第三章数值分析

若集合V是线性空间， 若集合 是线性空间，ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),L , ϕ n ( x) 是线性空间 线性无关， 线性无关，则 ϕ ( x) 可以表示为
ϕ ( x) = c0ϕ 0 ( x) + c1ϕ1 ( x) + L + cnϕ n ( x)
若为线性空间V的一组基， 若为线性空间 的一组基，则 的一组基 是一个n+1维线性空间 维线性空间 是一个
1 2
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证明：对内积空间上的任意元素 、 和任意 证明：对内积空间上的任意元素f、g和任意 实数t， 实数 ，有
0 ≤ ( f + tg , f + tg ) = ( f , f ) + 2 t ( f , g ) + t 2 ( g , g )
固定f和 ，右端是关于t的一元二次多项式 的一元二次多项式, 固定 和g，右端是关于 的一元二次多项式 且该多 项式函数值非负， 项式函数值非负，利用二次多项式的判别式有
1≤ i ≤ n
= max{ vi }
n
赋范线性空间 ( R , • ∞ )
无穷范数) 连续函数空间 (无穷范数 无穷范数
定义于区间[a,b]上连续函数的集合 上连续函数的集合C[a,b]是一线性空 定义于区间 上连续函数的集合 是一线性空 间。定义
f
∞
= max f ( x) , ∀f ∈ C[a, b]
定义于区间[a,b]上连续函数的集合 上连续函数的集合C[a,b]是一线性空间。 是一线性空间。 定义于区间 上连续函数的集合 是一线性空间 1 定义 b f 2 = [ ∫ f 2 ( x)dx] 2 ≥ 0∀f ∈ C[a, b]
a
• 2是线性空间 是线性空间C[a,b]上的一种范数。C[a,b]关 上的一种范数。 上的一种范数 关
f ( x ) g ( x ) ρ ( x ) dx
Remark： ：
区间端点可以是无穷大，此时为广义积分。 区间端点可以是无穷大，此时为广义积分。 常简记 (•, •) ρ 为 (•, •) 没有确切指出权函数时，约定ρ(x)=1。 没有确切指出权函数时，约定 。 在理论证明和公式推导过程中, 在理论证明和公式推导过程中 如没有明确 权函数具体形式, 则表示对任意权函数均成立。 权函数具体形式 则表示对任意权函数均成立。
第三章 函数逼近
一、问题的提出
逼 f ( x) 的话， 近 的话 运用插值函数有时就要失败。 pn ( x) ，运用插值函数有时就要失败。 级数的前n+1项部分和，其 项部分和， 设 为f(x) Taylor级数的前 级数的前 项部分和 截断误差为 f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = f ( x) − pn ( x) = ( x − x0 ) n +1ξ ∈ ( x0, x)
rr r r n ( R , • ∞ )上d(u, v)= u − v
2
i =1
∞
= max ui − vi
1≤i ≤ n
∞
(C[a, b], • ∞ )上d(f,g)= f − g
(C[a, b], • 2 )上d(f,g)= f − g
2
= max f ( x) − g ( x)
a ≤ x ≤b
( f , g) =
∫
b
a
f ( x ) g ( x ) dx
满足内积的三个条件 线性空间 C[ a, b] 关于上式所规定的内积是一 内积空间。 内积空间。
2、性质 、
满足Cauchy不等式 ①内积空间上任意两元素f和g满足 内积空间上任意两元素 和 满足 不等式
f , g ) ( f , f ) ( g , g ) ( ≤
(n + 1)!
如果要求解在[a,b]区间的每一点都“很好地” 区间的每一点都“很好地” 如果要求解在 区间的每一点都
的点且误差也较小， 为了照顾到远离 的点且误差也较小，常将阶 取得很大。 数n取得很大。这样做费事、多占存贮单元。因此往 取得很大 这样做费事、多占存贮单元。 往要求在给定精度下 求形式简单的计算公式， 在给定精度下， 往要求在给定精度下，求形式简单的计算公式，使 f ( x) 这就是函数逼近要解决的问题。 其均匀地逼近 。这就是函数逼近要解决的问题。
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
2、距离 、
对于赋范线性空间 (V , • ) 上的任意两个元 素f 和g，它们之间的距离为 d ( f , g ) = f − g1 ， n rr r r ( R n , • 2 )上d(u, v)= u − v = [∑ (ui − vi ) 2 ] 2
∆ = 4( f , g ) − 4( g , g )( f , f ) ≤ 0
2
≤ 得到Cauchy不等式： f , g ) ( f , 得到 不等式： ( 不等式
f ) (g, g)
1 2
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内积空间上的任意两元素f和 满足三角不等式 ② 内积空间上的任意两元素 和g满足三角不等式 (Schwarz不等式 ： 不等式)： 不等式
四、函数逼近问题
为被逼近函数。 设 f ( x ) ∈ C [ a , b ] 为被逼近函数。 Φ为赋范线性空间 (C [ a , b ], • ) 的一个子集合 为赋范线性空间 范数 • 可以是 • ∞ 或 • 2 等。 问题： 称问题：求 ϕ * ( x) ∈ Φ 使得
x0
二、函数逼近问题
已知复杂函数 f ( x) ，或仅知道函数 f ( x) 在某些 采样点处的函数值，在某函数集合V中 采样点处的函数值，在某函数集合 中，寻找 f ( x) 最好” ϕ 的“最好”近似* ( x ) ∈ V 函数逼近问题： 函数逼近问题：对集合中给定的函数 f ( x) ， 要求在另一类较简单的便于计算的函数集合Ｖ 要求在另一类较简单的便于计算的函数集合Ｖ中， * ϕ * ( x) 与 f ( x)之差在某 求函数 ϕ ( x ) ∈ V ⊂ V ，使得 种度量意义下最小。 种度量意义下最小。
( f , f ) ≥ 0 当且仅当 f = 0 时有 ( f , f ) = 0
是线性空间V上的一种内积。 上的一种内积 则称实值函数 (•, •) 是线性空间 上的一种内积。 并称线性空间V关于实值函数 内积空间。 并称线性空间 关于实值函数 (•, •) 是内积空间。 对于线性空间 C[ a, b] , 如下定义的实值函数
b 1 2 a
= ( ∫ ( f ( x) − g ( x)) 2 dx)
Remark
d(f,0)= f − 0 = f
二、内积空间
1、定义 、
为一线性空间， 设V为一线性空间，若定义实值函数 ( •, • ) ，对 为一线性空间 任意 f , g , h ∈ V 满足 对称性) ①(对称性 ( f , g ) = ( g , f ) 对称性 线性性) ②(线性性 (r1 f + r2 h, g ) = r1 ( f , g ) + r2 (h, g ), ∀r1 , r2 ∈ R 线性性 非负性) ③(非负性 非负性
∫
b a
ρ ( x ) dx > 0
Байду номын сангаас
∫
b a
x k ρ ( x ) dx ( k = 0,1, 2, L ) 存在
为区间[a,b]的一个权函数。 的一个权函数 则称 ρ ( x ) 为区间 的一个权函数。
2、带权的内积 C[a,b]带权的内积： 带权的内积： 带权的内积
( f , g )ρ =
∫
b a
( f + g, f + g) ≤ ( f , f ) (g, g)
证明: 利用Cauchy不等式有 证明 利用 不等式有
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
a ≤ x ≤b
∞
=0⇔ f =0
∞
rf
∞
= max rf ( x) = r max f ( x) = r f
a ≤ x ≤b
f +g
a ≤ x ≤b
∞
= max f ( x) + g ( x)
a ≤ x ≤b
≤ max f ( x) + max g ( x) = f
a ≤ x ≤b
∞
+ g
∞
范数) 连续函数空间 (Euclid范数 范数
V = span{ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n }
背景：在某一函数集合中找最好的近似。 背景：在某一函数集合中找最好的近似。 最好的近似 赋范空间、内积空间、 赋范空间、内积空间、正交多项式 最佳平方逼近 曲线最小二乘拟合 最佳一致逼近（工科研究生不要求） 最佳一致逼近（工科研究生不要求）
§1 预备知识与函数逼近问题
1 2
1 2
1 2
≤ ( f , f ) + 2( f , f ) ( g , g ) + ( g , g )
= [( f , f ) + ( g , g ) ]
1 2 1 2 2
1 2
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两边开平方, 三角不等式得证。 两边开平方 三角不等式得证。
三、权函数
1、定义
定义在[a,b]上的实值函数 ρ ( x ) ，如果满足 上的实值函数 定义在 ① ρ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ② ③
一、赋范线性空间
1、定义
为定义于线性空间V上的实值函数 并满足： 上的实值函数， 设 • 为定义于线性空间 上的实值函数，并满足： 非负性) 当且仅当g=0时有 g = 0 ①(非负性 g ≥ 0 , ∀ g ∈ V 当且仅当 非负性 时有 ②(齐次性 rg = r g , ∀r ∈ R, g ∈ V 齐次性) 齐次性 三角不等式) ③(三角不等式 f + g ≤ f + g , ∀f , g ∈ V 则称 • 是 三角不等式 线性空间V上的范数。并称线性空间V为赋范线性空间， 上的范数 线性空间 上的范数。并称线性空间 为赋范线性空间， 记为 (V , • ) Remark: 子空间 V1 ⊂ V , V上的范数 • 也是 V1 上的范 上的范数 数。