华中科技大学2011数学分析考研真题

2011年华中科技大学
硕士研究生招生考试
考试科目:数学分析
适用范围:基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计
一．
)112(lim 2
3
--+-+∞
→x x x x x
二．设f(x)一阶连续可微，f(0)=0,且D:tx y x 222≤+求极限
4
2
2)(0
lim t
dxdy
y x yf D
t ⎰⎰
++→
三．设曲面S 是椭球面)1(222y x z --=的上半部分，设ρ是原点到椭球面上任一点的切平面的距离，求dS z
S
⎰⎰
ρ
.
四．计算积分
⎰+
++=
L
xdz zdy ydx
I ,
其中+L 为圆周,0,0,1222=++>=++z y x a z y x 从Z 轴+∞看为逆时针方向.
五．已知1
1+∑
+∞
=n a n n 收敛，试证明等式
∑
⎰∑
+∞
=+∞=+=1
1
1
1
n n n
n n n a dx x a ，
并利用之求........
5
14
13
1211+-
+
-.
六．求无穷积分dx x
ax
ax e
e
⎰
∞
+-
-
-
2
2
.
七.设0>n a (n=1,2,3,4.....)级数
∑
+∞=0
n n
a 收敛,∑
∞
==
n
k k
n a r ,证
明:∑
∞
=1
n n
n r a 发散.
八.设函数f(x)在区间[0,2π]上可积， 证明 ⎰
∑
∞
==
-π
ππ
20
1
))((21n n n
b dx x x f ，
其中 ⎰
=
π
π
20
sin )(1
nxdx
x f b n (n=1,2,3,4......)
九．设f(x)在[0,1]上二阶连续可微，证明：
dx
x f dx x f f )()(9)0(1
'
'1
'
⎰
⎰+
≤。