第20讲时钟问题
时钟问题的经典解法
１７ . 时钟问题就是行程问题,两个人速度不一样同向走，后面的追前面的，确定要追的路程。
在初始时刻需追赶的格数÷（1－1/12）=追及时间（分钟）,其中,1-1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。
时针: 分钟1格：１2格X／1２:X1）在10点与11点之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?①第一次垂直，时针和分钟差15分钟１0+X-X/1２=1５=〉11／12X=５=〉X=５＊12/11=5又５／11分钟所以第一次垂直时,10点5又５/11分钟②第二次垂直，时针和分钟差15分钟50+X/12-Ｘ＝15=〉1１/12X＝35=〉X＝12＊３5/1１=420/11=38又2/11分钟所以第二次垂直时,10点３8又2／11分钟2）现在是２点1５分,再过几分钟,时针和分针第一次重合？因为要重合肯定是在3点15分之后，所以从三点开始算１5+X/12=Ｘ［时钟走的格子数和分钟走的格子数相同]＝〉15=11/12X=〉X=16又4/11分钟所以第一次重合的时间是３点16又4／１1分钟需要经过的时间是45+１６又4/11＝６1又４／11分钟3）在7点与8点之间(包含7点与８点）的什么时刻,两针之间的夹角为1２0°？ﻭ①第一次夹角成120°,时针和分钟差2０分钟ﻭ３５+Ｘ/12-X＝20 =〉11／12Ｘ＝15=〉X=1８0/1１＝１6又4/１１所以时间是７点1６又4/１1分钟②第二次夹角成120°，时针和分钟差2０分钟正好是８点整４）小明在7点与8点之间解了一道题,开始时分针与时针正好成一条直线,解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间?答案：32又２/1１分钟35+X/１2－Ｘ①开始分针与时针正好成一条直线,时针和分钟差30分钟ﻭ＝３0 =〉1１／12X=5=〉X＝6０/11= 5又5／１1分钟所以此时是7点５又5/１1分钟②后来两针正好重合，时针和分钟差0分钟35+Ｘ/12-Ｘ=0 =〉１1/12X=3５=〉Ｘ= ４20/11=38又2/11所以此时是7点38又2／11那么时间差是38又2／1１– 5又５／11= 32又8/１1分钟ﻭ５）.一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的6５分钟)重合一次．问这只旧钟一天(标准时间24小时)慢或快几分钟？答案：快１0又1０/1４3分钟(按旧钟上的时间）正常的时钟应该是12小时重合1１次,所以重合一次需要的时间是１２/１1*６０=7２0/11=65又5/11分钟将小时折算成分钟1２/1１*60-6５X １２*６0-６5*11Ｘ－---－------－--- ＝---－--－---－----===〉-－-－--－--－－-－－－---- ＝--------－-----－6524＊６0 65*11 24＊60=＝=〉X=(720－７15)*1440/7１5=14４0/14３＝1０又１0/1４3分钟因此这只旧钟快了10又１0／143分钟时钟问题的经典解法20０9-7－1来源：公务员百事通时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。
经典数学应用题目：时钟问题
数学运算解题方法之时钟问题——找准路程、时间和速度【常考知识点】任何事物，万变不离其宗。
抓事物要抓它本质的东西，解数学运算题也一样。
这次主要讲解的内容是时钟问题，它是中等难度的数学运算题型。
在公务员考试，选调生考试，或者是事业单位招聘考试中，经常可以看见它的身影。
联创世华公考中心为大家做如下分析：时钟问题与行程问题中的追及问题类似，因此，可按追及问题的规律解决时钟问题。
无论什么样行程问题的题目，弄清楚三个量，即路程、速度和时间，就够了。
当然，在解题的过程中，这三个量可能有所变化。
对于时钟问题要弄清楚的量为：时针的速度，路程和时间；分针的速度，路程和时间。
分针每小时走一周，旋转 360o，速度为 6o/分钟；时针每小时走周，旋转 30o ，速度为 0.5 o/分钟。
解时钟问题的关键点：时针分针速度：路程：时间：0.5 度/分钟未知6 度/分钟??未知路程 =速度×时间特别说明：这里的路程单位为度，即转过的角度。
解决时钟问题的关键就是找准两者之间的路程之间的关系。
一般，时针路程和分针路程之间存在一定的联系，通过这些联系来解决时针和分针问题。
当然，要知道路程这个问题，首先要准确的画图。
【例题解析】1、钟面问题例 1 ：在四点与五点之间，两针成一直线 (不重合) ，则此时时间是多少？A. 4 点分B. 4 点分C. 4 点分D. 4 点分【分析】根据图可知当时针和分针在一条线上时，分针赶上了时针并且超过时针 180 度，解此题的关键就是找到时针和分针之间的关系，这里时针和分针之间的主要关系是时针的路程 -分针的路程=180 度+120 度=300 度，而时针的路程=时针的速度×时间，分针的路程 =分针速度×时间。
解题思路出现了。
【解答】 B。
设两针从正四点开始，x 分钟后两针成一直线，正四点的时候时针和分针的夹角为 120 度。
由题意得：解得答：两针成一直线时，是 4 点分。
时钟问题
时钟问题时钟问题是典型的环形追及问题，了解时针与分针的速度差，根据时钟与分针的位置关系，解决时钟问题。
基础知识通常可将表盘平均分为60小格或者12大格，而每小时时针转动5小格或1大格；每小时分针转动60小格或12大格；因此每小时分针完成1周，时针完成121周，分针与时针的速度差为1-121=1211。
一个圆周为360°，每个大格为30°，每个小格为6°，即30°=5个小格，60°=10个小格，90°=15个小格，180°=30个小格。
钟表问题解题常规步骤：（1）找准起始时间分针与时钟相差格数 （2）根据题意判断时针与分针的追及格数（3）速度差=1-121=1211永远不变.（4）追及格子数相当于追及路程，追及时间=追及格子数÷（1-121）（5）结合追及时间得出所求的时间点：原时间+追及时间=追到时间点 一、某个时间点分针与时针重合 例1：分针与时针在4点几分重合？分析：初始时间4点整时，分针落后于时针20个小格（或者4个大格），所求时间点分针与时针重合，因此可将此题看做是从4点整，分针去追赶时针，总共追及了20小格（或者4个大格），由此可得出追及时间，进而求出分针与时针重合时的时间。
解：追及时间 20÷（1-121）=11921（分）答：。
练习一1、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？2、五点以后，经过多长时间，时针与分针第一次重合？二、某个时间点分针与时针成直角例2：时针与分针在1点几分时成直角？分析：时针与分针成直角应该有两种情况：1点整时，分针落后于时针5小格，当分针与时针第一次成直角时分针已经超过时针15小格；分针与时针第二次成直角时分针已经超过时针45小格；因此从1点整起，分针总共比时针多走（5+15）或者（5+45）小格，由此可算出追及时间，进而求出时间点。
解：（1）追及时间=（5+15）÷（1-121）=11921（分）（2）追及时间=（5+15+30）÷（1-121）=11654（分）答：练习二1、点到3点之间，时针和分针在什么时候成直角？2 、10点到11点之间，时针和分针在什么时候成直角？例3：7点到8点之间时针与分针在什么时候成直角？分析：7点时针与分针相差35小格，由于分针速度快，时针速度慢，他们的夹角会越来越小，追及格子数为35-15=20格，分针与时针第一次成直角只需追及20个小格；分针与时针第二次成直角时分针再走30个小格，追及格子数为35-15+30=50格，由此可算出追及时间，进而求出时间点。
钟表问题
——时钟问题 时钟问题
内容简介
概述 知识准备 例题 练习 小结
时钟问题
时钟问题就是研究钟面上的时针和分针关系的问题。 时钟问题就是研究钟面上的时针和分针关系的问题。 时针和分针关系的问题 重合、 等展开。 时钟问题经常围绕着两针重合 垂直、成直线等展开 时钟问题经常围绕着两针重合、垂直、成直线等展开。
【例题1】 例题 】 从钟表的12点整开始 点整开始， 从钟表的 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠 中间相隔的时间约（ 中间相隔的时间约（ ） A.43分钟 B.45分钟 C.49分钟 D.61分钟 分钟 分钟 分钟 分钟
垂直时：时针与分针夹角是90 垂直时：时针与分针夹角是90° 重合时：时针与分针是360 ° 重合时：时针与分针是 追及距离： 追及距离：270 ° 速度差： 速度差： 5.5 ° 追及时间=追及距离 速度差=270/5.5 min=49 min 追及距离/速度差 追及时间 追及距离 速度差
时钟问题小结
基本思针的初始位置； 确定分针与时针的初始位置； 确定分针与时针的路程差。 确定分针与时针的路程差。
基本方法： 基本方法：度数方法
公式： 路程差（角度差） 公式：【路程差（角度差） *2 】/11 时针和分针的速度差： ° 时针和分针的速度差：5.5°/min 追及距离/速度差 速度差=追及时间 追及距离 速度差 追及时间 相当于行程问题中的同向运动） （相当于行程问题中的同向运动）
重合问题
【例题3】 例题 】 时整开始， 从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？ 时整开始 经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？ 【解析】第一次重合，分针要追时针180° 解析】第一次重合，分针要追时针 ° 所以：追及时间=追及距离 追及距离/追及速度 所以：追及时间=追及距离/追及速度 即：t=180/5.5=360/11=32又8/11分 又 分
奥数专题时钟问题
奥数专题时钟问题第一部分基础知识点部分【开门见山这一段话多半录自百度百科】时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
不同在于时钟问题有别于其他行程问题是：它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟：1.整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度速度差：每分钟6-0.5=5.5度；每分钟1-1/12=11/12小格2.需要注意的是在许多时钟问题中，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系，在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。
当你做过一个题目后，这个十字交叉法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似，实际就是个一元一次方程变种格式而已。
【温故知新】追击问题的三个特点：同时出发；同向而行；同时停止。
追击问题的重要公式：路程差除以时间差=追击时间。
常用的等量关系：快者路程-慢者路程=距离；在实际题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：重合问题（路程）例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65又11分之5 分。
认识钟面：时钟问题解法与算法公式：时钟问题的关键点：时针每小时走30度; 分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。
*************************************************************************** 第二部分以知促行【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A．1次 B．2次 C．3次 D．4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。
时钟问题解题方法
时钟问题解题方法时钟问题解题方法时钟问题是数学中常见的一种应用题型，它可以通过简单的数学运算和逻辑推理来解决。
时钟问题主要包括两类：时间计算问题和时钟指针位置问题。
本文将详细介绍如何解决这两类问题。
一、时间计算问题时间计算问题是指给定某个时间点，然后求经过一段时间后的时间点。
这种类型的题目通常涉及到小时、分钟和秒钟三个单位。
下面介绍几种解题方法：1. 相加法相加法是最简单的一种方法，它适用于经过的时间比较短的情况。
具体步骤如下：（1）将经过的小时数、分钟数和秒数分别相加。
（2）将所得结果转换为标准时间格式。
（3）若超过24小时，则需要对结果进行取模运算。
例如：现在是10:30:45，经过2小时20分钟30秒后是多少时刻？解答：10:30:45 + 2:20:30 = 12:51:152. 分别计算法分别计算法适用于经过的时间比较长或者涉及到日期变化的情况。
具体步骤如下：（1）先将小时、分钟、秒分别计算出来。
（2）将小时、分钟、秒依次相加。
（3）将所得结果转换为标准时间格式。
（4）若超过24小时，则需要对结果进行取模运算。
例如：现在是2022年1月1日10:30:45，经过3天2小时20分钟30秒后是多少时刻？解答：10:30:45 + 3*24 + 2:20:30 = 13:51:15，即2022年1月4日13:51:15二、时钟指针位置问题时钟指针位置问题是指给定一个时间点，求时针和分针的夹角或者求分针和秒针的夹角。
下面介绍几种解题方法：1. 公式法公式法是最常用的一种方法，它适用于任何情况。
具体步骤如下：（1）计算时针和分针的位置。
（2）计算分针和秒针的位置。
（3）根据公式计算夹角。
例如：现在是3点20分，求时针和分针的夹角。
解答：时针位置为150度，分针位置为120度。
则夹角为|150-120|/12*360=15度2. 比例法比例法适用于某些特殊情况，如当时刻为整点或者半点时。
具体步骤如下：（1）计算时针和分针的位置。
时钟问题
时钟问题
【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。
时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。
每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。
4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。
所以分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈ 22（分）
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
1、求下列时刻的时针与分针所形成的角的度数。
（1）9点整（2） 2点整（3）5点30分（4）10点20分（5）7点36分
2、从时针指向6点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针重合？
3、九点与十点之间什么时候时针与分针重合？
4、钟面上3点过几分，⑴时针和分针重合？⑵下次时针和分针重合是几点几分？
5、一点到两点之间，分针与时针在什么时候成直角？
6、在3点至4点之间的什么时刻，钟表的时针和分针相互垂直。
7、在四点与五点之间，什么时刻时钟的分针和时针夹角成180度？
8一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。
这部动画片放映了多长时间？。
经典奥数时钟问题
时钟问题解法与算法公式之迟辟智美创作时钟问题的关键点：时针每小时走30度分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度.请看例题：【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A．1次 B．2次 C．3次 D．4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，暗示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，暗示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直.经验证，选B可以.【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为A．10点15分B．10点19分C．10点20分D．10点25分【解法1】时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以谜底为A.【解法2】惯例方法设此时刻为X分钟.则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度.所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟.著名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，发生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法.例 1 在钟表正常走动的时候，有几多个时针和分针重合的位置？它们分别暗示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟.两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，呈现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，呈现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复呈现以上情况.用数学式子来暗示，即为：12x－x=60m，其中m=1，2，…．度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟.所以，12点以后呈现第呈现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们如果用m=11代入，解得x=60，呈现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次呈现两针重合的时间.例 2 已知：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟.试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快几多或慢几多？为什么？解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分.(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟.设当标准时间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1分钟，则(3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟.设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则(4)因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟.设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手表走x3分，则答：手表走时禁绝，走慢了，每小时慢0.133分，即年夜约慢8秒.例3一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需几多分钟？解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45＋x)分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程例4时钟的分针和时针在24小时中，形成过几多次直角？解：因为时针1小时转动30°°，分针每分钟转动6°．设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程x(6°°)=90°．针24小时会有几多次差90°的倍数呢？设有n次，则由此解得n=88．在这88次中，时针与分针所成角度分别为90°，180°，270°，360°，其中180°，360°分歧要求，因此总共有44次直角.(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果.)例5时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过几多分钟后，可以成为一条直线？直线上.也可这样解：设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时例 6 在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是5时x分，在手概况上，因为分针1分钟转动6°，时针1小时转动30°°，时针从0点到5点x分转动了(150＋0.5x)度，分针从0分到x分转动了6x度.因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差3×6°=18°，所以有方程150＋0.5x－6x=18．解之，得x=24．所以，此时为5时24分.下面是关于时钟的一个更精彩的算题.我们知道爱因斯坦是一位伟年夜的物理学家，他是相对论的奠定人，他的科学成绩使人类跨越了一个时空.有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考.设想钟表的位置在12点整，这时把长短针对换一下，它们的位置还是合理的.可是，在6点整时，如果把长短针对换，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不成能发生.那么，钟表的长短针在什么位置，它们对换后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间.说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短.问题是怎样解决的呢？第一类情况，那时针与分针重合时，它们可以对换.这种情况在例1中已经解决，总共在钟面上有11个位置.除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程当两针对换后，就酿成时针走了y个刻度，分针走了x个刻度.如果设分针已在此之前走了n圈，又可得方程把m，n看成已知数解这个方程组，得由0≤x，y≤60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解.其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置, 当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置.当m≠n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置.对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不由使后人为这位巨匠的天赋而惊叹.行测试题精选解答：时钟问题罕见种类与解法1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）.而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必需追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟.解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）答：2点10分时，两针重合.2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格.在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）.因分针比时针速度快，要成直线，分针必需追上时针（20小格）并超越时针（30小格）后，才华成一条直线.因此，需追及（20＋30）小格.解：（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上.3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必需追及并超越时针，才华构成直角.所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格.解：（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角.4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上.看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上.看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下.（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后.12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分.第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即 1点38分.第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）即 2点43分.如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（分歧题意）如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下.因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的.5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间瞄准.现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才华走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝.2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分.3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷.解： 5×（17－12）＝27 （分） 27÷＝30（分）答：再经过30分钟，该挂钟才华走到5点30分.解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题.钟面上按“时”分为12年夜格，按“分”分为60小格.每小时，时针走1年夜格合5小格，分针走12年夜格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及.例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(概况上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超越时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格.由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线.例2：从6时整开始，经过几多分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格.如果要第一次重合，也就是两者之间间隔酿成0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟.例3：在8时几多分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格.如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超越时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间酿成9时，超越了题意的8时几多分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直.由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过几多时间，分针与时间成几多夹角)时，采纳上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法.解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了几多个小格，而不论两者分别走了几多个小格.下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点.时钟是我们日常生活中不成缺少的计时工具.生活中也时常会遇到与时钟相关的问题.关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型.要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点.一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单元.1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷.例4：从9点整开始，经过几多分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格.如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔酿成30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟.例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要几多分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格.如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔酿成0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟.例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过几多分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔酿成30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟.【针对性练习】1. 十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？( )A. 10时21 分B. 10时22 分C.10时21D.10时21 分2 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3.分针和时针每隔几多时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4.钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是几多度？5.在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9点过几多分时，时针和分针离“9”的距离相等，而且在“9”的两边？【参考谜底详解】1. 谜底A满足. 分针：6度/分时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x= 分，即10时分两针成直线.谜底A满足.2. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90度，用追及问题的处置方法解：90/(6-0.5)度/分=16 分钟，所以下午3点16 分钟，时针和分针第一次重合.3. 分针和时针每隔几多时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度.所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24×60=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次4. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是几多度？5点零8分，时针成角：5×30+8×0.5=154度，分针成角：8×6=48度，所以夹角是154-48=106度.5 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4.此时，时针领先分针20格.时，分两针成直角，必需使时针领先分针15格，或分针领先时针15格.因此，在相同时间内，分针将比时针多走(20-15)格或(20+15)格.(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5 分， (20+15)/(1-1/12)=38 分，即4点38 分.6. 9点过几多分时，时针和分针离“9”的距离相等，而且在“9”的两边？×X=270-6×X ,解得X=540/13分，所以谜底是9点过41 分.行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格.2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈.°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况.4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次.【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是几多度？（）A. 30度B. 60度C. 90度D. 150度［谜底］D［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°.【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合.那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了几多次？（）A. 10B. 11C. 12D. 13［谜底］B［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈.因此，时针与分针重合了11次.选择B.［解二］根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次.【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置.问这次会议年夜约开了1小时几多分？（）#中国公务员考试信息网A. 51B. 47C. 45D. 43［谜底］A［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格.由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈.假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，获得T＝24/13小时，约合1小时51分.【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A. 10点15分B. 10点19分C. 10点20分D. 10点25分［谜底］A［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了.我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A.核心提示钟面问题很多实质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间.T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间.例5从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）.A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟［谜底］C［解析］从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），根据公式，其间隔时间T＝T0+T0/11≈49（分钟）.【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有几多次?（）A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次［谜底］B［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°.分针与时针所成的角度从0°变动到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会.选择B.［解二］根据公式：从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次.【例7】（广东2008年）时针与分针在5点几多分第一次垂直？（）A. 5点10分B. 5点101011分C. 5点11分D. 5点12分［谜底］B［解析］根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B. 强华公务员【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32B. 32811分C. 33分D. 34分［谜底］B［解一］根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时间为30+3011=32811分钟，所以选择B.［解二］根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：24×6044=32811分钟.核心提示那时钟问题涉及“坏表”时，其实质是“比例问题”.解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算.【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟瞄准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是几多?（）A. 11点整B. 11点5分C. 11点10分D. 11点15分［谜底］C［解析］标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟.此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x∶380=60∶57，可得：x＝400（分钟）.说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了.【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟.如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整.则此时的标准时间是几多？（）A. 9点15分B. 9点30分C. 9点35分D. 9点45分［谜底］D［解析］快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3.假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：x＝45.所以标准时间是9点45分.时钟是我们日常生活中不成缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题.关于时钟的问题有：求时间差：例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有几多时间？A.8小时B.8小时30分C.9小时30分D.9小时50分解析：这种属于最简单的时钟问题.谜底是14.45-5.15=9.30 C求慢（快）表在几小时后显示什么时间？例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟瞄准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是( ).A．11点整 B．11点5分 c．1l点1O分 D．11点15分解析：慢表显示经过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：380÷[（60-3）/60]=400分钟=6小时40分钟，谜底为C：4：30+6：40=11：10.例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟.如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整.则此时的标准时间是( ).A．9点15分 B 9点30分 c．9点35分 D 9点45分解析：这是2个禁绝确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸.我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的.所以当它们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间（45分钟）时慢走造成的.所以标准时间为9点45分，谜底为D. 戴晓东总结：其实这种类型题是较为简单的，关键掌控一点，就是禁绝确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢（快）几多，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的.延伸：通过第二道例题，年夜家可以几多感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想.下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型.求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型.例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合几多次？万学金路戴晓东强调要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点.一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单元.1小时时间，分针走60个小格，时针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格.解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：时针: v1=5格/小时分针：v2=60格/小时n*60=（v2-v1）*12 即：重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了（60-5）*12个格.解出：n=11例：从6时整开始，经过几多分钟后，时针与分针第一次重合？解析：6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格.如果要第一次重合，也就是两者之间间隔酿成0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟.例：一个指在九点钟的时钟，几多分钟后时针与分针第一次重合？解析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格.如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔酿成0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/55小时=540/11分钟.总结：这类题型其实质就是追击问题.我们知道在追击问题中，关键是要知路途程差，速度差.而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有几多个小格，速度差就是一小时差55格（前面已经分析过）.所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解.年夜家可以看看下面这两个问题：供年夜家思考，也是对这类问题的延伸.例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢几多分钟?解析：正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次，爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次，慢了6/11分钟. 每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分钟.一昼夜共慢了1/2*24=12分钟.时针分针讨论了很多，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题.例：1个小时内分针和秒针共重叠（）次.A.60B.59C.61D.55这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下：首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻分针和秒针都是在12上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，.......58，59，60我们来仔细分析当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠.可是在0～1之间却是没有重合的，因为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了.从1～2分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了.当到了59～60分钟之间，最后是分针和秒针同时达到12上，形成了最后一次重复.在59～60间隙里面也是没有重合的.这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60之间的重合，整个过程就发。
时钟问题详细讲解
即0<t<59.02，因为t只能取整数，所以t为1～59，也就是他们相遇59次。
第1题跟这个思路是一样的，大家可以算算！
给大家一个公式吧61T＝S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间所走的格数，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）
钟面分12大格60小，能追5.5度。
1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）
变式与应用
2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中一个的公式。
例2从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？
思路剖析
时针与分针直线也就是说两针的夹角为180°。从5时整开始时，时针在一个小时之从5运转到6，分针从12开始在一个小时之会旋转360°，必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线，从图2中易知此时刻必然落在11与12之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例1正好是个相反的过程。我们仍可按照例1得出的规律求解。当两针成直线时，时间为5点几分，那么a=5，由于分针位置在11至12之间，则b>55，那么b÷5>11，a<b÷5，应采用24小时计时法。只须解一个方程，便可求解此题。
解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12格/分 分针的速度是:1格/分.
追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分
从12点到12点的总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720/11 次
时钟问题
时钟问题—快慢表问题基本思路：1、按照行程问题中的思维方法解题；2、不同的表针当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；4、时间是标准表所经过的时间；合理利用行程问题中的比例关系；讲解1：“时间就是生命”。
自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。
什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。
大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。
因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。
例1现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面例2在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后面5×7＝35（格）。
时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。
从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。
从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需例3在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后面5×3＝15（格）。
时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：（1）时针与分针重合。
从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷（2）时针与分针成180°角。
从3点开始，分针要比时针多走15＋30例4晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。
钟表问题
时钟问题钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的、在圆周上的行程问题；如求分针与时针重合、成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。
为解好这类问题应掌握以下基础知识.即常用关系式.1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格，为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走1/12格.为0.5°.分针速度是时针速度的12倍，时针是分针速度的1/12.2．时针和分针在重合状态时，分针每再走60÷(1-112)=65511(分),再与时针重合一次.4. 两针垂直,表示它们所成最小角是90°.两针在一直线上，它们成的角是180或05. 解决钟表问题的主要方法是用行程问题尤其是追及问题的思路，以及比例的思路。
练习：1.现在是4时,什么时候,时针和分针第一次相遇？解：由20÷（1-）=21（分）,在4点21分.2.在10时与11时之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?解：第一次垂直需走5÷（1-）=5（分）,在10点5分. 第二次垂直需走5×7÷（1-）=38（分）,在10点38.3.在10时和11时之间的什么时刻,分针与时针在一条直线上?解：若两针反向需走5×4÷（1-）=21（分）,在10点21分. 若两针重合时需走5×10÷（1-）=54（分）,在10点54.4.在7时到8时之间(包括7时与8时)的什么时刻分针与时针之间的夹角为120度? 解：按顺时针方向，时针在前，分针在后成120度，此时分针要多走15小格，所以要走15÷（1-）=16分。
此时是7时16分若按顺时针方向，分针在前，时针在后成120度，此时分针要多走55小格，所以要走55÷（1-）=60（分）此时是8时。
时钟问题乐乐课堂精讲
时钟问题乐乐课堂精讲【例1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）÷3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）÷3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600】=1—14399÷14400=1÷14400个小时，也就是1÷14400X3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒。
【巩固】小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。
有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？【解析】6：24。
【巩固】小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。
有一天晚上8：30，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。
这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？【解析】7点。
【巩固】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【解析】142.5度。
【例2】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？【解析】分针每小时走一圈12格，时针走1格，分针每小时比时针多走12－1=11格，每分钟多走11÷60格。
10时整的时候，时针与分针相距10格，第一次重合，分针要在相同的时间里比时针多走10格，所用时间是：10÷11÷60=54又6÷11（分钟）第二次重合，分针要比时针多走12格，所用时间是：12÷11÷60=65又5÷11（分钟）。
时钟问题(教师)
我们在生活中经常看到钟、手表，在钟面上有许多数学问题，解决这类问题的关键在于弄清楚时针、分针及秒针运动速度之间的相互关系。
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟， 具体为：（1）周角是360°，钟面上有12个大格，每个大格是360°÷12=30°；有60个小格，每个小格是360°÷60=6°。
（2）时针每小时走一个大格（30°），所以时针每分钟走30°÷60=0.5°；分针每小时走60个小格，所以分针每分钟走6°. （3）用大格来描述：时针每小时行1大格，分针每小时行12大格。
可看出分针速度是时针速度的12倍。
（4）用小格来描述：分针每分钟行1小格，时针每分钟行 121小格。
（5）用度来描述：分针60分钟行360度，则分针每分钟行6度，时针每分钟行0.5度。
时钟问题内容分析知识结构1.一节课45分钟，那么一节课的时间，分针走了 度，时针走了 度。
【难度】★【答案】270度；22.5度【解析】分针走了45×6=270度，时针走了45×0.5=22.5度。
【总结】分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度。
2.时针一分钟走0.5度，分针一分钟走6度，分针的速度是时针速度的 倍。
一天24小时，时针走了 圈，分针走了 圈。
【难度】★【答案】12；2；24。
【解析】分针的速度是时针速度的6÷0.5=12（倍），一天24小时，时针走了2圈，分针走了24圈。
20时钟问题
20时钟问题•研究钟面上时针和分针关系的问题。
•钟面的一周分为60格。
当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1/12，分针每走60÷（1－5/60）=65+5/11（分），与时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。
•基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1/12）=追及时间（分钟），其中，1－1/12为每分钟分针比时针多走的格数。
一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。
•常见的时钟问题：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。
•解题思路•在初始状态时针总是在分针前面，在钟面上，时针12小时走一圈即360°。
每分钟走6°。
就是说，分针每分钟比时针多走6°-0.5°=5.5°（两针速度差）当已知原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时，有公式•两针达到要形成夹角度数的分针数=（原来两针的间隔度数±要形成夹角的度数）÷（6°-0.5°）。
•时钟问题是基于时针、分针等在钟面以不同的速度运动彼此不断重合、分离、重合、……的关系而出现的一类试题。
从运动的角度来看，时钟问题可以视为行程问题的变形，同时因为时钟特有的性质，在该类题目的运算中也有自己的特点。
•时钟问题的一般类型就是时针和分针重合、成一直线或直角问题，实际上相当于时针和分针的追及问题或相遇问题。
也会有一些其他体型，如牵涉到弧度的问题，以及时钟快慢的问题等。
•时针和分针间的距离一般用角度即两者的夹角来表示，如重合时距离为0，成一直线时距离为180度，成直角时距离为90度。
各自的速度也用角度来表示：•时针每十二个小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷12÷60=0.5度•分针每小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷60=6度•速度差为6-5.5=5.5度/分钟•速度和为6+5.5=6.5度/分钟•基本思路：封闭曲线上的追及问题。
钟表问题
6、小红傍晚6点钟去商场买本，走进商场看 到钟表上的时针和分针的夹角是120°，买 完本后，走出商场看到钟表上的时针和分针 的夹角又是120°，但已近晚上7点钟了，问 小红买本用了多长时间？
一、整点时刻两针的夹角
例1 求下午4时，时针与分针之间的夹角. 分析： 下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求
（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7 点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需
（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点 开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需
例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻 位于一条直线上？
分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右 图），分针在时针后 面5×3＝15（格）。时针与 分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针 与分针成180°角两种情况（见下图）：
二、任意时刻两针的夹角
例2 钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角 的度数是多少？
分析 要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少 度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过15分钟 转过的角度即可.
解 因为 ×2 ＝30°× ＝67.5°， ×15＝ 90°，
所以90°－67.5°＝22.5°.
分析：速度差×时间=路程差
解：设两点x分时针与分针重合，根据题意得 （6 － 0.5）x = 60
练习：
1、从7点到8点之间，什么时刻时针与分针重合？
2、在1点到2点之间，什么时刻时针与分针成直角？
3、从5点到6点之间，什么时刻时针与分针成直角？ 4、8点几分时针和分针在一条直线上？
练习
如图，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角 是多少？ 【解析】从1：00到1：45分 ，时针 走的度数为： 0.5 °/min×45 min=22.5° 9点整到13点整之间包含有4个小格 即 30 °×4=120 °
时钟问题
时钟问题复习题例1、钟面上3时多少分时，时针和分针恰好重合？例2、在7点到8点之间，时钟两针在什么时候重合？例3、在9点到10点之间的什么时刻，分针和时针在一条直线上，且方向相反？例4、钟面上6点到7点之间两针成直角时是几时几分？例5、在7点到8点之间（包含7点和8点）的什么时刻，两针之间的夹角是120度？例6、钟面上12点30分时，时针在分针后面多少度？例7、有一旧闹钟，每小时快4分，如果在上午九时将闹钟拨准，那么当闹钟显示中午12点时，实际上是什么时间？课内练习1、从5时整开始，再经过多少分钟，时针和分针正好重合？2、钟面上4时多少分时时针和分针正好重合？3、在5点到6点之间的什么时刻，时针和分针在一条直线上，且指向相反？4、在5点到6点之间的什么时刻，时针和分针成直角？5、在5点到6点之间的什么时刻，时针和分针成120度角？6、从时针指向4开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？7、求7时与8时之间，时针与分针成90度角的时刻？8、求7时与8时之间，时针与分针成30度角的时刻？9、8时和9时之间，在什么时刻时针与分针的夹角是60度？10、当钟面上是4时10分时，时针和分针的夹角是多少度？11、当钟面上是8时35分时，时针和分针的夹角是多少度？12、当钟面上是2时40分时，时针和分针的夹角是多少度？13、当钟面上是9时15分时，时针和分针的夹角是多少度？拓展训练1、某钟面上的指针指在2点整，再过多少分钟时针和分针第二次重合？2、9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且分别在“9”的两边？3、某天的中午12时，校准了A、B、C三个时钟，当天时间A显示为下午6时的时候，时钟B显示为下午5时50分；时钟B显示为下午7时的时候，时钟C 显示为下午7时20分，当时钟C显示为当天晚上11时的时候，时钟A显示的时间是多少？时钟B显示的时间是多少？。
奥数-时钟快慢问题
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。
另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511分。
【例 1】小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10分。
中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。
如果小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分？【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】解答【解析】根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是290分钟（11点减去6点10分）,在校时间为250分钟（8点到12点，再加上提前到的10分钟）所以上下学共经过290-250=40（分钟），即从家到学校需要20分钟，所以从家出来的时间为7：30（8：00-10分-20分）即他家的闹钟停了1小时20分钟，即80分钟。
【答案】80分钟【巩固】星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。
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第20讲时钟问题
同学们都知道，任何一块手表或快或慢都会有些误差，所以手表指示的时刻并不一定是准确时刻。
这一讲的内容是与不准确时钟有关的时间问题。
这类题目的变化很多，无论怎样变，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可求出这一时间段内的误差。
例1 肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。
有一天晚上8点整时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。
这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？
分析与解：因为这个闹钟走得慢，所以响铃时间肯定在5点55分后面。
，闹钟走595分相当于标准时间的
响铃时是标准时间的6点整。
例2 爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。
如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时针再次指示8点时，实际上是几点几分？
分析与解：由上一讲知道，时针与分针两次重合的时间间隔为
所以老式时钟每重合一次就比标准时间慢
时钟24时重合多少次呢？我们观察从12点开始的24时。
分针转24圈，时针转2圈，分针比时针多转22圈，即22次追上时针，也就是说 24时正好
例3 小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，一个每天慢30分。
现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？
分析与解：由时钟的特点知道，每隔12时，时针与分针的位置重复出现。
所以快钟和慢钟分别快或慢12时的整数倍时，将重新显示标准时间.
快12时，需经过
（60×12）÷20＝36（天），
即快钟每经过36天显示一次标准时间。
慢钟慢12时需要
（60×12）÷30＝24（天），
即慢钟每经过24天显示一次标准时间。
因为［36，24］=72，所以两个钟同时再次显示标准时间，至少要经过72天。
例4 一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢2分。
若将两个钟同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。
此时的标准时间是多少？何时将两个钟同时调准的？
分析与解：因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟20÷1＝20（时），所以是20时前（12点40分）将两个钟同时调准的。
当然，本题也可以由慢钟求出结果。
同学们不妨试试。
例5 某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每小时100分钟（见右图）。
当这只钟显示5点整时，实际上是中午12点整。
当这只钟显示3点75分时，实际上是什么时间？实际时间下午5点24分时，这只钟显示什么时间？
分析与解：怪钟每天100×10＝1000（分），而实际即正常的钟是每天60×24＝1440（分），所以怪钟的1分等于实际的
1440÷1000＝1.44（分），实际的1分等于怪钟的
怪钟的10点整相当于正常钟的12点整。
怪钟从10点到3点75分经过了375分，等于实际的
1.44×375＝540（分）＝9（时）。
所以怪钟的3点75分就是实际的上午9点整。
从0点（即半夜12点）到下午5点24分，正常钟走了
60×（12＋5）＋24＝1044（分），
等于怪钟的
所以实际时间下午5点24分时，怪钟显示7点25分。
例6 李叔叔下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班的时间了，就到屋里去看钟，可是钟停在了12点10分。
他赶快给钟上足发条，匆忙中忘了对表就上班去了，到工厂一看离上班时间还有10分钟。
夜里11点下班，李叔叔回到家一看，钟才9点钟。
如果李叔叔上、下班路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？
分析与解：这道题看起来很“乱”，但我们透过钟面显示的时刻，计算出实际经过的时间，问题就清楚了。
钟从12点10分到9点共经过8时50分，这期间李叔叔上了8时的班，再减去早到的10分钟，李叔叔上、下班路上共用
8时50分－8时－10分＝40（分）。
李叔叔到工厂时是2点50分，上班路上用了20分钟，所以出发时间是2点30分。
因为出发时钟停在12点10分，所以钟停了2时20分。
A级练习
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。
看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。
看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。
（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。
现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？
B级练习
1、现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
2.在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
3.在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？
4 .晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正
好成一条直线，结束时两针正好重合。
这部动画片播出了多长时间？
5. 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
6.小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的
位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。
小明做作业用了多少时间？
C级练习
1.在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
2.现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？
3.在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°？
4.小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？
5.一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？。