初中数学中的解方程

基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的
方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

例题：.解方程： （1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22
132 （3）关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。

2、一元二次方程
（1） 一般形式：()002
≠=++a c bx ax （2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法
求根公式()002≠=++a c bx ax ()
042422≥--±-=ac b a ac b b x 错误!未找到引用源。

、解下列方程：
（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0；
（3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.
（5）（t －2）（t +1）=0； （6）x 2＋8x －2＝0
(7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ）
（3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系 当0>∆时有两个不相等的实数根 ，
当0=∆时有两个相等的实数根
当0<∆时没有实数根。

当△≥0时 有两个实数根
1、解下列方程：
（1）2)3(2
12=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 2、解下列方程： （1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--；（2）08222=-+a ax x
3．若关于x 的方程x 2
＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足 ( ) A.k ＞1 B.k ≥1 C.k ＝1 D.k ＜1
4.关于x 的一元二次方程01)12(2
=-+++k x k x 根的情况是（ ） （A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根
（C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定
5.已知关于x 的方程：032)1(2
=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。

3.韦达定理：x 1＋x 2=a b -
，x 1x 2=a c 1、已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值：
（1）22b a +；（2）b
a 11+
4.分式方程的解法步骤：
（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2） 换元法
例题：错误!未找到引用源。

、解方程：2114
42-=+-x x 的解为 06
5422=++-x x x 根为 错误!未找到引用源。

解方程03)1
(2)1(
2=-+-+x x x x 的解为 433322=-+-x x x x 的解为 ③111122-+=-x x
；（2）526222=+++x x x x
四、方程组
方程组：−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元一次方程组的解法：代入消元、加减消元
1.解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x 20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ 11233210
x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 2.解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=-=+52332y x y x ； （2） ⎩⎨⎧==+12
7xy y x 列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1、审题：
2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
三、列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

应用（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）
例题：
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A 地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的
3
1处追上甲连。

求乙连的行进速度及追上甲连的时间
例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？
例5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
例6、轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）
例7、某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
例8、已知等式(2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值
解
例9、已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.。