小学奥数精讲 任意四边形、梯形与相似模型(三).教师版

板块三 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？
F
E D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以
::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4
10814
FC =⨯=+．
【答案】8
【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE
正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？
例题精讲
任意四边形、梯形与相似模型
60
5040
30
2010
E
A D C B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米． 【答案】10
【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．
A E
D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△． 【答案】4:15
【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，
则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．
E
G
F A D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，
22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形
【答案】1:3:5
【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．
A E
D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯= 【答案】10
【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，
则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．
Q E G
N
M
F P
A D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有
5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．
所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形
【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列． 【答案】1:3:5:7:9
【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．
A E
D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，
则25ABC S =△份，25421DBCE S =-=梯形份，DBCE S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5cm ，所以212.5cm ABC S =△
【答案】12.5
【例 6】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度
N
M
P
A C B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：
::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以642cm BM =-=
【答案】2
【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．
O
E
D C B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空
【解析】由沙漏模型得::3:2
BO EO BC DE
==，再由金字塔模型得::2:3
AD AB DE BC
==．【答案】2:3
【例 7】如图，ABC
∆中，1 4
AE AB
=，1 4
AD AC
=，ED与BC平行，EOD
∆的面积是1平方厘米．那么AED
∆的面积是平方厘米．
A
B C
D
E
O
【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空
【解析】因为
1
4
AE AB
=，
1
4
AD AC
=，ED与BC平行，
根据相似模型可知:1:4
ED BC=，:1:4
EO OC=，44
COD EOD
S S
∆∆
==平方厘米，
则415
CDE
S
∆
=+=平方厘米，
又因为::1:3
AED CDE
S S AD DC
∆∆
==，所以
15
5
33
AED
S
∆
=⨯=(平方厘米)．
【答案】
5
3
【例 8】如下图，正方形ABCD边长为l0厘米，BO长8厘米。

AE=____厘米。

E
O
D C
B
A
【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分
【解析】△AOB与△EDA相似，对应边成比例。

AB：BO=AE：AD，AE=AB×AD÷BO=10×10÷8=12.5(厘米)。

【答案】12.5
【例 9】如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则三角形AOB的面积是（）平方厘米。

A、24
B、36
C、48
D、60
【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛
【解析】C
【答案】C
【例 10】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几倍？
A
B
C
D
O E
F
A
B
C
D
O
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，
所以CDO 的面积等于CBO 的面积；由11
24
OA BE AC ==可得3CO OA =，所以
3CDO CBO ABO S S S ==，即CDO 的面积是ABO 面积的3倍．
【答案】3
【例 11】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．
A
设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，
120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =
，那么正方形内空白部分的面积为400
43
x =. 所以原题中阴影部分面积为400800
202033
⨯-= (平方厘米)． 【答案】
800
3
【例 12】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，
6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？
A B
D
A B
D
A B
D
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．
作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =，DBO EBO S S =，且:4:62:3ADO DBO S S ==． 设ADO 的面积为2份，则DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．
因为610230ABE S =⨯÷=，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．
解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，
根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯=，
所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即15
32ADEC
S S
=
阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以15
1532
ADEC S S ==阴影梯形．
【答案】15
【例 13】 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四
边形EFGH 的面积=________．
G E
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，精英邀请赛 【解析】 因为FGHE 为平行四边形，所以//EC AG ，所以AGCE 为平行四边形．
:3:1BG GC =，那么:1:4GC BC =，所以11
16444
AGCE ABCD S S =⨯=⨯=．
又AE GC =，所以::1:3AE BG GC BG ==，根据沙漏模型，
::3:1FG AF BG AE ==，所以33
4344
FGHE AGCE S S ==⨯=．
【答案】3
【例 14】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴
影部分的面积．
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以
2
3
EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =．
又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12
::3:423
EG EF ==，
所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =，所以:1:18CFG ABC S S =，那么18
CFG a
S =．
【答案】18
a
【例 15】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，15cm
AF =，求正方形ABCD 的边长．
F
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BC AF CE EF =，::DC AE CF EF =，设正
方形的边长为cm x ，所以有1BC DC CE CF AF AE EF EF +=+=，即11510
x x
+=，解得6x =，所以正方形的边
长为6cm ．
方法二：或根据一个金字塔列方程即151015
x x
-=，解得6x =
【答案】6
【例 16】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正
方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
H
G
N
P
A
D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有
PN AP BC AB =，PH BP
AD AB
=
，设正方形的边长为x 毫米，
PN PH BC AD +=1AP BP AB AB +=，即112080
x x
+=，解得48x =，即正方形的边长为48毫米．
【答案】48
【巩固】如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是ABC △
边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．
E H G
M
F
A
D C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
DE AD BC AB =，DG BD
AH AB
=
，所以有1DE DG AD BD BC AH AB AB +=+=，设DG x =，则2DE x =，所以有21128x x +=，
解得247
x =，48
27x =，因此长方形的长和宽分别是487厘米，24
7
厘米．
【答案】长487，宽24
7
【例 17】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形
在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？
A
B
C
D E F
G
N
M
A
B
C
D
E F
G
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF 与DC 平行，从而三角形GEF 与三角形GDC 相似，这样，就可
以采用相似三角形性质来解决问题． 做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．
因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且相似比为:4:121:3EF DC ==， 所以:1:3GN GM =，又因为12MN GM GN =-=，所以()18GM cm =，
所以三角形GDC 的面积为()21
12181082
cm ⨯⨯=．
【答案】108
【例 18】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积
是多少？
E
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：3
1223NF =++；12312
EM =
++， 则5
9NF =，53EM =，
1951
2225330S ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭阴
【答案】1
30
【例 19】 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积
是 ．
H
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学
【解析】 设大、小正方形的边长分别为m 厘米、n 厘米(m n >)，则2252m n +=，所以8m <．若5m ≤，则
222525052m n +<⨯=<，不合题意，所以m 只能为6或7．检验可知只有6m =、4n =满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，::6:43:2BG GF AB FE ===，而6BG GF +=，得 3.6BG =(厘米)，所以阴影部分的面积为：1
6 3.610.82
⨯⨯=(平方厘米)． 【答案】10.8
【例 20】 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一
块直角三角形的面积是多少？
D
B
D
B
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的1
4
，所以431OEB S =-=△,所以:1:3OE EA =,所以
:5:8CE CA =,由三角形相似可得阴影部分面积为2525
8()88
⨯=．
【答案】25
8
【例 21】 已知长方形ABCD 的面积为70厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影
EHO △的面积是多少厘米？
D
C
B
A
A
B
C D
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的
话，那么3ED AD ==份、2BF FG GC ===份，大家能在图形中找到沙漏EOD △和BOG △：有34ED BG ∶=∶，所以34OD BO =∶∶，相当于把BD 分成(34+)7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：EHD △和BHF △也是沙漏，32ED BF =∶∶，由此可以推出：32HD BH =∶∶, 相当于把BD 分成(32+)5份，那么我们就可以把BD 分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD 占15份，BH 占14份，
HO 占6份，连接EB 则可知BED △的面积为35
7042
÷=，在BD 为底的三角形中HO 占6份，则面
积为：356
3235
⨯=(平方厘米).
【答案】3
【例 22】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的
面积为 平方厘米．
B
B
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．
可得1
=4
AED ABCD S S 平行四边形，
对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以23
::2:344
DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，
所以 1111
7263434
AEO
ABCD S
S =⨯=⨯⨯=平行四边形(平方厘米)，212ADO AEO S S =⨯=(平方厘米)． 同理可得6CFM S =平方厘米，12CDM S =平方厘米． 所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--=(平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．
方法二：寻找图中的沙漏，::1:2AE CD AO OC ==，::1:2FC AD CM AM ==，因此,O M 为AC 的
三等分点，11721266ODM ABCD S S ==⨯=△平行四边形(平方厘米)，11
122644
AEO OCD S S ==⨯⨯=△△(平方厘米)，
同理6FMC S =△(平方厘米)，所以72126648S =---=阴影(平方厘米)． 【答案】48
【例 23】 如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是4厘米，M 是BC 的
中点，则三角形APD 的面积是 平方厘米．
A
B
C
D
P M
K
N A
B
C
D
P M
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一
点做垂线．
取AD 的中点N ，连接MN ，设MN 交PD 于K ．
则三角形PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ，可知三角形PDM 的面积
等于182MK BC ⨯⨯=(平方厘米)，所以8MK=3(厘米)，那么84
433
NK =-=(厘米)．
因为NK 是三角形APD 的中位线，所以8
23
AP NK =⨯=(厘米)，所以三角形APD 的面积为
18
6823
⨯⨯=(平方厘米)． 【答案】8
【例 24】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，
交AF 于O ，已知5cm AH =，3cm HF =，求AG ．
A
B
C
D
E
F G
H
O
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，
又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =，
所以3
:5:10:32
AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==，
而()()11534cm 22AO AF ==⨯+=，所以()1040
4cm 1313
AG =⨯=．
【答案】40
13
【例 25】 右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，1
3
GC FC =．求阴影部分的面积．
A
B E
A
B
E
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最
多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．
根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以:1:6CI CB =，即
():61:65:6BI BC =-=，所以1155
22624
BGE S =⨯⨯=．
【答案】5
24
【例 26】 梯形ABCD 的面积为12，2AB CD =，E 为AC 的中点，BE 的延长线与AD 交于F ，四边形CDFE
的面积是 ．
A
B
C D E
F
G
A
B
C
D E
F
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 延长BF 、CD 相交于G ．
由于E 为AC 的中点，根据相似三角形性质，2CG AB CD ==，11
22
GD GC AB ==，再根据相似三
角形性质，::2:1AF FD AB DG ==，:1:3GF GB =，而::2:1ABD BCD S S AB CD ∆∆==，
所以11
12433
BCD ABCD S S ∆==⨯=，28GBC BCD S S ∆∆==．
又111236GDF GBC S S ∆∆=⨯=，12EBC GBC S S ∆∆=，所以111812633CDFE GBC GBC S S S ∆∆⎛⎫
=--== ⎪⎝⎭
．
【答案】8
3
【例 27】 如图，三角形ABC 的面积为60平方厘米，D 、E 、F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积
是 平方厘米．
B
C
B
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而
从图中来看，既可以转化为BEF ∆与EMN ∆的面积之差，又可以转化为BCM ∆与CFN ∆的面积之差． (法1)如图，连接DE ．
由于D 、E 、F 分别为各边的中点，那么BDEF 为平行四边形，且面积为三角形ABC 面积的一半，即30平方厘米；那么BEF ∆的面积为平行四边形BDEF 面积的一半，为15平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于DE 为三角形ABC 的中位线，长度为BC 的一半，则
::1:2EM BM DE BC ==，所以1
3EM EB =；
::1:1EN FN DE FC ==，所以1
2
EN EF =．
那么EMN ∆的面积占BEF ∆面积的111236⨯=，所以阴影部分面积为115112.56⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭
(平方厘米)．
(法2)如图，连接AM ．
根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE EC ∆∆==，::1:1ACM BCM S S AD DB ∆∆==，
所以11
602033BCO ABC S S ∆∆==⨯=平方厘米，
而11603022BDC ABC S S ∆∆==⨯=平方厘米，所以1
7.54
FCN BDC S S ∆∆==平方厘米，
那么阴影部分面积为207.512.5-=(平方厘米)．
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
⑴利用面积公式：底⨯高2÷； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型．
【答案】12.5
【例 28】 如图,ABCD 是直角梯形，4,5,3AB AD DE ===，那么梯形ABCD 的面积是多少?
O
E
D
C
B
A
O
E
D A
F
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 延长EO 交AB 于F 点，分别计算,,,AOD AOB DOC BOC △△△△的面积，再求和． 31DE BF DO OB ==∶∶∶
∴31AOD AOB S S =△△∶
∶；31DOC BOC S S ==△△∶ AOD BOC S S =△△
又∵1
45102ABD S =⨯⨯=△
∴3
7.54
AOD ABD S S ==△△, 2.5,7.5,337.522.5AOB BOC DOC BOC S S S S ====⨯=△△△△
∴7.5 2.57.522.540ABCD S =+++=梯形
【答案】40
【例 29】 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD ，小正方形为MNDE ，EB 分别交,AC AD
于,O H 两点， 122035AO OC AB EC ===∶∶∶∶，35AH BC AO OC ==∶∶∶ ∴38AO AC =∶∶，35AH AD =∶∶，940AHO ADC S S =△△∶
∶ ∵21
12722ADC S =⨯=△
∴99
7216.24040
AHO ADC S S ==⨯=△△
【答案】16.2
【例 30】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．
D
A
B
C E
F
G
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为DA ∥BE ，根据相似三角形性质知DG AG
GB GE
=
， 又因为DF ∥AB ，DG FG
GB GA
=
， 所以AG FG
GE GA
=
，即2225922515AG GE FG =⋅=⨯==，所以15AG =． 【答案】15
【例 31】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，
AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △
G
F
A
E
D
C B
M G
F
A
E
D
C
B
G
F
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，
构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以
4432
(442)471111
ABG ABE S S ==⨯⨯÷=
+△△．
方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据
蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432
(442)471111
ABG ABE S S ==⨯⨯÷=
+△△． 【答案】32
11
【例 32】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求
BMG ∆的面积．
M
H
G
F E D C
B
A
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，
::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==， 并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，
所以25BM BF =，1111
2224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=；
又因为13BG BD =，所以121211
3535430
BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．
解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图， 可得，::1:1AI BC AE EB ==， 从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，
25BM BF =，1
3
BG BD =(鸟头定理)，
可得212111
5353430
BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=
【答案】1
30
【例 33】 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是
平方厘米．
H G
F
E
D
C B
A
M
H G
F
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．
由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：1
3
EBG BCE S S ∆∆=
将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，
而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得2
5
CH CE =，
而12CF BC =，所以121
255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=
111
12030224
BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=
1177
3014
51515
EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．
EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出． 【答案】14
【例 34】 如图，已知14ABC S =△,点,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，且2,5,AD BD AF FC ===，
ABE DBEF S S =△四边形则ABE S △是多少？
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ABC △的面积已知，若知道ABE △的面积占ABC △的几分之几就可以计算出ABE △的面积．连接
CD ．
∵ABE DBEF S S =△四边形
∴DEF ADE S S =△△ ∴AC 与DE 平行， ∴ADE CDE S S =△△
∴ABE CDB S S =△△ ∵2AD =，5BD = ∴:2:5ACD CDB S S =
∴55
141077
ABC ABB CDB S S S ===⨯=△△△
【答案】10
【例 35】 如图，长方形ABCD 中，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，DE EC =，2FB AF =，求::PM MN NQ ．
P
M
N
Q F
E
D
C
B
A G
P
M
N
Q F
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，过E 作AD 的平行线交PQ 于G ．
由于E 是DC 的中点，所以G 是PQ 的中点．
由于DE EC =，2FB AF =，所以:2:3AF DE =，:4:3BF CE =．
根据相似性，:::2:3PM MG AM ME AF DE ===，:::3:4GN NQ EN NB EC BF ===，
于是25PM PG =，33365735MN PG GQ PG =+=，44
77
NQ GQ PG ==，
所以
2364
::::7:18:10
5357
PM MN NQ==．
【答案】7:18:10
【例 36】如下图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．
E D
O
G
C F
B A
E
D
O
G
C
F
B
A
【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】设三角形以AB为底的高为h，
由于:2:3
FG AB=，所以:1:2
ED FG=；
所以三角形OGF以GF为底的高是122 339
h h
⨯=；
又因为三角形CFG以FG为底的高是2
3 h，
所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面积之比
22
:1:3 93
h h
==，
所以三角形CFG的面积为
3
2418
31
⨯=
+
(平方厘米)，
而三角形CFG的面积占三角形ABC的224 339
⨯=，
所以三角形ABC的面积是
4
1840.5
9
÷=(平方厘米)．
【答案】40.5
【例 37】如图，ABCD为正方形，1cm
AM NB DE FC
====且2cm
MN=，请问四边形PQRS的面积为多少？
C
A
C
A
【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答
【关键词】香港保良局小学数学世界邀请赛
【解析】(法1)由//
AB CD，有
MP PC
MN DC
=，所以2
PC PM
=，又
MQ MB
QC EC
=，所以
1
2
MQ QC MC
==，所以
111
236
PQ MC MC MC
=-=，所以
SPQR
S占
AMCF
S的
1
6
，
所以
12
1(112)
63
SPQR
S=⨯⨯++=2
(cm)．
(法2)如图，连结AE，则
1
448
2
ABE
S
∆
=⨯⨯=(2
cm)，而
RB ER
AB EF
=，所以2
RB AB
EF EF
==，
2216
8
333
ABR ABE
S S
∆∆
==⨯=(2
cm)．而
11
343
22
MBQ ANS
S S
∆∆
==⨯⨯⨯=(2
cm)，因为
MN MP
DC PC
=，
所以13MP MC =，则114
24233
MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于
1642
33333
ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．
【答案】2
3
【例 38】 如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分
的面积是多少
?
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】奥林匹克，5题
【解析】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33
.44
ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=
⨯=⨯= 而E 为AD 中点，所以13
.28
DEC ADC S S ∆∆=
= 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11
.44
ABD ABC S S ∆∆=
=
12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=
-而3.8
FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得3
56
x =.
所以，阴影部分面积为333
.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=
【答案】
37
【例 39】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1:4:41．那么，
④、⑤这两块的面积比是______．
⑤
④
③
②
①
H
K
J
G I
F D
C
E
B A ⑤
④
③②①
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛
【解析】 如图∵()()12:1:4S S =，∴:1:2AB BC =，∴:1:5ABE BCHE S S ∆=，
()():415:156:1EHIF AEHC S S =-+=，:6:1EF AE =，又∵:1:2AE CD =，∴:7:2AF CD =，
∴::7:3AF AC AF DH ==，∴()()()451:66:7379:142S S ⎛⎫
=⨯⨯-⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
．
【答案】9:14
【例 40】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的重点，
如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m
n
，那么，m ＋n 的值等于
__________。

E
F
G
H
C D
B
A
E
F
G
H
C
D
B
A
（A ）5 （B ）7 （C ）8 （D ）12
【考点】相似三角形模型 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，5题
【解析】 A ，先求原题左图中的阴影部分的面积，连接,EG HI ，（见下图）.
D
G
C
F
B
A
H
I
E
I 是矩形AEGD 对角线的交点，所以HI AE =1
2
，
AID S AD HI ∆=⨯12AD AE AD AB =⨯=⨯11112224ABCD S ==1188。

原题左图中有4块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于-⨯=11
1482
，再求右图中阴影
部分的面积。

过F 作BG 的平行线交CD 于I ，连接BL （见下图）。

∵,AE EB ED =∥BG ，∴AJ JM =。

∵,BF FC BG =∥FI ,∴GI IC DG ==1
2。

∵,GI DG FI =12∥BG ∥ED ,∴MF JM =1
2。

至此，求出了AJ JM MF ==2。

∵,,ABF S MF AF ∆==1145∴S BMF ∆=111
4520
⨯=。

由对称性知，ML LK KJ ==,
∴,ML JM AF AF ===112233515⨯BLM ABF S S ∆∆===2211
1515430
⨯。

S 四边形BFLE ()BLF BLM BMF S S S ∆∆∆==+22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1
11230206⨯。

原题右图中有4块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于-=111463
⨯。

,m n ==12
213
3
m n +=+=325。

【答案】5
【例 41】 如图所示，三角形AEF ，三角形BDF,三角形BCD ，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF
的面积是1.求阴影部分的面积。

【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第十五题
【解析】
22::1:9S AIF S BCI AF BC ==AEF 面积是1，那么9S BDF S BDC ==, 所以AEF 与ACE 的高之比是1：7，所以S ACE =7,
因为AD 与BC 平行所以9S ABC S BCD ==,所以::9:7S ABC S AEC BI IE == 假设BE 为16份，那么BI=9,IE=7,又知道BF:FE=3:1,:所以BF=12,FE=4, 所以IF=3,::4:3S AEF S AIF FE FI ==,所以S AIF =0.75
又有22::1:9S AIF S BCI AF BC ==,所以S BCI =6.75 于是可求阴影部分面积是()0.75 6.25215+⨯=.
【答案】15
【例 42】 如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，J 为GD 的中点，EJ 交CD 于I 。

已知
正方形ABCD 边长为10cm ，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm 2
.
H
F
C
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思，六年级，第十一题 【解析】 方法一、连结EG 、FJ 可得GI ：IF =2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH 的十分之二，也
就是大正方形的十分之一，为10 2cm 。

方法二：
根据同底等高的两个三角形面积相等，左图中阴影面积与右图中的阴影面积相等。

只要找到底边的比例关系便可以解答。

根据“相似三角形”就是常说的沙漏定理。

来找到底边a 、b 的比例关系，但是需要添加辅助线，如图所示：延长EA 到K ，使得EA =AK
因为EK ：GJ =4:1，所以EI ：IJ =4：1，三角形EGJ 的面积是正方形面积的八分之一
441
1010101458
EGI EGJ S S ==⨯⨯⨯=+（2cm ）
【答案】10。