第三讲 直线和圆的位置关系

知识回顾

⑴圆的标准方程：()()22

2x a y b r -+-=。 ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，

直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。

练习

（1）已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为_______________

(2) 已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为________________

(3) (2010·南京调研)对于a ∈R ，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为________________

（4）已知集合A ＝{}(x ，y )|y －3x ≤0，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是____________________

例题 求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．

知识回顾

⑴圆的标准方程：()()22

2x a y b r -+-=。 ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，

直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。

练习

已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )

A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1

解析：∵圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，

∴圆C 1是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆．

又∵点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(2，－2)，

∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，故选B.

答案：B

3．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )

A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2

解析：本题考查了直线与圆的位置关系和求解圆的方程问题．因为两条直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行，故它们之间的距离为圆的直径，即2r ＝42

，所以r ＝ 2. 设圆心坐标为P (a ，－a )，则满足点P 到两条切线的距离都等于半径，所以2|a |2＝|2a －4|2

＝2，解得a ＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故选B.

5．(2010·潍坊模拟)对于a ∈R ，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( )

A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0

B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0

C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0

D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0

解析：直线方程可化为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.

答案：C

6．已知集合A ＝{}(x ，y )|y －3x ≤0，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞)

B ．(－∞，－2]

C ．[－2,2]

D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析：只有当圆心(0，a )到直线y ＝3x 的距离d ≥r ＝1且在y ＝3x 右下方，方能使A

∩B ＝B ，即|a |2

≥1，即a ≥2或a ≤－2，又点(0，a )需在y ＝3x 右下方，所以a ≤－2. 答案：B

11．求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．

(1)过原点；(2)有最小面积．

分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题．

解：(1)设所求圆的方程为

x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，

即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0.

①

∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14

. 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174

y ＝0. (2)解法一：当半径最小时，圆面积也最小，对方程①左边配方，得 []x ＋(1＋λ)2＋⎝⎛⎭

⎫y ＋λ－422 ＝54⎝⎛⎭⎫λ－852＋45≥45

. ∴当λ＝85

时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝45.