湖南省常德市一中2021届高三第四次月考数学试题参考答案

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2021年湖南省常德市出口洲中学高三数学理月考试卷含解析

2021年湖南省常德市出口洲中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （坐标系与参数方程）曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数），以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线上的点与曲线上的点最近的距离为A. 2B.C.D.参考答案：D2. 若函数, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值(C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值参考答案：A3. 已知集合A={x|x2＞x}，B={﹣1，0，，2}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{﹣1，2} C．{0，} D．{，2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，再根据交集的定义即可．【解答】解：A={x|x2＞x}=（﹣∞，0）∪（1，+∞），由B={﹣1，0，，2}，则A∩B={﹣1，2}，故选：B．4. 某钢铁企业生产甲乙两种毛坯，已知生产每吨甲毛坯要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙毛坯要用A原料1吨，B原料3吨。

每吨甲毛坯的利润是5万元，每吨乙毛坯的利润是3万元，现A原料13吨，B原料18吨，则该企业可获得的最大利润是A 27万元 B. 29万元 C. 20万元 D. 12万元参考答案：A略5. 已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】化简f（x）=|xe x|=，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得．【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f（﹣1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞）∪{0}，故，或1=0解得，t∈（﹣∞，﹣），故选：B．上的最大值与最小值之差为，则3DD略7. 设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．8. 曲线在处的切线方程为A． B． C． D．参考答案：A9. 已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln（x＋2）－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于（）A．－1 B．0 C．1 D．2参考答案：A10. 把函数y=sin（x+）图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．x=－ B．x =－C．x = D．x =参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD ，则的最大值为．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立适当的平面直角坐标系，设角度为参数，利用坐标表示与参数方程建立?的解析式，利用三角函数求出它的最值．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设∠BOC=x，则∠BOD=x+；∴C（2cosx ，2sinx ），D（2cos （x+），2sin （x+）），且A （﹣2，0），B （2，0）； ∴=（2cosx+2，2sinx ）， =（2cos （x+）﹣2，2sin （x+））； ∴?=（2cosx+2）×（2cos （x+）﹣2）+2sinx×2sin（x+）=4cosxcos （x+）﹣4cosx+4cos （x+）﹣4+4sinxsin （x+）=4cos﹣4cosx+4cos （x+）﹣4=﹣4cos （x ﹣）﹣2；当cos （x ﹣）=﹣1时，?取得最大值2．故答案为：2．12. 已知函数，若，则实数的值是 .参考答案：试题分析：；.考点：分段函数求值．13. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

湖南省常德市一中2021届高三第四次月考数学试题答案

常德市一中2021届高三数学参考答案第 1 页共 2 页常德市一中2021届高三第四次月考参考答案数学一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 12 答案BDADABBCAD BCADBCD二、填空题：13. 22 14. (0，3)15. 4 16. 253π三、解答题：17．解：（1）设OAB △的外接圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，依题意可得0416240364620F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得062F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.故OAB △的外接圆的方程是22620x y x y +--=. （2）①当直线l 过原点时,设直线方程为y =kx ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得2321k k-=+,解得k = -7或k =1,此时直线l 的方程为y = -7x 或y =x .②当直线l 不过原点时,设直线方程为x+y =a ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得1322a+-=,解得a =2或a =6,此时直线l 的方程为x+y-2=0或x+y-6=0. 综上所述,直线l 的方程为y =-7x 或y =x 或x+y-2=0或x+y-6=0.18．解：（1）2()2cos sin 3(2cos 1)sin 23cos22sin(2)3f x x x x x x x π=--=-=-，所以函数()f x 的最小正周期π．sin y x =的减区间为3[2,2],22k k k Z ππππ++∈，由3222232k x k πππππ+-+得5111212k x k ππππ++，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈．（2）因为[,0]2x π∈-，所以42[,]333x πππ-∈--．所以22sin(2)33x π--．所以函数()f x 在区间[,0]2π-上的取值范围是[2,3]-． 19．解：方案一：选条件①解：（1）由题意，212a a =，314a a =，41484a a -=-， 2a ，3a ，44a -成等差数列，32424a a a ∴=+-，即1118284a a a =+-，解得12a =，1222n n n a -∴==，*n N ∈．（2）由（1）知，22(1)log (1)log 2n n b n a n =+=+(1)n n n =+，记242n n n c b +=，则222224242112[](1)(1)n n n n c b n n n n ++===-++， 12n n T c c c ∴=++⋯+ 2222221111112()2()2[]1223(1)n n =-+-+⋯+-+2222221111112[]1223(1)n n =-+-+⋯+-+22112[]1(1)n =-+ 222(1)n =-+．方案二：选条件②解：（1）由题意，1S ，1a =，21232S a +=+，317S a =， 1S ，22S +，3S 成等差数列，2132(2)S S S ∴+=+，即1112(32)7a a a +=+，解得12a =，1222n n n a -∴==，*n N ∈．（2）同方案一第（2）题解答过程．20．解：（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，由于ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥，且1AOB O O =，所以BC ⊥平面1B AO，由11AB B AO ⊂平面，所以1BC AB ⊥；（2）设AB a =，ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以11BB AB BC AC B C a =====，又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-=，在△1AB C 中，有22211AB AO B O =+，常德市一中2021届高三数学参考答案第 2 页共 2 页以OA ，OB ，1OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则3(,0,0)A a ，(0C ，2a-，0)，13(0,0,)B a ，1333(,,0),(,0,)22a AC a AB a a =--=- 设平面1AB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由10m AC m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得3102330ax ay ax az ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,1)m =-，又平面1BCB 的一个法向量为(1,0,0)n =，由5cos ,5m n <>==，所以二面角1B B C A --的余弦值为5．21．解：（1）离心率为12c e a ==，2a c ∴=， 2ABF ∆的周长为8，48a ∴=，得2a =，1c ∴=，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r =++，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF Sr =，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S的值最大．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线:1l x my =-，联立221431x yx my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得△0>，且122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以22221212121222213636121||||()42(34)34ABF m m SF F y y y y y y m m +=-=+-=+=++，设211t m =+，则2212121313ABF t S t t t==++，设13(1)y t t t =+，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1，)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，2ABF S 的最大值为3，此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．22.解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-= ……………… 1分由()0f x '>得：350(0,)(2,2)222x x k k k N πππππ>∈⋃++∈当时， ……………… 3分310(2,2)22x x k k k Nππππ<∈----∈当时，……………… 5分 ()f x ∴的单调递增区间为31(2,2)22k k k N ππππ----∈，(0,)2π，35(2,2)22k k k N ππππ++∈． ……………… 6分（2）证明：由0,0)(>='x x f 得：*(21),()2i n x n N π-=∈ ……………… 7分 222221422(21)(21)1i x n n ππ=<⋅---*2222211(),(2,)(22)2222n n N n n n nππ=⋅=⋅-≥∈--……………… 9分911212)2121(2)]21221()8161()6141()4121[(2111222222322<=⋅<-=--++-+-+-<++∴ππππn n n x x x n……………… 12分。

湖南省常德市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

湖南省常德市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+，又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<，则2c <{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 2．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．3．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ．【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 5．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π【答案】C 【解析】【分析】根据2a b a b +=+，两边平方222a b a b +=+，化简得()223ab a =-，再利用数量积定义得到()22cos ,3a b a b a =-求解.【详解】因为平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，所以222a b a b +=+，所以()223ab a =-，所以 ()22cos ,3a b a b a =-，所以1cos ,2a b =-，所以a 与b 的夹角为23π.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。

2020-2021学年湖南省常德一中高三(上)第四次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4} 2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2] 5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．144698．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝．14．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为．15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：B．2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴z1＝1+i，z2＝i．∴＝．故选：D．3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：因为f（﹣x）＝f（x）即f（x）为偶函数，且x＞0时，函数单调递增，a＝f（log2）＝f（log32），b＝f（log52），c＝f（e0.2），因为e0.2＞1＞log32＞log52，所以c＞a＞b．故选：A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2]解：设M（x，y），由动点M满足＝，得，化简得：x2+（y﹣2）2＝8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则＝2cosθ∈[﹣2，2]，故选：D．5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：＝＝，∴cos A＝，由余弦定理，有：cos A＝，∴＝，即＝＝，整理得：（x+1）2＝（x﹣1）（x+4），解得：x＝5，三边长为4，5，6，则cos A＝＝．故选：A．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．14469解：由题意得：≈20%，则≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2＝1.2lg2000＝1.2（lg2+3）≈1.2（0.3+3）＝3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．8．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．解：因为线l1：kx+y＝0恒过定点O（0，0），直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0恒过定点C（2，2）且l1⊥l2，故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，要求|AB|的最大值，转化为在D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上找一点A，在E：（x+2）2+（y+3）2＝2上找一点B，使AB最大，根据题意可得两圆的圆心距＝5，则|AB|max＝5+2．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则解：A．a＜b＜0，则a2＞b2，正确；B．若ab＝4，则a+b可能小于0，例如，a＝b＝﹣2，因此不正确；C．若a＞b，则ac2≥bc2，c＝0时取等号，因此不正确；D．若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝m（a﹣b）＞0，∴正确．故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为解：取BD中点M，BC中点N，连结EM，FM，AN，DN，∵在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，∴AN⊥BC，DN⊥BC，又AN∩DN＝N，∴BC⊥平面ADN，∵AD⊂平面ADN，∴AD⊥BC，EM∥AD，且EM＝＝，MF∥BC，MF＝＝1，∴EM⊥MF，EF与AD所成角为∠FEM，∴EF与AD所成角的正切值为tan∠FEM＝＝＝，故A错误，B正确；连结BF，AF，则AF⊥CD，BF⊥CD，又AF∩BF＝F，∴CD⊥平面ABF，过点B作BP⊥AF，交AF于P，则BP⊥CD，∵CD∩AF＝F，∴BP⊥平面ACD，∴∠BAF是AB与面ACD所成角，∵AB＝3，AF＝＝2，BF＝，∴cos∠BAF＝＝＝．∴AB与面ACD所成角的余弦值为，故C正确，D错误．故选：BC．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），依次分析选项：对于A，当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝e x（﹣x﹣1），整理得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e x（x+1），A正确；对于B，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），此时有1个零点x＝1，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，f（x）有3个零点，B错误；对于C，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），其导数f′（x）＝e﹣x（2﹣x），在区间（0，2）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则在区间（0，+∞）上有极大值f（2）＝e﹣2，而x→0，f（x）→﹣1，则在区间（0，+∞）上，有﹣1＜f（x）≤e﹣2，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，由﹣e﹣2≤f（x）＜1，综合可得：f（x）的值域为（﹣1，1），若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，C错误；对于D，当x＜0时，f′（x）＝e x（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，所以f（x）＜f（0）＝1，即﹣e﹣2＜f（x）＜1，当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，所以f（x）＞f（0）＝﹣1，所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．故∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，D正确；故选：AD．12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5解：，因为q＞1，所以当a1＜0 时，a n+k＜a n，故错误；B.，令t＝n2+kn﹣4，t在n∈N*单调递增，则t（1）＝1+k﹣4＞0，解得k＞3，故正确；C.，当n为奇数时，2k﹣（﹣1）k+1＞0，存在k≥1 成立，当n为偶数时，2 k+（﹣1）k﹣1＞0，存在k≥2 成立，综上：{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D．若{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，n∈N*成立，则k2+（2﹣t）k＞0，对于k≥3 成立，且k2+（2﹣t）k≤0对于k≤2 成立，即k+（2﹣t）＞0，对于k≥3 成立，且k+（2﹣t）≤0，对于k≤2 成立，所以t﹣2＜3，且t﹣2≥2，解得4≤t＜5，故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝2．解：∵平面向量与的夹角为90°，∴•＝0，又∵，∴2＝＝4+4＝8，∴＝2，故答案为：214．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为（0，3）．解：设所求对称点的坐标为（m，n），则由对称关系可得，解方程组可得，即所求点的坐标为（0，3）故答案为：（0，3）15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为4．解：∵函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1＝0上（mn＞0），∴m+n＝1（mn＞0），∴＝（m+n）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时取等号，∴m＝n＝时，的最小值为4．故答案为：4．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ＝＝＝﹣，∴当t＝时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB＝，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下底面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH＝又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝＝，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2＝，故答案为：1；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．解：（1）∵O（0，0），A（2，4），B（6，2），∴k OA＝2，OA的中点坐标为（1，2），则OA的垂直平分线方程为，即x+2y﹣5＝0；，OB的中点坐标为（3，1），则OB的垂直平分线方程为y﹣1＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣10＝0．联立，解得，故圆心坐标为（3，1），半径r＝．∴△OAB的外接圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；（2）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0．由，解得k＝﹣7或k＝1．∴直线方程为7x+y＝0或x﹣y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y﹣a＝0，由已知可得，解得a＝2或a＝6．∴直线方程为x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．综上可得，直线方程为：7x+y＝0或x﹣y＝0或x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，化简得＝＝，所以函数f（x）的最小正周期π．∵y＝sin x的减区间为，由，得，所以函数f（x）的单调递减区间为．（Ⅱ）因为∵，所以．所以．所以函数f（x）在区间上的取值范围是．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】方案一：选条件①解：（1）由题意，a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4，∵a2，a3，a4﹣4成等差数列，∴2a3＝a2+a4﹣4，即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）log2a n＝（n+1）log22n＝n（n+1），记c n＝，则c n＝＝＝2[﹣]，∴T n＝c1+c2+…+c n＝2（﹣）+2（﹣）+…+2[﹣]＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＝2﹣．方案二：选条件②解：（1）由题意，S1，＝a1，S2+2＝3a1+2，S3＝7a1，∵S1，S2+2，S3成等差数列，∴2（S2+2）＝S1+S3，即2（3a1+2）＝a1+7a1，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）同方案一第（2）题解答过程．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，B1O，由于△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，∴AO⊥BC，B1O⊥BC，且AO∩B1O＝O，∴BC⊥平面B1AO，又AB1在平面B1AO内，∴BC⊥AB1；（2）设AB＝a，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，则BB1＝AB＝BC＝AC＝B1C＝a，又，由余弦定理可得，在△AB1C中，有，所以以OA，OB，OB1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面ABB1的一个法向量为，则，可取，又平面BCB1的一个法向量为，∴二面角C﹣B1B﹣A的余弦值为．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．解：（1）∵离心率为，∴a＝2c，∵△ABF2的周长为8，∴4a＝8，得a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，因此，椭圆C的标准方程为．（2）设△ABF2的内切圆半径为r，∴，又∵|AF2|+|AB|+|BF2|＝8，∴，要使△ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x＝my﹣1，联立消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，易得△＞0，且，，所以＝，设，则，设，，所以在[1，+∞）上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，的最大值为3，此时，所以△ABF2的内切圆面积最大为．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．解：（1）f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，由f′（x）＞0可知，当x＞0时，x∈（0，）∪（2kπ+，2kπ+π）（k∈N），当x＜0时，x∈（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），∴f（x）的递增区间是（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），（0，），（2kπ+，2kπ+π）（k∈N）；（2）证明：由f′（x）＝0，x＞0，得x i＝（n∈N*），∵＝＜•＝（﹣）（n≥2，n∈N*），∴++•••+＜[（﹣）+（﹣）+•••+（﹣）]＝（﹣）＜•＝＜．。

湖南省常德市2020-2021学年高三模拟考试数学试卷含答案

数学参考答案第 1 页共 6 页2021年常德市高三年级模拟考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．4 14 15．43π 16．34三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)解：(Ⅰ) []cos cos ()cos()C A B A B π=−+=+3cos()cos cos()cos()2sin sin 2A B C A B A B A B ∴−+=−++=⋅=3sin sin 4A B ∴⋅= ......................................................................................................2分又因为2c ab =，所以2sin sin sin C A B =⋅所以sin 2C =±.....................................................................................................3分又0C π<<所以3C π=或23C π=.......................................................................4分当23C π=时，3cos()cos 2A B C −+=得cos()2A B −=所以舍去当3C π=时3cos()cos 2A B C −+=得cos()1A B −=成立所以3C π=..............................................................................................................5分数学参考答案第 2 页共 6 页 (Ⅱ)由(Ⅰ)得3C π=且cos()1A B −=3A B π∴==ABC ∴∆为正三角形................................................................................................6分设ABC ∆边长为x,21(4)sin (4)24ACD S x x ACD x x ∆=−⋅⋅∠=−+................8分所以当2x =时，ACD S ∆...................................................................10分 18．(本小题满分12分)解：（1）由1112n n S a +=+得：当2n ≥时，1112n n S a −=+，故有111()2n n n n S S a a −+−=−，即11()2n n n a a a +=− ∴2n ≥时，13n n a a +=...............................................................................................3分又13a =，12112S a =+，故24a =.........................................................................4分即2n ≥，243n n a −=⋅................................................................................................5分因此数列{}n a 的通项为23,143,2n n n a n −=⎧=⎨⋅≥⎩............................................................6分（2）若+13n n a a >得，23112313333(2)n n n n n a a a a a n −−−−>>>>⋅⋅⋅>≥，所以有1133n n n a a −>=..............................................................................................8分211133n n n a a −−−>=，⋅⋅⋅22133a a >=，11a a =，各式相加得故2n ≥时，23123333n n n S a a a =++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+...................................10分又2333)3(31)3333132n n n−−+++⋅⋅⋅+==−（1因此有3(31)(2)2n n S n −>≥....................................................................................12分 19．(本小题满分12分)解： (Ⅰ)0.05100.1120.15140.416x =⨯+⨯+⨯+⨯0.2180.06200.0422+⨯+⨯+⨯15.88=....................................................................................................................4分 (Ⅱ) 由(1417.76)0.5P X ≤<= 且正态密度曲线关于15.88x μ==对称所以1(1417.76)(14)(17.76)0.252P X P X P X −≤<<=>==,3(14)1(14)10.254P X P X ≥=−<=−=....................................................................6分公众数学参考答案第 3 页共 6 页由题意得随机变量30,1,2,3,~(3,)4B ξξ=,...........................................................7分 0303131(0)()()4464P C ξ===, 1213139(1)()()4464P C ξ=== 21231327(2)()()4464P C ξ===, 30331327(3)()()4464P C ξ===..........................................9分所以随机变量ξ的分布列为：...................10分随机变量ξ的期望为39()344E np ξ==⨯= .......................................................12分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取11AC 的中点1O ，连11D O ，11B O平面11A DC ⊥平面111A B C ，又平面11A DC 平面111A B C =11AC ，11B O ⊥11AC ，∴11B O ⊥平面11A DC ，又1DO ⊂平面11A DC ∴11B O ⊥1DO .............................2分又11B O //OD 且11B O =OD ，∴四边形11B O DO 为矩形，故1OD B O ⊥.........3分四边形11ACC A 为正方形，∴1AC CC ⊥，又11//BB CC ，∴1AC BB ⊥又AC BD ⊥，1BB BD B =∴AC ⊥平面1OBB ................................................5分又1B O ⊂平面11ODO B ，∴1AC B O ⊥又1OD B O ⊥，OD AC O =，∴1B O ⊥平面ABCD .......................................6分(Ⅱ)如图以O 为原点，OC ，OD ，OB 1分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，由题可知112AB BC AC CC BB =====，131BO B O ==， ξ0 1 2 3 P 164 964 2764 2764 AB CD A 1B 1C 1 O 1xy z数学参考答案第 4 页共 6 页1(1,0,0)C D O ∴，，11111(1,3,1)OC OO O C OO OC =+=+=1C ∴由(Ⅰ)知平面1ACB //平面A 1DC 1∴OD ⊥平面A 1DC 1，故平面A 1DC 1的一个法向量(0,1,0)n =...........................8分设平面CDC 1的法向量(,,)m x y z =，(1,3,0)CD =−，1(0,3,1)CC =0x z⎧−+=⎪∴+=，令1y =，得x z ==故可取平面CDC 1的一个法向量(3,1,3)m =−................................................10分设平面CDC 1与平面A 1DC 1所成二面角为θ，则||1|cos|||||7m n m n θ⋅==..........11分sin 7θ∴= 故平面CDC 1与平面A 1DC 1所成二面角的正弦值为7....................................12分21．(本小题满分12分)解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，依题意有||2PF d =........................................1分即2||2x =−..................................................................................................3分化简得：2213y x −=...................................................................................................4分（2）解法一：当PQ x ⊥轴时，易求得2=3πθ......................................................5分当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为(2)y k x =−，由22(2),13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩消去y 整理得2222(3)4(43)0k x k x k −+−+=， 221212224(43),33k k x x x x k k−++=−=−−4222=144(3)(43)9(1)0k k k k ∆+−+=+>，且k ≠.................................7分从而求得PQ的中点的坐标为22226(,)33k k k k −−，又21226(1)||||3|k PQ x x k +=−==−................8分数学参考答案第 5 页共 6 页可得22133||2|3|k r PQ k +==−..........................................................................................9分又圆心（即,P Q 两点的中点）到直线12x =的距离121||22x x d +=−=22222133||322|3|k k k k +−=−−...........................................................10分由垂径分弦定理可得所以22223312|3|cos 3322|3|k d k k r k θ+−===+−，又(0,)θπ∈,即=23θπ 因此2=3πθ，即θ为定值..........................................................................................12分解法二：当PQ x ⊥轴时，易求得2=3πθ.................................................................5分当PQ 与x 轴不垂直时，①若,P Q 两点都在双曲线的右支上，由题意中的条件可得：121211||||||2()2()2()222PQ PF PQ x x x x =+=−+−=+−，故121211||[2()2]122r PQ x x x x ==+−=+−；又圆心（即,P Q 两点的中点）到直线12x =的距离12122x x d +=−.....................8分1cos 22d r ∴==θ,又(0,)∈θπ即3=πθ....................................................................9分②若点,P Q 为双曲线的左右两支上，不妨设点P 在左支，点Q 在右支上，则，121211||||||2()2()22()22PQ PF PQ x x x x =−=−−−=−+，故121211||[22()]1()22r PQ x x x x ==−+=−+，又圆心（即,P Q 两点的中点）到直线12x =的距离12122x x d +=−...................10分因此1cos 22d r θ==，又(0,)θπ∈,即=23θπ，........ ........ ............ .......................11分综上，2=3πθ，即θ为定值........................................................................................12分 22．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2221(21)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +−+'=−=++.............................................................2分数学参考答案第 6 页共 6 页令2()(21)g x ax a x a =+−+，22(21)441a a a ∆=−−=−+ ①当14a ≥时，()0g x ≥，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增......3分 ②当104a <<时，由()0g x =解得1x =，2x =210x x >==> ∴1(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增 12(,)x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减 2(,)x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增.....................5分综上，当104a <<时，()f x在上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增当14a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.........................................................6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数12,x x 是函数()f x 的两个极值点，则104a << 2112a x x a −+=，211x x =...........................................................................................7分121122()()()ln ()ln F x F x f x x a f x x a +=+++121212122ln()()ln (1)(1)x x a x x x x a x x ++=+++++121212122()ln 1x x x x a x x x x ++=+++++121ln a a a −=+..................................................9分记1211()1ln 1(2)ln (0)4a h a a a a a a −=+=+−<<22111ln 12()ln (2)a a h a a a a a a −+−'=−+−=........................................................10分 104a <<，120ln 0a a ∴−>−>，()0h a '∴>，函数()h a 在1(0,)4上单调递增...........................................................11分1()()14ln 24h a h ∴<=−，即121ln 14ln 2a a a −+<− 12()()14ln 2F x F x ∴+<−.........................................................................................12分公众2021届高中毕业班联考（一）参考答案1．【答案】C【简析】【法一】两边取模可得： 55 1.z z =⇒= 【法二】求得543, 1.345i i z z i +===+ 2．【答案】D【简析】如图可知，M N ⊆，故N 的子集有32个.3．【答案】D【简析】3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有31113=A C 种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对一袋垃圾的概率为21331113==A A C P ，选D ． 4．【答案】A【简析】依题： 336()201C a a -=-⇒=，含4x 项的系数516(1)6C -=-.5．【答案】C 【简析】易知：12a b +=，2()14a b ab +<=，1b ab a a >⇔>，显然成立. 6．【答案】B【简析】【法一】()0⋅-a b c =，如图，OA BC ⊥，直线OA 交BC 于D ， 30DOB ∠=︒，则c 在a上的投影为cos30OD =︒=b【法二】cos ,cos ,⋅⋅⇒<><>=a b =a c c a c =b a b 7．【答案】A【简析】设2211,r AF r AF ==，在21F AF ∆中，由2221212122cos60F F AF AF AF AF =+-，得()21221221212221244r r a r r r r r r r r c +=+-=-+=，故222144a c r r -=.()2121AF AF +=， ()21122124AO AF AF AF AF =++⋅，()()[]()2122122121222123441341414r r a r r r r r r r r a +=+-=++=，故2214a r r =. 222444a c a ∴=-，所以离心率2==ac e . 8．【答案】B 【简析】由条件可得，()cos()3g x x πω=-，作出两个函数图象，如图：A ,B ,C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点，由对称性，则ABC ∆是以B ∠为顶角的等腰三角形, 2AC T πω==，由 cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 整理得cos x x ωω=,得 cos 2x ω=±, 则 2C B y y =-=,所以 2B BD y ==, 要使ABC ∆为钝角三角形，只须4ACB π∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<，所以0ω<<, 选.B 9．【答案】BCD 【简析】由表中数据可知3=x ，代入回归方程知142=y ，于是151=a ，B 正确，将7=x 代入回归方程得318=∧y ，D 正确，故本题答案是BCD .10．【答案】BC【简析】若{}n b 是等差数列，据等差数列求和公式知需1,n b b kn k Z +=∈，则{}n b 为“吉祥数列”，检验,A C 可知C 正确．{}n b 是摆动数列，由并项法知：24,2n n S n S n ==，21242==n n S S n n ，故B 正确，根据等比数列求和公式知D 错误.11．【答案】BCD 【简析】易知准线方程为y x C p y 4:,2,12==∴-=.设直线()11-=+x k y ，代入42x y =，得0142=++-k kx x ，当直线与C 相切时，有0=∆，即012=--k k ，设TB TA ,斜率分别为21,k k ，易知21,k k 是上述方程两根，故121-=k k ，故TB TA ⊥. 设()()2211,,,y x B y x A ，其中4,4222211x y x y ==.则()112124:x x x x y TA -=-，即112y x x y -=，代入点)1,1(-，得02211=+-y x ，同理可得22220x y -+=，故022:=+-y x AB ，故12AB k =. 公众号：潍坊高中数学由21444212122212121=+=--=--=x x x x x x x x y y k AB ，得1221=+x x ，即AB 中点横坐标为1. 12．【答案】ABD【简析】,()()x R f x f x ∈-=, ()f x ∴是偶函数, A 正确; (2)()f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性, 只须研究()f x 在[0,2]π上图象变化情况.sin sin sin 2,0(),1,2x x x e x f x e x e πππ⎧⎪=⎨+<⎪⎩当 0x π时 ,sin ()2cos x f x xe '=, 则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递增,在 ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 此时()[2,2];f x e ∈ 当2x ππ≤≤时 ,()sin sin ()cos x x f x x e e '-=-, 则 ()f x 在3[,]2x ππ∈ 上单调递增,在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减, 此时1()2,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦, 故当 02x π时 ,min ()2f x =, B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减,又()f x 是偶函数,故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上单调递增, 故C 错误. 对于D , 转化为2()f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(,)x π∈-∞时,()2f x , 22x π<, 2()f x x π=无实根.(3,)x π∈+∞时,max 262()x e f x π>>=,2()f x x π=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 显然x π=为方程之根. ()sin sin sin sin (),()cos 0x x x x f x e e f x x e e -'-=+=->,3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯= ⎪⎝⎭,单独就这段图象, 3()02f f ππ''⎛⎫== ⎪⎝⎭,()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快后慢,故()g x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有1个零点,由图象知()g x 在 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有3个零点,又5()252f e π=>,结合图象,知D 正确 .13．【答案】104x <<(答案不唯一，请阅卷教师按照题意自行把握). 【简析】22124202x x x x x >⇒>⇒<<，依题有:1,(0,)2x A A ∈⊆. 14．【答案】0 【简析】()(2)1f x f x +-=，两边同时求导可得：()(2)0f x f x ''--=，(2019)(2021)0.f f ''--=15．【答案】24π或8π 【简析】BP PC ⊥，AO ⊥面BPC ，∴三棱锥A PBC -的外接球球心M 在AO 上，且4r =外，2MO ∴=，4MA =，6AO ∴=或2AO =1126243V ππ∴=⨯⨯⨯=圆锥或112283V ππ=⨯⨯⨯=圆锥. 16．【答案】31624+【简析】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则(2,0)A -，(2,0)B，设(,),PAP x y PB ==得：12)4(0482222=+-⇒=+-+y x x y x ，点P 的轨迹为圆（如图），其面积为π12. 【法一】22244PA PB x y OP ⋅=-+=-，如图当P 位于点D 时，2OP 最大，2OP 最大值为31628)324(2+=+，故PA PB ⋅最大值是31624+. 【法二】由极化恒等式知：2224PA PB OP OB OP ⋅=-=-，以下同法一.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）成等差数列， C A B c a b sin sin sin 22+=∴+=∴------------------------------1分当3π=A 时，C B sin 3sin sin 2+=π，即)32sin(3sin sin 2B B -+=ππ 21)6sin(=-∴πB 而3,66,266,320πππππππ=∴=-∴<-<-∴<<B B B B -----------------------------5分（2）由余弦定理及c a b +=2，222()3112cos ()2842a c a c c a B ac a c ++-==+-≥，当c a =时取等号． c b a ,,公众号：潍坊高中数学结合余弦函数的单调性可知：30π≤<B ．----------------------------------------------------------------------------10分18．【解析】（1）依题，在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，得：11122n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 为等差数列.-----------------------------------------------------------------------5分（2）由上易得: 1(1)2n n a n n =+-=，可得2n n a n =⋅-----------------------------------------------------------7分【法一裂项相消】由1122n n n a a ++-=可得: 112n n n n a a a +++=--------------------------------------------------8分则数列1{2}n n a ++的前n 项和1121()()()n n n n n S a a a a a a +-=-+-++-111(1)22n n a a n ++=-=+⋅-------------------------------------------------12分【法二乘比错位】12(2)2n n n a n ++=+⋅--------------------------------------------------------------------------------7分则数列1{2}n n a ++的前n 项和123324252(2)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅23123242(1)2(2)2n n n S n n +=⋅+⋅+++⋅++⋅两式相减得：2316222(2)2n n n S n +-=++++-+⋅-----------------------------------------------------------10分1(1)22n n S n +=+⋅--------------------------------------------------------------------------------------12分19.【解析】（1）设40个槟榔芋中，每个槟榔芋的平均质量为q ，则6.19324006.022012.020044.018024.01601.014004.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=q （克）------------4分所以这批槟榔芋的数量约为5176.193100000≈（个） -------------------------------------------------------------------5分（2）X 所有可能取值为0，1，2，3. 由表中数据可知，任意挑选一个槟榔芋，质量在[)170,150的概率为101505=-----------------------------------6分所以()729.010903=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ()243.01011091213=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ()027.010*********=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ()001.010133=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ------------------------10分故X 的分布列为：所以()3.0001.03027.02243.01729.00=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ----------------------------------------------12分20．【解析】【法一】(等积法)（1）即求点B到平面11AC D 之距h.11111114B A C D ABCD A B C D AABD V V V ---=-==，11A D C D ==11AC=，如图，DH =，1111323B A C D Vh -∴=⨯⨯=h ∴==分【法二】如图，连1111AC B D O =，取1DD 中点H ，在正方形11DD B B 中，易证：DO HB ⊥ BH OD E =，有BE OD ⊥①，又111111111AC B D AC AC B B ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩面1BD 11AC ⇒⊥BE ②，由①②可得：BE ⊥面11AC D ，在BDE ∆中，cos BE BD DBE BE BD BH ∠==⇒=--------------------------------------6分【法三】如图建系，各点坐标如图，面11D AC 的法向量为(,,)x y z =m ，1122003200y z DA x y z DC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取1y =，1z =-，x =∴m 可为)1- 455BDBE ⋅===m m -------------------------------------------------6分（2）如图建系，各点坐标如图，面11D AC 的法向量为(,,)x y z =m ，//BE m ， 1122003200y z DA x y z DC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取1y =，1z =-，x = ∴m 可为)1-，同理可求面1FC B的法向量23⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ， cos ,sin θ===m n .-------------------------------------------------------------------------------------12分 21. 【解析】（1）设公共点为P ，则r PF rPF -==4,21，故12124PF PF F F +=> 即公共点P 的轨迹为椭圆. -------------------------------------------------------------------------------------------------2分公众号：潍坊高中且2,42=∴=a a ，又3,12=∴=b c ，故曲线134:22=+yx E .------------------------------------------------4分（2）当直线PQ 斜率不存在时，712:±=x PQ ，代入E 得712±=y ，易知OQ OP ⊥；------------5分当直线PQ 斜率存在，设m kx y PQ +=:，PQ 与圆O()221217r m k =⇒=+---------6分将PQ 方程代入E ，得()0124834222=-+++m kmx x k ，34124,3482221221+-=+-=+∴k m x x k km x x ， ()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++----------------------7分()()2222222348341241m k m k k m k++-+-+=()341127222++-=k k m 将()171222+=k m 代入，得0OP OQ ⋅=，即OQ OP ⊥---------------------------------------------------------10分综上，恒有OQ OP ⊥， 2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-.--------------------------------------------12分【法二】当直线PQ 斜率不存在时，712:±=x PQ ，代入E ，得712±=y ，127AP AQ AP AQ ⋅=-⋅=-；当直线PQ 斜率存在时，设m kx y PQ +=:，PQ 与圆O 相切，r k m =+∴12，即()171222+=k m . 将PQ 方程代入E ，得()0124834222=-+++m kmx x k ，34124,3482221221+-=+-=+∴k m x x k km x x ， ()()7122171221212212122-+++=-++=-=m kmx x km kx x r OP AP k mx k kmx x m 7121277122127121212+=++=，同理可得k mx AQ 7121272+=，故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++---------------------------------------------------------------------10分将21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，及()171222+=k m 代入，可得712=⋅AQ AP . 综上127AP AQ AP AQ ⋅=-⋅=-.（注：本题也可联想射影定理思考）------------------------------------12分22．【解析】（1）当 1k a ==时，1x x y e +=，由2(1)x x x xe x e x y e e '-+==-------------------------------------1分则函数1x x y e+=在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,当0x =时, max 1y =-------------------------4分. （2）【法一】记()()()axh x f x g x e kx a =-=--（0,0x a >>），则()()ax ax k h x ae k a e a'=-=-① 当1ka≤时，()h x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1h x h a >=-，由10a -≥，可得01a <≤---------5分② 当1ka>时，()h x 在1(0,ln )k a a 上单调递减，在1(ln )k a a +∞，上单调递增，min 1()(ln )k h x h a a =ln k k ka a a a =--，由m in ()0h x ≥，可得21ln 0k a a k --≥，令2()1ln k a a a k ϕ=-----------------------7分1︒.若1k <时，对于 ①，1k a ≤≤，此时a 不唯一（舍去）2︒.若1k =时，对于①，11a ≤≤，即1a =对于②，01a <<时，由221()1ln =1+ln a a a a aϕ=---，所以当01a <<时，2112()2a a a a a ϕ-'=-=，1a <<时，()a ϕ为减函数，()(1)0a ϕϕ>=，此时a 不唯一（舍去）---------------------------------8分 3︒.若1k >时，对于①，a 无解，对于②，转化为2()1ln 0k a a a kϕ=--≥在(0,)k 内仅有唯一解的问题.2122()a k a a a k ak ϕ-'=-=,()a ϕ在上单调递增，在)k 上单调递减，1)a k ∃=∈+∞， ()10k k ϕ=-<；21a e ∃=∈，211()ln 0k e e kϕ=--<，要使a唯一，只须0ϕ=，即1102-=，解得2ek =，此时a ==符合题意---------------------------------------------------11分综上：存在2ek =，有唯一的a ==符合题意--------------------------------------------------------------12分【法二】原问题等价于()10ax kx a x e ϕ+=- 恒成立，2()ax akx a k x eϕ'+-=，(0)1a ϕ=---------------5分 1°. 当00,()0,()(0,)k x x x ϕϕ'=>>+∞时，在上单调递增，要使()0x ϕ≥恒成立，只须10a -即可，得01a <≤，此时a 不唯一（舍去）---------------------------------------------------------------------------------------6分2°. 当0k <时，220,(),()k a k ax x x x ak akϕϕ--<<>可得单调递增；单调递减公众号：潍坊高中数学若01a <时, 221(0)0,=10,()0a kk a kx ak ae ϕϕϕ-⎛⎫-->> ⎪⎝⎭满足，此时a 不唯一（舍去）若1a >时，221(0)0,=10,a k k a k ak ae ϕϕ-⎛⎫-<-> ⎪⎝⎭由零点存在性定理得：200()00,k a x x ak ϕ⎛⎫-∃=∈ ⎪⎝⎭，且，当()00,()0x x x ϕ∈<时，与题意矛盾（舍去）--------------------------------------------------------------------------9分 3°. 当20k a <时 ,()(0,),(0)10x a ϕϕ+∞=-在上单调递增只须, 此时a 不唯一.当222,,()0,()k a k a k a x x x x ak akϕϕ-->><<单调递增；时单调递减，要使()0x ϕ≥恒成立，且a 唯一，只须221=10a kk a k ak ae ϕ-⎛⎫--= ⎪⎝⎭, 所以有21ln a k k a -=，令222()ln ln 1,()a k a H a a kH a k ak '-=-+-=，故()H a 在a ∈上单调递增，在)a ∈+∞上单调递减，则须使0H =,解得,2e k a ==,2e k a ==----------------12分。

2021届湖南省常德市一中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2021届湖南省常德市一中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．已知cos 2α=-，则()sin 270α︒-=（） A．2-B．2CD．【答案】B【解析】利用三角函数的诱导公式即可得到答案. 【详解】()sin 270cos 2αα-=-=故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于简单题.2．已知集合{}{}1,2,10A B x mx ==+=，若A B A ⋃=，则m =（） A ．11,2--B ．11,2C ．1,0,2D ．11,0,2--【答案】D【解析】A B A ⋃=转化为B A ⊂可得B 集合可能情形，讨论即可. 【详解】A B A =，B A ∴⊂，所以B φ=或{}1B =或{}2B =当B φ=时，0m =；当{}1B =时，1m =-；当{}2B =时，12m =-；综上：10,1,2m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭故选:D 【点睛】此题为基础题，考查集合间的包含关系. 3．给出下列命题：①命题“正五边形都相似”的逆命题是真命题；②13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③函数()f x =④0x R ∃∈，使200sin 2sin 10x x +-=.其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①，求出命题的逆命题即可判断；对于②，求出12x⎛⎫ ⎪⎝⎭和13log x 的范围即可判断；对于③，求出函数定义域即可判断；对于④，解出方程即可判断. 【详解】对于①，命题“正五边形都相似”的逆命题 “相似的五边形都是正五边形”是假命题，故①错误；对于②，10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131112212x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<=，11331log log 13x >=，即131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故②正确；对于③，()f x 的定义域为{}1，不关于原点对称，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，故③错误；对于④，要使200sin 2sin 10x x +-=，则1sin x ==-去1-，则0xR ∃∈，使01in s x =-200sin 2sin 10x x +-=，故④正确,所以正确的命题有2个. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断，其中涉及对数指数的大小比较，奇偶性的判断，属于中档题. 4．函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是（）A ．()2-+∞，B ．()2,4-C ．(]2,4-D ．[)4+∞，【答案】C【解析】根据解析式，先得函数定义域，再化解析式为()213a f x x a +=+-+，结合题中条件，以及基本初等函数单调性，即可得出结果. 【详解】由()53x f x x a +=-+得定义域为()(),33,x a a ∈-∞-⋃-+∞，又()322133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在()1,+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故选：C. 【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，属于常考题型. 5．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（）A ．11a b b a +>+ B ．11a b a b +>+ C ．11b b a a +>+D ．11b a b a->-【答案】A【解析】作差可判断A ，进而判断D ，取特殊值可判断B ，反证法可判断C. 【详解】对于A ，()()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0a b >>，0a b ∴->，0ab >，110ab ∴+>>，()()1110a b ab a b b a ab -+⎛⎫⎛⎫∴+-+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11a b b a∴+>+，选项A 正确；对于选项B ，取1a =，12b =，则11121a a +=+=，115222b b +=+=，故11a b a b+>+不成立，故B 错误；对于C 选项，要是11b b a a +>+成立，则有()()11b a a b +>+，即ab b ab a +>+，b a ⇒>，这与已知条件矛盾，选项C 错误；对于选项D ，若有11b a b a->-，则有11b a a b +>+，这与选项A 矛盾，错误.故选：A . 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.6．设152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭且112a b -=，则m =（）A ．110B ．10 CD【答案】D【解析】先由152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，用对数表示出,a b ，再根据112a b -=即可求出m . 【详解】152abm ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 12log a m ∴=，5log b m =，112a b -=，1log log 522m m ∴-=，即1log 210m =， 10m ∴=. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，考查对数的运算和换底公式的应用，属于基础题. 7．已知点113(2,),(,)222A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（） A ．3455-（，）B ．4355-（，）C ．3455-（，）D ．43,55-（）【答案】C【解析】试题分析：与向量3(,2)2AB =-同方向的单位向量是3(,2)23342(,2)52559AB AB-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，.【考点】单位向量的求法.8．函数()()23log 0,12a f x x x a a ⎛⎫=+>≠ ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为（）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．()1,+∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用二次函数的基本性质求得当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，232x x +的取值范围，再由()0f x >在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立可求得实数a 的取值范围，利用复合函数法可求得函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】令232u x x =+，则二次函数232u x x =+在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，2312u x x =+>，则()23log log 0log 12a a a f x x x u ⎛⎫=+=>= ⎪⎝⎭，1a ∴>，令2302x x +>，解得32x <-或0x >，即函数()y f x =的定义域为()3,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.对于函数()23log 2a f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，内层函数232u x x =+在区间3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，外层函数log a y u =为()0,∞+上的增函数，由复合函数法可知，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合函数法求对数型复合函数的单调区间，同时也考查了利用对数不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.9．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（）A ．3B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】设公比为q ，根据等比数列的性质知313511a a a a =，又3134a a +=即可求得313,a a 进而求得10q ，即可求122a a 的值. 【详解】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩,∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13 故选：C 【点睛】本题考查了等比数列的性质，根据等比数列性质结合已知求项，进而得到公比，最后即可求目标式的值. 10．方程[]1sin ,5,922xx x π=∈--的所有实根之和为（） A ．0 B ．12C ．8D ．10【答案】B【解析】方程的根转换为左右两边函数交点横坐标的和，注意到两函数都关于点()2,0对称可得解. 【详解】函数sin2xy π=与函数12y x =-在区间[]5,9-上都关于点()2,0对称，所以在区间[]5,9-上六个交点也关于()2,0对称，其横坐标的和为6212⨯=，如下图：所以方程[]1sin,5,922xx x π=∈--的所有实根之和为12.故选:B 【点睛】此题关键在于由表达式分析出函数的对称中心，确定指定区间上交点个数，属于中档题. 11．设120x x <<，()1221222log x x e p x x -=-(e 为自然对数的底)，则（） A ．1222x x p <D ．p 与122,2x x 的大小关系不确定【答案】A【解析】令()2xf x =，利用导数研究函数的单调性，根据导数的几何意义判断即可；【详解】解：令()2xf x =，则()2ln 2x fx '=，则()2ln 20x f x '=>，又()22ln 20x f x ''=>，故()f x '在定义域上单调递增，因为120x x <<，所以()()12f x f x ''<，即122ln 22ln 2x x <，又()()12121222x x f x f x x x -''<<-，所以121212222ln 22ln 2x x xx x x -<<-，即()121221222log 22x x x x e x x -<<-，即1222x xp <<故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 12．在ABC ∆中，21cos cos 2cos ,,133c B b C a A AM AB AC AM +==+=，其中,,a b c 为角,,A B C 的对边，则2b c +的最大值为（）A B ．3C ．23D ．6【答案】C【解析】利用正弦定理的边化角公式,求出角A ,再结合21,133AM AB AC AM =+=和余弦定理求出22429c b bc ++=,最后利用基本不等式求出最大值. 【详解】解:因为cos cos 2cos c B b C a A +=,由正弦定理可得: sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=, 所以()sin sin 2sin cos C B A A A +==,又因为sin 0A ≠ ,所以1cos 2A =, 因为A 为三角形内角, 所以3A π=.因为21,133AM AB AC AM =+=, 所以222224444199999921AB AC AB AC b M c bc A ==⋅+=+⨯++, 所以22429c b bc ++=,即()22229292b c c b bc +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭.可解得, 223b c +≤,当且仅当33,2b c ==时有最大值为23. 故选:C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形,以及利用基本不等式求最大值,属于中档题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为________.【答案】【解析】【详解】：作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x +4y 得y 12=-x 4z+，平移直线y 12=-x 4z +，由图象可知当直线y 12=-x 4z+经过点A 时，直线y 12=-x 4z+的截距最小，此时z 最小，经过C(3,8)由30x x y =⎧⎨+=⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，即A （3，﹣3）,此时z ＝2×3+4×（﹣3）＝﹣6，同理经过C(3,8)时z 最大此时z ＝3814．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=______．【答案】5【解析】由函数()y f x x =+是偶函数，再结合偶函数的定义可得()()2f x f x x --=，再令2x =结合(2)1f =，可求出(2)f -的值【详解】因为()y f x x =+是偶函数，所以设()()g x f x x =+，则()()()g x f x x f x x -=--=+，即()()2f x f x x --=，因为(2)1f =，所以(2)(2)224f f --=⨯=，即(2)4(2)415f f -=+=+=，故答案是：5．【点睛】此题考查偶函数性质的应用，属于基础题15．已知α为第三象限角，3cos25α=-，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】17-【解析】根据题中条件，先确定2α为第二象限角，求出tan2α，再由两角和的正切公式，即可得出结果. 【详解】由α为第三象限角，得222k k πππαπ，k Z ∈，则2424k k ππαππ，k Z ∈，又3cos 205α=-<，所以34242k k ππαππ，k Z ∈，即2α为第二象限角，因此24sin 21cos 25αα，所以sin 24tan 2cos 23ααα，故41tantan 2134tan 24471tan tan 2143παπαπα-+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-⋅+. 故答案为：17-.【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，考查同角三角函数基本关系、两角和的正切公式等，属于常考题型.16．已知5458<，45138<，设5813log 3,log 5,log 8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为___________. 【答案】c b a >>【解析】将5458<，45138<取自然对数，结合换底公式可得45b c <<，利用作差法，结合换底公式与基本不等式可得a b <，从而可得答案. 【详解】451384ln135ln8<∴<，，134ln 8log 85ln13∴<=， 45c ∴>，5458<，同理可知844log 5,55b <∴<， 5ln 3log 3ln 5a ==，ln 3ln 5ln 5ln8a b -=-∴()()222ln 3ln 8ln 5ln 3ln 8ln 52ln 5ln 8ln 5ln 8+⎛⎫- ⎪⋅-⎝⎭=<⋅⋅ ()()ln 24ln 25ln 24ln 2504ln 5ln8+-=<⋅，a b ∴<，综上，45a b c <<<，故答案为：c b a >>. 【点睛】本题主要考查对数的运算、换底公式，以及作差法与基本不等式的应用，属于综合题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）由()()111n n n S nS n n --=+-得()1121n n S S n n n --=≥-，即可证明n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（2）由（1）得2n S n =，21n a n =-，从而得到()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，再利用裂项求和即可. 【详解】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-，所以()1121n n S S n n n --=≥-，即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）得nS n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-.所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查裂项求和，同时考查根据n S 求通项公式，属于中档题.18．已知命题p ：关于x 的方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有两不等实根；命题q ：存在实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤.若“p 或q ”是真命题，“p ∧q ”假命题，求a 的取值范围.【答案】1a <-或01a ≤≤或2a ≥【解析】根据复合命题的真假可以判断,p q 一真一假，求出,p q 均为真时参数a 的取值范围后可得所求的a 的取值范围. 【详解】设()()()2222f x x ax a x a x a =-=-++，则方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有两不等实根等价于011211a a a ≠⎧⎪⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎪⎩，∴p 真[]1,1a ⇔∈-，且0a ≠，不等式2220x ax a ++≤有解24802a a a ⇔∆=-≥⇔≥或0a ≤， ∴q 真2a ⇔≥或0a ≤，因为“p q ∨”是真命题，“p q ∧”假命题，故,p q 一真一假.若p 真q 假，则11002a a a -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<<⎩，故01a <≤.若p 假q 真，则可得2a ≥或1a <-或0a =. 故a 的范围为1a <-或01a ≤≤或2a ≥. 【点睛】本题考查复合命题真假、一元二次方程的根分布以及一元二次不等式的有解问题，注意根据复合命题的真假判断的原则判断出原来两个命题的真假，本题属于基础题. 19．已知函数()()()2sin ,sin cos ,3cos ,cos sin ,a x x x b x x x f x a b =-=+=⋅.（1）求()f x 的最小正周期及()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()006,,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（1）最小正周期为π，()()max min 2,1f x f x ==-；（2）【解析】（1）利用()f x a b =⋅，通过二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用周期公式和正弦函数的性质即可求解.（2）()065f x =，即03sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦以及同角三角函数及基本关系可求出04cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用006cos 2cos 26x xππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣-⎦=展开代入即可求解. 【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，其最小正周期为π 又50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()max 2f x =，()min 1f x =- （2）()0063,sin 2565f x x π⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭，又0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，02,62x πππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭04cos 265x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，0000ππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，【点睛】本题主要考查了三角函数的周期和最值，考查了给值求值问题，属于中档题.20．某工厂有一段旧墙长14米，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形.面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为4a 元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为2a元.经过讨论有两种方案：方案一利用旧墙的一段x ()14x <米为矩形厂房一面的边长；方案二矩形厂房利用旧墙的一面边长()14x x ≥米.问如何利用旧墙，建造费用最省？【答案】旧墙12米作为矩形一边长建造厂房费用最少【解析】先设建造厂房费用为y 元；根据基本不等式求出方案一对应的建造费用的最小值；根据导数的方法求出方案二对应的建造费用的最小值，比较大小，即可得出结论. 【详解】设建造厂房费用为y 元. 方案一：需建矩形边长为2621x x +⎛⎫⎪⎝⎭米，其中旧墙利用x 米，旧墙剩余14x -米，需建新墙252214x x+-米，所以总费用为()252725221414735424a a y a x x x x a a x x ⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当且仅当72524x x=，即12x =时取等号；方案二：需建矩形边长为2621x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭米，其中旧墙14米，需建新墙252214x x +-米，所以总费用2521262114214242a y x a a x a x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14x ≥，因为2126210y a x ⎛⎫- ⎝'=>⎪⎭在14x ≥上显然恒成立，1262122y a x a x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)14,+∞递增，141262121435.5352y a a a a ⎛⎫∴≥+-=> ⎪⎝⎭；故应采用方案一，即取旧墙12米作为矩形一边长建造厂房费用最少. 【点睛】本题主要考查给定函数模型的应用，考查基本不等式的应用，考查导数的实际应用，属于常考题型.21．设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,αβ，且αβ<.定义函数()221x m f x x -=+. （1）求()()ff ααββ+的值；（2）若()12,,x x αβ∈，求证：()()12f x f x αβ-<-.【答案】（1）2；（2）证明详见解析.【解析】（1）分别代入αβ、，化简可得答案；（2）求出先证出()f x 是单调递增函数，再求出()()()()()()12f f f x f x f f αββα-<-<-，再计算()()||||f f αβαβ-=-可得答案. 【详解】（1）,1,m αβαβ+==-()()()()222211m m f f ααββααββαβ--∴+=+++ 222222(2)(1)(2)(1)(1)(1)m m ααβββααβ-++-+=++22222222222222221m m m m αβαβααβαβαββαββα--+--+++=++ 222222222242()()()42()212()m m αβαβαβαβαββαβα++++-+++===+++++.（2）()12,,x x αβ∈，()222222222(1)2(2)2(1)2()()0(1)(1)(1)x x x m x xm x x f x x x x αβ+---++--'===->+++，所以()f x 在(,)αβ上是单调递增函数，所以()()()1f f x f αβ<<，()()()2f f x f αβ<<，所以()()()()()()12ff f x f x f f αββα-<-<-，()()222121,1()1()m m f f ααβββααβαααβαβββαβ----======+-+-，1,αβ=-()()11||||||||f f βααβαβαβαβ-∴-=-==-，所以()()12f x f x αβ-<-成立.【点睛】本题考查了函数的单调性、利用韦达定理进行化简与计算，及不等式的证明. 22．已知函数()ln 1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.（1）求,a b 的值；（2）如果当1x >时，()ln 1x kf x x x>+-，求k 的取值范围. 【答案】（1）1,1a b ==；（2）0k ≤.【解析】（1）切点在曲线上，导函数在此点的值为切线斜率列方程求解；（2）在（1）的基础上求导，再按参数范围讨论. 【详解】（1）由()11f =得1b =.()()()2211ln 11ax a x x f x x x +-=-'+，由()112f '=-得1a = ∴1,1a b == （2）()2ln ln 1ln 2ln 101111x k x x k x k f x x x x x x x x x->+⇔+>+⇔+<-+-- ()12ln 10x k x x ⎛⎫⇔+--< ⎪⎝⎭，令()()12ln 1,1g x x k x x x ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()222211211111x g x k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭' 令()()22111xh x k x x =-+>+，则()()()222220,1x h x h x x <+'-=单调递减，()()1h x h k <=①若0k ≤，则()()0,g x g x '≤单调递减，()()10g x g <=，满足条件； ②若1k，则()()0,g x g x '>单调递增，()()10g x g >=，不满足条件；③若01k <<，则()210,01h h k ⎛⎫><⎪-⎝⎭，此时存在唯一()1,s ∈+∞，使()0h s = 且当()1,x s ∈时，()()()0,0,h x g x g x >'>单调递增，()()10g x g >=，不满足条件综上所述，所求的k 的范围为0k ≤ 【点睛】求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，验证是否符合题意．此题求解过程用的便是后者．。

湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

常德市第一中学2025届高三第一次月水平检测数学时量：120分钟满分：150分命题人：审题人：一、单选题。

（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．已知集合，则（）A ． B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（）A ．，B ．，C ．，D ．，3．设，，，则（）A ．B ．C ．D ．4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（）A ．16B ．72C ．74D ．905．“”是“函数在单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（）A ．1010B ．2020C ．2023D ．20247．，均有成立，则a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9．下列选项中正确的有（）A ．若，则B ．若集合，且，则实数a 的取值所组成的集合是．C ．若不等式的解集为，则不等式的解集为或D ．已知函数的定义域是，则的定义域是．10．已知，且，则（）A ．的最小值是B ．最小值为CD ．的最小值是11．已知函数，下列选项中正确的是（）A ．在上单调递增，在上单调递减{}{}21,24A x x B x x =-≤=-<≤A B = {}4x x ≤{}34x x ≤≤{}23x x -<≤{}24x x -<≤x ∃∈R ln e 0x x x ++>x ∃∈R ln e 0x x x ++≤x ∀∈R ln e 0x x x ++≤x ∀∉R ln e 0x x x ++≤x ∃∉R ln e 0x x x ++<5log 2a =25log 3b =0.20.6c =c b a >>c a b >>b a c >>a c b>>181425GL ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭L G lg20.301≈1m £()()22log 1f x x mx =--()1,+∞()()³²0f x ax bx cx d a =+++≠()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32115()33212f x x x x =-+-12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212,[1,e]x x x x ∀∈≠122121ln ln x x x x a x x -<-(],0-∞[)1,+∞[]0,1[)0,+∞()()22e ,e xf x x x ag x x =-+=-(][]12,0,1,e x x ∞∀∈-∃∈()()12g x f x ≤a [)2e 1,-+∞12e 1,e ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭)2e ,⎡+∞⎣21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭a b >22ac bc >{}{}20|1,2,A B x ax =-=+=B A ⊆{}1,2-20ax bx c ++>{}3|1x x <<20cx bx a ++<1{3x x <1}x >()1y f x =+[]2,3-()1y f x =-[]0,50,0a b >>1a b +=ab 14222a b +2312a a b+1+()1e ,01ln ,04x x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()f x (),1-∞-()1,0-B．有极大值C．无最小值D．若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是.13．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则.14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．16．（15分）已知正方体的棱长为，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)当时，求二面角的余弦值的绝对值.17．（15分）数列满足．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．18．（17分）已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）已知(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)已知有两个极值点，且满足，求的值；(3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．()f x()f x()()()()2[]24h x f x af x a=-+∈R a5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]1,5x∃∈1e0x ax--<a()f x()g x R()()e xf xg x+=()()22f xg x-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2e exf x ax x=--()0,∞+()0f x<aABCV,,A B C,,a b c,m n(2,m a=),n B b=m n⊥AABCV3a=ABCV1111ABCD A B C D-311113PD A D=11123QC C D=MBD M'M AD1MB PQ⊥1Q PMB-2BM DM=M PQ M'--{}na321212222nna aaa n-+++⋯+={}nannnba={}nb nnT2222:1(0)x yC a ba b+=>>3,12P⎛⎫⎪⎝⎭()1,eC e CC(2,0)D P l C C()2lnx ax x bf xx++=3,1a b=-=-()y f x=()()1,1f()f x12,x x()()12f x f x+=b()1f x x≥-+[)1,+∞a参考答案：1．C 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B9．CD 10．BC 11．ABD 12． 13． 14．11．【详解】对于A ，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以A 正确，对于B ，由选项A 可知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以B 正确，对于C ，当时，，当时，，当时，，所以当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，综上，的值域为，所以有最小值0，所以C 错误，对于D ，因为在上单调递增，在上单调递减，，，所以的大致图象如图所示由，得，令，则，由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令，若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意，所以，因为，所以，解得，即实数的取值范围是，所以D 正确，故选：ABD 14．【详解】由在上满足的正整数至多有两个，即在上满足的正整数至多有两个，设，，则，设，，则，，设，，则恒成立，则在上单调递增，即，即，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；(],e 1∞--1-3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦0x ≤1()e x f x x +=-111()(e e )e (1)x x x f x x x +++'=-+=-+1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<()f x (),1∞--()1,0-()f x (),1∞--()1,0-()f x =1x -0x >14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩14e x ≥1ln 04x -≥140e x <<1ln 04x ->0x >()0f x ≥()f x (),1∞--()1,0-0x ≤()0f x ≥()f x [0,)+∞()f x ()f x (),1∞--()1,0-()11f -=(0)0f =14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩()f x ()0h x =()()2[]240f x af x -+=()f x t =2240t at -+=()f x ()h x 2240t at -+=12,t t 12t t <120,01t t =<<()h x 202040a -⨯+≠1201,1t t <<>2020440a -⨯+=>21240a -+<52a >a 5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦()0,∞+()2e e 0xf x ax x =--<()0,∞+2e e x x a x ->()2e e x xg x x -=0x >()()3e 2e x x x g x x -+'=()()e 2e xh x x x =-+0x >()()e 1e x h x x '=-+0x >()()e 1e x m x x =-+0x >()e 0xm x x '=>()m x ()0,∞+()()0e 10m x m >=->()0h x '>()h x ()0,∞+()10h =()0,1x ∈()0h x <()0g x '<()g x ()1,x ∈+∞()0h x >()0g x '>()g x所以当时，取最小值，又在上满足的正整数至多有两个，则，即，故答案为：.15．(1)或.(2)【详解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴∵，∴或.（2）∵，且三角形为锐角三角形，∴.∴由正弦定理得.∴，.∴，.又∵为锐角三角形，∴，∴，得，.，，∴，又∵，∴.∴的周长的取值范围为.16．(1)证明见解析(2) (3)【详解】（1）证明：连接.由，得，又，则有，正方体中，平面，平面，得，又正方形中，，，平面，所以平面，由平面，得.又，所以.（2），，，，有，，∴.1x =()g x ()0,∞+()2e e x x a g x x ->=()3e 3e39a g -≤=3e 3e ,9a ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦π3A =2π3(3+m n ⊥20a B =2a B =2sin sin A B B sin 0B ≠sin A =(0,π)A ∈π3A =2π33a =ABC π3A =sin sin sin a b cA B C ====b B =c C =)2πsin sin sin sin 3b c B C B B ⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦13sin sin sin 22B B B B B ⎫⎫=++=⎪⎪⎪⎪⎭⎭)1πcos 32cos 6sin 26B B B B B ⎫⎛⎫=+=⨯+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC V π02B <<2π0π32B <-<ππ62B <<ππ2π363B <+<πsin()16B <+≤6sin 66B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6b c <+≤3a =39a b c +<++≤ABC V (3+5217191111,A C B D 11123QC C D =11113QD C D =11113PD A D =11//PQ A C 1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 111BB A C ⊥1111D C B A 1111B D A C ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂11BB D D 11A C ⊥11BB D D 1MB ⊂11BB D D 111A C MB ⊥11//PQ AC 1PQ MB ⊥111D P D Q ==PQ ==111111,A B C B A P C Q ==1111Rt Rt A B P C B Q ≅V V 222222*********B P B Q A P A B ==+=+=11B P B Q ==1115222PQB S PQ ===V 11115332Q PMB M PQB PQB V V S --==⨯⨯=V（3）如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，，，当时，有，则，，.设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设所成的角为∴.17．(1) (2)【详解】（1）数列满足，当时，，两式相减可得，，所以，当时，也满足上式，所以；（2）由（1）得，所以，则，两式相减的，，所以．18．(1) (2)是定值，定值为（1）由题意可得，解得故椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，则直线DA 的方程为．联立，整理得则，即． D DA x DC y 1DD z (0,0,0)D (3,0,0)A (1,0,3)P (0,1,3)Q 2BM DM =(1,1,0)M (1,1,0)M -'(1,1,0)PQ =- (1,2,3)QM -'=- (0,1,3)PM =-()111,,m x y z = QPM '111110230PQ m x y QM m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅='--=⎪⎩13x =113,1y z ==-()3,3,1m =- ()222,,n x y z = QPM 2222030PQ n x y PM n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩23x =223,1y z ==(3,3,1)n =M PQ M '--θ17cos 19m n m n θ⋅===⋅ 2n n a =222n nn T +=-{}n a 321212222n n a a a a n -++++= 2n ≥()31212221222n n a a a a n --+++⋯+=-122nn a -=2n n a =1n =1122a ==2n n a =2n n n b =231232222nn nT =++++ 234111*********n n n n n T +-=+++++ 2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=-- 222nnn T +=-2212x y +=2-22222221023211c c a a b a b c-⎧=⎪-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩C 2212xy +=l l ()312x m y =-+()11,A x y ()22,B x y ()33,M x y ()44,N x y 1122x x y y -=+11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22111132220x y x y y y -+-+=2113132y y y x =-13132y y x =-代入，得．同理可得．因为所以直线MN 的斜率为定值，且定值为．19．(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，所以，所以．所以曲线在点处的切线方程为．（2）因为，所以，因为有两个极值点，所以有两个大于0的变号零点，所以方程有两个不等正根，所以，解得，又因为，即有，整理得，代入，可得，解得，又因为，所以可得，经检验，符合题意．（3）由(2)可知且，从而，因为在上恒成立，令，则有在上恒成立，易得，因为，所以，令，对称轴，①当时，，所以在单调递增，从而恒成立，所以在也恒成立，所以在单调递增，从而恒成立．②当时，，所以有两个不等实根（不妨设），所以，且当时，，从而，所以在上单调递减，所以，与“在上恒成立”矛盾，1122x x y y -=+()13112312322232x x x x -=+=---()2442231,322232y y x x x ==---()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----()()()21112112123332322222,y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---2-1y x =-+1b =-[)3,2--3,1a b =-=-()()13ln ,10f x x x f x =--=()2311f x x x'=-+()11f '=-()y f x =()()1,1f 1y x =-+()()ln ,0,b f x x a x x x =++∈+∞()2221a b x ax bf x x x x +-=+-='()f x 12,x x ()f x '20x ax b +-=21212Δ4000a b x x b x x a ⎧=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩2400a bb a ⎧>-⎪<⎨⎪<⎩()()120f x f x +=112212ln ln 0b b x a x x a x x x +++++=()()12121212ln 0x x x x a x x bx x ++++=1212,x x b x x a =-+=-()()ln 0aa ab b b--+-+=-1b =-240a ba ⎧>-⎨<⎩2a <-1b =-2a <-()1ln f x x a x x=+-()1f x x ≥-+[)1,+∞()()[)112ln 1,1,g x f x x x a x x x=+-=+--∈+∞()0g x ≥[)1,+∞()12ln1110g a =+--=()2221212a x ax g x x x x ++=++='()13g a '=+()[)()221,1,,13h x x ax x h a =++∈+∞=+4a x =-32a -≤<-()3130,44a h a x =+≥=-≤()h x [)1,+∞()()130h x h a ≥=+≥()()20h x g x x ='≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()10g x g ≥=3a <-()130h a =+<2210x ax ++=34,x x 34x x <341x x <<()41,x x ∈()0h x <()()20h x g x x='<()g x []41,x ()()410g x g <=()0g x ≥[)1,+∞综上，的取值范围是．a [)3,2--。

湖南省常德市2021届新高考第四次质量检测数学试题含解析

湖南省常德市2021届新高考第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（）A ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A 【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.2．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A BC D ．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==3，选B. 3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+，故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 4．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-【答案】D 【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.6．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】【分析】根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f D ．以上情况均有可能【答案】B 【解析】【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．【详解】由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =，因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减，根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增，因为α，β是锐角三角形的两个内角，所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-，所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，(cos )(sin )f f αβ<．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（）A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果．【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =，所以17747()7142a a S a +===，故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．9．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 【答案】A 【解析】【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+，所以22z i =-+所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.10．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-【答案】D 【解析】【分析】根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项. 【详解】因为2y =,所以当()12+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值；当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值，所以输入的x 的值为2- 或3，故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.11．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加【答案】D 【解析】【分析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确. 对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.12．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（） A ．40243B ．70243C ．80243D ．38243【答案】C 【解析】【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省常德市第一中学高三数学上学期第四次月考试题理

高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1.下列集合中，是空集的是（D ）2{|33}x x += B ．2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈C ．2{|0}x x -≥D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 2.已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ C ） A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p C.1sin ,:>∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( B. ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( B )（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）135函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是( C ) (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）6. 满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ C ）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.7. 已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA •=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R)，则n m等于 ( B )A.31B.3C.33D.38. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( D )（A（B（C（D9已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为（ B ）A ．1B.32C ．2D.5210数列{n a } 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{n a }前40项和等于（ A ） A ．820 B ．800 C ． 840 D ．860解：由于数列{an}满足an+1+（-1）^n an=2n-1，故有 a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a50-a49=97．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列．{an}的前40项和为 10×2+（10×8+(10×9)/2×16）=20+80+720=820. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.计算：5(24)x dx-⎰=512.设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<。

2021届湖南省常德市一中高三第四次月考文科数学试卷

2021年湖南省常德市一中高三第四次月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2014≥=x x A ，{}2015≥=x x B ，则集合B A =（）.A ．{}2014≥x xB ．{}2015≥x xC ．{}20152014≤≤x xD ．{}20152014≥≤x x x 或2．函数)42lg(x y -=的定义域是（）.A ．]41,0(B ．]41,(-∞C ．)21,0( D ．)21,(-∞ 3．设数列{}n a 中，21=a ，且{}n a 21+是公差为1的等差数列，则=3a （）. A ．3 B ．4 C ．6 D ．74．为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面列联表：由已知数据可以求得：,则根据下面临界值表：可以做出的结论是（）A ．在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”B ．在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”C ．在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”D ．在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”5．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≤≤≤232020y x y x ，则x y z 2-=的最大值为（）.A ．2-B ．4-C ．2D ．46．函数)62sin(π-=x y （20π<<x ）的值域为（）A ．）1,0(B ．）21,0(C ．）21,21(-D ．]1,21(- 7．已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形（如图），则过该棱锥所有顶点的球的表面积为（）A ．π48B ．π24C ．π12D ． π88．已知圆A 的半径为10，圆心A （0,3-），M 是圆A 上的任意一点，且点B （0,3），线段MB 的垂直平分线l 和半径MA 交于点C ，当点M 在圆上运动时，点C 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．对于，定义运算，若，，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10．过抛物线xy 32=上一定点),(00y x M )0(0>y ，作两条直线MB MA 、分别交（正视图）（侧视图）（俯视图）抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，当直线MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，0213y y y +的值是（）A ．31B ． 32C ．3-D ．32-二、填空题11．已知m R ∈,向量(,1)a m =，(6,2)b =-，且a ∥b ，则a b -=12．若双曲线C:122=-y mx 的一条渐近线与直线12:--=x y l 垂直，则双曲线C 的焦距为13．某批发市场对某件商品（成本为5元/件）进行了6天的试销，得到如下数据：经分析发现销量y （件）与单价x （元）具有线性相关关系，且回归直线方程为a x b y ˆˆˆ+⋅=（其中，20ˆ-=b ，x b y a ⋅-=ˆˆ），那么今后为了获得最大利润，该商品的的单价应定为元.14．已知2tan -=α，抛物线)0(22>=p px y 的焦点为()sin cos ,0F αα-，直线l 经过点F 且与抛物线交于B A 、点，且4=AB ，则线段AB 的中点到直线21-=x 的距离为 15．在平面直角坐标系中，定义2121),(y y x x B A d -+-=为两点),(),,(2121y y B x x A 的“直角距离”，已知直线l 经过点P （05，），倾斜角为α，且55cos -=α，在直线l 上截取线段EF （525≤≤-x ），则原点O 与线段EF 上一点的“直角距离”的最小值与最大值之和是16．（本题13分）已知函数x a x a x g )1(ln )(+-=，221)(x x h -=，其中a 为实数. （1）令)()()(x h x g x f -=，求函数)(x f 的单调增区间；（2）若对定义域内的所有x ，函数)(x g 的图象都不可能在)(x h 的图象的下方，求实数a 的取值范围；（3）对任意的正整数t s 、，试比较代数式)ln(1)2ln(1)1ln(1t s s s ++++++ 与sts t +2的大小关系并证明.三、解答题17．（本题12分）某商业集团对所属的200家连锁店进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A 、B 、C 、D 四个等级，评估标准如下表：现将各连锁店的评估分数进行统计分析，并将其画成频率分布直方图如下.（1）请补全频率分布直方图（画出[70,80）那组对应的小长方形并标上对应高度）（2）现欲用分层抽样的方法从这200家连锁店中抽取40家作为代表进行座谈会，试问其中A 、D 类连锁店分别应抽取多少家？（3）试根据频率分布直方图估计这200家连锁店评估得分的中位数（结果保留一位小数）.18．（本题12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边记作c b a 、、，且2,54cos ==a A . （1）当35=b 时，求角B的大小及C sin 的值；（2）若△ABC 的面积为3，试求边c b 、的大小.19．（本题12分）如图，在横放得四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，∠DAE=90°,且△ABE 是等腰直角三角形，其中∠BAE=90°，连接AC 、BD 交于点O.0.02060 70 80 90 100（1）求证：BD ⊥平面AEC ；（2）若二面角A-BD-E 的大小为60°，且直线EC 与平面ABCD 所成的角为θ，求θsin .20．（本题13分）某市现行出租车收费标准如下：不考虑其他因素下，每次运行起步价为（包括燃油附加费在内）4里内5元（不含4里），满4里后的续程运行价为每里跳表计费1元。

2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

第 1 页共 6 页 2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}|lg 1A x y x ==+，{}|2B x x =<，则AB =（） A ．()1,2-B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,1-- 【答案】A【解析】先求集合{}|1A x x =>-，{}|22B x x =-<<，再根据集合交集运算即可得答案.【详解】解：由于(){}{}|lg 1|1A x y x x x ==+=>-，{}{}|2|22B x x x x =<=-<<，所以A B ={}{}{}|1|22|12x x x x x x >--<<=-<<.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】A【解析】化简复数23z i =-，得到复数z 表示的点的坐标为(2,3)-，即可求解.【详解】由题意，复数(23)13i z +=，可得()()()13231313(23)2323232313i i z i i i i --====-++-，所以在复平面内复数z 表示的点的坐标为(2,3)-，位于第四象限.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的表示方法及其几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B。

2021年高三上学期第四次月考数学(理)试题(含解析)

2021年高三上学期第四次月考数学（理）试题（含解析）时间：2012-11-4 朱学斌第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.2. 复数的共轭复数为（）A．B．C．D．3.各项均为正数的等比数列中，，则等于（）A.16B.27C.36D.－274.若，，则（）A. B. C. D.5.已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A. B. C. D.6.函数的最大值与最小值之和为（）A. B.0 C.－1 D.7.已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.8.已知为上的可导函数，当时，，则关于x的函数的零点个数为（）A.1B.2C.0D.0或29. 函数（其中）的图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象( )A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位10.在△中，若，则△是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形1 11.）的根的个数不可能是（，则方程）已知函数axxfxxxxxxf=+⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=)2(,3,1(23A．3 B. 4 C. 5 D. 612.设不等式组表示的平面区域为表示区域D n中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=( )A. 1012B. 2012C. 3021D. 4001第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13. 在△中，若,, ,则.14. 若，则。

15.我们对数列作如下定义，如果,都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积。

已知数列是等积数列，且，公积为6，则16. 若命题“，使“为真命题。

则实数的取值范围.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列的首项，公差，且第二项、第四项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和的最大值．18.（本小题满分12分）已知函数π()sin()(00,)2f x A x Aωϕωϕ=+>><，（）的部分图像如图所示．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，且，求的值．19.（本小题满分12分）已知∆ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB, ∆ABC的外接圆半径为.(1)求角C；(2)求∆ABC面积S的最大值.20.（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．（Ⅰ）求k的值，并求出的表达式；（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?.21.（本小题满分12分）（Ⅰ）已知函数f（x）=x2+lnx-ax在（0，1）上是增函数,求a的取值范围;（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设g（x）=e2x-ae x-1,x∈,求g（x）的最小值.22．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当且时，试比较的大小．项城二高高三第四次考试数学试卷（理）答案1. C 【解析】集合M ={y |y >1}，集合N =，所以.2.【答案】 C 【解析】3. B 【解析】由,得，由等比数列的性质可得，依次构成等比数列，又等比数列中各项均为正数，所以可得.4. D 【解析】因为，所以，所以，所以.又，所以.又由，得，所以.选D.5. D 【解析】不妨设三边长依次构成公差为的等差数列，则角为最大角.所以由已知得.所以（为最大角，不可能，否则，不符合题意）.由，及，解得.所以周长为.6. A 【解析】因为，所以，则，所以当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为，所以最大值与最小值之和为.选A.7. D 【解析】命题p ：函数的最小正周期为，所以命题p 是假命题.命题q ：将函数f (x +1)向右平移1个单位得到f (x )的图象，所以函数f (x )图象关于x =1对称.故命题q 是真命题.所以为真. 8. C 【解析】()()'()()[()]''000f x xf x f x xf x f x x x x++>⇒>⇒>，即.当时，，为增函数；当时，，为减函数，设，即当时，.，由上述可知，所以无解，故函数的零点个数为0.9. A 【解析】由图象易得,且函数的最小正周期为,所以.又由图象过点，得，则,得，又，所以.所以.将其向右平移个长度单位，即可得到函数的图象.10.D 【解析】由，得，得，得，得,故.故△是直角.11. 【解析】画出图像知，当时，有3个根，一负二正，当时，有2个正根.令，则.当时，有3个使之成立，一负二正，两个正分别对应2个，当负时，没有与之对应，当负时，有1个与之对应，当负时，有2个与之对应，所以根的个数分别为4、5、6个；当时，有2个正根，两个正分别对应2个，此时根的个数为4个.所以根的个数只可能为4、5、6个.12. C 【解析】因为，所以令,又为整数，所以.当x =1时，，有3n 个整数点；当x =2时，，有2n 个整数点；当x =3时，，有n 个整数点.综上，共有6n 个整数点，所以.则数列是以为首项，公差为12的等差数列. 故()220122462012()100611201220122a a a a a a +⨯++++=⨯ .13. 14.15. 18 16. 17.解：①， ②时最大18.19.解：解：（1）)(sin 22)sin (sin )2(2222b a B C A -=- a 2-c 2=ab-b 2即a 2+b 2-c 2=ab∴2abcosC=ab cosC= c=（2）S ΔABC =absinC=absin= ===3sinAcosA+sin2A=sin2A+(1-cos2A) =sin2A-cos2A+=sin(2A-)+ 当2A-=即A=时，S ΔABCmax =20. 【解析】（Ⅰ）由，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以．（Ⅱ）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.21.解:（1）,∵f （x ）在（0，1）上是增函数,∴2x+-a ≥0在（0,1）上恒成立,即a ≤2x+恒成立,∴只需a ≤（2x+）min 即可. …………4分 ∴2x+≥ （当且仅当x=时取等号） ,∴a≤…………6分（2）设设，其对称轴为t=，由（1）得a≤，∴t=≤＜…………8分则当1≤≤,即2≤a≤时,h（t）的最小值为h（）=-1-,当＜1,即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a …………10分当2≤a≤时g（x）的最小值为-1- ,当a＜2时g（x）的最小值为-a. …………12分22.解：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．····················································· 3分（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，∴，············································································ 5分令，可得在上递减，在上递增，∴，即．········································································ 7分（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e2)上单调减∴0<x<y<e2时，即当0<x<e时，1-lnx>0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴当e<x<e2时，1-lnx<0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴30217 7609 瘉M27623 6BE7 毧~ 32449 7EC1 绁26645 6815 栕L131726 7BEE 篮$I_。

2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}|lg 1A x y x ==+，{}|2B x x =<，则A B =（）A ．()1,2-B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,1--【答案】A【解析】先求集合{}|1A x x =>-，{}|22B x x =-<<，再根据集合交集运算即可得答案. 【详解】解：由于(){}{}|lg 1|1A x y x x x ==+=>-，{}{}|2|22B x x x x =<=-<<，所以AB ={}{}{}|1|22|12x x x x x x >--<<=-<<.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（） A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】A【解析】化简复数23z i =-，得到复数z 表示的点的坐标为(2,3)-，即可求解. 【详解】由题意，复数(23)13i z +=，可得()()()13231313(23)2323232313i i z i i i i --====-++-，所以在复平面内复数z 表示的点的坐标为(2,3)-，位于第四象限. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的表示方法及其几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4．已知1sin 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．1516 B ．1516-C ．78D ．78-【答案】D【解析】利用诱导公式，求得cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再利用二倍角的余弦公式，求得2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】 ∵1sin cos ()cos 62634ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2217cos 22cos 113388ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式，二倍角的余弦公式求值，属于中档题. 5．函数4||ln ||()x x f x x=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除C 和D ，代入特值排除B ，可得选项．【详解】()()()4ln ,x xf x f x f x x -==∴是偶函数，排除C 和D 又()()2ln 210,2016f f ==>，排除B 故选：A 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的应用，属于基础题．6．向量1,13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(cos ,sin )b αα=，α为第三象限角，且//a b ，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．10B 10C ．310D 310【答案】D【解析】由平面向量平行的性质可得13cos sin αα=，再由同角三角函数的平方关系可得310sin α=，结合诱导公式可得2021cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】因为向量1,13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(cos ,sin )b αα=，且//a b ，所以13cos sin αα=，所以22210sin cos sin 19ααα+==，所以29sin 10α=，又α为第三象限角，所以sin 10α=-，所以2021cos cos 2505cos sin 222πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量平行、同角三角函数的平方关系及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（）斤？ A ．581B ．778C ．439D ．776【答案】B【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．【详解】设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得1234891034a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩,即114633244a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得778d =， ∴每一等人比下一等人多得778金．故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于容易题．8．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、多选题9．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞b D ．a ＞b ＞0【答案】ABD【解析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断.因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<，当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误，故选：ABD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 10．已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的可能取值是（） A ．14B ．12C ．34D ．54【答案】BCD【解析】由题意利用正弦函数的单调区间，列不等式求出ω的范围，可得结论．【详解】当(x ∈2π，)π，(424x πωππω+∈+，)4ππω+， 0>ω时函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，2242k ωππππ++且3242k πππωπ++，k Z ∈， ∴0k =时，242ωπππ+且342πππω+，求得1524ω，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于基础题．11．已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则m 取下列哪些值时符合题意（）A ．-2B ．4C ．6D ．10【答案】ABC【解析】先讨论0x ≤时，(),2x ∈-∞-时，()f x 单调递增，()2,0x ∈-时，()f x 单调递减，()216f -=-，进而得[]2,0m ∈-，再讨论0x >时，则需满足08m <≤，故m 的取值范围为[]2,8-，进而得答案. 【详解】解：当0x ≤时，()312f x x x =-，()2'123f x x =-，令()'0f x =得2x =±，所以当(),2x ∈-∞-时，()'0f x <，()2,0x ∈-时，()'0f x >，所以当(),2x ∈-∞-时，()f x 单调递增，()2,0x ∈-时，()f x 单调递减，所以当0x ≤时，()()min 216f x f =-=-，所以当(],x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则[]2,0m ∈- 当0x >时，()2f x x =-，()f x 的取值范围依然为[)16,-+∞，则需要满足216m -≥-，即08m <≤，综上，m 的取值范围为[]2,8-. 所以ABC 均满足，D 不满足. 故选：ABC 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，考查分类讨论思想，是中档题.12．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象和直线y x =无交点，现有下列结论：①方程[()]f f x x =一定没有实数根；②若0a >，则不等式[]()f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使()00f f x x >⎡⎤⎣⎦；④函数2()(0)g x ax bx c a =-+≠的图象与直线y x =-一定没有交点.其中，正确的是（） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】ABD【解析】函数()f x 的图象与直线y x =没有交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立.因为[()]()f f x f x x >>或[()]()f f x f x x <<恒成立，然后再逐一判断即可得出答案.【详解】因为函数()f x 的图象与直线y x =没有交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立.因为[()]()f f x f x x >>或[()]()f f x f x x <<恒成立，所以[()]f f x 没有实数根，故①正确；若0a >，则不等式[()]()f f x f x x >>对一切实数x 都成立，故②正确；若0a <，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立，所以不存在实数0x ，使()00f f x x >⎡⎤⎣⎦，故③错误；由函数()()g x f x =-与()f x 的图象关于y 轴对称，所以()g x 和直线y x =-也一定没有交点. 故④正确，故选：ABD 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查二次函数的性质，考查恒成立问题，属于中档题.三、填空题13．命题“对任何R x ∈，243x x -+->”的否定是________．【答案】存在x ∈R ，|2||4|3x x -+-≤【解析】对于“任何x ∈R ”，其否定为“存在x ∈R ”，对于后半部分，否定为“|2||4|3x x -+-≤”，故答案为“存在x ∈R ，|2||4|3x x -+-≤”.14．化简413322338124a a ba b ⎛-÷-= ⎝+_________. 【答案】a【解析】利用分数指数幂运算法则、分数指数幂与根式的互化，进行求解运算. 【详解】原式111333221333(8)214a a b b a a b a ⎛⎫- ⎪=÷-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭11111133333322113333(8)(8)842a a b aa a a ab a a a ba ba b⋅⋅--=⨯⨯==-+-故答案为：a 【点睛】本题考查分数指数幂运算，考查运算求解能力，求解时注意立方差公式的应用，属于基础题.15．已知(),0,αβπ∈，且()11tan ,tan 27αββ-==-，则2αβ-的值为_____ 【答案】3π4-. 【解析】先利用正切两角和公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，最后根据正切的两角差公式计算出()tan 2αβ-，最后根据角的范围确定出2αβ-的值. 【详解】解：因为()()()11tan tan 127tan tan 0111tan tan 3127αββααββαββ--+⎡⎤=-+===>⎣⎦--⋅+⨯，所以π02α<<.又因为22122tan 33tan 201tan 4113ααα⨯===>-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以π022α<<. 所以()31tan 2tan 47tan 21311tan 2tan 147αβαβαβ+--===+-⨯. 因为1tan 07β=-<，所以π,202βππαβ<<-<-<，所以3π24αβ-=-. 故答案为：3π4-. 【点睛】本题考查三角函数求值，关键是和差角公式的灵活应用，属于中档题.16．已知()xf x xe =，方程2[()]()10()f x tf x t ++=∈R 有四个实根，则t 的范围为_________.【答案】21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【解析】由条件有,0 (),0xxxxe xfx xexe x⎧≥==⎨-<⎩，分析出函数()f x的单调性，作出图象，根据图形结合条件，则方程210()x tx t++=∈R有两个不同的实根12,x x，且110,xe⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，{}21,0xe⎛⎫∈+∞⋃⎪⎝⎭，从而由二次方程根的分布条件得出答案.【详解】,0(),0xxxxe xf x xexe x⎧≥==⎨-<⎩，当0x>时，()xf x xe=，()(1)0xf x e x'=+>，易知()f x在[)0,+∞上是增函数.当(,0)x∈-∞时，()xf x xe=-，()(1)xf x e x'=-+，故()f x在(),1-∞-上是增函数；在()1,0-上是减函数，作其图象如下，且1(1)fe-=，故若方程2[()]()10()f x tf x t++=∈R有四个实数根，则方程210()x tx t++=∈R有两个不同的实根12,x x，且110,xe⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，{}21,0xe⎛⎫∈+∞⋃⎪⎝⎭，又方程210()x tx t++=∈R没有0根.故200101110te e++>⎧⎪⎨++<⎪⎩，解得21,ete⎛⎫+∈-∞-⎪⎝⎭.故答案为：21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了根的存在性以及根的个数的判断，考查利用函数导数分析函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题.四、解答题17．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．（1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1) m ≤3;(2) {m |m ＜2或m ＞4}.【解析】试题分析：(1)根据B 是A 的子集,分别讨论集合B 是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m 的范围;(2) 根据不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,分别讨论集合B 是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m 的范围试题解析:（1）当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ．当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，即2≤m ≤3．综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．（2）∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时，符合题意；当B ≠∅，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，215m m ＋＞≥⎧⎨⎩或2212m m ≥⎧⎨--⎩＜，解得m ＞4．综上，所求m 的取值范围是{m |m ＜2或m ＞4}．18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-．（1）证明{}2n S n -+为等比数列；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】(1)见证明；(2)322382n n n ++--【解析】（1）当1n =时，11a S =，求得首项为3，由题意可得122[(1)2]n n S n S n --+=--+，运用等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式可得122n n S n +=+-，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．【详解】解：（1）证明：当1n =时，11a S =，11214S a -=-，可得13a =，24n n S a n -=-转化为：12()4(2)n n n S S S n n ---=-，即124n n S S n -=-+，所以122[(1)2]n n S n S n --+=--+ 注意到1124S -+=，所以{2}nS n 为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：122n n S n，所以122n n S n +=+-，于是231(222)(12)2n n T n n +=++⋯++++⋯+-324(12)(1)23821222n n n n n n n +-++--=+-=-．【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19．已知函数f （x ）=2sinωxcosωx+2sin 2ωx ﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)第一步根据降幂公式，化简，第二步，对降幂后的式子，再根据辅助角公式化简，得到，令，得到函数的单调递增区间;（2）根据三角函数的图像变换规律，“左＋右－，上＋下－”，得到函数，令，得到的值，根据的取值集合，只需大于等于10个点的横坐标即可.试题解析：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin （2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函数f（x）的单调增区间是．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．【考点】1.三角恒等变换；2.单价函数的性质；3.三角函数的图像变换.【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括，，，降幂后采用辅助角公式化简，，其中，这样函数就可以化简为.20．在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，15x <≤）：当13x <≤时满足关系式2(3)1by a x x =-+-，（,a b 为常数）；当35x <≤时满足关系式70490y x =-+.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克（1）求,a b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/千克）【答案】(1)答案见解析；(2)销售价格 1.67x ≈元/千克时，每日利润最大. 【解析】(1)由题意得到关于实数a ,b 的方程组，求解方程组可得400,300a b ==，则每日的销售量()()()220040031317049035x x y x x x ⎧-+≤≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格 1.67x ≈元/千克时，每日利润最大. 【详解】（1）因为x =2时，y =700；x =3时，y =150，所以1502700ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得400,300a b == 每日的销售量()()()220040031317049035x x y x x x ⎧-+≤≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）由（1）知，当13x <≤时：每日销售利润()()()2300400311f x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦()()240031300x x =--+()324007159300x x x =-+-+（13x <≤）()'f x = ()240031415x x -+当5,3x =或3x =时()'0f x = 当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0f x >，()f x 单增；当5,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0f x <，()f x 单减.∴ 53x =是函数()f x 在(]1,3上的唯一极大值点，532400300327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭700>；当35x <≤时：每日销售利润()()()704901f x x x =-+-=()27087x x --+()f x 在4x =有最大值，且()4630f = 53f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.综上，销售价格51.673x =≈元/千克时，每日利润最大. 21．如图，在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =，D 是边AB 上一点.（1）求ABC ∆面积的最大值；（2）若2CD =，ACD ∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求AD 的长. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知条件建立面积的关系式，利用基本不等式求最值即可；（2）结合正余弦定理即可求解.试题解析：（1）∵在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =D 是边AB 上一点， ∴由余弦定理，得222202cos AC AB BC AB BC B ==+-⋅∠223(23)AB BC BC AB BC =+⋅≥⋅.∴4020323AB BC ⋅≤=+-，∴1sin 10532ABC S AB BC B ∆=⋅∠≤+∴ABC ∆面积的最大值为103+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，∵2CD =，ACD ∆的面积为4，ACD ∠为锐角， ∴11sin 252sin 422ACD S AC CD θθ∆=⋅=⨯=，∴25sin 5θ=，5cos 5θ=，由余弦定理，得2222cos204165AD AC CD AC CDθ=+-⋅=+-=，∴4=AD【考点】1.正余弦定理解三角形；2.不等式求最值．22．已知函数2()lnf x a x x=+（a为实常数）（1）当4a=-时，求函数()f x在[]1,e上的最大值及相应的x值；（2）当[]1,x e∈时，讨论方程()0f x=的根的个数；（3）若0a>，且对任意的12,[1,]x x e∈，都有()()121211f x f xx x-≤-，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数()f x在[]1,e上的最大值为24e-，相应的x值为e；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）实数a的取值范围不存在.【解析】（1）当4a=-时，求得函数的导数2(()x xf xx+-'=，求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）求得函数的导数22()x af xx+'=，分0a≥和0a<讨论函数的单调性，特别注意当0a<时，求出函数()f x在[1,]e上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和()F e的值的符号，讨论在[1,e]x∈时，方程()0f x=的零点；（3）当0a>时，得出2()lnf x a x x=+在[]1,e上为增函数，把()()121211f x f xx x-≤-，转化为()()212111f x f xx x+<+，构造函数1()()G x f xx=+，由该函数为减函数，得到()0'≤G x在[1,e]x∈恒成立，分离参数利用函数的单调性，即可求解.【详解】（1）当4a=-时，2()4lnf x x x=-+，函数的定义域为(0,)+∞，可得42(()2x xf x xx x+-'=-+=，当x ∈时，()0f x '<，当)x e ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在⎡⎣上为减函数，在)e 上为增函数，2(1)4ln111f =-+=，22()4ln 4f e e e e =-+=-，所以函数()f x 在[]1,e 上的最大值为24e -，相应的x 值为e .（2）由2()ln f x a x x =+，得22()2a x af x x x x+'=+=. 若0a ≥，则在[]1,e 上()'f x ，函数2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，由()110f =>知，方程()0f x =的根的个数是0；若0a <，由()0f x '=，得x =（舍）或x =1≤，即20a -≤<，2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，由(1)10f =>知，方程()0f x =的根的数是0；e ≥，即22a e ≤-，2()lnf x a x x =+在[]1,e 上为减函数，又(1)1f =，222()ln 0f e a e e e a e =+=+≤-<，所以方程()0f x =在[]1,e 上有1个实数根；若1e <<，即222e a -<<-，()f x 在⎡⎢⎣上为减函数，在e ⎤⎥⎦上为增函数，又(1)10f =>，2()f e e a =+，min()ln ln 122222a a a a a f x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.当2ae -<，即22e a -<<-时，0f >，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是0；当2a e =-时，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是1；当22e a e -≤<-时，0f <，2()0f e a e =+≥，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是2；当222e a e -<<-时，0f <，2()0f e a e =+<，方程()0f x =上的根的个数是1.（3）若0a >，由（2）知，函数2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，不妨设12x x <，则()()121211f x f x x x -≤-，即为()()212111f x f x x x +<+，由此说明函数1()()G x f x x =+在[]1,e 上单调递减，所以21()20a G x x x x '=+-≤，对[1,e]x ∈恒成立，即212a x x≤-+对[1,e]x ∈恒成立，而212x x -+在[]1,e 上单调递减，所以212a e e≤-+.所以满足0a >，且对任意的12,[1,]x x e ∈，都有()()121211f x f x x x -≤-成立的实数a 的取值范围不存在. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

常德市一中2021届高三年级第一次月考答案

常德市一中2021届高三年级第一次月考数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知22cos -=α，则()=-︒α270sin （ B ） A 、22- B 、22 C 、23D 、23-2、已知集合{}{}01,2,1=+==mx x B A ，若A B A = ，则=m （ D ）A 、21,1-- B 、21,1 C 、2,0,1 D 、21,0,1-- 3、给出下列命题：①命题“正五边形都相似”的否命题是真命题；②x x x31log 21,31,0<⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀；③函数()x x x f -+-=11既是奇函数也是偶函数；④01sin 2sin ,0020=-+∈∃x x R x 使．其中正确命题的个数是（ C ）A 、0B 、1C 、2D 、34、函数()35+-+=a x x x f 在()+∞,1上是减函数，则实数a 的范围是（ C ）A 、()∞+-，2 B 、()4,2- C 、(]4,2- D 、[)∞+，4 5、已知0>>b a ，则下列不等式中总成立的是（ A ）A 、a b b a 11+>+B 、b b a a 11+>+C 、11++>a b a bD 、aa b b 11->-6、设211,521=-==⎪⎭⎫⎝⎛b a m b a且，则=m （ D ）A 、101B 、10C 、10D 、10107、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,21,2B A ，则与向量AB 同方向的单位向量为（ C ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53B 、⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,548、函数()()1,023log 2≠>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x x x f a 在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21内恒有()0>x f ，则()x f 的单调递增区间为（ A ）A 、()+∞,0B 、()+∞,2C 、()+∞,1D 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 9、在等比数列{}n a 中，4,3133115=+=a a a a ，则=212a a （ C ） A 、3 B 、31- C 、3或31 D 、3-或31-10、方程[]9,5,212sin -∈-=x x x π的所有实根之和为（ B ）A 、0B 、12C 、8D 、1011、设210x x <<，()为自然对数的底e x x ep x x 212log )22(21--=，则（ A ）A 、2122x x p < D 、的大小关系不确定与2122x x ，p12、在ABC ∆中，1,3132,cos 2cos cos =+==+AM AC AB AM A a C b B c ，其中c b a ,,为角C B A ,,的对边，则c b 2+的最大值为（ C ）A 、3B 、3C 、32D 、6 二、填空题（每小题5分，共20分）13、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≥+-0305y x x y x ，则y x z 42+=的最小值为 6-14、已知()x x f y +=是偶函数，且()12=f ，则()=-2f 5 15、已知α为第三象限角，532cos -=α，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ24tan 71- 16、已知5458<，45138<，设8log ,5log ,3log 1385===c b a ，则c b a ,,的大小关系为a b c >> 三、解答题（共70分）17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()2,11,111≥∈-+=-=+-n N n n n nS S n a n n ．（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列；（2）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，求n T 解：（1）由()()n n nS S n n n 111-+=--得()2111≥=---n n S n S n n ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列。

2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学试卷及答案

2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学
试卷及答案
2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学试卷及答案共有四道大题，涵盖了数学的各个知识点。

下面我将为大家详细解析这四道大题。

第一道大题是选择题，共有10个小题，每小题4分，满分40分。

这些选择题主要考察了对初等数学知识的理解和运用能力。

第一道题
的答案为：ABACDABDBC。

第二道大题是填空题，共有8个小题，每小题4分，满分32分。

这些填空题主要考察了对数学概念与公式的掌握和运用能力。

第二道
题的答案为：0.5，十六分之一，24，0.01。

第三道大题是解答题，共有4个小题，每小题10分，满分40分。

这些解答题主要考察了对数学问题的分析和解决能力。

第三道题的答
案为：(1) 70，(2) 5。

第四道大题是证明题，共有2个小题，每小题20分，满分40分。

这些证明题主要考察了对数学定理和推理的理解和运用能力。

第四道
题的答案为：(1) 证明过程省略。

(2) 已知点A、B、C在同一直线上，根据线性函数性质，可以推出线段AB与线段BC的斜率相等，因此线
段AB与线段BC平行。

以上是2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学试卷及答案
的详细解析。

希望这篇文章对正在备考的同学有所帮助。

祝大家取得
优异的成绩！。

2021届湖南省常德市第一中学高三下学期第五次月考数学试题(解析版)

2021届湖南省常德市第一中学高三下学期第五次月考数学试题一、单选题1．若集合{|12}A x x =<<，{},B x x b b R =∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（） A ．2b ≥ B ．12b <≤C ．1b ≤D ．1b <【答案】D 【解析】{|12}A x x =<<，{},B x x b b R =∈，A B ∴⊆充要条件是1b ≤，1b ∴<是A B ⊆的充分不必要条件，故选D.2．从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（） A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】A【分析】利用列举法，求得基本事件的总数，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】将只读过《论语》的3名同学分别记为x ，y ，z ，只读过《红楼梦》的3名同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A ，则从6名同学中任选2人的所有可能情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),a b ，(),a c ，(),b c 共15种，其中事件A 包含的可能情况有(),a b ，(),a c ，(),b c 共3种，故()31155P A ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知边长为1的正方形ABCD ，设AB a =，AD b =，AC c =，则a b c -+=（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.【详解】因为ABCD 是边长为1的正方形，,,AB a AD b AC c ===，所以()2a b c AB AD AC AB AD AB AD AB -+=-+=-++= 又1AB =，所以22a b c AB -+== 故选：B4．已知,(0,)a b ∈+∞，且291ab a b+=+，则+a b 的取值范围是（） A ．[]1,9 B ．[]1,8C ．[)8,+∞D ．[)9,+∞【答案】B【分析】通过基本不等式的变形可得22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将表达式转化成关于a b +整体的二次不等式，求出相应范围【详解】∵(),0,a b ∈+∞，∴22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()214aba b +，当且仅当12a b ==或4a b ==时取等号. ∵291ab a b+=+，∴()22981ab a b a b =-++，化为()()2980a b a b +-++，解得18a b +，则a b +的取值范围是[]1,8.答案选B【点睛】本题考查的是根据基本不等式求取值范围问题，代换中一定要注意等号是否成立，题中将()214aba b +这一步代换出来至关重要5．在平面直角坐标系中，已知点()2,0M ，点B 为直线l ：2x =-上的动点，点A 在线段MB 的垂直平分线上，且AB l ⊥，则动点A 的轨迹方程是（） A ．28y x = B ．24y x = C ．28x y = D ．24x y =【答案】A【分析】由抛物线定义得动点轨迹是抛物线，由此易得方程．【详解】由题意AB AM =，AB l ⊥，所以A 点轨迹是以M 为焦点，直线l 为准线的抛物线，由22p=得4p =，所以抛物线方程为28y x =．故选：A ．6．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-.故选：D.【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7．若ln 2ln 3ln 5235235ab c +=+=+则（） A ．ln5 ln 2 ln3c a b >>B ．ln 2 ln5 ln3a c b >>C ．ln3 ln5 ln 2b c a >>D ．ln 2 ln3 ln5a b c >>【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x =，求导()1ln x f x x-'=，得出函数()f x 的单调性，从而得ln 3ln 4ln 2ln 53425>=>，再由已知得523c a b >>，两边取自然对数可得选项．【详解】由函数()ln xf x x =，()1ln x f x x-'=，所以()0x e ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，()x e ∈+∞，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，又()()ln 22ln 2ln 424244f f ====，ln 3ln 4ln 2ln 53425>=>与ln 2ln 3ln 5235235a b c +=+=+523c a b ⇒>>，所以将不等式两边取自然对数得ln5ln 2ln3c a b >>，故选：A ．【点睛】本题考查构造函数，研究其单调性，得出代数式的大小关系，属于较难题． 8．对任一实数序列()123,,,A a a a =，定义序列()213243,,,A a a a a a a ∆=---，它的第n 项为1n n a a +-.假定序列()A ∆∆的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（） A ．1000 B ．2000C ．2003D ．4006【答案】D【分析】A ∆是公差为1的等差数列，可先设出A ∆的首项，然后表示出A ∆的通项，再用累加法表示出序列A 的通项，再结合1820170a a ==求出A ∆的首项和A 的首项，从而求出序列A 的通项公式，进而获解.【详解】依题意知A ∆是公差为1的等差数列,设其首项为a ,通项为n b ，则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==⎡⎤-++---⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑由于1820170a a ==,即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩,解得11016,17136a a =-=.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选：D【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前n 项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的：对于对于一个给定的数列，把它的连续两项1n a +与n a 的差1n n a a +-记为n b ，得到一个新数列，把数列n b 称为原数列的一阶差数列，如果1n n n c b b +=-=常数，则n a 为二阶等差数列，可用累加法求得数列的通项公式.二、多选题9．已知曲线22:1C mx ny +=（） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =A 正确；对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误；对于C ，若0m n >>，则110m n<<，所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误；对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n+=为双曲线，且其渐近线为1 1mny x xnm=±-=±-，故D正确.故选：AD.10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为1010D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍【答案】BCD【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF 是否平行.【详解】A选项，由11//DD CC，即1CC与AF并不垂直，所以D1D⊥AF错误.B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以11GG BB AA'==，而1//AA GG'，即1//AG AG'；又因为面11ABB A面AEF=AG，且1AG⊄面AEF，1AG⊂面11ABB A，所以A1G∥平面AEF，故正确.C 选项，取11B C 中点H ，连接GH ，由题意知GH 与EF 平行且相等，所以异面直线A 1G 与EF 所成角的平面角为1AGH ∠，若正方体棱长为2，则有112,5GHAG A H ===，即在1A GH 中有110cos AGH ∠=，故正确.D 选项，如下图若设G 到平面AEF 的距离、C 到平面AEF 的距离分别为1h 、2h ，则由11133A GEF GEF G AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅且21133A CEF CEF C AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅，知122GEF CEF S h h S ==，故正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]2π. 2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行. 3、由A GEF G AEF V V --=、A CEF C AEF V V --=即可求G 、C 到平面AEF 的距离比.11．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（） A ．b c a b ，即bc a b <，故A 正确；log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故B 正确；2log a k =，22log log 3log 3k k b c ==，因为()1,2k ∈，所以22log log 3k <，即log b a c <，故C 正确；239b c >=，144a b <=，即b a c b >，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查指对数运算，以及比较大小，本题的关键是熟练应用指对数互化，以及两个函数的图象和性质.12．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在区间(),a b 内至少存在一个点()0,x a b ∈，使得()()()()0f b f a f x b a -='-，0x x =称为函数()y f x =在闭区间[],a b 上的中值点，若关于函数()sin f x x x =在区间[]0,π上的“中值点”的个数为m ，函数()x g x e =在区间[]0,1上的“中值点”的个数为n ，则有（）( 1.41≈，1.73≈， 3.14π≈，2.72e ≈.)A ．1m =B ．2m =C ．1n =D ．2n =【答案】BC【分析】先求出()f x 的导函数()f x '，由拉格朗日中值定理可得0cos 3x ππ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，故该方程根的个数即为函数()f x 在区间[]0,π上的“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关系即可求解，同理由拉格朗日中值定理可得：()()()()01010g g g x -='-即11x e e -=的实数根的个数即为函数()g x 在区间[]0,1上的“中值点”个数，从而得出答案.【详解】设函数()f x 在区间[]0,π上的“中值点”为0x由()cos f x x x '=，则由拉格朗日中值定理可得：()()()()000f f f x ππ-='-又()()0ff π-==-即()0000cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'=所以0cos 3x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，112π⎛⎫∈-- ⎪⎝-⎭，作出函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭和y π=-的图象,如图1.由图可知，函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和3y π=-的图象在[]0,π上有两个交点. 所以方程03cos 3x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在[]0,π上有两个解，即函数()f x 在区间[]0,π上有2个“中值点”. 所以2m =又()xg x e '=，函数()g x 在区间[]0,1上的“中值点”为1x ，则由拉格朗日中值定理可得：()()()()01010g g g x -='- 即11x e e -=，作出函数xy e =与1y e =-的图象，如图211e e <-<, 当[]0,1x ∈时，1x e e <<由图可知，函数xy e =与1y e =-的图象在区间[]0,1上有1个交点.即方程11x e e -=在区间[]0,1上有1个解.所以函数()g x 在区间[]0,1上有1个“中值点”，即1n = 故选：BC【点睛】本题考查函数导数中的新定义问题，考查方程是实数根的个数的判断，解答本题的关键是将问题转化为方程03cos 3x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的实数根的个数和方程11x e e -=在区间[]0,1上的实数根的个数问题，数形结合即可，属于中档题.三、填空题13．设()f x 是展开式6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的中间项，若()f x mx ≤在区间222⎣上恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[5,)+∞【解析】由题知二项展开式的中间项为()33323461522T C xx x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()352f x x =，据题352x mx ≤，即3502x mx -≤在区间2上恒成立，不等式等价于252m x ≥，当x ∈时，252x 的最大值为2552⨯=，故5m ≥．本题应填[)5,+∞14．写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【分析】由椭圆的离心率求双曲线的离心率，再得到223b a =，写出满足条件的一个双曲线方程.【详解】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)15．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为___________cm .【答案】6427【分析】设沙堆的高为h '，根据细沙的体积相等可得出221813273r h r h ππ'=⨯，可得出827h h '=，即可得解. 【详解】设圆锥形容器的底面圆半径为r ，高为h ，则圆锥形容器的体积为213V r h π=，当细沙在上部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径为23r ，高为23h ，细沙的体积为22112281833327327V r h r h V ππ⎛⎫=⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭，当细沙在下部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面半径为r ，设此时沙堆的高为1h ，则221881327273r h V r h ππ'⋅==⨯，可得()88648272727h h cm '==⨯=. 故答案为：6427. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥体积的高为求解，解题的关键在于利用细沙的体积相等建立等式得出h '与h 的等量关系，同时也应分析出当细沙在上部时，细沙的体积与圆锥形容器的体积比，进而结合圆锥的体积公式来求解.四、双空题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22b a ac -=，BA=___________；22cos b A a ab+的取值范围为___________.【答案】2 35,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】延长CB 至D ，使得BD BA c ==，由22b a ac -=得2()b a a c =+，即2AC CB CD =⋅，得相似三角形，从而易得2B A =，由三角形内角和得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理化边为角22cos b A a ab+可转化为212cos 2cos +A A ，令cos x A =，换元后，利用导数确定函数的单调性，得函数的取值范围，即得结论．【详解】如图，延长CB 至D ，使得BD BA c ==，由22b a ac -=得2()b a a c =+，即2AC CB CD =⋅， ∴CACDCB CA，又C ∠公用，∴CBA CAD △△，CAB CDA ，CBA CAD ∠=∠，又由BD BA c ==得BAD BDA ∠=∠，所以2CBA BAD BDA CAB ∠=∠+∠=∠，即2B A =，2BA=， 2B A =，则30C A B A ππ=--=->，3A π<，所以03A π<<．22cos b A a ab+22sin cos sin sin cos sin sin 2cos sin sin sin sin sin sin sin 2B A A B A A A A AA B A B A A +==+=+22sin cos cos sin 12cos sin 2sin cos 2cos A A A A A A A A A⋅=+=+，令cos x A =，则1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21()22f x x x =+，322181()4022x f x x x x -'=-=>， ∴()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，13()22f =，5(1)2f =，∴35(),22f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2235os 22c ,b A a ab ⎛⎫∈ ⎝+⎪⎭．故答案为：2；35,22⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理的边角转换，考查用导数求函数的值域．解题时利用平面几何知识得出2B A =，这种方法具有典型性，也可结合余弦定理求解得出结论，确定0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22212o cos 2cos c s A Ab A a ab =++，换元后利用导数求得值域．五、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*12n n S a a n N=-∈，数列{}nb 满足16b=，()*14n n nb S n N a =++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11221n nT =-+. 【答案】（1）12n na ；（2）证明见解析.【分析】（1）由()*12n n S a a n N=-∈可得出数列{}na 是等比数列，由()*14n n nb S n N a =++∈和16b =可算出1a ，进而求出通项公式；（2）算出()()11122121n n n n b --=++，再运用裂项相消法求和. 【详解】（1）当2n ≥时，()111112,222n n n n n n S a a a a n S a a ---=-⎧⇒=≥⎨=-⎩.∵11114b a a =++，∴11a =，∴{}n a 是等比数列，∴12n n a .（2）由（1）可得21n n S =-.()()()1*111112212111423223222n n n n n n n n n n n n b S n N a ------⋅+++=++=++=∈⋅=. ∴()()111121121212121n n n n n n b ---==-++++. ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为0112111111111212121212121221n n n n T -=-+-++-=-+++++++. 【点睛】（1）给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式，二是转化为n S 的递推关系，先求出n S ，再求n a . （2）数列求和的方法技巧：①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和； ②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和； ③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和； ④裂项相消：把通项公式裂成一个新数列相邻两项的差求和.18．已知A 是半径为2的半圆上的一点，BC 是半圆的直径，PQRS 为ABC 的内接正方形，记ABC ､正方形PQRS 的面积分别为1S ，2S ，02ABC παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.（1）分别写出1S ，2S 关于α的函数；（2）求12S S 的最小值. 【答案】（1）14sin 202S παα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，()222216tan 02tan tan 1S απααα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭++(或者写成()22216sin cos 1sin cos αααα+､()2216sin 22sin 2αα+)；（2）最小值为94. 【分析】（1）由条件可知90BAC ∠=，表示4cos AB α=，4sin AC α=，并表示ABC 的面积，设正方形PQRS 的边长为x ，并表示tan xBQ α=，tan CR x α=，利用4BC =，求x ，并表示正方形的面积；（2）由（1）的结果可知221211sin 2(1sin cos )22sin cos sin 2S S αααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，再利用换元1sin 22t α=，则102t <≤，再求函数的最小值.【详解】（1）易知90BAC ∠=，4cos AB α=，4sin AC α= ∴118sin cos 4sin 2022S AB AC παααα⎛⎫===<< ⎪⎝⎭设正方形PQRS 的边长为x ，则有tan xBQ α=，tan CR x α=，而4BC =，故24tan tan 4tan tan tan 1xx x x ααααα++=⇒=++(或者写成4sin cos 1sin cos αααα+､4sin 22sin 2αα+)∴()2222216tan 02tan tan 1S x απααα⎛⎫==<< ⎪⎝⎭++(或者写成()22216sin cos 1sin cos αααα+､()2216sin 22sin 2αα+)（2）易知221211sin 2(1sin cos )22sin cos sin 2S S αααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==()令1sin 22t α=，则102t <≤ 而()()212111122t Sf g t S t t +⎛⎫===++ ⎪⎝⎭， ()22111102t f t t t -⎛⎫'=-=< ⎪⎝⎭，得()f t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，故当12t =时，有()min 94f t =，此时4πα=.综上，12S S 的最小值为94.【点睛】本题考查三角函数的实际应用问题，本题的关键是第二问2S 的表示方法，重点是化简()22216sin 22sin 2S αα=+的形式，为第二问求12S S 的比值的最小值，准备好条件. 19．如图，圆O 为Rt ADC 的外接圆，ADC ∠为直角，B 为圆上异于A ，C ，D 点的动点，PA ⊥平面ABCD ，直线PD 与平面ABCD 所成角为45，E 为线段AD 上一点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）当4AD DC ==，//BC AD ，3DE EA =时，求二面角B PC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）由已知BC AB ⊥，且PA ⊥平面ABCD ，得PA BC ⊥，可得答案；（2）由AB AD ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求出平面PBC 和平面PBC 的法向量由数量积公式可得答案.【详解】（1）证明：因为圆O 为Rt ADC 的外接圆，所以AC 为其直径，∴90ABC ∠=，即BC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，AB PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAB ， BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAB .（2）因为//AD BC ，∴AB AD ⊥，所以建立如图空间直角坐标系B xyz -，直线PD 与平面ABCD 所成角为45，PA ⊥平面ABCD ，∴45PDA ∠=，4PA AD ==，所以()0,0,0B ，()4,0,0C ，()0,4,0A ，()0,4,4P ，()1,4,0E ，∴()4,0,0,BC =，()0,4,4,BP =，()3,4,0CE =-，()1,0,4EP =-，设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1110440x y z =⎧⎨+=⎩，可取()0,1,1n =-，设平面PCE 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CE m EP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222234040x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，可取()4,3,1m =，13cos ,1321691m n m n m n⋅<>===⨯++⋅，所以二面角B PC E --的余弦值1313. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明、二面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系求二面角，考查了学生的空间想象力、计算能力.20．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元,现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表:二级滤芯更换频数分布表：二级滤芯更换的个数 5 6 频数 6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；（3）记m ，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若28m n +=，且{}5,6n ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m ，n 的值. 【答案】（1）0.064；（2）见解析；（3）m =23，n =5.【分析】（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则一级12个滤芯，二级6个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯，从而得到概率.（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到X 可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.（3）因为28m n +=且{}5,6n ∈，则可分为两类，即22,6m n ==和23,5m n ==，分别计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.【详解】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A .因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以()0.40.40.40.064P A =⨯⨯=. （2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4. 由题意，X 可能的取值为20，21，22，23，24，并且()200.20.20.04P X ==⨯=， ()210.20.420.16P X ==⨯⨯=，()220.40.40.20.420.32P X ==⨯+⨯⨯=， ()230.40.420.32P X ==⨯⨯=， ()240.40.40.16P X ==⨯=.所以X 的分布列为200.04210.16220.32230.32240.1622.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）【解法一】因为28m n +=，{}5,6n ∈，若22m =，6n =，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22802000.324000.1661602848⨯+⨯+⨯+⨯=；若23m =，5n =，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23802000.1651604000.42832⨯+⨯+⨯+⨯=.故m ，n 的值分别为23，5. 【解法二】因为28m n +=，{}5,6n ∈，若22m =，6n =，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为1Y （单位：元），则117600.5219600.3221600.161888EY =⨯+⨯+⨯=.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Y （单位：元），则26160960Y =⨯=，()21960960E Y =⨯=.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为()()1218889602848E Y E Y +=+=.若23m =，5n =，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为1Z （单位：元），则()118400.8420400.161872E Z =⨯+⨯=.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Z （单位：元），则2Z800 1200 p0.60.4()28000.612000.4960E Z =⨯+⨯=.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为()()1218729602832E Z E Z +=+=.故m ，n 的值分别为23，5.【点睛】本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.21．如图，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为()1,0F ，过点F 的直线交抛物线于A ､B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记AFG ，CQG 的面积为1S ，2S .（1）若直线AB 3AB 为直径的圆的面积；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】（1）面积为64π；（2）最小值1+，此时()2,0G . 【分析】（1）先根据焦点坐标求抛物线方程，利用焦点弦长公式求直径AB ，再求面积；（2）设()2,2A t t ，设直线AB 方程2112t x y t-=+，与抛物线方程联立，求得点B的坐标，以及点,,G C Q 的坐标，12S S 表示为关于t 的函数，换元后利用基本不等式求最值.【详解】解：（1）由题意得12p=，即2p =，所以，抛物线的方程为24y x =. 由已知，设直线AB的方程为)1y x =-，与抛物线方程24y x =联立方程，得 21410x x -+=，1214x x +=，所以线段12216AB x x =++=以线段AB 为直径为圆的半径为8，故面积为64π. （2）设(),A A Ax y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，重心(),GG G xy ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24Bty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又由于()13G A B C x x x x =++，()13G A B C y y y y =++，重心G 在x 轴上，故220C t y t-+=，得211,2C t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 422222,03t t G t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而422422144422222221123222211122221223AC t t t FG y t S t t t S t t t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====----+⋅--⋅-. 令22m t =-，则0m >，122122213434S m S m m m m =-=-≥-=+++++当m =时，12S S取得最小值1，此时()2,0G .【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键就是将面积比值表示为某一个变量的函数，本题选择的是从点()2,2A t t 入手，依次得到所要表示的量，第二个关键就是计算能力，需有比较好的化简，变形能力. 22．已知221()(ln )x f x a x x x -=-+，（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈成立，【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，对实数a 分类讨论确定导数的符号，根据导数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数()()()F x f x f x '=-，令()()23312ln ,1g x x x h x x x x=-=+--，得到()()()()()F x f x f x g x h x '=-=+，利用导数分别求得函数()g x 与()h x 的最小值，得到()32F x >恒成立，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，函数221()(ln )x f x a x x x -=-+，可得其定义域为(0,)+∞，且224312(21)2(1)(2)()(1)x x x x ax f x a x x x ----'=-+=，若0a ≤时，则220ax -<，当(0,1)x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减. 若0a >时，若02a <<时，当(0,1)x ∈和,)x a∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；当(1,)x a∈时，()()0,f x f x '<单调递减；若2a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增.若2a >时，当(0,)x a∈和(1,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；当x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减. （2）由1a =，令()()()2232321212312ln 1ln 1F x f x f x x x x x x x x x x x x x'=-=-+--++-=-++--，令()()23312ln ,1g x x x h x x x x =-=+--，则()()()()()F x f x f x g x h x '=-=+，由()10x g x x-'=≥，可得()()11g x g ≥=，当且仅当1x =时取等号，又()24326x x h x x--+'=，设()2326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在[1,2]上单调递减，且()()11,210ϕϕ==-，所以在[1,2]上存在0x ，使得0(1,)x x ∈时，0()0x ϕ>，0(,2)x x ∈时，0()0x ϕ<，所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,2)x 上单调递减，由于()111,(2)2h h ==，因此()()122h x h ≥=，当且仅当2x =取等号，所以()()()()()()3122f x f xg xh x g h '-=+>+=，所以()32F x >恒成立，即()()32f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

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常德市一中2021届高三数学参考答案第 1 页共 2 页
常德市一中2021届高三第四次月考参考答案
数学
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 12 答案
B
D
A
D
A
B
B
C
AD BC
AD
BCD
二、填空题：
13. 22 14. (0，3)
15. 4 16. 253
π
三、解答题：
17．解：（1）设OAB △的外接圆的方程是2
2
0x y Dx Ey F ++++=2
2
(40)D E F +->，依题意
可得0416240364620F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得062F D E =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
.
故OAB △的外接圆的方程是2
2
620x y x y +--=. （2）①当直线l 过原点时,设直线方程为y =kx ,
由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得2
321k k
-=+,解得k = -7或k =1,
此时直线l 的方程为y = -7x 或y =x .
②当直线l 不过原点时,设直线方程为x+y =a ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得1322
a
+-=,
解得a =2或a =6,此时直线l 的方程为x+y-2=0或x+y-6=0. 综上所述,直线l 的方程为y =-7x 或y =x 或x+y-2=0或x+y-6=0.
18．解：（1）2()2cos sin 3(2cos 1)sin 23cos22sin(2)3
f x x x x x x x π
=--=-=-，
所以函数()f x 的最小正周期π．
sin y x =的减区间为3[2,2],22
k k k Z ππ
ππ++∈，
由3222232k x k πππππ+-+得5111212
k x k ππ
ππ++
，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,],1212
k k k Z ππ
ππ++∈．
（2）因为
[,0]2x π∈-，所以42[,]333
x πππ-∈--．
所以22sin(2)33x π
--．
所以函数()f x 在区间[,0]2
π
-
上的取值范围是[2,3]-． 19．解：方案一：选条件①
解：（1）由题意，212a a =，314a a =，41484a a -=-， 2a ，3a ，44a -成等差数列，
32424a a a ∴=+-，即1118284a a a =+-，解得12a =，
1222n n n a -∴==，*n N ∈．
（2）由（1）知，22(1)log (1)log 2n n b n a n =+=+(1)n n n =+，
记242n n n c b +=，则2
2222424211
2[](1)(1)n n n n c b n n n n ++===-++， 12n n T c c c ∴=++⋯+ 2222221111112()2()2[]1223(1)n n =-+-+⋯+-+
2222221111112[]1223(1)n n =-+-+⋯+-+
22
112[]1(1)n =-+
2
2
2(1)n =-
+．方案二：选条件②
解：（1）由题意，1S ，1a =，21232S a +=+，317S a =， 1S ，22S +，3S 成等差数列，
2132(2)S S S ∴+=+，即1112(32)7a a a +=+，解得12a =，
1222n n n a -∴==，*n N ∈．
（2）同方案一第（2）题解答过程．
20．解：（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，
由于ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥，且1AO
B O O =，所以B
C ⊥平面1B AO
，
由11AB B AO ⊂平面，所以1BC AB ⊥；
（2）设AB a =，ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以11BB AB BC AC B C a =====，
又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113
242
AB a a a a a =+-=，
在△1AB C 中，有22211AB AO B O =+，
常德市一中2021届高三数学参考答案第 2 页共 2 页
以OA ，OB ，1OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则3(
,0,0)A a ，(0C ，2
a
-，0)，13(0,0,)B a ，1333(,,0),(,0,)22a AC a AB a a =--=- 设平面1AB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，
由10
m AC m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得31
02330ax ay ax az ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，令1x =，则(1,3,1)m =-，
又平面1BCB 的一个法向量为(1,0,0)n =，由5cos ,5
m n <>==，所以二面角1B B C A --的余弦值为5
．
21．解：（1）离心率为1
2
c e a =
=，2a c ∴=， 2ABF ∆的周长为8，48a ∴=，得2a =，1c ∴=，2223b a c =-=，
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221
(||||||)2
ABF S AF AB BF r =++，又22||||||8AF AB BF ++=，∴2
4ABF S
r =，
要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2
ABF S
的值最大．
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线:1l x my =-，联立2
2
143
1x y
x my ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得△0>，且122634m y y m +=+，1229
34
y y m -=+，
所以2
222
1212121222213636121||||()42(34)34ABF m m S
F F y y y y y y m m +=-=+-=+=++，设211t m =+，则2
21212
1
313ABF t S t t t
=
=++，设13(1)y t t t =+，2130y t '=->，所以1
3y t t
=+在[1，)+∞上单调递增，
所以当1t =，即0m =时，2ABF S 的最大值为3，
此时3
4
r =
，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．
22.解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-= ……………… 1分
由()0f x '>得：
35
0(0,)(2,2)222x x k k k N πππππ>∈⋃++∈当时， ……………… 3分
31
0(2,2)22x x k k k N
ππππ<∈----∈当时，
……………… 5分 ()f x ∴的单调递增区间为
31(2,2)22k k k N ππππ----∈，(0,)2π，35
(2,2)22
k k k N ππππ++∈． ……………… 6分
（2）证明：由0,0)(>='x x f 得：*(21),()2
i n x n N π
-=
∈ ……………… 7分 222221422(21)(21)1i x n n ππ=<⋅
---
*2222211(),(2,)(22)2222n n N n n n n
ππ=⋅=⋅-≥∈--
……………… 9分
9
11212)2121(2)]21
221()8161()6141()4121[(2
1112222
22322<=⋅<-=--++-+-+-<
++∴ππππn n n x x x n
……………… 12分。

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