c ＝0，所以a ＋c ＝0；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0得－3＋c －b －c ＝0，所以b ＝－3；由f (π)＋f (－π)＝0得－a ＋c －1－c ＝0，所以a ＝－1，所以c ＝1，所以当0≤x ≤π时，由f (x )>f (－x )＝－f (x )得f (x )>0，即－cos x －3sin x ＋1>0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6<12，所以5π6<x ＋π6≤7π6，即2π3<x ≤π.同理可求得－π≤x <0时，－2π3<x <0，所以原不等式f (x )>f (－x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π. 答案 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则y －x 的最大值是________；x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是________.解析 作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z ＝y －x 经过原点时取得最大值0，即y －x 的最大值为0；当x ＝2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝0；当x >2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝x －2（x －2）2＋y2＝11＋⎝⎛⎭⎪⎫y x －22，又yx －2表示平面区域内的点与点A (2，0)连线的斜率，由图知，k ∈[0，＋∞)，即y x －2∈[0，＋∞)，所以11＋⎝⎛⎭⎪⎫y x －22∈(0，1]，同理可求得当x <2时，－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22∈[－1，0)，所以x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是[－1，1].答案 0 [－1，1]14.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1(a＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a ，解得a ＝19.答案 1915.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e.设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x－π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B2.若1a ＜1b＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )A.|a |＞|b |B.a ＜bC.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.答案 D3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A.答案 A4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝ 5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cosA －sin A ＝5(cosB cosC －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B .答案 B5.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C6.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) A.25 B.32 C.60 D.100解析 要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C 35＋C 36)A 22＝60. 答案 C7.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba＝( )A.32 B.233 C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论： ①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . (3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 ②③④10.以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得双曲线的顶点为(±3，0)，焦点为(±2，0)，所以a ＝3，c ＝2，所以b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x ，离心率为e ＝c a ＝233.答案 y ＝±33x 23311.函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ）（ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ).把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案 2π612.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析 由三视图知该几何体为一个半球被割去14后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为12×34×43π×13＝π2，表面积为12×34×4π×12＋34×π×12＋2×14×π×12＝11π4.答案π2 11π413.已知x ，y ∈R 且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，kx －y －k －1≤0，当k ＝1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7，则k 的值为________.解析 当k ＝1时，不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，x －y －2≤0，作出不等式组满足的平面区域如图中△ABC 的面积，易求得A (1，3)，B (1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13，所以S △ABC ＝12×4×43＝83；由目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则点(2，1)在kx －y －k －1＝0上，即2k－1－k －1＝0，解得k ＝2.答案 83214.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x)*1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，0].其中所有正确说法的序号为________.。

(浙江专用)高考数学 冲刺必备 “10+7”提速专练卷(四)

(浙江专用)高考数学 冲刺必备 “10+7”提速专练卷(四)

“10＋7”提速专练卷(四)限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B 由题意得A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1}∩{x |0<x ≤2}＝{x |0<x ≤1}．2．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 012的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤1 005B ．i >1 005C ．i ≤1 006D ．i >1 006解析：选C 12＋14＋16＋…＋12 012可视为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前1 006项的和，因此结合程序框图可知，判断框内应填入的条件是i ≤1 006.3．函数f (x )＝ln x ＋x －2的零点位于区间( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 虽然f (0)无意义，但在x 接近零时，函数值趋向负无穷大，f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，f (3)＝ln 3＋1>0，f (4)＝ln 4＋2>0，根据函数的零点存在性定理可得，函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．4．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是( )A.π2cm 3B.π3cm 3C.π4cm 3D ．π cm 3解析：选A 依题意得，该几何体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴剖开)，其中该圆锥的底面半径为1、高为3，因此该几何体的体积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×π×12×3＝π2cm 3.5．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥βC ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n解析：选B 对于A ，注意到 “垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能垂直”，因此选项A 不正确；对于B ，由m ∥α得，在平面α内必存在直线m 1，使得m 1∥m ；由α∥β得，m 1∥β，于是有m ∥β，因此选项B 正确；对于C ，满足题设条件的直线m 可能位于平面β内，且直线m 垂直于平面α与平面β的交线，因此选项C 不正确；对于D ，当m ∥α，n ∥β，α⊥β时，直线m 、n 所成的角不确定，因此选项D 不正确．6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减．若数列{a n }是等差数列，且a 3<0，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负解析：选A 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.因为当x ≥0时，f (x )单调递减，所以当x <0时，f (x )>0.所以f (a 3)>0，且f (x )在R 上是单调减函数．因为a 2＋a 4＝2a 3<0，所以a 2<－a 4. 所以f (a 2)>f (－a 4)＝－f (a 4)， 所以f (a 2)＋f (a 4)>0. 同理f (a 1)＋f (a 5)>0.所以f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)>0.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<ω<5，0≤φ≤π2的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，则ω＝( )A.113 B ．4 C.133D.143解析：选D 依题意得，f (0)＝sin φ＝32，又因为0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω×π4＋π3＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ，又因为0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k <2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3 CD ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x )·AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选D 设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x ) AC ，且AB 、AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 9．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图像从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析：选B 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A.根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m.同理可得x C ＝2m 821-+，x B ＝2m，x D ＝2m 821+，所以b a＝2m－2m 821+2m 821+－2－m)＝2m－2m 821+12m 821+－12m ＝2m－2m 821+2m －2m 821+2m·2m 821+＝2m m 821++，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a的最小值为272＝8 2. 10．已知f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，其图像是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①f (x )的值域为G ，且G ⊆(a ，b )；②对任意的x ，y ∈[a ，b ]，都有|f (x )－f (y )|<|x －y |.那么，关于x 的方程f (x )＝x 在区间[a ，b ]上根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个实数根D ．有无数个不同的实数根解析：选B 依题意得，当x >y 时，有|f (x )－f (y )|<|x －y |＝x －y ，－(x －y )<f (x )－f (y )<x －y ，即有f (x )－f (y )<x －y ，f (x )－x <f (y )－y ，令函数g (x )＝f (x )－x ，则g (x )是[a ，b ]上的减函数；又当x ∈[a ， b ]时，a <f (x )<b ，g (a )＝f (a )－a >0，g (b )＝f (b )－b <0，g (a )g (b )<0，因此方程g (x )＝0，即f (x )＝x 在[a ，b ]上有且仅有一个实根．二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，则tan(π－α)＝________.解析：依题意得，cos α＝1－sin 2α＝45，tan α＝sin αcos α＝－34，tan(π－α)＝－tan α＝34.答案：3412．已知各项为正数的数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝3a p ·a q ，若a 1＝1，则a 9＝________.解析：a 2＝a 1＋1＝3a 1·a 1＝3，令p ＝n ，q ＝1，得到a n ＋1＝3a n ·a 1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3.则{a n }是以1为首项，公比为3的等比数列．故a 9＝38＝6 561.答案：6 56113．已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤ λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得，3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xy x 2＋y 2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4.答案：414．若P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，其中F 1、F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为________．解析：依题意得，∠F 1PF 2＝90°，又∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2＝30°，|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c ，所以双曲线C 1的离心率等于|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝2c 3c －c＝3＋1. 答案：3＋115．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)16．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________．解析：依题意得a ·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n n ＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋2－n n －2＝n ；又a 1＝S 1＝＋2＝1，因此a n ＝n ，a na n ＋1a n ＋4＝n n ＋n ＋＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.答案：1917．定义在R 上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)，使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立，则称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．现有如下函数：①f (x )＝x 3；②f (x )＝2－x；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ≤0④f (x )＝x ＋sin x .则存在承托函数的f (x )的序号为________．(填入满足题意的所有序号)解析：对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x＋sin x≥x－1，因此存在函数g(x)＝x－1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④.答案：②④。

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2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十）(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋5i ，2＋4i(i 为虚数单位)对应的点分别为A 、C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( ) A.－2＋3i B.4＋i C.－4＋iD.2－3i解析 ∵两个复数对应的点分别为A (6，5)、C (2，4)，C 为线段AB 的中点，∴B (－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A. 答案 A2.如图，设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤8}，B ＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3 .4 C.7.8解析 依题意，A ∩B ＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A. 答案 A3.已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0，若z ＝x －y ，则z 的最大值为( )A.3B.4C.5D.6解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y ＝x －z ，平移直线y ＝x －z 可知，当直线经过点(3，0)时，z 取最大值，代值计算可得z ＝x －y 的最大值为3.故选A. 答案 A4.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.34 C.35D.45解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，又|F 1F 2|＝2c ＝22，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.故选B.答案 B5.已知定义在R 上的函数f (x )满足条件： ①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1、x 2∈[0，2]且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. 则下列结论正确的是( ) A.f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) B.f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C.f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)D.f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，得f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，由题意知，f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (4.5)＜f (7)＜f (6.5).故选D. 答案 D6.已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为( ) A.[2，6) B.[2，6) C.[2，6)D.[4，6)解析 ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，即B ＝60°.∵S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝34ac ＝3，∴ac ＝4.法一 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，又△ABC 为锐角三角形，∴a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，∵b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴b 2＋c 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(a 2＋b 2)，整理得2a ＞c ，且b 2＋a 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(b 2＋c 2)，整理得2c ＞a ，∴c2＜a＜2c ，ac2＜a 2＜2ac ，又ac ＝4，∴2＜a 2＜8，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝a 2＋16a2－4，2＜a 2＜8，∴令a 2＝t ∈(2，8)，则b 2＝f (t )＝t ＋16t－4，2＜t ＜8，∵函数f (t )在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增，∴f (t )∈[4，6)，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 法二 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得ac ＝b 2sin 2B ·sin A sin C ⇒4＝43b 2sin A sin(120°－A )，即b 2＝3sin A sin （120°－A ）＝3sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14（1－cos 2A ）＝6sin （2A －30°）＋12，∵30°＜A ＜90°，∴30°＜2A －30°＜150°，1＜sin(2A －30°)＋12≤32，∴632≤b 2＜61，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 答案 A7.点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →·PN →的取值范围是( ) A.[0，2] B.[0，3] C.[0，4] D.[－2，2]解析 如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O ，则PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝PO →2－OM →2，由正三棱柱底边长为23，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM ＝ON ＝1，外接球半径为OA ＝OA 1＝5，对三棱柱上任一点P 到球心O 的距离的范围为[1，5]，∴PM →·PN →＝PO →2－OM →2＝OP →2－1∈[0，4].故选C. 答案 C8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx ＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( ) A.－43B.－54C.－35D.－53解析 ∵圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴圆C 的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y ＝kx ＋2上至少存在一点A (x 0，kx 0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴存在x 0∈R ，使得|AC |≤1＋1成立，即|AC |min ≤2，∵|AC |min 即为点C 到直线y ＝kx ＋2的距离|4k ＋2|k 2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，即k 的最小值是－43.故选A.答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 法一 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2， ∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 法二 由题意得y ＝1－2x ＋2＝1－2(x ＋2)－1， ∴y ′＝2(x ＋2)－2，∴y ′|x ＝－1＝2，所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案 y ＝2x ＋110.在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝154，a 6a 7＝98，则1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________.解析 由等比数列的性质知a 5a 8＝a 6a 7，∴1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝a 5＋a 8a 5a 8＋a 6＋a 7a 6a 7＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 6a 7＝154×89＝103. 答案10311.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是________.解析 由三视图知该几何体为两个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的圆柱的组合体，所以几何体的表面积为4π×12＋2π×1×2＝8π，体积为43π×13＋π×12×2＝10π3.答案 8π10π312.若x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________.解析 因为f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a ，0<|φ|<π2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；因为x ＝π6是函数f (x )的一条对称轴，所以2×π6＋φ＝k π＋π2，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以φ＝π6，所以a ＝tan φ＝33，所以函数f (x )的最大值为1＋a 2＝233.答案 π23313.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 设y ＝1－x ，则x －y ＝x －(1－x )＝2x －1，0<x <1，所以x －y ∈(－1，1)；1x ＋x y ＝x ＋y x＋x y ＝y x ＋x y ＋1≥3，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取得等号. 答案 (－1，1) 314.如图，等腰△OAB 中，∠OAB ＝∠OBA ＝30°，E ，F 分别是直线OA ，OB 上的动点，OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，|OA →|＝2.若AF →·AB →＝9，则μ＝________；若λ＋2μ＝2，则AF →·BE →的最小值是________. 解析 以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，由|OA |＝2，∠OAB ＝∠OBA ＝30°得A (－3，0)，B (3，0)，O (0，1)，AB →＝(23，0)，由OF →＝μOB →得F (3μ，1－μ)，所以AF →＝(3μ＋3，1－μ)，由AF →·AB →＝23(3μ＋3)＝9得μ＝12，由OE→＝λOA →得E (－3λ，1－λ)，BE →＝(－3λ－3，1－λ)，由λ＋2μ＝2得BE →＝(－33＋23μ，2μ－1)，所以AF →·BE →＝4μ2－10，当μ＝0时，AF →·BE →取得最小值－10. 答案 12－1015.关于函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称；②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为π的整数倍；④y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6上单调递增；⑤y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到.其中正确命题的序号有________.解析 对于①，y ＝f (x )的对称轴是2x －π6＝k π＋π2，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π3，当k ＝－1时，x ＝－π6，即①正确；对于②，y ＝f (x )的对称点的横坐标满足2x －π6＝k π，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π12.即②不成立；对于③，函数y ＝f (x )的周期为π，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为半个周期π2的整数倍，即③不正确；对于④，y ＝f (x )的增区间满足－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，即④成立；对于⑤，y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≠f (x )，即⑤不正确. 答案 ①④。

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