2020高考数学(文)一轮复习课时作业 33一元二次不等式及其解法含解析

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2020版高考数学一轮复习课后限时集训33基本不等式文含解析北师大版

课后限时集训(三十三)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 3D [由x ＞0知3x ＋4x ≥43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立，则2－3x －4x ≤2－43，因此函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－43，故选D.]2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5 C [由a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2知1a ＋4b ＝12()a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥92，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝43时等号成立，故选C ．]3．(2018·太原模拟)已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A ．53 B ．103C ．32D ．3D [4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3yx－1≥3，当且仅当4x x ＋3y ＝x ＋3yx，即x ＝3y 时，等号成立．故选D.] 4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设容器底面矩形的长和宽分别为a 和b ，容器的总造价为y 元，则ab ＝4，y ＝4×20＋10×2(a ＋b )＝20(a ＋b )＋80，∵a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)，∴y ≥160，故选C ．]二、填空题6．(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 8 [∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.]7．(2019·徐州模拟)已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________． 2 [a b 2＋1＝22×2a b 2＋1≤22×12(2a 2＋b 2＋1)＝24×(3＋1)＝2，当且仅当2a ＝b 2＋1，且2a 2＋b 2＝3，即a 2＝1，b 2＝1时，等号成立．故a b 2＋1的最大值为 2.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．20 [每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x4－2x 的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x4－2x 的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 组能力提升1．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20D ．28C [∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6×2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取等号． ∴x ＋y 的最小值为20.]2．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．4 [∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.]3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/千克、b 元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可)乙 [甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2aba ＋b.∵a ＋b2－2ab a ＋b ＝a －b22a ＋b ≥0，且两次购买的单价不同，∴a ≠b ，∴a ＋b2－2aba ＋b＞0， ∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．]4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (单位：万元)．当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于年产量x (单位：千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x，则L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x时，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000.因为950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为1 000万元．。

高考数学第一轮知识点总复习第二节一元二次不等式及其解法

解得0<x< 1 . 3
0
x
1,
12. (2009·南京模拟)已知不等式ax2 - 3x 6 4 的解集为{x|x<1或x>b}.
学后反思解不等式应用题，可分以下几步思考：（1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系; （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化; （3）求解不等式; （4）还原实际问题.
举一反三
4.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?
解（1）∵x∈R时，有 x2 ax 3- a 0恒成立，
则 a2 - 4(3 - a) 0,
即 a2 4a -12 0,-6 a 2.
(2)方法一：当x∈[-2,2]时，gx x2 ax 3 - a 0 ,分如下三种
情况讨论：
图1
图2
图3
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有 a2 - 4(3 - a) 0 ,即-6≤a≤2.
x2
的解集为B，若
A
,B则实数a的取值范围是.
解析: ∵A={x|2<x≤3},B={x|x>a},又 A,∴a≤B2.
x2 1 x a 0
答案: (-∞,2］
11. 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润y=（出厂价-投入成本）×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内?

专题35 一元二次不等式及其解法-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题35一元二次不等式及其解法最新考纲1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.基础知识融会贯通1．“三个二次”的关系2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．【知识拓展】(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．(2)f xg x≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．重点难点突破【题型一】一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式【典型例题】不等式x2+5x﹣6＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＜﹣6或x＞l} D．{x|﹣6＜x＜l} 【解答】解：不等式x2+5x﹣6＞0化为（x+6）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣6或x＞1，∴不等式的解集是{x|x＜﹣6或x＞1}．故选：C．【再练一题】不等式6x2+17x+12＜0的解集是．【解答】解：不等式6x2+17x+12＜0可化为（2x+3）（3x+4）＜0，解得x，∴所求不等式的解集是（，）．故答案为：（，）．命题点2含参不等式【典型例题】设a＞1，则关于x的不等式的解集是（）A．B．（a，+∞）C．D．【解答】解：a＞1时，1﹣a＜0，且a，则关于x的不等式可化为（x﹣a）（x）＞0，解得x或x＞a，所以不等式的解集为（﹣∞，）∪（a，+∞）．故选：D．【再练一题】已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）A．（，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．{x|α＜x＜β}D．（﹣∞，α）∪（β，+∞）【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），则α，β是一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，且a＜0；∴α+β，α•β；∴不等式cx2+bx+a＞0化为x2x+1＜0，∴αβx2﹣（α+β）x+1＜0；化为（αx﹣1）（βx﹣1）＜0；又0＜α＜β，∴0；∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为：{x|x}．故选：A．思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【题型二】一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题【典型例题】若不等式ax2﹣x+a＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为（）A．a或a B．a或a＜0C．a D．【解答】解：不等式ax2﹣x+a＞0对一切实数x都成立，则，即，解得a，所以实数a的取值范围是a．故选：C．【再练一题】已知关于x的不等式x2﹣x+a﹣1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】解：关于x的不等式x2﹣x+a﹣1≥0在R上恒成立，所以二次函数的图象与x轴最多有一个交点，所以判别式△＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）≤0，解得，所以a的取值范围为．故答案为：[，+∞）．命题点2在给定区间上的恒成立问题【典型例题】已知[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0，其中0＜m＜2，（1）解不等式．（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．【解答】解：（1）[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0当m﹣1＝0时，不等式为（x﹣1）＞0即{x|x＞1}．当1﹣m＜0时，即1＜m＜2，不等式解集为当0＜1﹣m＜1时，即0＜m＜1，不等式解集为综上得：当m＝1时解集为{x|x＞1}，当0＜m＜1时解集为当1＜m＜2时，不等式解集为（2）x＞1时，原命题化为（m﹣1）x+1＞0恒成立，∴（m﹣1），∴1≤m＜2【再练一题】已知关于x的不等式：x2﹣mx+m＞0，其中m为参数．（1）若该不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）当x＞1时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx+m＞0的解集为R，则△＜0，即m2﹣4m＜0；……………………………解得0＜m＜4，∴m的取值范围是（0，4）；……………………………（2）当x＞1时，关于x的不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，等价于m恒成立，……………………………设f（x），x＞1；则f（x）（x﹣1）2≥22＝4，当且仅当x＝2时取“＝”；……………………………∴m的取值范围是（﹣∞，4）．……………………………命题点3给定参数范围的恒成立问题【典型例题】已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）．（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；（2）若对于m∈[﹣2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于mx2﹣2x+（1﹣m）＜0对任意实数x恒成立当m＝0时，﹣2x+1＜0⇒x不恒成立∴，∴m无解．故m不存在．（2）设f（m）＝（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）要使f（m）＜0在[﹣2，2]上恒成立，当且仅当⇔∴∴x的取值范围是{x|}【再练一题】已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0．（1）若对任意实数x上述不等式恒成立，求m的取值范围；（2）若对一切m∈[﹣2，2]上述不等式恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）若对任意实数x上述不等式恒成立，当m＝0时，﹣2x+1＜0显然不恒成立，当m≠0时，要使对任意实数x上述不等式恒成立，∴m＜0，且△＜0，∴m2﹣m+1＜0，解得x∈Φ；故不存在m，使得mx2﹣2x﹣m+1＜0对任意实数x上述不等式恒成立．（2）若对一切m∈[﹣2，2]上述不等式恒成立，设g（m）＝m（x2﹣1）﹣2x+1，∴g（﹣2）＜0，且g（2）＜0，∴x，故x的范围为x.思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练【题型三】一元二次不等式的应用如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，那么对于函数应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）C．f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）【解答】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，∴a＞0，函数的对称轴为x＝1，∴f（﹣1）＝f（3），函数在（1，+∞）上单调递增，∴f（2）＜f（3）＜f（5），∴f（2）＜f（﹣1）＜f（5），故选：D．【再练一题】已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），根据韦达定理，可得：，x1+x2＝4a，那么：4a．∵a＜0，∴﹣（4a）≥2，即4a故的最大值为．故选：D．思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．基础知识训练1．【贵州省铜仁市思南中学2018-2019学年高一下学期期中考试】不等式210++<的解集为空集，则x mxm 的取值范围是（）A ．(-2,2)B ．[-2,2]C ．(,2)(2,)−∞−⋃+∞D ．(,2][2,)−∞−+∞【答案】B 【解析】因为不等式210x mx ++<的解集为空集,所以21y x mx =++的图象与x 轴没有交点或有唯一交点，210x mx ++=有一个或没有实根， 240m ∴=−≤,解得22m −≤≤,m 的取值范围是[-2,2]，故选B.2．【北省宜昌市部分示范高中教学协作体2018-2019学年高一下学期期中考试】不等式240ax ax +−＜的解集为R ，则a 的取值范围是（） A ．160a ≤< B ．16a >−C ．160a −<≤D ．0a <【答案】C 【解析】当0a =时，不等式即40−＜，恒成立．当0a ≠时，由题意可得2160a a ∆=+＜，且0a ＜，解得160a ＜＜−．综上，实数a 的取值范围是160a −≤＜，故选C ．3．【安徽省安庆市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】若不等式20ax x a −+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（） A ．12a <−或12a >B ．12a >或0a < C ．12a >D ．1122a −<<【答案】C 【解析】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a −+>对一切实数x 都成立，则00a >⎧⎨∆<⎩，即2140a a >⎧⎨−<⎩，解得12a >，所以实数a 的取值范围是12a >. 故选：C.4．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】不等式20ax bx c ++>的解集为（-4,1），则不等式2(1)(3)0b x a x c +−++>的解集为（） A ．4(1,)3− B ．4(,1)(,)3−∞−⋃+∞C ．4(,1)3−D ．4(,)(1,)3−∞−⋃+∞【答案】A 【解析】不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a ＜0；由根与系数的关系知，4141b ac a ⎧−+=−⎪⎪⎨⎪−⨯=⎪⎩，∴34b ac a=⎧⎨=−⎩， ∴不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0化为 3a （x 2+1）﹣a （x +3）﹣4a ＞0，即3（x 2+1）﹣（x +3）﹣4＜0，解得﹣1＜x 43＜，∴该不等式的解集为（﹣1，43）．故选：A ．5．【广东省佛山市南海区桂城中学2018-2019学年第二学期高一数学第二次阶段考试】已知关于x 的不等式20x ax b −−<的解集是()2,3−，则+a b 的值是（）A ．11−B ．11C ．7-D ．7【答案】D关于x 的不等式20x ax b −−<的解集是()2,3−∴方程20x ax b −−=的解为：2−和3由根与系数的关系得：231a =−+=，236b −=−⨯=−，即6b =7a b ∴+=本题正确选项：D6．【广东省深圳市四校发展联盟体2018-2019学年高二第二学期期中考试】在R 上定义运算():x y=x 1y ⊗⊗−，若对任意x 2>，不等式()x a x a 2−⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(7,⎤−∞⎦B ．17,⎡⎤−⎣⎦C ．(3,⎤−∞⎦D ．()17,,⎤⎡−∞−+∞⎦⎣【答案】A 【解析】由题意可得：()()()12x a x x a x a −⊗=−−≤+ 即：()222a x x x −≤−+对任意2x >恒成立2x > 20x ∴−> 222x x a x −+∴≤− 设()()()()2223242423222x x x x f x x x x x −+−+−+===−++−−−则()37f x ≥=（当且仅当1111426767==−⨯，即4x =时取等号）即()min 7f x = 7a ∴≤，即(],7a ∈−∞ 本题正确选项：A7．【黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【答案】C令因为即也就是在时，取最大值为6所以解得故选C8．【山东省济宁市2019届高三二模】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的解析式易知恒成立，则，原问题等价于函数的图像恒不在函数图像的下方；绘制函数的图像，如图所示，函数表示过定点的直线，很明显时不满足题意，时满足题意，当时，考查如图所示的临界条件，即直线与二次函数相切，，设切点坐标为，切线的斜率为，则切线方程过点，即：，数形结合可知，故，此时切线的斜率，故实数的取值范围为.故选：D.9．【江西师范大学附属中学2018-2019学年高一下期期中考试】已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()60x y a x y +−++≥恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．B ．7C ．D ．8【答案】B 【解析】3x y xy ++= ，且22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，整理即(6)(2)0x y x y +−++≥，又,x y 均为正实数，故6x y +≥，又对于任意满足3x y xy ++=的正实数,x y ，均有2()()60x y a x y +−++≥恒成立，整理可得()6()a x y x y ≤+++恒成立，令6m x y =+≥，令6()g m m m=+，6m ≥时2'()160g m m =−>所以6()g m m m=+在[)6,+∞上递增，()(6)7g m g ∴≥=，因此(6)7a g ≤=，实数a 的最大值为7，故选B.10．【湖北省荆州市沙市中学2018-2019学年高一5月月考】若正实数x ，y 满足141x y +=，且234y x a a +>−恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,4− B ．()1,4−C ．[]4,1−D ．()4,1−【答案】B 【解析】由题意知：1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x >，0y > 40x y ∴>，04yx>424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即2x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴−<，解得：()1,4a ∈− 本题正确选项：B11．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月考】若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +−−<有解，则实数m 的取值范围为（）A ．(,2)(4,)−∞−⋃+∞B ．(,4)(2,)−∞−+∞C ．(2,4)−D ．(4,2)−【答案】B 【解析】由题222x y m m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立则228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)−∞−+∞故选：B12．【河北廊坊2018-2019学年高一年级第二学期期中联合调研考试高一】已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：由的解集是，则故有，即.由解得故不等式的解集是故选A.13．【内蒙古包头市第九中学2018-2019学年高一下学期期中考试】二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值为_______.【答案】6 【解析】二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭，则0a <，且210ax bx ++=的两个根为1−和13. 所以113113b a a⎧−+=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，解得3,2a b =−=−.所以6ab =14．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知不等式20ax bx c ++<的解集为{x | 2<x<3}，则252b c a +++的最小值为__________. 【答案】8 【解析】由题知0,5,6b ca a a>−==，则b 5a,=−c=6 a ，则2525(2)2222b c a a a ++=++−≥++=8，当且仅当2522a a +=+，即3a =时取等号.故252b c a +++的最小值为8. 故答案为：815．【内蒙古赤峰二中2018-2019学年高一下学期第二次月考】不等式()2230x a a x a −++>的解集为{|x 2x a < 或x a > }，则实数a 的取值范围______．【答案】[0,1] 【解析】由题意可得2a 和a 是方程()223x a 0a x a −++=的根，又()()22232a 4a 10aa a =+−=−≥，所以2a 0a −≤，故0a 1≤≤.16．【江西省南昌市第十中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1{|2,}2x x x <−>−或，则20ax bx c −+>的解集为_____. 【答案】122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由题意，关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1{|2,}2x x x <−>−或，则012()212()2a b a c a ⎧⎪<⎪⎪−+−=−⎨⎪⎪−⨯−=⎪⎩，解得5,2b a c a ==，所以不等式20ax bx c −+>，即为2255(1)022ax ax a a x x −+=−+>，即25102x x −+<，即1(2)()02x x −−<，解得122x <<即不等式20ax bx c −+>的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．【四川省大竹中学2018-2019学年高一第二学期5月月考考前模拟】已知函数2()45()f x x x x R =−+∈.（1）求关于x 的不等式()2f x <的解集；（2）若不等式()|3|f x m >−对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) {|13}x x << (2) (2,4) 【解析】（1）由()2f x <得2430x x −+<，即13x <<，所以()2f x <的解集为{|13}x x <<；（2）不等式()|3|f x m >−对任意x R ∈恒成立min |3|()m f x ⇔−<，由22()45(2)1f x x x x =−+=−+ 得，()f x 的最小值为1，所以|3|1m −<恒成立，即131m −<−<，所以24m <<，所以实数m 的取值范围为(2,4).18．【福建省三明市三地三校2018-2019学年高一下学期期中联考】已知函数2()28f x x x =−−（1）解不等式()0f x ≥；（2）若对一切0x >，不等式()9f x mx ≥−恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(][),24,−∞−⋃+∞；（2）(],0−∞ 【解析】（1）()()()228240f x x x x x =−−=+−≥ 2x ∴≤−或4x ≥∴所求不等式解集为：(][),24,−∞−⋃+∞（2）当0x >时，()9f x mx ≥−可化为：22112x x m x x x−+≤=+−又12x x +≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号）min12220x x ⎛⎫∴+−=−= ⎪⎝⎭ 0m ∴≤即m 的取值范围为：(],0−∞19．【内蒙古赤峰市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知函数2()3f x x x m =++.(1)当m=-4时，解不等式()0f x ≤； (2)若m>0，()0f x ＜的解集为(b ，a)，求14a b+的最大値. 【答案】(1) [-4,1]；(2)-3 【解析】（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4,1]．(2)由题()0f x =的根即为a,b,故a+b=-3,ab=m>0，故a,b 同负，则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫−++=−++≤−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2,1−=−=b a 等号成立20．【黑龙江省哈尔滨市呼兰一中、阿城二中、宾县三中、尚志五中四校2018-2019学年高一下学期期中考试】已知函数()22f x x x a =++.（1）当2a =时，求不等式()1f x >的解集（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}1x R x ∈≠−（2）3a >− 【解析】（1）()221221,(1)0,1f x x x x x >∴++>+>∴≠−即不等式()1f x >的解集为{}1x R x ∈≠−，（2）()22,11f x x x a x x =++≥∴=时()f x 取最小值3a +，因此30, 3.a a +>>−21．【安徽省固镇县第一中学2018-2019学年高二5月月考】设命题p :实数x 满足22430x mx m −+<；命题q ：实数x 满足31x −<（1）若1m =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若0m >,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) (2,3)x ∈ (2) 4,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】解：（1）由22430x mx m −+<得; ()(3)0x m x m −−< 当1m =时，13x <<，即P 为真时，(1,3)x ∈由31x −<得131x −<−<，即24x <<，即q 为真时，(2,4)x ∈因为p q ∧为真，则p 真q 真，所以(2,3)x ∈（2）由22430x mx m −+<得；()(3)0x m x m −−<，又0m >，所以m ＜x ＜3m,由31x −<得131x −<−<，即24x <<；设{}3A x x m x m =≤≥或，{}24B x x x =≤≥或若p q ⌝⌝是的充分不必要条件则A 是B 的真子集，所以0234m m <≤⎧⎨≥⎩即4,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 22．【湖北省荆州市沙市中学2018-2019学年高一5月月考】设函数()24f x ax x b =++ （I ）若1b =，且对于[]0,1x ∈，有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（II ）若4a b +=，解关于x 的不等式()0f x ≥ 【答案】（I ）5a ≥−；（II ）见解析. 【解析】（I ）当0x =时，()010f =>，此时a R ∈ 当(]0,1x ∈时，2410ax x ++≥恒成立，即224114x a x x x+≥−=−−恒成立 2max 14a xx ⎛⎫∴≥−− ⎪⎝⎭设1t x=，则[)1,t ∈+∞且()()22424g t t t t =−−=−++，函数()g t 在区间[)1,+∞上是单调递减的 ()()max 15g t g ∴==− 5a ∴≥− 综上所述：5a ≥− （II ）4a b += ∴解不等式()0f x ≥即解不等式2440ax x a ++−≥当0a =时，原不等式等价于440x +≥，解得：1x −≥ 当0a ≠时，原不等式等价于()410a a x x a −⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭令()410a a x x a −⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，解得：14a x a−=，21x =− 若2a >，则41a a −>−，解得：1x ≤−或4a x a−≥ 若2a =，则41a a−=−，解得：x R ∈ 若02a <<则41a a −<−，解得：4a x a −≤或1x −≥ 若0a <，则41a a −>−，解得：41a x a−−≤≤ 综上，当0a <，不等式的解集为41a x x a −⎧⎫−≤≤⎨⎬⎩⎭；当0a =时，不等式的解集为{}1x x ≥−；当02a <<时，不等式的解集为41a x x x a −⎧⎫≤≥−⎨⎬⎩⎭或；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为41a x x x a −⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或能力提升训练1．【2019年河北省藁城市第一中学高一下学期7月月考】设1a >，则关于x 的不等式1(1)()0a x a x a ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭的解集是（） A ．1(,),a a ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．(),a +∞C ．1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1,,a a ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】a ＞1时，1﹣a ＜0，且a 1a＞，则关于x 的不等式()()110a x a x a ⎛⎫−−−⎪⎝⎭＜可化为（x ﹣a ）（x 1a −）＞0，解得x 1a＜或x ＞a ，所以不等式的解集为（﹣∞，1a ）∪（a ，+∞）．故选：D ．2．【河南省濮阳市2018-2019学年高二下学期升级考试】设,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m −++=的两个实根，则22(1)(1)a b −+−的最小值是（）A ．494−B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m −++=的两个实根所以由韦达定理得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=−−≥ 所以()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+−=−+−−++=−− 2349444m ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭ 且3m ≥或2m ≤− 由二次函数的性质知，当3m =时，函数2349444y m ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭取得最小值为8 即22(1)(1)a b −+−的最小值为8故选C.3．【江苏省无锡市锡山区天一中学2019年高一期末】已知关于x 的不等式2680kx kx k −++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k ³【答案】A【解析】当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k −++≥对任意x ∈R 恒成立，则2364(8)0k k k ∆=−+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k −++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

课时作业：一元二次不等式及其解法

§1.5 一元二次不等式及其解法课时精练1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3) 答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ t <x <1t 答案 D解析原不等式可化为(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0， ∵0<t <1，∴t <1t， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t . 3．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析由题设，产量为x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则( )A ．a 2－b 2≤4B ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0. 对于A ，a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0，显然(b －2)2≥0，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ×1b ＝4，当且仅当4b ＝1b >0，即b ＝12时，等号成立，故B 正确；对于C ，因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，故x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4.7．不等式x ＋2x －1>2的解集为________．答案 {x |1<x <4}解析原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即(x ＋2)－2(x －1)x －1>0，即4－x x －1>0，即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4，∴原不等式的解集为{x |1<x <4}．8．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－4(k ＋1)>0，k ＋1<0，解得k <－1.9．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4>0 ⇒x <1或x >3.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，－1)∪(3,4]解析不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，可化为(x －1)(x －a )<0，当a ＝1时，不等式为(x －1)2<0，解集为∅，舍去，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，则3<a ≤4，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，则－2≤a <－1，综上有－2≤a <－1或3<a ≤4.11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 021，又f (a )＝f (b )＝2 021，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.14．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．答案－5解析不等式f (x )≥m 可化为x 2－2x －3＋m ≤0，令x 2－2x －3＋m ≤0的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，则x 2－x 1＝6，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －3，又∵(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，∴4－4(m －3)＝36，即m ＝－5.16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x . 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0，综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。

高三数学第一轮复习课时作业(33)一元二次不等式的解法

课时作业(三十三) 第33讲一元二次不等式的解法时间：35分钟分值：80分基础热身1．2011·长沙雅礼中学月考 x 2>－x 的解集为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)2．2011·湛江一中模拟不等式－x 2＋3x －2>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >－1} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |－2<x <－1}3．设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．1,2) B ．1,2 C ．(2,3 D ．2,34．2011·吉安二模已知全集U 为实数集R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＋1x －m >0，集合∁U A ＝{y |y ＝x 13，x ∈－1,8}，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 能力提升5．2011·合肥八中月考设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．0,1)B ．(0,1)C ．0,1D ．(－1,06．2011·九江三联已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤27．不等式x 2－4>3|x |的解集是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．2011·济宁一模已知函数f (x )＝9x －m ·3x＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－22＜m ＜2＋2 2B ．m ＜2C ．m ＜2＋2 2D ．m ≥2＋2 29．(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________． 10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2(x >2)，－x 2－x ＋4(x ≤2)，则不等式f (x )≤2的解集是________．11．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．12．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (kmh)满足下列关系：s ＝nv100＋v2400(n 为常数，且n∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图K33－1所示，其中⎩⎨⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？难点突破13．2011·淮南一模已知f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f ⎝⎛⎭⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.课时作业(三十三)【基础热身】1．C 解析即不等式x 2＋x >0，即x (x ＋1)>0，解得x <－1或x >0.2．C 解析即不等式x 2－3x ＋2<0，即(x －1)(x －2)<0，解得1<x <2.3．A 【解析】由解不等式知识知M ＝{x |－3＜x ＜2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．4.A 解析集合∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 13，x ∈[－1，8]＝－1,2，故不等式x ＋1x －m >0，即不等式(x ＋1)(x －m )>0的解集为(－∞，－1)∪(m ，＋∞)，所以m ＝2.【能力提升】5．A 解析不等式x 2－x ≤0的解区间为0,1，函数f (x )＝ln(1－x )的定义域为(－∞，1)，故M ∩N ＝0,1)．6．B 解析命题p 为真时m <0，命题q 为真时m 2－4<0，即－2<m <2.故命题p 或q 为假时，p ，q 均为假，即“m ≥0”且“m ≤－2或m ≥2”，即m ≥2.7．A 解析若x >0，则x 2－3x －4>0，解得x >4；若x ≤0，则x 2＋3x －4>0，解得x <－4.8．C 解析法1：令t ＝3x ，则问题转化为函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1对t ∈(1，＋∞)的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2，1－m ＋1＋m >0，解得m ＜2＋2 2.法2：问题转化为m ＜t 2＋1t －1t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小．又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2(t －1)×2t －1＋2＝2＋22，所以m ＜2＋22，选C. 9.⎝⎛⎦⎤－35，1 解析 a ＝1显然适合；若a 2<1，由Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，∴－35<a <1；综合知－35<a ≤1.10．(－∞，－2∪1,2∪⎣⎡⎭⎫52解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1x －2≤2，x >2，或⎩⎨⎧－x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2∪1,2∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.11．m ≤－5 解析当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇔m <－x 2－4x，当x ∈(1,2)时恒成立⇔m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，当x ∈(1,2)时恒成立．令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(1,2)，则g (x )mix ＝g (1)＝－5， ∴m ≤－5.12．解答 (1)依题意得⎩⎨⎧6<40n 1001600400<8，14<70n 100＋4900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5<n <10，52<n <9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，所以行驶的最大速度为60 kmh.【难点突破】13．解答 (1)f (x )为R 上的减函数，理由如下： ∵对任意的实数a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0成立，∴f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又因为f (x )是R 上的单调函数，由f (－3)＝2，f (0)<f (－3)，所以f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝⎛⎭⎫m －x x ＋f (m )<0，得f ⎝⎛⎭⎫m －x x <－f (m )＝f (－m )，结合(1)得m －x x >－m ，整理得(1－m )x －mx<0. 当m >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x >0或x <m1－m；当m ＝1时，解集为{x |x >0}；当0<m <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <m1－m .。

高中数学一轮复习一元二次不等式及其解法

(Ⅰ)求 f(x)在[0，1]内的值域；
(Ⅱ)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
Байду номын сангаас解：(Ⅰ)依题意知，－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两
－3＋2＝－b－a 8，
根，且 a<0，则
所以－3×2＝－aa－ab，
a＝－3，b＝5，则
f(x)＝－
1－ k1－k2}；
当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R．
点拨：解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写
出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数
－2152，所以实数 c 的取值范围为－∞，－2152．
点拨：三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至
少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．
(1) 已知不等式 ax2 － 3x ＋ 6>4 的解集为
＋2＞0 的解集为 R．
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则
实数 a 的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成立，当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立；当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
需aΔ>≤0，0，即1a－>08，a2≤0，解得 a≥ 42，即 a 的取值
{x|x1＜x＜x2}
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba

2020版高考数学一轮复习(三十三)一元二次不等式及其解法文(含解析)

课时跟踪检测（三十三）一元二次不等式及其解法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·扬州模拟)不等式2x2－x－1＞0的解集为________．解析：不等式2x2－x－1＞0可化为(2x＋1）（x－1)＞0，解得x＞1或x＜－错误!,则原不等式的解集为错误!∪（1，＋∞)．答案：错误!∪（1，＋∞)2．(2018·靖江中学期末)若集合A＝｛x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时,由错误!得0＜a≤4，所以实数a的取值范围是[0,4］．答案：[0，4]3．(2019·昆明模拟)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为________．解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.答案：［－1,4]4．不等式｜x(x－2）|＞x（x－2）的解集是________．解析：不等式|x(x－2)｜＞x（x－2）的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2.答案：（0，2）5．(2019·南通月考）关于x的不等式x2－错误!x＋1＜0（a＞1）的解集为________．解析:不等式x2－错误!x＋1＜0可化为(x－a）错误!＜0,又a＞1，∴a＞错误!，∴不等式的解集为错误!.答案：错误!6．（2018·如东中学测试)已知函数f（x)＝错误!则不等式f(x）≥x2的解集为________．解析：当x≤0时,x＋2≥x2，解得－1≤x≤0；①当x＞0时，－x＋2≥x2，解得0＜x≤1。

②由①②得原不等式的解集为｛x|－1≤x≤1｝．答案：[－1，1］二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州检测）若关于x的不等式x2－3ax＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞m}，则a＋m＝________.解析：关于x的不等式x2－3ax＋2＞0的解集为｛x｜x＜1或x ＞m｝，则1与m是对应方程x2－3ax＋2＝0的两个实数根，把x＝1代入方程得1－3a＋2＝0，解得a＝1，∴不等式化为x2－3x＋2＞0，其解集为{x｜x＜1或x＞2}，∴m＝2，∴a＋m＝3.答案：32．(2018·清河中学检测）不等式(x＋2）错误!≤0的解集为________．解析:由题意错误!或x2－9＝0，即错误!或x＝±3，即x≤－3或x ＝3。

2020版高考数学一轮复习课时作业36《一元二次不等式及其解法》(含解析)

课时作业36 一元二次不等式及其解法一、选择题1.设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( D )A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}.2.不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－12C.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D.(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎨⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3.使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A.x ≥0B.x <0或x >2C.x ∈{－1,3,5}D.x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足.故选C.4.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1,3)C.(－1,3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3).5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( C )A.(－1,0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.6.(2019·安徽阜阳质检)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，当且仅当3x＝23x ，即x ＝12log 32时，等号成立，∴k ＋1<22，即k <22－1，故选B.二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为{x |x >1}.解析：由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎨⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}.8.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .9.已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为(－2,3).解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3).10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为(－∞，4).解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4).三、解答题11.已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5). (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围.解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)， ∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10].12.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立.当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎨⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1].(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－12，32.13.若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是[1,4].解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为kx －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有4≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.14.(2019·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围.解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x －4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立. 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”. 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15.关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( D )A.(4,5)B.(－3，－2)∪(4,5)C.(4,5]D.[－3，－2)∪(4,5]解析：∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，∴不等式可化为(x －1)(x －a )<0.①当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5； ②当a <1时，得a <x <1，则－3≤a <－2；③当a ＝1时，(x －1)(x －1)<0，无解.综上可得，a 的取值范围是[－3，－2)∪(4,5].故选D.16.(2019·山东潍坊质检)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是(－∞，－1].解析：原不等式可化为x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，故x 2＋12x ≥12在区间(－∞，λ]上恒成立，即x 2＋12x －12≥0在区间(－∞，λ]上恒成立，画出二次函数y ＝x 2＋12x －12的图象如图所示，由图可知λ≤－1.。

2020版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明第33讲一元二次不等式及其解法课时达标理(含解析)

第33讲一元二次不等式及其解法课时达标一、选择题1．(2019·南昌月考)已知p ：|5x －2|＞3，q ：1x 2＋4x －5≥0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 解析由|5x －2|>3，得x <－15或x >1，故p ：x ∈M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．由1x 2＋4x －5≥0，得{x |x <－5或x >1}，故q ：x ∈N ＝(－∞，－5)∪(1，＋∞)．因为N ⊆M ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)B 解析根据条件，由x ⊙(x －2)<0得(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1.故选B.3．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}C 解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}．故选C.4．已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)A 解析当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0化为8≥0恒成立；当k ＜0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0不能恒成立；当k ＞0时，要使不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0恒成立，需Δ＝36k 2－4(k 2＋8k )≤0，解得0＜k ≤1.故选A.5．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (5)<f (－1)<f (2)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)B 解析因为ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1，所以f (－1)＝f (3)．又因为函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数，所以f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)．故选B.6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32C 解析因为x ∈(0,2]，所以a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max＝12.由a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32. 二、填空题7．某产品的总成本y (单位：万元)与产量x (单位：台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．解析设产品的利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －y ＝0.1x 2＋5x －3 000，若生产者不亏本，则0.1x 2＋5x －3 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)，即最低产量为150台．答案 1508．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为________．解析不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0(p ∈[－1,1])恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f－＞0，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1.答案 (－3，－1)9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a4＜1，所以a ＞－4，故－4＜a ＜0. 答案 (－4,0) 三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解析 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)因为f (x )＞b 的解集为(－1,3)，所以方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－＋3＝a－a3，－＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.11．(2019·扬州中学模拟)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件，问他将单价定为多少元时，才能使得每天的利润最大？单价定为多少元时，才能保证每天的利润在300元以上？解析设每件提高x 元(0≤x ≤10)，即每件获利润(2＋x )元，则每天可销售(100－10x )件，每天获总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x )·(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.当x ＝4时，y 取得最大值360.所以当售价定为14元时，每天所赚利润最大，为360元．要使每天所赚的利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天的利润在300元以上．12．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解析 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0.所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－b a，－3×2＝－a －aba⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3＜0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 13．[选做题]在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.答案 32。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训33二元一次不等式组与简单的线性规划问题理

课后限时集训(三十三)　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟)A 组　基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－x ，平移该直线，当经35过点C 时，z 取得最大值，由Error!得Error!即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组Error!所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件Error!则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. B ．2 C ．4 D.2689B [作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝＝，易知z min ＝d 2＝2，故选B.]|0＋0－2|12＋1224．点P (x ，y )为不等式组Error!所表示的平面区域内的动点，则的最小值为( )yx A ．－ B ．－2 C ．－3 D ．－1213D [作出不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由Error!可得Error!故A (3，－1).的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P 与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此yx 时k OP ＝－.13]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( )A ．14 000元B ．16 000元C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则Error!利润z ＝300x ＋200y ，可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－x ＋经过点A 时，z 最大．32z 200由Error!可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.]6．已知x ，y 满足约束条件Error!若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]7．(2019·皖南八校联考)设不等式组Error!，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.[－32，－1]C. D ．[－1,3](－∞，－32]A [画出不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，y ＋1x －2由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.]二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)Error!　(2)(－18,14)　[(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为Error!(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1　[不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝x －z .3414平移直线y ＝x ，易知经过点A 时，z 有最小值．34由Error!得Error!∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件Error!若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．　[作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，(13，＋∞)当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－x ＋.1a z a 由Error!解得Error!即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－x ＋的下方，即目标函数的斜率k ＝－，满足k ＞k AC ，即－＞－3.1a z a 1a 1a ∵a ＞0，∴a ＞，即a 的取值范围为.]13(13，＋∞)B 组　能力提升1．若x ，y 满足约束条件Error!则的取值范围是( )x ＋1y A. B.[53，11][111，35]C.D.[35，11][111，53]A [约束条件对应的平面区域是以点，和为顶点的三角形及其内部，(45，45)(32，32)(83，13)的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点y x ＋1时，取得最小值；当(x ，y )取点时，取得最大值，则(83，13)y x ＋1111(32，32)y x ＋135∈，所以∈，故选A.]y x ＋1[111，35]x ＋1y [53，11]2．已知实数x ，y 满足Error!若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域Error!上的一个动点，则·的取值范围是________．OA → OM → [0,2]　[满足约束条件Error!的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，·＝－1×1＋1×1＝0；OA → OM → 当x ＝1，y ＝2时，·＝－1×1＋1×2＝1；OA → OM → 当x ＝0，y ＝2时，·＝－1×0＋1×2＝2.OA → OM → 故·的取值范围为[0,2]．OA → OM → ]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400　[设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N.根据题意，有Error!目标函数为z＝300x＋400y.作出Error!所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。

2020版高考数学一轮复习练习：第32讲一元二次不等式及其解法

第32讲一元二次不等式及其解法1.[2018·山西四大名校联考]不等式x2-x-6<0的解集为()A.-,B.-,C.(-3,2)D.(-2,3)2.[2018·福建晋江联考]不等式≤0的解集为()-A.-1,B.-1,C.(-∞,-1]∪,+∞D.(-∞,-1]∪,+∞3.[2018·四川眉山一中月考]已知函数f(x)=的定义域是R,则实数m的取值范围是()A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥1D.0≤m≤44.[2018·安徽淮南一模]若A={x|ax2-ax+1≤0}=⌀,则实数a的取值范围是.5.不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为.6.[2018·河北定州中学月考]不等式log2(x2-x-5)≥0的解集为()A.[-2,3]B.(-∞,-2]C.[3,+∞)D.(-∞,-2]∪[3,+∞)7.[2018·广东清远一中一模]若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价每提高1元,销售量就会减少10件.若要保证每天该商品的利润在320元以上,则每件售价应定为()A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.310.[2018·湖北武汉联考]对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,-1)∪[0,+∞)C.(-1,0)D.(-1,0]11.已知一元二次方程x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根,分别为x1,x2,且0<x1<2<x2<4,则m的值为()A.-4B.-5C.-6D.-712.[2018·南京秦淮中学月考]若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的最小值为.13.[2018·江苏海安中学月考]关于x的不等式x2-1+x+<0(a>1)的解集为.14.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为.15.[2018·无锡一中月考]在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x0∈[1,2],使不等式(m-x0)※(m+x0)<4成立,则实数m的取值范围为.16.[2018·宿州模拟]若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.课时作业(三十二)1.D[解析]解方程x2-x-6=0,得x1=3,x2=-2,∴不等式x2-x-6<0的解集为(-2,3).故选D.≤0可化简为(x+1)(2x-1)≤0且x≠,∴不等式-≤0的解集为-1,.2.A[解析]不等式-故选A.3.C[解析]由题意可知mx2+2x+1≥0恒成立.当m=0时,不等式不一定成立;当m≠0时,应有m>0且Δ=22-4m≤0,解得m≥1.综上可得实数m的取值范围是m≥1.故选C.4.[0,4)[解析]由题知ax2-ax+1>0恒成立.当a=0时,不等式显然恒成立;当a≠0时,应有a>0且Δ=a2-4a<0,得0<a<4.综上,a的取值范围是[0,4).5.{x|-a<x<3a}[解析]x2-2ax-3a2<0等价于(x-3a)(x+a)<0,因为a>0,所以-a<3a,所以不等式的解集为{x|-a<x<3a}.6.D[解析]∵log2(x2-x-5)≥0,即log2(x2-x-5)≥log21,∴x2-x-5≥1,解得x≥3或x≤-2,故选D.7.C[解析]∵关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax<b的解集是(1,+∞),∴a=b<0,∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,∴所求解集是(-1,3).8.C[解析]设每件售价定为x元,利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)],依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件售价应定为12元到16元之间.9.A[解析]由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,则a+b=-3.10.D[解析]当a=0时,不等式ax2+2ax-(a+2)<0可化为-2<0,恒成立.当a<0时,由不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,可得Δ=4a2+4a(a+2)<0,得-1<a<0.当a>0时,易知不满足条件.综上可得,-1<a≤0,故选D.11.A[解析]∵一元二次方程x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根,且0<x1<2<x2<4,∴令f(x)=x2+mx+3,则由题意可得解得-<m<-.结合m∈Z,可得m=-4.故选A.12.-2[解析]不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,即a≥-x-max,x∈(0,1].令f(x)=-x-,x∈(0,1],由对勾函数的性质知函数f(x)在(0,1]上单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,且f(1)=-1-1=-2,∴a的最小值为-2.13.,1[解析]由题意,不等式x2-1+x+<0,即(x-1)x-<0,因为a>1,所以0<<1,所以不等式的解集为,1.14.[-8,4][解析]因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,由一元二次不等式的性质可知,Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,因为b2≥0,所以λ2+4λ-32≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.15.(-3,2)[解析]因为存在x0∈[1,2],使不等式(m-x0)※(m+x0)<4成立,所以存在x0∈[1,2],使不等式(m-x0+1)(m+x0)<4成立,所以存在x0∈[1,2],使不等式-x0+4>m2+m成立,因为x∈[1,2],所以函数y=x2-x+4的最大值为22-2+4=6.所以6>m2+m,得-3<m<2.16.(-∞,0][解析]因为不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1,x∈[1,2].因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知,当2x=2,即x=1时,y取得最小值0,所以实数a的取值范围为(-∞,0].。

2020年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标33一元二次不等式及其解法理

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标33一元二次不等式及其解法理[解密考纲]考查不等式的解法，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题 1．不等式2x ＋1<1的解集是( A ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＜0，即1－x x ＋1＜0，该不等式可化为 (x ＋1)(x －1)＞0，∴x ＜－1或x ＞1，故选A ． 2．不等式－x 2＋3x －2>0的解集是( C ) A ．{x |x <－2或x >－1} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |1<x <2}D ．{x |－2<x <－1}解析：不等式－x 2＋3x －2＞0，即x 2－3x ＋2＜0，(x －1)(x －2)＜0，解得1＜x ＜2.故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．3．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( B )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (5)<f (－1)<f (2)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)解析：∵ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，∴a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1，∴f (－1)＝f (3)．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数， ∴f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)，故选B ．4．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( C )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}，故选C ．5．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)， ∴a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧1－ab a ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得 4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12或x ＜－32，故选A ．6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( C ) A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32解析：∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥xx 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.由a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.二、填空题7．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0的解集是不等式2x 2－9x ＋a <0的解集的子集，则实数a 取值范围是(－∞，9]．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}．设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f2≤0，f 3≤0，解得a ≤9.8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为(－3，－1)．解析：不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0，p ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1＞0，f 1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是(－4,0)．解析：由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0. 三、解答题10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解析：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．当a ＝0时，1≥0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝2a2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝ax ＋12＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0，解得－12<x <32， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 11．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，故a ＝4，b ＝－8，所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解析：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。

2020年高考数学一轮复习考点34一元二次不等式及其解法必刷题理(含解析)

考点34 一元二次不等式及其解法1．（2019·四川棠湖中学高三高考模拟（理））已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则AB =A ．[]2,4-B ．[)1,+∞ C ．(]0,4 D ．[)2,-+∞【答案】C 【解析】{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=，故(]0,4A B ⋂=，故选C.2．（2019·河南高三高考模拟（理））已知全集为，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为，，所以或.所以.故选A.3．（2019·山西高三高考模拟（理））若集合{|32}A x x a =≥-，{|(1)()0}B x x a x a =-+-≥，A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】因为{|32}A x x a =-…{|1}B x x a x a =-或厔，A B R ⋃=，所以321a a --…，解得43a …. 4．（2019·石嘴山市第三中学高三高考模拟（理））已知集合{1,0,1,2}M =-，2{|30}N x x x =-<．则M N =（）A ．{0,1}B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{1,2}-【答案】C 【解析】由230x x -<，解得03x <<，则{|03}N x x =<<. 又{1,0,1,2}M =-，所以{}1,2M N ⋂=. 故选C ．5．（2019·河南高三高考模拟（理））已知集合{}245A x x x =-<，则（） A ． 1.2A -∈ B ．0.93A ∉C ．2log 30A ∈D ．{}1,2,3,4A N ⋂=【答案】C 【解析】{}15A x x =-<<，220log 30log 325<<=，2log 30A ∴∈.所以选项C 正确.-1.2∉A,所以选项A 错误；1＜0.90.9 333A ＜，所以∈，所以选项B 错误；{}0,1,2,3,4A N ⋂=，所以选项D 错误.故选：C ．6．（2019·湖北高三高考模拟（理））已知集合{}2|20A x x x =--<，{}2|30B x x x =+<，则A B =（） A ．(0,2) B ．(-1,0)C ．(-3,2)D ．(-1,3)【答案】B 【解析】A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣3＜x ＜0}；∴A ∩B ＝（﹣1，0）．故选：B ．7．（2019·安徽高三高考模拟（理））已知命题:p x m …，2:20q x x +-<，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】B 【解析】记[),A m =+∞，对于命题2:20q x x +-<，即为()(),12,B =-∞-⋃+∞，由p 是q 的充分不必要条件知：A 是B 的真子集，2m ∴>，故选B .8．（2019·吉林高三高考模拟（理））已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，则A∩B ＝（） A ．{0，1} B ．{﹣1，0} C ．{﹣1，0，1} D ．{0，1，2}【答案】A 【解析】由B 中不等式解得：-1＜x ＜2，即B={x|-1＜x ＜2}， ∵A={-1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1}，故选：A ．9．（2019·四川重庆南开中学高三高考模拟（理））设集合2{|340}A x x x =+-≤，3{|log 0}B x x =≤，则AB =（）A ．[4,1]-B ．[4,3]-C ．(0,1]D ．(0,3]【答案】C 【解析】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以(]0,1A B ⋂=. 故选：C10．（2019·辽宁高三高考模拟（理））已知集合{1,0,1,2}A =-，{|(1)(2)0}B x x x =+-<，则A B =（） A ．{1,0,1,2}- B ．{}1,0,1- C ．{0,1,2} D ．{0,1}【答案】D 【解析】由题得B=(-1,2)，所以AB ={}0,1.故选：D11．（2019·北京高三高考模拟（理））已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =（）A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R【答案】B 【解析】由24x <解得22x -<<，故{}|12A B x x ⋂=<<，故选B.12．（2019·黑龙江高三高考模拟（理））已知集合2{|560}A x x x =--<，{|31,}B x x k k Z ==+∈，则AB 等于（）A ．{2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,5}D ．{1,4}【答案】D 【解析】集合A 中：2560x x --<，解得16x -<<，集合B 中：31,x k k Z =+∈，即...5,2,1,4,7,10...x =-- 所以{}1,4A B ⋂= 故选D 项13．（2019·甘肃天水一中高三高考模拟（理））若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.14．（2019·四川高三高考模拟（理））已知集合{}{}23,1,|9A B x x =-=<，则AB =（）A ．{}1B ．()3,1-C ．{}3,1-D ．()3,3-【答案】A 【解析】解：B={x|-3＜x ＜3},又{}3,1,A =- ∴A∩B={1}．故选：A ．15．（2019·山东高三高考模拟（理））定义：区间[,]a b ，(,]a b ，(,)a b ，[,)a b 的长度均为b a -，若不等式12(0)12m m x x +≥≠--的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ，则（）A ．当0m >时，l m=B ．当0m >时，3l m =C ．当0m <时，l m=-D ．当0m <时，3l m=-【答案】B 【解析】当m ＞0时，∵1212x x +≥--0⇔()()()2332412mx m x m x x -+++≤--0，令f （x ）＝mx 2﹣（3+3m ）x +2m +4＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则()()()()1212m x x x x x x --≤--0，且x 1+x 233m m +==33m+， ∵f （1）＝m ﹣3﹣3m +2m +4＝1＞0，f （2）＝4m ﹣6﹣6m +2m +4＝﹣2＜0， ∴1＜x 1＜2＜x 2，所以不等式的解集为（1，x 1]∪（2，x 2]， ∴l ＝x 1﹣1+x 2﹣2＝x 1+x 2﹣3＝33m +-33m=，故选：B ．16．（2019·河北高三高考模拟）已知集合2{|10210}A x x x =-+≤，{|7524}B x x =-≤-≤，则AB =（） A ．1|32x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{|36}x x ≤≤C ．{|27}x x -≤≤D ．{|67}x x ≤≤【答案】B 【解析】因为{|37}A x x =≤≤，1|62B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以{|36}A B x x ⋂=≤≤. 故选B17．（2019·安徽高三高考模拟（理））已知集合{}2340A x x x =--，{}ln 0B x x =，则()A B ⋂=R ð（） A ．n B ．(]0,4 C ．(]1,4 D ．()4,+∞【答案】C 【解析】由题意，集合{}2|340{|1A x x x x x =-->=<-或4}x >，{}{}ln 01B x x x x ==，[]1,4A =-R ð，则()(]1,4A B ⋂=R ð. 故答案为C.18．（2019·内蒙古高三高考模拟（理））以下四个命题： ①设*,a b R ∈，则1a b >>是22log log 0a b >>的充要条件；②已知命题p 、q 、r 满足“p 或q ”真，“p ⌝或r ”也真，则“q 或r ”假；③若[]1,1a ∈-，则使得()24420x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围为{3x x 或1x <}；④将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -3. 其中真命题的序号为________. 【答案】①③④ 【解析】由题意，①中，当1a b >>，根据对数函数的运算性质，可得22log log 0a b >>，反证，当22log log 0a b >>时，可得1a b >>，所以“1a b >>”是“22log log 0a b >>”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““p 或q ”真”，可得命题,p q 中至少有一个是真命题，当p 为真命题，则p ⌝假命题，此时若“p ⌝或r ”真，则命题r 为真命题，所以“q 或r ”真命题，所以不正确；③中，令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-恒成立，则满足(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，解得1x <或3x >，所以是正确的； ④中，如图所示，O 为AC 的中点，连接DO ，BO ，则,ADC ABC ∆∆都是等腰直角三角形，2AC DO BO BD a ====，其中BOD ∆也是等腰直角三角形，,,DO AC DO BO DO ⊥⊥⊥平面ABC ，DO 为三棱锥D ABC -的高，且212ABC S a ∆=，所以三棱锥D ABC -的体积为23111332ABC V S h a ∆==⨯⨯=，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④19．（2019·安徽高三高考模拟（理））已知函数13,()2()11,()2x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式2·()20x f x x +-≤的解集是________.【答案】{|11}x x -剟【解析】：212320x x x ⎧<⎪⎨⎪+-⎩…或2121·20x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩……，即12213x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩剟或121x x ⎧⎪⎨⎪⎩…… 112x ∴-<…或112x 剟，即解集为{|11}x x -剟. 20．（2019·上海高三高考模拟）若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________ 【答案】12(,]23【解析】f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，即x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x +1，y ＝a （x +1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝{x ∈Z|f （x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得12＜a 23≤故答案为：（12，23]21．（2019·四川高三高考模拟（理））已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．【答案】[]171,34,22⎡⎤⎡+⋃⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】0x ≥时，()23f x x x =-，∴①当03x ≤≤时，()23f x x x =-+，解()2f x ≤，即232x x -+≤得1x ≤或2x ≥，01x ∴≤≤或23x ≤≤②当3x >时，()23f x x x =-解()2f x ≤即232x x -≤得x ≤≤332x ∴<≤∴当0x ≥时，()2f x ≤解集为01x ≤≤或322x +≤≤()f x 是R 上的偶函数，∴由对称性可知∴当0x <时，()2f x ≤解集为322x +-≤≤-或10x -≤<()2f x ∴≤解集为2x ≤≤-或11x -≤≤或2x ≤≤()22f x ∴-≤时，22x ≤-≤-或121x -≤-≤或22x ≤-≤0x ≤≤或13x ≤≤或4x ≤≤22．（2019·内蒙古高三高考模拟（理））已知()()0f x a x b a =-->，且()0f x ≥的解集为{}37x x -≤≤.（1）求实数a ，b 的值；（2）若()f x 的图像与直线0x =及()3y m m =<围成的四边形的面积不小于14，求实数m 取值范围.【答案】（1）5a =，2b =；（2）(],1-∞ 【解析】（1）由()0f x ≥得：x b a -≤，b a x b a -≤≤+，即37b a b a -=-⎧⎨+=⎩，解得5a =，2b =.（2）()7,2523,2x x f x x x x -≥⎧=--=⎨+<⎩的图像与直线0x =及y m =围成的四边形ABCD ，()2,5A ，()0,3B ，()0,C m ，()7,D m m -.过A 点向y m =引垂线，垂足为()2,E m ，则()()211352522ABCD ABCE AED S S S m m m =+=-+-⨯+-14≥. 化简得：214130m m -+≥，13m ≥（舍）或1m £. 故m 的取值范围为(],1-∞.23．（2019·江苏高三高考模拟）[选修4-5：不等式选讲]已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<，其中,m n R ∈.求证：((m n --≤.【答案】见证明【解析】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<，所以123m =+=，122n =⨯=.所以((m n --=由柯西不等式可得，()2222221⎡⎤++⎣≤⎦5=，当且仅当=，即16[3,4]5x =∈时取等号.所以，((m n --≤24．（2019·陕西高三高考模拟（理））已知函数()|2||3|f x x x =--+.（1）求不等式()2f x …的解集；（2）若不等式2()6f x a a <+的解集非空，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 3{|}2x x ≥- (2) (,5)(1,)-∞--+∞【解析】（1）由()232f x x x =--+≤可化为：3232x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32232x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2232x x x >⎧⎨---≤⎩不等式解集为：3{|}2x x ≥-（2）因为()23235f x x x x x =--+≤---=，所以()55f x -≤≤，即()min 5f x =-；要使不等式()26f x a a <+解集非空，需()2min 6f x a a <+ 从而2650a a ++>，解得5a <-或1a >-所以a 的取值范围为()(),51,-∞-⋃-+∞.。

数学人教B必修5课后训练：33一元二次不等式及其解法含解析

课后训练1．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②20x >-；③x 2＋6x ＋10＞0；④2x 2－3x ＋4＜1.其中解集为R 的是______．A ．①B ．②C ．③D ．④2．若{x |2＜x ＜3}为x 2＋ax ＋b ＜0的解集，则bx 2＋ax ＋1＞0的解集为( )．A ．{x |x ＜2或x ＞3}B ．{x |2＜x ＜3}C ．1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 3．已知不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，则不等式22>056x px q x x ++--的解集是( )．A ．(1，2)B ．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞)C ．(－1，1)∪(2，6)D ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)4．不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )．5．设()1232<2=log 12x e x f x x x -⎧⎨(-)≥⎩，，，，则不等式f (x )＞2的解集为( )． A ．(1，2)∪(3，＋∞) B ．)C ．(1，2)∪) D ．(1，2)6．函数1()=f x x的定义域为______． 7．设x 满足不等式组2130,5622,3x x x x (-)(-)>⎧⎪+⎨(+)<⎪⎩则点P (x ＋2，x －2)在第______象限．．8．求函数y =的定义域． 9．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数1=1y x x ++的值域，集合C 为不等式1ax a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x ＋4)≤0的解集， (1)求A ∩B ；(2)要使C A ⊆R ，求a 的取值范围．参考答案1. 答案：C解析：①④显然不可能；②中△＝2(--0，解集不是R ；③中△＝62－4×10＜0，∴选C.2. 答案：D解析：由题意知，2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由韦达定理，得23=23=a b +-⎧⎨⨯⎩，，解得a ＝－5，b ＝6.代入所求不等式，得6x 2－5x ＋1＞0，即(2x －1)(3x －1)＞0.解得1<3x 或1>2x . ∴不等式的解集为1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. 3. 答案：B解析：由题意知，x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，∴原不等式化为12>061x x x x (-)(-)(-)(+)，由穿根法，得 x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6.4. 答案：C解析：由题意，－2和1是方程ax 2－x －c ＝0的两根且a ＜0， ∴121=,21=,a c a ⎧-+⎪⎪⎨⎪(-)⨯-⎪⎩解得=1,=2,a c -⎧⎨-⎩∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，图象过点(－1，0)，(2，0)且开口向下．5. 答案：C解析：不等式化为1<2,2>2x x e -⎧⎨⎩或232,log 1>2,x x ≥⎧⎨(-)⎩ 解得1＜x ＜2或x6. 答案：[－4，0)∪(0，1)解析：由已知得223203400x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎪≠⎩⇔124100x x x x ≤≥⎧⎪-≤≤⎪>≠⎩或 ⇔x ∈[－4，0)∪(0，1)．7. 答案：三解析：原不等式组等价于2130,6x x x (-)(-)>⎧⎨<-⎩1326x x x ⎧<>⎪⇔⎨⎪<-⎩或⇔x ＜－6， ∴x ＋2＜－4，x －2＜－8，∴点P (x ＋2，x －2)在第三象限8. 解：解法一：要使函数有意义，需222650, 1031030. x x x x x x ⎧--≥⎪+-⎨⎪+-≠⎩①② ①等价于(Ⅰ)226503100x x x x ⎧-+≥⎨-->⎩，或 (Ⅱ)226503100.x x x x ⎧-+≤⎨--<⎩，解不等式组(Ⅰ)得：x ＜－2或x ＞5，解不等式组(Ⅱ)得：1≤x ＜5，解②式得x ≠－2且x ≠5，∴原函数的定义域为{x |x ＜－2或x ≥1且x ≠5}．解法二：接解法一，分解因式得：150,52250.x x x x x x (-)(-)⎧≥⎪(-)(+)⎨⎪(+)(-)≠⎩解之，得x ＜－2或x ≥1且x ≠5.∴原函数的定义域为{x |x ＜－2或x ≥1且x ≠5}．9. 解：解法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . 当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，∴要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，∴－3≤a ＜－1.①当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，∴－1≤a ≤1.②综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法二：由f (x )≥a 变形得x 2＋2≥a (2x ＋1)．③当2x ＋1＝0，即12x =-时，③式为x 2＋2≥0恒成立，此时a ∈R ；当2x ＋1＞0，即12x >-时，③式为2221x a x +≥+恒成立，其中x ∈12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，即2min 221x a x ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭恒成立，这样就转化到了求x ∈12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，时函数22()=21x g x x ++的最小值问题，可得a ≤1. 当2x ＋1＜0，即－1≤x ＜12-时，③式为2221x a x +≤+恒成立，即2min221x a x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭恒成立．其中x ∈112⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，，这样就转化到了求x ∈112⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，时函数22()=21x g x x ++的最大值问题，可得a ≥－3.综上所述，－3≤a ≤1.解法三：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即△＝4a 2－4(2－a )≤0，或>0,<1,10.a f ∆⎧⎪-⎨⎪(-)≥⎩解得－3≤a ≤1.10．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4＞0.解：(1)当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，解集为{x |x ＜2}．(2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)2x a ⎛⎫-⎪⎝⎭＜0，这时两根的大小顺序为22>a ，所以解集为2<<2x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)2x a ⎛⎫-⎪⎝⎭＞0. ①当0＜a ＜1时，两根的大小顺序为22<a，所以原不等式的解集为2><2x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或. ②当a ＝1时，22=a ，所以原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}．③当a ＞1时，两根的大小顺序为22>a，解集为2>2<x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或. 综上所述，不等式的解集为：a ＝0时，{x |x ＜2}； a ＝1时，{x |x ∈R 且x ≠2}；a ＜0时，2<<2x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； 0＜a ＜1时，2><2x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或； a ＞1时，2>2<x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或. 10. 解：(1)由－x 2－2x ＋8＞0，解得A ＝(－4，2)，又y ＝x ＋11x +＝(x ＋1)＋11x +－1，所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1，2)．(2)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．由1ax a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x ＋4)≤0，知a ≠0. ①当a ＞0时，由21x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x ＋4)≤0，得214C a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，，不满足C A ⊆R ； ②当a ＜0时，由21x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x ＋4)≥0，得C ＝(－∞，－4]∪21a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，欲使C A ⊆R ，则212a≥，解得<02a -≤或0<2a ≤又a ＜0，所以<02a -≤. 综上所述，所求a 的取值范围是2⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.。

高三数学一轮复习课时作业 33一元二次不等式的解法理 B 试题

卜人入州八九几市潮王学校课时作业(三十三)[第33讲一元二次不等式的解法][时间是：35分钟分值：80分]1．[2021·一中模拟]不等式－x2＋3x－2>0的解集是()A．{x|x<－2或者x>－1}B．{x|x<1或者x>2}C．{x|1<x<2}D．{x|－2<x<－1}2．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，那么关于x的不等式>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)3．[2021·二模]全集U为实数集R，集合A＝，集合∁U A＝{y|y＝x，x∈[－1,8]}，那么实数m的值是()A．2B．－2C．1D．－14．假设ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或者x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有()A．f(5)<f(2)<f(－1)B．f(2)<f(5)<f(－1)C．f(－1)<f(2)<f(5)D．f(2)<f(－1)<f(5)5．不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2<x<3}，那么bx2－ax－1>0的解集为()A．{x|2<x<3}B.C.D．{x|－3<x<－2}6．[2021·三联]p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1>0，假设p或者q为假，那么实数m的取值范围为()A．m≤－2B．m≥2C．m≥2或者m≤－2D．－2≤m≤27．不等式≤0的解集为A，不等式(x2＋1)(x－a)>0的解集为B.假设A⊆B，那么a的取值范围是() A．a<2B．a≤2C．a>2D．a<38．[2021·一模]函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1在x∈(0，＋∞)的图象恒在x轴上方，那么m的取值范围是()A．2－2＜m＜2＋2B．m＜2C．m＜2＋2D．m≥2＋29．(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，那么实数a的取值范围是________．10．f(x)＝那么不等式f(x)≤2的解集是________．∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2＞0”x的取值范围是________．12．关于x的不等式(a＋b)x＋(2a－3b)<0的解集为，求关于x的不等式(a－3b)x＋(b－2a)>0的解集．13．(12分)解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．课时作业(三十三)【根底热身】1．C[解析]即不等式x2－3x＋2<0，即(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2.2．A[解析]由ax－b>0的解集为(1，＋∞)，得>0⇔>0⇔x<－1或者x>2.3．A[解析]集合∁U A＝＝[－1,2]，故不等式>0，即不等式(x＋1)(x－m)>0的解集为(－∞，－1)∪(m，＋∞)，所以m＝2.4．D[解析]∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或者x>4}，∴a>0.∴对应方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－2，x2＝4.∴x1＋x2＝－＝2，∴对称轴方程为x＝－＝1.由抛物线示意图易知f(2)<f(－1)<f(5)．【才能提升】5．C[解析]由得∴a＝5，b＝－6.∴由－6x2－5x－1>0得－<x<－.6．B[解析]p为真时mq为真时m2－4<0，即－2<mp∨q为假时，p，q均为假，即“m≥0”且“m≤－2或者m≥2”，即m≥2.7．B[解析]不等式≤0的解集为A＝{x|2<x≤3}，不等式(x2＋1)(x－a)>0的解集为B＝{x|x>a}．∵A ⊆B，∴a≤2.8．C[解析]法1：令t＝3x，那么问题转化为函数f(t)＝t2－mt＋m＋1对t∈(1，＋∞)的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m)2－4(m＋1)＜0或者解得m＜2＋2.法2：问题转化为m＜，t∈(1，＋∞)，即m比函数y＝，t∈(1，＋∞)的最小值还小．又y＝＝t－1＋＋2≥2＋2＝2＋2，所以m＜2＋2，选C.9.[解析]a＝1显然适宜；假设a2<1，由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，∴－<a<1；综合知－<a≤1.10．(－∞，－2]∪[1,2]∪[解析]依题意得或者解得x∈(－∞，－2]∪[1,2]∪.11．x＜－1或者x＞[解析]令m(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，m(a)是关于a的一次函数，∵∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2＞0”∴m(1)＞0或者m(3)＞0，即x2－x－2＞0，①或者3x2＋x－2＞0，②由①得x＜－1或者x＞2；由②得x＜－1或者x＞.所以，所务实数x的取值范围是x＜－1或者x＞.12．[解答]∵(a＋b)x＋(2a－3b)<0的解集为，∴于是a＝2b>0，b>0，不等式(a－3b)x＋(b－2a)>0，即为－bx－3b>0，亦即－bx>3b，∴x<－3.故所求不等式的解集为{x|x<－3}．【难点打破】13．[解答]原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，(1)a＝0时，x≤－1，即x∈(－∞，－1]．(2)a≠0时，不等式即为(ax－2)(x＋1)≥0.①a>0时，不等式化为(x＋1)≥0，当即a>0时，不等式解集为(－∞，－1]∪；当此时a不存在．②a<0时，不等式化为(x＋1)≤0，当即－2<a<0时，不等式解集为；当即a<－2时，不等式解为；当即a＝－2时，不等式解为x＝－1.综上：a＝0时，x∈(－∞，－1]；a>0时，x∈(－∞，－1]∪，＋∞；－2<a<0时，x∈；a<－2时，x∈；a＝－2时，x∈{x|x＝－1}．。