微积分基本定理学案2新选修22

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人教A版选修2-2 1.6 微积分基本定理学案 (2)

学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．1．微积分基本定理(1)条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；(2)结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；(3)符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．2．常见的原函数与被积函数关系(1)ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．(2)ʃb a x n d x ＝⎪⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． (3)ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .(4)ʃb a cos x d x ＝sin x |b a .(5)ʃba 1x d x ＝ln x |b a (b >a >0)．(6)ʃb a e xd x ＝e x |b a .(7)ʃb a a xd x ＝ ⎪⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)． (8)ʃba x d x ＝⎪⎪⎪23x 32b a (b >a >0)．知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃba f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.类型一定积分的求法例1 (1)定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 (2)ʃ20|1－x 2|d x ＝________.(3)ʃ21[2x 2＋x ＋1x－cos x ]d x ＝________. 答案 (1)C (2)2 (3)4＋ln 2－sin 2＋sin 1解析 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e.故选C.(2)|1－x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，0≤x ≤1，x 2－1，1<x ≤2. ʃ20|1－x 2|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 310＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21＝23＋73－1＝2. (3)ʃ21[2x 2＋x ＋1x－cos x ]d x ＝ʃ21(2x ＋1＋1x－cos x )d x ＝(x 2＋x ＋ln x －sin x )|21＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.反思与感悟 1.掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解．跟踪训练1 (1)计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. 答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x 1－1 ＝(13－cos 1)－(－13－cos 1)＝23. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x . 解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x＝(x ＋x 2)|10＋⎪⎪⎪13x 321 ＝2＋73＝133. 类型二利用定积分求参数例2 (1)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 (1)[23，2] (2)33解析 (1)ʃ21(kx ＋1)d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4得23≤k ≤2. (2)ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 反思与感悟 1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练2 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．答案 [0,2)解析 f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])．∴f (x )的值域为[0,2)．(2)已知ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．解 ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝ʃ10[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 3＋12(3ab ＋1)x 2＋bx 10 ＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，所以(－3ab ＋12)2≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1. 所以ab 的取值范围是(－∞，19]∪[1，＋∞).。

高中数学 1.6《微积分基本定理》学案新人教A版选修2-2

河北省高碑店市第三中学2015高中数学 1.6《微积分基本定理》学案新人教A 版选修2-2学习目标1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：函数x x y cos 3=的导数为复习2：若函数)62sin()(π+=x x f ，则2()9f π'=二、新课导学学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bba a f x dx F x Fb F a ==-⎰ 试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()b a f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x .典型例题例1 计算下列定积分：（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x -⎰变式：计算⎰20cos πxdx小结：计算定积分()b a f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x .例2. 计算下列定积分：0sin xdx π⎰，2sin xdx ππ⎰，20sin xdx π⎰.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cos dx ππ-⎰；0cos dx π⎰；322cos dxππ-⎰小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.课堂练习练1. 计算：211()x dx x -⎰练2.计算0sin xdx π-⎰课堂小结1.理解掌握牛顿---莱布尼兹公式()()()ba f x dx Fb F a =-⎰2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键课后作业 1. 设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号（）A ．正 B.当0a b <<时为正，当0a b <<时为负C ．负D ．以上结论都不对2. 函数0cos xy xdx =⎰的一阶导数是（）A ． cos xB ．sin x -C ．cos 1x -D ．sin x3. 与定积分32|sin|x dxπ⎰相等的是（）A．32|sin|xdxπ⎰B．32sin xdxπ⎰C．32sin sinxdx xdxπππ-⎰⎰D.3222sin sinxdx xdxπππ+⎰⎰4．计算定积分：（1）22(42)(4)x x dx--⎰；（2）22123x xdxx--⎰.。

(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一求简单函数的定积分例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2，所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二求分段函数的定积分例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析因为函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时，原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

高中数学选修2-2 北师大版 §2微积分基本定理(第2课时)学案

主备人：胥泽华姓名______________ 班级______________ 时间：2016.4.12§2微积分基本定理（第2课时）【学习目标】1.掌握定积分的的几何意义和物理意义及定积分的性质，会用几何意义求简单函数的定积分；2.掌握微积分的基本定理，能够利用微积分基本定理求简单的定积分.【重点难点】重点：利用几何意义和微积分基本定理求简单的定积分难点：求分段函数的定积分【导学流程】一、知识链接1.微积分基本定理：()()()()a F b F ab x F dx x f b a -==⎰.其中f(x)是连续函数，且f(x)是F(x)的导函数，F(x)是f(x)的原函数.2.奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称.二、自主学习1.若y=f(x)与x=a ，x=b 和x 轴围成的曲边梯形面积为S ，当f(x)>0时，()⎰b a dx x f =_______；当f(x)<0时，()⎰ba dx x f =_______； 2.函数y=f(x)连续，若f(x)是奇函数，则()⎰-a adx x f =___________；若f(x)是偶函数，则()⎰-a a dx x f =___________. 3.给出下列命题：①若()⎰b a dx x f >0，则f(x)>0；②()()12121F F dx x -=⎰，则F(x)=lnx ； ③⎰=π204sin dx x ；④f(x)的原函数是F(x)，且F(x)是以T 为周期的周期函数，则()()⎰⎰+=Ta T a dx x f dx x f 0.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.44.课本第81页B 组2.三、课堂探究1.求简单函数的定积分（1）计算下列定积分①()⎰+1032dx x ；②()⎰-+0cos πdx e x x ；③⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-31212dx x x . （2）求下列定积分： ①⎰2022sin πdx x ；②()()⎰--32232dx x x .2.求分段函数定积分（1）已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-<<≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ先画出这个函数的图像，再求f(x)在[0，4]上定积分.（2）求{}dx x x ⎰-222,max ，其中{}⎩⎨⎧<≥=.,,,,max b a b b a a b a 3.含参数函数的定积分（1）已知函数f(x)=()⎰++x dt bt at 021为奇函数，且f(1)-f(-1)=31，求a ，b 的值. （2）已知f(a)=()⎰-10222dx x a ax ，求f(a)的最大值. 【课堂小结】目标达成_______________________________________________________；收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形的面积为（） A.81 B.1 C.61 D.21 2.设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0).若()()010x f dx x f =⎰，0≤x 0≤1，则x 0的值为_____________.3.求下列定积分（1）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+3221dx x x ；（2）⎰462cos ππxdx ；（3）若f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤≤32,221,10,3x x x x x x ，求()⎰30dx x f .4.已知f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，且f(-1)=2，()00='f ，()210-=⎰dx x f ，求a ，b ，c 的值.。

2019-2020年高中数学《微积分基本定理》教案2新人教A版选修2-2

2019-2020年高中数学《微积分基本定理》教案2新人教A 版选修2-2教学目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：了解微积分基本定理的含义一. 问题再现：1、复习：导数的定义及运算法则；定积分的概念及用定义计算2、利用定积分的定义计算二. 自学导引：1、自学教材 51—53页,回答下面的问题：微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么_______________,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______________，为了方便起见，还常用表示________，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰注意：1、在定理中：若，那么_________，所以求定积分的关键是找到满足的任意一个函数即可；2、无论是或，此公式都成立。

3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。

证明：因为=与都是的原函数，故-=C （），其中C 为某一常数。

令得-=C ，且==0即有C=，故 =+即=-= 令，有2、看53-54页的例2回答下面的问题：定积分的取值：定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________（1）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （2）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （3）当位于轴_____________等于位于轴____________，定积分的值为__________ ，且等于位于轴_____________减去位于 x 轴__________________．三. 交流展示：比较用定积分定义计算定积分与用微积分基本基本定理求定积分的优越性：四. 典型例题：例1．计算下列定积分：（1）；（2）；例2．计算下列定积分：（1）；（2）点拨提升：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求对前面导数的知识非常熟练.1.7定积分的简单应用学习目标：1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

高中数学《微积分基本定理》学案2 新人教A版选修2-2

微积分基本定理与应用【知识网络】1．直观了解微积分基本定理的含义。

2．会求简单的定积分。

3．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。

【典型例题】[例1]（1）由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于（）A ．1B ．34 C ．32 D ．31 （2）如图，阴影部分的面积是（）A ．32B ．329-C ．332 D ．335 （3）dx x |4|102⎰-=（）A ．321 B ．322C ．323 D ．325（4）dx x⎰ππ222cos = ．（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力221r m m kF =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点m 1沿直线移动至离m 2的距离为b 处，试求所作之功（ｂ＞a ）．[例2] 如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=[例3]如图，抛物线C 1：y = -x 2与抛物线C 2：y =x 2-2ax (a>0)交于O 、A 两点．若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程．例1（2）[例4]已知A （-1，2）为抛物线C ：y =2x 2上的点．直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ．（1）求直线l 1的方程；（2）设∆ABD 的面积为S 1，求BD 及S 1的值；（3）设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2，求证：S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．【课内练习】 1． 5(24)x dx -⎰=（）A ．5B 。

4C 。

3D 。

2 2．211ln xdx x ⎰=（）A ．21ln 22 B 。

C 。

2ln 2D 。

ln2 3．若11(2)3ln2a x dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

人教版高中数学选修2-2学案1.6微积分的基本定理(2)

1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题；3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba )(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ．新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积．2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )．对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( ) A.43 B.54 C.65 D.不存在 2．求下列定积分:（1）求=⎰e dx x 11 ；（2）()=+-⎰dx e x x π023sin 2_____________．（3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ． 3.设()f x 是奇函数，则=⎰-a a dx x f )( . 4.求⎰-aa dx x 2．【合作探究】典例精析：例1. 计算定积分（1）dx ⎰+40|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 2102)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛a b f (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝－⎠⎛a bf (x )d x . (3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 () A.3 B.32- C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线 ()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 A.41 B.31 C.21 D.322.dx x |4|102⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=100)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-3026．。

高中数学 1.4.2微积分基本定理学案新人教B版选修2-2

1.4.2微积分基本定理一学习目标：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分二自主学习：微积分基本定理：（1）如果()()F x f x '=，且)(x f 在],[b a 上____________,则=⎰dx x f ba )(_____________即：)x (F '从a 到b 的积分等于_____________________其中__________叫做)(x f 的原函数。

由于_________________=)(x f ，故______________也是)(x f 的原函数，其中______________为常数。

（2）一般的，原函数在],[b a 上的改变量()()F b F a -简记作__________________ 因此，微积分基本定理可以写成如下形式：=⎰dx x f ba )(___________=___________。

（3）常用公式● 若=')(x F n x ，则)(x F =_________________● 若=')(x F x cos ，则)(x F =_________________● 若=')(x F x sin ，则)(x F =_________________，● 若=')(x F x e ，则)(x F =_________________● 若=')(x F x1（x>0），则)(x F =_________________ ● 若=')(x F x a ，则)(x F =_________________三、例题解析：例1 求x y sin =在],0[π上阴影部分的面积S 。

例2 求曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积S例3 计算：（1）dx x 141⎰ （2）dx x )1(220+⎰四、课堂巩固：1 计算定积分xdx 530⎰ dx x 441⎰dx x x )(240+⎰ xdx cos 0π⎰2 求由下列给出的边界围成的区域面积。

人教A版选修2-2 1.6微积分基本定理学案

1.6 微积分基本定理课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10 x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x 吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )＝y ′(t )．设这个物体在时间段a ，b ]内的位移为s ，你能分别用y (t )，v (t )表示s 吗？答由物体的运动规律是y ＝y (t )知：s ＝y (b )－y (a )，通过求定积分的几何意义，可得s ＝ʃb a v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ，所以ʃb a v (t )d t ＝ʃb a y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．小结 (1)一般地，如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃb a f (x )d x ＝F (b )＋c ]－F (a )＋c ]＝F (b )－F (a ) 例1 计算下列定积分： (1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ－π(cos x －e x )d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x2，所以ʃ31(2x －1x2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x＝x 2|31＋1x|31 ＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73，S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73.所以S 2<S 1<S 3，选B. 探究点二分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．解图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|＋x |＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三定积分的应用例3 计算下列定积分： ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解所求面积为S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D解析 ʃa1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 答案43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|2－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπf (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|＋sin x |＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞i ＝1nb －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B3．ʃ10(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B.5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2 D.π－24答案 D 解析π20⎰sin 2x2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.8．设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________. 答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为ff (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ1f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ1bx d x ＝13a ＋12b ＝176.由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3.10．计算下列定积分： (1)ʃ21(e x＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x .解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x，∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e.(2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ，∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723.(3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ20(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1，∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．解由定积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x ＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322xd x＝x 44|1＋23x 32|21＋2x ln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ，∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|1＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29 ＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72.(2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92)＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72.综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252(－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。

高中数学《微积分基本定理 (2)》导学案新人教A版选修2-2

吉林省长春市实验中学高二数学《微积分基本定理（2）》导学案新人教A 版选修2-2【学习目标】1．会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；2．通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法；3. 熟练牛顿-莱布尼兹公式，轻松解决函数定积分。

【重点难点】重点：微积分基本定理难点：准确求函数的定积分【自主学习】知识链接：微积分基本定理：如果函数()f x 是[,]a b 上的连续函数，并且，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰。

或写成。

【合作释疑】合作探究一：微积分基本定理的应用例1．计算下列定积分：（1）dx x x )4)(24(220--⎰ （2）dx x x )cos (sin 10-⎰（3）dx xx x )1(221+-⎰ （4）dx t )7(10+⎰合作探究二：定积分性质的应用例2．计算下列定积分：（1）dx x x )2332(33-++⎰-（2）（实验班）求函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈=]3,2[2]2,1[]1,0[)(3x x xx x x f x 在区间]3,0[上的积分。

【巩固训练，整理提高】一．例题讲解例3．计算下列定积分：（1）dx x 231⎰ （2）xdx 2cos 40π⎰（3）（实验班）dx e e x x )1(2ln 0+⎰ 迎接挑战：寻找突破难点的快乐例4．（实验班）计算定积分：dx x x 2201+⎰dx xx +⎰120二．通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3．反思（学生自填本节课不懂的地方或错题）三．巩固训练题1.计算xdx 2cos 46ππ⎰=_________2．若）（00)32(20>=-⎰k dx x x k，则k =（）A.0B. 1C. 0或1D. 以上都不对3．抛物线x x y -=2，直线1-=x 及x 轴围成的图形的面积为（）A.32 B. 1 C. 34 D. 35 4．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则=⎰dx x f )(20（）A. 43B. 54C. 65 D.不存在 5．（实验班）已知dx x a ax a f )2()(2210-⎰=，求)(a f 的最大值。

高中数学1.4.2《微积分基本定理》学案(新人教B版选修2-2)

微积分基本定理（第一课时）（教学案）◆一、学习目标定位学习目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分学习重点：1、微积分基本定理的内容2、用微积分基本定理的求简单的定积分学习难点：微积分基本定理的引入◆二、新课导入复习定积分的概念试用定义计算211dx x⎰的值. 解：分析：求解过程遇到麻烦，究其原因“和式难求”。

就需寻求新的解决方法。

◆三、新知探究1. 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系一个作变速直线运动的物体的位移满足函数()y y t =,由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度为 .设这个物体在时间段[],a b 内的位移为s ,试用(),()y t v t s 表示。

问题分解：1）如何用y(t)表示[a,b]内的位移s?2）如何用v(t)表示[a,b]内的位移s?dx x ⎰2111()lim nn i if x n→∞==∙∆∑111limnn i i nn →∞==∙∑11lim nn i i→∞==∑111lim(1)23n n→∞=++++综合可得:2. 微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式一般的，如果函数[](),()(),f x a b F x f x '=是区间上的连续函数，并且那么，()baf x dx =⎰。

这就是微积分基本定理，也叫牛顿——莱布尼兹公式。

也记作：()baf x dx =⎰ = 。

.说明：(!)．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。

我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.(2)。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

思考并回答下列问题：s()()f x F x （1）与函数相对应的唯一吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？（2）计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是什么？（4）利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数例题精析例2、计算下列定积分：（1）211dx x⎰解：解：例2．计算下列定积分：220sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。

人教版高中数学选修2-21.6微积分基本定理学案

1．6微积分基本定理1．经过实例，认识微积分基本定理的含义．2．理解并记着牛顿——莱布尼兹公式，即微积分基本定理．3．会逆用求导公式求原函数F(x)，再求定积分．基础梳理a 1．微积分基本定理：假如函数 f(x)是区间 [a，b]上的连续函数，而且 F ′(x)＝ f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－ F(a)．定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，往常称F(x)是 f(x)的一个原函数．在计算定积a分时，经常用记号b F(x)|a 来表示F(b)－ F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作b f(x)dx ＝F(x)|b a＝ F(b)－F(a)．想想：被积函数f(x)的原函数F( x)独一吗？分析：不独一．由于当 F ′(x)＝ f(x)时，[F(x)＋ C] ′＝ f(x)( C 为常数 )，因此 F(x)＋ C 也是 f( x)a的一个原函数．实质上，b f(x)dx＝ [F(b)＋ C]－ [F(a)＋ C]＝ F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系．设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上， x 轴下方的面积为S 下，则：ab f(x)dx＝S 上．(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图1，则a(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图 2，则b f(x)dx ＝S 下．a(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、 x 轴下方均存在时，如图 3，则b f(x)dx ＝ S上－S 下，a若 S＝ S 下，则b f(x)dx ＝ 0．上2想想：(1＋ cos x)dx ＝ ________．2分析：由于 (x ＋ sin x) ′＝ 1＋cos x ，22因此(1＋ cos x)dx ＝(x ＋sin x)＝ π＋ 2.22答案： π ＋ 2自测自评基础巩固能力提升。

高中数学 1.4.2 微积分基本定理学案新人教B版选修22

1.4.2 微积分基本定理1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点)3．能用定积分解决有关的问题．[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P40～P41，完成下列问题．1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之__________.2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则b f(x)d x＝____________________.⎠⎛a其中F(x)叫做f(x)的一个__________．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|b a.因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________.b f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)【答案】 1.差 2.F(b)－F(a) 原函数⎠⎛a1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x【解析】由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋C ′＝x －2，∴选C. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]⎠⎛0A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)求下列定积分．①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；②⎠⎜⎛0π2 sin 2x2d x .【自主解答】 (1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x ) | 10＝(12＋e)－(02＋e 0)＝1＋e －1＝e.【答案】 C(2)①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33| 21＋x 2| 21＋3x | 21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2，∴⎠⎜⎛0π2 sin 2x2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x2d x ＝________. 【导学号：05410032】【解析】 (1)⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2.(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 (1)B (2)ln 2－12(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．【自主解答】 (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ⎠⎛24(x －1)d x ＝ (－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪0 π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x | 41 ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .【解】设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝⎠⎜⎛-3－32 (－4x )d x ＋⎠⎜⎜⎛－323232－326 d x ＋⎠⎜⎛3234x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x⎪⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94 ＝45.[探究共研型]探究1 满足【提示】不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．【自主解答】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k2＋b ＝1.②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，①又⎠⎛01f(x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2⎪⎪⎪1＝a 3＋b2， ∴a 3＋b2＝1，② 由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .[构建·体系]1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x【解析】选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪1＝12. 【答案】 C2．⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4C ．2D ．4【解析】 ⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2sin x d x ＋⎠⎜⎜⎛-π2π2cos x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2-π2π2－π2＋sin⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2.【答案】 C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________. 【导学号：05410033】【解析】由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13. 【答案】 134.⎠⎛49x(1＋x)d x 等于________．【解析】 ⎠⎛49x(1＋x)d x ＝⎠⎛49(x ＋x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×932＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432＋12×42＝4516.【答案】 45165．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．【解】由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2【解析】 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x4343⎪⎪⎪10＝34， b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪1＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14， ∴a >b >c . 【答案】 A3．(2016·东莞高二检测)已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2. 【答案】 A4．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．3B ．4 C.72D.92【解析】因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，2－x ， x ≥0，所以⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪-1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于__________. 【导学号：05410034】【解析】 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍)或k ＝1.【答案】 17．(2016·南宁模拟)设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于____________ .【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1×1－13x 3| 10＝43.【答案】 438．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【解析】因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛121x x ＋d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (cos x ＋2x )d x . 【解】 (1)∵⎠⎛121x x ＋d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝[ln x －ln(x ＋1)]| 21＝ln 43. (2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (cos x ＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2x ln 2⎪⎪⎪ π2－π2 ＝2＋1ln 2(2π2－2－π2)． 10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )．【解】因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，①f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪ 10＝13a ＋12b ＋c ＝196，③ 由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2.所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1．(2016·石家庄高二检测)若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝3－ln 2，且a >1，则a 的值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝(x 2－ln x )|a 1 ＝a 2－ln a －1，故有a 2－ln a －1＝3－ln 2，解得a ＝2.【答案】 D2．如图144所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()图144A.14B.15C.16D.17【解析】因为S 正方形＝1， S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪ 10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16. 【答案】 C3．计算：⎠⎛-22 (2|x |＋1)d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎛-22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛-20 (－2x ＋1)d x ＋ ⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.【答案】 124．已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．【解】因为f (x )＝⎠⎛－a x(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。

高中数学选修2-2学案：1.6微积分的基本定理(2)

1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题； 3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ．新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积． 2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( )A.43 B.54C.65 D.不存在2．求下列定积分: （1）求=⎰edx x11；（2）()=+-⎰dx ex xπ23sin 2_____________．（3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ．3.设()f x 是奇函数，则=⎰-aadx x f )( .4.求⎰-aadx x 2．【合作探究】典例精析：例1. 计算定积分（1）dx ⎰+4|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 212)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛abf (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a bf (x )d x |＝－⎠⎛a bf (x )d x .(3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 ( ) A.3 B.32-C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为A.41B.31C.21D.322.dx x |4|12⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=10)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-326．。

高中数学 1.6微积分基本定理学案新人教A版选修2-2

1.6微积分基本定理【学习目标】1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理; 2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .【学习重难点】重点：定积分的概念和定积分的性质难点：微积分基本定理，并会求简单的定积分.【学习过程】一、学前准备1：函数33cos y x x =的导数为2：若函数2()cos (3)3f x x π=+，则2()9f π'=二、合作探究：探究一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰ 试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x .典型例题例1 计算下列定积分：（1）211dx x⎰；（2）3211(2)x dx x -⎰变式：计算0⎰小结：计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x .例2. 计算下列定积分：sin xdx π⎰，2sin xdx ππ⎰，20sin xdx π⎰.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cos dx ππ-⎰；0cos dx π⎰；322cos dx ππ-⎰小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.【学习检测】1. (A)设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号（） A ．正 B.当0ab <<时为正，当0a b <<时为负 C ．负 D ．以上结论都不对2.(A) 函数0cos xy xdx =⎰的一阶导数是（） A ．cos x B ．sin x - C ．cos 1x - D ．sin x 3.(A) 与定积分320|sin |x dx π⎰相等的是（） A ．320|sin |xdx π⎰ B ．320sin xdx π⎰ C ．320sin sin xdx xdx πππ-⎰⎰ D.32202sin sin xdx xdx πππ+⎰⎰4. (B)211)dx ⎰= 5. (B)2211dx x ⎰=6(B)计算定积分：（1）220(42)(4)x x dx --⎰；（2）22123x x dx x--⎰.(3)⎰102dx e x(4)⎰462cos ππxdx(5)⎰312dx x (6)⎰+1021dxx x7(C)计算定积分30sin xdxπ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么. 【学习小结】。

1.6《微积分基本定理》教案新部编本(新人教选修2-2).1.doc

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]1.4.2微积分基本定理教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式教学重点：牛顿-莱布尼兹公式教学过程一、复习：定积分的概念及计算二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -且()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xa f t dt ⎰ 令xb =，有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。