2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABJ

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答

案）

一、解答题

1．求下列隐函数的导数或偏导数： (1)2

sin e 0x

y xy +-=，求d d y x

;

(2)ln

arctan

y x =，求d d y x

；

(3)20x y z ++-=，求

,z z

x y

∂∂∂∂; (4)3

3

3z xyz a -=，求

22,z z x y

∂∂∂∂. 解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F (x ,y )=sin y +e x -xy 2, 则 2

e ,cos 2,x

x y F y F y xy =-=-

故 22d e e d cos 2cos 2x x

x y F y y y x F y xy y xy

--=-=-=

--. [解法2] 方程两边对x 求导，得

()2cos e 02x y y y x yy '⋅+-='+⋅

故 2e .cos 2x

y y y xy

-'=

- (2)

设()221(,)arctan

ln arctan ,2y y F x y x y x x

==-+ ∵222

222

121

,21x x

x y y F x y

x y x y x +⎛⎫

=

-⋅=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭

2

22

22

121

1,21y y

y x F x y x x y y x -=

-

⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭

∴

d .d x y F y x y x F x y

+=-=- (3)方程两边求全微分，得

d 2d d 0,x y z ++-

=

,z x y =

则

d ,z x y =

故

z z x y ∂∂==∂∂ (4)设3

3

(,,)3F x y z z xyz a =--,

23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-

则

223,33x z F z yz yz x F z xy z xy

∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xz

y F z xy z xy

∂-=-=-=∂-- ()()

()()

2222

2222322

23

2222()z

z z x x xz z xy xz y z y z xy y y z xy xz

xz

z x x xz z xy z xy

x yz

z xy xy z z xy ∂∂⎛⎫

--- ⎪

∂∂∂∂⎛⎫

⎝

⎭

== ⎪-∂∂⎝⎭

-⎛⎫

⋅--- ⎪--⎝

⎭=

=

--

2．应用格林公式计算下列积分： (1)

()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形

正向边界； (2)

()()2

22d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x

y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线

()2223

3

3

0x y a a +=>；

(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π

2

,1)

的一段弧；

(4)()()22d d sin L x y x y x y --+⎰，L

是圆周y =(0,0)到(1,1)的一段弧； (5)

()()d d e

sin e cos x

x L

x y y my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆

x 2+y 2=ax 上半部分的路线（a 为正数）．

图11-4

解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，

3Q

x

∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1

432

212

L

D D

D

x y

x y x y Q P x y x y x y

x y

+-++-∂∂⎛⎫

-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则

2cos 2sin 2e x P

x x x x y y

∂=+-∂， 2cos 2sin 2e x Q

x x x x y x

∂=+-∂． 从而

P Q

y x

∂∂=

∂∂，由格林公式得． ()()2

22d d cos 2sin e sin 2e d d 0

++--∂∂⎛⎫

-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x x L

D x y

x

y x xy x y x x y Q P x y x y

(3)如图11-5所示，记OA ，AB ，BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）

图11-5

P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2 262cos P xy y x y ∂=-∂，262cos Q xy y x x

∂=-∂ 由格林公式有：

d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫

-+== ⎪∂∂⎝⎭

⎰⎰⎰