拉普拉斯变换及反变换
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f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
（1）线性定理 L[ af ( t ) bg ( t )] aF ( s ) bG ( s ) （2）延迟定理
(t )
f (t)
L[ f ( t )] e
t
0
s
F (s)
0
f (t )
t
第12页
黄河科技学院
控制工程基础
（3）位移定理
L [ e f ( t )] F ( s )
3
2
c3
s 1 ( s 3)
1 d 2 ds
2 2
1
s 2
c2
d
s 1
s 2
ds ( s 3 )
2
c1
s 1 ( s 3)
s 2
2
第27页
黄河科技学院
控制工程基础
3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因 式分解：
F (s) a1 s a 2 ( s p1 )( s p 2 ) a3 s p3 an s pn
第22页
黄河科技学院
控制工程基础
1）当解出 s p i (i 1, 2 ,......, n ) 为单 根时，对 F(s) 作因式分解：
F s k1
N s
s
p1 k2
s
p 2 ....... kn s pn
s
pn
s p1
s p2
第19页
黄河科技学院
控制工程基础
二、 拉氏反变换及其计算方法 1、拉氏反变换
f ( t ) L ( F ( s ))
式中
L
1
1
2 j
1
c j
c j
F ( s ) e ds
st
表示拉普拉斯反变换的符号
第20页
黄河科技学院
控制工程基础
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
( n 1 )
(0) 0
L[ f
(n)
( t )] s F ( s )
n
第15页
黄河科技学院
控制工程基础
（6）积分定理
s 当初始条件为零时，则
0
L [ f ( t ) dt ]
t
t
1
F (s)
1
s
t
f ( t )dt
t 0
0
L [ f ( t ) dt ]
0
t t 0 0
[ a1 s a 2 ] s p1 [ F s ( s p1 )( s p 2 )] s p1
第28页
黄河科技学院
例 解：
控制工程基础
s 1 s ( s 2 s 5)
2
F (s)
F (s)
两边同乘以
s 1 s ( s 2 s 5)
2
c1 s
t s 0
f ( ) lim sF ( s )
s 0
第17页
黄河科技学院
控制工程基础
（9）象函数的微分性质 tf (t ) 的拉氏变换
L tf t d ds F s
f (t ) t
（10）象函数的积分性质
f t L t
的拉氏变换
黄河科技学院
控制工程基础
补充 知识
拉普拉斯变换及反变换
重点
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义 如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普 拉斯变换定义为
F s L f t f t e 0
s
2 2
0
（7）余弦函数
f (t ) cos t 1(t )
L[cos t ] 1 2
(e
j t
e
j t
)e
st
dt
s s
2 2
第9页
0
黄河科技学院
控制工程基础
第10页
黄河科技学院
控制工程基础
第11页
黄河科技学院
控制工程基础
2、拉氏变换的运算法则
t
e e
t
st
dt
1
指数增长函数
指数衰减函数
第8页
黄河科技学院
(t )
控制工程基础
f (t)
（6）正弦函数
e
t
1
f (t )
f (t ) sin t 1(t )
t
0
1
e
t
0
t
t
0
L[sin t ]
2j
1
(e
j t
e
j t
)e
st
dt
L[ e
t
t
f ( t )]
e
t
f (t ) e
st
dt
0
f (t ) e
( s ) t
dt F ( s )
第13页
0
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控制工程基础
（4）相似定理
L[ f ( at )]
（5）微分定理
1
F( ) a a
s
L[ f ( t )] sF ( s ) f ( 0 )
单位斜坡函数
k 0
t0 t0
t t
0
0 st dt k kte 2
0
s
（ a） 阶 跃 函 数
（ b） 斜 坡 函 数
0 f ( t ) t 1( t ) t r (t )
Ra t
t0 t0
F (s)
1 s
2
(t )
第5页
黄河科技学院
（3）抛物函数（又称加速度函数）
0 1( t ) 1
t0 t0
L [1( t )] (t ) r s
Ra
1
第4页
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（2）斜坡函数（又称速度函数） f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
f ( t ) kt 1( t ) kt
F ( s ) L [ f ( t )]
s
F s ds
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控制工程基础
（11）卷积定理
f (t ) * g (t )
f ( ) g ( t ) d
t
f ( ) g ( t ) d
0
L[ f (t ) * g (t )] F ( s ) G ( s ) G ( s ) F ( s )
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开 成部分分式
F (s)
s 1
s 5s 6
2
s 1
c1 ( s 2 )
c 2 ( s 3)
( s 2 )( s 3 ) s 1
s 1
( s 2 )( s 3)
s 2
1
( s 2 )( s 3 )
.........
其中 k i [ F s ( s p i )] s p i
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例
控制工程基础
F (s)
s 1 s 5s 6
2
解： 1）F（s）的极点 （
s 5s 6 0
2
s1 2
s2 3
c1 s2 c2 s3
t
(t )
控制工程基础
f (t)
e
t
e 1( t ) f ( t ) t e 1( t )
0
0 指数增长函数
t
指数衰减函数
1
e
0
t
t
s 1 t t st L [ e ] e e dt 0 s
0
L[ e ]
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
第2页
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控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
方法一：利用拉氏反变换定义求
——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
第21页
黄河科技学院
控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ：
（1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。
r
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例
F (s)
s 1 ( s 2 ) ( s 3)
3
控制工程基础
解： F ( s )
s 1 ( s 2 ) ( s 3)
3
c1 s2
c2 (s 2)
s 3
2
c3 (s 2)
3
c4 s3
c 4 ( s 3)
s 1 ( s 2 ) ( s 3)
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控制工程基础
微分定理推论
L[ f
(n)
( t )] s F ( s ) s
n (n2)
n 1
f (0) s
n2
f ( 0 )
sf
(0) f
( n 1 )
(0)
特别在零初始条件下
f ( 0 ) f ( 0 ) f
b r 1 { d ds
…
[ F s ( s p1 ) ]} s p1
r
br j
b1
1
j! ds
1 {
{
d
j j
[ F s ( s p1 ) ]} s p1
r
r 1
d
( r 1)! ds
[ F s ( s p1 ) ]} s p1 r 1
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F (s) s 1 ( s 2 ) ( s 3)
3
控制工程基础
c1 s2
st
dt
第1页
黄河科技学院
控制工程基础
式中，s是复变数，s j （ 、 均为实数）， e st 称为拉普拉斯积分；F s 0 是函数 f t 的拉氏变化，它是一个复变函数， 通常称 F s 为 f t 的象函数，而称 f t 为
s 3
2
第24页
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控制工程基础பைடு நூலகம்
F (s)
s 1 s 5s 6
2
1 s2
2 s3
（3）进行拉氏反变换
f ( t ) L [ F ( s )] L [ e
2t 1
1
1 s2 2e
] L [
1
2 s3
]
3t
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控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
an (s pn )
其中
br [ F s ( s p1 ) ] s p1
0
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
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黄河科技学院
（5）指数函数
第3页
1
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1）、 典型函数的拉氏变换 （1）阶跃函数（位置函数）
控制工程基础
f (t )
k
（k =const）
0 f (t ) k
t0 t0
t
0
F ( s ) L [ f ( t )]
ke
st
dt
k s
（ a） 阶 跃 函 数
0
单位阶跃函数，记作1( t )
c2 s c3 s 2s 5
2
s 2s 5
2
s s 2 1 j 2
得
乘共轭 (-1-j2)
1 j2 1 1 j2
c2 ( 1 j 2) c3
c2
c1 s
1 5
2
c3
s 1
3
s ( s 2 s 5)
5 1 s0 5
1 s
n
F (s)
1 s
n
L [ f ( t ) dt ]
F (s)
第16页
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控制工程基础
（7）初值定理
lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
f ( 0 ) lim sF ( s )
s
（8）终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s )
（ c） 抛 物 函 数
单位抛物函数
0 1 2 (t ) f ( t ) t 1( t ) 1 2 t 2 2
t0 t0
r (t ( s ) F)
1
1 s
3
第6页
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（4）单位脉冲函数
控制工程基础
(t )
0 (t )
t 0 t 0
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
（1）线性定理 L[ af ( t ) bg ( t )] aF ( s ) bG ( s ) （2）延迟定理
(t )
f (t)
L[ f ( t )] e
t
0
s
F (s)
0
f (t )
t
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控制工程基础
（3）位移定理
L [ e f ( t )] F ( s )
3
2
c3
s 1 ( s 3)
1 d 2 ds
2 2
1
s 2
c2
d
s 1
s 2
ds ( s 3 )
2
c1
s 1 ( s 3)
s 2
2
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控制工程基础
3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因 式分解：
F (s) a1 s a 2 ( s p1 )( s p 2 ) a3 s p3 an s pn
第22页
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控制工程基础
1）当解出 s p i (i 1, 2 ,......, n ) 为单 根时，对 F(s) 作因式分解：
F s k1
N s
s
p1 k2
s
p 2 ....... kn s pn
s
pn
s p1
s p2
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控制工程基础
二、 拉氏反变换及其计算方法 1、拉氏反变换
f ( t ) L ( F ( s ))
式中
L
1
1
2 j
1
c j
c j
F ( s ) e ds
st
表示拉普拉斯反变换的符号
第20页
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控制工程基础
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
( n 1 )
(0) 0
L[ f
(n)
( t )] s F ( s )
n
第15页
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控制工程基础
（6）积分定理
s 当初始条件为零时，则
0
L [ f ( t ) dt ]
t
t
1
F (s)
1
s
t
f ( t )dt
t 0
0
L [ f ( t ) dt ]
0
t t 0 0
[ a1 s a 2 ] s p1 [ F s ( s p1 )( s p 2 )] s p1
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例 解：
控制工程基础
s 1 s ( s 2 s 5)
2
F (s)
F (s)
两边同乘以
s 1 s ( s 2 s 5)
2
c1 s
t s 0
f ( ) lim sF ( s )
s 0
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控制工程基础
（9）象函数的微分性质 tf (t ) 的拉氏变换
L tf t d ds F s
f (t ) t
（10）象函数的积分性质
f t L t
的拉氏变换
黄河科技学院
控制工程基础
补充 知识
拉普拉斯变换及反变换
重点
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义 如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普 拉斯变换定义为
F s L f t f t e 0
s
2 2
0
（7）余弦函数
f (t ) cos t 1(t )
L[cos t ] 1 2
(e
j t
e
j t
)e
st
dt
s s
2 2
第9页
0
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控制工程基础
第10页
黄河科技学院
控制工程基础
第11页
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控制工程基础
2、拉氏变换的运算法则
t
e e
t
st
dt
1
指数增长函数
指数衰减函数
第8页
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(t )
控制工程基础
f (t)
（6）正弦函数
e
t
1
f (t )
f (t ) sin t 1(t )
t
0
1
e
t
0
t
t
0
L[sin t ]
2j
1
(e
j t
e
j t
)e
st
dt
L[ e
t
t
f ( t )]
e
t
f (t ) e
st
dt
0
f (t ) e
( s ) t
dt F ( s )
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0
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控制工程基础
（4）相似定理
L[ f ( at )]
（5）微分定理
1
F( ) a a
s
L[ f ( t )] sF ( s ) f ( 0 )
单位斜坡函数
k 0
t0 t0
t t
0
0 st dt k kte 2
0
s
（ a） 阶 跃 函 数
（ b） 斜 坡 函 数
0 f ( t ) t 1( t ) t r (t )
Ra t
t0 t0
F (s)
1 s
2
(t )
第5页
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（3）抛物函数（又称加速度函数）
0 1( t ) 1
t0 t0
L [1( t )] (t ) r s
Ra
1
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（2）斜坡函数（又称速度函数） f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
f ( t ) kt 1( t ) kt
F ( s ) L [ f ( t )]
s
F s ds
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控制工程基础
（11）卷积定理
f (t ) * g (t )
f ( ) g ( t ) d
t
f ( ) g ( t ) d
0
L[ f (t ) * g (t )] F ( s ) G ( s ) G ( s ) F ( s )
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开 成部分分式
F (s)
s 1
s 5s 6
2
s 1
c1 ( s 2 )
c 2 ( s 3)
( s 2 )( s 3 ) s 1
s 1
( s 2 )( s 3)
s 2
1
( s 2 )( s 3 )
.........
其中 k i [ F s ( s p i )] s p i
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例
控制工程基础
F (s)
s 1 s 5s 6
2
解： 1）F（s）的极点 （
s 5s 6 0
2
s1 2
s2 3
c1 s2 c2 s3
t
(t )
控制工程基础
f (t)
e
t
e 1( t ) f ( t ) t e 1( t )
0
0 指数增长函数
t
指数衰减函数
1
e
0
t
t
s 1 t t st L [ e ] e e dt 0 s
0
L[ e ]
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
第2页
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控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
方法一：利用拉氏反变换定义求
——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
第21页
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控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ：
（1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。
r
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例
F (s)
s 1 ( s 2 ) ( s 3)
3
控制工程基础
解： F ( s )
s 1 ( s 2 ) ( s 3)
3
c1 s2
c2 (s 2)
s 3
2
c3 (s 2)
3
c4 s3
c 4 ( s 3)
s 1 ( s 2 ) ( s 3)
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控制工程基础
微分定理推论
L[ f
(n)
( t )] s F ( s ) s
n (n2)
n 1
f (0) s
n2
f ( 0 )
sf
(0) f
( n 1 )
(0)
特别在零初始条件下
f ( 0 ) f ( 0 ) f
b r 1 { d ds
…
[ F s ( s p1 ) ]} s p1
r
br j
b1
1
j! ds
1 {
{
d
j j
[ F s ( s p1 ) ]} s p1
r
r 1
d
( r 1)! ds
[ F s ( s p1 ) ]} s p1 r 1
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F (s) s 1 ( s 2 ) ( s 3)
3
控制工程基础
c1 s2
st
dt
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控制工程基础
式中，s是复变数，s j （ 、 均为实数）， e st 称为拉普拉斯积分；F s 0 是函数 f t 的拉氏变化，它是一个复变函数， 通常称 F s 为 f t 的象函数，而称 f t 为
s 3
2
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控制工程基础பைடு நூலகம்
F (s)
s 1 s 5s 6
2
1 s2
2 s3
（3）进行拉氏反变换
f ( t ) L [ F ( s )] L [ e
2t 1
1
1 s2 2e
] L [
1
2 s3
]
3t
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控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
an (s pn )
其中
br [ F s ( s p1 ) ] s p1
0
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
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（5）指数函数
第3页
1
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1）、 典型函数的拉氏变换 （1）阶跃函数（位置函数）
控制工程基础
f (t )
k
（k =const）
0 f (t ) k
t0 t0
t
0
F ( s ) L [ f ( t )]
ke
st
dt
k s
（ a） 阶 跃 函 数
0
单位阶跃函数，记作1( t )
c2 s c3 s 2s 5
2
s 2s 5
2
s s 2 1 j 2
得
乘共轭 (-1-j2)
1 j2 1 1 j2
c2 ( 1 j 2) c3
c2
c1 s
1 5
2
c3
s 1
3
s ( s 2 s 5)
5 1 s0 5
1 s
n
F (s)
1 s
n
L [ f ( t ) dt ]
F (s)
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控制工程基础
（7）初值定理
lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
f ( 0 ) lim sF ( s )
s
（8）终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s )
（ c） 抛 物 函 数
单位抛物函数
0 1 2 (t ) f ( t ) t 1( t ) 1 2 t 2 2
t0 t0
r (t ( s ) F)
1
1 s
3
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（4）单位脉冲函数
控制工程基础
(t )
0 (t )
t 0 t 0