02拉压
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Fst FW Est Ast EW AW
250
（2）
250 17
目录
§2-8 拉、压超静定问题
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 3.086 cm2 故 Ast 4 Ast 12.34cm2 , AW 25 25 625 cm2
代入数据，得
FW 0.717 F
x
4、许可载荷
F Fi min 57.6kN 176.7kN min 57.6kN
13
目录
F
FN 1 F / sin 2 F
FN 2 FN 1 cos 3F
§2-7 拉压杆的变形
胡克定律
例题2-6
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
沿切线方向的应力为剪应力
p cos cos2
2
为横截面正应力
p sin sin cos
sin 2
7
§2.4 材料拉伸时的力学性能
e
b
b
f
e P
a c
s
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力） s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力） b — 强度极限
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
FN 1
FN 2
300
y
A
x
FN 1 sin F 0 0 FN 1 F / sin 2 F 20kN FN 2 FN 1 cos 3F 17.32 kN
§2-8 拉、压超静定问题
B
即：
3FN 1 2 FN 2 3FN 3
1 C 2 30 30 3
D
A
y
A
FN 1 FN 3 2 F
1 2
F
x
FN 1
y
A
列出变形几何关系 将A点的位移分量向各杆投 影.得 l1 y sin x cos
y
l2 x
2、变形几何关系 l1 l2 l3 cos 3、物理关系
FN 1l FN 3l l1 l3 EA cos EA
l1
l2
l3
4、补充方程
FN1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos2
5、求解方程组得 F F cos2 FN 3 FN 1 FN 2 1 2 cos3 1 2 cos3 16
例: D=350mm，p=1MPa。螺栓 [σ]=40MPa，求直径。 π F D2 p 解： 油缸盖受到的力 4
p D
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为
FN F π 2 D p 6 24
FN 根据强度条件 max A d 2 D 2 p FN 得 A 即 4 24
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
x
A1
A3
2
A
A
A4
15
目录
§2-8 拉、压超静定问题
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程
x
例题2-7
F 0 F 0
y
FN 1 FN 2
2 FN 1 cos FN 3 F
FN FN 5.32 10 5 118 .2 10 6 Pa 118 .2MPa 120 MPa A 2bh 2 25 90 10 6 10 斜杆强度足够
FN
FN
2、强度校核 由于斜杆由两个矩 形杆构成，故A=2bh，工作应力为
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
F1 F1 F1
FN kN
F3
3
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 F4 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
AB段
0 FN 1 F1 10 kN
x x
FN1 FN2
F
F2
FN3
10
FN 1
FN 2 α
y
A
F
y
x
FN 1 sin F 0 0 FN 1 F / sin 2 F FN 2 FN 1 cos 3F
F
2、根据斜杆的强度，求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
F1 1 A1 1 120 10 6 2 4.8 10 4 2 2 57.6 10 3 N 57.6kN
D2 p 0.35 2 10 6 d 22 .6 10 3 m 22.6mm 螺栓的直径为 6 6 40 10 6
11
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
例:AC为50×50×5的等边角钢，AB为10 号槽钢，〔σ〕=120MPa。求F。 解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平 杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
X 0
p A P 0
这是斜截面上与 6 轴线平行的应力
P P cos p cos A A
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
FN 1 A1
12
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2
FN 2 A2
FN 1
FN 2
α
y
A
F2
1 A2 1 120 10 6 2 12.74 10 4 1.732 3 176 .7 10 3 N 176 .7kN
Fx 0
x
FN 1 cos 45 FN 2 0 FN 1 sin 45 F 0
FN 2 20 kN
4
目录
F
y
0
FN 1 28.3kN
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
FN 1 28.3kN
FN 2 20 kN
2、计算各杆件的应力。
BC段
F
0 FN 2 F2 F1
F4
25
FN 2 F1 F2
CD段
10 20 10 kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
3
目录
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15mm×15mm的方截面杆。 B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） F 用截面法取节点B为研究对象
y
F
2、根据胡克定律计算杆的变形。
20 10 3 2 3 斜杆伸长 l1 E A 200 10 9 200 10 6 110 m 1mm 1 1 FN 2l2 17.32 10 3 1.732 0.6 10 3 m 0.6mm 水平杆缩短 l2 14 E2 A2 200 10 9 250 10 6
目录
§2-2
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 F 作用线也与杆件的轴线重 合。所以称为轴力。
FN FN
m F
m
F
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0
F
x
FN F 0
FN F
§2-2
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
2
目录
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
F FN 1l1
目录
§2-7 拉压杆的变形
胡克定律
FN 1l1 l1 1mm E1 A1 F l l2 N 2 2 0.6mm E2 A2
3、节点A的位移（以切代弧）
FN 1 300 FN 2 A
A
y
A F
A2
A
AA1 l1 1mm AA2 l2 0.6mm A1 x l2 0.6mm l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039 mm
B
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
F
FN 1 28.3 10 3 1 A1 20 2 10 6 4 90 10 6 Pa 90 MPa
FN 2 20 10 3 2 2 6 A2 15 10 89 10 6 Pa 89 MPa
5
目录
x
§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
n m
P
A
pα
α
P
x
m 为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想 地用截面 m-m 将杆分成两部分。并将右半部分去掉。 该截面的外法线用 n 表示， 法线与轴线的夹角为：α A 设杆的横截面面积为A， 则斜截面面积为： A cos 由杆左段的平衡方程
y
A
FN 1 cos30 0 FN 2 FN 3 cos30 0
Fy 0
FN 1 sin 30 0 FN 3 sin 30 0 F
FN 1 FN 3 2 F
FN 2 FN 3
x 即：
3FN 1 2 FN 2 3FN 3
1 2
19
目 录
F
列出变形几何关系
Fst 0.283 F
F
根据角钢许用应力，确定F
0.283 F st st F 698 kN Ast 根据木柱许用应力，确定F 0.717 F W W AW
F 1046 kN
250 250 18
目录
许可载荷
F 698 kN
§2-8 拉、压超静定问题
FN A
9
目录
3、确定许可载荷： FN A
§2.6失效、安全因数和强度计算
F
A
例: F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。 〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。 解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
h
b
B
C
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
F
A
由于结构几何和受力的对称性，两 斜杆的轴力相等，根据平衡方程 Fy 0 得 F 32FN cos 0 F 1000 10 FN 5.32 10 5 N 2 cos 2 cos 20 x
目录
§2-8 拉、压超静定问题
例题2-8
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst （1） F 变形协调关系: l st l w FW l FW 物理关系: lW EW AW Fst Fst l lst Est Ast 补充方程:
B
例题2-9
1 C 2 30 30 3
D
A
3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC 杆面积为300 mm2，AD杆面积为400 mm2， 若F=30kN，试计算各杆的应力。
解：设AC杆杆长为
l ，则AB、AD杆长为
2l 3
F
l AB l AD
列出平衡方程：
Fx 0
FN 1
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1、轴力：横截面上的内力
F 2、截面法求轴力
m F FN FN F
0
m F
切: 假想沿m-m横截面将杆 切开 留: 留下左半段或右半段
F
x
FN F 0
FN F
代: 将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替
平: 对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值 1
o
明显的四个阶段 1、弹性阶段ob P — 比例极限 e — 弹性极限
E
E
4、局部变形阶段ef
tan
8
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
二 强度条件
max
FN A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 FN max 1、强度校核： A 2、设计截面：
250
（2）
250 17
目录
§2-8 拉、压超静定问题
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 3.086 cm2 故 Ast 4 Ast 12.34cm2 , AW 25 25 625 cm2
代入数据，得
FW 0.717 F
x
4、许可载荷
F Fi min 57.6kN 176.7kN min 57.6kN
13
目录
F
FN 1 F / sin 2 F
FN 2 FN 1 cos 3F
§2-7 拉压杆的变形
胡克定律
例题2-6
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
沿切线方向的应力为剪应力
p cos cos2
2
为横截面正应力
p sin sin cos
sin 2
7
§2.4 材料拉伸时的力学性能
e
b
b
f
e P
a c
s
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力） s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力） b — 强度极限
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
FN 1
FN 2
300
y
A
x
FN 1 sin F 0 0 FN 1 F / sin 2 F 20kN FN 2 FN 1 cos 3F 17.32 kN
§2-8 拉、压超静定问题
B
即：
3FN 1 2 FN 2 3FN 3
1 C 2 30 30 3
D
A
y
A
FN 1 FN 3 2 F
1 2
F
x
FN 1
y
A
列出变形几何关系 将A点的位移分量向各杆投 影.得 l1 y sin x cos
y
l2 x
2、变形几何关系 l1 l2 l3 cos 3、物理关系
FN 1l FN 3l l1 l3 EA cos EA
l1
l2
l3
4、补充方程
FN1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos2
5、求解方程组得 F F cos2 FN 3 FN 1 FN 2 1 2 cos3 1 2 cos3 16
例: D=350mm，p=1MPa。螺栓 [σ]=40MPa，求直径。 π F D2 p 解： 油缸盖受到的力 4
p D
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为
FN F π 2 D p 6 24
FN 根据强度条件 max A d 2 D 2 p FN 得 A 即 4 24
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
x
A1
A3
2
A
A
A4
15
目录
§2-8 拉、压超静定问题
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程
x
例题2-7
F 0 F 0
y
FN 1 FN 2
2 FN 1 cos FN 3 F
FN FN 5.32 10 5 118 .2 10 6 Pa 118 .2MPa 120 MPa A 2bh 2 25 90 10 6 10 斜杆强度足够
FN
FN
2、强度校核 由于斜杆由两个矩 形杆构成，故A=2bh，工作应力为
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
F1 F1 F1
FN kN
F3
3
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 F4 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
AB段
0 FN 1 F1 10 kN
x x
FN1 FN2
F
F2
FN3
10
FN 1
FN 2 α
y
A
F
y
x
FN 1 sin F 0 0 FN 1 F / sin 2 F FN 2 FN 1 cos 3F
F
2、根据斜杆的强度，求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
F1 1 A1 1 120 10 6 2 4.8 10 4 2 2 57.6 10 3 N 57.6kN
D2 p 0.35 2 10 6 d 22 .6 10 3 m 22.6mm 螺栓的直径为 6 6 40 10 6
11
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
例:AC为50×50×5的等边角钢，AB为10 号槽钢，〔σ〕=120MPa。求F。 解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平 杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
X 0
p A P 0
这是斜截面上与 6 轴线平行的应力
P P cos p cos A A
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
FN 1 A1
12
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2
FN 2 A2
FN 1
FN 2
α
y
A
F2
1 A2 1 120 10 6 2 12.74 10 4 1.732 3 176 .7 10 3 N 176 .7kN
Fx 0
x
FN 1 cos 45 FN 2 0 FN 1 sin 45 F 0
FN 2 20 kN
4
目录
F
y
0
FN 1 28.3kN
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
FN 1 28.3kN
FN 2 20 kN
2、计算各杆件的应力。
BC段
F
0 FN 2 F2 F1
F4
25
FN 2 F1 F2
CD段
10 20 10 kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
3
目录
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15mm×15mm的方截面杆。 B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） F 用截面法取节点B为研究对象
y
F
2、根据胡克定律计算杆的变形。
20 10 3 2 3 斜杆伸长 l1 E A 200 10 9 200 10 6 110 m 1mm 1 1 FN 2l2 17.32 10 3 1.732 0.6 10 3 m 0.6mm 水平杆缩短 l2 14 E2 A2 200 10 9 250 10 6
目录
§2-2
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 F 作用线也与杆件的轴线重 合。所以称为轴力。
FN FN
m F
m
F
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0
F
x
FN F 0
FN F
§2-2
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
2
目录
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
F FN 1l1
目录
§2-7 拉压杆的变形
胡克定律
FN 1l1 l1 1mm E1 A1 F l l2 N 2 2 0.6mm E2 A2
3、节点A的位移（以切代弧）
FN 1 300 FN 2 A
A
y
A F
A2
A
AA1 l1 1mm AA2 l2 0.6mm A1 x l2 0.6mm l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039 mm
B
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
F
FN 1 28.3 10 3 1 A1 20 2 10 6 4 90 10 6 Pa 90 MPa
FN 2 20 10 3 2 2 6 A2 15 10 89 10 6 Pa 89 MPa
5
目录
x
§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
n m
P
A
pα
α
P
x
m 为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想 地用截面 m-m 将杆分成两部分。并将右半部分去掉。 该截面的外法线用 n 表示， 法线与轴线的夹角为：α A 设杆的横截面面积为A， 则斜截面面积为： A cos 由杆左段的平衡方程
y
A
FN 1 cos30 0 FN 2 FN 3 cos30 0
Fy 0
FN 1 sin 30 0 FN 3 sin 30 0 F
FN 1 FN 3 2 F
FN 2 FN 3
x 即：
3FN 1 2 FN 2 3FN 3
1 2
19
目 录
F
列出变形几何关系
Fst 0.283 F
F
根据角钢许用应力，确定F
0.283 F st st F 698 kN Ast 根据木柱许用应力，确定F 0.717 F W W AW
F 1046 kN
250 250 18
目录
许可载荷
F 698 kN
§2-8 拉、压超静定问题
FN A
9
目录
3、确定许可载荷： FN A
§2.6失效、安全因数和强度计算
F
A
例: F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。 〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。 解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
h
b
B
C
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
F
A
由于结构几何和受力的对称性，两 斜杆的轴力相等，根据平衡方程 Fy 0 得 F 32FN cos 0 F 1000 10 FN 5.32 10 5 N 2 cos 2 cos 20 x
目录
§2-8 拉、压超静定问题
例题2-8
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst （1） F 变形协调关系: l st l w FW l FW 物理关系: lW EW AW Fst Fst l lst Est Ast 补充方程:
B
例题2-9
1 C 2 30 30 3
D
A
3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC 杆面积为300 mm2，AD杆面积为400 mm2， 若F=30kN，试计算各杆的应力。
解：设AC杆杆长为
l ，则AB、AD杆长为
2l 3
F
l AB l AD
列出平衡方程：
Fx 0
FN 1
§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1、轴力：横截面上的内力
F 2、截面法求轴力
m F FN FN F
0
m F
切: 假想沿m-m横截面将杆 切开 留: 留下左半段或右半段
F
x
FN F 0
FN F
代: 将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替
平: 对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值 1
o
明显的四个阶段 1、弹性阶段ob P — 比例极限 e — 弹性极限
E
E
4、局部变形阶段ef
tan
8
目录
§2.6失效、安全因数和强度计算
二 强度条件
max
FN A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 FN max 1、强度校核： A 2、设计截面：