斯托克斯定理(20200919185134)
一、斯托克斯(stokes)公式
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是矢量分析中经典的定理之一，它将曲面积分与闭合曲线积分联系起来，是高等数学中微分形式和外微分运算的重要应用之一。
斯托克斯定理在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。
斯托克斯定理由苏格兰数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）于1854年提出，它建立了一个曲面与其边界线的关系。
斯托克斯定理的数学表述如下：设曲面S是一个光滑的有界曲面，其边界线为闭合曲线C，若F为一个光滑的向量场，则有以下等式成立：∬SrotF·dS = ∮C F·dr其中，rotF表示F的旋度，dS表示曲面S上小面元的面积，dr 表示C上小线段的长度元。
此式表明了曲面S上向量场F的旋度与该向量场沿曲线C的环路积分之间的关系。
斯托克斯定理的几何意义可以理解为：向量场在某个有边界的曲面上的旋度，与该向量场沿边界曲线的环路积分之间有一种平衡关系。
这种平衡关系可以用数学符号来表示，而斯托克斯定理就是这种关系的数学表达。
斯托克斯定理的应用非常广泛，可以用来求解许多具体问题。
例如，在电磁学中，斯托克斯定理可以将电流通过闭合曲面的总数转换为磁场穿过该曲面的通量，从而简化了计算的过程。
在流体力学中，斯托克斯定理可以用来研究旋转流体的流动速度和压强分布等问题。
在天体物理学中，斯托克斯定理可以用来分析星系的演化过程和宇宙的结构等。
斯托克斯定理的证明可以通过对曲面S进行分割，将其分割成无数个小面元，然后分别对每个小面元进行积分，最后将这些小面元的贡献相加即可。
证明过程相对复杂，需要运用到高等数学中的很多概念和技巧。
证明过程中，可以使用换元法、极限法、矢量代数等多种方法来推导。
斯托克斯定理在矢量分析和微分形式的研究中起着关键的作用，它不仅能够将曲面积分和闭合曲线积分联系起来，还可以将二维问题推广到三维空间中。
通过斯托克斯定理，我们可以更加深入地理解矢量场的性质和特点，并且可以将矢量场的问题转化为边界上积分问题，使得计算更加简洁、方便。
斯托克斯定理
目录
CONTENTS
• 斯托克斯定理的概述 • 斯托克斯定理的证明 • 斯托克斯定理的影响 • 斯托克斯定理的实际应用 • 斯托克斯定理的推广和展望 • 参考文献
01 斯托克斯定理的概述
定理的背景
流体力学的发展
斯托克斯定理是流体力学领域的一个重要定理， 它的提出和发展与流体力学的研究密切相关。
推动实验研究
斯托克斯定理的发现，激发了人们对 粘性流体运动规律的实验研究，推动 了流体力学实验技术的发展。
对工程学的影响
优化流体机械设计
斯托克斯定理在流体机械设计中具有 重要应用，帮助工程师更好地理解流 体机械内部流体的运动规律，优化了 流体机械的设计。
提高工程安全
通过对斯托克斯定理的应用，工程师 可以更加准确地预测流体机械的运行 状态，提高了工程的安全性。
描述流体运动规律
斯托克斯定理在流体力学中应用广泛，用于描述粘性流体在重力作用下的运动规律，如 泥石流、河流流动等。
预测流体行为
通过斯托克斯定理，可以预测流体在管道、渠道、容器等不同形状和边界条件下的流动 状态，为流体工程设计和优化提供依据。
优化流体机械性能
在流体机械中，如泵、涡轮机等，斯托克斯定理用于分析流体机械内部流体的运动规律， 优化机械性能和提高效率。
生物医学领域
在生物医学研究中，斯托克斯定理用于描述细胞和微生物在流体中 的运动行为，有助于了解生物体内的生理和病理过程。
02 斯托克斯定理的证明
证明的思路
01
引入辅助线
为了证明斯托克斯定理，需要引 入一些辅助线，这些辅助线可以 帮助简化证明过程。
02
03
利用向量运算
证明等式
斯托克斯定理涉及到向量运算， 通过向量运算可以推导出定理的 结论。
斯托克斯公式简析
斯托克斯公式简析斯托克斯公式是微积分中的一个重要定理，它在数学分析及其应用中扮演着不可或缺的角色。
该公式不仅在数学理论中占有核心地位，还在物理学、工程学等多种科学领域中广泛应用。
在深入了解斯托克斯公式之前，我们需要回顾一些相关的基本概念。
一、背景知识向量场与标量场在微积分中，我们讨论两类重要的场：向量场和标量场。
向量场是指在空间中的每一个点都对应一个向量，常用于描述物理现象如速度场、电场等。
而标量场则是每个点对应一个数值，例如温度、压力等。
曲线积分与曲面积分曲线积分是一种沿着曲线计算的积分，常用于求某一方向的总量。
而曲面积分则是在一个曲面上计算的积分，通常用来计算流过某个曲面的总量。
这两者是斯托克斯公式建立的基础。
常见的微分形式在理解斯托克斯公式之前，了解微分形式尤为重要。
简而言之，微分形式可以视为一种推广的函数，用于描述更复杂的流动和饱和度。
二、斯托克斯公式的内容斯托克斯公式提供了一种连接曲线积分与曲面积分之间关系的重要工具。
其数学表达式如下：[ _C d = _S () d ]其中：(C) 是一条光滑的封闭曲线；(S) 是被曲线 (C) 所围成的一片光滑表面；() 是定义在某个区域内的光滑向量场；(d) 是沿着曲线 (C) 的微小位移；(d) 是沿着表面 (S) 的微小面积元素；() 表示向量场 () 的旋度。
这个公式表明，一个向量场沿着曲线的环路积分等于该向量场在被曲线围成的表面上的旋度的面积积分。
三、公式推导为了更深入理解斯托克斯公式，我们可以从基本概念出发进行推导。
首先来看两个重要的概念：旋度和散度。
旋度是描述一个向量场局部旋转趋势的量，而散度则反映了一个点源或汇聚程度。
我们可以通过以下步骤来推导斯托克斯公式：选择适当的小区域将封闭曲线 (C) 划分为许多个小段，并将相应的小面积 (S) 划分成多个微小部分。
这样我们就可以利用局部性来看待问题。
应用格林定理在平面上，格林定理给出了平面区域和它外围边界之间的关系。
Stocks公式
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分.
则
z
n
1 n {1,1,1} 3
o
y
x
高等数学（下）
1 即 cos cos cos , 3
1 1 1 3 3 3 ds x y z 2 2 2 2 2 2 y z z x x y
故有结论成立.
高等数学（下）
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
另一种形式
其中n {cos , cos , cos }
高等数学（下）
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
高等数学（下）
i j 环流量 A ds C x y P Q
利用stokes公式, 有
k ds z R
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 例 3 求向量场 2 2 沿闭曲线 为圆周 z 2 x y , z 0 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
x
即有
3 zdx xdy ydz 2
高等数学（下）
例 2 计算曲线积分
( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
解
取∑：x＋y＋z ＝ 1，上侧
stokes 定律
stokes 定律Stokes定律是描述物体在粘性流体中受到阻力的现象的物理定律。
该定律由爱尔兰物理学家喬治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）在19世纪提出，并被广泛应用于流体力学、物理学和工程学中的许多领域。
Stokes定律可以用来计算细小颗粒在粘性流体中的终端速度、阻力力和沉降速度。
斯托克斯定律是基于牛顿第二定律和粘性流体力学的基本原理推导而来的。
根据斯托克斯定律，当一个小球体以低速在粘性流体中运动时，粘性阻力的大小与小球体直径、流体粘度和小球体在流体中的速度有关。
斯托克斯定律的数学表达式如下：F = 6πηrv其中，F是小球受到的阻力力，η是流体的粘度，r是小球的半径，v是小球在流体中的速度。
该公式说明了阻力力和速度成正比，半径的平方成正比，而粘度是反比的。
Stokes定律的应用非常广泛。
在生物领域中，它可以用于计算细胞、微生物和蛋白质在体内或培养基中的运动行为。
例如，通过测量细胞在流体中沉降的速度，可以推导出细胞的大小和形状。
在药物研发中，斯托克斯定律也被用于计算药物微粒在注射液中的沉降速度，以便优化药物输送系统。
在工程学中，斯托克斯定律常常用于设计流体阻力实验和流场模拟。
根据斯托克斯定律，可以计算出在给定流速下，圆柱体或球体受到的阻力大小，以及此阻力对流动的影响。
这对于设计管道、船舶和空气动力学航空器等流体力学设备和系统至关重要。
此外，斯托克斯定律还被用于研究颗粒输运、颗粒沉降和空气净化等领域。
在环境科学中，斯托克斯定律可以用来计算大气颗粒在空气中移动的速度，从而评估空气中的污染物扩散过程。
在沉降池和污水处理系统中，斯托克斯定律可用于估算悬浮颗粒的沉降速度，以此来改善水处理过程。
综上所述，Stokes定律是研究物体在粘性流体中受到阻力的重要定律。
它在流体力学、物理学和工程学中都有广泛的应用，用于计算粒子的终端速度、阻力力和沉降速度。
Stokes定律的应用领域包括生物学、医学、工程学和环境科学等，为这些领域的研究和实践提供了基础。
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯定理:斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。
斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。
斯托克斯粘滞公式:斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1中文名称：斯托克斯粘滞公式英文名称：Stokes viscocity formula定义及摘要：斯托克斯粘滞公式斯托克斯公式（数学公式）:斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
斯托克斯定理的具体内容
斯托克斯定理的具体内容1.引言1.1 概述斯托克斯定理是数学中的一项重要定理，它建立了曲线与曲面之间的联系。
该定理是由19世纪的数学家斯托克斯提出的，因此得名斯托克斯定理。
它在向量分析领域被广泛应用，是理解和解决许多与流体力学、电动力学和热力学等相关问题的基础。
斯托克斯定理通过建立曲线积分和曲面积分之间的关系，使我们能够将曲面上的积分问题转化为曲线上的积分问题。
具体而言，该定理表明了曲面上的一个向量场的环量（曲线积分）等于通过该曲面的一个相关向量场的流量（曲面积分）。
通过斯托克斯定理，我们可以利用曲线上的积分来计算曲面上的积分，这大大简化了对曲面上向量场性质的分析。
该定理在物理学中尤为重要，因为它允许我们通过简化计算来确定电流和磁场之间的关系。
除了在物理学中的应用，斯托克斯定理还在其他学科中有广泛的应用。
例如，在地理学中，它可以用于描述大气环流和漩涡的运动；在计算机图形学中，它可以用于模拟自然界的流体现象。
总而言之，斯托克斯定理为我们理解和计算曲线和曲面之间的相互关系提供了有效的工具。
其重要性不仅在数学领域得到了充分的认可，而且在各个学科中的广泛应用也证明了它在各个领域的价值。
随着研究的深入，我们相信斯托克斯定理将在更多的领域中有着新的应用和发展。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下:本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
下面将对每个部分的内容进行详细介绍。
1. 引言部分引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面。
首先，我们将对斯托克斯定理进行整体概述，介绍其基本定义和应用背景。
接着，我们将详细描述文章的结构，确保读者对整篇文章的组织有清晰的了解。
最后，我们明确本文的目的，即通过深入研究斯托克斯定理，探讨其在数学和物理等领域的重要性和应用前景。
2. 正文部分正文部分将重点阐述斯托克斯定理的定义及其应用。
首先，我们将详细介绍斯托克斯定理的定义，包括其公式表达和背后的原理基础。
然后，我们将探讨斯托克斯定理的应用领域，例如流体力学、电磁学和微分几何等。
stockes定律
stockes定律摘要：1.斯托克斯定律的背景和定义2.斯托克斯定律在现实生活中的应用3.斯托克斯定律与其他相关定律的区别4.斯托克斯定律在科学研究中的重要性5.结论正文：斯托克斯定律，又称斯托克斯- 费曼定律，是由英国物理学家乔治·斯托克斯和爱尔兰物理学家威廉·汤姆逊·费曼在19 世纪提出的。
该定律描述了流体中颗粒的沉降速度与颗粒大小、形状、密度以及流体粘度之间的关系。
在现实生活中，斯托克斯定律被广泛应用于地质学、气象学、海洋学、环境科学以及生物医学等领域。
例如，在地质学中，通过研究颗粒沉降速度，可以推测地层的形成过程；在气象学中，可以预测颗粒物在大气中的扩散和沉降；在海洋学中，有助于了解海洋表层和深层之间的物质交换；在环境科学中，可用于评估污染物的扩散和治理效果；在生物医学中，可以指导药物颗粒在生物体内的传输过程。
斯托克斯定律与其他相关定律，如达西定律（描述流体在多孔介质中的渗透速度）和威斯巴赫定律（描述颗粒在流体中的悬浮速度），有所区别。
达西定律主要关注流体在多孔介质中的渗透过程，而斯托克斯定律关注的是颗粒在流体中的沉降过程；威斯巴赫定律主要描述了颗粒在流体中的悬浮速度与流体速度的关系，而斯托克斯定律则包括了颗粒沉降速度与颗粒本身性质的关系。
斯托克斯定律在科学研究中具有重要意义。
它为颗粒物质的运动提供了理论依据，有助于深入理解自然界中颗粒物质的传输过程。
此外，斯托克斯定律在工程领域也有广泛应用，如在建筑设计中，需要考虑颗粒沉降对建筑结构的影响；在废水处理过程中，需要控制颗粒物的沉降速度以保证处理效果。
总之，斯托克斯定律作为流体力学中的一个基本原理，对于理解颗粒物质在流体中的运动具有重要意义。
斯托克斯公式 单连通
斯托克斯公式单连通（原创实用版）目录1.斯托克斯公式的概述2.单连通的定义和性质3.斯托克斯公式在单连通域中的应用4.举例说明斯托克斯公式在单连通域中的应用正文一、斯托克斯公式的概述斯托克斯公式，又称为斯托克斯定理，是向量分析中的一个重要公式，描述了向量场的旋度与散度之间的关系。
该公式由英国数学家和物理学家斯托克斯（Stokes）于 1845 年提出，被广泛应用于物理学、工程学等领域。
二、单连通的定义和性质单连通是指一个区域在拓扑学意义上只有一个连通分量。
具体来说，如果一个区域内部任何两点都可以通过一条连续的曲线相连，且边界上也满足这个条件，那么这个区域就是单连通的。
单连通区域具有一些重要的性质，如内部没有“洞”，边界是单连通的曲线等。
三、斯托克斯公式在单连通域中的应用在单连通域中，斯托克斯公式可以描述旋度场的散度。
具体来说，对于一个定义在单连通域上的向量场 F，其旋度场Ω满足如下关系：divΩ = 0其中，div 表示散度运算，Ω表示旋度场。
这个公式表明，在单连通域中，旋度场的散度为零，也就是说，旋度场在单连通域内没有源。
四、举例说明斯托克斯公式在单连通域中的应用假设有一个定义在球坐标系下的向量场 F(r, θ, φ)，其中 r 表示球坐标系下的径向坐标，θ表示纬度坐标，φ表示经度坐标。
我们可以计算该向量场的旋度场Ω：Ω = (F_φ)/r - (F_r)/φ根据斯托克斯公式，我们需要计算旋度场的散度：divΩ = ((F_φ)/r)/r - ((F_r)/φ)/φ在球坐标系下，计算结果为：divΩ = F_φ/r - F_r/φ由于在球坐标系下，该向量场满足拉普拉斯方程，即：ΔF = F = 0所以，我们可以得到：divΩ = 0这个例子说明了在单连通域中，斯托克斯公式成立。
斯托克斯公式 沉降速度
斯托克斯公式沉降速度斯托克斯公式在物理学和工程学中可是个相当重要的角色，尤其是在研究颗粒在流体中的沉降速度时，那作用可大了去啦！先来说说斯托克斯公式是啥。
斯托克斯公式描述了在粘性流体中运动的球体所受到的阻力。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开理解沉降速度的大门。
还记得有一次，我带着学生们在实验室里做一个小实验。
那是一个阳光明媚的下午，大家都充满了好奇和期待。
实验的内容就是观察小钢珠在油中的沉降过程。
我们小心翼翼地把小钢珠放进透明的油桶里，眼睛紧紧地盯着，生怕错过任何一个瞬间。
小钢珠一开始下落得很慢，就像个懒洋洋的孩子在散步。
这时候，我就问同学们：“你们觉得小钢珠为啥落得这么慢呀？”大家七嘴八舌地讨论起来，有的说油太黏了，有的说小钢珠太重了。
其实呀，这就是斯托克斯公式在起作用。
根据斯托克斯公式，阻力和球体的半径、流体的黏度以及沉降速度都有关系。
在咱们这个实验里，油的黏度比较大，所以给小钢珠的阻力也就大，小钢珠的沉降速度自然就慢下来啦。
咱们再深入聊聊沉降速度。
想象一下，在一个装满泥水的池塘里，如果有一些细小的泥沙颗粒，它们在水中沉降的速度会受到很多因素的影响。
比如说水的黏度、颗粒的大小和形状等等。
如果颗粒很小很小，就像面粉一样细，那它们沉降起来可就费劲了。
这时候斯托克斯公式就告诉我们，这些小颗粒受到的阻力很大，沉降速度会很慢很慢。
反过来，如果是一些比较大的颗粒，比如说小石子，那它们沉降的速度就会快很多。
因为大颗粒受到的阻力相对较小，更容易克服流体的阻碍往下沉。
在实际生活中，斯托克斯公式和沉降速度的知识可有用了。
比如说在污水处理厂，工人们要让污水中的杂质沉淀下来，就得考虑杂质的大小、水的性质等等，这时候斯托克斯公式就能派上用场，帮助他们设计出更高效的处理工艺。
还有在制药行业，有时候需要分离不同大小的颗粒，这也得依靠对沉降速度的准确把握，才能保证药品的质量和纯度。
总之，斯托克斯公式和沉降速度虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真去理解，多做实验，多观察生活中的现象，就能发现它们其实就在我们身边，而且用处多多。
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式是电磁学中非常重要的定理之一，它描述了闭合曲面内的电场和磁场之间的关系。
斯托克斯公式成立的条件如下：
1. 磁场必须是恒定的。
如果磁场随着时间变化，斯托克斯公式就不再适用。
2. 电场和磁场必须是连续的。
如果出现了突然的断裂或者间断现象，斯托克斯公式也将失效。
3. 闭合曲面必须是光滑的。
如果曲面出现了锐利的角或者尖端，斯托克斯公式也不再适用。
4. 曲面必须是有向的。
在斯托克斯公式中，曲面的方向被定义为法向量的方向。
如果曲面的方向和法向量的方向不一致，斯托克斯公式也将失效。
总之，斯托克斯公式成立的条件比较苛刻，只有在特定的条件下才能适用。
但是，一旦满足了这些条件，斯托克斯公式就可以非常方便地描述电磁场的行为，对于解决很多实际问题都非常有用。
- 1 -。
Stocks公式
。
i j k 解 0 x y z 2 2 2 x yz y zx z xy
第八节 斯托克斯(stokes)公式
高等数学（下）
河海大学理学院
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内
高等数学（下）
i j 环流量 A ds C x y P Q
利用stokes公式, 有
k ds z R
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 例 3 求向量场 2 2 沿闭曲线 为圆周 z 2 x y , z 0 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
Hale Waihona Puke Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边 界曲线上的曲线积分之间的关系.
注：当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时
斯托克斯公式 特殊情形 格林公式
高等数学（下）
二、简单的应用 例 计算曲线积分 3 ydx 3 xdy dz ,
2 2 x y 1 与平面 z 其中 是圆柱面 它的方向是逆时针.
具有一阶连续偏导数, 则有公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz --------- 斯托克斯公式