3.1.2用二分法求解方程的近似解(1、2)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
答案：C 3．用二分法求函数 f(x)＝x3＋5 的零点可以取的初始区间是
A．[－2,1]
B．[－1,0]
()
C．[0,1]
D．[1,2]
答案：A
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4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算 得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第 二次应计算________． 答案：(0,0.5) f(0.25)
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用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采 用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c) 还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符 合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
f(a) f(0)<0
f(b) f(1)>0
fa＋2 b f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75 f(0.5)<0 f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) (0.687 5,0.75)
0.687 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
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[小试身手]
高考数学 §3.1.2用二分法求方程的近似解
高考数学§3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
用3.1.2用二分法求方程的近似解
5.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)＜0, f(0.5)＞0,可得其中一个零点x0∈_____,第二次应计算_____．以上横 线上应填的内容为（ A ） A.（0，0.5），f（0.25） B.（0，1），f（0.25） C.（0.5，1），f（0.75） D.（0，0.5），f（0.125）
3.1.2
用二分法求方程的近似解
复习回顾： 1.函数的零点的定义： 对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 结论:
方程f ( x) 0有实数根 函数y f ( x)的图象与x轴有交点 函数y f ( x)有零点
复习回顾： 2.零点存在性判定定理
第二步:不断二分解所在的区间,取区间的中点,逼近零点.
第三步：根据精确度得出近似解.当x1∈(m,n) ，且m-n满足精确度 ，即 求得近似解。
练 习
1.用二分法求函数f(x)=3x+3x-8在x∈(1,2)内近似解的过程中,计算得到 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间（ B ） A.（1，1.25 B.（1.25，1.5） C.（1.5，2） D．不能确定 2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是（ A ） A.〔-2,1〕 B.〔-1,0〕 C.〔1,2〕 D.〔0,1〕 3. (2014•惠州模拟)用二分法求方程lgx=3-x的近似解,可以取的一个区 间是（ C ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 4.下列函数中不能用二分法求零点的是（ C ） A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=|x| D.f(x)=lnx
教学设计1：3.1.2 用二分法求方程的近似解
§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 复习 提出问题①已知函数f (x )=mx 2+mx +1没有零点，求实数m 的范围. ②证明函数f (x )=x 2+6x +10没有零点. ③已知函数f (x )=2mx 2－x +21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m －1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果：①因为Δ=m 2－4m <0或m =0，∴0≤m <4. ②因为Δ=36－40=－4<0，∴没有零点. ③Δ=1－4m 2=0或m =0，∴m =21或m =21或m =0. ④Δ=16m 2－8(m +1)(2m －1)=－8m +8>0且2(m +1)≠0，∴m <1且m ≠－1. 导入新课 (情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x 轴的？ 学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f (a )f (b )<0.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理，并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a，b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a，b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例例1求函数f(x)=ln x+2x－6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程ln x+2x－6=0的根不易求得，函数f(x)=ln x+2x－6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：由表和图3－1－1－15可知，f(2)<0，f(3)>0，则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2，3)内有零点.由于函数在定义域(0，+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3－1－1－15 图3－1－1－16变式训练证明函数f (x )=lg x +x －8有且仅有一个零点. 证明:如图3－1－1－16，因为f (1)=－7，f (10)=3， ∴f (1)f (10)<0.∴函数f (x )=lg x +x －8有一个零点. ∵y =lg x 为增函数，y =x －8是增函数， ∴函数f (x )=lg x +x －8是增函数. ∴函数f (x )=lg x +x －8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f (x )=3x +12+-x x ， (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解：(1)设g (x )=3x ，h (x )=12+-x x ， 作出它们的图象(图3－1－1－17)，两函数图象交点的个数即为f (x )零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f (x )=3x +12+-x x 有且仅有一个零点.图3－1－1－17(2)因为f (0)=－1，f (1)=2.5，所以零点x ∈(0，1). 变式训练证明函数f (x )=2x +4x －4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x ，f (x )的对应值表：图3－1－1－18由表和图3－1－1－18可知，f (0)<0，f (1)>0，则f (0)f (1)<0，这说明f (x )在区间内有零点.下面证明函数在定义域(－∞，+∞)内是增函数. 设x 1，x 2∈(－∞，+∞)，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)=21x+4x 1－4－(22x +4x 2－4)=21x－22x +4(x 1－x 2)=22x (21x－x 2－1)+4(x 1－x 2).∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，21x－x 2－1<0，22x >0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴函数在定义域(－∞，+∞)内是增函数.则函数f (x )=2x +4x －4有且仅有一个零点. 知能训练1.函数f (x )=lg x －2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4，5)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4) 2.若函数f (x )=2mx +4在［－2，1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A.［254］ B.(－∞，－2］∪［1，+∞) C.［－1，2］ D.(－2，1) 3.已知函数f (x )=－3x 5－6x ＋1，有如下对应值表：函数y ＝f (x )在哪几个区间内必有零点？为什么？ 答案:1.B 2.B 3.(0，1)，因为f (0)·f (1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握. 拓展提升方程ln x +2x +3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？ 分析：利用函数图象(图3－1－1－22)进行探索分析.图3－1－1－22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2)，知f(x)=ln x+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f(x)=ln x+2x+3有一个零点x∈(1，2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.。
3.1.2用二分法求方程的近似解
函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点.
方程 ln x 2 x 6 0的根.
1.你能找出零点落在下列哪个区间吗？ A.1,2 B.2,3 C .3,4 D.4,5 2.你能继续缩小零点所在的区间吗？
定义如下： 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
关键点
1.零点的初始区间的确定 2.缩小区间的方法
3.零点的精确化
二 数学应用
课题: 3.1.2 用二分法求方程的近似解
(1) 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）
一 方法探究
方程的解
(1) x
2
2x 1 0
方 程 f ( x ) 0 的 根 函 数 y f ( x )的 零 点
函 数 y f ( x )图 像 与 X 轴 的 交 点 的 横 坐 标
1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ；
编写程序
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零 点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．
用二分法求方程的近似解一般步骤：
口 诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点 近似值a(或b);否则重复步骤2~4．
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3．1.2用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点____；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则________________；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定5A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)6．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 2)>0二、填空题7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8.x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．确定函数f(x)＝12log x＋x－4的零点所在的区间．11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0 B．1 C．3 D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？知识梳理1．f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解2．(1)f(a)·f(b)<0(2)c(3)①c就是函数的零点②(a，c)③(c ，b )作业设计1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A [由选项A 中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B [∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25. 又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)＝1.149－0.04>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．B [∵f (x )＝2x －1x －1，f (x )由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0， 又∵x 2>x 0，∴f (x 2)>f (x 0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析 令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．9．0.75或0.687 5解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．10．解 (答案不唯一)设y 1＝12log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点，当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)<0，当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明 设函数f (x )＝2x ＋3x －6，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又∵f (x )是增函数，∴函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x 0，则x 0∈[1,2]，取x 1＝1.5，f (1.5)≈1.33>0，f (1)·f (1.5)<0，∴x 0∈(1,1.5)，取x 2＝1.25，f (1.25)≈0.128>0，f (1)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1,1.25)，取x 3＝1.125，f (1.125)≈－0.444<0，f (1.125)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可作为这个方程的实数解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。
3.1.2-用二分法求方程的近似解(改版)
想一
想 维修线路的工人师 傅怎样工作合理？
探索问题 提取原理 如图,设供电站和医院的所在处分别为点A、B（间距10km)
A
C ED
B
(供电站)
取中点
（医院）
这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.
从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点. 现在某处发生故障，需及时修理.为了尽快把故 障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多 少__2_次．
1
2
3
4
5
新课引入
某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危 重病人，忽然电停了，医院采取了应急措施。据了解原 因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工如何 迅速查出故障所在? (线路长10km，每50m一棵电线杆）
问题4：给定精确度 0.1，求f x ln x 2x 6零点在2，3
近似值初. 始区间（2，3）且 f (2) 0, f (3) 0
次数
1
ab 2
2.5
f (a b) 2
-0.084
取a
取b
(22.5.5,33)
区间长度： ba
0.5
2 2.75
0.512
确定初始区间
求中点，算其函数值
返
缩小区间
回
算长度，比精度
下结论
概念拓展 实践探究
例11：.下列函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的
是（ C ）
y
y
y
y
0
x
0
x
3.1.2用二分法求方程的近似解-教案
3.1.2用二分法求方程的近似解一、学习目标1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．二、知识梳理1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．三、例题讲解知识点一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．跟踪演练1(1)下列函数中，能用二分法求零点的为()(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④D．①②③答案(1)B(2)A解析(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．(2)由二分法的意义，知选A.知识点二用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：2．求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求F (x )＝f (x )－g (x )的近似解问题． 跟踪演练2 用二分法求2x ＋ x ＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：解 令f (x )f (2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|∴2x ＋x ＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375. 四、课堂练习1．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1,2] 答案 A解析 ∵f (－2)＝－3＜0，f (1)＝6＞0，f (－2)·f (1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．2．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0时，当f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( )A ．(a ，b )外的点B ．x ＝a ＋b2C ．区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2或⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数 D ．x ＝a 或x ＝b答案 B解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝0，知选B.3．函数f (x )的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的解所在区间为( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定 答案 A解析 由于f (1.25)·f (1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)． 4．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( ) A.⎝⎛⎭⎫18，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2) 答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫18＝－154＜0，f ⎝⎛⎭⎫14＝－52＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝－1＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝4＞0， ∴函数零点落在区间⎝⎛⎭⎫12，1上．5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________． 答案 (2,2.5)解析 f (2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f (2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0， ∴下一个有根的区间是(2,2.5)．五、巩固训练1．已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3 答案 D解析 由图象知函数f (x )与x 轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f (a )·f (b )＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点． 2．为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )的部分对应值[f (x )的值精确到0.01]如下表如示：则函数A ．(0.6,1.0) B ．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D ．(2.6,3.0) 答案 C解析 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.125) 答案 A解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f (0)＜0，f (0.5)＞0知x 0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0的更准确位置． 4．设方程2x ＋2x ＝10的根为β则β属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点．f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0.∴β∈(2,3)．5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( ) A ．1.5 B ．1.6 C ．1.7 D ．1.8 答案 D解析 设f (x )＝lg x －⎝⎛⎭⎫12x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－14＞0，所以方程lg x －⎝⎛⎭⎫12x ＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求． 6．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2解析 令f (x )＝ln x －2＋x ，∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0，∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2.7．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，求f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确度0.01)． 解 由表中f (1.562 5)＝0.003，f (1.556 2)＝－0.029. ∴f (1.562 5)·f (1.556 2)＜0.又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一)． 能力提升8．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎡⎦⎤－2，52 D.⎣⎡⎦⎤－12，1 答案 D解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]， ∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]， 第三次所取区间为⎣⎡⎦⎤－2，－12，⎣⎡⎦⎤－12，1，⎣⎡⎦⎤1，52或⎣⎡⎦⎤52，4.9．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01? 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，∴12n <0.01，即2n >100.注意到26＝64<100,27＝128>100.故要经过7次二分后精确度达到0.01.10．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案 4 解析 设等分的最少次数为n ，则由0.12n ＜0.01，得2n ＞10，∴n 的最小值为4.11．画出函数f (x )＝x 2－x －1的图象，并利用二分法说明方程x 2－x －1＝0在[0,2]内的根的情况．解 图象如图所示，因为f (0)＝－1＜0，f (2)＝1＞0，所以方程x 2－x －1＝0在(0,2)内有根x 0；取(0,2)的中点1，因为f (1)＝－1＜0，所以f (1)·f (2)＜0，根x 0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f (1.5)＝－0.25＜0，所以f (1.5)·f (2)＜0，根x 0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f (1.75)＝0.312 5＞0，所以f (1.5)·f (1.75)＜0，根x 0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根． 探究与创新12．求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．解令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5＝∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25. 13．用二分法求5的近似值(精确度0.1)．解设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.。
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
3.1.2用二分法求方程的近似解
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目的：（1）通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题的意识；（2）通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；教学重点：用”二分法”求方程的近似解．教学难点：”二分法”求方程的近似解的思想和步骤．教学过程：一、复习引入①零点的概念:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点②连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.③一元二次方程可以用公式求根,但没有公式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求它的根呢？二、新课教学（一）用二分法求方程的近似解1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.一般地,我们把称为区间(a,b)的中点.2．二分法概念对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法思考:为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)?3、用二分法求方程的近似解的步骤①、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε②、求区间(a,b)的中点x1③、计算f(x1);(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点(2)若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))(3)若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))④、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4（二）典型例题例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）解：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表与图象（如下):由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
3.1.2用二分法求方程的近似解
2、对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)•f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断把函数y=f(x)的零点所 在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
3、二分法的基本步骤 ⑴确定区间[a,b]，验证 f(a)•f(b)<0，给定精确度 ε ⑵求区间(a,b)的中点c ⑶计算f(c);
f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0
原方程的近似解为x1≈2.6 .
方法点评
1.寻找初始区间 （1）图象法 先画出y = f(x)图象，观察图象与x轴的交点横 坐标所处的范围； 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交 点横坐标的范围. （2）函数法 把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数 y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在 的区间.
2.5 2.75 2.625
2.5625 2.53125
﹣ ﹢ ﹢ ﹢ ﹣
区间长度
1 0.5 0.25 0.125 0.0625
|2.5-2.5625|=0.0625<0.1
所以原函数精确度为0.1的零点近似解为2.5(或2.5625)。
2、二分法的基本步骤 ⑴确定原始区间[a,b]，验证 f(a)•f(b)<0，给定精确度 ε ⑵求区间(a,b)的中点c ⑶计算f(c);
①若f(c)=0，则c就是 函数的零点
②若f(a)• f(c)<0，则令b= c (此时零点x0∈(a,c)) ③若f(b)• f(c) <0，则令a= c (此时零点x0∈(c,b))
⑷判断是否达到精确度 ε，即若|a-b|< ε，则得 到零点的近似值 a(或b)；否则得重复⑵ ～ ⑷
3.1.2 用二分法求方程的近似解
②若
③若
(4)判断是否达到精确度ε：即若
|a－b|<ε ，则得到零点近似
值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
1．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0 在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，
则方程的根在区间
A．(1.25,1.5) C．(1.5,2)
热点提示 1.判断函数零点 所在的区间． 2．求方程根的 个数.
1．已知函数g(x)的图象是连续不断的，x，g(x)的对应
值表如下： x „ 0 1 2 3 4 5 „ g(x) „ －6 －2 3 10 21 40 „ 函数g(x)在哪个区间内有零点？为什么？ 解析：∵g(1)＝－2<0，g(2)＝3>0，∴g(1)·g(2)<0，
上述称量寻找假币的方法用了什么思想？为什么不称
量30次呢？若考虑偶然性的话，两次称量出哪一枚是假币 的可能性也有，但不是必然称量出来的方法．上面的四次
称量是一定找出假币的最少称量方法．
3.1.2 用二分法求方程的近似解
目标要求 1.能够借助计算器用 二分法求方程的近似 解，了解二分法是求 方程近似解的常用方 法． 2．理解二分法的步 骤与思想.
然后逐步逼近零点，由于使用二分法的依据是勘根定理， 因此并不是所有的零点都能用二分法求解．那么怎样的零 点才能用二分法求出其近似解呢？ 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图
象在零点附近是连续不断的，且该零点两侧的函数值异
号． 2．根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的 零点和求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的
类型二 用二分法求方程的近似解
3.1.2用二分法求方程的近似解(1)
根、若能证明 y f (x) 在 [a,b] 上的单调性，则在
[a,b] 有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。
解二：试探着找到两个x对应值为一正一负（至少
有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。
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4
解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点 个数，很实用。
是连续不间断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0
那么函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在
c c (a,b)使得 f (c) 0 ,这个 也就是方程 f (x) 0
的实数根。
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2
（2）连续函数变号了一定有零点（能证明f(x)单调 则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如 二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值 保持同号。
3.1.2 用二分法求方程的近似解 (1)
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1
一.基础知识
1．函数零点的定义：
方程 f (x) 0 有实根
函数 y f (x) 图象与 x 轴有交点
函数 y f (x) 有零点。
2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：
（1）定理：如果函数 y f (x) 在区间 [a,b]上的图象
，则得到零点近似值 a或b ；否则重复2~4。
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6
说明：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对 函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适 用；用二分法求函数的零点近似值必须用上节的 三种方法之一先求出零点所在的区间。
例1．借助计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x 7
高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解优秀课件
知识回忆
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
结论:
方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与x轴有交点 函数yf(x)有零点
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上 是否有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线 (2) f(a)·f(b)<0
)>0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.5351562 f(2.5351562
2.5390625) f(2.5390625)>0 5
5)>0
求 函 数 f x l n x 2 x 6 在 区 间 2 ， 3 零 点 的 近 似 值 . (精确度为0.01)
区间
〔2，3〕 〔，3〕
概念
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在区间一分为二． 使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1使.二用分“就二是分平法均〞分所成具两备局的部条．件二：分法就是 通过“不二断分地法将〞所与选判区定间函一数分零为点二的，定使义区密间切的相 两关个，端只点有逐满步足逼函近数零图点象，在直零至点找附到近零连点续附且近在 足该够零小点的左区右间函，数根值据异所号要才求能的应精用确“度二，分用法此〞 区求间函的数某零个点数．值近似地表示真正的零点．
——零点的存在性问题
区间〔a,b〕上零点是否是唯一的？
假设连续不断的一条曲线 y=f(x)在区间[a,b]上单调，并且 有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间〔a,b〕内有且仅有 一个零点.
3.1.2用二分法求方程的近似解
【思考】(1)所有的函数都有零点吗？ (2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？
y
y
y
o
o x
x
o
x
例1. 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的正数零点(精确度为0.1).
【解题指南】本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零 点的具体步骤.求正数零点，关键是确定一个包含此零点的区 间. 【解析】确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0. 因为f(0)=-6<0，f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以可以取区间(1,2)作 为计算的初始区间.因为f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以存在x0∈(1, 2)，使f(x0)=0. 用二分法逐步计算，列表如下：
例2. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点 （精确度为0.01）. 解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，
方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解 y 在区间（2，3）内
6
y=lnx
O 1234 x
y=－2x+6
列出下表：
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
2
(2,3) 是_______.
5.(2012·抚州高一检测)某同学在借助计算器求“方程
lgx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2, 算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中，他用“二分法”又取 了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程 的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4个值中最后一个值是 1.812 5 ________.
3.1.2
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表续 (2.53125, 2.5625) f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0 2.546875 f(2.546875) >0
(2.53125, 2.546875)
f(2.53125)<0, 2.5390625 f(2.5390625 )>0 f(2.546875)>0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.5351562 f(2.5351562 5)>0 2.5390625) f(2.5390625)> 5 0
用二分法求解方程的近似解： 二分法求解方程的近似解： 求解方程的近似解
1、确定区间[a,b]，验证 、确定区间 ，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度 ，给定精确度ε 2、求区间 的中点x 、求区间(a,b)的中点 1 的中点 3、计算f(x1); 3、计算f(x (1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 则 则令b= 此时零点 此时零点x (2) 若f(x1)<0,则令 x1(此时零点 0∈(a,x1)) 则令 (3) 若f(x1)>0,则令 x1(此时零点 0∈(x1,b)) 则令a= 此时零点 此时零点x 则令 4、判断是否达到精确度 ，即若 、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 则得到零点 的近似值a(或 ；否则得复2～ 的近似值 或b)；否则得复 ～4 作业:P93 B组 ex1 ( 第15次) 作业 组 次
4
3
f ( x ) = ( 2 x +3 ⋅ x ) -7
2
1
-2 -1
0
1
2
4
6
8
10
-2
-3
-4
-5
-6
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.375,1.4375) 由于
1.5 1.25 1.375 1.4375
0.33 -0.87 -0.28 0.02
求解方程lnx+2x-6=0. 例如 求解方程
8 6
f( x) = ( ln( x) +2⋅ x) -6
4
2
-5 -2
0
2 3
5
10
15
-4
-6
想法:如果能够将零点所在的范围尽量 想法 如果能够将零点所在的范围尽量 如果能够将 缩小,那么在一定精确度的要求下 那么在一定精确度的要求下,我 缩小 那么在一定精确度的要求下 我 们可以得到零点的近似值 们可以得到零点的近似值. 零点的近似值
游戏：请你模仿李咏主持一下幸运 ， 游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52， 李咏主持一下幸运 请同学们猜一下下面这部手机的价格。 请同学们猜一下下面这部手机的价格。
利用我们猜价格的方法，你能否求解 利用我们猜价格的方法， 方程lnx+2x-6=0 ? 方程 如果能求解的话，怎么去解？ 如果能求解的话，怎么去解？你能用函 数的零点的性质吗？
3.1.2 用二分法 求方程的近似解
1
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法： 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间 在区间[a,b]上的图 如果函数 在区间 上的图 象是连续不断一条曲线 连续不断一条曲线， 象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 ，那么，函数y=f(x)在区间 在区间 (a,b)内有零点.即存在 ∈(a,b)，使得 内有零点 即存在c∈ ， 即存在 f(c )=0，这个 也就是方程 也就是方程f(x)=0的根 的根. ，这个c也就是方程 的根
-8
二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数 上连续不断、 对于在区间 的函数 y=f(x)，通过不断把函数 的零点所在区间一分为二， ，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二， 的零点所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似 值的方法叫二分法 二分法。 值的方法叫二分法。 1、确定区间[a,b]，验证 、确定区间 ，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度 ，给定精确度ε 2、求区间 的中点c 、求区间(a,b)的中点 的中点 3、计算f(c); 、计算 (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点 则 就是函数的零点 (2) 若f(a)f(c)<0,则令 c(此时零点 0∈(a,c)) 则令b= 此时零点 此时零点x 则令 (3) 若f(c)f(b)<0,则令 c(此时零点 0∈(c,b)) 则令a= 此时零点 此时零点x 则令 4、判断是否达到精确度 ，即若 、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 则得到零点 的近似值a(或 ；否则重复2～ 的近似值 或b)；否则重复 ～4
练习： 练习：
2 1．函数 f ( x) = Inx − 的零点所在的大致区间是（ B ） x 1 A． (1,2 ) B． ( 2,3) C． 1, 和 ( 3,4 ) D． ( e, +∞ ) e
2．若方程 2ax2 − x −1= 0在 ( 0,1) 内恰有一解，则 a的取值范围（ ） B
|1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确 的两个端点精确 此时区间 的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1 到0.1的近似值都是 ，所以原方程精确到 的近似值都是 的近似解为1.4375。 的近似解为 。
1、关于求函数 f（x） log 2 x + x - 3的 = 零点区间问题
A． a < −1 B． a > 1 C． −1 < a < 1 D． 0 < a < 1
分析：令 f ( x) = 2ax 2 − x − 1分两种情况：1、若 f ( x) = 2ax 2 − x − 1和 X 轴有唯一交点，则交点为（-2,0）与题意不符；2、若 f ( x) = 2ax 2 − x − 1与 X 轴有两个交点，则△＞0，a＞- 1/8 在
f(2.5)<0, f(3)>0 2.75 f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625
f(2.5)<0, (2.5,2.625) f(2.625)>0 f(2.5)<0, (2.5,2.5625) f( 2.5625)>0
2.5625 f(2.5625)>0
2.53125 f(2.53125)<0
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 、 的近似解（精确到0.1） 2 + 3x = 7的近似解（精确到 ）
x
f ( x) = 2 x + 3x − 7 ， 解：原方程即 2 + 3 x = 7 ,令 令 x 用计算器或计算机作出函数 f ( x) = 2 + 3 x − 7 对应值
x
表与图象（如下 表与图象（如下): x f(x)=2x+3x-7 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 7 75 142
a +b 一般地,我们把 称为区间(a,b)的中点 的中点. 一般地 我们把 x = 称为区间 的中点 2
请看下面的表格： 请看下面的表格：
区间 端点的符号 中点的值
中点函数值 的符号
（2，3） ， ） (2.5,3) (2.5,2.75)
f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0
巩固练习： 巩固练习：
1、求下列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7； 求下列函数的零点：(1)y=- +6x+7； 4x。 (2)y=x3-4x。
（1）-1和7 ） 和 （2）-2、0、2 ） 、 、
类似《 页第3题 类似《天》第88页第 题 页第
2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3， 若函数f(x)=x ax- 的两个零点是2 求loga25 + b2。 先求得a=2+3=5，b=-2*3=-6 先求Байду номын сангаас 再求log 再求 a25 + b2 =38
( 0,1) 内恰有一解，则 f (0) ⋅ f (1) < 0 。 即 −1 ⋅ ( 2 a − 2 ) < 0
∴a > 1
函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点 函数 在区间（ ， ） 在区间 如何找出这个零点？ 如何找出这个零点？ 一元二次方程可以用公式求根, 一元二次方程可以用公式求根,但没有公 式来求Inx+2x 6=0的根 Inx+2x的根. 式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相 应方程根的关系, 应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来 求它的根呢？ 求它的根呢？