一元二次方程单元培优试卷

一元二次方程单元培优测试卷
姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 注意事项:
1. 请在试卷规定时间内作答.
2. 请注意答题规范,书写规范.
3. 请用0.5毫米黑色水笔把答案直接答在试卷上. 一、选择题（每小题3分,共30分）
1. 下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 【 】 （A ）0962=++x x （B ）x x =2 （C ）x x 232=+ （D ）()0112
=+-x
2. 方程0342=+-x x 的解为 【 】 （A ）3,121=-=x x （B ）3,121-==x x （C ）3,121==x x （D ）3,121-=-=x x
3. 若442+-x x 与32--y x 互为相反数,则y x +的值为 【 】 （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）9
4. 已知c b a ,,为常数,点()c a P ,在第二象限,则关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况是 【 】 （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）无法判断
5. 关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 【 】 （A ）1>k （B ）0≠k （C ）1<k （D ）1<k 且0≠k
6. 用配方法解方程0562=--x x ,下列配方结果正确的是 【 】 （A ）()1422
=-x （B ）()1422
=+x
（C ）()1432
=+x （D ）()1432
=-x
7. 某药品经过两次降价,每瓶零售价由110元降为91元.已知两次降价的百分率
都为x ,那么x 满足的方程是 【 】 （A ）()9111102
=+x （B ）()9111102
=-x
（C ）()91%11102
=-x （D ）911102=x
8. 已知n m ,为一元二次方程0922=-+x x 的两个根,则n m m -+2的值为 【 】 （A ）7- （B ）0 （C ）7 （D ）11
9. 如图,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm 2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm,根据题意可列方程为 【 】
（A ）3264610=⨯-⨯x （B ）()()3226210=--x x （C ）()()32610=--x x （D ）3246102=-⨯x
10. 关于x 的方程012=+-+m x mx ,有以下三个结论:①当0=m 时,方程只有一个实数根;②无论m 取何值,方程都有一个负根;③当0≠m 时,方程有两个不相等的实数根.其中正确的是 【 】 （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. 已知2是关于x 的一元二次方程042=-+p x x 的一个根,则=p _________. 12. 若关于x 的一元二次方程0322=+-x mx 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是__________.
13. 已知等腰三角形的两边长恰好是方程01892=+-x x 的解,则此等腰三角形的周长是_________.
14. 若m 是方程01322=--x x 的一个根,则代数式=+-2019962m m _________. 15. 关于x 的方程()02
=++b m x a 的解是1,221-==x x （m b a ,,均为常数,0≠a ）,
则方程()022
=+++b m x a 的解是__________.
三、解答题（共75分）
16. 解下列方程:（每小题5分,共10分）
（1）()()313=--x x ; （2）0462=--x x .
17.（8分）由多项式乘法:()()()ab x b a x b x a x +++=++2,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:()()()b x a x ab x b a x ++=+++2. 示例:分解因式:()()()3232326522++=⨯+++=++x x x x x x . （1）尝试:分解因式:=++862x x ________________; （2）应用:请用上述方法解方程:0432=--x x .
18.（9分）已知关于x 的一元二次方程0222=---k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围;
（2）给k 取一个负整数值,解这个方程.
19.（9分）已知关于x 的方程02592=+++m x x . （1）若此方程有实数根,求m 的取值范围;
（2）在（1）的条件下,令m 取满足条件的最大整数,求此时方程的解.
20.（9分）已知关于x 的一元二次方程()0212=-+--t x t x . （1）求证:对于任意实数t ,方程总有实数根;
（2）当t 为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.
21.（9分）某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2017年投入资金1 000万元,2019年投入资金1 210万元.
（1）求该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率;
（2）若2020年投入资金保持前两年的年平均增长率不变,求该镇2020年预计投入资金多少万.
22.（10分）已知□ABCD 的两邻边AB 、AD 的长是关于x 的一元二次方程
04
1
22=-+
-m mx x 的两个实数根. （1）当m 为何值时,四边形ABCD 是菱形?求出此时菱形的边长; （2）若AB 的长为2,求□ABCD 的周长.
23. （11分）已知关于x 的两个一元二次方程:
方程①:()012212=-++⎪⎭
⎫
⎝⎛+x k x k ; 方程②:()032122=--++k x k x .
（1）若方程①有两个相等的实数根,求解方程②;
（2）若方程①和②只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根,并化简()2
412
41++-k k .
一元二次方程单元培优测试卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. 12 12. 3
1
<m 且0≠m 13. 15 14. 2022 15. 3,021-==x x
16. 解下列方程:（每小题5分,共10分） （1）()()313=--x x ; 解:3332=+--x x x
()040
42=-=-x x x x
∴0=x 或04=-x ∴4,021==x x ; （2）0462=--x x .
()()5216364462
=+=-⨯--=∆
1332
13
262526±=±=±=
x ∴133,13321-=+=x x . 17.（8分） （1）()()42++x x ;
……………………………………3分 （2）解:0432=--x x
()()()()0
140
14142=+-=⨯-++-+x x x x
∴04=-x 或01=+x ∴1,421-==x x .
……………………………………8分 18.（9分）已知关于x 的一元二次方程
0222=---k x x 有两个不相等的实数根.
（1）求k 的取值范围;
（2）给k 取一个负整数值,解这个方程. 解:（1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴0>∆
……………………………………1分 ∴()()02422
>++-k
解之得:3->k ;
……………………………………4分 （2）∵3->k ∴取2-=k
此时原方程为:022=-x x
……………………………………6分 解之得:2,021==x x .
……………………………………9分 19.（9分）已知关于x 的方程
02592=+++m x x .
（1）若此方程有实数根,求m 的取值范围;
（2）在（1）的条件下,令m 取满足条件的最大整数,求此时方程的解. 解:（1）∵该一元二次方程方程有实数根 ∴∆≥0
……………………………………1分 ∴()m +-25492≥0 解之得:m ≤4
19
-
; ……………………………………4分 （2）∵m ≤4
19
-且m 为最大整数 ∴5-=m
……………………………………5分 此时原方程为:02092=++x x ……………………………………6分 解之得:5,421-=-=x x .
……………………………………9分 20.（9分）已知关于x 的一元二次方程
()0212=-+--t x t x .
（1）求证:对于任意实数t ,方程总有实数根;
（2）当t 为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.
（1）证明:()[]()2412
----=∆t t
()
2
2239
68
412-=+-=+-+-=t t t t t t
……………………………………3分 ∵()2
3-t ≥0 ∴∆≥0
……………………………………5分 ∴对于任意实数t ,方程总有实数根; （2）解:当1=t 时,方程的两个根互为相反数.
……………………………………6分 理由如下:设方程的两个根分别为
21,x x
∵方程的两个根互为相反数 ∴0121=-=+t x x 解之得:1=t
……………………………………9分 ∴当1=t 时,方程的两个根互为相反数.
21.（9分）某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2017年投入资金1 000万元,2019年投入资金1 210万元.
（1）求该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率;
（2）若2020年投入资金保持前两年的年平均增长率不变,求该镇2020年预计投入资金多少万.
解:（1）设该镇投入资金从2017年至
2019年的年平均增长率为x ,则由题意可列方程:
()1210110002
=+x
……………………………………4分 解之得:1.2,1.021-==x x （不合题意,舍去）
……………………………………7分 答:该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率为10%;
（2）()1331%1011210=+⨯（万元） ……………………………………9分 答:该镇2020年预计投入资金1331万元.
22.（10分）已知□ABCD 的两邻边AB 、AD 的长是关于x 的一元二次方程
04
1
22=-+
-m mx x 的两个实数根. （1）当m 为何值时,四边形ABCD 是菱形?求出此时菱形的边长;
（2）若AB 的长为2,求□ABCD 的周长.
解:（1）若四边形ABCD 是菱形,则
AD AB = ∴方程04
1
22=-+-m mx x 有两个相等的实数根
……………………………………1分 ∴0=∆
……………………………………2分
∴()041242=⎪⎭
⎫
⎝⎛---m m
整理得:0122=+-m m 解之得:121==m m
……………………………………5分 ∴当1=m 时,四边形ABCD 是菱形; （2）∵2=AB ∴2=x 是方程04
1
22=-+-m mx x 的一个根
∴041
2222=-+
-m m 解之得:25
=m
……………………………………7分
此时原方程为:0125
2=+-
x x 解之得:21
,221==x x
……………………………………9分
∴52122=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⨯=ABCD C 平行四边形.
……………………………………10分 23. （11分）已知关于x 的两个一元二次方程:
方程①:()012212=-++⎪⎭
⎫
⎝⎛+x k x k ; 方
程②:()032122=--++k x k x . （1）若方程①有两个相等的实数根,求解方程②;
（2）若方程①和②只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根,
并化简()
2
412
41++-
k k .
解:（1）∵方程①有两个相等的实数根
∴()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∆≠+0
21420212k k k
……………………………………2分 解之得:4-=k
……………………………………4分 此时方程②为:0572=+-x x 解之得:2
29
7,229721-=+=
x x ; ……………………………………6分 （2）对于方程②:
()()324122
+++=∆k k
()0
432131242
2>++=++=k k k
∴无论k 为何值,方程②总有实数根 ∵方程①和②只有一个方程有实数根 ∴方程①没有实数根
……………………………………8分
∴()021422<⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=∆k k
∴()()042<++k k
∴()
()()
2
22
412
44412
41+--+=++-k k k k k ()()()()424242444412
41682
2
2
222++-
=++=
++=
+++=
+--++=k k k k k k k k k k k k k
……………………………………11分。