Topic 20 Correlation and copulas
Copula函数的选择及其在金融分析中的若干应用
摘 要Copula理论是一种基于联合分布的建模方法，最大的优点就是把边缘分布和相关结构分离开，它的提出为解决多元联合分布的构建以及变量间的非线性相关性问题提供了一个灵活实用的方法，人们将其广泛的用于金融领域，应用于投资组合、资产定价等方面，对金融数据相关性进行建模、分析有着非常重要的意义和作用。
本文主要讨论了Copula理论在金融领域的应用，分析了基于Copula理论的多金融资产的投资组合优化及风险度量的问题。
主要工作如下：首先介绍Copula函数的相关概念和性质，目前国内外Copula理论研究的进展情况，本文的研究思路、方法及相关应用。
传统的金融数据分析是基于正态分布的假设，但正态假设有其局限性，往往不能满足，本文打破传统的基于正态分布的假设，讨论了Copula理论和Monte Carlo模拟在风险VaR估计中的应用，并选用股票数据实例分析了基于Archimedean Copula的风险VaR估计，结果表明此方法是有效的，而传统的VaR计算方法低估了风险。
并进一步将此方法推广到多维资产的情形，说明与单支股票风险均值相比采用此方法确定的投资组合降低了金融风险。
文章为了进一步提高模型构造的有效性，提出了一种基于Bayes理论的混合Copula构造方法，把多个Copula函数所具有的优点融合到一个混合函数中，通过调整各个函数的权重系数来调整函数尾部相关性强弱，比单个Copula相关结构更为灵活。
另外，将Bootstrap方法引入到Copula中的参数估计中，实例表明采用Bootstrap 方法对参数的估计与实际值比较接近，为我们提供了解决问题的另一种有效的思路。
最后，对本文进行了总结，并对一些本文中可以继续探讨研究的方向进行了进一步的前景展望。
关键词：Copula函数；VaR估计；Bootstrap方法；投资组合Selection of Copulas and its Application on FinanceAbstractCopula functions which based on joint distribution provide a flexible and useful statistic tool to construct multivariate joint distribution and solve the nonlinear correlation problem. One of its advantages is the dependence structure of variables no longer depending on the marginal distributions. Copula theory has gained increasing attention in asset pricing, risk management, portfolio management and other applications. In detail, my research is as follows:We first introduce the ideas of copula theory and several copula functions which belong to Archimedean families. Then we discuss the use of Archimedean Copula in VaR and CVaR calculation without the traditional multidimensional normal distribution assumption in financial risk management. Our empirical analysis which based on stock market data uses Monte Carlo simulation method and the results show that the VaR calculated by copula method is larger than traditional method. It means that traditional method underestimated the risk of stock market, and the Monte Carlo simulation based on Copula is effective for financial Market. Then, this method is extended to the multidimensional case, to show that the VaR of proper portfolio is lower than means of risk with single stock.In order to improve the validation of model construction, we introduce a simple Bayesian method to choose the “best” copula which is a mixture of several different copulas. By estimating parameters of each chosen copula and adjusting their weight coefficients in the mixed copula, the model has all the advantages of the chosen copulas and has more flexibility because different weight coefficient combinations describe different asset correlations. In addition, we introduce Bootstrap method to estimate the parameters of Archimedean Copula. The real analysis also shows the estimated parameter by Bootstrap method gets closer to actual value. So it is another efficient way to solve our problems.At last, we make a summary of the whole paper, and look into the future of some aspects that could be discussed in the coming days.Key Words：Copulas; VaR estimation; Bootstrap method; portfolio目录摘 要 (1)Abstract (III)第一章 绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 论文组织结构 (3)第二章 Copula选择及检验 (4)2.1 Copula函数的基本概念 (4)2.1.1 Copula函数定义及性质 (4)2.1.2 阿基米德Copula (5)2.1.3 相关性度量 (6)2.2 常用的二元Archimedean Copula函数与相关性分析 (8)2.2.1 Gumbel Copula函数 (8)2.2.2 Clayton Copula函数 (9)2.2.3 Frank Copula函数 (10)2.3 Copula模型参数估计 (11)2.3.1 Genest and Rivest的非参数估计法 (11)2.3.2 极大似然估计法（The Maximum Likelihood Method） (12)2.3.3 边缘分布函数推断法（The method of Inference of Functionsfor Margins） (13)2.3.4 典型极大似然法（The Canonical Maximum Likelihood Method） (13)2.4 Copula的检验 (13)2.4.1 Klugman-Parsa法则 (13)2.4.2 Copula分布函数检验法则 (14)2.4.3 非参数检验法则 (14)第三章 基于Copula的VaR分析计算 (15)3.1 VaR的基本概念 (15)3.1.1 VaR的定义 (15)3.1.2 VaR的计算要素 (16)3.2 基于Copula的投资组合VaR的计算 (16)3.2.1 Copula-VaR的解析方法 (16)3.2.2 用Copula变换相关系数的VaR分析方法 (17)3.2.3 基于Copula的蒙特卡洛模拟法 (18)3.2.4 实证分析 (19)3.3 基于三维Copula的VaR计算 (25)3.3.1 多元阿基米德Copula的构造 (25)3.3.2 基于Copula的Monte Carlo模拟法 (26)3.3.3 实证分析 (27)第四章 混合Copula的构造与Bootstrap方法的应用 (30)4.1 混合Copula的构造与应用 (30)4.1.1 基于Bayes理论的混合Copula构造 (30)4.1.2 实证分析 (32)4.2 Bootstrap方法的应用 (35)4.2.1 Bootstrap基本原理 (35)4.2.2 Bootstrap估计Copula参数 (36)第五章 结论与展望 (38)5.1 结论 (38)5.2 展望 (38)参考文献 (39)在校期间研究成果 (42)致 谢 (43)附录 数据 (44)附录 程序 (50)第一章 绪论1.1 研究背景与意义当今金融市场的发展达到了空前的规模，国际化、自由化、证券化、金融创新得到了飞速发展，但其不稳定因素也随之增加，脆弱性体现了出来。
Copula理论及其在金融分析中的应用研究共3篇
Copula理论及其在金融分析中的应用研究共3篇Copula理论及其在金融分析中的应用研究1Copula理论及其在金融分析中的应用研究Copula理论是一种用于描述多维随机变量之间依赖关系的数学工具。
如今，Copula理论已经成为金融工程领域中不可或缺的工具，由于金融市场的非线性、非对称性和异质性，传统的统计方法不能有效地解决金融问题，而Copula理论在解决金融问题方面的表现得到了广泛认可。
本文将介绍Copula理论的基本原理、Copula函数的类型以及其在金融分析中的应用研究。
一、Copula理论的基本原理Copula理论来源于统计学领域，它可以用来描述多维随机变量之间的相互关系，其中一个重要的应用就是对金融市场中的多维相关进行建模和预测。
Copula理论的核心是Copula函数。
Copula函数可以描述多个随机变量之间的依赖关系，它不仅可以提供相关系数（Pearson相关系数）以及协方差矩阵的信息，而且还可以捕捉多维依赖的非线性和异方性特点，并且避免了传统Pearson相关系数的局限性。
在Copula理论中，随机变量的边缘分布和Copula函数之间是相对独立的，也就是说，Copula函数只考虑变量之间的依赖关系，而不涉及其边缘分布的性质。
二、Copula函数的类型Copula函数有多种类型，其中常用的有以下几种：1.高维正交Copula函数这种函数可以用于高维随机变量的计算和预测，它的参数较少，能够处理非常大的维度和复杂的相互关系。
2.高维Epanechnikov Copula函数这种函数适合用于处理变量的边缘分布不一致的情况，能够解决非线性关系、长尾效应等一些问题。
3.高维t-分布Copula函数这种函数可以用于处理金融市场中的极端事件，即尾部厚的情况，它更能够刻画金融市场的风险。
三、Copula理论在金融分析中的应用研究Copula理论在金融工程领域中具有广泛的应用，以下是其最常见的应用：1.风险度量Copula理论是计算不同组合投资的风险的重要手段。
4.correlaton and regression.pptexpected values
12
Calculate formula of correlation coefficient
In order caculate r ,you must get the values for the following: 2 ∑ y ∑xy ; ∑x ; ∑y; ∑ x2 ;
13
2.2 Example
3
1.2 scattergraphs
•
This scattergraph suggests that there is some correction between one variable and another variable so that as one variable rises, another variable tend to rise as well.
6
1.3.2 partial correlation
y × ×
y
× ××
×
× × ×× ×× x x
From above graph,although there are not extract linear relationship. But a value of y tend to change with value of x,positively or negatively
20
y n b x xy x b x
b= n x2 -
2
n xy- x y
x
2
a=
y-b x n
21
5.The reliability of regression analysis forecasts
• Fast forward: • As with all forecasting techniques,the results from regression analysis will not be wholly reliable,there are a number of factors which affect the reliability of forecasts made using regression analysis.
财务风险管理Ch11
14
One-Factor Model continued
If Ui have standard normal distributions we can set
U i ai F 1 ai2 Z i
where the common factor F and the idiosyncratic component Zi have independent standard normal distributions Correlation between Ui and Uj is ai aj
V2 Mapping to U2
V2 0.2 0.4 0.6 0.8
Percentile 8 32 68 92
U2 −1.41 −0.47 0.47 1.41
20
Example of Calculation of Joint Cumulative Distribution
Probability that V1 and V2 are both less than 0.2 is the probability that U1 < −0.84 and U2 < −1.41 When copula correlation is 0.5 this is M( −0.84, −1.41, 0.5) = 0.043 where M is the cumulative distribution function for the bivariate normal distribution
1 w 1 1
.
10
V1 and V2 Bivariate Normal
Conditional on the value of V1, V2 is normal with mean
金融风险管理相关系数和Copula函数
3
独立性
如果两个变量V1、 V2，其中任意一个变量的
信息不会影响另一个变量的分布，那么这 两个变量就是独立的，即
f (V2 V1 x) f (V2 )
其中， f(.)代表变量的概率密度函数
4
独立性不等同于不相关
假设 V1 = –1, 0, 或者 +1 (等可能性的)
)2
21 2 1 2
Cov(V1,V2
)
21
1
2
1
2
V2
|V1 v1
~
N 2
2
v1 1 1
,
2
1 2 2
12
多元正态分布
处理上相对简便 方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差
和相关系数 为了满足内部一致性的条件，方差-协方
差矩阵必须是半正定的
13
基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样
Ui ai F 1 ai2 Zi
共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分 布且相互独立
变量Ui 和Uj 的相关系数是aiaj
F和Zi也可以假设服从其他分布
27
信贷违约相关系数
两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡 量这两个公司同时违约的倾向
在风险管理上，违约相关系数对于分析信 贷风险多样化是非常重要的
在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正 态分布的随机样本
间接构造随机数
12
(1)一元标准正态分布随机数： Ri 6, Ri ~ [0,1] i 1
(2)二元标准正态分布：1 z1及 2 z1 z2 1 2
其中z1, z2是相互独立的标准正态分布 (3)多元标准正态分布：
Copula理论及其在金融分析中的应用研究
二、Copula方法与金融市场风险管理
以信用违约掉期（CDS）为例，投资者可以使用Copula方法来评估不同信用 等级之间的相关性以及信用事件的可能性。基于这些信息，投资者可以制定出更 为精确的风险控制策略，如分散投资、设置止损点等。在实际应用中，投资者还 需要考虑市场环境、政策变化等因素，以不断优化投资策略。
一、Copula方法与投资组合构建
一、Copula方法与投资组合构建
投资组合构建是投资者在特定风险水平下追求最高收益的过程。Copula方法 通过全面考量各个资产之间的相关性，为投资者提供了一种有效的资产配置方式。
一、Copula方法与投资组合构建
首先，Copula方法能够根据历史数据估计出资产之间的相关性矩阵。在这个 过程中，Copula函数起着关键作用，它可以描述变量之间的依赖关系。通过选择 适当的Copula函数，投资者可以更好地理解资产之间的相关程度。
一、Copula方法与投资组合构建
其次，使用Copula方法可以构建多元化的投资组合。基于Copula函数，投资 者可以计算出不同资产组合的预期收益和风险水平。这使得投资者能够在保证收 益的同时，有效地分散投资风险。
一、Copula方法与投资组合构建
以Gaussian Copula为例，投资者可以根据资产的历史数据计算出相关系数 矩阵。然后，通过优化算法，找到能够最大化收益并最小化风险的资产组合。在 实际应用中，投资者还需要考虑交易成本、税收等因素，以制定更为全面的投资 策略。
内容摘要
在结果与讨论中，我们将对Copula方法在金融风险管理中的应用进行客观描 述和解释，并对结果进行可行性分析。首先，我们发现不同Copula模型在拟合不 同类型风险数据时具有不同的优劣。例如，Gaussian Copula模型在拟合信用风 险数据方面表现较好，而t-Copula模型在拟合市场风险数据方面更具优势。此外， 我们还发现不同风险的Copula模型在估计参数时存在一定的不确定性。这要求我 们在实际应用中需谨慎处理参数估计的不确定性。
t-copula函数的参数 相关系数矩阵
t-copula函数的参数随着数据分析和金融工程领域的发展，copula函数作为一种重要的概率密度函数已经被广泛应用。
其中，在金融领域，t-copula函数是一种常用的copula函数，它在描述金融资产之间的相关性和联动性时具有重要的作用。
在使用t-copula函数进行建模时，需要正确地设置参数，以获得有效的模型拟合和合理的结果。
本文将对t-copula函数的参数进行详细介绍和分析。
1. 自由度参数（degrees of freedom）自由度参数是t-copula函数的一个重要参数，它决定了t分布的尾部厚度和形状。
在copula函数中，自由度参数可以用来描述变量之间相关性的程度。
通常情况下，自由度参数越大，表示数据之间的相关性越强；而自由度参数越小，表示变量之间的相关性越弱。
在使用t-copula函数时，需要合理设置自由度参数，以反映数据之间真实的相关性情况。
2. 相关系数矩阵（correlation matrix）相关系数矩阵是t-copula函数参数设置中的另一个关键因素。
相关系数矩阵用来描述数据之间的线性相关性程度，是描述多维随机变量之间相关性的重要工具。
在t-copula函数中，相关系数矩阵被用来构建联合分布函数，从而描述变量之间的相关性。
通过调整相关系数矩阵，可以有效地控制变量之间的相关性强度和方向，从而得到合理的模型拟合结果。
3. 边缘分布函数（marginal distribution function）在使用t-copula函数时，还需要考虑边缘分布函数的选择。
边缘分布函数用来描述单个随机变量的分布特征，对于多维随机变量来说，选择合适的边缘分布函数可以有效地影响copula函数的拟合效果。
通常情况下，常见的边缘分布函数包括正态分布、t分布、偏态分布等。
在实际应用中，需要根据数据的特点和实际需求选择合适的边缘分布函数，以获得准确的模型拟合结果。
t-copula函数的参数设置对于建模和分析多维随机变量之间的相关性具有重要意义。
correlation 标准流程
correlation 标准流程英文回答：Correlation.Correlation is a statistical measure that expresses the extent to which two variables are linearly related. It is a value between -1 and 1, where -1 indicates a perfect negative correlation, 0 indicates no correlation, and 1 indicates a perfect positive correlation.The correlation coefficient is calculated by dividing the covariance of the two variables by the product of their standard deviations. The covariance is a measure of how much the two variables vary together, and the standard deviation is a measure of how much each variable varies on its own.Correlation is a useful tool for understanding the relationship between two variables. It can be used toidentify trends, make predictions, and test hypotheses. However, it is important to note that correlation does not imply causation. Just because two variables are correlated does not mean that one causes the other.Types of Correlation.There are three main types of correlation:Positive correlation: This type of correlation occurs when two variables increase or decrease together. For example, the number of hours you study for a test and your score on the test are positively correlated.Negative correlation: This type of correlation occurs when one variable increases and the other variable decreases. For example, the amount of money you spend ongas and your car's gas mileage are negatively correlated.No correlation: This type of correlation occurs when there is no relationship between two variables. For example, the number of times you flip a coin and the number of headsyou get are not correlated.Strength of Correlation.The strength of a correlation is determined by the absolute value of the correlation coefficient. The closer the correlation coefficient is to 1 or -1, the stronger the correlation. A correlation coefficient of 0 indicates that there is no correlation between the two variables.Significance of Correlation.The significance of a correlation is determined by the p-value. The p-value is the probability of obtaining a correlation coefficient as large as or larger than the one that was observed, assuming that there is no correlation between the two variables. A p-value less than 0.05 is considered to be statistically significant.Correlation Analysis.Correlation analysis is a statistical technique that isused to identify and measure the relationship between two or more variables. Correlation analysis can be used to:Identify trends.Make predictions.Test hypotheses.Control for confounding variables.Correlation analysis is a valuable tool for understanding the relationships between variables. However, it is important to note that correlation does not imply causation.中文回答：相关性。
第六讲相关性与Copula函数
U2 −1.41 −0.47 0.47 1.41
例：计算联合概率分布 V1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 < −0.84 和 U2 < −1.41 的概率
当Copula相关系数等于0.5时 M（−0.84, −1.41, 0.5）= 0.043
M是二元正态分布的累积分布函变量的信息（观测值）不会影响另 一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立
精确地讲，变量V1 和 V2 在统计上被定义为相互独立，如果对 于所有的x，下列等式成立
f (V2 V1 x) f (V2 )
f (﹒)代表变量的概率密度函数
独立性并不等同于零相关 假定变量 V1 的值有三种均等的可能：–1，0，或 +1 如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1 如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0 可以清楚地看到 V1 和 V2 有某种关联性，但它们的相关系数为0
N 1 Q(T ) F Prob(Ti T F ) N 1
对应一个期限为T，置信水平为X的投资组合，违约率的最坏情 况为
N 1[Q(T )] N 1 ( X ) WCDR(T, X) N 1
covn xn1 yn1 covn1
协方差的一致性条件 方差-协方差矩阵Ω满足内部一致性条件的不等式为：对于所有 的向量w，满足
w w 0
T
二元正态分布
假定两个变量V1 和 V2 服从二元正态分布，假定变量变量V1 的 某个观察值为v1，V2 在V1 = v1条件下为正态分布，期望值为
correlation- analysis and validation process
correlation- analysis and validation process1. 引言1.1 概述在各个领域中，相关性分析和验证过程是非常重要的研究方法。
相关性分析帮助我们了解和评估两个或多个变量之间的关系，而验证过程则用于检验并确认这些关系的有效性和可靠性。
无论是在科学研究、市场调查还是工程设计中，正确地进行相关性分析和验证过程对于推动知识的发展以及决策的制定具有重要意义。
1.2 文章结构本文将按照以下结构组织讨论相关性分析和验证过程的内容：第一部分是引言部分，提供文章背景以及本文的目标和意义。
第二部分是正文部分，将介绍有关相关性分析和验证过程的一般概念，并探讨其理论基础和应用领域。
第三部分是关于相关性分析流程的详细讨论。
将阐述数据收集与准备的重要性，并提供选择合适的相关性分析方法的指导原则。
我们还将深入探讨如何解释和评估相应结果。
第四部分是有关验证过程的内容。
将说明如何选择样本并进行数据处理，同时定义合适的验证指标与设计实施验证实验。
最后，我们将分析和总结验证结果。
最后一部分是结论部分，总结本文的发现和观点，并对相关性分析和验证方法进行评价和展望。
1.3 目的本文旨在提供读者对相关性分析和验证过程的充分理解，并为实际应用中的研究人员和决策者提供有用的指导原则。
通过详细介绍相关性分析流程和验证过程的步骤与方法，希望能帮助读者准确地进行数据分析、评估变量之间的关系，并有效地验证相关研究结果。
2. 正文在本文中，将介绍以"correlation-analysis and validation process"为主题的相关性分析和验证过程。
我们将探讨相关性分析的基本概念和步骤，并介绍验证过程的关键要素。
相关性分析是一种统计方法，用于测量两个或多个变量之间的关系。
通过了解变量之间的相关性，我们可以确定它们是否具有相互依赖或影响，并可能了解它们之间的强度和方向。
在进行相关性分析之前，首先需要进行数据收集和准备。
第10章 相关系数与Copula函数
4/72 4/20
相关系数及关联性
如果变量V1 和 V2 任意一个变量的信息不影响另一个变量 的分布，那么在统计上它们被定义为独立。即
f (V2 V1 x) f (V2 )
其中 f(.)表示变量的概率密度函数。
两个变量的相关系数为零，是否一定不相关？ 举例说明
5/20
相关性的类型
10.1 相关系数
变量V1 及V2的相关系数定义为
E (V1V2 ) E (V1 ) E (V2 ) SD(V1 )SD(V2 )
变量V1 及V2的协方差定义为
cov E(V1V2 ) E(V1 ) E(V2 )
虽然直觉上更容易理解相关系数，但是协方差才是真正需要分析的变 量。正如在EWMA及GARCH模型中，波动率更容易被人理解，但是 方差才是真正的基础变量。
2 U i ai1F1 ai 2 F2 aiM FM 1 ai2 ai22 aiM Zi 1
12/72 12/20
10.4 Gauss Copula 函数
已知两个相互关联的变量V1 及 V2的边际分布的估计，如何决定变量 间的联合分布呢？
当变量V1 及 V2的边际分布为正态分布时，一种方便的做法（不是唯 一）是假设变量V1 及 V2服从二元正态分布。 若变量V1 及 V2的边际分布不为正态分布，也可以做类似假设。将变 量V1 及 V2按分位数对应的原则映射到变量U1 及 U2，变量U1 及 U2服 从二元联合正态分布。
w w 0
T
为什么？一定满足吗？
w (1,1,1)
0 1 0.9
9/72 9/20
T
1 0 0.9
0.9 0.9 1
利用Copula理论检验英国市场间的相依结构
利用Copula理论检验英国市场间的相依结构摘要：copula技术可以弥补传统相关技术在研究尾部特性的不足，可以很好地刻画金融市场间相依结构。
本文利用常见的阿基米德函数建立了copula-garch-t模型研究英国股市、债市与汇市之间的尾部相关特性。
实证结果表明，股市与债市间存在着frank型的尾部对称负相关，而债市与汇市间存在着clayton型的下尾正相关，也存在frank型的尾部对称负相关。
关键词：copula理论金融市场相关性英国市场相关程度相关模式随着金融市场持续地发展，金融子市场间、金融资产间的关系变得越来越复杂，并且呈现出一种非线性的、非对称的、和尾部相关的特性。
传统的相关性研究已无法适应这样的复杂形式，而copula 则有着显著的优点。
本文旨在利用copula理论研究英国股市、债市和外汇市场间的尾部相关结构。
copula理论由sklar在1959年提出的sklar定理作为基础而发展起来的，skar定理不关心变量的实际分布，通过理论证明了两个变量在值域的联合分布可通过一个copula函数的转变完全由它们的概率积分函数在[0，1]区间的联合分布表示，所以copula理论不关心变量的实际分布，只关心其边缘分布函数。
copula函数的性质独特，可将整个实平面的分布函数转化为区域的概率积分分布函数。
sklar定理则是copula理论的精髓，它的证明完成了从实平面的分布函数向[0，1]区间的联合分布的转化，转变成为连接函数。
利用copula理论建模有整体上分两步，第一步是建立可以刻画变量分布的边缘分布函数，第二步是建立合适的copula函数完整地拟合出变量之间的相关关系。
实事上，nelsen（1999）通过研究边缘密度函数，提出了nelsen定理，发现不同的联合分布函数可同时从不同的copula函数和不同的边缘分布函数来构造。
学术上为单一时间序列的变量建立边缘分布的方法比较成熟，有ar、ma、arma、garch、波动模型等，通过对比学者在copula实证应用中各个模型的效果发现，garch模型是应用于copula理论描述边缘分布的最好方法，并在实证中得到了普遍应用。
Copula系列(一)-什么是Copula函数
最近在学习过程中学习了Copula函数，在看了一些资料的基础上总结成了本文，希望对后面了解该知识的同学有所帮助。
本文读者要已知概率分布，边缘分布，联合概率分布这几个概率论概念。
我们为什么要引入Copula函数？当边缘分布（marginal probability distribution）不同的随机变量（random variable），互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。
此时，在已知多个已知边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。
什么是Copula函数？copula这个单词来自于拉丁语，意思是“连接”。
最早是由Sklar在1959年提出的，即Sklar定理：以二元为例，若 H(x,y) 是一个具有连续边缘分布的F(x) 与 G(y) 的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数 C ，使得H(x,y)=C(F(x),G(y)) 。
反之，如果 C 是一个copula函数，而 F 和 G 是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的 H 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F 和 G 。
Sklars theorem : Any multivariate joint distribution can be written in terms of univariate marginal distribution functions and a copula which describes the dependence structure between the twovariable.Sklar认为，对于N个随机变量的联合分布，可以将其分解为这N个变量各自的边缘分布和一个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离开来。
其中，随机变量各自的随机性由边缘分布进行描述，随机变量之间的耦合特性由Copula函数进行描述。
风险管理-Correlations and Copulas
Example
The variance covariance matrix
1 0 0.9 0 1 0.9 0.9 0.9 1
is not internally consistent
Factor Models (page 251-252)
When there are N variables, Vi (i = 1, 2, … N), in a multivariate normal distribution there are N(N − 1)/2 correlations We can reduce the number of correlation parameters that have to be estimated with a factor model
EWMA:
covn covn1 (1 ) xn1 yn1
GARCH(1,1)
covn xn1 yn1 covn1
Positive Finite Definite Condition
A variance-covariance matrix, , is internally consistent if the positive semidefinite condition wTw ≥ 0 holds for all vectors w
The covariance is E(V1V2) − E(V1 )E(V2)
Independence
V1 and V2 are independent if the knowledge of one does not affect the probability distribution for the other
Copula理论在金融上的应用——相关性分析和VaR估计
个能很好的描述边缘分布的相关结构的Ｃｏｐｕｌａ函数。ＧＡＲＣＨ类模型能很好的描 述金融时间序列的分布和波动特性，因此可以用来刻画边缘分布。对于描述金融 序列间相关结构的Ｃｏｐｕｌａ可从多种Ｃｏｐｕｌａｑａ选取，然后选择最优的Ｃｏｐｕｌａｉ垂ｌ数。
Ｙ １０８９ｔＺ７
分类号：
密级
辩矢
蒿究 ¨～ 害论
论文题目（中文）￡壁ｐ世ａ堡诠查金融上鳇厘崩
二二捣差：睦佥圭匠塑№基值ｉ土
论文题目（外文）堡纯Ｑ！ｉ盟鱼Ｑ堕煎鱼趟垦ｉ壁毯旦璺塾盟
巫．堑—— 二＝二Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ＶａＲ．
研究生姓名
学科、专业
２
第ｌ章绪言 ３、分析了时变相关的正态Ｃｏｐｕｌａ和ＢＢ７ Ｃｏｐｕｌａ，并用正态Ｃｏｐｕｌａ作实证分析；讨
论 ４个、了Ｃ０用如ｐ何ｕＣｌｏ建积ｐ立ｕｆｌ类Ｖａａ理似Ｒ作Ｃ论ｏｐ估和ｕｌ计ａ蒙的，特时得变卡相 出罗关结方性论．法：对正资确产的组边合际的分喇布行是了螂分计析的，关用键多，
而Ｃｏｐｕｈ的选择不是很重要。 本文的主要内容安捧如下：第二章对Ｃｏｐｕｌａ和条＇［｝：Ｃｏｐｕｌａ的定义、性质、
ｔｈｅ ｏｕｔ－ｏｆ－ｓａｍｐｌｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ ｏｆｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｍ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ，ｕｓｉｎｇ ｖａｒｉｏｕｓ ｂａｃｋ—ｌｅｓｔｉｎｇ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．Ｔｈｅ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｃｏｒｒｅｃｔ ｍａｒｇｉｎａｌｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｉｓ ａｂｓｏ—
ｉｎ ｔｈｅ ａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉＯｉｌ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｓｅｒｉｅｓ．Ｔｈｅ
第11章相关性与Copula函数教材课程
38,75
-0,29
...
...
...
当V1 < 0.1时， 对应于累积概率 为底为0.1高为1的三边形面积.
因此等于0.05 (= ½ ×0,1 ×1), 也就是 5%.
V1=0.1的值被映射到标准正态分 布5%的分位数，其值为–1,64.
以此类推.
Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright © John C. Hull 2009
10.8
半正定矩阵
方差协方差矩阵 Ω 满足内部一致性条件，如果此 矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w, 以下 不等式成立 wTΩw 0
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10.20
其他Copula函数
高斯Copula函数只是定义了V1及V2 相关结构的某 一种形式，还有许多其他Copula函数可以 用于描 述相关结构.
其中一种Copula函数被称为Student t-copula 函数. 这种Student t-copula函数同髙斯Copula函数类似，
其不同之处只是U1 和 U2被假定为服从二元学生 t 分布.
以此类推.
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10.19
例
V1
0,1
0,2
0,3
0,4
V2 0,5
0,6
风险管理英文课件 (11)
Gaussian Copula Models
Creating a correlation structure for variables that are not normally distributed
l Suppose we wish to define a correlation structure between two variables, V1 and V2, that do not have normal distributions
l When there are N variables, Vi (i = 1, 2, … N), in a multivariate normal distribution there are N(N − 1)/2 correlations
l We can reduce the number of correlation parameters that have to be estimated with a factor model
l U1 and U2 are assumed to have a bivariate normal distribution.
The Correlation Structure Between the V’s Is Defined by That Between the U’s
-0.2
0
0.2
0.4
5,000 Random Samples from the Bivariate Normal (Correlation = 0.5) (Figure 11.4, page 257)
5
4
3
2
1
0
–5 –4 –3 -2
-1
Copula理论简介
第32页，共32页。
◆Kendall秩相关系
数τ
4 1 1Cu, vdCu, v1 00
◆Spearman秩相关系 12 1 1uvdCu, v 3 12 1 1Cu, vduv 3
数ρ
00
00
◆Gini关联系数γ 2 1 1 u v 1 u v dCu, v 00
◆上尾相关系数
i 1
ri si
◆Gini系数可以扩展到无限样本的情形，并有相应的Copula函
数给出：
1 1
2u 00
v 1
u
v dCu,v
第13页，共32页。
2.3.尾部相关性
◆ 在金融风险分析中，更有意义的是随机变量的尾部相 关性，这一特性用Copula函数来处理十分方便。考虑条
件概率 PY y | X x，它可以用来讨论金融市场之间或
1u 1v
C u, v;
2
1
1 2
exp
r 2 s2 2rs 21 2
drds
cu,v;
1
1 2
exp
1 u 2
1v2 2
21 2
1
u
1
v
exp
1u2 1v2
2
第19页，共32页。
3.2.二元t-Copula函数
C u,v; ,
T1 u T1 v
的秩，同样 yi 在y1, y2,, yn中的名次（秩）记为 si 。
n 如果x，y的变化是一致的，ri si 就应该很小，所以
ri si 反映了不一致的程度。如果变化方向相反，那么 ri
与i1
si
应处于两端，xi
位于
ri
金融机构英文课件 (3)
0 -10 -5 0 5 10
-5
-10
Multivariate Gaussian Copula
l
l
l
We can similarly define a correlation structure between V1, V2,…Vn We transform each variable Vi to a new variable Ui that has a standard normal distribution on a “percentile-to-percentile” basis. The U’s are assumed to have a multivariate normal distribution
Gaussian Copula Models:
Creating a correlation structure for variables that are not normally distributed Suppose we wish to define a correlation structure between two variable V1 and V2 that do not have normal distributions We transform the variable V1 to a new variable U1 that has a standard normal distribution on a “percentile-to-percentile” basis. We transform the variable V2 to a new variable U2 that has a standard normal distribution on a “percentile-to-percentile” basis. U1 and U2 are assumed to have a bivariate normal distribution
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Correlation and Covariance co-movement of assets over time and measure strength between linear relationships of two variables.
Correlation standardized
Covariance
cov(X,Y) = E[ (X-E(X)) (Y-E(Y)) ] = E(X,Y) - E(X) E(Y)
Zero correlation does not imply that there is no dependence between the two variables. It implies that there is no linear-relationship between the two variables, but the value of one variable can still have a nonlinear relationship with the other variable EWMA Model This model is designed to vary the weight given to more recent observations (by adjusting λ).GARCH(1,1) Model
GARCH ( l , l ) applies a weight of α to the most recent observation on covariance (X(n-1) Y(n-1)) and a weight of β to the most recent covariance estimate (covn_1). In addition, a weight of ω is given to the long-term average covariance rate.OR
Evaluating consistency for covariance variance-covariance matrix constructed using the calculated estimates of variance and covariance rates for a set of variables. The diagonal of the matrix represents the variance rates where i = j. The covariance rates are all other elements of the matrix where i != j.positive-semidefinite Evaluate following expression Generating Samples from bivariate normal distribution bivariate normal distribution Variable X is known and variable Y is conditional on the value of variable X
Mean of expected value of variable Y
Standard Deviation Step 1: Independent samples Zx and Zy are obtained from a univariate standardized normal distribution. Microsoft Excel® and other software programming languages have routines for sampling random observations from a normal distribution. For example, this is done in Excel with the formula = NORMSINV(RAND()).Step 2: Samples Ex and Ey are then generated. The first sample of X variables is the same as the random sample from a univariate standardized normal distribution, Ex = Zx·Step 3: The conditional sample of Y variables is determined as follows:
where: ρXY = correlation between variables X and Yin the bivariate normal distribution Copulas (耦合)Gaussian copula bivariate normal distribution Student's t-copula
t-distribution Multivariate copulas Factor copula model proof of Vasicek's result Estimating PD and ρExam focus correlation and covariance calculation how covariance used in EWMA model - Exponentially weighted moving average GARCH model - Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity define copulas
distinguish different types of copulas E(X,Y) is expected value of the product of random variables X and Y special case for GARCH(1,1)。