高中数学 2.3第2课时等差数列前n项和公式的应用课件新人教A版必修5

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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数，且p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列，设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知代入公式得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)

故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.

新人教A版必修5高中数学2.3等差数列的前n项和(2)学案(二)

高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。

人教a版必修五课件：等差数列的前n项和(53页)

第二章
数列
2.3 等差数列的前n项和
第1课时
课前自主预习
等差数列的前n项和
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量.
课前自主预习
课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
典例导悟
类型一 [例1] 等差数列前n项和公式的基本运算分别按等差数列{an}的下列要求计算：
2．等差数列{an}的前n项和 na1＋an 设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝＝na1＋ 2
nn－1 d 2 .
思考感悟
1．推导等差数列前n项和公式时，用的推导方法叫什么？其基本的求解思路是什么？
提示：叫倒序相加法．其求解思路来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发展．
2．“等差数列的前n项和公式是关于n的一元二次函数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于n的一元二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n
提示：(1)等差数列的求和公式中，一共涉及到a1， an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就是解方程组，这也是等差数列解决问题的基本方法．
2 009a1＋a2 009 1 ∴S2 009＝＝2 009a1 005＝2 009×41＝49. 2 100×100－1 (2)由S100＝100a1＋ ×2＝10 000，解得a1 2 ＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.

高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和学案新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学

2.3 等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.预习课本P42～45，思考并完成以下问题答案：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n n ＋12解析：选 D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n n －12×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n n ＋12，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n n －12d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝8a 1＋a 82＝84＋a 82＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 8＝11，则S 9等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8， ∴S 9＝9a 2＋a 82＝9×142＝63.已知S n 求a n 问题[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.(1)求{a n }的通项公式； (2)判断{a n }是否为等差数列？ [解] (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2， ∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n－1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n－1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18 B ．17 C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2， [法一公式法]S n ＝25n ＋n n －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7>0，S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C. 3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a n b n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －122n －1＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 4×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×172＋1032×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

【数学】2.3.2《等差数列前N项和公式》课件(新人教A必修5)

n 大
2.已知an 1024 lg 21 n ， 2 0.3010)，n N ,问： (lg
中，S n为前n项和，公差d 2 3.在等差数列 an
且S 4 1 ，求：a17 a18 a19 a20的值
?
1 1、已知数列a n 且a n 0，n N ，前n项的和s n 满足s n (a n 4) 2 8 （）求该数列的通项，并 1 判断该数列是否为等差数列
一.等差数列an 的首项a1 0, 公差d 0时，前n项和S n 有最大值
1、利用S n：S n d n 2 (a1 d )n.借助二次函数最值问题 2 2
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的变化情况， an 0且an 1 0
二.等差数列anቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的首项a1 0, 公差d 0时，前n项和S n 有最小值
例1：已知数列an 的前n项和为S n n 2 1 n, 求这个数列的通项公式， 2 并判断这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？
解：根据 Sn a1 a2 an 1 an与Sn 1 a1 a2 an 1 (n1)

1 （2）若有bn a n 30，求数列bn 的前n项和Tn的最值与此时的n值。 2
练习2：已知数列an 的前n项的和为： S n 1 n 2 2 n 3, 4 3 求数列通项公式。
解：根据 S n 1 n 2 2 n 3与S n 1 1 (n 1) 2 2 (n 1) 3(n1) 4 3 4 3
所以数列an 的通项公式为： an 2n 1 2
由此题,如何通过数列前n项和来求数列通项公式?

2017-2018年度高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和讲义新人教A版必修5

＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得 d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4问题
[例 4] 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取得最大值．【思路点拨】
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
解析：(1)因为 Sn＝－2n2＋n＋2，所以当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
所以 an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
A．138
B．135
C．95
D．23
解析：由 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可得 d＝3，a1＝－4. 所以 S10＝－40＋10× 2 9×3＝95. 答案：C
3．(教材同类改编)等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则 a1 等于( )
A．5 或 7 B．3 或 5 C．7 或－1 D．3 或－1
令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N＋，∴n≤5 时，an>0，n≥6 时，an<0. ∴S5 最大．
方法归纳,
求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法： (1)通项法 ①当 a1>0，d<0 时，{an}只有前面的有限项为非负数，从某项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0， am＋1≤0 可得 Sn 的最大值为 Sm；②当 a1<0，d>0 时，{an}只有前面的有限项为负数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由
＝－4n＋3.
又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3，所以数列{an}的通项公式是

高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》

②如果顶点横坐标－2qp不是正整数，Sn 在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．
【练习 2】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质．由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d，解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知，可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0，得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0，而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－

(人教版)数学必修五：2.3《等差数列的前n项和》

等差数列的前n项和
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目录
等差数列的前n项和的定义等差数列的前n项和的性质等差数列的前n项和的应用
等差数列的前n项和的推导等差数列的前n项和的特例
01
等差数列的前n项和的定义
等差数列的定义
等差数列：数列中的每一项与前一项的差值相等前n项和：数列中前n项的和公式：Sn=n/2(1+n)其中Sn表示前n项和1表示首项n表示第n项应用：等差数列的前n项和常用于计算数列的和如求数列的和、求数列的平均值等
等差数列的前n项和的公式：Sn=n/2(1+n)其中Sn表示等差数列的前n项和1表示首项n表示第n项。
02
等差数列的前n项和的推导
等差数列的通项公式
通项公式： n=1+(n-1)d
1为首项d为公差
通项公式的推导：利用数学归纳法
通项公式的应用：求解等差数列的前n项和
等差数列的前n项和的推导过程
等差数列前n项和在实际生活中的应用
计算利息：等差数列的前n项和可以用来计算贷款或存款的利息。
计算股票价格：等差数列的前n项和可以用来计算股票的价格。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算工资：等差数列的前n项和可以用来计算员工的工资。
计算保险费用：等差数列的前n项和可以用来计算保险的费用。
等差数列前n项和的应用实例
04
等差数列的前n项和的特例
等差数列前n项和的特例
特例1：当n=1时前n项和为1 特例2：当n=2时前n项和为21 特例3：当n=3时前n项和为31
特例4：当n=4时前n项和为41 特例5：当n=5时前n项和为51 特例6：当n=6时前n项和为61

等差数列的前n项和公式的应用

第二章 2.3 第2课时
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3 2 123 ＝－ n ＋ n； 2 2 当 n>20 时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 nn－1 20×19 ＝－60n＋ ×3－2×(－60×20＋ ×3) 2 2 3 2 123 ＝2n － 2 n＋1 260. ∴数列{|an|}的前 n 项和 S′n 3 2 123 －2n ＋ 2 nn≤20 ＝ 3n2－123n＋1 260n>20 2 2
n≤5，n∈N* . n≥6，n∈N*
第二章
2.3 第2课时
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探索延拓创新
裂项求和
1 求数列{ }的前 n 项和． 2n＋12n＋3 [分析] 通项的分母是两项的积，且这两项相差 2，所以
1 1 1 可将其拆分为两项之差，即＝ ( － 2n＋12n＋3 2 2n＋1 1 )． 2n＋3
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第二章
2.3 等差数列的前 n 项和
第二章
数列
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第二章
第 2 课时等差数列的前 n 项和公式的应用
第二章
数列
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第二章
2.3 第2课时
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首项为正数的等差数列{an}，它的前 3 项和与前 11 项和相等，则此数列前________项和最大？
[答案] 7
第二章
2.3 第2课时

2014年人教A版必修五课件 2.3 等差数列的前n项和

问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢?
(3) 正奇数数列: 1, 3, 5, …, 2n-1, … 这个数列还是等差数列, a1=1, an=2n-1, d=2.
用第一个公式求和得 (a1 + an )n (1 + 2n - 1)n 2 =n . Sn = = 2 2 用第二个求和公式得 n(n - 1) Sn = na1 + d 2 n(n - 1) = n 1 + 2 2 =n2.
方程组, 解出 a1 与 d 即可用第二个求和公式.
例2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310, 前 20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列前 n 项和的公式吗? 解: ∵前10项的和是310, 10(10 - 1) 10a1 + d = 310, ① 2 又前20项的和是1220, 20(20 - 1) d = 1220, ② 得 20a1 + 2 由①②组成方程组 10a1 + 45d = 310 解方程组得 a1=4, d=6. 20a + 190d = 1220 1 则可写出前 n 项和公式: Sn = 4n + n(n - 1) 6 =3n2+n. 2
等差数列前 n 项和:
(a1 + an )n Sn = . 2
将an用通项公式代换后, 公式变为:
n(n - 1) Sn = na1 + d. 2
请同学们比较, 这两个公式有什么不同? 各个公式在什么情况下用较方便?
问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢?
又可写成 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.

高中数学《2.3等差数列的前n项和》第2课时评估训练新人教A版必修5

第2课时等差数列前n项和的应用双基达标限时20分钟1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4等于( )．A ．8B ．7C ．6D ．5解析 S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S 7＝7a 4＝35， ∴a 4＝5. 答案 D2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )．A ．1B ．－1C ．2D.12解析 S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 答案 A3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 ( )．A ．5B ．－5C ．－2.5D ．2.5解析由题意知S 奇＋S 偶＝75，又S 偶＝25，∴S 奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S 偶－S 奇＝10d ，即25－50＝10d ，∴d ＝－2.5. 答案 C4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 解析 ∵{a n }是等差数列，由S 9＝72，得S 9＝9a 5，a 5＝8， ∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24. 答案 245．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.解析由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31. 由S n ＝n a 1＋a n 2＝31n2＝155，得n ＝10.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0a 1＋a 13<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0a 7<0.∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．综合提高限时25分钟7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )．A.310B.13C.18D.19解析由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310，故选A.答案 A8．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为 ( )．A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.9．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．解析法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 答案 21010．在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，a 5＝3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0， ∵a 5＝3a 7，∴a 1＋4d ＝3(a 1＋6d )， ∴a 1＝－7d ，∴S n ＝n (－7d )＋n n －12d ＝d2(n 2－15n )，∴n ＝7或8时，S n 取得最大值．答案 7或811．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n＝n×(－2)＋n n－12×12＝14n2－94n.12．(创新拓展)若有穷数列a1，a2，…，a n(n是正整数)，满足a1＝a n，a2＝a n－1，…，a n＝a1，即a i＝a n－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列{b n}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，试写出{b n}的每一项；(2)已知{c n}是项数为2k－1(k≥1)的对称数列，且c k，c k＋1，…，c2k－1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{c n}的前2k－1项和为S2k－1，则当k为何值时，S2k－1取到最大值？最大值为多少？解(1)设{b n}的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，解得d＝3，∴数列{b n}为2,5,8,11,8,5,2.(2)S2k－1＝c1＋c2＋…＋c k－1＋c k＋c k＋1＋…＋c2k－1＝2(c k＋c k＋1＋…＋c2k－1)－c k＝2(－2k2＋52k)－50＝－4(k2－26k)－50＝－4(k－13)2＋4×132－50，∴当k＝13时，S2k－1取得最大值．S2k－1的最大值为626.。

高中数学人教A版必修5课件：2.3.1 等差数列的前n项和

-4-
第1课时等差数列的前n项和
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.等差数列{an}的前 n 项和设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
��(��1+�� ) 2
��(��1 +�� ) 2
=
�� 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+��8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 �� = ��1 + (��-1)��, �� = ��1 + �� = 7, �� = 5, 解方程组得或 ��1 = 3 ��1 = -1.
-12-
第1课时等差数列的前n项和
题型一题型二题型三
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题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
��
�� , ��
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,�� = 1, ∴an= 3· 2�� -1 ,�� ≥ 2. 7,�� = 1, 答案: 3· 2�� -1 ,�� ≥ 2

2.3等差数列的前n项和(1)课件(人教A版必修5)

设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20
nn－1 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋ × 3 2
3 2 123 ＝－2n ＋ 2 n；8 分当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
nn－1 20×19 ＝－60n＋ 2 ×3－2×－60×20＋ × 3 2
由题目可获取以下主要信息： na1＋an 由 Sn＝，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解题过程]
nn－1 (1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，
又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， ∴ 1 n＋ nn－1d＝－1 022. 2 解得 n＝4，d＝－171.
解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. 6×6－1 ∴S6＝6×(－1)＋ ×2＝24. 2
• 已知数列{an}是等差数列， • (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； • (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； • (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
d2 a1－ 2
2d
1 a1 d d1 a12 2 ＝2n－2－ d －22－ d .
由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知，当 n 取 1 a1 最接近2－ d 的正整数时，Sn 取到最大值(或最小值)，值得注 1 a1 意的是最接近2－ d 的正整数有时 1 个，有时 2 个． (2)根据项的正负来定．若 a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大；若 a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小． ,

北京八中乌兰察布分校高中数学人教A必修五课件：2.3 等差数列的前n项和 (共20张PPT)

S10
10 500
10 10
2
1
50
7250 万元
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1 块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦
片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1， n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
?
想
一想
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知三求二
发现？
公式应用
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
500
（2）a1=100，d=－2，n=50 2550
2.在等差数列an中，a1 20, an 54, Sn 999, 求n.
Sn an a n1an2 L a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 L an a1
倒序相加法
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首任项意为的第a1K，项项与数倒
是n，第n项为an，求前n项数首和第项KS、n项末. 的项和的等和于
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
Sn an (an d ) (an 2d ) [an (n 1)d ]
n个 2Sn （a1 an ) （a1 an ) （a1 an )
n（a1 an )
Sn
n（a1 2
an )
等差数列的
求和公式
于前首n项末和两等项等差数列的前n项和的公式：
S19
19
21