初中数学中的解方程

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的

方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）

（2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）

（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

例题：.解方程： （1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22

132 （3）关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。

2、一元二次方程

（1） 一般形式：()002

≠=++a c bx ax （2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法

求根公式()002≠=++a c bx ax ()

042422≥--±-=ac b a ac b b x 错误!未找到引用源。、解下列方程：

（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0；

（3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.

（5）（t －2）（t +1）=0； （6）x 2＋8x －2＝0

(7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ）

（3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系 当0>∆时有两个不相等的实数根 ，

当0=∆时有两个相等的实数根

当0<∆时没有实数根。

当△≥0时 有两个实数根

1、解下列方程：

（1）2)3(2

12=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 2、解下列方程： （1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--；（2）08222=-+a ax x

3．若关于x 的方程x 2

＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足 ( ) A.k ＞1 B.k ≥1 C.k ＝1 D.k ＜1

4.关于x 的一元二次方程01)12(2

=-+++k x k x 根的情况是（ ） （A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根

（C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定

5.已知关于x 的方程：032)1(2

=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。

3.韦达定理：x 1＋x 2=a b -

，x 1x 2=a c 1、已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值：

（1）22b a +；（2）b

a 11+

4.分式方程的解法步骤：

（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验

（2） 换元法

例题：错误!未找到引用源。、解方程：2114

42-=+-x x 的解为 06

5422=++-x x x 根为 错误!未找到引用源。解方程03)1

(2)1(

2=-+-+x x x x 的解为 433322=-+-x x x x 的解为 ③111122-+=-x x

；（2）526222=+++x x x x

四、方程组

方程组：−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元

三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元一次方程组的解法：代入消元、加减消元

1.解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x 20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ 11233210

x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 2.解下列方程组：

（1）⎩⎨⎧=-=+52332y x y x ； （2） ⎩⎨⎧==+12

7xy y x 列方程（组）解应用题

知识点：

一、列方程（组）解应用题的一般步骤

1、审题：

2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组）；

4、解方程（组）；

5、检验，作答；

二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题

2、行程问题

（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间

（2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在静水中的速度–水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

三、列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

应用（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）

例题：

例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？

例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A 地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的

3

1处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间