1.2.4诱导公式(1)
课件6：1.2.4 诱导公式
思考
1．三角函数的诱导公式的公式一和公式二各有什么作用？ 诱导公式的公式一的作用是将任意角的三角函数求值问 题转化为 0～2π 之间角的三角函数求值问题．诱导公式 的公式二的作用是将任意负角的三角函数求值问题转化 为正角的三角函数求值问题．
(3)角 α 与 α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
解:(1)cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π ＝cosπ5＋cos25π＋cos(π－25π)＋cos(π－π5) ＝cosπ5＋cos25π－cos25π－cosπ5 ＝0.
(2)cos(56π＋α)·sin(23π－α) ＝cos[π－(π6－α)]·sin[π－(π3＋α)] ＝－cos(π6－α)·sin(π3＋α) ＝－13sin[π2－(π6－α)] ＝－13cos(π6－α)＝－19.
cosα＋k·2π＝_c_o_s_α__ sinα＋k·2π＝__si_n_α__ (公式一) tanα＋k·2π＝_t_a_n_α_
(2)角 α 与－α 的三角函数间的关系
cos－α＝__c_o_s_α__ sin－α＝_－__s_in_α__ (公式二) tan－α＝_－__ta_n_α__
知识回顾
sinα
1．sin2α＋cos2α＝__1__，tanα＝__co_s_α___. 2．同 α 终边相同的角 β 的集合为 _{_β|_β_＝__α_＋__k·_3_6_0_°__，__k∈__Z__}_____．
3．角 α 与－α 的终边关于__x_轴____对称．
知识梳理
1．诱导公式 (1)角 α 与 α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
课堂检测 1.(1)求 sin(－130π)＋cos269π 的值； (2)已知 cos(π＋α)＝－12，求 cos(2π＋α)的值．
1.2.4诱导公式
cos(π-α)=－cosα;
tan(π-α)= － tanα.
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
例．下列三角函数值： （1）cos(210º )；
(2) (3)
5 sin( ) 4
tan(2250 )
学案：例3+练习
公式三: sin (π+α)=-sinα cos (π+α)=-cosα
1.2.4 诱导公式（一）
特殊角的三角函数值，记住！
角α 角α的弧 度数 sinα 0o 30o 45o 60o 90o
0
0
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
cosα
tanα
2 1
1
0
3 2 3 3
0
1
3 不存在
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
例．下列三角函数值： （1）cos(-30º )； (2) (3)
1 sin( ) 4
tan(600 )
学案：例2+练习
公式(三):
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
公式(四):
sin(π-α)=sinα,
教材 P 27 ，练习A组第1、2题．
1.2.4 诱导公式（二）
公式(四):
sin(α+ )=cosα, 2 cos(α+ )=－sinα, 2 tan(α+ )=－cotα, 2
1.2.4诱导公式(1)
1.2.4诱导公式（一）教学目的：1．通过本节内容的教学，使学生掌握360º+α，-α，角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式一、二的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“α-”、“απ+k 2””等诱导公式，诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的α角可以是任意角，即R ∈α，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移2π个长度单位而得到的． 在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．教学过程：一、诱导公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+kααcos )360cos(=︒⋅+kααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）用弧度制可写成απαsin )2sin(=+kαπαcos )2cos(=+kαπαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为))(()2(Z ∈=+k f k f απα的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础3．运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos )3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的．公式二： αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x,sin(-α)=-y, cos(-α)=x,所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α公式二的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P ´与点P 关于原点对称，而在图2中，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．五组诱导公式可概括为：α+k ·360º（k ∈Z ），-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把α看成锐角”是指α原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指α的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明．三、讲解范例：例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），α为锐角即可．解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=22例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．解：（1）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα 分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．解例4．已知cos(π+α)=－ 21，23π<α<2π，则 nqin(2π－α)的值是（ ）． （A ）23 (B) 21 (C)－23 (D)±23 分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2π－α)化成－sin α,再用同角三角函数的平方关系即可．事实上，已知条件即cos α=21，于是sin(2π－α)=－sin α=－(－α2cos 1-)=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23 因此选A四、课堂练习：1．求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒- 答案：－2提示：原式=2sin(－30º)+sin60º－︒-︒30cos 45cos 2=－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用． 使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）（A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1答案：C选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用．使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此外还出现了如“sin(－2)”这样的学生较为陌生的三角函数值，求解时若只计算一次便获得准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．六、布置作业：1．求下列三角函数值：（1）45sin π； (2)619cos π；(3))240sin(︒-；(4))1665cos(︒- 2．化简：)4(tan )3sin()2(cos )2tan()5cos()(sin 333παπαπααπαπα-----++- 3．当45πθ=时，)()2cos()2sin(])12(sin[])12(sin[z k k k k k ∈-++---++παπθπθπθ的值是____．作业的答案与提示：1．（1）－22 （2）－23 （3）23 （4）22 2．提示：原式=αααααα333tan sin cos tan )cos (sin ⋅⋅⋅-⋅-=1 3． 22．提示：原式=θθθθcos sin sin sin --=－θcos 2 当45πθ=时，原式=－45cos 2π=22 补充题：１．求值：︒-︒-+︒1065sin )225cos(915sin ２．化简：)(cos )2tan(cos )cos()(sin 32πααπααππα--⋅++⋅-- ３．已知31)sin(=+πα，23παπ<<，则)2cos(πα--的值是_____． ４．设f (θ)=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求f (3π)的值． 补充题的答案与提示：１．-22 提示：原式=︒+︒-︒-15sin 45cos 15sin =－22 ２．sin α 提示：原式=)cos (tan cos )cos (sin 32ααααα-⋅⋅-⋅＝sin α ３．322- 提示：已知条件即31sin -=α，故 =--==-=--αααπα2sin 1cos )cos()2cos(322-４．21 提示：θθθθθθcos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-=f=θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =θθθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++ =θθθθθθcos 2cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ 七、板书设计（略）八、课后记：。
课时作业19：1.2.4 诱导公式(一)
1.2.4 诱导公式(一)一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C.－32 D.－12答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2.tan 690°的值为( )A.－33B.33C. 3D.－ 3 答案 A解析 tan 690°＝tan(360°＋330°)＝tan 330°＝tan(360°－30°)＝－tan 30°＝－33. 3.若cos(π＋α)＝－12，32π＜α＜2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角).4.化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A.1B.2sin 2αC.0D.2答案 D解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.5.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B.－1－k 2kC.k 1－k 2D.－k 1－k 2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k 2k . ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k. 6.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1 答案 A解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 7.已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( ) A.tan nα B.－tan nα C.tan α D.－tan α答案 C解析 当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α； 当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α) ＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α. 故选C.二、填空题 8.sin ⎝⎛⎭⎫－193πcos 76π＝________. 答案 34解析 sin ⎝⎛⎭⎫－193πcos 76π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. 9.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________. 答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 10.已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 b ＞a ＞c解析 ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .11.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝________.答案 1解析 ∵f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin(π＋2 019π＋α)＋b cos(π＋2 019π＋β)＝－a sin(2 019π＋α)－b cos(2 019π＋β)＝－f (2 019)，又f (2 019)＝－1，∴f (2 020)＝1.12.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝________. 答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35， ∴cos α＝35，又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π， ∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15. 三、解答题 13.若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值. 解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23. ∴α为第一象限角或第四象限角.当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52， ∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.14.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________. 答案 －2解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值. 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265. ∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12.。
原创2：1.2.4 诱导公式(一)
6
6
6
6
3
拓展提升：
求下列三角函数值：
（1）
(3)
11
cos
4
25
sin
4
17
)
（2） tan(
6
课堂练习
11
练习：求值 cos
3
11
解：
cos
3
71
sin
6
71
sin
6
19
1290点3
终边相同的角三角函数的值相同，角度那么终边互为反向延长
线呢？
他们的正弦值、余弦值、正切值有什么联系呢？
探究点3
函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一
种对应形式？
终边相同的对对应相同的三角函数，因此是一对多的对应
关系
探究点4
一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关
与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？
集合定义
探究点1
终边相同的角的同一三角函数值相等（诱导公式一）
sin( α k 2π ) sin α
cos( α k 2π ) cos α
tan( α k 2π ) tan α
其中
kz
探究点1
利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值
第一章 三角函数
§1.2.4
诱导公式(一)
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．温习各个象限中三角函数值的符号相关问题
1．
2. 学会自主推到诱导公式一
3. 运用诱导公式一解决三角函数问题
苏教版三角函数的诱导公式(一～四)
[解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°， 所以 sin(－660°)＝sin 60°＝ 23. (2)因为247π＝6π＋34π，所以 cos 274π＝cos 34π＝－ 22. (3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°) ＝2cos 60°－sin 90°＝2×12－1＝0.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)
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学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导出诱导公式一～四．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数
2.掌握诱导公式一～四，会运用诱导 学运算核心素养.
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三、诱导公式(三) 终边关于 y 轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin(π－α)＝ sin α ； cos(π－α)＝ －cos α ； tan(π－α)＝ －tan α .
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四、诱导公式(四) 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin(π＋α)＝ －sin α ； cos(π＋α)＝ －cos α ； tan(π＋α)＝ tan α .
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2．(1)sin－π3＝________；(2)cos 330°＝________； (3)tan 690°＝________.
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(1)－
3 2
3 (2) 2
(3)－
3 3
[(1)sin－π3＝－sinπ3＝－ 23.
(2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝ 23.
(2)cos34π＝cosπ－π4＝－cosπ4＝－ 22. (3)tan 1560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)
1.2.4诱导公式(1)公开课说课课件
0
【学习目标】
• 大家对0 ~ 90 的三角函数值非常熟悉. • 本大节的目的就是用 0 ~ 90 的三角函数值来求任意角 的三角函数值. 今天第一课时我们先尝试把任意角三角函数值转化 到 0 ~ 360 ，即弧度制表示转化到【0，2π】
思考： （1）sin 1 860° ＝ (2)cos(－315°)＝
• 2．关于教学评价分析 • 我们觉得本次的教学设计和学生认知水平基本吻合,学生的 参与程度较高。因为学生的基础薄弱一些，在具体的执行 中复习过程时间较长。特别是开篇复习的时候占用了10分 钟。基础性的练习较多。如果是45分钟的课堂也许效果会 更好。 • 此外，在教学过程中，我关注学生主体的发展。希望通过 小组竞赛形式进行练习和完成。积极引导学生参与到教学 过程中来，把培养学生的能力和数学思维发展放在首位 。 具体执行起来也有一定难度，学生配合度不高。 • 自我感觉本节课基本完成了教学目标，但效果没有达到自 己的心理预期，还有很多需要改进的地方，请老师们多多 指正。
二、教学设计分析
• 1、尊重教材的编写方式。 • 2、切合学生的认知水平。
三、教学过程分析
• 基于以上分析，我们确定了如下的本节课 教学路线图：
• 问题提出→公式一解决第一个问题→公式二解决 第二个问题→任意角转化为0°~360°
•
围绕这个教学路线（当然也是学生的研 究路线），我将教学分成5个环节，通过这 些环节解构教材，让学生学习数学知识， 培养数学能力，体会数学思想，积累数学 经验。
tan cos
cot
3.三角函数线
三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了 三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
1.2.4诱导公式(1)
高一数学导学案编号：教学课题 课型 主备教师 把关教师 使用教师 使用时间、班级诱导公式（一）新授课学习目标：掌握α+πk 2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明。
重点：诱导公式及诱导公式的综合运用。
难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透。
教学手段：教学过程课前预习1.角α与()Z k k ∈+πα2的三角函数间的关系()=+παk 2cos ， ()=+παk 2sin ， ()=+παk 2tan ， ()=+παk 2cot 。
2.角α与α-的三角函数间的关系()=-αcos ，()=-αsin ，()=-αtan ，()=-αcot 。
3.4. 390sin 等于（ ） A.23-B.21-C.21D.235.⎪⎭⎫⎝⎛-6cos π等于（ ）A.23-B.21-C.21D.23教学设计角α的角度制 030456090角α的弧度制αsinαcosαtan合作探究展示探究一 求下列各三角函数值： ⑴213sin π； ⑵319cos π； ⑶0405tan .引申 求下列各三角函数值： ⑴π3sin ； ⑵π5cos ； ⑶29sin π； ⑷247cos π； ⑸637tan π.探究二 求下列各三角函数值：⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin π； ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos π； ⑶⎪⎭⎫ ⎝⎛-3tan π； ⑷⎪⎭⎫ ⎝⎛-37sin π.补充深化认真听讲是学习高效的捷径！引申 求下列各三角函数值： ⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛-611sin π； ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛-317cos π； ⑶⎪⎭⎫⎝⎛-431tan π. 课堂小结 当堂练习求下列各三角函数值：⑴π18sin ； ⑵()π25cos -； ⑶⎪⎭⎫⎝⎛-313sin π； ⑷4103cosπ； ⑸⎪⎭⎫⎝⎛-417tan π； ⑹637tanπ. 学生总结积极思考 勤于动手 天才来自勤奋 ！课后巩固作业A 组：求下列各三角函数值：⑴π101sin ； ⑵π1000cos ； ⑶3331tan π； ⑷66131tan πB 组：计算 ⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛-+311cos 635sinππ； ⑵⎪⎭⎫⎝⎛-+-+49tan 23sin 30cos 22sin 5πππ.学生问题反馈教学反思落 实 是 成 功 的 保 证！。
1.2.4诱导公式
函数和余弦函数的定义得到：
sin y, cos x, tan y ;
sin(π
)
y,cos(π
)
x, tan(π
x
)
y
x
从而得到公式二:
sin(π ) sin;
cos(π ) cos;
tan(π ) tan.
形如-α的三角函数值与α的三角函
数值之间的关系:
任意角α的终边与这 个圆相交于点p(x,y），
2、填空：
（1）tan675°+tan765°－tan（－330°） +tan（－690°）____________.
（2）sin
25π 6
cos
25π 3
tan
25π 4
___________
答案：（１）０； （２）０．
3、化简
cos 180o + αgsin α + 360o sin -α -180o gcos -180o - α
y
(x, y)
p3
o
160
200 O
p1 (x, y)
sin380o sin 20o y a
20 P(x, y)sin 200o y a
20A(1,0) sin(20o) y a
p2 (x, y)
sin160o y a
利用诱导公式把任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
5、（1）-tan 2 π（2）-tan79°39′（3）-tan 5 π
5
36
（4） -tan35°28′
6、（1） - 3 （2） 2
2
2
（4）-0.7587（5） 3
（3） -0.2116 （6） -0.6475
数学三角函数诱导公式
数学三角函数诱导公式三角函数诱导公式是指通过已知的三角函数关系，推导出其他三角函数之间的关系的公式。
它们在解决三角函数相关问题时非常重要，可以简化计算，并扩展了三角函数的应用。
下面介绍常见的三角函数诱导公式。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1.1诱导公式1：根据勾股定理，我们可以得到sin^2(x) + cos^2(x) = 1从上面的公式可以推导出以下诱导公式：sin^2(x) = 1 - cos^2(x)cos^2(x) = 1 - sin^2(x)1.2诱导公式2：根据正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：sin(π/2 - x) = cos(x)cos(π/2 - x) = sin(x)1.3诱导公式3：利用双曲线法，可以得到以下诱导公式：sin(ix) = i*sinh(x)cos(ix) = cosh(x)二、正切函数的诱导公式2.1诱导公式4：利用正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)2.2诱导公式5：利用诱导公式1和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan^2(x) = 1 - cos^2(x)/sin^2(x)2.3诱导公式6：利用诱导公式2和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan(π/2 - x) = 1/tan(x)三、余切函数的诱导公式根据正切的定义，我们可以得到以下诱导公式：cot(x) = 1/tan(x)四、割函数和余割函数的诱导公式根据正弦、余弦和正切的定义sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)诱导公式的应用：1.在三角函数的计算中，利用诱导公式可以简化计算步骤，提高计算的速度和准确性。
2.在三角函数的图像分析中，利用诱导公式可以推导出其他函数的图像，帮助理解和描述函数的性质。
3.在解决三角函数相关问题中，利用诱导公式可以将问题转化为更简单的形式，从而得到更方便的解法。
综上所述，三角函数诱导公式是数学中重要的工具，它们扩展了三角函数的应用领域，帮助我们更好地理解和应用三角函数。
课件9：1.2.4 诱导公式
3．角 α 与 α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系(公式(三)) cos[α＋(2k＋1)π]＝ －cosα ； sin[α＋(2k＋1)π]＝ －sinα ； tan[a＋(2k＋1)π]＝ tanα .
4．角 α＋nπ(n∈Z)的三角函数值
sin(α＋nπ)＝－sinsαinα
当n为奇数 当n为偶数
变式训练 2-1 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴 4
重合，终边经过点 P(3，y)，且 tanα＝－3. (1)求 sinα＋cosα 的值； (2)求sin（πsi－n32απ）－α＋－2ccooss（32ππ＋＋αα ） 的值．
解：(1)因为 tanα＝3y＝－43，所以 y＝－4，则 r＝5. ∴sinα＝－45，cosα＝35， (则2)原sin式α＋＝c－osisncααo＝－ sα－－2c15so.isnαα＝－ta1n－α－tan2α＝－ －431－ ＋243＝－13130＝－10.
题型三 巧用角的变换求值
π
5π
例 3 已知 cos6－α＝m，|m|≤1，求 cos 6 ＋α，
sin23π－α的值． 【分析】 由于56π＋α＝π－6π－α，23π－α＝π2＋6π－α，故运用 π－α，
π2＋α 诱导公式可求正、余弦值．
【解】 cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cos6π－α＝－m， sin23π－α＝sinπ2＋6π－α＝cosπ6－α＝m.
答案：D
2. 1＋2sin( 2π－2) cos(2π－2) 等于( )
A．sin2＋cos2
B.cos2－sin2
C．－sin2－cos2
D.sin2－cos2
解析： 1＋2sin 2π－2 cos 2π－2
1.2.4诱导公式(第一课时)
课堂练习
课本30页 练习A组1、2、3题的前2个
公式（二）:
cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan
y P(x,y)
x O - P'( x,-y)
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。 作用：把负角的三角问题转化为正角的三角 问题
例2．下列三角函数值：
(1) sin(
作用：把0º ~360º 的三角问题转化为0º ~90º 的三 角问题
例3．下列三角函数值：
4 (1) sin( ) 3 10 (3) tan( ) 3 8 (2) cos( ) 3 (4) sin 930
4 3 解： (1)sin( ) sin( ) sin 3 3 3 2 8 1 (2) cos( ) cos(3 ) cos 3 3 3 2 10 (3) tan( ) tan(3 ) tan( ) tan 3 3 3 3 3 1 (4)sin 930 sin(30 +180 5) sin 30 2
作用：把任意角的三角问题化为 绝对值小于 0º ~360º 之间角的正弦、余弦、正切
例1．下列三角函数值：
13 (1) sin 2 19 (2) cos 3 (3) tan 405
13 解： (1) sin = sin( 6 ) sin 1 2 2 2 19 1 (2) cos cos( 6 ) cos 3 3 3 2 (3) tan 405 tan(360 45 ) tan 45 1
课堂练习：
课本27页练习A组1、2
公式(三):
cos[ (2k 1) ] cos sin[ (2k 1) ] sin tan[ (2k 1) ] tan
1.2.4三角函数的诱导公式
3.化简 (1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180 )
0 0
( sin ) cos ( sin(1800 ) ( sin ) cos (( sin ))
sin cos
2
(2) sin 3 ( ) cos(2 ) tan( ) ( sin )3 cos ( tan( ))
2 2
【复习引入】
三角函数的诱导公式:
tan(2k ) t an sin( 2 k ) sin 公式一： cos(2k ) cos tan( ) t an sin( ) sin 公式二: cos( ) cos sin( ) sin tan( ) t an 公式三: cos( ) cos si n ( ) si n t an( ) t an
0
0
0
0
0
0 0 sin( 4 360 140 ) (3) sin(1300 ) sin 1300
0
0
( sin 1400 ) sin 1400 sin(1800 400 ) sin 400
79 cos(12 7 ) 79 7 (4) cos( ) cos cos 6 6 6 6 3 cos( ) cos 6 6 2
11 16 1cos 225 ; 2sin ; 3sin( ); 4 cos 2040 0 3 3
16 16 3 3sin( ) sin sin(5 ) sin 3 3 3 3 2
sin cos ( tan ) sin cos tan
1.2.4诱导公式(一)
课题：1.2.4 诱导公式（一）教案教学目标掌握三角函数的诱导公式，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学重、难点分析重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学方法：启发诱导，合作探究，多媒体。
课时：1课时 教学过程 一、导入新课【问题引入】角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？ 二、新授内容1.由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。
即有：sin(α+k·360°) = sinα， cos(α+k·360°) = cosα， tan(α+k·360°) = tan α。
(k ∈Z ) 这组公式用弧度制可以表示成 sin(α+2k π) = sin α，cos(α+2k π) = cos α， (k ∈Z ) (公式一)tan(α+2k π) = ta nα。
诱导公式（一）的作用：把把绝对值大于360º的任意角的正弦、余弦、正切的三角函数问题转化为绝对值小于360º角的正弦、余弦、正切三角函数问题，其方法是先在绝对值小于角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果2．在单位圆中画出α角与－α角，观察出角的终边关于x 轴对称，结合三角函数定义可得到 公式（二）:αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）它说明角-α与角α若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ´(x ，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin α=y ， cos α=x,sin(-α)=-y, cos(-α)=x,所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α公式二的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称性质．事实上，在图1，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．3.在单位圆中画出α角与π＋α角，观察其位置关系，在结合公式（一）得到公式（三）-y)[]απαcos 2(cos -=++1)k[]απαsin 2(sin -=++1)k 公式(三) []απαtan 2(tan =++1)k由公式（一）可以看出，角α和α加上π偶数倍的所有三角函数值相等。
1.2.4诱导公式
( + )
k为偶数
cos
k为奇数
-cos
( + )
sin
-sin
( + )
tan
tan
2. 诱导公式可以实现“化大为小，化负为正"，将任意角三角函数值问题化为
0到 之间的角的三角函数求值问题。
2
自我探索： 从角终边的对称性出发，我们还需要研究角终边的哪种对称性？
−14
)
3
(4)tan(
3
cos(2 + )=cos sin(2 + )=sin tan(2 + )=tan
例1 求下列各角的三角函数值
13
（1）sin
2
1
19
(2)cos
3
1
2
(3)tan4050
1
关于x轴对称
问题2 思考角α与-α的终边有什么样的位置关系？
利用p’点坐标研究角α与-α三角函数值，说出它们的联系？
P（cos,sin)
终边
诱导公式（二）角α与-α三角函数间的关系
cos(-α)=cosα sin(-α)=-sinα tan(-α)=-tanα
O
P’
(cos(−), sin(-)）
例2 求下列各角的三角函数值
6
4
（1）sin（- ） (2)cos（- ）
−
1
2
2
2
−终边
3
(3)tan（- ） (4)tan（- 3
可知p点的坐标为 p(______,______)
（3）特殊角三角函数值：
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普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]
第一章 基本初等函数（II ）
1.2.4诱导公式
（第一课时）
教学目标：
通过本节内容的教学，使学生掌握απ±k 2，απ±角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路
教学重点：掌握απ±k 2，απ±角的正弦、余弦、正切的诱导公式 教学过程
一、复习引入：
1．三角函数的定义
2．απ-角的终边与α角的终边关于y 轴对称；απ+角的终边与α角的终边关于原点对称；α，απ-2角的终边与α角的终边关于x 轴对称.
二、讲解新课：
1.诱导公式一: απαsin )2sin(=+k
απαcos )2cos(=+k
απαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切.运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos )3603cos(π
π
=︒⋅+k 是不对的
公式二：ααπ-sin sin(=+）
ααπ-cos cos(
=+） ααπtan tan(=+）
公式三： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-）
ααtan tan(-=-）
公式四：
ααπsin sin(=-）
ααπ-cos cos(
=-）
ααπtan tan(-=-）
1、 例子：
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin
45π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3
4π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 例3．化简 )
180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα 例4．已知cos(π+α)=－ 2
1，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． （A ）23 (B) 21 (C)－23 (D)±2
3
小结：本节课我们学习了απ±k 2，απ±角的正弦、余弦、正切的诱导公式
课堂练习：第28页练习A 、B
课后作业：第35页习题1-2A ：10。