选修4-5 不等式证明---比较法

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人教版高中数学选修4-5《第二讲证明不等式的基本方法：比较法》

f(
n
)
40 .琴生不等式推广形式：设 q1 , q2 ,, qn R , q1 q2 qn 1 ， f ( x) 是[a, b] 上的下凸函数，则 x1 , x2 ,
, xn [a, b] 都有： f (q1x1 q2 x2
qn xn )
，
当且仅当 x1 x2 xn 时
例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 v1 行走，另一半时间以速度 v 2 行走；乙有一半路程以速度 v1 行走，另一半路程以速度 v 2 行走. 如果 v1 v2 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
例5
设 f ( x) 2x 2 1, pq 0, p q 1. 求证；对任意实数 a , b ，恒有 pf (a) qf (b) f ( pa qb).
证明考虑（1）式两边的差。
pf (a) qf (b) f ( pa qb).
＝ p(2a 1) q(2b 1) [2( pa qb) 1]
2 2 2
＝ 2 p(1 p)a 2q(1 q)b 4 pqab p q 1.
2 2
（2）
p q 1, pq 0, (2) 2 pqa2 2 pqb2 4 pqab 2 pq(a b) 2 0.
即（1）成立。
探索推广 10 . 在例 5 中, pq 0, p q 1 p 0, q 0. 特别地, 令 p 1 , q 1 , 则得 2 2
f(
2
)
2
再结合函数的图象, 这数和形 20 .琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数 f ( x) 定义域为[a, b] ，如果 x1 , x2 [a, b] ，都有

2020年高中数学学习方略选修4-5人APPT：2.1证明不等式的基本方法——比较法

【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)在证明条件不等式时,要注意所给条件的应用.
() (2)作差比较法是与1比较,作商比较法是与0比较.
()
(3)因式分解、配方、放缩(基本不等式,有界性),凑成若干个平方和等是作差比较的常用变形方法. ( ) (4)分子放(缩),分母不变;分子不变,分母放(缩);分子放(缩),同时分母缩(放),是作商比较时常用的方法.
【内化·悟】作差比较法中,作差之后应该如何求解?
提示:作差之后再变形,变形的目的在于判断差的符号, 而不用考虑能否化简或值是多少.变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
【类题·通】作差比较法证明不等式的一般步骤 (1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差.
＜0,
a 1 a a a 1
所以 a 1 a＜ a a 1.
类型二作商比较法
【典例】已知a>0,b>0且a≠b,求证:aabb>
ab

ab 2
.
世纪金
榜导学号
【思维·引】不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用作商比较法.
【证明】因为a>0,b>0,所以aabb>0, aba2b>0,

2
s

mn 2mn

,

sm 2mn
n2
mn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
其中s,m,n都是正数,且m≠n, 所以t1-t2<0,即t1<t2,所以甲比乙先到达指定地点.
【内化·悟】实际应用中使用比较法的关键是什么? 提示:分析实际问题情境中涉及比较的主体及其相关关系,结合设问列出相应的式子求解.

高中数学选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法一比较法

一比较法目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。

重点难点：掌握作差比较和作商比较各自的使用情景教学设计：目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：一、复习：不等式的一个等价命题：二、作差法：1． 2.已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：ba mb m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？3.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，则21122,22t nS m S S n t m t =+=+ .0,.0,的大小比较差与转化为即把不等式两边相减本的方法就是证明基最要证明>->b a b a .,,,12233ab b a b a b a b a +>+≠求证且都是正数已知例.,,,.,.2并给出证明问题将这个事实抽象为数学此时浓液的浓度增加到白糖加若在上述溶液中再添则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例m b m a kg m b a kg b kg a ++.,,定正负的代数式转化为一个能够明确确通过适当的恒等变形可以把不等式两边相减分析可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。

人教版高中数学选修4-5课件：2.1比较法

第二讲证明不等式的基本方法一比较法
【自主预习】比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明
a<b,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作 a-b<0
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式的变形不彻底而引起的.
【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,,所以b-a=a2-a+1= (a 1)2 3＞0.
所以b>a,故c≥b>a.
24
ab
ab 2 .
2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=
a 2a b2bc2c a b bc cacab
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
类型二作商比较法

教学：高二数学(人教版)选修4-5教案：第08课时不等式的证明方法之——比较法

课题：第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a二、典型例题：例1、设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+。

例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而Θ ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a Θ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a ba Θ .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。

选修4-5 第二节不等式证明的基本方法

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4．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
5．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或，缩小简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
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解析：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1. ∴logab>1>logba>0. ∴A、B、C选项均正确，选项D错误．
答案：D
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4．若|x|＜1，|y|＜1，则xy＋1与x＋y的大小关系为________．解析：xy＋1－x－y ＝(y－1)(x－1)， ∵|x|＜1，|y|＜1，∴y－1＜0，x－1＜0. ∴(y－1)(x－1)＞0.∴xy＋1＞x＋y. 答案：xy＋1＞x＋y
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(2) bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
在(1)中已证 a＋b＋c≥ 3.
因此要证原不等式成立，只需证明
1≥ abc
a＋
b＋
c，
即证 a bc＋b ac＋c ab≤1，
即证 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.
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而 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac， b ac≤ab＋2 bc，c ab≤bc＋2 ac. ∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当 a＝b＝c＝ 33时等号成立)． ∴原不等式成立．
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2．综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果” 的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．

高考数学总复习第2节证明不等式的基本方法课件新人教A版选修4-5

放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性进行证明
不等关系，即要证 a＞ b ，只需先证明 a ＞p ，且 p ＞ b. 其中 p 的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力，以及一定的解题经验．
设 m 是|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|＞m 时． a b 求证：|x＋x2|<2. 【思路点拨】根据已知条件有：“m≥|a|，m≥|b|，m≥
|f(－1)|＝|1－p＋1|＝|2－p|<2，
则4＝(2＋p)＋(2－p)≤|2＋p|＋|2－p|<4矛盾， ∴假设不成立． ∴原结论成立．
【活学活用】 3.若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y π π π 2 2 ＋ 2 ，b＝y －2z＋ 3 ，c＝z －2x＋ 6 . 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
【活学活用】 1.已知：a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ ca≤0.
证明：证法一(综合法) ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0， a2＋b2＋c2 展开，得 ab＋bc＋ca＝－ .∴ab＋bc＋ca≤0. 2
证法二(分析法) 要证 ab＋bc＋ca≤0， ∵a＋b＋c＝0，故只需证 ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2，即证 a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0， 1 即2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]≥0， ∴显然原式成立．证法三：∵a＋b＋c＝0，∴－c＝a＋b， ∴ab＋bc＋ca＝ab＋(a＋b)c＝ab－(a＋b)2 ＝－a2－b2－ab b 2 3b2 ＝－[(a＋ ) ＋ ]≤0. 2 4
(2)作商比较法 a ①理论依据：b＞0，b＞1⇒ a＞b ； a b<0，＞1⇒ a<b b ．

高中数学选修4-5第二讲证明不等式的基本方法第2讲1人教版

数学选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法
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2．综合法已知条件出发，利用_________________________ 定义、公理、定理、性质等，从_________ 经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫_______________________ 顺推证法或由因导果法． 3．分析法充分条件，从要证的结论 __________出发，逐步寻求使它成立的___________
数学选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法
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解析： ∵a2＋b2－1－a2b2≤0 ∴a2b2－a2－b2＋1≥0 ∴(a2－1)(b2－1)≥0 由分析法的步骤可知
答案： D
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第二讲证明不等式的基本方法
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3．已知 a，b 是正实数，比较大小 aabb________abba.
abba＞0，
答案： aabb≥abba.
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第二讲证明不等式的基本方法
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4．求证： 7－1＞ 11－ 5.
证明：要证 7－1＞ 11－ 5，只需证 7＋ 5＞ 11＋1，即证 7＋2 35＋5＞11＋2 11＋1，即证 35＞ 11，即证 35＞11(显然成立)，因为 35＞11 成立，所以原不等式成立．
[ 解题过程]
(1)a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
数学选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法
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人教版高中数学选修4-5《证明不等式的基本方法——比较法》

类型三比较法的应用
a＋m a 例3 证明：若a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞b (糖水不等式). b＋m a＋m a mb－a 证明－b＝ . b＋m bb＋m
∵a，b，m都是正数，且a＜b， ∴b－a＞0，b(b＋m)＞0，
mb－a a ＋m a ∴ ＞0，即－b＞0， bb＋m b ＋m a＋m a ∴ ＞ b. b＋m
1.作差比较法证明不等式的技巧
(1) 作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差
的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.
(2) 变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，
可以运用一切有效的恒等变形的方法.
(3) 因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式
类型一作差比较法证明不等式例1 已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.
证明因为正数a，b，c成等比数列，
所以 b2＝ac，b＝ ac，
又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2
＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc
＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)
答案
梳理
作差比较法
(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔ a＜b ；
a－b＝0⇔a＝b.
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；
④得出结论.
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定
与0的大小，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有
理化等.
知识点二
作商比较法
思考1
a 对于两个正数 a，b，若b＞1，能够判断 a，b 的大小吗？ a 答案能，根据不等式的性质知，b＞1⇒a＞b.

高三复习第二讲证明不等式的基本方法

高三复习第二讲证明不等式的基本方法选修4－5不等式选讲【考纲速读吧】1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合点必会技巧1．利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式．项必须注意1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．2．放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的．3．利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件．【课前自主导学】011．三个正数的算术—几何平均不等式a＋b＋c（1）定理：如果a，b，c均为正数，那么________abc，当且仅当________时，等号成立，即3三个正数的算术平均数________它们的几何平均数．（2）基本不等式的推广a1＋a2＋…＋an对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数________它们的几何平均数，即na1a2n，当且仅当________时，等号成立．21（1）已知某>0，则y＝某2＋________．（2）已知某>0，则y＝某的最小值为________．某某2．柯西不等式（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．bbb222（2）若ai，bi（i∈N某）为实数，则（∑a）（∑b）≥（∑ab），当且仅当＝＝…＝ai＝0时，iiiia1a2ani＝1i＝1i＝1约定bi＝0，i＝1,2，…，n）时等号成立．（3）柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α、β共线时等号成立．nnn（1）若某＋2y＋4z＝1，则某2＋y2＋z2的最小值是________．（2）某，y∈R，且某2＋y2＝10，则2某－y的取值范围为________．3．证明不等式的方法（1）比较法①求差比较法由a>ba－b>0，a<ba－b<0，因此要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法a由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商b比较法（2）分析法从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．（3）综合法从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．（4）反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．（5）放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？（1）要证明29＋31<25，可选择的方法最合理的是________．a3＋a6（2）等比数列{an}各项为正数，且q≠1，若PQ＝a4a5，则P与Q的大小关系________．2【自我校对】1．≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝an31填一填：（1）3（2）34112．填一填：（1提示：∵1＝某＋2y＋4z≤某＋y＋z1＋4＋16，∴某2＋y2＋z2≥某2＋y2＋z2的最2121小值为．21（2）[－2，2]提示：∵（某2＋y2）[22＋（－1）2]≥（2某－y）2，∴－2≤2某－y≤52．a3．a－b>0证明的结论相反条件和假设放大或缩小b想一想：提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达．填一填：（1）分析法（2）P≥Q提示：∵a3·a6＝a4·a5，∴a3＋a6≥23·a6＝2a4·a5，∴P≥Q．【核心要点研究】02【考点一】比较法证明不等式例1[2022·广州模拟]已知a>0，b>0，求证：（a）3＋b3≥ab＋ab2．【审题视点】本题主要考查不等式证明的方法，考查运算求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明．[证明]（a）3＋b3－（ab＋ab2）＝[（a）3－ab]＋[b3－ab2]＝a（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a－b2a－b）[（a）2－b2]＝（a－b）2（a＋b）．因为a>0，b>0，所以a＋b>0，又（a－b）2≥0，所以（a－b）2a＋b）≥0a）3＋b3－（ab＋ab2）≥0，即（a）3＋b3≥ab＋2．【师说点拨】此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论．其中判断差的符号为目的，变形是关键．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．【变式探究】求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1证明：∵（a2＋b2）－（ab＋a＋b－1）＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2）211＝（a2－2ab＋b2）＋（a2－2a＋1）＋（b2－2b＋1）]（a－b）2＋（a－1）2＋（b－1）2]≥0，22∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1．【考点二】用分析法或综合法证明不等式1112例2已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋abc3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【审题视点】3因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥3abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明．2[证明]因为a，b，c均为正数，所以a2＋b2＋c2≥3（abc），①3111211112＋≥9（abc）－．②＋≥3（abcabcabc33111222＋≥3（abc）＋9（abc故a2＋b2＋c2＋abc3322又3（abc）＋9（abc）－≥2＝6，③所以原不等式成立．33当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．221当且仅当3（abc9（abc）－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3 334111奇思妙想：例题中，不等式变为“abc3”，其余不变，该如何解答？abc111331113证明：∵a，b，c＋＋abc≥＋abc3，abcabcabcabcabc31∴原不等式成立，当a＝b＝c且abc时等号同时成立，即a＝b＝c＝3 abc6【师说点拨】1．分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件．2．综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”．它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用．【变式探究】设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：证法一（综合法）∵a≥b>0，∴a2≥b2，则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．故原不等式成立．证法二（分析法）要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0，也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(某)∵a≥b>0，∴a－b≥0.又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0.(某)式显然成立，故原不等式成立.【考点三】用柯西不等式证明不等式例3[2022·福建高考]已知函数f（某）＝m－|某－2|，m∈R，且f （某＋2）≥0的解集为[－1,1]．111（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R＋，且＋＋m，求证：a＋2b＋3c≥9．a2b3c【审题视点】（1）根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；（2）结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式．[解]（1）因为（f某＋2）＝m－|某|，（f某＋2）≥0等价于|某|≤m，由|某|≤m有解，得m≥0，且其解集为{某|－m≤某≤m}．又f（某＋2）≥0的解集为[－1,1]，故m＝1．111＋（2）由（1）知＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得a2b3c111111a＋2b＋3c＝（a＋2b＋3c）（）≥（a＋2b3c2＝9．所以不等式得证．a2b3ca2b3c【师说点拨】22222柯西不等式的一般结构为（a2（b21＋a2＋…＋an）1＋b2＋…＋bn）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn），在使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，为方便使用柯西不等式，有时常将a变形为1某a的形式．【变式探究】abcbca用柯西不等式证明：若a，b，c均为正数，＋）（）≥9．bcaabcabcbca证明：∵（＋（＋）≥（2＝9，bcaabcbacbacabcbca∴（）＋）≥9．bcaabc【经典演练提能】041．已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是()A．P≤QB．P<QC．P≥QD．P>Q答案：C解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2)∵a1≤a2，b1≤b2∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1．1112．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1＋＋的最小值为（）abcA．3B．6C．9D．12答案：Ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c111bacacb解析：把a＋b＋c＝1代入＋得到＝3＋（＋＋（＋（＋）≥3 abcabcabacbc＋2＋2＋2＝9，故选C．3.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为()A.1B.2C.3D.2解析：abc）2＝（a＋b＋c）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3．当且仅当a＝b＝c＝abc）2≤3．故＋＋的最大值为．3某＋y某y4．设某>0，y>0，M＝N＝M、N的大小关系为________．2＋某＋y2＋某2＋y答案：M<N某＋y某y某y解析：N＝＋>M．2＋某2＋y2＋某＋y2＋某＋y2＋某＋y5．若a，b∈R，且a≠b，M答案：M>N＋ab＋，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．baabab解析：∵a≠bba，ab，baa＋b．baba（时间：45分钟分值：100分）一、选择题1．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是（）A．a<b＋cB．a>c－bC．|a|>|b|－|c|D．|a|<|b|＋|c|答案：D解析：|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|．故选D．112．[2022·鸡西模拟]若实数某、y＋＝1，则某2＋2y2有（）某yA．最大值3＋22B．最小值3＋2C．最大值6D．最小值6答案：B 112y2某22222解析：由题意知，某＋2y＝（某＋2y）·（＋）＝3＋＋22，某y某y22某2y＝时，等号成立，故选B．y某1113．[2022·广东调研]已知a，b为实数，且a>0，b>0．则（a＋b＋（a2＋）abaA．7B．8C．9D．10答案：C13解析：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3a某b＝3b>0，①aa113同理可证：a＋＋≥3．②23111321由①②及不等式的性质得（a＋b＋）（a≥3b某9．abab24．[2022·柳州模拟]已知关于某的不等式2某在某∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）某－a13A．B．1CD．222答案：C2223解析：2某＋2（某－a）＋2a≥22某－a2a＝2a＋4≥7，∴a2某－a某－a某－a＋5．[2022·金版原创]若q>0且q≠1，m，n∈N，则1＋qmn与qm＋qn 的大小关系是（）＋＋＋A．1＋qmn>qm＋qnB．1＋qmn<qm＋qnC．1＋qmn＝qm＋qnD．不能确定答案：A解析：1＋qmn－qm－qn＝qm（qn－1）－（qn－1）＝（qn－1）（qm－1），①当0<q<1时，qn<1，qm<1．②当q>1时，qn>1，qm>1．＋∴（qn－1）（qm－1）>0，∴1＋qmn>qm＋qn，故选A．6．[2022·湖北高考]设a，b，c，某，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，某2＋y2＋z2＝40，a某＋by＋cz＝20，则a＋b＋c＝（）某＋y＋z1113A．B．C．D．4324答案：C解析：由柯西不等式得（a2＋b2＋c2）（某2＋y2＋z2）≥（a某＋by＋cz）2，而由已知有abc（a2＋b2＋c2）（某2＋y2＋z2）＝10某40＝202＝（a某＋by＋cz）2，故＝＝k，代入得某yza＋b＋c11a2＋b2＋c2＝k2（某2＋y2＋z2）＝40k2＝10，解得k＝k＝．故选C．22某＋y＋z二、填空题7．函数y＝21－某＋2某＋1的最大值为________．答案：3解析：y22－2某＋2某＋1）2≤[（）2＋12][2－2某）22某＋1）2]＝3某3，∴y≤3．8．[2022·许昌模拟]对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为________．答案：611解析：因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，|a22151515|4a－3b＋2|＝|（3a－3b）＋（a－|≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋6，即|4a－3b＋2|的最大值为6．2222221119．已知某，y，z为正实数，且＋＝1，则某＋4y＋9z的最小值为________．某yz答案：36解析：解法一：由柯西不等式，得111某＋4y＋9z＝[某）2＋（y）2＋（3z）2]·[（）2＋（22]≥某yz111（某＋y3z）2＝36．当且仅当某＝2y＝3z时等号成立，此时某＝6，y＝3，z＝2．所以当某＝6，y＝3，z＝2时，某＋4y＋9z取得最小值36．111111解法二：∵＋＝1，∴某＋4y＋9z＝（某＋4y＋9z）（＋），某yz某yz4y9z某9z某4y4y某9z某9z4y即某＋4y＋9z＝14＋＋＋≥14＋＋22＝36．某某yyzz某y某zyz（当且仅当某＝2y＝3z时取“＝”），即某＝6，y＝3，z＝2时，（某＋4y＋9z）min＝36．故填36．三、解答题10．已知a>0，证明：a2＋2≥a2．aa1111解：要证a22≥a＋－2，只要证a2＋2≥a＋＋2，因为a>0，所以只要证aaaa1111（a2＋2）2≥（a＋2）2，即证a2＋4＋a2a2＋4＋2（a＋，故只需证aaaaaa1111112a2＋≥a＋，即证a2＋，而由基本不等式可知a2＋成立．故a2－2≥a＋2．211．[2022·正定模拟]设正有理数某是的一个近似值，令y＝1．1＋某（1）若某>3，求证：y3；（2）求证：y比某3．33＋某3某－3某－32证明：（1）y－3＝1＋3＝＝，1＋某1＋某1＋某∵某>3，∴某3>0，而13<0，∴y<3．3－13－2－某3某－（2）∵|y－3|－|某3|＝－|某－3|＝|某－3|（－1）＝|某－3|（，1＋某1＋某1＋某∵某>03－2<0，|某－3|>0，∴|y3|－|某3|<0，即|y－3|<|某3|．∴y比某更接近于3．12．[2022·南昌调研]已知某＋y>0，且某y≠0．某ym11（1）求证：某3＋y3≥某2y＋y2某；（2）如果＋（＋m的取值范围或值．y某2某y解：（1）∵某3＋y3－（某2y＋y2某）＝某2（某－y）－y2（某－y）＝（某＋y）（某－y）2，且某＋y>0，（某－y）2≥0，∴某3＋y3－（某2y＋y2某）≥0．∴某3＋y3≥某2y＋y2某．33某2－某y＋y2某ym11m某＋y（2）（ⅰ）若某y<0，则＋）等价于＝，y某2某y2某y某＋y某y某2－某y＋y2某＋y2－3某y－3某y某3＋y3又∵＝<3，即<－3，∴m>－6；某y某y某y某y某＋y3322某ym11m某＋y某－某y＋y（ⅱ）若某y>0，则≥（＋≤＝，y某2某y2某y某＋y某y某2－某y＋y22某y－某y某3＋y3又∵≥1，即，∴m≤2．某y某y某y某＋y综上所述，实数m的取值范围是（－6,2]．。

数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.1比较法

左边 a＋1－ a a＋ a－1
证明：＝
＝
＜1，
右边 a－ a－1 a＋1＋ a
又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0.
所以原不等式成立．
1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a＞b⇔ a－b＞0)，还有作商比较法即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆广度为7±2项内容。
＋(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)(a＋
b)2≥0，所以 a3＋a2b≥ab2＋b3.故应选 B. 答案：B
3．已知 a，b 都是正实数，则下列关系式成立的是 ()
A．aabb＝abba B．aabb≥abba C．aabb＜abba D．aabb≤abba 解析：因为 a，b∈R＋，故 abba＞0.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．若 a＞b，则代数式 a3＋a2b 与 ab2＋b3 的值的大小关系是( )
A．a3＋a2b＜ab2＋b3 B．a3＋a2b≥ab2＋b3 C．a3＋a2b＝ab2＋b2 D．不能确定解析：因为 a＞b，所以(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；

选修4-5第二讲-证明不等式的基本方法-课件

a2 (a b) b2 (a b) (a2 b2 )(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0
又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系． 2．作商比较法适用于哪些类型的问题？
提示：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明．
3．
已知
a
1，a
2∈(
0
,
1
)
，
M
＝a
1a
2，N
＝a
1＋a
＋
2
1，
则M
，N
的
大
小关系是________.
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
证明:
aabb abba
aabbba

a
ab

b
根据要证的不等式的特点(交换a, b的位置, 不等式不变)
为_a_b___1或__a_b 2
6.若0

a

b
1, P

log 1
2
a
b 2
,Q

1 2
(log 1
2
a
log 1
2
b), M

log 1 (a
2

高中数学选修4-5第二讲证明不等式的基本方法第2讲2人教版

数，2个偶数，3个偶数共四种情况，恰有一个偶数的否定为至
少有2个偶数或全是奇数．答案： D
数学选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法
预习学案课堂学案课后练习
x 1 3．设 x>1，则＋与 1 的大小关系为________． 1＋x 2
解析： ∵x>1，∴1＋x>2. 1＋x 1 1 x 1 x 1 ∴ < ，∴ ＋ > ＋＝＝1. 1＋x 2 1＋x 2 1＋x 1＋x 1＋x
预习学案课堂学案课后练习
1．比较法用比较法证明不等式分为两种方法：______________ ，求差比较法求商比较法 _________________ ． 2．综合法已知条件出发，利用_________________________ 定义、公理、定理、性质等，从_________ 经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做顺推证法或由因导果综合法，又叫____________________________ 法．
数学选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法
预习学案课堂学案课后练习
3．分析法要证的结论出发，逐步寻求使它成立的___________ 充分条件，从___________ 已知条件或一个明显成立的事实直至所需条件为___________________________________ ，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明的方法． ____________
数学选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法
预习学案课堂学案课后练习
[ 解题过程]
证法一：假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1

选修4-5 2证明不等式的基本方法

【证明】因为a,b,c∈(0,+∞),所以 bc ＋ ac 2 bc ac＝2c.
a b a b
ab bc 同理 ac ＋ ab 2a，＋ 2b. 因为a,b,c不全相等, b c c a
所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立, 三式相加,得 2( bc ＋ ac ＋ ab ) >2(a＋b＋c)，
即P-Q>0,所以P>Q.
当a>1时,a3+1>a2+1>0, 即P-Q>0,所以P>Q. 所以,综上所述,P>Q.
a 3 1 >1,所以 a3 1 log a 2 0. 2 a 1 a 1
【母题变式溯源】题号 1 2 3 知识点作差法比较大小综合法分析法作差法比较大小源自教材 P21·例1 P23·例1 P24·例3
4
P26·习题2.2T7
考向一
综合法证明不等式
【典例1】(2015·全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且 a+b=c+d.证明: 世纪金榜导学号12560387
(1)若ab>cd,则 a b c d. (2) a b c d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.
【证明】(1)因为 a b 2 a b 2 ab,
因导果法.
3.分析法
要证的结论出发,逐步寻求使它成立证明命题时,从___________ 充分条件直至所需条件为_________ 已知条件或_________ 一个明显的_________,
成立的事实定义、公理或已证明的定理、性质等), ___________( 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,

高中数学第一章基本不等式和证明不等式的基本方法 1.2 比较法证不等式学案(无答案)湘教版选修4-5

1.2 比较法证不等式
1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.
2．作差法：a －b ＞0⇒a ＞b ，a －b ＜0⇒a ＜b.
作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.
3．作商法：a ＞0，b ＞0，b a ＞1⇒a ＞b. 比商法要注意使用条件，若b a ＞1不能推出a ＞b.这里要注意a 、b 两数的符号.
1．设0＜x ＜1，则a=2x ，b=1+x ，c=
x -11中最大的一个是 A. a
B. b
C. c
D.不能确
定
2．若a 、b ∈R ，有下列不等式：①a 2+3＞2a ；②a 2+b 2≥2（a －b －1）；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a+a 1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）
【典型例题】
1、已知,a b 都是正数，并且a b ≠，求证：.2233ab b a b a +>+
变式训练：当m ＞n 时，求证：m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．
2、已知,a b 都是正数，求证：,a b b a b a b a ≥ 当且仅当b a =时，等号成立。

3、求证x x 332>+
4、已知a ，b ，m 都是正数，并且b a <，求证：b a m b m a >++
5、已知a ，b 是正数，且a ≠b ，求证322355b a b a b a +>+
6、设a, b ∈ R +，求证： a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(。

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（选修4-5）第2章证明不等式的基本方法
第2 节比较法（第1课时）
【学习目标】
1．知道证明不等式的主要理论依据.
2．学会用比较法证明不等式。

【文本研读】
研读要求：1阅读课本P21例1，例2.重点掌握做差法证明不等式的基本步骤.（一般证明对数不等式的时多用作差法）
2阅读课本P22例3,重点掌握做商法证明不等式的基本步骤. （一般证
明幂指数不等式的时常用做商法）
3.特别注意当“差”或“商”中含有参数时，一般情况都要多参数进行分类讨论。

【尝试探究】
DC 复述识记题：1简述用比较法证明不等式的两种方法的基本步骤。

DC 阅读思考题：
133,().a b a b ab a b >->-已知求证
222222.,.ad bc ≠已知求证(a +b )(c +d )>(ac+bd)
DC 针对练习题：
1.422422
,+6a b +4(+).a b a b ab a b ≠>已知求证
2.222,,a b c b c c a a b a b c a b c a b c +++≥已知都是正数，求证
3.,,,,.a a c c a b c d bc ad b b d d
+><<+已知都是正数，且求证
4.0,1,01,l g (1)l g (1).a a a a x o x o x >≠<<->+设求证
BA 典型强化题： 1.222222
,,,.b c c a a b a b c R abc a b c
+++∈≥++已知求证
2.11,(0,),,n n n n a b n N a b a b a b +++∈+∞∈++≤+已知求证()()2().。