正交拉丁方
正交试验设计的基本步骤
设计步骤
①明确目的,确定指标:本例明显是一个食品加 工工艺的研究试验,目的是通过试验,寻求一个 最佳的鸭肉天然复合保鲜剂。
②挑因素,选水平:根据专业知识及本试验前面 的结论,并根据正交试验的特点,选定了4因素、 每个因素4水平的正交试验,列因素水平如表 11-ll所示:
③选择正交表:此为4水平因素,因此选用4水平表;本试 验不考虑交互作用,一共有4个因素,要占4列,因此选 Ll6(45)最合适,并且有1个空列,可以作为试验误差以衡 量试验的可靠性。
4.3选择合适的正交表
(3)再看允许做试验的正交表的次数和有无重 点因素要考察。如只允许做9次试验,而考察因 素验。只若有有3一重4点个因,则素用要3详水细平考的察L9则(3可4)表选来用安水排平试数 不个水等平的加正以交详表细如考L8(察4x。24)等,将重点因素多取几
①要求精度高,可选较大的n值的L表。
一个交互作用并不一定只占正交表的一列而是占有b一1因此在作表头设计时在作表头设计时交互作用所占正交表的交互作用所占正交表的列数与因素水平数列数与因素水平数bb有关有关与交互作用级与交互作用级数数p关关而且而且bb越大越大pp越大越大交互作用所占用的列数交互作用所占用的列数就越多就越多
3.正交表
3.1正交表——正交拉丁方的自然推广
(2)均衡分散性。
①任一列的各水平都出现,使得部分试验中包含所有因 素的所有水平。
②任意2列间的所有组合全部出现,使任意两因素间都 是全面试验。因此,在部分试验中,所有因素的所有水 平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。这 样,虽然安排的是部分试验,却能够了解全面试验的情 况,从这个意义上讲可以代表全面试验。
④作表头设计:不考虑交互作用,所以因素可以占任意 列。
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造
组合 数学是 一 门很 古 老 的学科 ， 们 对 它 的兴趣 和研 究颇 早 ， 人 它起 始 于数 学 游戏 ， 如 中 国古代 的游 例 戏九 连环 ， 起初 只是研究 娱乐 或审 美 要求 所 涉及 的组 合 问题． 近代 随着 计 算机 的出现 ， 组合 数学 这 门学科
得到 了迅 猛的发 展， 成为 了一 个重 要 的数 学分 支 ． 拉丁方 和 正交 拉 丁方 是 组合 数 学 中的一 个重 要课 题 ， 在
此外 ， 丁方 还可用于工 作分配 、 拉 信息处理 、 安排循 环赛程 ， 至应用 于大型并 行系统 的处理 器调度． 甚
类繁多， 而每 种参数又 可 以取 多个水平 值， 因此一 个完备 的遍历 考察有 巨大数 目的状态空 间， 真评 估往 往 仿 成为不可能完成 的任务 ． 利用正交拉 丁方均匀搭配不 同参 数和各 种取值， 组成特 定 的考核 状 态空 间， 使得 工 作量 呈几何 级数 下 降， 用较 少 的实验 次数就 能够 达到 近似 于全 遍历 状态空 间 的效果 ．１ 仅 ［ １
实际应 用 中有着重 要 的作用 ．
１ 拉 丁 方 和 正 交 拉 丁 方
定 义 １ 由 １ ２ … ， 成 的 ｎ 方 阵（ ， 求每 行 及 每列 １ ２ … 各 出现一 次 ， ， ， 构 × ） 要 ，， 这样 的方 阵称 为 拉 丁方． 定 义 ２ 设 Ａ１（ ， （ ＝ ‘） Ａ２ ＝ ） 是 两个 ｎ ｎ的拉 丁方 ． 矩 阵 （ ” ‘） 中的 ｎ 个数 偶 （ ” ｘ 若 ‘， ‘，
（ ， ） （ ４ （ ， ） （ ， ） 右 前 ３ １ ４， ） １３ ２ ２ （ ， ） （ ， ） （ ， （ ， ） 右 后 ４ ２ ３ ３ ２ ４） １ １
正交拉丁方
1. 3 阶正交拉丁方(2 个)
1 2 3
1 23 31 12
2 123 312 231
2. 4 阶正交拉丁方(3 个)
1 1234 2143 3412 4321
2 1234 3412 4321 2143
3 1234 4321 2143 3412
3. 5 阶正交拉丁方(4 个) 1
12345 23451 34512 45123 51234
6 12 3 45 6 7 71 2 34 5 6 67 1 23 4 5 56 7 12 3 4 45 6 71 2 3 34 5 67 1 2 23 4 56 7 1
5. 8 阶正交拉丁方(7 个)
1
12345678 21436587 34127856 43218765 56781234 65872143 78563412 87654321
4 1 23 4 56 7 5 67 1 23 4 2 34 5 67 1 6 71 2 34 5 3 45 6 71 2 7 12 3 45 6 4 56 7 12 3
5 1 2 34 5 67 6 7 12 3 45 4 5 67 1 23 2 3 45 6 71 7 1 23 4 56 5 6 71 2 34 3 4 56 7 12
2 12345 34512 51234 23451 45123
3 12345 45123 23451 51234 34512
4 12345 51234 45123 34512 23451
(Hale Waihona Puke 阶正交拉丁方: 无)4. 7 阶正交拉丁方(6 个)
1
2
1 23 4 56 7
1 2 34 5 67
2 34 5 67 1
正交实验法
正交实验法的由来一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方用数字替代拉丁字母：二、正交实验法正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(33) 正交表按排实验，只需作9次，按L18(37) 正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
利用因果图来设计测试用例时, 作为输入条件的原因与输出结果之间的因果关系,有时很难从软件需求规格说明中得到。
往往因果关系非常庞大,以至于据此因果图而得到的测试用例数目多的惊人，给软件测试带来沉重的负担，为了有效地,合理地减少测试的工时与费用,可利用正交实验设计方法进行测试用例的设计。
正交实验设计方法:依据Galois理论,从大量的（实验）数据（测试例）中挑选适量的、有代表性的点（例），从而合理地安排实验（测试）的一种科学实验设计方法。
第六章正交试验设计
6 正交试验设计本章要点：正交试验设计的基本思想，正交表；单指标与多指标的正交试验设计，混合型正交试验设计，考虑交互作用的正交试验设计；正交试验设计直观分析、方差分析的基本原理和方法。
重点：考虑交互作用的正交试验设计；正交试验设计直观分析和方差分析的基本原理和方法。
难点；考虑交互作用的正交试验设计与分析。
6.1 正交试验设计的基本思想6.1.1 问题的提出在实际生产和科学研究中，我们需要通过一定的试验或观测来获取数据资料，对这些数据资料进行科学的分析与处理，可以帮助我们找出问题的主要矛盾及它们之间的内在规律，从而获得问题的解决方法。
对单因素的试验，可以采用0.618法、对分法、平行线法、交替法、调优法等方法去解决。
而对于多因素问题，往往会认为对每个因素的各个水平都进行全面搭配的试验，才是最好的办法。
但是，这样的全面试验虽然对于揭示事物的内部规律很清楚，却往往缺少实用应用价值。
由第2章我们可知，全面试验只适用于因素和水平数目均不太多的问题。
例如：有4个因素，每因素取2个水平，全面试验需要24=16种水平组合；当有6个因素，每因素取5个水平，全面试验就需要56=15625种水平组合，加上考虑试验精度或估计实验误差的需要，则还要增加重复试验次数，这种全面试验一般是不可能做到的。
因此，当试验因素较多时，既要考虑合理的试验处理及重复次数，又希望得出较全面的结论，就需要用科学的方法进行合理的安排，下面通过实例进行说明。
例6-1 小麦面筋蛋白琥珀酰化的特性研究。
根据初步试验发现，影响小麦面筋蛋白酰化改性后特性的因素有3个，每个因素取3种状态（即3个水平），具体如下：A 琥珀酰化底物浓度/% A 1= 5 A 2=10 A 3=15B 琥珀酰酐用量/% B 1=10 B 2=15 B 3=20C 反应温度/ºCC 1=40C 2 =50C 2 =60为了便于讨论，我们将试验考核指标用y i 表示（如：酰化改性后的功能特性），影响考核指标的因素用大写字母A 、B 、C ……表示，每个因素所处的某种状态用该因素的大写字母加上足标表示，如A 1、A 2……表示A 因素的第1、2……状态，也称之为因素A 的第1、2……水平。
用循环矩阵构建正交拉丁方
Ｐ １， ３ ｌ， ５ Ｐ １， ７ １ ， ９ （２ １， ４ ｌ） （６ ｌ， ８ １ ）
ｐ ８ ９ ｌ， １ （， ， ０ １） Ｐ １， ３ ｌ， ５ （２ ｌ， ４ １） ４ ３ ２ ｌ ０ ６ ３ Ｏ ２ ４ Ｐ ４ ５ ６ ５ ） ５ Ｐ ８ ９ ６ ０ １） （， ， ， ７ （， ， ， １ １１ ５ （，１ ， ） ２ ４ Ｐ１ ５ ６ ７ ４ Ｐ Ｏ １２ ６ ３ ２ ０ ３ ６ （， ， ０ ） ３ ５ ， Ｐ（， ， ０ １） Ｐ １， ３ １ ， ５ Ｐ １， ７ ｌ， ９ ８ ９ １， １ （２ １， ４ １） （６ １ ， ８ １） ， ４ Ｐ ４ ５ ６ ７ （， ， ， ） ｐ ８ ９ １， Ｐ １ ， ３ １ ， ５ Ｐ １ ， ７ ｌ， ９ Ｐ（， ， ， ） （， ， ０ １） １ （ １ ， ４ １） ２ （６ １， ８ １ ） ０ １２ ３ 引 Ｑ ４ ５ ６ ７ （， ， ， ） Ｑ ８ ９ １， Ｑ（２ １， ４ １ ） Ｑ（６ １， ８ １ ） （， ， ０ １） １ １， ３ １， ５ １ ， ７ １， ９ Ｑ（， ， ， ） Ｏ １ ２ ３ Ｑ（， ， ０ １） Ｑ １， ３ １ ， ５ Ｑ（６ １， ８ １ ） ８ ９ １， １ （２ １， ４ １ ） １ ， ７ １， ９ Ｑ ０ １ ２ ３ （， ， ， ） Ｑ（， ， ， ） ４ ５ ６ ７ ａ １， ３ １ ， ５ ａ（６ １ ， ８ １ ） （２ １， ４ １ ） １， ７ １ ， ９ Ｑ ０ １ ２ ３ １ Ｑ（， ， ， ）６ ４ Ｑ Ｏ ， ， Ｏ １ （， ， ， ） ２ ４ ３ ４ ５６ ０ ５ ６ ７ ２ （ ９３ ｌ １） ８５ ｌ ， Ｑ（６ １ ， ８ １） １， ７ １ ， ９ Ｑ（， ， ， ） ０ １２ ３ Ｑ ４ ５ ６ ７ ２ Ｑ（， ， ０ ， １５ Ｑ（２４ ３ １， ５ （， ， ， ） １， ４ ３ ４８ ９ ｌ １ ３ １ １ ， ２ Ｏ １） ５ ６ Ｏ １） ６ ＱＯ １２ ３ （， ， ， ） Ｑ（， ， ， ） ４ ５ ６ ７ Ｑ（， ， Ｏ １） Ｑ（２ １， ４ １） Ｑ １， ７ １， ９ ８ ９ ｌ， １ １， ３ １， ５ （６ １ ， ８ １）
便构成了正交拉丁方
报告人
目录
1
正交设计原理 正交表构造和性质
2 3 4
正交设计的基本程序
文献阅读
正交试验起源
1952年日本的田口玄一运用L27(318)正交表进行正交 试验获得成功后，正交实验设计在日本的工业生产中迅 速推广，取得巨大的经济效益。 在科学研究、工业化生产和工程化应用过程中，经 常遇到多因素、多指标、多水平试验问题，实验方案设 计得好，可以达到事半功倍的效果。否则，试验次数急 剧增加，而且实验结果仍不能令人满意，时间、人力、 资金等方面都造成极大的浪费。
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 3 1 2 2 3 1
11 22 33 23 31 12 32 13 21
把正交拉丁方中的前列作为因素C，后列作为因素D， 然后与因素A、B均匀搭配，构成4因素3水平正交表。
10
正交表的构造：以素数为水平的正交表
素数5有4个 拉丁方，素数7有 6个拉丁方，…。 由上述方法可以 构造出以素数为 水平数的正交表 L25(56),L49(78)
2
正交设计原理
每因素设置三水平，寻求一个最优化组合： 温度：640℃，650℃，660℃
原料配比：5wt％，10wt%，15wt%
保温时间：15min，30min，45min
3
正交设计优变量法 (b)正交设计法
图(a),A3和C1水平出现6次，A1，A2，C2，C3和B3水 平只出现一次，试验点布局不合理，试验结果的代表性 就减弱，甚至把最优组合漏掉。 图(b)中各因素各水平均出现3次，均衡分散，比较好 的代表了27组试验的情况。
11
正交表的构造：二水平正交表 将Hadamard矩阵(H2)用直积方法，便可得到二水平正交表。 将H2与H2进行直积运算
第4章拉丁方试验设计与分析
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
需安排“单因素三水平”试验
ABC (a)
ACA CBB BAC
(b)
ABC BCA CAB
(c)
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 在同样精度下可减少试验次数；在同样试 验次数下可提高结论的准确性
例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平， 要找一个最好的配方，使质量又好，成本 又低，应怎样安排试验？ 全面试验：43=64次 先考虑A，B两因素的全面试验，共16次
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。
• 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。
• 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正
交方格组成吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A1B4C4
A2 A2B1C2 A2B2C1 A2B3C4 A2B4C3
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
第八九章 拉丁方设计、裂区设计、正交设计教学内容与组织安排
教学内容与组织安排：第四节：拉丁方设计(latin square design)“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
一、拉丁方简介（一）拉丁方以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n 阶拉丁方。
例如：A B B AB A A B为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。
A B CB C AC A B为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。
若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。
在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。
（二）常用拉丁方在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。
下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。
其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。
3×3 4 × 4（1）（2）（3）（4）A B C A B C D A B C D A B C D A B C DB C CAABBCDADCDBACABBCDCDADABABCBCDDACADBCBABCDADCDABCBA5 × 5（1）（2）（3）（4）A B C D EBADECCEABDDCEABEDBCAABCDEBAECDCDBEADEABCECDABABCDEBAECDCEDBADCAEBEDBACABCDEBADECCDEBADEACBECBAD6 × 6ABCDEFBFDACECDEFABDCFEBAEABCFDFEABDC二、拉丁方设计方法在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。
第二章§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
2.例 Aa Cb Bc
Bb Ac Ca
Cc Ba Ab
三,超方
如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相 互正交的拉丁方,则称它们为超方.
�
(
)
y.2j.
2 y... 2 p p
同理SS行,SS列 而SSe = SST SS拉丁 SS行 SS列
4.多重比较
Sy
. j.
MSe = p
5.缺失数据时的统计分析
按照使误差平方和SSe为最小的原则来估计它, 注意总的自由度及误差平方和的自由度有变化
二,希腊-拉丁方设计
1.定义 构造两个拉丁方,使得两个拉丁方重叠时, 任一拉丁字母与每个希腊字母相遇一次, 也只相遇一次,这样一对拉丁方称为相互 正交.两个正交的拉丁方可用来设计包含 四个水平数相等且彼此不存在交互作用的 因子的试验问题,这种设计称为希腊-拉丁 方设计
2.模型
yijk = + αi + τ j + βk + εijk i = 1,, p, j = 1,, p, k = 1,, p εijk i.i.d N 0, σ2 ∑ αi = 0, ∑ τ j = 0, ∑βk = 0 j k i
(
)
3.方差分析 假设
H 0 : τ1 = τ 2 = = τ p H1 : 至少一个τi ≠ 0
两个正交的拉丁方可用来设计包含四个水平数相等且彼此不存在交互作用的因子的试验问题这种设计称为希腊拉丁方设计aabbcccbacbabccaab如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相互正交的拉丁方则称它们为超方
§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
例6 本试验问题的响应变量是某种导弹的交流发 电机的AC输出电压,因子及其水平如下: 1)定子的AC线圈的圈数,5个水平分别为 145(A),150(B),155(C),160(D),165(E); 2)转子的铁心体的铁心片数,5个水平分别为 230,240,250,260,270; 3)铁心片表面涂层质量,5个等级分别为 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ 三个因子彼此间都不存在交互作用.
9阶正交拉丁方举例
9阶正交拉丁方举例摘要：1.引言2.9阶正交拉丁方的定义和性质3.9阶正交拉丁方的举例4.9阶正交拉丁方的应用5.结论正文：【引言】在组合数学中，正交拉丁方是一种重要的组合设计。
特别是在阶数较高的正交拉丁方中，其应用范围广泛，从密码学、通信技术到计算机科学等领域都有涉及。
本文将以9阶正交拉丁方为例，详细介绍其定义、性质及应用。
【9阶正交拉丁方的定义和性质】9阶正交拉丁方是指一个具有9行、9列的矩阵，其中每个元素都是取自一个大小为9的有限集合。
矩阵中的每个行向量和每个列向量都是互不相同的，且满足行向量与列向量的元素之间相互正交。
正交拉丁方具有以下性质：1.行向量与列向量的元素相互正交。
2.每个元素在行向量和列向量中出现次数相等。
3.任意两个相邻元素的代数和为0。
【9阶正交拉丁方的举例】以下是一个9阶正交拉丁方的例子：```0 1 2 3 4 5 6 7 81 0 3 6 8 52 4 72 3 0 7 4 8 1 5 63 6 7 0 5 24 8 14 85 2 1 067 35 2 4 8 3 7 16 56 4 1 5 8 6 3 2 77 7 6 4 3 2 0 1 58 1 5 6 2 3 7 0 4```【9阶正交拉丁方的应用】9阶正交拉丁方在通信技术、密码学等领域有广泛应用。
例如，在保密通信中，发送方和接收方可以使用相同的9阶正交拉丁方进行加密和解密。
另外，正交拉丁方还可以用于设计高效的数据结构，如哈希表等。
【结论】通过以上介绍，我们对9阶正交拉丁方有了更深入的了解。
作为一种高效的组合设计，9阶正交拉丁方在许多领域都具有重要的应用价值。
正交拉丁方
正交拉丁方表
1. 3 阶正交拉丁方(2 个)
1 2 3
1 23 31 12
2 123 312 231
2. 4 阶正交拉丁方(3 个)
L12 (211 ) 表
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 ++－+++－－－ + － 2 +－＋++－－－＋ － ＋ 3 － ＋＋+－ －－＋－ ＋ ＋ 4 ＋＋＋－－－＋－＋＋ －
5 6 7 8
++－－－ +－++－
+ －
－
－ － －
－ － ＋
－ ＋ －
＋ － ＋
－ ＋ ＋
＋ ＋ －
一些 2 水平正交表的循环生成方法
一些 2 水平正交表 Ln (2n−1) 可以用”循环生成”的方法构造出来. 其方法是: 先用 某种特殊的算法构造出第一行的 n－1 个元素, 然后以下的 n－２ 行的每行由前一行的 元素依次向左移一格(前一行的第一个元素移到最右端)得到, 最后添加所有元素均 为－1 的一行, 便得到一个 Ln (2n−1) . 由于 2k 型的正交表用”半分法”容易得到, 我们将
4 1 23 4 56 7 5 67 1 23 4 2 34 5 67 1 6 71 2 34 5 3 45 6 71 2 7 12 3 45 6 4 56 7 12 3
5 1 2 34 5 67 6 7 12 3 45 4 5 67 1 23 2 3 45 6 71 7 1 23 4 56 5 6 71 2 34 3 4 56 7 12
拉丁方实验设计例子
拉丁方实验设计例子【篇一：拉丁方实验设计例子】一、拉丁广场2。
标准拉丁方3。
n阶拉丁方数4。
正交拉丁方5。
拉丁方在安排实验中的应用6。
几种解释7。
拉丁方视觉分析实验8。
拉丁方实验1的方差分析。
拉丁方1定义：使用列的平方矩阵，使每行和每列中的每个字母只能出现一次。
这样的方阵称为r阶拉丁方或RR拉丁方。
2.n阶拉丁方格二、标准拉丁方格1。
定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母顺序排列。
44.标准拉丁方有四个biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao bi。
方法：每个拉丁方可以随机排列标准拉丁方的行号或列号，以获得满足要求2的其他拉丁方。
操作：1.选择一个标准的拉丁方，用行号或列号对其进行编号；2.通过不同的排列获得固定的行号和列号。
有n！物种3修复在第二步中获得的N！每个正方形的列号和第一行号由其他行（n-1）的不同排列生成！3阶和N阶的拉丁方数为4计算总的s（N-1）！K是标准拉丁方的数量。
示例：3=576个3阶和3:12（12）4阶拉丁方。
正交拉丁方各出现一次）4。
正交拉丁方定理：在NxN平方中，当n （>2）是素数或素数的幂时，有n-1个正交拉丁方。
特殊情况：当n=2时，没有n=3，当n-1=2，当n=4时，有n-1=3：当2n=5时，有n-1=4，当n=6时，没有：当n=7时，有n-1=4，当n-1=6和n=8时，n-1=7:23x3，4x4正交拉丁方系统3x4x4iiii12312341234112342312214324321323134124321343212143412 v.拉丁方在安排试验中的应用示例1：为了研究三种不同的ABC水稻品种对亩产量的影响，有必要安排“单因素三水平”试验，在相同精度下减少实验次数；在相同的测试次数下，可以提高结论的准确性。
拉丁方与幻方的学习与研究
拉丁方与幻方的学习与研究石敦瑶 2018，1。
前一篇文章讲的是幻方与幻丁方，就是已知幻方如何把它的两个拉丁方找出来。
现在反过来要用两个拉丁方排幻方。
用幻方的两个拉丁方排幻方是很容易的事，前一篇文章已经讲过了，并且举了例子。
这里讲的用拉丁方排幻方讲的是，如何用两个正交拉丁方排幻方。
这是一种与前面讲的排幻方完全不同的方法。
用它排出的幻方有的特性是用其它方法很难达到的。
1 如何用两个正交拉丁方排幻方网上有很多关于正交拉丁方的文章。
还专门列有3～9阶正交拉丁方表。
我想还是借用几个简单的正交拉丁表来说明什么是正交拉丁方。
如何用两个正交拉丁方排幻方。
（1） 三阶正交拉丁方与幻方最简单的是三阶正交拉丁方。
三阶正交拉丁方有两个，如下表A ，B 所示由上表我们看出，三阶正交拉丁方是用1，2，3。
三个数排成的。
它的每一个数在每一行，每一列只出现一次，我们就叫它正交拉丁方。
用两个正交拉丁方排幻方，这两个正交拉丁方的意义仍然是，正交拉丁方A 作为被排幻方各个数在自然数方阵的行坐标，正交拉丁方B 作为被排幻方各个数在自然数方阵中的列坐标。
（反过来，你把B 方作为幻方各个数的行坐标，把A 方作幻方各个数的列坐标也是可以的）。
现在我们用这两个正交拉丁方，把三阶幻方排出来。
我们把A ，B 方配置在一起如图 c 所示1 2 3 1— 2— 3—配置方阵的第一位是11我们就把自然数方阵中的第一行，第一列的1填进第一位。
配置方阵的第二位22我们就把自然数方阵中的第二行，第二列的5填进第二位。
配置方阵的第三位是33我们就把自然数方阵中的第三行第三列的9填进第三位。
余仿此填完为止。
最后得到的方阵D就是我们排成的幻方。
等于幻和。
究其原因是，两个正交拉丁方它们都有一条对角线上的三个数不是不同的正交数而有重码。
这里还要说明一点，上面这个正交表是人家排好的。
叫我们用两个正交拉丁方排三阶幻方，那是要用1，2，3。
这3个数自己去排三阶正交拉丁方的。
正交设计法
■正交设计法
n阶拉丁方:用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵，如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
正交拉丁方：
2个n阶拉丁方，将他们叠合在一起，恰好出现n^2个不同的有序数对，则称这两个拉丁方为正交拉丁方。
A B C A B C (A,A) (B,B) (C,C)
B C A C A B --------- (B,C) (C,A) (A,B)
C A B B C A (C,B) (A,C) (B,A)
分类：
因素数：影响因素：温度、碱性（记为：2）
水平数：甲、乙、丙（记为：3）
行数：记录实验的次数
单一水平正交表：各列水平数相同
混合水平正交表：各列水平数不相同
单一水平正交表：水平数^因素数千确确切切确确切切阿v
混合水平正交表：水平数^因素数*水平数^因素数···
正交表的正交性：
一张表，每个因素的每个水平出现的次数相等（整齐可比性）
一张表，任两列水平搭配完全相同（均衡分散性）
正交表的设计准则：
正交表的形式：L行数（水平数^因素数）例：L9(2^7) 公式：m= 因素数，
1.当m=2^(i-1)-1,行数2^(i-1)（i>=2）
2.当2^(i-1)-1<m<=(2^i)-1,行数2^i
3.当(2^i)-1<m<=2^(i+1)-1,行数2^(i+1)
选取正交表的最终设计结果：取与1.2.3.公式中最接近的测试用例个数。
拉丁方试验设计及统计分析
拉丁方试验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方1 / 15阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA 的顺序来安排实验处理的顺序。
正交实验法的由来
正交实验法的由来一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方用数字替代拉丁字母：二、正交实验法正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(33) 正交表按排实验，只需作9次，按L18(37) 正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
利用因果图来设计测试用例时, 作为输入条件的原因与输出结果之间的因果关系,有时很难从软件需求规格说明中得到。
往往因果关系非常庞大,以至于据此因果图而得到的测试用例数目多的惊人，给软件测试带来沉重的负担，为了有效地,合理地减少测试的工时与费用,可利用正交实验设计方法进行测试用例的设计。
正交实验设计方法:依据Galois理论,从大量的（实验）数据（测试例）中挑选适量的、有代表性的点（例），从而合理地安排实验（测试）的一种科学实验设计方法。