2015年高考数学新高考创新题型之8：解析几何(含精析)[来源：学优高考网1584640]

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2015年高考数学理科试题解析汇编【解析几何题】

2 2
b2 4 3 截得的线段长为 c， | FM | 。 4 3
c a 2 b2 3 解：（I）∵ e a a 3
∴ a2
(2 c )2 4 2 1 2 a 3b
由（I）可知， a 2 3c 2 ， b2 2c 2 代入上式化简整理得 c 2 2c 3 0 解得：c=1 或-3（舍去）
2
tan OQM
2
OM OQ tan ONQ OQ ON
∵椭圆的离心率是
2 2
即 OQ OM ON 设点 Q 的坐标为（0，yQ），则有
c a 2 b2 2 ∴e a a 2
∴ a 2b 2
2 2
yQ
2
m m m2 1 n 1 n 1 n2
m ) 3
∵直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 ∴k＞0，且 k≠3 比较（I）可得： n
m (3 k ) 3
则 xM
m(k 2 3k ) 3(9 k 2 )
9 x k
【难度系数】★★★
由（I）的结论知，直线 OM 的方程为 y
2105 年全国高考数学理科试题分类解析汇编——解析几何题
∵点 A（m，n）在椭圆 C 上
x2 ∴椭圆 C 的方程为 y2 1 2
由点 P、A 坐标可得，直线 PA 的方程为：
m2 m2 2 ∴ n 1 ，即 1 n2 2 2
∴ yQ 2 2 ，得 yQ 2 故，存在满足题述条件的点 Q，点 Q 的坐标为（0， 2 ）或（0， 2 ）
（m≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）；（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N．问：y 轴上是否存在点 Q，使得 OQMONQ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。解：（I）∵点 P（0，1）在椭圆 C 上 ∴b 1

2015高考数学解析

2015年数学解析一、2015年全国新课标文、理科数学新课标《考试大纲》和2014年对比，在内容、能力要求、时间、分值(含选修比例)、题型题量等几个方面都没有发生变化。

可以预测2015年的高考试题，以能力立意，多角度、多层次地考查学生的数学能力命题指导思想不变。

紧扣教材，强化主干题型稳定的特点，试题稳中求新，注重能力，体现思想，淡化技巧，注重通法，重视知识交汇，潜能素养。

二、主要对数列、三角函数、统计与概率、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了重点考查，同时覆盖了集合、复数、程序框图、三视图、二项式定理、线性规划、向量等内容，考查内容全面。

三、大题都不止考查一个知识点，而是将几个知识点融合起来，依托不等式、函数图像等内容将知识点的考查和学生的逻辑推理能力综合起来考查，对学生分析问题、解决问题能力的考查有较高要求；四、大量结合生产生活实际，以实际背景命题的趋势不会改变。

五、考点、命题热点及主干知识命题热点一:集合与常用逻辑用语集合这一知识点是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有三个方面：一是集合的运算，二是集合间的关系，三是集合语言的运用. 在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题.集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在解题中的应用。

常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种命题及其相互关系、全称命题与特称命题等，在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题和中档题，这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。

命题热点二 : 函数与导数。

函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点.高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用。

2015年新课标高考立体几何分类赏析

2015年新课标高考立体几何分类赏析
2015年的新课标高考，在立体几何方面给出了一些新的考题设计，与往年的考题有很大的不同，这也使得高考考生在取得好成绩的同时，要加强对立体几何的学习。

下面，就以2015年新课标高考立体几何考题为例，对其进行分类赏析，希望能为考生提供参考。

一、平面几何
2015年新课标高考立体几何考题中，有很多是关于平面几何的知识点，比如，定义平面图形、计算面积、计算周长等。

在发现相关几何图形时，涉及到一些经典的几何命题，比如直角三角形中，直角线的边长乘积等于其他两边的长度的平方之和，或者求解两个平行四边形的面积之比等。

二、曲面几何
2015年新课标高考立体几何考题中，也有一些是关于曲面几何的知识点，比如球的表面积和体积的计算、棱柱的表面积和体积的计算、圆柱的表面积和体积的计算等。

有关曲面几何的问题，往往是求出某个特定几何形状面积和体积，或者求解特定几何形状的一些角度等。

三、几何关系
2015年新课标高考立体几何考题中，也有一些是关于几何关系的知识点。

比如，利用几何关系推导某个几何图形的边长，或者通过几何关系推导某个几何图形的面积、体积等。

有关几何关系的问题，往往是求出某个特定几何形状的定义，或者求解特定几何形状的一些
参数等。

总之，2015年新课标高考立体几何考题中，考查的知识点有平面几何、曲面几何以及几何关系等三大类。

考生在备考时，需重点掌握球的表面积和体积计算、棱柱的表面积和体积计算、圆柱的表面积和体积计算以及几何关系的使用等。

只有利用好这些知识点，考生才能够取得理想的成绩。

2015-2017解析几何全国卷高考真题版

2015-2017解析几何全国卷高考真题1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值围是（）（A ）（-3，3）（B ）（-6，6）（C ）（3-，3）（D ）（）【答案】A【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF •=0000(,),)x y x y -•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y -<<，故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=C在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（）A ．26B ．8C ．46D ．10 【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程．5、（2015年2卷11题）．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5 B．2 C．3 D．2【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，如图所示，AB BM=，0120ABM∠=，过点M作MN x⊥轴，垂足为N，在Rt BMN∆中，BN a=，3MN a=，故点M的坐标为(2,3)M a a，代入双曲线方程得2222a b a c==-，即222c a=，所以2e=，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m+=>,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b=+(0,0)k b≠≠，11(,)A x y，22(,)B x y，(,)M MM x y．将y kx b=+代入2229x y m+=得2222(9)20k x kbx b m+++-=，故12229Mx x kbxk+==-+，299M Mby kx bk=+=+．于是直线OM的斜率9MOMMykx k==-，即9OMk k⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为4或4+OAPB 为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．7、（2016年1卷5题）（5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.8、（2016年1卷10题）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.10、（2016年2卷4题）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C（D ）2【解析】A圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选A ．11、（2016年2卷11题）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（B ）32（C（D ）2 【解析】A离心率，由正弦定理得． 12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；（II ）当2AM AN =时，求k 的取值围.2228130x y x y +--+=()()22144x y -+-=()14，1d ==43a =-1221F F e MF MF =-122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---【解析】 ⑴当时，椭圆E 的方程为，A 点坐标为，则直线AM 的方程为．联立并整理得，解得或，则因为，所以因为，，，整理得，无实根，所以．所以的面积为． ⑵直线AM 的方程为，联立并整理得，解得或所以所以因为所以，整理得，． 4t =22143x y +=()20-，()2y kx =+()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222341616120k x k x k +++-=2x =-228634k x k -=-+222861223434k AMk k -=+=++AM AN ⊥21212413341AN k kk =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭AM AN =0k >212124343k k k=++()()21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △221112144223449AM⎫==⎪+⎭(y k x =(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222223230tk x x t k t +++-=x =x =AM =+=3AN k k+2AM AN =23k k+23632k k t k -=-因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得．13、（2016年3卷11题）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．14、（2016年3卷16题）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________________.【答案】43t >236332k k k ->-()()231202k k k +-<-2k <考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15、（2016年3卷20题）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22ba Rb Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆.由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．16、（2017年1卷15题）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==17、（2017年1卷20题）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠ 21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =-所以l 过定点()21-，．18、（2017年2卷9题）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．233【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想. 【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221b ab a ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2231b ab a ⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得2e =.解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221k k +，即2231k k =+，解得23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =.19、（2017年2卷16题）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想运算求解的能力【解析】解法一：几何法习. 20、（2017年2卷20题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力【基本解法】（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,NP x x y =-,()00,NM y =. 又2NP NM =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y ==.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=。

2015高考数学第二轮复习专题讲解解析几何 (含试题及答案)

a
2
）
D．与 P 点位置有关解： A 记 △P F 1 F 2 的内切圆圆心为 C ，边 P F 1 、 P F 2 、、 D ，易见点 C 、 D 的横坐标相等，如图，
c
F1 F2
上的切点分别为
M
、
N
可得 |P M | = |P N | ，|F 1 M | = |F 1 D| ，|F 2 N | = |F 2 D| ．由 |P F 1 | − |P F 2 | = 2a ，即
|P M | + |M F 1 | − (|P N | + |N F 2 |) = 2a,
得 |M F 1 | − |N F 2 | = 2a ，即记点 C 的横坐标为 x 0 ，则练习 1. 已知椭圆 C
x : 9
2
|F 1 D| − |F 2 D| = 2a D (x 0 , 0)
．，得
圆锥曲线定义挖掘描述锥曲线问题可以从曲线的几何性质和代数计算两个角度考虑，圆锥曲线的几何性质中首先需圆要关注的是圆锥曲线的定义．对椭圆来说，是椭圆上任意一点到两个焦点的距离和为定值；对双曲线来说，是双曲线上任意一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为定值；对抛物线来说是，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离．本小节主要关注如何利用这些定义去解决圆锥曲线的一些选择填空题．一般来说，涉及到与焦点相关的问题或与准线（抛物线）相关问题，优先考虑定义，避免直接代数计算．而一般圆锥曲线的解答题或是小题与焦点、准线无关时，才会考虑去做代数计算．已知
易知线段 M F 的中点在抛物线内，且线段 M F 的垂直平分线斜率存在且不为零，故其与抛物线有两个交点，从而满足条件的圆共有 2 个．设双曲线

2015年高考数学试卷附详细答案

2015年高考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•原题）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•原题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A ．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•原题）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A ．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•原题）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•原题）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．6．（5分）（2015•原题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•原题）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A ．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•原题）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•原题）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•原题）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•原题）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•原题）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）（2015•原题）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•原题）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•原题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•原题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•原题）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•原题）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•原题）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•原题）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年高考数学试卷（理科）答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（原题卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线的简单性质．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．分析：解解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，答：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．点评：10．（6分）函数的值．考点：计算题；函数的性质及应用．专题：分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，析：当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．点评：11．（6分）两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．考点：专三角函数的求值．题：分由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等析：式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．评：15．（6分）空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；空间向量及应用．题：分由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由析：已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，答：∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．评：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）余弦定理．考点：解三角形．专题：分（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利析：用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，答：又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015年高考数学《新高考创新题型》之7：立体几何（含精析）

2015年高考数学《新高考创新题型》之7：立体几何（含精析）之7.立体几何（含精析）一、选择题。

1．如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．2．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A.B.C.D.3．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是（）A.2B.C.D.，这两个球相外切，且球与正方体共顶点A的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切,则两球在正方体的面上的正投影是（）（创作：学科网“天骄工作室”）5．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）6．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②7．如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（创作：学科网“天骄工作室”）A．B．C．D．8．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为A．B．C．D．的矩形，按图中实线切割后，将它们作为一个正四棱锥的底面（由阴影部分拼接而成）和侧面，则的取值范围是()A．(0,2) B．(0,1)C．(1,2) D．10．一个不透明圆锥体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正三角形.若将它倒立放在桌面上，则该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中（含起始位置和最终位置）,其在水平桌面上正投影不可能是()设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当APC为钝角时，λ的取值范围是________．12.如右图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).[来源:学§科§网]①当时,S为四边形;②当时,S不为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为六边形;⑤当时,S的面积为.的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为________．平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为________．抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是．三、解答题。

2015届高考数学江苏专用【解析几何中的瓶颈题】解析

第2讲解析几何中的“瓶颈题”数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,主要分六块:三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题,若能够拿下应用问题和解析几何题,就攻下全部中低档题目,便锁定了128分,应该认为这已打了一个大胜仗,基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是:直线与方程,圆的方程,圆锥曲线的定义,标准方程及其应用,离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质及其内在的联系和综合.解答题重点考查的内容是:圆锥曲线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系.常考的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.分类解密——专题突破求曲线方程中的“瓶颈题”例1 已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.练习1 (2014·苏中三市、宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,设曲线C 1:||xa+||yb=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为42,曲线C1上的点到原点O的最短距离为223.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1) 求椭圆C2的标准方程.(2) 设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上的点(与O不重合).①若MO=2OA,当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程; ②若M 是l 与椭圆C 2的交点,求△AMB 的面积的最小值.练习2 设双曲线C 1的渐近线方程为y=±3x,焦点在x 轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22,并且曲线C 3:x 2=2py(p>0,且是常数)的焦点F 在曲线C 2上.(1) 求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程;(2) 过点F 的直线l 交曲线C 3于点A,B(A 在y 轴左侧),若AF =13FB,求直线l 的倾斜角.圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”例1 如图,在直角坐标系xOy 中,点P 11,2⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C 上的定点,A,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分.(1) 求p,t 的值;(2) 求△ABP 面积的最大值.(例1)练习 (2014·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,一条准线方程为x=2.P 为椭圆C 上一点,直线PF 1交椭圆C 于另一点Q.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 若点P 的坐标为(0,b),求过P,Q,F 2三点的圆的方程;(3) 若1F P =λ1QF ,且λ∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求OP ·OQ 的最大值.圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”例1 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(2,0),B(-2,0),直线PA 与PB 的斜率之积为-12.(1) 求动点P 的轨迹E 的方程;(2) 过点F(1,0)的直线l 交曲线E 于M,N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q(M,Q 不重合),求证:直线MQ 过定点.练习 (2014·江西卷)如图,已知双曲线C:22x a -y 2=1(a>0)的右焦点F,点A,B 分别在C 的两条渐近线上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB,BF ∥OA(O 为坐标原点).(1) 求双曲线C 的方程;(2) 过C 上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l:02x x a -y 0y=1与直线AF 相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:点P 在C 上移动时,MF NF 恒为定值,并求此定值.(练习)探究性问题中“瓶颈题”例1 已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B 1,B 2,且MB 1⊥MB 2.(1) 求椭圆C 的方程.(2) 设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A,B 两点,试问:x 轴上是否存在定点P,使PM 平分∠APB? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.练习 (2014·山东卷)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有FA=FD.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1) 求抛物线C 的方程.(2) 若直线l 1∥l,且l 1和C 有且只有一个公共点E. ①证明:直线AE 过定点,并求出定点坐标.②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解析几何中的证明问题例1 (南方凤凰台百校大联考)如图,已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C'过点M(2,1),离心率为32.抛物线C 的顶点在原点且过点M.(1) 当直线l 0经过椭圆C'的左焦点且平行于OM 时,求直线l 0的方程;(2) 斜率为-14的直线l 不过点M,与抛物线C 交于A,B 两个不同的点,求证:直线MA,MB 与x 轴总围成等腰三角形.(例1)【评价反馈】1. (2013·湖北卷)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1) 当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值.(2) 当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.(第1题)2. (2014·泰州期末)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2,F1(-1,0),F2(1,0)分别是椭圆的左、右焦点,过点F1且倾斜角为απ0,2α∈⎛⎫⎛⎤⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线l交椭圆C于A,B 两点,交圆O于P,Q两点(如图所示,点A在x轴上方).当α=π4时,弦PQ 的长为14.(1) 求圆O与椭圆C的方程;(2) 若点M是椭圆C上一点,求当AF2,BF2,AB成等差数列时,△MPQ面积的最大值.(第2题)3. (2014·珠海期末)已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为e=32,直线y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上异于顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N,直线AD 交BP 的延长线于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,求证:2m-k 为定值.(第3题)4. 已知圆C 1:x 2+y 2-x-a=0与圆C 2:x 2+y 2-2x-2=0交于P,Q 两点,M(2,t)是直线PQ 上的一个动点.(1) 求圆C 1的标准方程.(2) 求以OM 为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆C 3的方程.(3) 过圆C 2的圆心作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N,请判断线段ON 的长是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是,请说明理由.5. 已知椭圆C 1:22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为e=33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切. (1) 求椭圆C 1的方程;(2) 已知抛物线C 2:y 2=2px(p>0)与椭圆C 1有公共焦点,设C 2与x 轴交于点Q,在C 2上有不同的两点R,S(R,S 与点Q 不重合),满足QR ·RS=0,求|QS |的取值范围.6. 如图,椭圆C:22x a +y 2=1(a>1)的右焦点为F(c,0)(c>1),点P 在圆O:x 2+y 2=1上任意一点(点P在第一象限内),过点P作圆O的切线交椭圆C于Q,R两点.(1) 求证:PQ+FQ=a;(2) 若椭圆的离心率为32,求线段QR长度的最大值.(第6题)第2讲解析几何中的“瓶颈题”分类解密——专题突破考点1 求曲线方程中的“瓶颈题”【例1】【分析】(1) (条件)L 上的点到两个已知圆的圆心距相等⇒(目标)圆C 的圆心轨迹L 的方程⇒(方法)根据平面几何知识作出推断,L 为两圆圆心的垂直平分线;(2) (条件)点M 的轨迹满足的几何条件⇒(目标)点M 的轨迹Q 的方程⇒(方法)归结为圆锥曲线定义,确定圆锥曲线方程的系数写出轨迹方程.【解答】(1) 两圆半径都为1,两圆心分别为C 1(0,-4),C 2(0,2),由题意得CC 1=CC 2,可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线,C 1C 2的中点为(0,-1),直线C 1C 2的垂直平分线的斜率等于零,故线段C 1C 2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y=-1.(2) 因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M 的轨迹Q 是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,所以轨迹Q 的方程是x 2=4y.【点评】本题命题立意是通过对已知条件的分析、逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程,考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用,其特点是解轨迹方程不以计算为主,而以推理为主.【练习1】【解答】(1) 由题意得22242,22.3ab ab a b ⎧=⎪⎨=⎪+⎩ 又a>b>0,解得a 2=8,b 2=1.因此椭圆的标准方程为28x +y 2=1.(2) ①设点M(x,y),A(m,n),则由题设知|OM |=2|OA |,OA ·OM=0,即22224(),0,x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩解得22221,41.4m y n x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因为点A(m,n)在椭圆C 2上,所以28m +n 2=1,即228y ⎛⎫⎪⎝⎭+22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,即24x +232y =1.所以点M 的轨迹方程为24x +232y =1.②方法一:设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R ,λ≠0).因为点A 在椭圆C 2上,所以λ2(y 2+8x 2)=8,即y 2+8x 2=28λ.(ⅰ) 又x 2+8y 2=8.(ⅱ)(ⅰ)+(ⅱ),得x 2+y 2=28119λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以S △AMB =OM ·OA=|λ|(x 2+y 2)=81||9||λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥169, 当且仅当λ=±1,即k AB =±1时,(S △AMB )min =169.方法二:假设AB 所在的直线斜率存在且不为零,设AB 所在直线的方程为y=kx(k ≠0).解方程组221,8,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2A x =2818k +,2A y =22818k k +,所以OA 2=2A x +2A y =2818k ++22818k k +=228(1)18k k ++,AB 2=4OA 2=2232(1)18k k ++.又由221,81-,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2M x =2288k k +,2M y =288k +,所以OM 2=228(1)8k k ++.由于2AMB S =14AB 2·OM 2=14·2232(1)18k k ++·228(1)8k k ++=222264(1)(18)(8)k k k +++≥2222264(1)1882k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=222264(1)81(1)4k k ++=25681,当且仅当1+8k 2=k 2+8时等号成立,即k=±1时等号成立,此时△AMB 面积的最小值是S △AMB =169.当k=0时,S △AMB =12×42×1=22>169; 当k 不存在时,S △AMB =12×22×2=22>169.综上所述,△AMB 面积的最小值为169.方法三:因为21OA +21OM =2218(1)18k k +++2218(1)8k k ++=2221888(1)k k k ++++=98,又21OA +21OM ≥2·OA OM ,于是OA ·OM ≥169,当且仅当1+8k 2=k 2+8时等号成立,即k=±1时等号成立.(后同方法一)【练习2】【解答】(1) 设双曲线C 1的方程为221x a -221y b =1,则有1113,21,b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得111,23,2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则c 1=2211a b +=1,于是双曲线C 1的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),曲线C 2是以F 1,F 2为焦点的椭圆,设其方程为222x a +222y b =1(a 2>b 2>0),联立方程组22222222,-1,a a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以曲线C 2的方程是22x +y 2=1.依题意,曲线C 3:x 2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),于是2p=1,所以p=2,所以曲线C 3的方程是x 2=4y.(2) 由条件可设直线l 的方程为y=kx+1,由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得x 2-4kx-4=0,Δ=16(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.由AF =13FB ,得-3x 1=x 2,代入x 1+x 2=4k,得x 1=-2k,x 2=6k,代入x 1x 2=-4,得k 2=13,由于点A 在y 轴左侧,所以x 1=-2k<0,即k>0,所以k=33,故直线l 的倾斜角为π6.考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”【例1】【分析】(1) (条件)点M 在抛物线上、点P 到抛物线准线的距离⇒(目标)求p,t ⇒(方法)根据已知列方程组,解方程组即得;(2) (条件)直线OM 的方程、点P 坐标、抛物线方程⇒(目标)△ABP 面积的最大值⇒(方法)利用AB 的中点的坐标为参数建立△ABP 面积的函数关系式,通过函数的最值求解.【解答】(1) 由题意知21,51,24pt p =⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,21.p t ⎛= =⎝(例1)(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段AB 的中点为Q(m,m), 由题意知,设直线AB 的斜率为k(k ≠0).由211222,,y x y x ⎧=⎨=⎩得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=x 1-x 2.故k ·2m=1.所以直线AB 的方程为y-m=12m (x-m),即x-2my+2m 2-m=0.由22-22-0,,x my m m y x ⎧+=⎨=⎩消去x,整理得y 2-2my+2m 2-m=0,所以Δ=4m-4m 2>0, y 1+y 2=2m,y 1·y 2=2m 2-m.从而AB=211k +·|y 1-y 2|=214m +·24-4m m .设点P 到直线AB 的距离为d,则d=22|1-22|14m m m ++.设△ABP 的面积为S,则S=12AB ·d=|1-2(m-m 2)|·2-m m .由Δ=4m-4m 2>0,得0<m<1.令u=2-m m ,0<u ≤12,则S=u(1-2u 2). 设S(u)=u(1-2u 2),0<u ≤12,则S'(u)=1-6u 2.由S'(u)=0,得u=66∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以S(u)max =S 66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=69.故△ABP 面积的最大值为69.【点评】解析几何中最值问题的基本思路是建立求解目标关于某个变量的函数,通过求解函数最值解决问题.求解参数范围的思路与此类似,即建立求解目标关于某个变量的函数,通过函数值域求解其范围.【练习】【解答】(1) 由题意得222,2,c ac =⎧⎪⎨=⎪⎩解得c=1,a 2=2,所以b 2=a 2-c 2=1.所以椭圆的方程为22x +y 2=1.(2) 因为P(0,1),F 1(-1,0),所以PF 1的方程为x-y+1=0.由22-10,1,2x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得0,1x y =⎧⎨=⎩或4-,31-,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点Q 的坐标为41-,-33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 方法一:因为1PF k ·2PF k =-1,所以△PQF 2为直角三角形.因为QF 2的中点为11-,-66⎛⎫ ⎪⎝⎭,QF 2=523,所以过点P,Q,F 2的圆的方程为216x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+216y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2518. 方法二:设过P,Q,F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则10,10,1741--0,933E F D F D E F ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪+=⎩解得1,31,34-.3D E F ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以圆的方程为x 2+y 2+13x+13y-43=0.(3) 方法一:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则1F P =(x 1+1,y 1),1QF =(-1-x 2,-y 2).因为1F P =λ1QF ,所以12121(-1-),-,x x y y λλ+=⎧⎨=⎩即1212-1--,-,x x y y λλλ=⎧⎨=⎩所以222222222(-1--)1,21,2x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得x 2=1-32λλ.所以OP ·OQ=x 1x 2+y 1y 2=x 2(-1-λ-λx 2)-λ22y=-222xλ-(1+λ)x2-λ=-21-322λλλ⎛⎫⎪⎝⎭-(1+λ)·1-32λλ-λ=74-518λλ⎛⎫+⎪⎝⎭.因为λ∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以λ+1λ≥21·λλ=2,当且仅当λ=1λ,即λ=1时取等号.所以OP·OQ≤12,即OP·OQ的最大值为12.方法二:当PQ的斜率不存在时,在22x+y2=1中,令x=-1得,y=±22.所以OP·OQ=(-1)×(-1)+22×2-2⎛⎫⎪⎪⎝⎭=12,此时λ=1∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当PQ的斜率存在时,设为k,则PQ的方程是y=k(x+1).由22(1),1,2y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由韦达定理得x1+x2=22-412kk+,x1x2=222-212kk+.设P(x1,y1),Q(x2,y2).则OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)·222-212kk++k2·22-412kk++k2=22-2 12 kk +=12-252(12)k +<12.故OP ·OQ 的最大值为12,此时λ=1∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点3 圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”【例1】【分析】(1) (条件)PA 与PB 的斜率之积为-12⇒(目标)求点P 的轨迹方程⇒(方法)直接设点代入;(2) (条件)椭圆方程、直线系过点(1,0)等⇒(目标)直线MQ 恒过定点⇒(方法)以参数表达直线系方程、代入椭圆方程,设出M,N 的坐标,得出点Q 坐标,设出直线系MQ 的方程,证明直线过定点.【解答】(1) 由题意知2y x +·-2y x =-12, 化简得22x +y 2=1(y ≠0),即为双曲线C 的方程.(2) 方法一:设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),Q(x 2,-y 2),l:x=my+1,代入22x +y 2=1(y ≠0),整理得(m 2+2)y 2+2my-1=0,所以y 1+y 2=2-22m m +,y 1y 2=2-12m +,MQ 的方程为y-y 1=1212-y y x x +(x-x 1),令y=0,得x=x 1+12112(-)y x x y y +=my 1+1+12112(-)my y y y y +=12122my y y y ++1=2,所以直线MQ 过定点(2,0).方法二:设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),Q(x 2,-y 2),l:y=k(x-1),代入22x +y 2=1(y ≠0),整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=22412kk+,x1x2=222-212kk+,MQ的方程为y-y1=1212-y yx x+(x-x1),令y=0,得x=x1+12112(-)y x xy y+=x1+12112(-1)(-)(-2)k x x xk x x+=1212122-()-2x x x xx x++=2.所以直线MQ过定点(2,0).【点评】解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数建立直线系方程,然后再根据直线系方程过定点时,方程的成立与参数没有关系,得到一个关于x,y的方程组,以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同.【练习】【解答】(1) 设F(c,0),因为b=1,所以c=21a+.直线OB的方程为y=-1a x,直线BF的方程为y=1a(x-c),解得B,-22c ca⎛⎫⎪⎝⎭.又直线OA的方程为y=1a x,则A,cca⎛⎫⎪⎝⎭,kAB=3a.又因为AB⊥OB,所以3a·1-a⎛⎫⎪⎝⎭=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为23x-y2=1.(2) 由(1)知a=3,则直线l的方程为3x x-yy=1(y≠0),即y=-33x xy.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点M2-3 2,3xy⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l与直线x=32的交点为N3-332,23xy⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,则22MFNF=222004(2-3)9[(-2)]xy x+.因为点P 是C 上一点,则203x -20y =1,代入上式得22MF NF =2022004(2-3)9[(-2)]x y x +=2022004(2-3)9-1(-2)3x x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=43,所以定值为MF NF =233.考点4 探究性问题中“瓶颈题”【例4】【分析】(1) (条件)椭圆离心率、MB 1⊥MB 2⇒(目标)得出椭圆方程⇒(方法)列方程求解椭圆方程需要的a,b;(2) (条件)椭圆方程⇒(目标)直线与椭圆交于两点A,B,判断x 轴上是否存在定点P,使PM 平分∠APB ⇒(方法)判断点P 是否存在,先假设其存在,把几何条件转化为代数条件后得关于点P 坐标的方程,这个方程对任意变动的直线恒成立时,若点P 的坐标有解则存在,否则不存在.【解答】(1) 由题意得222-a b a =1-22b a =253⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,即b a =23.依题意,得△MB 1B 2是等腰直角三角形, 从而b=2,故a=3.所以椭圆C 的方程是29x +24y =1.(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为x=my+2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去x,得(4m 2+9)y 2+16my-20=0.所以y 1+y 2=2-1649m m +,y 1y 2=2-2049m +.若PM 平分∠APB,则直线PA,PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0.设P(n,0),则有11-y x n +22-y x n=0. 将x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式,整理得1212122(2-)()(2-)(2-)my y n y y my n my n ++++=0, 所以2my 1y 2+(2-n)(y 1+y 2)=0.将y 1+y 2=2-1649m m +,y 1y 2=2-2049m +代入上式,整理得(-2n+9)·m=0.由于上式对任意实数m 都成立,所以n=92.综上,存在定点P 9,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,使PM 平分∠APB.【点评】本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制,解题中需要把已知的几何条件逐步转化为代数条件,充分体现了等价转化思想的应用.【练习】【解答】(1) 由题意知F ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设D(t,0)(t>0),则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭, 因为FA=FD,由抛物线的定义知3+2p =-2pt ,解得t=3+p 或t=-3(舍去).由3322p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=6p ,解得p=2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2) ①由(1)知F(1,0),设A(x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D(x D ,0)(x D >0), 因为FA=FD,则|x D -1|=x 0+1, 由x D >0,得x D =x 0+2,所以D(x 0+2,0),故直线AB 的斜率为k AB =-02y ,因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y=-02y x+b,代入抛物线方程得y 2+08y y-08by =0, 由题意知Δ=2064y +032b y =0,得b=-02y . 设E(x E ,y E ),则y E =-04y ,x E =204y .当20y ≠4时,k AE =00--E E y y x x =-0022044-4y y y y +=0204-4y y ,可得直线AE 的方程为y-y 0=0204-4y y (x-x 0),由20y =4x 0,整理可得y=0204-4y y (x-1),直线AE 恒过点F(1,0).当20y =4时,直线AE 的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE 过定点F(1,0). ②由①知,直线AE 过焦点F(1,0),所以AE=AF+FE=(x 0+1)+011x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=x 0+01x +2,设直线AE 的方程为x=my+1,因为点A(x 0,y 0)在直线AE 上,故m=00-1x y .设B(x 1,y 1),直线AB 的方程为y-y 0=-02y (x-x 0),由于y 0≠0,所以x=-02y y+2+x 0, 代入抛物线方程得y 2+08y y-8-4x 0=0, 所以y 0+y 1=-08y ,可求得y 1=-y 0-08y ,x 1=04x +x 0+4,所以点B 到直线AE 的距离为d=00002484-11x m y x y m ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭+=004(1)x x +=4001x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. 则△ABE 的面积S=12×4001x x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭(x 0+01x +2)≥16, 当且仅当x 0=01x ,即x 0=1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.考点5 解析几何中的证明问题【例5】【分析】本题主要考查直线的方程及椭圆和抛物线的标准方程,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.【解答】(1) 根据e=ca =32,可设椭圆方程为224xb+22yb=1,将M(2,1)代入可得b2=2,所以椭圆C的方程为28x+22y=1,因此左焦点为(-6,0),斜率0l k=k OM=1 2,所以直线l0的方程为y=12(x+6),即y=12x+62.(2) 抛物线C的方程为y2=12x.设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k 1=11-1-2yx,k2=22-1-2yx,kAB=2121--y yx x=2112()y y+=-14,所以y1+y2=-2.k1+k2=11-1-2yx+22-1-2yx=112(1)y++212(1)y+=121222(1)(1)y yy y++++=0.所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.【点评】定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值;解决圆锥曲线中的最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围.如何突破解析几何中的“瓶颈题”,需要综合运用“设而不求”、“合理引参”、“整体代换”、“回归定义”和“借助平几”等策略,才能简化运算,起到事半功倍的效果.【评价反馈】1. (1) 由S1=λS2可知m+n=λ(m-n),所以λ=1-1mnmn+=1-1λλ+,解得λ=2+1(舍去小于1的根).(2) 设椭圆C1:22xa+22ym=1(a>m),C2:22xa+22yn=1(a>n),直线l:ky=x,联立方程组2222,1,ky xx ya m=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得22222a m ka m+y2=1,所以yA=222ama m k+.同理,yB =222ana n k+.又因为△BDM和△ABN的高相等,所以12SS=BDAB=--B DA By yy y=-B AA By yy y+.若存在非零实数k使得S1=λS2,则有(λ-1)yA=(λ+1)yB,即222222(-1)a n kλλλ+=2222(1)a n kλ++,解得k2=22223(-2-1)(1)4anλλλλ+,所以当λ>1+2时,k2>0,存在这样的直线l; 当1<λ≤1+2时,k2≤0,不存在这样的直线l.2. (1) 取PQ的中点D,连接OD,OP.(第2题)由α=π4,c=1,知OD=22.因为PQ=14,所以OP 2=24PQ +OD 2=4, 所以a 2=4,b 2=3.所以椭圆C 的方程为24x +23y =1,圆O 的方程为x 2+y 2=4. (2) 设AF 2=s,BF 2=t.由椭圆定义得AF 1+AF 2=2a=4,BF 1+BF 2=2a=4.因为AF 2,BF 2,AB 的长成等差数列,所以2t=s+4-s+4-t,所以t=83.设B(x 0,y 0),由2200220064(-1),91,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得B415-,-33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 所以直线PQ 的斜率k=15,所以PQ 的方程为y=15(x+1),所以PQ=72.易求得椭圆上一点到直线PQ 的距离的最大值是37154+,所以△MPQ 的面积的最大值是21771516+.3. (1) 由题意知,直线y=x+2与圆x 2+y 2=b 2相切,所以|0-02|2+=b,得b=1,由e=32,得22c a =222-a b a =34,所以a=2. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2) 因为B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线BP 的方程为y=k(x-2)102k k ⎛⎫≠≠± ⎪⎝⎭且 ①,将①代入24x +y 2=1,解得P 2228-24,-4141k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 又直线AD 的方程为y=12x+1 ②,①与②联立解得M424,2-12-1k k k k +⎛⎫⎪⎝⎭, 由D(0,1),P 2228-24,-4141k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,N(x,0)三点共线,可得N 42,02-1k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以MN 的斜率为m=214k +,则2m-k=212k +-k=12(定值).4. (1) 因为圆C 1与圆C 2的公共弦PQ 的方程是x=a-2,而M(2,t)是x=a-2上的点,所以a=4,故圆C 1的标准方程为21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+y 2=174.(2) 以OM 为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0,即(x-1)2+2-2t y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24t +1,其圆心为1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径r=214t +.因为以OM 为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=2-1r =2t ,所以|3-2-5|5t =2t,解得t=4,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.(3) 方法一:设直线OM 与直线FN 交于点k,由平面几何知识知ON 2=OK ·OM,直线OM:y=2tx,直线FN:y=-2t (x-1),由,22-(-1),t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x K =244t +,所以ON 2=214Kt x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·214M t x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·244t +·2=2,所以线段ON 的长为定值2. 方法二:设N(x 0,y 0),则000000(-1,),(2,),(-2,-),(,),FN x y OM t MN x y t ON x y ⎧==⎪⎨==⎪⎩因为FN ⊥OM,所以2(x 0-1)+ty 0=0,所以2x 0+ty 0=2.又因为MN ⊥ON ,所以x 0(x 0-2)+y 0(y 0-t)=0,所以20x +20y =2x 0+ty 0=2,所以,|ON |=2200x y +=2为定值.5. (1) 由直线l:y=x+2与圆x 2+y 2=b 2相切,得|0-02|2+=b,即b=2. 由e=33,得22b a =1-e 2=23,所以a=3.所以椭圆C 1的方程是23x +22y =1.(2) 由题意得2p=1,即p=2,故C 2的方程为y 2=4x.易知Q(0,0),设R 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,S 222,4y y ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以QR =211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,RS =222121-,-4y y y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由QR ·RS=0,得222121(-)16y y y +y 1(y 2-y 1)=0,因为y 1≠y 2,所以y 2=-1116y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以22y =21y +21256y +32≥22121256·y y +32=64,当且仅当21y =21256y ,即y 1=±4时等号成立.又|QS |=222224y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2221(8)-644y +, 因为22y ≥64,所以当22y =64,即y 2=±8时,|QS|min =85,故|QS|的取值范围是[85,+∞).6. (1) 设Q(x 1,y 1)(x 1>0),得FQ=a-ex 1,由PQ 是圆x 2+y 2=1的切线,PQ=22-OQ OP =2211-1x y +,注意到212x a +21y =1,PQ=221121--1x x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=21211-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=ex 1,所以PQ+FQ=a. (2) 由题意得e=2-1a a =32,所以a=2.方法一:设直线QR 的方程为y=kx+m,因为点P 在第一象限,所以k<0,m>0.由直线QR 与圆O 相切,所以2||1m k +=1,所以m 2=k 2+1.由22,1,4y kx m xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2814kmk +.由(1)知,QR=e(x 1+x 2)=238-214km k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=43·2||14k m k +=43·22||3k m m k +,因为m 2+3k 2≥23m|k|,所以|QR|≤43·123=2.当且仅当m=-3k 时,QR 取最大值2,此时直线QR 的方程为y=k(x-3),过焦点F. 方法二:设P(x 0,y 0),Q(x 1,y 1),R(x 2,y 2), 则直线QR 的方程为x 0x+y 0y=1.由00221,44,x x y y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得 (20y +420x )x 2-8x 0x+4-420y =0,则x 1+x 2=0220084x y x +, 因为20x +20y =1,所以x 1+x 2=020813x x +,由(1)知,QR=e(x 1+x 2)=32·020813x x +=43·02013x x +=43·00113x x +,因为01x +3x 0≥23,所以QR ≤43·123=2,当且仅当x 0=33时,QR 取最大值2,此时P36,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,直线QR 过焦点F. 方法三:由(1)同理可求PR+FR=2,则QR+QF+FR=4,QR ≤RF+FR,2QR ≤QR+QF+FR=4,所以QR≤2,当且仅当直线QR过焦点F时等号成立,从而QR=2.max。

2015年高考数列创新题赏析

2015年高考数列创新题赏析中南大学第一附属中学（410083）刘文生（qq ：1341467906）2015年全国高考数学试题中数列创新题精彩纷呈，数列问题的创新成为高考命题的一道亮丽的风景。

数列内容基本而且重要，它是普通高中数学模块5中的一个学习内容。

通过学习，学生应了解数列的概念和几种简单的表示方法，并认识到数列是一种特殊函数；学生应理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，并体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；学生要能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

数列内容是每年高考必考的一个重要内容。

基本题主要考察等差数列、等比数列的概念、通项公式与前n 项和的公式及它们的一些简单性质。

但高考试题中更多的数列问题是创新题。

新颖的数列模型、新颖的设问方式、新颖的问题情境层出不穷。

数列问题的创新让人赞不绝口。

例1（2015，湖南（文））设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知11=a ，22=a ，且2+n a =n S 3-1+n S +3，*N n ∈。

（1）证明：n n a a 32=+；（2）求n S .审题要点：①已知条件简洁，就是一个关于数列的项2+n a 与前n 项和nS的一个递推关系，可以利用11++=-n n n a S S ，n n n a S S =--1（2≥n ）或122+++-=n n n S S a 转化变形。

②求证目标是数列{n a }的奇数项形成的子数列{12-n a }和偶数项形成的子数列{n a 2}都是等比数列，并在此基础上对n 分奇偶，利用分组求和方法求得n S 2及12-n S 。

解题过程（略）评析： ①本题考查了数列的递推公式、前n 项和与通项的关系、等比数列、分组求和等相关知识，是数列知识内部综合题，难度适中。

②试题简洁，学生容易入手，优秀学生也容易走出来，整个求解过程无需费多少周折，能较好地考察学生的运算和推理能力。

2015年湖北高考解析几何专题分析

2015年高考解析几何专题分析（含坐标系与参数方程）黄石二中谈运章湖北高考解析几何综述：解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线与圆以及圆锥曲线。

由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系。

在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占较大的比例。

近三年的湖北卷中12、13年解析几何部分由一道小题和一道解答题构成，分值共17分，14年增加了一道小题，分值增加到22分。

高考的重点在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，但由于计算量较大，学生往往失分较大。

解析几何作为高考的重要考点之一，其特点是用代数的方法研究、解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题。

其命题一般紧扣课本全面考查，突出重点主干知识、注重知识交汇、强化思想方法、突出创新意识。

客观题的特点：一是侧重考查基础知识。

如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程及基本量计算，焦点方程、渐近线方程等典型的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用，点到直线距离公式、三角形面积公式、弦长公式等。

二是注重综合考察多种知识。

如不同曲线（含直线）之间的结合，解析几何与不等式、向量、三角、函数的结合等。

主观题考查的重点仍是直线与圆锥曲线的位置关系这一传统热点，着重围绕范围、轨迹方程、最值、定值、存在性、直线与圆锥曲线的位置关系等方面设置问题。

解题时需要根据具体情境，灵活运用解析几何、平面几何、向量、三角、函数、不等式等知识，具有较强的综合性。

对解析几何中体现的化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想提出了较高要求。

选修4-4坐标系与参数方程部分在我省高考中以选做填空题形式考查，侧重考查学生对极坐标与直角坐标的相互转化，考查问题的形式多为求交点坐标、弦长等基本问题。

一、平面解析几何初步部分1.考点与考试层次要求（依据2014年湖北高考数学考试说明）内容知识要求了解理解掌握平面解析几何直线与方程直线的倾斜角和斜率√过两点的直线斜率的计算公式√两条直线平行或垂直的判定√初步直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式、点到直线的距离公式√两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√直线与圆的位置关系√两圆的位置关系√用直线和圆的方程解决一些简单的问题√2.考试要求以及查查类型分析纵观近年高考直线与圆的方程试题的特点和高考命题的发展趋势，以下内容仍是高考的重点内容：直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式；两条直线平行与垂直的条件及其判断，点到直线的距离公式；圆的标准方程、一般方程的概念、性质及其应用。

2015年高考真题解答题专项训练：解析几何(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：解析几何（理科）1．（2015•广东•理）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 2．（2015•重庆•理）（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF =+=，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e3．（2015•浙江•理）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．4．（2015•新课标一卷•理）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线y kx a=+（a＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.5．（2015•天津•理）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为(,0)F c -,离心率为，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，|FM|=3.（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.6．（2015•四川•理）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；7．（2015•陕西•理）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．8．【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 错误！未找到引用源。

2015高考数学解析几何完美版

解析几何总结一、直线1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角。

2、范围 0θπ≤<3、直线的斜率：当倾斜角不是90时，倾斜角的正切值。

tan ()2k παα=≠4、直线的斜率公式：设111(,)P x y ,222(,)P x y 12()x x ≠ 2121y y k x x -=-5、直线的倾斜角和斜率关系：（如右图） 02πα≤<；0k >；单调增；2παπ<<，0k <；单调增6、直线的方程（1）点斜式：11()y y k x x -=- ⑵、斜截式：y kx b =+ （3）两点式：112121y y x x y y x x --=-- ⑷、截距式：1x y a b += ⑸、一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠⑹、参数式： 11cos sin x x t y y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）参数t 几何意义：定点到动点的向量7、直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+ 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=平行：12k k =且12b b ≠111222A B C A B C =≠相交：12k k ≠1122A B A B ≠重合：12k k =且12b b =111222A B C A B C == 垂直：121k k ⋅=- 12120A A B B +=8、到角及夹角(新课改后此部分已删掉)到角：直线1l 依逆时方向旋转到与2l 重合时所有转的角。

2121tan 1k k k k α-=+夹角：不大于直角的从1l 到2l 的角叫1l 与2l 所成的角，简称夹角。

2121tan 1k k k k α-=+9、点到直线的距离（应用极为广泛）P （00,x y ）到1:0l Ax By C ++=的距离d =平行线间距离：11:0l Ax By C ++= 22:0l Ax By C ++=d =10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。

2015山东文理解析几何解答题研究

2015山东高考数学文理科解析几何解答题研究（2015山东高考理科20题）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.（ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2可知2c e a ==，而222a b c =+则2,a b c =，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,设两圆的一个交点为W ，由题意知：a WF WF 241321==+=+ 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=.。

注：11年山东高考第一次考察椭圆定义！（Ⅱ）（ⅰ）（法一）椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<，代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==.。

注：此问方式较多！（Ⅱ）（ⅰ）（法二）椭圆化圆：1,,222='+'='='y x C y y xx 可化为圆：则椭圆，椭圆422='+'y x E 可化为圆：，（Ⅱ）（ⅱ）（法一）椭圆化圆：1,,2=+==y x C y y x 可化为圆：则椭圆,椭圆422='+'y x E 可化为圆：， 104)(42216322222≤<'+-=∙-∙===∴'''∆∆∆d AB O d d d d d S S S O B A ABO ABQ 的距离，到直线为其中364)(6222≤+-=∴∆d d S ABQ（Ⅱ）（ⅱ）（法二：常规）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->，||AB =222211||||164||36221414m m k m S AB d k k ∆+-==⋅⋅⋅++2222222222)41(4146)41)416(6km k m k m m k +-+=+-+=（而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222)4,(14)8440m k x kmx m +=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，设(]1,04122∈+=km t ， 36)4(6)41(414622222≤-=+-+=∆t t km k m S 等号当仅当2214k m +=时取！今年文科比理科少简单几乎一样，不再研究！（Ⅱ）（ⅱ）（法三）三角代换令)sin 2,cos 4()sin 2,cos 4(ββααB A 、，)sin(1221331221βα-=-∙∙==∴∆∆y x y x S S ABOABQ 当面积最大时AB 的中点在椭圆C 内或上，1)2sin 2sin 2(4)2cos 4cos 4(22≤+++∴βαβα23)sin(1)(cos 4121)cos(1)sin (sin )cos (cos 222≤-⇒≤-≤⇒-≤-⇒≤+++∴βαβαβαβαβα 36)sin(123≤-==∴∆∆βαABO ABQ S S研究解读：（一）整体问题：2222222222)41(4146)41)416(6k m k m k m m k S +-+=+-+=∆（这是本题最大的难点！根本在于发现2241k m t +=！这就是个“整体”的问题！所谓“换元”一般是在问题比较复杂且具备“整体性”时运用的一种转化方式，因此换元只是一种形式，观察事物的本质也就是具备整体性的“元素”才是转化的根本！我们回顾一下：（1）2013文科22题“核心问题”：[]）均符合或）展开，作为一个整体注意不要将0.......(3442104)21(3)421(0)4(12(16-)21(3)21(.......)12(16)21(346)21()12(2)1(21)1(2121222222222222222222222222222>∆=+∴=-+-+⇒=+++⇒+-+=+⇒=+-+∙=+∙+∆+∙==∆b b k b k b k b b k k k b b k k k b b k k b k k d AB S AOB（2）2011理科22题“核心问题”：而是作为一个整体！注意不要展开222222222222222222)32(.2320)232(0)2()32(4)32(0)32(4)32(26k m k m k m k m k m m k k S +=+⇒=-+⇒=++-+⇒=-+-+⇒=∆ （3）2012文科22题“核心问题”：1m <22)-3(-554m m ST PQ=的最大值这个问题：（法一）令()2,5-3-3∈=m t ，45)43-t 14(-541-64-54)-3(-5542222+=+==t t m m ST PQ，以下略！（法二）令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈=453,21-31m t ，则1-6-54)-3(-554222t t m m ST PQ +==，以下略！（法三）令()5,1,-3)-5(--0)-3(-5222∈==m m m m m k ，表示)m -5,-(),0,3(2m 连线的斜率；以下略！以上3种方法都是“整体”本质的研究问题！（4）2008山东文科22题“核心问题”：)45)(54()1(2222k k k y +++=，求其最小值及此时的K.（法一）22222)1(1201120)14)(15(,11tt t t t t t t k t -+=-+=+-=≥+=则原式令，以下略！（法二）取，，等号当仅当14554942)45()54()1()45)(54()1(22222222222±=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≥+++=k k k k k k k k k y其实此题的前一年即2007年全国卷21题中曾出现：2222)1(23)(32(k k k y +++=）对比2009山东理22：1441542424++++=k k k k y ，求其最值及此时k 的值。

2015年高考数学全国卷特色试题解析与简评

试题评析２
ｆ′（ｘ）是奇函数ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）的导函数，ｆ（－１）＝０，当ｘ＞０时，ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＜０，则使得ｆ（ｘ）＞０成立的ｘ的取值范围是（）．
（Ａ）（－ ∞ ，－１）∪ （０，１）（Ｂ）（－１，０）∪ （１，＋ ∞ ）（Ｃ）（－ ∞ ，－１）∪ （－１，０）（Ｄ）（０，１）∪ （１，＋ ∞ ）解析：令 δ（ｘ）＝ｆｘ（ｘ）（ｘ≠０），由题意知 δ（ｘ）是偶函数．由δ（－ｘ）＝δ（ｘ），得δ′（－ｘ）＝－δ′（ｘ），即导函数δ′（ｘ）是奇函数．由δ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘｘ）２－ｆ（ｘ）结合已知条件可知，当ｘ＞０时， δ′（ｘ）＜０，所以δ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递减．又δ（ｘ）为偶函数，由对称性知δ（ｘ）在（－ ∞ ，０）上单调递增．再由ｆ（－１）＝０，得δ（－１）＝δ（１）＝０，所以当ｘ∈ （０，１）时，δ（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）＞０，当ｘ∈ （－ ∞ ，－１）时，δ（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）＞０．所以不等式ｆ（ｘ）＞０的解集是（－ ∞，－１）∪ （０，１）．故选Ａ．简评：本题把函数的奇偶性与导数应用融
－槡３）ｃｏｓ１５°＋２ｓｉｎ１５°＝２（２－槡３）·
槡槡１＋ｃｏ２ｓ３０°＋２１－ｃｏ２ｓ３０°＝槡６－槡２，可得
槡６－槡２＜ＡＢ＜槡６＋槡２．因此，建立这个目标函
数看似直接一些，但后续的计算与转化需要更
多的三角变换．
例４（全国新课标卷 Ⅱ 第１６题）设Ｓｎ是
ＡＢ
＝
ＢＤｓｉｎ∠ＡＤＢｓｉｎ∠Ａ