20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.6 三角函数性质的运用(解析版)

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2020届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.1 三角函数定义及运用(解析版)

第一讲三角函数的定义及运用一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④弧长公式：l ＝|α|r . 二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2.三角函数在每个象限的正负如下表：3.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线考向一角度值、弧度制、终边相同角【例1】（1）sin 53π的值为（） A ．−12B ．−√32C ．12D ．√32（2）2100°的弧度数是（） A ．35π3B ．10πC ．28π3D ．25π3（3）角α=−60°+k ⋅180°(k ∈Z)的终边落在（）A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限【答案】（1）B （2）A （3）D【解析】（1）由题意可得：sin (53π)=sin (2π−π3)=−sin π3=−√32.故选：B .（2）由题意得2100∘=2100×π180=35π3，故选A.（3）令k =0，α=−60°，在第四象限；再令k =1，α=120°，在第二象限答案选D 【举一反三】1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．【答案】三【解析】由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =−√3x 上，则角α的取值集合是（） A ．{α|α=2kπ−π3,k ∈Z} B ．{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z}C ．{α|α=kπ−2π3,k ∈Z} D ．{α|α=kπ−π3,k ∈Z}【答案】D【解析】因为直线y =−√3x 的倾斜角是2π3 ，所以终边落在直线y =−√3x 上的角的取值集合为 {α|α=kπ−π3,k ∈Z}或者{α|α=kπ+2π3,k ∈Z}.故选D.3．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A ，B ，C 的关系是（） A ．B =A ∩C B ．B ∪C =C C ．A ⊆B ∩C D ．A =B =C【答案】B【解析】∵A ={第一象限角}={α|k ⋅360∘<α<k ⋅360∘+90∘,k ∈Z}；B ={锐角}={α|0∘<α<90∘}；C ={小于90°的角}={α|α<90∘}．∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊂C ，且B ⊂A ，则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的子集，三集合不一定相等，由集合间的关系可得B ∪C =C ．故选B ．考向二三角函数的定义【例2】（1）若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （）A ．25B ．35-C ．35D ．5（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________.（3）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且OP ＝2，则点P 的坐标为________．（4）如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠=点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A．410B．410+ CD．310+ 【答案】（1）B （2）－32 （3） (－1，3) （4）A【解析】（1）因为点P （1，－2）是角a的终边上一点，所以5sina ==-.所以22321212(5cos a sin a =-=-⨯=-.故选B. （2）由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32. （3）由题意可知，点P 在角2π3的终边上，所以x P ＝2×cos 2π3＝－1， y P ＝2×sin2π3＝3，则点P 的坐标为(－1，3)．（4）由题意得：43cos ,sin 3535ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos sin 2323ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1434252510⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭故选A【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy 中，12P ⎛ ⎝⎭是角α终边上的一点，则sin2α=（）A ．12B C ．12-D ．-【答案】B【解析】因为12P ⎛ ⎝⎭是角α终边上的一点，所以由三角函数定义得1sin 22y x r r αα====，所以sin 22sin cos ααα==B ． 2.已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．【答案】 10【解析】根据三角函数的定义，得tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10.3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．【答案】 12【解析】由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12，又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 【答案】 2【解析】由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1. 又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32【解析】点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin2π3＝32. 考向三三角函数正负判断【例3】（1）如果sinα<0且tanα<0，则角α的终边可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．【答案】（1）D （2）二【解析】（1）由sin α<0，则角α为位于第三、四象限，又由tan α<0，则角α为位于第二、四象限，所以角α为位于第四象限，故选D ．（2）由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．【举一反三】1.若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在第________象限．【答案】三【解析】 ∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．2．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2＝________.【答案】 0【解析】由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cosα2＝－1＋1＝0.综上可知，y ＝0.考向四三角函数线运用【例4】(1)满足cos α≤－12的角的集合是________．(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是_______【答案】（1） ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z（2）sin α<cos α<tan α【解析】（1）作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连结OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. （2）如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.【举一反三】1.在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4【解析】当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝MA ，cos x ＝OM ，sin x ≤cos x ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，如图，OB 为x 的终边，此时sin x ＝NB ，cos x ＝ON ，sin x >cos x ．同理当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，5π4时，sin x >cos x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，2π时，sin x ≤cos x .。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.2 同角三角函数(解析版)

第二讲同角三角函数一．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 二．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一同角三角函数简单计算【例1】（1）已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝ .（2）已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】（1）－125(2)见解析【解析】（1）因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.（2）由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2 α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】 1．已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A ．33-B ．36-C ．36 D ．33【答案】B 【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=36-故选：B2．已知sin θ=a−11+a ,cos θ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．−12B ．−2C ．−34D ．−43【答案】C【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−11+a )2+(a1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tan θ=sin θcos θ=a−11+a ×(−1+a a)＝1−a a=1a −1＝−34，故选C.【套路总结】（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；（2）利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．3．已知向量a ⃑=(√2，−√2)，b ⃑⃑=(cos α，sin α)，且a ⃑∥b ⃑⃑，则tanα的值为__________．【答案】-1【解析】因为a ⃑∥b ⃑⃑，所以√2sinα−(−√2)cosα=0，解得tanα=−1. 4.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【答案】见解析【解析】∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.考向二弦的齐次问题【例2】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．（2）若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝【答案】（1）3 （2）6425【解析】（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3..（2）tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.【举一反三】1．已知向量a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则sin2θ+cos 2θ的值为_____．【答案】1【解析】∵a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，∴sinθ−2cosθ=0， ∴tanθ=2，∴sin2θ+cos 2θ=2sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ+1tan 2θ+1=4+14+1=1．故答案为：1．2．已知直线2x −4y +5=0的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．25B ．45C ．310D ．12【答案】B【解析】直线2x −4y +5=0的倾斜角为α,可得斜率k=tan α=12,则sin 2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=114+1=45，故选：B3..已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【套路总结】弦的齐次问题(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点： ①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos nα(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．【答案】（1）－53. （2）135【解析】由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135.考向三 sin α±cos α，sin αcos α【例3】已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．【答案】（1）－49. （2）173.【解析】(1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝173.【套路总结】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．【举一反三】1.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为．【答案】－23【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.2．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ . 【答案】－ 3【解析】由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以2sin x cos x ＝－32，即2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝－32，得tan x ＝－33或tan x ＝－ 3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－ 3. 3．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为．【答案】5－95【解析】因为cos α－sin α＝－55，①所以1－2sin αcos α＝15，即2sin αcos α＝45. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.又0<α<π2，所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝355.②由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2，所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95.4．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为．【答案】 1－ 5【解析】由题意知方程的两根为－m ±m 2－4m4，∴sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.考向四三角函数代数式的化简【例4】化简下列各式：(1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°；(2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.【答案】（1）-1 （2）－2cos α【解析】(1)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°＝cos 10°－sin 10°2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α<0，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝1－sin α21－sin 2 α＋1＋sin α21－sin 2 α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.【举一反三】1. 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 【答案】2cos α2【解析】原式＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.2.若0<θ<π2，化简sin θ1－cos θ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ.【答案】1【解析】原式＝sin θ1－cos θ·tan θ－tan θ·cos θtan θ＋tan θ·cos θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ1＋cos θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ21－cos 2θ又0<θ<π2，∴sin θ>0，故原式＝sin θ1－cos θ·1－cos θsin 2θ＝sin θsin θ＝1.3.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．【套路总结】化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．【答案】tan α【解析】∵α是第二象限角，∴cos α<0.则原式＝1cos 2α·1＋sin2αcos 2α－1＋sin α21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α ＝sin αcos α＝tan α. 4.(1)212sin130cos130sin1301sin 130-︒︒︒+-︒；(2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋2cos tan αα.【答案】（1）1 （2）1sin αcos α【解析】(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1． (2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α．1．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos α＝( ) 【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行A ．±45 B.45 C ．－45 D.35【答案】C【解析】由tan α＝34，即sin αcos α＝34，所以sin α＝34cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，代入得⎝⎛⎭⎫34cos α2＋cos 2α＝1，整理得cos 2α＝1625，解得cos α＝±45.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，故cos α＝－45.2.已知α是第三象限角，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1，则tan α＝( )A ．－1或2B ．12C ．1D ．2、【答案】D【解析】由4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1可得4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1．分子，分母同时除以cos 2α，得4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝1，解得tan α＝－1或tan α＝2．又∵α是第三象限角，∴tan α＞0．∴tan α＝2．3．已知tan α＝12-，则222sin cos sin cos αααα-的值是( )A ．43B ．3C ．－43 D ．－3【答案】A【解析】原式＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43．4．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3【答案】C 【解析】1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.5．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.【答案】45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.6.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .【答案】－1【解析】由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1. 7．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于。

2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质讲义(含解析)

第三节三角函数的图象与性质突破点一三角函数的定义域和值域[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的最大值为1.( )(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为x ≠－π4.( )(3)函数y ＝cos x 的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)2．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为________．解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<2.∴函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为(－1,2)．答案：(－1,2) 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)[全析考法]考法一三角函数的定义域[例1] (2019·德州月考)x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π[解析] 法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2.故选C.法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案] C [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．考法二三角函数的值域(最值)[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52， ∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1][方法技巧] 三角函数值域或最值的3种求法[集训冲关]1.[考法一]函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)．答案：(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)2.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x ＋55sin x＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)，故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 答案： 53.[考法二]求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2， 2 ]，∵对称轴t ＝－13∈[－2， 2 ]，∴y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y max ＝f (2)＝32＋ 2.突破点二三角函数的性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 答案：2 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)3．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 答案：3π2[全析考法]考法一三角函数的单调性考向一求三角函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝|tan x |；(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.(2)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12 ]，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[方法技巧] 求三角函数单调区间的2种方法数自身的定义域．考向二已知单调性求参数值或范围[例2] (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(2)(2019·绵阳诊断)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.(2)f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4.[答案] (1)B (2)(－∞，－4] [方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法[例3] (2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π[解析] 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.[答案] C[方法技巧] 三角函数周期的求解方法[例4] (1)(2018·枣庄一模)函数y ＝1－2sin 2( x －3π4 )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3[解析] (1)y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x＝－sin 2x ，故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A. (2)因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] (1)A (2)C [方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．考法四三角函数的对称性(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.[例5] (1)(2019·南昌十校联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A ．(－π，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0(2)(2019·合肥联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝11π12C ．x ＝－2π3D ．x ＝7π12[解析] (1)令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，0，k ∈Z. 当k ＝－1时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.故选B.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝1112π. [答案] (1)B (2)B[方法技巧] 三角函数对称性问题的2种求解方法1.[考法一·考向一]已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 解析：选D 依题意，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D. 2.[考法一·考向二]若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( ) A ．a ＝1，θ＝π3B ．a ＝－1，θ＝π3C ．a ＝1，θ＝π6D ．a ＝－1，θ＝π6解析：选B ∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2,2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z)．又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去．当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在[ －512π，π12 ]上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π3(k ∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B. 3.[考法一、二、三]下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 解析：选C y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C. 4.[考法四]已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为( )A.π6 B ．－π6 C.π3 D ．－π3解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.1 三角函数定义及运用(原卷版)

第一讲三角函数定义及运用一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④弧长公式：l ＝|α|r . 二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号 sin α ＋＋－－ cos α ＋－－＋ tan α＋－＋－3.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【套路秘籍】---千里之行始于足下三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线考向一角度值、弧度制、终边相同角【例1】（1）sin53π的值为（）A．−12B．−√32C．12D．√32（2）2100°的弧度数是（）A．35π3B．10πC．28π3D．25π3（3）角α=−60°+k⋅180°(k∈Z)的终边落在（）A．第四象限 B．第一、二象限 C．第一象限 D．第二、四象限【举一反三】1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=−√3x上，则角α的取值集合是（）A．{α|α=2kπ−π3,k∈Z} B．{α|α=2kπ+2π3,k∈Z}【套路总结】1.弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝π180 rad；1 rad＝180π度．2.终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始C ．{α|α=kπ−2π3,k ∈Z} D ．{α|α=kπ−π3,k ∈Z}3．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A ，B ，C 的关系是（） A ．B =A ∩C B ．B ∪C =C C ．A ⊆B ∩CD ．A =B =C考向二三角函数的定义【例2】（1）若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （） A ．25B ．35C ．35D ．255（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________.（3）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且OP ＝2，则点P 的坐标为________．（4）如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠=点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A ．33410- B ．43310+ C ．34310- D ．34310+【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy 中，1322P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，是角α终边上的一点，则sin2α=（）【套路总结】三角函数定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．A ．12B ．32C ．12-D ．32-2.已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________.5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．考向三三角函数正负判断【例3】（1）如果sinα<0且tanα<0，则角α的终边可能位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．【举一反三】1.若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在第________象限．2．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2＝________.【套路总结】三角函数在每个象限正负的判断1. 方法一：一全正，二正弦，三正切，四余弦2. 方法二：正弦看y 轴，余弦看x 轴，正切一三正二四负。

高三数学一轮复习讲义三角函数图像与性质

课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为；单调减区间为．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。

高考数学一轮复习第四章三角函数三角函数的性质及应用课件

2cos23πω＝1，即
2π cos 3
ω＝21.经验证，得出选项 B 符合．
10 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
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撬法·命题法解题法
11 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
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[考法综述] 三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，
又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同
时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运
用．
命题法 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的性质及应用
典例
已知函数 f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－6π－2cos2ω2x，x∈R(其中 ω>0)．
在
π 2
＋2kπ，
32π＋2kπ
上是递减函数
(k∈Z)
在 [2kπ－π，2kπ] (k ∈Z)上是递增函数，在 [2kπ，2kπ＋π] (k ∈Z)上是递减函数
在－π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z)上是递增函数
最值
当且仅当 x＝π2＋2kπ
(k∈Z) 当且仅当 x＝2kπ (k∈Z)
时，取得最大值 1；当且仅
8 撬点·基础点重难点
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2．将函数 y＝sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数 y＝sinx－π6的图象，则 φ 等于(

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.5 三角函数的性质(原卷版)

第五讲三角函数的性质一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x 图像定义域R R {x|x≠π2+kπ,k∈Z}值域[-1,1] [-1,1] R单调性在[2kπ-π2,2kπ+π2] (k∈Z)上单调递增;在[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)上单调递减在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减在(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增最值x=2kπ+π2(k∈Z)时,y max=1;x=2kπ-π2(k∈Z)时,y min=-1x=2kπ(k∈Z)时,y max=1;x=2kπ+π(k∈Z)时,y min=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z) 对称中心(kπ+π2,0)(k∈Z)对称中心(π2k,0)(k∈Z)对称轴l:x=kπ+π2(k∈Z) 对称轴l:x=kπ(k∈Z)最小正周期2π2ππ【套路秘籍】---千里之行始于足下二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．（2）在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．考向一 “五点法”作正、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]的图象．【套路总结】用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤第一步：列表.ωx ＋φ 0 π2π 3π22πx －φω π2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy 0 A 0 －A 02.y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]．考向二周期【例2】求下列三角函数的周期：(1)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R ； (3)y ＝|cos x |，x ∈R. (4)y＝cos|x |.【举一反三】1.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________. 2．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．3．函数2()sin 22cos 1f x x x =-+的最小正周期为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π考向三单调性【例3】（1）函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________． (2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为_______________ （3）函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是____________．（4）已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是______求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B,T πω=【举一反三】1.函数f (x )＝cos x －sin x (x ∈[－π，0])的单调增区间为________．2．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则实数a 的取值范围是________．3.若函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．考向四奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin 2x ； (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝sin |x |； (4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A ＞0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间．A【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝2sin(2x ＋52π)； (2)f (x )＝2sin x －1；【套路总结】一．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．考向五对称性【例5-1】已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称【例5-2】已知函数y =sin(2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π3对称，则φ的值是________．【举一反三】1．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的对称中心是_______．2．函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则该函数的图象（）【套路总结】对于三角函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.1 三角函数定义及运用(解析版)

第一讲三角函数的定义及运用一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④弧长公式：l ＝|α|r . 二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号 sin α ＋＋－－ cos α ＋－－＋ tan α＋－＋－3.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【套路秘籍】---千里之行始于足下三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线考向一角度值、弧度制、终边相同角【例1】（1）sin 53π的值为（）A ．−12B ．−√32C ．12D ．√32（2）2100°的弧度数是（） A ．35π3B ．10πC ．28π3D ．25π3（3）角α=−60°+k ⋅180°(k ∈Z)的终边落在（）A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限【答案】（1）B （2）A （3）D【解析】（1）由题意可得：sin (53π)=sin (2π−π3)=−sin π3=−√32.故选：B .（2）由题意得2100∘=2100×π180=35π3，故选A.（3）令k =0，α=−60°，在第四象限；再令k =1，α=120°，在第二象限答案选D【举一反三】1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．【答案】三【解析】由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．【套路总结】1.弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．2.终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =−√3x 上，则角α的取值集合是（）A ．{α|α=2kπ−π3,k ∈Z} B ．{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z}C ．{α|α=kπ−2π3,k ∈Z} D ．{α|α=kπ−π3,k ∈Z}【答案】D【解析】因为直线y =−√3x 的倾斜角是2π3 ，所以终边落在直线y =−√3x 上的角的取值集合为{α|α=kπ−π3,k ∈Z}或者{α|α=kπ+2π3,k ∈Z}.故选D.3．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A ，B ，C 的关系是（） A ．B =A ∩C B ．B ∪C =C C ．A ⊆B ∩C D ．A =B =C【答案】B【解析】∵A ={第一象限角}={α|k ⋅360∘<α<k ⋅360∘+90∘,k ∈Z}；B ={锐角}={α|0∘<α<90∘}；C ={小于90°的角}={α|α<90∘}．∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊂C ，且B ⊂A ，则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的子集，三集合不一定相等，由集合间的关系可得B ∪C =C ．故选B ．考向二三角函数的定义【例2】（1）若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （） A ．25B ．35C ．35D ．255（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________.（3）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且OP ＝2，则点P 的坐标为________．（4）如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠=点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A ．33410- B ．43310+ C ．34310- D ．34310+ 【答案】（1）B （2）－32 （3） (－1，3) （4）A【解析】（1）因为点P （1，－2）是角a 的终边上一点，所以2222551(2)sina -==-+-.所以2225321212()55cos a sin a =-=-⨯-=-.故选B. （2）由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.（3）由题意可知，点P 在角2π3的终边上，所以x P ＝2×cos 2π3＝－1， y P ＝2×sin2π3＝3，则点P 的坐标为(－1，3)．（4）由题意得：43cos ,sin 3535ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13cos sin 2323ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1433334252510-⎛⎫=⨯-+⨯=⎪⎝⎭故选A【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy 中，1322P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，是角α终边上的一点，则sin2α=（）【套路总结】三角函数定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．A ．12B ．32C ．12-D ．32-【答案】B【解析】因为1322P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，是角α终边上的一点，所以由三角函数定义得31sin ,cos 22y x r r αα====，所以3sin 22sin cos 2ααα==故选：B ． 2.已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．【答案】 10【解析】根据三角函数的定义，得tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10.3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．【答案】 12【解析】由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12，又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 【答案】 2【解析】由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1. 又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32【解析】点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12， y ＝sin2π3＝32.考向三三角函数正负判断【例3】（1）如果sinα<0且tanα<0，则角α的终边可能位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．【答案】（1）D （2）二【解析】（1）由sin α<0，则角α为位于第三、四象限，又由tan α<0，则角α为位于第二、四象限，所以角α为位于第四象限，故选D ．（2）由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．【举一反三】1.若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在第________象限．【答案】三【解析】 ∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．2．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2＝________.【答案】 0【解析】由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cosα2＝－1＋1＝0.综上可知，y ＝0. 【套路总结】三角函数在每个象限正负的判断1. 方法一：一全正，二正弦，三正切，四余弦2. 方法二：正弦看y 轴，余弦看x 轴，正切一三正二四负。

2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形》

2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点sin5π6，tan α＝________.答案：－33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题中，真命题是()A ．第一象限角是锐角B ．直角不是任何象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在()A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M |x ＝k 2·180°＋45°，k N |x ＝k 4·180°＋45°，k 那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N |x ＝k4·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x |α＝k π＋π3，k ∈.答案|α＝k π＋π3，k 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足|sinα2|＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为|sin α2|＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为()A ．40πcm 2B ．80πcm 2C ．40cm 2D ．80cm 2解析：选B∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12cm ，则弧长l 等于()A.433πcm B.833πcm C.43cm D ．83cm解析：选B设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝43cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：＋l ＝8，＝4.＝2，4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴－52，－sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sinθ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0θ＞0，θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝()A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为()A.45B ．－45C.35D ．－35解析：选D因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D因为点P α＜0，α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则()A ．sin α＜0B ．cos α＞0C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为()A ．π3B ．π2C ．3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22－12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以－12，θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于()A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2018°，cos 2018°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的终边在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即点A位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．a－9≤0，＋2＞0，∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13.综上可得sinβ＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a，a)，a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．解析：由已知得r＝a2＋a2＝2|a|，sinθ＝ar＝a2|a|＝＞0，a＜0.所以sinθ的值是22或－22.答案：22或－2210．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)＋l ＝8，＝3，＝3，2＝1，6，∴α＝l r ＝23或α＝l r ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r＝14×＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.(1)求x的值；(2)求sinα＋1tanα的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝36 x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝－210＝－55，所以sinα＋1tanα＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝210＝55，所以sinα＋1tanα＝－66＋ 5.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知＝35，αsin(π＋α)＝______.答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.答案：－12132．________，________.答案：(1)22(2)3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为()A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选Asin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ()A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝－12.3．已知＝33，则________.解析：－π6＋＝tan π＝－＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)αf解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴＝114π＝1tan π6＝ 3.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α＝sin(π＋α)·－sin α＝sin αsin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为()A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcosθ＝29.又因为θsin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23.答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tanπ4＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于()A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝yx＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为()A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2ββ－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)α＜sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知＝32，且|α|＜π2，则tan α＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3解析：选C 因为sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝＝－3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝()A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22＝|sin 2－cos 2|.又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0.∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α()A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α所以α为第三象限的角，cos α＝－45.2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2018)＝5，则f (2019)的值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B∵f (2018)＝5，∴a sin(2018π＋α)＋b cos(2018π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2019)＝a sin(2019π＋α)＋b cos(2019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos (1009π－2α)的值为()A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B由题意可得tan α＝2，所以cos (1009π－2α)＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是()A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sinθ21.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则(π＋α)()A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为()A ．1＋5B ．1－5C ．1±5D ．－1－5解析：选B由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知a (|a |≤1)，则sin ________．解析：由题意知，cos π＝－a .sin π2＋a ，所以0.答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52.答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)(θ－π)－解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝21＝18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得＝sin 2π2018＋sin 21008π2018＝sin 2π2018＋sin＝sin 2π2018＋cos 2π2018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x;②y ＝sin 2x;③y ＝tan 2x;④y ＝|sin x |四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－2的定义域为________________．|x ≠k π＋π3，k1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是()A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin x 在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈0，π2，得2x －π4∈－π4，3π4，所以x ∈－22，1，故函数f (x )＝sin x 在区间0，π4上的最小值为－22.答案：－2 2考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透] 1．函数y＝log21sin x－1的定义域为________．解析：21sin x－1≥0，x＞0，所以有0＜sin x≤12，解得2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈Z，|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈.|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为______________．解析：2x＞0，－x2≥0，π＜x＜kπ＋π2，k∈Z，3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3答案：－3[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y＝≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：选A∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴∈－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－x ＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－913．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a x a ＋b (a ＜0)的定义域为0，π2，值域为[－5,1]，则a＋b ＝________.解析：因为x ∈0，π2，所以2x ＋π6∈π6，7π6，所以x ∈－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x|解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x |的最大值为54，最小值为1－22.考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin －π3x()A ．6B ．－6C ．2π3D ．23解析：选A函数的最小正周期为T ＝2π|－π3|＝6.2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若2，0，且f (x )的最小正周期大于2π，则()A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A∵2，0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ，∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝＋由×5π8＋2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin x ()A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12.4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ＋φ＞0，|φ|π，且是偶函数，则()A ．f (x )B ．f (x )C ．f (x )D ．f (x )解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sinx ＝2cos 2x ，所以函数f (x )[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是()A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin 又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |－π2，_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |－π2，减区间为－π2，0和π.－π2，0和π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，周期为π的奇函数为()A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D都不正确，选A.2．函数y ＝sin x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 解析：选C∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ∈0________．解析：化简可得y ＝23sin 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈0，π2，∴函数的单调递增区间是0，π3.答案：0，π35．函数f (x )＝sin x 在0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈0，π2，∴2x ＋π3∈π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈－32，1.答案：－32，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝sinωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝x ()A ．是奇函数BD ．最小正周期为π解析：选C函数y ＝tanx A 错；函数y ＝tan x 增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ()A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则()A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈－5π2，π2，∵[－2π，0]⊆－5π2，π2，故A 正确．5．已知ω＞0，函数f (x )＝sinω的取值范围是()A ．12，54B ．12，34C ，12D ．(0,2]解析：选A由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，＋π4，πω⊆π2，3π2，＋π4≥π2，＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.6．若函数f (x )＝2tanT 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝x ∈－π3，a ，若f (x )的值域是－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈－π3，a ，∴x ＋π6∈－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈－π6，π2时，f (x )的值域为－12，1，∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：π3，π8．若函数f (x )＝ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12k ∈Z )，而x 0∈0，π2，所以x 0＝5π12.答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＜φπ.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )×π6＋＝32，即＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝x 令2k π－π2≤2x ＋π32k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2sinx (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤x ≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间0，π2上取到最大值1，则实数a 等于()A ．1B ．52C ．32D ．2解析：选Cy x －12a ＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y －12a ＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32；②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＞0，|φ|①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；④在区间－π6，以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝x 当x ＝π3时，x sin π＝0，所以f (x )f (x )在－5π12，π12上是增函数，则f (x )在－π6，⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.5 三角函数的性质(解析版)

第五讲三角函数的性质一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．（2）在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．考向一 “五点法”作正、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】 (1)列表：描点连线，如图(2)列表：描点连线，如图【举一反三】1．用“五点法”作出函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的图象．【答案】见解析【解析】列表如下：2.y＝|sin x|，x∈[0,4π]．【答案】见解析【解析】作y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的图象，并将x 轴下方的部分翻转到x 轴上方(原x 轴上方的部分不变)，得y ＝|sin x |的图象(如图②所示)．考向二周期【例2】求下列三角函数的周期：(1)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R ； (3)y ＝|cos x |，x ∈R. (4)y ＝cos|x |.【答案】（1）π （2）6π （3）π (4)2π【解析】(1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（x ＋6π）－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.(3)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π.(4)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图象一样，因此最小正周期相同，为2π【举一反三】1.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________. 【答案】π2【解析】 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，由周期计算公式，可得T ＝2πω＝4，解得ω＝π2.2．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．【答案】 12【解析】由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12. 3．函数2()sin 22cos 1f x x x =-+的最小正周期为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】A【解析】由()2sin22cos 1f x x x =-+，可得：2()sin 2(2cos 1)sin 2cos 2)4f x x x x x x π=--=-=-，222T πππω===，所以本题选A 。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.3 诱导公式(解析版)

第三讲诱导公式解析版三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z) －α π－α π＋απ2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α sin α －sin αcos αcos α余弦 cos α cos α －cos α －cos α sin α －sin α正切 tan α －tan α －tan α tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”考向一诱导公式化简【例1-1】求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan (－945°)．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)法一 sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos (π＋π6)＝－cos π6＝－32.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.【例1-2】化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．【答案】－sin 2α【解析】原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.1．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ .【答案】－35【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35.【套路总结】(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用2.化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .【答案】－1【解析】原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.3.计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°.【答案】（1）1 （2）-2 （3）－34【解析】 (1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1.(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3＋1＝－2.(3)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos 60°)sin 30°＋tan 135°＝－(－cos 60°)sin 30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.考向二诱导公式与定义同角综合【例2】（1）已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝ .(3)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝ .【答案】（1）612 （2）32（3） 3 【解析】（1）∵－π2<α<0，∴sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－256，∴tan α＝－2 6.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612.（2）由已知得tan θ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32. （3）∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3. 考向三凑角【例3】（1）已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π的值为( )A.13 B ．－13 C ．－23 2 D.23 2（2）已知π1sin 32α⎛⎫-=⎪⎝⎭，求πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（3）已知cos(α－75°)＝13-，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【答案】（1）B （2） 12 （3）223【解析】（1）因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝－13。

2020届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.8 三角函数与其他知识综合运用(解析版)

第八讲三角函数与其他知识的综合运用考向一解三角形与三角函数综合【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角。

(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围。

【答案】见解析【解析】(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 。

因为B 为钝角，所以A 为锐角，所以π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2。

(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4。

于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98。

因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98。

由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98。

【举一反三】1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________。

【答案】9【解析】因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin120°＝12a sin60°＋12c sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9。

2020版高考数学一轮(新课改省份专用)复习(讲义)第四章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质突破点一三角函数的定义域和值域[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的最大值为1.( )(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为x ≠－π4.( )(3)函数y ＝cos x 的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)2．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为________．解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<2.∴函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为(－1,2)．答案：(－1,2) 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)[全析考法]考法一三角函数的定义域[例1] (2019·德州月考)x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π[解析] 法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2.故选C.法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案] C [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．考法二三角函数的值域(最值)[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52， ∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1][方法技巧] 三角函数值域或最值的3种求法[集训冲关]1.[考法一]函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)．答案：(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)2.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x ＋55sin x＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)，故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 答案： 53.[考法二]求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2， 2 ]，∵对称轴t ＝－13∈[－2， 2 ]，∴y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y max ＝f (2)＝32＋ 2.突破点二三角函数的性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 答案：2 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)3．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 答案：3π2[全析考法]考法一三角函数的单调性考向一求三角函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝|tan x |；(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.(2)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12 ]，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[方法技巧] 求三角函数单调区间的2种方法数自身的定义域．考向二已知单调性求参数值或范围[例2] (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(2)(2019·绵阳诊断)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.(2)f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4.[答案] (1)B (2)(－∞，－4] [方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法[例3] (2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π[解析] 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.[答案] C[方法技巧] 三角函数周期的求解方法[例4] (1)(2018·枣庄一模)函数y ＝1－2sin 2( x －3π4 )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3[解析] (1)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x＝－sin 2x ，故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A. (2)因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] (1)A (2)C [方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．考法四三角函数的对称性(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.[例5] (1)(2019·南昌十校联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A ．(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0(2)(2019·合肥联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝11π12C ．x ＝－2π3D ．x ＝7π12[解析] (1)令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，0，k ∈Z. 当k ＝－1时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.故选B.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝1112π. [答案] (1)B (2)B[方法技巧] 三角函数对称性问题的2种求解方法1.[考法一·考向一]已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)解析：选D 依题意，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x－π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D.2.[考法一·考向二]若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A ．a ＝1，θ＝π3B ．a ＝－1，θ＝π3C ．a ＝1，θ＝π6D ．a ＝－1，θ＝π6解析：选B ∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2,2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z)．又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去．当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在[ －512π，π12]上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π3(k ∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B.3.[考法一、二、三]下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 解析：选C y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.4.[考法四]已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.6 三角函数性质的运用(解析版)

第六讲三角函数性质的应用一．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念二.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：三.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径考向一求解析式【例1】（1）函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .（2）已知函数y =Asin(ωx +φ)+B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则（）A ．A =4B ．ω=1C ．φ=π6D ．B =4【答案】（1）π3) （2）C 【解析】（1）由图可知4T =7π12-π3=π4,所以T=π,故ω=2, 因此ϕ).又函数图象过点(π3,0)因此2×π3+ϕ=π+2k π,k ∈Z,又根据|ϕ|<π,所以ϕ=π3,故π3). （2）如图根据函数的最大值和最小值得{A +B =4A −B =0求得A =2,B =2函数的周期为(5π12−π6)×4=π，即π=2πω,ω=2当x =π6时取最大值，即sin (2×π6+φ)=1,2×π6+φ=2kπ+π2∵|φ|<π2∴φ=π6故选：C ．【举一反三】1.函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )A．y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π6B．y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3C．y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6D．y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3【答案】A【解析】由图可知，A＝2，最小正周期T＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)。

又因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，即2π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，当k＝0时，得φ＝－π6，所以y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π6。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.8 三角函数与其他知识综合运用(原卷版)

第八讲三角函数与其他知识的综合运用考向一解三角形与三角函数综合【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角。

(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围。

【举一反三】1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________。

2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________。

3.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac 。

(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值。

考向二三角函数与平面向量【例2】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(8−c )cosB =bcosC ，c =3，a =4，平面内有一点D 满足AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则线段BD =________.【举一反三】1.已知△ABC 中，AC =6，BC =3，边AB 上一点D 满足CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )，λ>0. (I)证明：CD 为△ABC 的内角平分线； (Ⅱ)若CD =3，求cosC .考向三三角函数与圆锥曲线【例3】在直角坐标平面内，已知A(−2,0)，B(2,0)以及动点C是ΔABC的三个顶点，且sinAsinB−2cosC=0，则动点C的轨迹曲线Γ的离心率是（）A．√22B．√32C．√2D．√3【举一反三】1．已知椭圆x 2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得△MF1F2中，sin∠MF1F2a =sin∠MF2F1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A．(0，√2－1) B．(√22,1)C．(0,√22)D．(√2－1,1)2．已知圆C：x2+(y−1)2=R2与函数y=2sinx的图像有唯一交点，且交点的横坐标为α，则4cos 2α2−α−2sin2α=（）A．−2B．−3C．2D．3考向四三角函数与不等式【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+2sin2B=3sin2C，a=3sinA. （1）求△ABC外接圆的面积；（2）求边c的最大值.考向五三角函数与函数【例5】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为（）A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π【举一反三】1.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫-⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．52．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π2）的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f′(x)，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是（）A．函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ+5π12(k∈Z)B．函数g(x)的最大值为2C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y=−3x+1平行D．若函数ℎ(x)=g(x)+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1−x2|最小值为π2考向六古书中三角函数【例6】我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可表示成（）A．πncos180°n B．πncos360°nC．πnsin360°nD．πncos90°n【举一反三】1．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b c a c a S ，若222sin 2sin ,()6a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（）A．3B ．C ．12D ．11．ΔABC 中，A (−5,0)，B (5,0)，点C 在双曲线x 216−y 29=1上，则sinA−sinB sinC=（）A ．35B ．±35C ．45D ．±452．在数学解题中，常会碰到形如“1x yxy+-”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设b a ,是非零实数，且满足sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-，则=a b （）A ．4B C ．2D ．33．记函数()x f x e x a =--,若曲线2cos 2cos 1y x x =-++上存在点()00,x y 使得()00f y y =,则a 的取值范围是（） A ．()2,e 4-∞-B ．222ln 2,e 4⎡⎤--⎣⎦C ．222ln 2,e4-⎡⎤-+⎣⎦D ．()2,e4--∞+4．将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图象向左平移m (0)m 个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则m 的最小值为（）A ．2324πB ．1211πC ．12πD ．24π 5．若存在唯一的实数(0,)2t π∈，使得曲线cos (0)3y x πωω⎛⎫=->⎪⎝⎭关于点)0,(t 对称，则ω的取值范围是（） A ．511[,]33B ．511(,]33C ．410(,]33D ．410[,]336．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（gu ǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高ℎ与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l =ℎtanθ．已知天顶距θ=1°时，晷影长l ≈0.14．现测得午中晷影长度l ≈0.42，则天顶距θ为（）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan2°≈0.0349，tan3°≈0.0524，tan22.8°≈0.4204） A ．2°B ．3°C ．11°D ．22.8°7.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆BC 和DE ，之间距离为BD =1000步，两标杆的底端与海岛的底端H 在同一直线上，从第一个标杆B 处后退123步，人眼贴地面，从地上F 处仰望岛峰，A 、C 、F 三点共线；从后面的一个标杆D 处后退127步，从地上G 处仰望岛峰，A 、E 、G 三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A．1255步B．1250步C．1230步D．1200步8．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π2）的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f′(x)，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是（）A．函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ+5π12(k∈Z)B．函数g(x)的最大值为2C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y=−3x+1平行D．若函数ℎ(x)=g(x)+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1−x2|最小值为π29．若函数f(x)=12(cosx+sinx)(cosx−sinx−4a)+(4a−3)x在[0，π2]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．a≥32B．32<a<3C．a≥1D．1<a<310．已知函数y =f(x)为R 上的偶函数，当x ∈[0,1)时f ′(x)<0当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)>0且f(x)≥−m 2+2m 对m ∈R 恒成立，函数g(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的一个周期内的图像与函数f(|x|)的图像恰好有两个公共点，则g(x)= （）A ．−cosπxB ．−sinπxC ．−cosπx2D ．−sin πx 211．已知函数f(x)=sinx +√3cosx ，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π2]时，方程g(x)−k =0恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（） A ．[1,√3]B ．[1,2)C ．(−2,0)∪(0,2)D ．[√3,2)12．已知函数f （x ）＝2x －1，g (x )={acosx +2,x ≥0x 2+2a,x <0（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．(−∞,12)B ．(23,+∞)C ．(−∞,12)∪[1,2]D ．[1,32]∪[74,2]13．已知函数f(x)=asinx −2√3cosx 的一条对称轴为x =−π6，f(x 1)+f(x 2)=0，且函数f(x)在(x 1, x 2)上具有单调性，则|x 1+x 2|的最小值为 A ．2π3B ．π3C ．π6D ．4π314．若复数z =cosθ+isinθ,当θ=43π时,则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知角a 的终边经过点A(a,1)，若点A 在抛物线y 2=4√3x 的准线上，则cosα=（） A ．√32B ．−√32C ．12D ．−1216．函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. 若π6ϕ=时，点P 的坐标为⎛ ⎝⎭，则ω=______.17．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，对任意x∈R，f(x+2)=−f(x)，将函数f(x)的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数y=f(x)在[0,1]上的值域为___．18．函数f(x+12)=x3+2019x−2019−x+1，若f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ−t)<2对∀θ∈R恒成立，则实数t的取值范围是_____．19．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的图象向左平移2个单位后关于y轴对称，且f(1)=1，则f(4)+ f(5)=_____．20．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以√2为半径作圆弧，交边AD,BC于点M,N，从正方形ABCD中任取一点，则该点落在扇形OMN中的概率为_____．21．已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=12,c=2,且AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑ =32，求a的值．22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1tan A ，2tan C ，1tan B成等差数列，则cos C 的最小值为．23.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________。

2020届高三第一轮复习讲义【16】-三角函数1

2020届高三第一轮复习讲义【16】-三角函数（一）一、知识梳理：2.三角函数的图像二、基础检测：1.函数lgsin y x =的值域为___________.2.函数y =______________________________. 3.当22x ππ-≤≤时，()sin f x x x =+的值域为____________.4.已知()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(3)5f -=，则(3)f π+=_________ .5.在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛45,2,4ππππY B.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ D.⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4ππππY 6.设y =xxsin 1cos 2+，则下列结论中正确的是（）A.y 有最大值也有最小值B.y 有最大值但无最小值C.y 有最小值但无最大值D.y 既无最大值又无最小值三、例题精讲：【例1】函数()f x =的定义域为．【解析】(2,2)(2,2)()43k k k k k Z ππππππ-+∈U 【例2】已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈(1)求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合．【解析】(1) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 ∴ T=2π2 =π（2）当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2kπ+π2即x=kπ+ 5π12 (k∴Z) ∴所求x 的集合为{x∴R|x= kπ+ 5π12, k∴Z}【例3】已知函数()(cos2cos sin 2sin )sin ,f x x x x x x =+x R ∈，则()f x 是（）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 π【例4】求sin 234xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调区间．【解析】在(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为减函数；在()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上为增函数．【例5】函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图像如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像（）.A 向右平移6π个单位长度 .B 向右平移12π个单位长度 .C 向左平移6π个单位长度 .D 向左平移12π个单位长度【解析】.D【例6】将函数()()cos 0f x x ωω=>的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．【解析】6【例7】若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则（）.A 422≤+b a ；.B 422≥+b a ；.C 41122≤+b a ；.D 41122≥+ba ．【解析】B 【例8】若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->．则下列结论正确的是( ) .A αβ>； .B 0αβ+>； .C αβ<； .D 22αβ>．【解析】.D【例9】已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，……，则131M M 等于（）.A π6；.B π7；.C π12；.D π13．【解析】A【例10】如图，在半径为cm 20的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点B A 、在直径上，点D C 、在圆周上．(1) 请你在下列两个小题中选择一题做答即可：①设θ=∠BOC ，矩形ABCD 的面积为()θg S =，求()θg 的表达式，并写出θ的取值范围． ②设()cm x BC =，矩形ABCD 的面积为()x f S =，求()x f 的表达式，并写出x 的范围． (2) 怎样截取才能使截得的矩形面积最大？并且最大面积．【解析】解：①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅== 即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②连接OC ，则2400OB x =-(020)x << 所以2()2400S f x AB BC x x ==⋅=-(020)x << 即2()2400f x x x =-(020)x <<．（2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．此时20sin102cm 4BC π==，当BC 取102cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ． ②22222()24002(400)(400)400f x x x x x x x =-=-≤+-=，当且仅当22400x x =-，即102x =时，S 取最大值2400cm ．当BC 取102cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．【例11】设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）【解析】解：如图，7AB = 米，由球场宽65米，可知29AC =米，36BC =米，设足球运动员在边线上的点M 处射球门，,AMB AMC αβ∠=∠=，显然α越大，越有利于射门，设点M 与底线AC 的距离为x 米，则2936,()tan tan x xβαβ=+=23629()77()362936291()362912291tan tan x x x tan tan tan tan x x x x xαββααββαββ-+-=+-====≤⨯+++⨯+⋅+ 当且仅当3629x x⨯=，即62932.31x =≈时，tan α取最大值，因为当02πα<<时, tan α为增函数，所以当32.31x ≈9（米）时，α取最大值，此时对球门的张角最大，有利于提高射门的命中率．【例12】已知以4为周期的函数()(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,12x xx x m x f π，其中0>m ，若方程 ()3xx f =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( ) .A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38,315；.B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7,315； (C ) ⎪⎭⎫⎝⎛38,34； (D ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛7,34．【解析】.C四、难题突破例1、求函数()tan cot 2sin 2,0,2f x x x a x x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的最小值．解：()sin cos 22sin 22sin 2cos sin sin 2x x f x a x a x x x x =++=+，令(]0,1t ∈则22,y at t=+(]0,1t ∈， 0a ∴≤①时22y at t=+在(]0,1上单调递减，min 22.y a =+ 0a >②时22y at t =+在10,a ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增， 01a ∴<≤时22y at t=+在(]0,1上单调递减min 22.y a =+A B五、课堂练习：1.在直角三角形中，两锐角为A ，B ，则B A sin sin ⋅的取值范围为________.2.函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤+=343,cos 2sin 2ππx x x y 的值域为__________.3.y _____________.4.函数tan cot y x x =-的最小正周期是_______.5.若方程2cos 4sin 0(R)x x a a +-=∈在实数范围内有解, 则a 的取值范围是_________.6.设函数()sin |sin |f x x x =+, 画出()f x 的图像，并写出函数的性质（不需证明）7.当04x π<<时, 求函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值.8.求函数2cos 2,[0,)1sin 2x y x x π-=∈-的最值.9.设函数52sin cos 2(),[0,]sin cos 2f θθπθθθθ+=∈+，求函数()f θ的最小值．10.函数|sin |sin ||y x x =+的值域是（） A.[2,2]-B.[1,1]-C.[0,2]D.[0,1]11.设奇函数()f x 是定义在R 上的减函数, 若2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->当02πθ≤<时恒成立, 求实数m的范围.六、回顾总结：1.【注意】函数图像的对称性：正弦函数：对称中心(,0)()k k Z π∈对称轴x =()2k k Z ππ+∈ 余弦函数：对称中心02k k Z ππ+∈（，）对称轴x =()k k Z π∈正切函数：对称中心02k k Z π∈（，）2.【特别提醒】在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ 3.【注意】绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.4.特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图像与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处. 七、课后练习：1．函数()f x =+的定义域为．2．函数()sin f x x =的奇偶性为．32cos 0x <，则x 的范围是． 4．函数1()2sin()32f x x π=-+的最小正周期是． 5．函数()2sin(2),(,0]6f x x x ππ=+∈-的单调减区间是．6．函数22()cos 2cos 2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是．7．求函数2sin(3)3y x π=-+的最大值和最小值，并求使其取得最大值、最小值的x 的集合．8．已知2cos (02)y x x π=≤≤的图像和2y =的图像围成一个封闭图形，该图形面积是．9．若*()sin ,()6n f n n N π=∈，则(1)(2)(102)f f f +++L ＝．11．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为． 12．已知()sin tan 5,(0)(9)27f x a x b x ab f =++≠=且，则(9)f -= ．13．给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是π；②图像关于点(,0)6π对称的是（）.A cos(2)6y x π=- .sin(2)6B y x π=+.sin()26x C y π=+ .tan()3D y x π=+ 14．函数sin 2sin y x x =-的值域为（）[].3,1A -- [].1,3B - [].0,3C [].3,0D -15．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线8x π=-对称，则a = ．【思考题】1．为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[]0,1上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（）.A π98 .B π2197.C π2199 .D π100 2．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ωϕ和的值．3. 设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，当x ∈[0,π]时，0<f (x )<1，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数()sin y f x x =-在[]10,10ππ-上的零点个数为_______．。