几何综合题专题讲座

A

中考专题复习讲座（三）——几何综合题

四中 董学艳

一、几何的基本计算和证明问题（中等题）

1、在梯形A B C D 中，AB C D ∥，90A B C ∠=°，5A B =，10B C =，tan 2A D C ∠=． （1）求D C 的长；

（2）E 为梯形内一点，F 为梯形外一点，若BF D E =，F B C C D E ∠=∠，试判断E C F △的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若B E E C ⊥，:4:3B E E C =，求D E 的长．

2、如图，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB//CD ，AD=BC ． 翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．已知CE ⊥AB ． （1）求证：EF//BD ；

（2）若AB=7，CD=3，求线段EF 的长．

3、已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4，CD=32，点E 在AB 的延长线上，

且3

3tan =E 。

（1） 求证：DE 是⊙O 的切线

（2） 将ΔODE 平移，平移后所得的三角形记为ΔO ’D ’E ’，

求当点E ’与点C 重合时，ΔO ’D ’E ’与⊙O 重合部分的面积。

二、用数学思想方法解几何综合题

在解决数学问题的时候，不仅离不开具体的数学知识，更离不开解决问题的策略、思想和方法。

数学思想想法方法是数学知识的重要组成部分，是由知识转化能力的桥梁。我们经常使用的有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等。解决数学问题的关键是探求条件和结论之间的联系，找到解题思路，在思维上经常用到分析法和综合法。

1、如图ABC ∆中，BC=a,AC=b,AB=c.若︒=∠90C ，如图（1），根据勾股定理，则c b a

2

2

2

=

+。若ABC ∆

不是直角三角形，如图（2）和图3，请你类比勾股定理，试猜想b a 22+与c 2的关系，并证明你的结论。

（1） (2) (3)

2、如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动Q 从A

点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x s ． (1)Q 点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x 的代数式表示）

(2)当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形? (3)记PQ 的中点为G ．请你探求点G 随点P ，Q 运动所形成的图形， 并说明理由.

三、探究性问题

探究性问题具有开放性、操作性、综合性的特点。在解答时，往往需要经历观察、实验、猜想、推理、反思等活动。

1.如图，点D 、E 分别是正三角形ABC ，正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD,DB 交AE 于P 点。 （1）求图(1)中，APD ∠的度数

（2）图(2)中，APD ∠的度数为 ; 图(3)中，APD ∠的度数为 。

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形的情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，

请说明理由。

G E

D

B

A

2.(1)如图,等边ABC ∆中，D 是AB 上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC ∆连接AE.

求证：BC AE ；

(2)如图:将（1）中等边ABC ∆的形状改成以BC 为底边的等腰三角形，所作EDC ∆改成相似于ABC ∆。请问：是否仍有BC AE ？证明你的结论。

3、我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心。一个三角形有且只有一个重心。可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，∠B 的平分线BE 与BC 边上的中线AD 互相垂直，并且BE=AD=4， 求：（1）猜想AG 与GD 的数量关系，并说明理由； （2）求△ABC 的三边长。

4、我们给出如下定义：如果三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三

角形”。在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为c b a ,,。 （1）若∠A=2∠B ，且∠A=60°，求证：)(2

c b b a +=。

（2）如果对于任意的倍角三角形ABC （如图），其中∠A=2∠B ，关系式)(2

c b b a +=是否仍然成立？请

证明你的结论。

5、如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m

和n ，将菱形的“接近度”定义为m n - ，于是，m n -

越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为 70 ，则该菱形的“接近度”等于 ； ； ②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．

（2）设矩形相邻两条边长分别是a 和 b （a b ≤ ），将矩形的“接近度”定义为a b - ，于是a b -

越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

四、关于几何变换的一些认识：

运用几何变换的观点来进行分析几何问题，可以使我们在添辅助线时减少盲目性，增强目的性，进而掌握一些添辅助线的规律。

有些几何问题，由于涉及的元素分散或交错，因而难以发现题设和结论间的关系。但若能适当地运用几何变换法，将图形的某些部分变换到适当的新位置，则常可使分散的元素集中起来。

1、如图四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F 。 (1)如图（1），当点E 在AB 边的中点位置时：

①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量的关系是 ； ②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ; ③请证明你的上述两个猜想。

（2）如图（2），当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此

时DE 与EF 有怎样的数量关系。

图1 图2

a b