2019年高考数学一轮复习第四章基本初等函数Ⅱ(三角函数)4.5 解三角形练习理

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2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质理.doc

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3]答案 B解析当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，即f (x )的值域为[－32，3]．3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．[－712π，－π12]B ．[－π，－π2]C ．[－π，－712π]，[－π12，0]D ．[－π，－512π]，[－π12，0]答案 C解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π3)．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的递减区间是[－π12＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．因为x ∈[－π，0]，所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π12，0]．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．答案 2或－2解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.题型一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2017·郑州月考)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________．答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1，故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π， k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，54]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________．答案 [32，74]解析函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π， k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.题型三三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. (2)由题意得，1<πk<2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.命题点2 对称性例4 (2016·西安模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6 (2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·朝阳模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．πD ．2π(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．三角函数的性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 答案 C解析函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.9π5D.12π5答案 B解析由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析由f (π8)＝－2，得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin(2x ＋π6)，于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.7．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________．答案 [2k π＋π6，2k π＋56π]，k ∈Z解析由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案1－22解析令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为______________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π (k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．10．(2016·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________．答案 (0，34]解析方法一由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

(通用版)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角函数第三节三角函数的图象与性质实用理

2kπ＋π2， kπ＋32π
[2kπ，2kπ＋π] 为减；[2kπ－ π，2kπ]为增，k
∈Z
kπ－π2，kπ＋π2 为增，k∈Z
为减，k∈Z
对称中心
对称轴
_(_k_π_，__0_)，__k_∈__Z___ _x_＝__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z ___
kπ＋π2，0， k∈Z

sin

x－14
2＋
78，∴当sin x＝14时，ymin＝78；
当sin x＝－12或sin x＝1时，ymax＝2.
故该函数的值域为78，2.
4.[考点二]求函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最值．解：令t＝sin x＋cos x，则t∈[－ 2， 2 ]． ∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，∴sin xcos x＝t2－2 1， ∴y＝32t2＋t－32，t∈[－ 2， 2 ]， ∴对称轴t＝－13∈[－ 2， 2 ]， ∴ymin＝f－13＝32×19－13－32＝－53， ymax＝f( 2)＝32＋ 2.
[方法技巧] 求三角函数单调区间的两种方法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数代换法式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数
的单调性列不等式求解画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求图象法它的单调区间
[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
考法(二) 已知单调区间求参数的值或范围
[例2] (1)(2018·南昌一模)已知f(x)＝cos 2x＋acos π2＋x 在
区间π6，π2上是增函数，则实数a的取值范围为
A．[－2，＋∞)

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课件(打包7套)文新人教A版

关闭思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知
6π
��
π 2π 20π 34π * 角 α 的象限 , 如何求 k α , ( k ∈ N )所在的象限 ? 第一或第二象限或 (1) �� = 3 + ��π,��∈Z (2) 7 , 21 , 21 (3) �� y 轴的非负半轴
定义
各象限符号
一二三四
-7知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
三角函数
正弦
余弦
正切
三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 有向线段 AT 为余弦线为正切线
-8知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)小于90°的角是锐角. ( ) (2)若sin α>0,则α是第一、二象限的角. ( ) (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( (4)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1. ( )
关闭
由题意知 ,角 α 的终边在第二象限 ,在其上任取一点 P(x,y),则 y=-x,由三角函数的定义得 tan α= = �� -1
�� -��
=-1.
解析
关闭
答案
-12知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ 的终边一定落在第象限.
1 1 �� 180 ��

2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§41 三角函数的概念、同角三角函数的基本关.docx

第四章基本初等函数n(三角函数)命题探究解答过程(1)由题设得acsin B=.BP csin B=.由正弓得 sin Csin B=.故 sin Bsin C=・⑵由题设及⑴得cos Bcos C-sin Bsin O•，即cos(B+C)=-.三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度孕方法归纳^ --------------------本甦综合了解三角形、三角恒等变换等相关知识.在知识•'交汇处” 构題，加强了对収華的考舎.诊类问題的第(1)问主婆是一角恒耶变换. 同时为笙⑵问求解型定慕血第⑵ 何足解三角形.斛題思路通常是结合正、余张定理先化简题F中比絞复杂的一个条件・求出边或角，再解三角形❶核心考点1 •三角形的曲积公式2•正裟定理.余兹定理3 •两角和的余弦公式❷规律技巧1 •边长为次•-般用正张定理3边K为二次■一般用余弦定理2用出现次数多的表不出现次散少的.用被求的表示其他的L /储备知识) ---1.S A4ffC=-ya6sin C=^uc»m-|-6csin A2.余弦定理的变形形式"=(6*)2-26c-2Acco« A3.c os( a + )=cos acow P -sin asin ftpO思路分析〕--------------1.肯先利用•也形的面积公式可得-yacsin fi=—然后利用正弦定理nf^sinXin C的值2.沖先结合A7TI和的余裟公式求出B+C.进而求出儿最后利用余弦定理求出皿进而求出用氏(2017葆标全M I > 17, 12知△佃C的内角佔,呷对边分别为a,6,C,已知△4BC的面积为勺J.3ftin4(1)求gin Bsin C；庠> 思维拓展) ----------------，•在求第⑴问时,可选择不商的面积公式，如由题设得y^in C= 聖®inX=-4-T,结合3sm A3sin A正弦定理都可得到Gn flnin C=y 2•求解知(2)问吋注愆整体思想的运用弋易错鳌示〕-----------------错因分析：1 •由于两何中都耍用到而积公式• 所以面枳公式运用不灵沾是本题失分的主要原因.待别址第⑵冋. 选样公式5-y^in人是解題的关2解答第⑵问时，没有想剑利用(I)问的结果和两介和的余弦公式,导致思维受阻而失分所以BK二做A二•由题设^bcsin A二•即be二8・由余弦定理得b2+c2・bc=9,即(b+c / • 3bc=9，得b+c二.e知识延伸〕----------------------- 1•在非宜角△ ABC中.sin(4+B)=sin C; COS(/4+B)=YOS Cgn(4+B)=-Un C 2•在非玄角△ ARC中•忖n 4+tan /?+ tanC=tan A * tan B• tan C 3^AHC为正三角形的充要条件址人仇C成等杀数列Ha,肛成等比数列弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导岀士―兀士a的正弦、余弦、正切的诱导公式，会用三角函数线解决相关问题・4.理解同角三角函数的基本关系式:s 1 n 2x+cos2x=l ,=tan x, 全面系统地掌握知识的来龙去脉、熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查•五年高考三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考点1.(2016课标全BID ,5,5分)若tan a二，则co『a+2sin 2。

(新课标)2019届高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数Ⅱ)4.4三角函数的

2π (2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝sin 2x＋ 3 ，则下面结论正确的是( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 π 到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 π 到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2 12 1 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得 2 π 到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2 6 1 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得 2 π 到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2 12
π 解：函数 y＝2sin 2x＋6 的周期为 π，将函数 y π 1 π ＝2sin 2x＋6 的图象向右平移个周期即个单位， 4 4 π π π 所得函数为 y ＝2sin 2 x－4 ＋6 ＝ 2sin 2x－3 . 故选 D.
π (南京市、盐城市 2017 届高三一模)将函数 y＝3sin 2x＋3 π 0< φ < 的图象向右平移 φ 2个单位后，所得函数为偶函数，则 φ＝ ________.
π π 2 x ＋ 0< φ < 解：因为 y＝3sin 3的图象向右平移 φ 2个单位后， π π 所得函数为 y＝3sin 2（x－φ）＋3 ，即 y＝3sin 2x＋3－2φ是偶函
π 解：因为 y＝sinx＋ 3cosx＝2sin x＋3 ， y＝sinx－ 3cosx π 2π π ＝2sin x－3 ＝2sin x＋3 － 3 ，所以函数 y＝sinx－ 3cosx

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数

A．5 A
5 B.2 A
C．2 A
D．－5 A
解：当 t＝2100 s 时，电流 I 为 5sinπ2＋π3＝52 (A)．故
选 B.
某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似
地用三角函数 y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12)来
表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的月平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的平均气温为________℃.
3．y＝|sinx|是以______为周期的波浪形曲线．
4．太阳高度角 θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系：________________.
自查自纠
1．三角函数 2.周期函数拟合 3.π 4.h0＝htanθ
已知某人的血压满足函数解析式 f(t)＝24sin160πt＋
t/s
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.8
－ y/cm －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8
4.0
解：设 y＝Asin(ω·t＋φ)，则从表中可以得到 A＝4，T＝0.8，
所以 ω＝2Tπ＝02.π8＝52π，所以 y＝4sin52πt＋φ，
类型二根据解析式建立图象模型
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω ＞0，|φ| ＜π2)在一个周期内的图象如图所示．根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
解：由图象可知，A＝300，周期 T＝2×1180＋9100＝715，所以 ω＝2Tπ＝150π，又由 sin150π×1810＋φ＝0，且|φ|<2π，得 φ＝6π. 所以 I＝300sin150πt＋π6.

2019高考数学一轮复习第四章基本初等函数Ⅱ(三角函数)42三角函数的图象与性质练习理

地地道道的达到§4.2三角函数的图象与性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度①能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象 , 认识2017 课标全国Ⅰ,9;1. 三角函数的三角函数的周期性 ; 选择题2016 北京 ,7;图②认识函数 y=Asin( ω x+φ ) 的物理意义 ; 能画出掌握填空题★★★2016 课标全国象及其变换y=Asin( ω x+φ ) 的图象 , 认识参数 A, ω , φ对函数解答题Ⅲ,14;图象变化的影响2015 湖南 ,92017 课标全国2. 三角函数的理解正弦函数、余弦函数的性质( 如单一性、最大Ⅲ,6; 选择题性值和最小值以及与x 轴交点等 ). 理解正切函数的理解2016 课标全国填空题★★★质及其应用单一性Ⅱ,7; 解答题2015 课标Ⅰ ,8剖析解读三角函数的图象和性质向来是高考取的热门, 常常联合三角公式进行化简和变形来研究函数的单一性、奇偶性、对称性及最值问题 , 且常以解答题的形式考察, 其考察内容及形式还是近几年高考对该部分内容考查的要点 . 分值为 10~12 分 , 属于中低档题 .五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017 课标全国Ⅰ ,9,5 分 ) 已知曲线 C :y=cos x,C :y=sin, 则下边结论正确的选项是 ( )1 2A. 把 C1上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍 , 纵坐标不变 , 再把获得的曲线向右平移个单位长度, 获得曲线 C2B. 把 C1上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍 , 纵坐标不变 , 再把获得的曲线向左平移个单位长度, 获得曲线 C2C. 把 C 上各点的横坐标缩短到本来的, 纵坐标不变 , 再把获得的曲线向右平移个单位长度, 获得曲线 C1 2D. 把 C1上各点的横坐标缩短到本来的, 纵坐标不变 , 再把获得的曲线向左平移个单位长度, 获得曲线 C2答案 D2.(2016 北京 ,7,5 分 ) 将函数 y=sin 图象上的点 P向左平移 s(s>0) 个单位长度获得点 P'. 若 P' 位于函数 y=sin 2x 的图象上 , 则()A.t=,s 的最小值为B.t=,s 的最小值为C.t=,s 的最小值为D.t=,s 的最小值为答案 A3.(2015 湖南 ,9,5 分 ) 将函数f(x)=sin 2x 的图象向右平移φ 个单位后获得函数g(x) 的图象 . 若对知足|f(x 1)-g(x 2)|=2的x1,x 2,有|x 1-x 2| min=,则φ=( )A. B. C. D.答案 D4.(2016课标全国Ⅲ ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象起码向右平移个单位长度获得 .答案5.(2017 山东 ,16,12 分 ) 设函数 f(x)=sin+sin, 此中 0<ω <3. 已知 f =0.(1) 求ω ;(2) 将函数 y=f(x) 的图象上各点的横坐标伸长为本来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ), 再将获得的图象向左平移个单位, 得到函数 y=g(x) 的图象 , 求 g(x) 在上的最小值 .分析此题考察了y=Asin( ω x+φ ) 的图象和性质.地地道道的达到(1) 因为 f(x)=sin+sin,所以 f(x)=sinω x-cosω x-cosω x=sinω x-cosω x==sin.由题设知f=0, 所以 -=k π,k ∈Z.故ω =6k+2,k ∈Z, 又 0<ω<3, 所以ω =2.(2) 由 (1) 得 f(x)=sin,所以 g(x)=sin=sin.因为 x∈, 所以 x- ∈,当 x-=-, 即 x=- 时 ,g(x) 获得最小值 -.教师用书专用(6 — 15)6.(2016四川,3,5分)为了获得函数y=sin 的图象 , 只要把函数y=sin 2x的图象上全部的点()A.向左平行挪动个单位长度B.向右平行挪动个单位长度C.向左平行挪动个单位长度D.向右平行挪动个单位长度答案 D7.(2015 四川 ,4,5 分 ) 以下函数中 , 最小正周期为π且图象对于原点对称的函数是 ( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案 A8.(2015 山东 ,3,5 分 ) 要获得函数 y=sin 的图象 , 只要将函数 y=sin 4x 的图象 ( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位答案 B9.(2014 浙江 ,4,5 分 ) 为了获得函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象 , 能够将函数 y=cos 3x 的图象 ( )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位答案 C10.(2014 辽宁 ,9,5 分 ) 将函数 y=3sin 的图象向右平移个单位长度 , 所得图象对应的函数 ( )A.在区间上单一递减B.在区间上单一递加C.在区间上单一递减D.在区间上单一递加答案 B11.(2013 湖北 ,4,5 分 ) 将函数 y=cos x+sin x(x ∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后 , 所获得的图象对于y 轴对称 , 则 m的最小值是 ()A. B. C. D.答案 B12.(2013 山东 ,5,5 分 ) 将函数 y=sin(2x+ φ ) 的图象沿 x 轴向左平移个单位后 , 获得一个偶函数的图象, 则φ的一个可能取值为 ( )A. B. C.0 D.-答案 B13.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ω x+φ )的部分图象以下图, 则ω , φ的值分别是 ()地地道道的达到A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案 A14.(2016 江苏 ,9,5 分 ) 定义在区间[0,3 π] 上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象的交点个数是.答案715.(2015 湖北 ,17,11 分 ) 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin( ω x+φ ) 在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数据 , 以下表 :ω x+φ0 π2πxAsin( ω x+5 -5 0φ ) 0(1) 请将上表数据增补完好, 并直接写出函数 f(x) 的分析式 ;(2) 将 y=f(x) 图象上全部点向左平行挪动θ ( θ >0) 个单位长度 , 获得 y=g(x) 的图象 . 若 y=g(x) 图象的一个对称中心为 , 求θ的最小值 .分析(1) 依据表中已知数据 , 解得 A=5, ω=2, φ =- .数据补全以下表 :ω x+φ0 π2πx πAsin( ω x+5 0 -5 0φ ) 0且函数表达式为f(x)=5sin.(2) 由 (1) 知 f(x)=5sin,得 g(x)=5sin.因为 y=sin x的对称中心为(kπ ,0),k∈Z.令 2x+2θ -=k π,解得 x=+- θ ,k ∈Z.因为函数y=g(x) 的图象对于点成中心对称,令 +- θ=, 解得θ =- ,k ∈Z.由θ >0 可知 , 当 k=1 时 , θ获得最小值 .考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国Ⅲ ,6,5分)设函数f(x)=cos,则以下结论错误的选项是()A.f(x)的一个周期为-2 πB.y=f(x)的图象对于直线x=对称C.f(x+ π ) 的一个零点为x=D.f(x)在单一递减答案 D2.(2016 课标全国Ⅱ ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度, 则平移后图象的对称轴为()A.x=- (k ∈Z)B.x=+(k ∈Z)C.x=- (k ∈Z)D.x=+(k ∈Z)答案 B3.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A. 与 b 相关 , 且与 c 相关B. 与 b 相关 , 但与 c 没关C. 与 b 没关 , 且与 c 没关D. 与 b 没关 , 但与 c 相关答案 B4.(2015课标Ⅰ ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ )的部分图象以下图, 则 f(x)的单一递减区间为()A.,k ∈ZB.,k ∈ZC.,k ∈ZD.,k ∈Z答案 D5.(2014 北京 ,14,5 分) 设函数 f(x)=Asin( ω x+φ)(A, ω , φ是常数 ,A>0, ω>0). 若 f(x) 在区间上拥有单一性 , 且 f=f=-f, 则 f(x) 的最小正周期为.答案π6.(2017 浙江 ,18,14 分 ) 已知函数 f(x)=sin 2x-cos 2x- 2·sin xcos x(x ∈R).(1) 求 f 的值 ;(2) 求 f(x) 的最小正周期及单一递加区间 .分析此题主要考察三角函数的性质及其变换等基础知识, 同时考察运算求解能力 .(1)由 sin=,cos=-,f=-- 2××,得 f=2.(2) 由 cos 2x=cos 2x-sin 2x 与 sin 2x=2sin xcos x 得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以 f(x) 的最小正周期是π .由正弦函数的性质得 +2kπ ≤2x+≤+2k π ,k ∈Z,解得 +kπ ≤x≤+k π ,k ∈Z.所以 , f(x) 的单一递加区间是 (k ∈Z).教师用书专用 (7 — 16)7.(2016 山东 ,7,5 分 ) 函数 f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x) 的最小正周期是 ( )A. B. π C. D.2 π答案 B8.(2014 陕西 ,2,5 分 ) 函数 f(x)=cos 的最小正周期是 ( )A. B. π C.2 π D.4 π答案 B9.(2013 北京 ,3,5 分) “ φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+ φ ) 过坐标原点”的 ()A. 充分而不用要条件B. 必需而不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件答案 A10.(2013 浙江 ,4,5 分 ) 已知函数 f(x)=Acos( ω x+φ )(A>0, ω >0, φ ∈R), 则“ f(x) 是奇函数”是“φ =”的( )A. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件答案 B11.(2015 浙江 ,11,6 分 ) 函数 f(x)=sin 2x+sin xcos x+1 的最小正周期是, 单一递减区间是.答案π ;(k ∈Z)12.(2014 上海 ,1,4 分 ) 函数 y=1-2cos 2(2x) 的最小正周期是.答案13.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsincos-.(1)求 f(x) 的定义域与最小正周期 ;(2)议论 f(x) 在区间上的单一性 .分析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tan xcos xcos-=4sin xcos-=4sin x-=2sin xcos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin.所以 , f(x)的最小正周期T==π .(2) 令 z=2x-, 易知函数y=2sin z的单一递加区间是,k∈Z.由 -+2k π ≤2x - ≤+2k π , 得 -+k π≤x≤+k π,k ∈Z.设 A=,B=, 易知 A∩B=.所以 , 当 x∈时 , f(x)在区间上单一递加, 在区间上单一递减.14.(2015重庆,18,12分)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.(1)求 f(x) 的最小正周期和最大值 ;(2)议论 f(x) 在上的单一性 .分析 (1)f(x)=sinsin x-cos 2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,所以 f(x)的最小正周期为π ,最大值为.(2) 当 x∈时 ,0 ≤2x - ≤ π, 进而当 0≤2x - ≤, 即≤ x≤时 ,f(x)单一递加,当≤ 2x - ≤ π , 即≤ x≤时 ,f(x)单一递减.综上可知 ,f(x)在上单一递加; 在上单一递减 .15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求 f(x) 的单一区间 ;(2)在锐角△ ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 f=0,a=1, 求△ ABC面积的最大值 . 分析(1) 由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由 -+2k π ≤2x≤+2k π ,k ∈Z, 可得 -+k π ≤x≤+k π ,k ∈Z;由 +2kπ ≤2x≤+2k π ,k ∈Z, 可得 +kπ ≤x≤+k π ,k ∈Z.所以 f(x)的单一递加区间是(k∈Z);单一递减区间是 (k ∈Z).(2) 由 f=sin A-=0,得sin A=,由题意知 A 为锐角 , 所以 cos A=.22 2可得 1+bc=b2+c2≥2bc, 即 bc≤2+, 且当 b=c 时等号建立 .所以 bcsin A ≤.所以△ ABC面积的最大值为.16.(2013安徽,16,12分)已知函数f(x)=4cosω x·sin(ω >0)的最小正周期为π.(1)求ω的值 ;(2)议论 f(x) 在区间上的单一性 .分析(1)f(x)=4cosωx·sin2=2sinω x·cosω x+2cosω x=2sin+.因为 f(x)的最小正周期为π ,且ω >0,进而有 =π , 故ω =1.(2) 由 (1) 知 , f(x)=2sin+.若 0≤x≤, 则≤ 2x+≤.当≤ 2x+≤, 即 0≤x≤时 , f(x)单一递加;当≤ 2x+≤, 即≤ x≤时 , f(x)单一递减.综上可知 , f(x)在区间上单一递加, 在区间上单一递减.三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018四川德阳三校联考,5) 将函数f(x)=sin 2x图象上的点保持纵坐标不变, 将横坐标缩短为本来的, 再将图象向右平移个单位长度后获得g(x) 的图象 , 则 g(x) 的分析式为 ()A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=sinD.g(x)=sin答案 C2.(2017河南百校联考,6) 已知将函数f(x)=tan(2<ω <10)的图象向右平移个单位后与f(x)的图象重合,则ω =()A.9B.6C.4D.8答案 B3.(2016福建福州一中 1 月模拟 ,6) 已知函数f(x)=Asin(ω x+φ ) A>0,ω >0,|φ |<的部分图象以下图, 为了获得函数g(x)=Asinω x的图象,只要要将y=f(x)的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度答案 D考点二三角函数的性质及其应用4.(2018 辽宁鞍山一中一模,4) 函数 f(x)=2sin xcos x+cos 2x 图象的对称轴为 ( )A.x=- (k ∈Z)B.x=+(k ∈Z)C.x=- (k ∈Z)D.x=+(k ∈Z)答案 D5.(2017 豫南九校 2 月联考 ,7) 已知函数 f(x)=sin 2x-2cos 2x, 以下结论错误的选项是( )A. 函数 f(x) 的最小正周期是πB. 函数 f(x) 的图象对于直线x=对称C. 函数 f(x) 在区间上是增函数D. 函数 f(x) 的图象可由 g(x)=2sin 2x-1 的图象向右平移个单位长度获得答案 D呵呵复生复生复生地地道道的达到xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线()A.x=B.x=C.x=D.x=-答案 D7.( 人教 A 必 4, 一 ,1-4A,3, 变式 ) 函数 f(x)=sin+cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A.,B., πC.,D., π答案 BB 组 2016— 2018 年模拟·提高题组(满分 :45 分时间 :40 分钟 )一、选择题 ( 每题 5 分,共 25分)1.(2018 河北衡水模拟 ,9) 设函数 f(x)=2cos( ω x+φ ) 对任意的x∈R, 都有f=f, 若函数g(x)=sin( ω x+φ )+cos( ω x+φ )+2, 则 g 的值是 ( )A.2B.0C.2 或 4D.1 或 3答案 D2.(2018 广东广雅中学、华东中学、河南名校第一次联考,12) 已知函数 f(x)=(1-2cos 2xcos xcos, x)sin-2sinf(x) 在上单一递加 , 若 f ≤m恒建立 , 则实数 m的取值范围为 ( )A. B. C.[1,+ ∞) D.答案 C3.(2017 山西五校 3 月联考 ,8) 设 k∈R,则函数 f(x)=sin+k 的部分图象不行能为 ( )答案 D4.(2017河北名校二模,8) 函数 f(x)=sinω x(ω >0)的图象向右平移个单位获得函数y=g(x) 的图象 , 而且函数g(x) 在区间上单一递加, 在区间上单一递减, 则实数ω的值为 ()A. B. C.2 D.答案 C5.(2016 福建龙岩一模,11) 已知函数 f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图象以下图,△EFG是边长为 2 的等边三角形 , 为了获得g(x)=Asinω x的图象,只要将f(x)的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度答案 A二、解答题 ( 共 20 分)6.(2018 江苏常州武进期中,15) 如图为函数y=f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )图象的一部分,此中点P是图象上的一个最高点, 点 Q是与点 P 相邻的与x 轴的一个交点 .(1)求函数 f(x) 的分析式 ;(2) 若将函数f(x) 的图象沿x 轴向右平移个单位, 再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为本来的( 纵坐标不变 ), 获得函数y=g(x) 的图象 , 求函数 y=g(x) 的单一递加区间.分析(1) 由题图可知A=2,T=4×=4 π , ∴ ω==, 故 f(x)=2sin.又∵点 P 在函数图象上,∴2sin=2, 即 +φ=+2kπ (k ∈Z), ∴ φ =-+2k π (k ∈Z),又∵|φ |< π , ∴ φ =-,故 f(x)=2sin.(2) 由 (1) 得 , f(x)=2sin,把函数 f(x)的图象沿x 轴向右平移个单位,获得 y=2sin 的图象 ,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为本来的( 纵坐标不变 ), 获得 g(x)=2sin的图象,由 2kπ - ≤2x - ≤2k π +(k ∈Z), 得 kπ - ≤x≤kπ +(k ∈Z),故 g(x) 的单一递加区间是 (k ∈Z).7.(2017 山西临汾一中等五校第二次联考,17) 已知函数 f(x)=2sin xcos x-cos 2x(x ∈R).(1) 若 f( α )= 且α ∈, 求 cos 2 α;(2) 求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程 ;(3)记函数 f(x) 在 x∈上的最大值为 b, 且函数 f(x) 在 [a π ,b π ](a<b) 上单一递加 , 务实数 a 的最小值 .分析(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.∵f( α)=, ∴sin=, 又α∈,∴2α - ∈, ∴cos= -.∴c os 2 α =cos=- × - ×=-.(2) ∵f '(x)=4cos, ∴f '(0)=2, 又f(0)=-,∴所求切线方程为y=2x-.(3) 当 x∈时 ,2x- ∈,f(x) ∈[1,2], ∴b=2.由 -+2k π ≤2x - ≤+2k π (k ∈Z), 得 -+k π ≤x≤+k π (k ∈Z).又函数 f(x)在[aπ ,2π ](a<2)上单一递加,∴[aπ ,2π ] ? ,∴-+2π ≤aπ <2π ,∴a min=.C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1依据图象确立函数分析式1.(2018广东茂名化州二模,9) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π )的部分图象以下图, 且f( α )=1, α ∈, 则 cos=()A. ±B.C.-D.答案 C2.(2017湖北七市3月联考,6)函数f(x)=Asin(ω x+φ )的部分图象以下图, 若 x1,x 2∈,x 1≠x2且 f(x 1)=f(x2), 则 f(x 1+x2)=()A.1B.C.D.答案 D方法 2 三角函数的单一性问题的常有种类及解题策略3.(2017 河北衡水中学三调考试,7) 已知函数 f(x)=Asin( ωx+φ )(A>0, ω >0) 的图象与直线y=a(0<a<A) 的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8, 则 f(x) 的单一递减区间是 ( )A.[6k π ,6k π +3],k ∈ZB.[6k π -3,6k π ],k ∈ZC.[6k,6k+3],k ∈ZD.[6k- 3,6k],k ∈Z答案 D方法 3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的求解方法4.(2018 广东东莞二调 ,10) 已知函数 f(x)=sin x+λ cos x( λ ∈R)的图象对于 x=- 对称 , 若把函数 f(x) 的图象上每个点的横坐标扩大到本来的 2 倍 , 再向右平移个单位 , 获得函数 g(x) 的图象 , 则函数 g(x) 图象的一条对称轴方程为 ( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案 D5.(2017 广东清远清城期末,9) 已知函数 f(x)=sin( ω x+φ ) ω >0,| φ |< , 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 , 且函数 f 是偶函数 , 以下判断正确的选项是 ( )A. 函数 f(x) 的最小正周期为2πB. 函数 f(x) 的图象对于点对称C. 函数 f(x) 的图象对于直线x=- 对称D. 函数 f(x) 在上单一递加答案 D。

通用版2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角函数第五节三角恒等变换实用课件理

2π 1 3 4 3 1 4 sin αsin ＝－ cos α－ sin α＝，∴ sin α＋ cos α＝－ . 3 2 2 5 2 2 5
π ∴sinα＋3 ＋sin 3 3 3 1 α＝ sin α＋ cos α＝ 3 sin α＋ cos α ＝ 2 2 2 2
π π (2)(2018· 江西南昌模拟)已知 tan 2α＝－2 2，且满足 <α< ， 4 2 2cos －sin α－1 2 则 π 的值是 2sin4＋α A. 2 B．－ 2 C．－3＋2 2
2α
(
)
D．3－2 2
π 3π 5 10 (3)若 sin 2α＝， sin(β－α)＝，且 α∈4，π， β∈π， 2 ， 5 10
则 α＋β 的值是 7π A. 4 5π 7π C. 或 4 4
[解析]
( 9π B. 4 5π 9π D. 或 4 4
)
24 (1)因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－，即 1－2sin αcos 25
49 49 2 α＝，所以(sin α－cos α) ＝，又 α 为第二象限角，所以 cos 25 25 7 α<sin α，则 cos α－sin α＝－ . 5
[答案]
(1)4sin α
3 (2) 2
[ 方法技巧]
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
三角函数的给值求值(角)
[例 2] (1)(2018· 成都诊断)已知 α 为第二象限角，且 sin 2α ( 1 C. 5 1 D．－ 5 )
24 ＝－，则 cos α－sin α 的值为 25 7 A. 5 7 B．－ 5
π 范围是0，2 ，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)， π π 选余弦函数较好；若角的范围为－ 2，2 ，选正弦函数较好．

高考数学一轮复习第四章三角函数基本初等函数Ⅱ

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．§4.1 弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为； ③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________；③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ________________________；④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________________；⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_______________________；⑥终边在y 轴上的角的集合可记作； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作． (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝＝．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝xy (y ≠0)，sec α＝rx(x ≠0)，csc α＝ry(y ≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域 sin α ① cos α ② tan α ③ sin α cos α tan α 4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的弧度数 sinα cosα tanα※sin15°＝6－2，sin75°＝6＋2，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．(1)射线逆时针顺时针零角 (2)原点非负半轴 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z } (3)坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }2．(1)半径长lr(2)2πππ180⎝⎛⎭⎪⎫180π°(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαsinαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα12223213222120 －1 0cosα13222120 －12－22－32－1 0 1tanα331 3不存在－3－1－33不存在如果sinα＞0，且cosα＜0，那么α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解：∵sinα＝yr＞0, cosα＝xr＜0，∴x＜0，y＞0.∴α是第二象限角．故选B.与－463°终边相同的角的集合是( )A.{}α|α＝k·360°＋463°，k∈ZB.{}α|α＝k·360°＋103°，k∈ZC.{}α|α＝k·360°＋257°，k∈ZD.{}α|α＝k·360°－257°，k∈Z解：显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°.故选C.给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2kπ(k∈Z)．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，而第二象限角为⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，故不正确；③若α＝β＋2kπ，k∈Z，α与β的终边相同，但当k≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B.若点P()x，y是30°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解：yx＝tan30°＝33.故填33.半径为R的圆的一段弧长等于23R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23RR＝2 3.故填2 3.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)∵180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)∵45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，∴α2的终边在第一或第三象限．(3)∵30°＋k·120°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°，∴α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴lAB ︵＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12lAB ︵R －12R 2sin ∠AOB＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3.点拨：①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ，∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，解得r ＝1或3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)， ∴r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a .∴sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55， tan α＝y x ＝2aa＝2.点拨：若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5.∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0. (2)∵cos α≤0且sin α＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0. ∴－2＜m ≤3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆． (1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.图1(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP ，设它交单位圆于A 点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB.图2在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1，所以|sin α|＋|cos α|＞1.综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.点拨：三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S△POA<S 扇形POA <S △AOT ，即12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)ksin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角解：∵sin θcos θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0，cos θ>0.∴角θ是第二或第四象限角．故选D. 2．(2014·全国)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45解：cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D . 3．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25B .25C ．0D .25或－25解：∵x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，∴r ＝－5a ，∴sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A. 4．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}解：(1)当x 的终边落在第一象限时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，∴y ＝1＋1＋1＝3；(2)当x 的终边落在第二象限时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，∴y ＝1－1－1＝－1；(3)当x 的终边落在第三象限时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，∴y ＝－1－1＋1＝－1；(4)当x 的终边落在第四象限时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1.又依题意知角x 的终边不可能落在坐标轴上， ∴上述函数的值域为{－1，3}．故选D.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C .2sin1D ．sin2解：∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝||αR ＝2sin1.故选C.6．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad ＞π4rad ，∵OM ＜22＜MP ＜AT ，∴cos1＜sin1＜tan1.故选D. 7．点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为__________．解：由三角函数的定义知点Q (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 23π＝－12，y ＝sin 23π＝32.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 8．若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．解：设该扇形的半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .∴S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r＝－(r －15)2＋225.∴当r ＝15时，S 最大，最大值为225cm 2.此时，θ＝l r ＝3015＝2rad .故填15；2.9．若α是第三象限角，则2α，α2分别是第几象限角？解：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴2α是第一、二象限角，或角的终边在y 轴非负半轴上．又k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，∴当k ＝2m (m ∈Z )时，2m π＋π2<α2<2m π＋34π(m ∈Z )，则α2是第二象限角；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2m π＋32π<α2<2m π＋74π(m ∈Z )，则α2是第四象限角．故α2是第二、四象限角．10．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形半径为r ，则弧长为10－2r ，∴S ＝12·(10－2r )·r ＝4，解得r ＝1或4.当r ＝1时，α＝8＞2π，舍去；当r ＝4时，α＝10－2×44＝12.因此，α＝12.11．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．解：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.又cos α＝x x 2＋2＝36x ，∴x ＝±10，r ＝2 3.当x ＝10时，点P (10，－2)，由三角函数定义知sin α＝－66，tan α＝－210＝－55.∴sin α＋tan α＝－66－55＝－56＋6530. 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋tan α＝65－5630. 求sin15°，cos15°，tan15°的值．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C＝90°，延长CA 到D 使AD ＝AB ，则△ABD 是等腰三角形且∠D ＝15°.设|BC |＝1，则|AD |＝|AB |＝2，|AC |＝3，因此|CD |＝|AD |＋|AC |＝2＋ 3.利用勾股定理|BD |2＝|CD |2＋|BC |2，代入得|BD |2＝(2＋3)2＋12＝8＋43＝2(3＋1)2，开平方得|BD |＝2(3＋1)．故sin15°＝|BC ||BD |＝12（3＋1）＝6－24，cos15°＝|CD ||BD |＝2＋32（3＋1）＝6＋24，tan15°＝|BC ||CD |＝12＋3＝2－ 3.§4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________； ② ．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝ ⎛⎭⎪⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin (360°＋120°)＝sin120°，sin (270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠：1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)(2)不变锐角象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解：⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.故选D. 已知sin θ＜0，tan θ＞0，则1－sin 2θ的化简结果为( )A ．cos θB ．－cos θC ．±cos θD ．以上都不对解：∵sin θ＜0，tan θ＞0，∴cos θ＜0，1－sin 2θ＝cos 2θ＝－cos θ.故选B.(2014·全国)设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°，∴c ＞b ＞a .故选C .已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， ∴cos α＝－25 5.∴tan α＝sin αcos α＝－12.∴tan(π－α)＝－tan α＝12.故填12.若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.解：由sin θ＝－45＜0且tan θ＞0，知角θ为第三象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.故填－35.类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)已知sin α＝13，且α为第二象限角，求tan α；(2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α.解：(1)∵sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. ∴tan α＝sin αcos α＝－24.(2)∵sin α＝13，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m2.点拨：解题时要注意角的取值范围，分类讨论，正确判断函数值的符号．设sin α2＝45，且α是第二象限角，求tan α2的值．解：∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．(1)当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，∴tan α2＝sinα2cosα2＝43；(2)当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.类型二诱导公式的运用(1)化简错误!；(2)已知α是第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ()α＋πtan （－α－π）sin （－α－π）.①若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； ②若α＝－1860°，求f (α)的值．解：(1)原式＝错误!＝－tan α.(2)f (α)＝sin α·cos α·tan α（－tan α）·sin α＝－cos α.①∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. ∵α是第三象限的角，∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.f (α)＝－cos α＝256.②f (α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－12.点拨：①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．化简：(1)sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1；(2)cos （π＋α）·sin 2（3π＋α）tan 2α·cos 3（－π－α）. 解：(1)原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)原式＝（－cos α）·sin 2αtan α·（－cos α）＝sin 2αtan 2α·cos 2α＝tan 2αtan 2α＝1. 类型三关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.点拨：(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．已知tan α＝3，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．解法一：sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋1＝32－3×332＋1＋1＝1.解法二：∵tan α＝3＞0， ∴α是第一、三象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010(α为第一象限角)，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010，cos α＝－1010(α为第三象限角)．∴sin αcos α＝310.∴sin 2α－3sin αcos α＋1＝910－3×310＋1＝1.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子．※(2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan αcot α＝tan45°＝sec 2α－tan 2α等．(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)理解sin α±cos α，sin αcos α的内在联系，利用(sin α±cosα)2＝1±2sin αcos α，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22B .22C ．－32D .32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A. 2．(2013·全国)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C .513 D .1213解：∵α是第二象限角，sin α＝513，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选A .3．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°解：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin ()180°－12°＝sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°.故选C.4．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin 15°)的值等于( )A .12B ．－12C .32D ．－32解：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.故选D. 5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝( )A.35B.53C.45D.54解：由5x 2－7x －6＝0得x ＝－35或x ＝2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α（－cos α）·tan 2αsin α·（－sin α）·（－sin α）＝1－sin α＝53.故选B.6．已知sin α－cos α＝2，α∈()0，π，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C .22 D ．1解：将sin α－cos α＝2两端平方，整理得2sin αcos α＝－1，∴2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－1，即(tan α＋1)2＝0，解得tan α＝－1.故选A.7．已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α的值是________．解：∵π4＜α＜π2，∴sin α＞cos α.∵1－2sin αcos α＝(cos α－sin α)2＝34，∴cos α－sin α＝－32.故填－32.8．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2015)＝6，则f (2016)＝________.解：f (2015)＝a sin(2015π＋α)＋b cos(2015π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝－2，∴f (2016)＝a sin(2016π＋α)＋b cos(2016π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝2.故填2.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58. (2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. 若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵A ＋B ＞π2，且A ，B 为锐角，∴π2＞A ＞π2－B ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， cos A ＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin B ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．故选B.§4.3 三角函数的图象与性质(2π，0)(2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1)2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ④[－1，1]⑤[－1，1] ⑥x ＝k π＋π2(k ∈Z ) ⑦(k π，0)(k ∈Z )⑧x ＝k π(k ∈Z ) ⑨⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) ⑪2π ⑫2π ⑬π ⑭⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ⑮⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) ⑯[2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⑰[2k π，2k π＋π](k ∈Z )⑱⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ⑲奇函数 ⑳偶函数 ○21奇函数函数f (x )＝sin2x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解：∵f (－x )＝－sin2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的一个单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，7π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4解：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋3π4](k ∈Z )．故选B. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解：令x －π3＝π2＋k π，得x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，观察各选项知，故选A .函数y ＝cos x －12的定义域为________．解：∵cos x －12≥0，∴cos x ≥12，2k π－π3≤x≤2k π＋π3，k ∈Z .故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________________.解：∵函数f ()x ＝sin x ＋φ3()φ∈[]0，2π是偶函数，∴φ3＝π2＋k π，φ＝3π2＋3k π，k ∈Z .又∵φ∈[]0，2π，∴φ＝3π2.故填3π2.类型一三角函数的定义域、值域(1)求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x＞cos x ，只须π4＜x ＜5π4(在[0，2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .点拨：①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解：原式＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.∴当cos x ＝－12，即x ＝23π时，y 有最大值154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y 有最小值－14.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154. (3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．解：∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4，∴当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为 2.点拨：求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．、(1)求函数y ＝lgsin x2sin x －3的定义域；(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值．解：(1)∵y ＝lgsin x2sin x －3，∴⎩⎨⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.∴原函数的定义域为{x |2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)解法一：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x，∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32.解法二：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1，又∵－1≤cos x ＜1，∴－1≤y －2y －1＜1.∴y ≥32.∴函数的最小值为32.类型二三角函数的周期性(2014·全国课标Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C .点拨：①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝|cos x |的图象即是将y ＝cos x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ；(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3. 解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin (x ＋φ)＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin(4x －π3)的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4. 类型三三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝(－sin2x )(－cos x ) ＝cos x sin2x .∵f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，∴f (x )是奇函数．(2)∵1＋sin x ＋cos x ＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 2≠0，∴x ≠π＋2k π且x ≠－π2＋2k π，k ∈Z .∴f (x )的定义域不关于原点对称．故f (x )是非奇非偶函数．点拨：判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2sin x －1；(2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此区间不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．(2)由题意知函数f (x )的定义域为R .f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）] ＝lg ()－sin x ＋1＋sin 2x＝lg 11＋sin 2x ＋sin x ＝－lg(1＋sin 2x ＋sin x ) ＝－f(x )．∴函数f (x )是奇函数．类型四三角函数的单调性(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间；(2)求y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )． (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， T ＝π||ω＝π14＝4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，解得4k π－43π<x <4k π＋83π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－43π，4k π＋83π(k ∈Z )．点拨：若函数y ＝sin(ωx ＋φ)中ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－sin(－ωx －φ)的形式(目的是将x 的系数变为正)，将“－ωx －φ”视为一个整体，那么y ＝－sin(－ωx －φ)的增区间为y ＝sin(－ωx －φ)的减区间，其减区间为y ＝sin(－ωx －φ)的增区间．对于函数y ＝cos(ωx ＋φ)，y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＜0)等的单调性的讨论同上．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，求f (x )的单调递增区间．解：由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π4，2k π3＋π12 (k ∈Z )．类型五三角函数图象的对称性(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．解：∵y ＝f (x ＋φ)＝2sin(x ＋π3＋φ)的图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又|φ|≤π2，∴φ＝π6.故填π6.(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 解：对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝3π8，y ＝1.故选B.点拨：①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求x ；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为②的情形，这一部分将在“4.6三角恒等变换”中涉及．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解：由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选A.1．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．2．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．3．求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．。

(新课标)2019届高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数Ⅱ)4.2同角三角函数的基本关系

1 3 解：因为 sinα＋cosα＝， α是第四象限角，所以 sinα＝－， 5 5 2 1－cosα 4 1 cosα＝，则 tan ＝＝＝＝－ .故选 B. 5 2 3 α sinα α α cos 2sin cos 2 2 2 2
α
sin
α
2sin
2α
(2016· 四川)sin750° ＝________.
解：因为 sinθ＝sin(k· 360° ＋θ)(k∈Z)，所以 1 1 sin750° ＝sin(2×360° ＋30° )＝sin30° ＝ .故填 . 2 2
sin3（π－α）＋cos（α＋π）的值为________． 5 π 7 π 5cos 2 －α＋3sin 2 －α 三角函数的基本关系式进行化简和求值
π 0 ， (1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知 a∈ tanα ＝2， 2， π 则 cos α －4 ＝________； 1 (2)已知 sinα ＝，求 tanα ； 3
(3)已知 sinα ＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα .
π π (2017· 郑州质检)已知 cos 2＋α ＝2sin α －2 ，则
π π 解：因为 cos 2＋α ＝2sin α－2 ，所以－sinα＝－2cosα， 1 则 sinα＝2cosα，代入 sin α＋cos α＝1，得 cos α＝ . 5 sin3（π－α）＋cos（α＋π） sin3α－cosα 所以＝＝ 5 7 5sinα－3cosα π － α π － α 5cos 2 ＋3sin2 8cos3α－cosα 8 1 3 3 2 ＝ ·cos α－＝ .故填 . 7 7 35 35 7cosα

高考数学一轮复习第四章基本初等函数Ⅱ(三角函数)4.5 解三角形课件理

解题导引
解析解法一:已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A. 由正弦定理可知上式可化为 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π, 得2A=2B或2A=π-2B,
7 = 3 .
另解二:∠BAD= ,由余弦定理得cos C= 2 ,∴CD= 7,∴AD= 3 ,∴S△ABD
6
7
= 1 ×4× 3 ×sin∠DAB= 3 . 另2解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在△ABE中,∠EAB= 23 - 2
= ,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D
解题导引
解析 (1)由已知可得tan A=- ,3所以A= 2.
3
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos 2 ,
3
即c2+2c-24=0.
解得c=-6(舍去),或c=4.
(2)由题设可得∠CAD= ,
2
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= .
6
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
1 2
AB= A1D.
sin
6
1 AC AD
又△ABC的面积为 1 ×4×2sin∠BAC=2 ,32
2
所以△ABD的面积为 3.
一题多解 (2)另解一:由余弦定理得cos C= 2 ,在Rt△ACD中,cos C=

2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第四章三角函数、解三角形 4.5

=
1+tan �� · tan
,答案为 . (1)- α= (2) 5 5
5
77
π 4
=
tan �� -1 1+tan ��
= ,
6
关闭
1
解析
答案
-14考点1 考点2 考点3
考点 2
三角函数公式的逆用及变用
(
例 2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)· cos(110°-x)的值为 ) A.√2 B.
7
(2)(方法一 )tan α=tan ��=
tan 1-tan
π �� 4 π +ta n 4 π π �� - · tan 4 4
π 4
+
=
1 +1 6 1 1- ×1 6
= .
5 tan �� -tan
π 4
7
(方法二 )∵tan ��7 ∴tan 5
π 4 7
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
-2知识梳理双基自测自测点评
1
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β . (2)cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β .
(3)tan(α±β)=
tan��±tan��
1∓tan��tan��
.
-3知识梳理双基自测自测点评
1
2
2.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ; cos 2α= cos2α-sin2α =

2019高考数学一轮复习第四章基本初等函数Ⅱ(三角函数)4.5解三角形练习理

§4.5解三角形考纲解读分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.五年高考考点一正弦定理和余弦定理1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案 A2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )A.1B.2C.3D.4答案 A3.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;4.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .答案5.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析(1)在△ABC中,因为a>b,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A==.所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.6.(2017北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.教师用书专用(7—21)7.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=()A. B. C. D.答案 A8.(2013天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()A. B. C. D.答案 C9.(2013湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于( )A. B. C. D.答案 D10.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案811.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .答案12.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .答案 113.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案714.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则= .答案 215.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-16.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案 217.(2013安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .答案π18.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠B AC= .答案19.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2013山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sin B==,由正弦定理得sin A==.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013重庆,20,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=,=,求tan α的值.解析(1)因为a2+b2+ab=c2,由余弦定理有cos C===-,故C=.(2)由题意得=,因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.由①得tan2α-5tan α+4=0,解得tan α=1或tan α=4.考点二正、余弦定理的应用1.(2016课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )A. B. C.- D.-答案 C2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.3.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.4.(2016山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,所以cos C===-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.教师用书专用(5—16)5.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )A.3B.C. D.3答案 C6.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案 A7.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.答案1008.(2013福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案9.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC==30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sin α=sin=cos∠KGG1=.因为<α<π,所以cos α=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.因为0<β<,所以cos β=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sin αcos β +cos αsin β=×+×=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)10.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B===.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.12.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.14.(2015江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin 2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理知,=,所以sin C=·sin A==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cos C===.因此sin 2C=2sin C·cos C=2××=.15.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A===-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=( )A.2B.3C.3D.4答案 B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π答案 C3.(人教A必5,一,1-1B,2,变式)在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于( )A.1B.C.2D.4答案 C4.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则= .答案 15.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD= .答案考点二正、余弦定理的应用6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为( )A. B. C. D.答案 B7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300 m后到达B处,此时测得点C在点B 的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=( )A.150 mB.75 mC.150 mD.300 m答案 C8.(2016福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A 点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于( )A.10 mB.5 mC.5(-1)mD.5(+1)m答案 D9.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.答案20或24B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2017安徽江南十校3月联考,9)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017湖北武昌一模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是( )A.4B.3C.8D.6答案 C3.(2016河南开封四模,9)在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则+的最大值是( )A.2B.C.D.4答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=sin Acos C,且a=2,△ABC面积的最大值为.答案 35.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为.答案6.(2017山西四校第一次联考,15)已知△ABC是斜三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,则△ABC的面积为.答案三、解答题(共10分)7.(2018湖北荆州一模,17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=.(1)若C=,△ABC的面积为,求c的值;(2)若B=,求2c-a的取值范围.解析(1)由三角形的面积公式,得absin C=.因为C=,b=,所以a=2.所以c==.(2)由正弦定理,得===2,故a=2sin A,c=2sin C.因为B=,所以a=2sin=cos C+sin C.于是2c-a=3sin C-cos C=2sin.因为C∈,所以C-∈,所以sin∈,故2c-a的取值范围为(-,2).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 解三角形的常见题型及求解方法1.(2017广东海珠调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=( )A. B.C. D.答案 A2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.答案3.(2017河北石家庄二中3月模拟,16)已知在△ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD 上一点,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA= .答案 2方法2 利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则这个三角形必含有( )A.90°的内角B.60°的内角C.45°的内角D.30°的内角答案 B5.(2016河南郑州质检,5)在△ABC中,若sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B6.(2017宁夏育才中学月考,14)在△ABC中,若=,则△ABC的形状一定是.答案等腰三角形或直角三角形方法3 正、余弦定理的实际应用策略7.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D 的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,AB间距84米,则塔高为( )A.24米B.12 米C.12 米D.36米答案 C8.(2017山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6 km,AC=3 km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为( )A.3 kmB. kmC. kmD.3 km答案 B9.(2016河北邢台三模,17)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?解析(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,∴AB=.在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=.在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC===.则船的航行速度为÷=2(千米/时).(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,sin∠CDA=sin(ACB-30°)=sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30°=·-·=.由正弦定理得=.∴AD===.故此时船距岛A千米.。

2019高考一轮复习第四章1三角函数基本性质讲义

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))考试说明1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． (2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．考情分析4．1 弧度制及任意角的三角函数知识点梳理 1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ；③α是第三象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ；④α是第四象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或{α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z }．(3)非象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }； ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z ；④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ；⑤终边在x 轴上的角的集合可记作{α|α＝k π，k ∈Z }；⑥终边在y 轴上的角的集合可记作⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z } 或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }。