对称性在重积分中的应用
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献谢词一、 引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.二、相关的定义定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）.定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --,则D a x y +=对称,称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域.定义3：(1)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.(2)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性.定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,则)(x f 为关于()0,a 中心对称.当且仅当0=a 时有)()(x f x f -=-则)(x f 为奇函数.若)()(a x f a x f +=-且)()(x a f x a f +-=-则)(x f 既关于a x =对称,又关于()0,a 中心对称.定义5若n 元函数),,,,,,(),,,(11121-+≡i x x x x x f x x x f n i i n , (n i ,,2,1 =),则称n 元函数),,,(21n x x x f 关于n x x x ,,,21 具有轮换对称性.定义6：若)(),,,(21N n R D x x x p nnn ∈⊂∈∀ 有),,,,,,(1111-+i x x x x x p n i i nD ∈),,2,1(n i =成立，则称n D 关于),,,(21n x x x p 具有轮换对称性.三、重积分的对称性（一）对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用. 引理 设函数)(x f 在[]h a h a +-,上连续,则有[]⎰⎰+--++=ha ha hdx x a f x a f dx x f 0)()()( (1)证令t a x +=,有 ⎰⎰⎰+--+++=h a ha h hhdt t a f dt t a f dx x f 0)()()( (2)令u t -=,则⎰⎰⎰--=--=+000)()()(hhhdu u a f du u a f dt t a f （3）将（3）式带入（2）式,并将积分变量统一成x ,则[]⎰⎰-++=+-hh a ha dx dx x a f x a f dx x f 0)()()(特别地，令0=a ，就得公式[]dx x f x f dx x f hhh⎰⎰--+=0)()()(由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1 设函数)(x f 在[]h h ,-上连续，那么2） 若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=hh hodx x f dx x f )(2)(3） 若)(x f 为奇函数，则⎰-=hhdx x f 0)(次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助，例1 求xdx x x I cos 1122223⎰-+++=ππ解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分x x x cos 123+和x cos ，前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.⎰⎰--++=222223cos cos 1ππππxdx dx x x x I =⎰2cos 2πxdx=2注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间[]h h ,-上求解。
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
对称性在积分运算中的应用
人 们 经 常 利 用 函数 的奇 偶 性 来 简 化 定 积 分 计
算Ⅲ ， 即若 厂 （ ｚ ）在 ［ 一ａ ， 。 ］上 连续 ， 则 有
Ｌ ｆ （ ｚ ， ） 如 ＝ ｆ Ｉ ｏ ｉ （ ， ） 曲 一
划。 ［ 厂 （ ｚ ， ） ＋ （ ． ｙ ， ｚ ） ，
Ｌ ｆ （ 一 矾，
其中Ｄ 表示 Ｄ 中直线 Ｙ — ｚ上 （ 或 下）方 的部 分．
证 明 取关 于直 线 Ｙ— 对 称 的分 割 ， 将 区域
某 种对 称 性． 当厂 （ Ｐ）在 力 中各对 称 点 处 的 函数 值 的绝对 值相 等且 符 号相反 ， 即＿ 厂 （ Ｐ） 为相 应 于 区域
ｌ ｉ ｍ
当对 区域 力 及被 积 函数 （ Ｐ） 赋 以具 体 的含义
￣ ｆ （ ８ 一 ｊ Ｊ 。 厂 （ ） ｄ
＝
所以， 式（ １ ）成立 ． 式（ ２ ） 和式（ ３ ）易证 ， 从 略． 性质 ２ 设 函数 ｆ （ ｘ， Ｙ， ２ ） 在 闭 区域 上 连续 ，
…ｆ （ ｚ ， ｚ ， ） ｄ ｖ ．
证 明 与性质 １的证 明类 似 ， 从 略．
类 似地 ， 还 有 以下轮 换 性质 ． 性质 ３ 设 函数 ｆ （ ｘ， Ｙ， ｚ ）在 光滑 曲线 Ｉ １ 上 连
基金项 目： 南 京 邮 电大 学 教 改 项 目（ Ｊ ＧＯ Ｏ Ｔ １ １ Ｊ Ｘ４ ０ ） 作者简介 ： 宋洪雪（ １ ９ ７ ７－ －） ， 女， 辽宁西丰人 ， 硕士 ， 讲师 ， 从 事 非 线 性
动力系统研究． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｏ ｎ ｇ ｈ ｘ ＠ｎ ｊ ｕ ｐ ｔ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
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高 等 数 学 研 究
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
对称性在积分计算中的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学对称性在积分计算中的应用在数学计算中, 积分计算是一个非常重要的部分. 早在古希腊时期数学家阿基米德在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中, 利用穷竭法, 借助于几何直观, 求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念, 不承认无限, 但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.[1] 17 世纪中叶, 法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积, 更加接近现代的求定积分的方法. 可见, 利用“分割求和”及无穷小的方法, 已被当时的数学家普遍采用.[2]17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法. 但是, 他们留下了大量的事情要后人去解决, 首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础. 创立于17 世纪的微积分, 主要应用于天文学、力学、几何学中的计算.[3] 而到19 世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统、严密、完整的学科. 积分概念也趋于逻辑化、严密化,形成我们现在使用的概念. 定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想. 其中分割既是将[,]a b 任意地分成n 个小间,12,,,,,i n x x x x ∆∆∆∆L L ,其中i x ∆ 表示第I 个小区间的长度, 在每个小区间上任取一点i ξ做()i i f x ξ∆并求和()i if x ξ∆∑,这体现了求和的思想, 当区间的最大长度趋于零时, 和式的极限若存在即为()f x 在[,]a b 上的定积分. 利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积;求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;平行截面面积为已知的立体的体积;求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等时,()ba f x dx ⎰的积分形式也可以推广: (1) 可以把积分区间[,]ab 推广到无限区间上,如[,)a +∞ 等,或者把函数推广到无界函数,也就是广义积分. (2) 可以把积分区间[,]a b 推广到一个平面区域,被积函数为二元函数, 那么积分就是二重积分; 同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分. (3) 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面, 即曲线积分和曲面积分. 无论积分推广到何种形式, 它始终体现了这种分割的极限思想, 比如二重积分的概念:设(,)f x y 在有界闭区域D 上有界,(1) 分割: 将D 任意分成n 个小区域i σ∆并表示面积;(2) 近似: 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη作乘积;(3) 求和取极限:若各区域直径的最大值趋于零时, 和式(,)i i if ξησ∆∑的极限存在, 即为 (,)f x y 在D 上的二重积分. 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的, 同样三重积分亦是如此.[4]此外,不定积分与定积分之间关系为:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰, 这是牛顿—莱布尼兹公式. 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 它表明: 一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一原函数在区间[,]a b 上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法. [5]积分在数学分析中有很重要的地位; 积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨,但是对对称性的研究却很少涉及. 对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算. 本文研究了对称性在积分运算中的应用. 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.[6] 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能.[7] 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子, 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分, 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法. 在一般情况下, 不仅要求积分区域D 具有对称性, 而且被积分函数对于区域D 也要具有对称性. 但在特殊情况下, 即使积分区域D 不对称, 或者关于对称区域D 被积函数不具备对称性, 也可以经过一些技巧性的处理, 使之化为能用对称性来简化计算的积分.[8]常见对称形式的二重积分的简化运算有三种, 一: 积分区域D关于坐标轴对称; 二: 分区域D关于=±对称. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积原点对称; 三: 积分区域D关于直线y x函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 刘渭川, 在他的利用对称性计算曲线积分和曲面积分, 论文中提到, 借助于(平面)空间曲线及空间曲面的直观几何意义, 利用曲线, 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性, 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇(偶)函数, 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线(面)积分更为简便、快捷, 同时, 也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误. [9]因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用轮换对称性以求简便计算. [10]参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M]. 沈阳: 辽宁科技出版社, 1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 林源渠. 高等数学复习指导与典型例题分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.[6] 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的应用[J]. 毕节师范高等专科学校学报(综合版),2002, 20(3): 90～92.[7] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[8] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,(10): 181.[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective [J], injective, and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[10] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用摘要：在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及轮换对称性可以简化计算.本文总结了对称性在定积分、重积分、曲线积分以及曲面积分计算中的应用.对于积分区域不具有对称性的情形，文中总结了几种方法来创造对称性，如平移变换、伸缩变换、区域划分等.关键词：对称性；奇偶性；积分计算；轮换对称引言数学是一个充满了美的世界，对称性不仅是数学美的重要特征，也是一个非常重要的艺术要素，因此很有必要去探讨一下对称性在解题这门艺术中的应用.在学习的过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，就能简化计算.很多文献讨论了对称性在积分计算中的应用这个问题.如文献[3]和文献[4]主要讨论了二重积分的对称性定理及其应用，得出了当积分区域关于x轴（或y轴、或原点）对称且被积函数关于变量x（或y）为奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[5]讨论了轮换对称性在各类积分计算中的应用.文献[6]讨论了对称性在三重积分计算中的应用，得出了当积分区域关于某个坐标面对称且被积函数是关于某变量的奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[7]给出了积分区域关于变量x,y,z的轮换对称性定义.文献[13]将定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分的对称性定理写成统一的形式.当积分区域不具有对称性时，不能直接利用对称性来简化计算，但有时可以通过适当的变换化积分区域为对称区域.本文总结了几种创造对称性的方法，如伸缩变换、平移变换、区域划分等，有时候可以将两种变换结合起来使用.1.对称性在定积分计算中的应用在定积分的计算中，根据积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可以简化计算.定理1.1[1] 设f(x)在[?a,a]上连续，则当f(x)是奇函数时，?当f(x)是偶函数时，?a?aa?af(x)dx?0；f(x)dx?2?f(x)dx.a1周口师范本科毕业论文（设计）证明?a?af(x)dx??af(x)dx?0?a?0?af(x)dx.令x??t，有dx??dt.则?当f(x)为偶函数时，当f(x)为奇函数时，f(x)dx???f(?t)dt?a0f(?t)dt.a?a0f(?t)dt??a0f(t)dt，则?aa?aaf(x)dx?2?f(x)dx.?af(?t)dt???f(t)dt，则??af(x)dx?0.下面我们来看一个例题.例1?x3sin2x2?计算定积分I???6?x2?x???dx.2?2?x?3x?5? 2解3I??2?2xsinxx?3x?56232??2?2x(2?x)dx.2由于xsinxx?3x?5622是变量x的奇函数，由定理1.1知?2?2xsinxx?3x?56232由于x(2?x2)是变量x的偶函数，由定理1.1知?则I?0?16?16.2?2x(2?x)dx?2?x(2?x)dx?16，2202在定积分的计算中，当积分区间关于原点对称时，我们容易想到用对称性，而当积分区间为任意有限区间?a,b?时，我们往往想不到去利用对称性.实际上，积分区间?a,b?一定关于直线x?12bbaa(a?b)对称，由此我们可以得出如下定理.定理1.2[2]设f(x)在?a,b?上连续，则?f(x)dx??f(a?b?x)dx.只需令x?a?b?t即可证明此定理.这一公式对于积分的计算并没有多少的帮助，但从该公式易得如下推论.推论1设f(x)在?a,b?上连续，则? baf(x)dx??ba12[f(x)?f(a?b?x)]dx.对于有些计算起来非常困难甚至无法计算的积分，我们只需将被积函数换成[f(x)?f(a?b?x)]就能简化运算.21例2计算定积分?4ln(9?x)ln(9?x)?ln(3?x).22周口师范本科毕业论文（设计）解记f(x)?442，则f(6?x)?，由推论1知?f(x)dx??212f(x)?f(6?x)]dx?4212dx?1.我们已经总结了对称性在定积分计算中的应用，从上面的讨论中我们可以看出根据对称性确实可以简化计算，下面来讨论对称性在重积分计算中的应用.2.对称性在重积分计算中的应用2.1对称性在二重积分计算中的应用我们已经讨论了对称性在定积分计算中的应用，得出了相应的结论.对于二重积分，我们主要讨论积分区域关于x轴（或y轴）对称、关于原点对称以及轮换对称性.定理2.1.1[3]x设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于轴对称.如果函数f(x,y)是关于y的奇函数，即f(x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??0；如果f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,?y)?f(x,y)，D(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d?.DD1其中D1是D在x轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.证明根据二重积分的性质得??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1??D2f(x,y)d?，其中D1??(x,y)?D|y?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.作变量替换x?x,y??t，(x,t)?D1.则J??(x,y)?(x,t)?100?1??1.若f(x,y)为关于y的奇函数，则??D2f(x,y)d????D1f(x,?t)J?????f(x,t)d?????f(x,y)d?D1D1，3周口师范本科毕业论文（设计）??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1D1f(x,y)d??0，若f(x,y)为关于y的偶函数，则??D2f(x,y)d????f(x,?t)Jd??D1??D1f(x,t)d????D1f(x,y)d?，??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1??D1f(x,y)d??2??f(x,y)d?D1.综合以上可知结论成立.例3计算二重积分??y3sin2xd?，其中D是由x?y?1，x?y?1和x?0围D成的平面闭区域.解由于区域D关于x轴对称，且f(x,y)?y3sin2x是关于变量y的奇函数，则由定理2.1.1知??y3sin2xd??0.D由定理2.1.1可得如下推论.推论2设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，则⑴若函数f(x,y)关于变量x,y均为偶函数，则??f(x,y)d??4??f(x,y)d?.DD1其中D1是区域D在第一象限的部分，D1??(x,y)?D|x?0,y?0?.⑵若函数f(x,y)关于变量x或变量y为奇函数，则??f(x,y)d??0.D当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2.1.2?4?设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f(?x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则??Df(x,y)d??0；如果f(?x,?y)?f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d??2??f(x,y)d?，DD1D2其中D1??(x,y)?D|x?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.为了叙述的方便，我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义.定义2.1.1设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(x,y)?D，存在(y,x)?D，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于x,y具4周口师范本科毕业论文（设计）有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3[5]x,y设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于具有轮换对称性，则??f(x,y)d??D??Df(y,x)d?.上面所列推论及定理的证明方法均与定理2.1.1类似，此处不再赘述，下面给出相应的例题.例4解计算二重积分I?I???(xD2?5x?3y?2)d?，其中D:x2?y2?1.??(5x?3y)d??D??Dxd??2由于D关于原点对称，且5x?3y是??2d?，D(x,y)的奇函数，则由定理2.1.2知??(5x?3y)d??0.故D2?01I???Dxd??2??2d???Dd??(rcos?)rdr?2??2094?.例5计算二重积分I???其中f(x)是区间??1,1?上的?，正值连续函数，D??(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0?.解由于积极分区域D关于x,y具有轮换对称性，则由定理2.1.3得I?所以I???2D1??D?????D?，a?bd??2??d??D?2(a?b).2.2对称性在三重积分计算中的应用经过分析，我们可以很容易地看到对称性在三重积分计算中的应用与二重积分非常类似，根据对称性在二重积分计算中的结论可以得到下面的定理.定理2.2.1[6]设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于坐标平面x?0对称，则(1)若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数，则???f(x,y,z)dV?0；?(2)若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数，则?1是?的前半部分，?1??(x,y,z)??|x?0?.同理可写出?关于坐标平面y?0（或z?0）对称时的情形.证明由三重积分的性质得????f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?????2f(x,y,z)dV，其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|x?0?.作变量替换x??t,y?y,z?z，(t,y,z)??1，则?(x,y,z)?(t,y,z)?1?0001000??1.1J?(1)当f(x,y,z)为关于变量x的奇函数时，有????2f(x,y,z)dV????f(?t,y,z)JdV?????f(t,y,z)dV?????f(x,y,z)dV?1?1?1????f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?0.(2)当f(x,y,z)为关于变量x的偶函数时，有????2f(x,y,z)dV????f(?t,y,z)JdV??1????1?1f(t,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV，????f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV.综合(1)和(2)可知结论成立.例6z?计算三重积分I?????(x?z)dV，其中?是由曲面z?与.解I?????xdV?????zdV，由于?关于坐标面x?0对称，且x为关于变量x的奇函数，则由定理2.2.1知???xdV?0.则?I?????zdV??2?0?40d??d??rcos?rsin?dr?201?8.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.6周口师范本科毕业论文（设计）定理2.2.2设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于原点对称，则(1)若f(?x,?y,?z)??f(x,y,z)，(x,y,z)??，则???f(x,y,z)dV?0；?(2)若f(?x,?y,?z)?f(x,y,z)，(x,y,z)??，则????f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?1?2?3.其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|y?0?，?3??(x,y,z)??|z?0?为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义.定义2.2.1[7]设?是一有界可度量的集几何体（?可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(x,y,z)??，都存在(y,z,x)??，存在(z,x,y)??，则称?关于x,y,z具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理2.2.3设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于x,y,z具有轮换对称性，则???f(x,y,z)dV????f(y,z,x)dV???????f(z,x,y)dV.例7解计算三重积分???xyzdV，其中?:x2?y2?z2?4.?由于?关于原点对称，且xyz是关于(x,y,z)奇函数，由定理2.2.2知???xyzdV??0.例8[8]解计算???(x?y?z)2d?.其中?为正方体0?x?1，0?y?1,0?z?1.<B< body>。
关于对称性在积分中的应用
关于对称性在积分中的应用作者：杨昌海来源：《今日湖北·中旬刊》2014年第02期在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往能使计算简捷，达到事半功倍的效果。
Q1：对称性在积分中的应用主要体现在哪些方面？对称性在积分中的应用非常广泛，不仅在定积分，二重积分，还在线、面积分上也有应用。
Q2：什么样的定积分，可以应用对称性求解？有些什么样的结论？如何应用？定积分是积分学的基本内容，定积分的计算方法很重要且多种多样，有的方法不对，计算更繁琐，若能恰当应用对称性，即可简化定积分的计算。
应用对称性，有下面的结论：定理1 设f（x）在[-a，a]上连续，则（1）若f（x）为奇函数，则 .（2）若f（x）为偶函数，则 .例1 求积分 .解：虽然被积函数非奇非偶，但可以把它分成两个部分和，前一部分是偶函数，后一部分是奇函数，因此，可用定理1的结论简化其计算。
这样的例子很多，有的直接应用定理1，有的通过定积分性质拆项后再应用定理1，达到简化积分运算。
Q3：对于无穷限的广义积分，是否也有相应的应用对称性求解的方法？有些什么样的结论？如何应用？对于无穷限的广义积分，根据被积函数的奇偶性也有一些结论：由定理1，很容易得到下面的结论：推论1 设f（x）在（-∞，∞）上连续， F（x）是f（x）的一个原函数，且无穷限非正常积分f（x）dx收敛，则有（1）若f（x）为奇函数，则f（x）dx=0.（2）若f（x）为偶函数，则f（x）dx=.证明：因为f（x）在（-∞，∞）上连续， f（x）在任何区间[a，A]（a再由定积分的性质得：.若f（x）为奇函数，则 F（x）是一个偶函数，所以F（-A）=F（A）若f（x）为偶函数，则一定有一个奇函数F（x），所以F（-A）=-F（A） .Q4：如果积分区间不是关于原点对称，是否也有相应的应用对称性求解的方法？有些什么样的结论？如何应用？我们知道，若函数f（x）在其定义域内满足f（-x）=f（x），那么f（x）的图形关于y轴对称；若函数f（x）满足f（x）=-f（x），那么 f（x）的图形关于原点对称。
重积分计算中对称性的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ８
高等数学研究
２０１９ 年 ３ 月
例２ 计算
∭ I ＝ (x２ ＋５xy２sin x２ ＋y２)dxdydz, Ω
其中
Ω
由Z
＝
１ ２
(x２
＋y２),Z
＝ １,Z
＝４围成．
分
析
Z
＝
１ ２
(x２
＋y２)是
一
张
旋转
抛
物
面
,关
于 ZOY 面对称,被积函数 f(x,y)整 体 看 上 去 并 不 是关于 x,y 的 奇 偶 函 数,但 是 将 f(x,y)拆 开,令 f(x,y)＝ f１(x,y)＋ f２(x,y),f１(x,y) ＝ x２,
第２２卷 第２期 ２０１９ 年 ３ 月
高 等 数 学 研 究 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS
doi:１０．３９６９/j．issn．１００８Ｇ１３９９．２０１９．０２．００６
Vol．２２,No．２ Mar．,２０１９
重积分计算中对称性的应用
朱 玉
(安徽工业大学工商学院 数学教研室,安徽 马鞍山 ２３１０００)
R 命 题１[１] 设 D ⊂ n 关于xi ＝０(１≤i≤n)对
∫ 称,则当f(x)关于xi 为奇函数时有 f(x)dx ＝０． D
∫ 而当 f(x)关 于 xi 为 偶 函 数 时 有 f(x)dx ＝ D
∫２ D＋f(x)dx,其中 D＋ 是 D 对应xi ＞０的部分． ∬ 例１ 计算二重积分 yex２＋y２dxdy,其中D 由曲
１ 区域对称性
本 文 总 假 定f(x)在 区 域 上 是 可 积 的 ,且 主 要 针 对重积分的情形．在 使 用 对 称 性 的 时 候 需 要 判 断 两 点,第一 点 是 区 域 的 对 称 性,第 二 点 是 函 数 的 奇 偶 性．可能第一点在重 积 分 计 算 时 判 断 是 比 定 积 分 要 麻烦些,有 些 区 域 边 界 线 或 表 面 是 我 们 很 熟 悉 的, 这时做出 图 像,区 域 的 对 称 性 就 很 显 然 了,但 有 时
对称性在积分计算中应用
对称性在积分计其中用^TOBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号：学生姓名：鲍品指导教师：张晓燕2011年5月20日对称性在积分计算中的应用摘要对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现⑴。
本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。
积分在微积分学中既是重点又是难点，待别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。
常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。
假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。
如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。
利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。
接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。
最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。
关键词定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性AbstractThe application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied・ This paper is to explore the symmetry in the integral calculation.Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time・More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what・Key wordsdefinite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity 目录1、绪论 (1)研究背景 (1)研究意义 (1)研究的思路及结构的安排 (2)2.对称性在定积分计算中的应用23、对称性在重积分计算中的应用 (3)二重积分计算 (3)三重积分计算4.对称性在曲线积分计算中的应第一型曲线积分计算 (9)第二型曲线积分计算 (10)5.对称性在曲面积分计算中的应11第一型曲面积分计算 (11)第二型曲面积分计算 (13)6.对称性解题方法总结 (15)7、致谢 (16)8、参考文献 (17)1、绪论研究背景众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性。
1对称性在二重积分中的应用
定义 2：若二元函数 f (x, y)的定义域 D 关于 x
轴对称，且满足 f (x, y) f (x, y)
（或 f (x, y) f (x, y)），则称 f (x, y) 关于y
为奇（偶）函数.
定义 3：若二元函数 f (x, y) 的定义域 D 关于
直线 y 对x称，且满足 f (x, y) f ( y，, x)
解：由 e ydxdy etdudt exdydx
x2 y2 R2
u2 t2 R2
y2 x2 R2
exdxdy x2 y2 R2
计算
(ex e y )dxdy
x2 y2 R2
解： 由 e ydxdy exdxdy
x2 y2 R2
x2 y2 R2
故 (ex e y )dxdy exdxdy e ydxdy
片的质量M.
解：根据二重积分的物理意义，M e|x||y|dxdy. D
由于积分区域 D 关于x 轴，y 轴都对称，且
数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
被积函
y
1
D
y 1 x
M e|x||y| dx d y 4 exy dx d y
D1DD1源自1 1x1 O1x
4 d x exy d y 4.
y
定理 1’
D1 D
若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，f (x, y) O
x
在区域 D 上连续， 则
f
(x,
y)
dx
d
y
0
当 f (x, y) 关于y 为奇函数时
D
2 f (x, y)dxdy
D1 当 f (x, y) 关于 y 为偶函数时
对称性在三重积分中的应用
轮换对称性：
积分区域D关于坐标轴的轮换是对称性的（x变y，y变z，z变x时，区域不变），则
∫∫∫f(x,y,z)dV＝∫∫∫f(y,z,x)dV＝∫∫∫f(z,x,y)dV
用不着专门去记4倍、8倍的结论，有了2倍的结论，自然就很容易得到4倍、8倍的结论
三重积分的对称性：
区域D关于xoy面对称，xoy面上方部分为D1，若被积函数关于，则D上积分=2* D1上积分
区域D关于yoz面对称，yoz面前侧部分为D1，若被积函数关于x是奇函数，则积分为0，被积函数关于x是偶函数，则D上积分=2* D1上积分
比如D:x^2+y^2+z^2≤a^2，则有∫∫∫xdV＝∫∫∫ydV＝∫∫∫zdV＝0，∫∫∫x^2dV＝∫∫∫y^2dV＝∫∫∫z^2dV＝1/3∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV＝。。。。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用对称性是数学中重要的概念之一，它的应用涉及到各个数学领域中。
在积分计算中，对称性也是一个非常重要的工具和思想，能够帮助我们简化、优化和解决复杂的积分问题。
本文将介绍对称性在积分计算中的应用，以及如何利用对称性求解各类复杂积分。
一、对称性概述对称性是指物体或者数学对象的部分或整体运动具有某种规则性的现象。
常见的对称性包括轴对称、中心对称、对角线、对边对称、等等。
对称性是自然界现象和数学理论中广泛存在的一种现象，也是数学中强有力的工具和思想。
二、对称性在积分计算中的基本应用对称性在积分计算中的使用具有以下优点：1.减少计算量：使用对称性可以将积分的计算范围缩小为对称区间内的一半，从而大大减少了计算量，简化了计算过程。
2.避免重复计算：利用对称性可以避免重复计算某些部分，减少了计算量和出错的概率。
3.提高准确度和精度：对称性具有非常清晰的数学定义和可操作性，使用对称性可以提高准确度和精度，更好地描述数学对象的性质和特征。
下面分别对轴对称、中心对称、对角线对称、对边对称等对称性进行介绍，并说明其在积分计算中的具体应用。
1.轴对称轴对称是指数学对象在某个轴线旋转180度以后不改变其形状和大小。
在数学中，轴对称包括平面上的x轴、y轴和45度斜线轴等。
轴对称在积分计算中的应用非常广泛，常见的应用包括：（1）基本函数关于坐标轴对称的性质：例如正弦函数和余弦函数关于y轴对称，正切函数和余切函数关于x轴对称。
利用这些对称性质可以简化复杂函数的积分。
（2）轮换对称性：对于一类具有一定规则性的函数，可以通过对其进行轮换得到新的函数，这样可以将原函数分成几个对称的部分，从而提高计算效率。
例如，对于函数f(x,y) = x + y的积分计算，因为其具有xy的轮换对称性，可以将其分解成两部分f1(x,y) = x和f2(x,y) = y，从而使积分计算简化。
（3）利用轴对称性质求偶函数和奇函数的积分：如果f(x)是关于y轴对称的偶函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于2∫f(x)dx从0到x之间的积分，即∫-xf(x)dx = 2∫0f(x)dx如果f(x)是关于y轴对称的奇函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于0。
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
例解对称性在积分学中的应用
内的部分。
解 曲 面 Σ 关 于 坐 标 面 x=0 及 y=0 对 称，而 xy 是
关于 x，y 的奇函数，所以
。
原式 =
=
例 3 求
，其中 Σ
为锥面 Σ 的朝下的单位法向量。
解 原式
为 。
由 于 Σ 既 关 于 xoy 平 面 对 称，也 关 于 yoz 平 面 对 称，而 x2 为 x 的偶函数，y2 为 y 的偶函数，所以
等教育出版社，2010. ［2］沈燮昌 , 邵品琮 . 数学分析纵横谈 . 北京大学出版社 ,1991.
上接第 162 页 随着教育改革的发展，对教学要求也越来越高，传
统的教学模式已经难以满足现代社会发展的需求了， 为此，加大教学改革势在必行。计算机作为一门应用 性较强的学科，在计算机实验教学中，要想提高教学 的有效性，就必须积极地转变教学观念，创新教学方 法，加大资金投入，为计算机实验教学配置先进的设 备。同时，要重视专业教师的培养，为教学培养一支专 业的教师队伍，进而不断提高教学质量，为我国现代
学报，2016，（02）：91-93. ［4］张文峰，徐忠 . 计算机实验教学改革的探索与实践［J］. 平原大学 学报，2006，（04）：111-112.
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2016 年第 11 期
Байду номын сангаас
在微积分学中，对称的技巧用得非常多。特别在
定积分、重积分、曲线积分、曲面积分中，对称性都有
很好的应用，以下我们将详细的例解积分学中的对称
所以
技巧。
1 对称性在定积分中的应用
2 对称性在重积分中的应用
常见的命题有：
常见的命题有：
1.1 设 a ＞ 0，函数 f(x) 在［-a，a］上可积，则
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分
【实用版】
目录
1.积分区域关于原点对称的二重积分的定义
2.积分区域关于原点对称的二重积分的性质
3.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法
4.积分区域关于原点对称的二重积分的应用实例
正文
一、积分区域关于原点对称的二重积分的定义
在数学中，二重积分是一种对空间内数值函数进行积分的方法。
当积分区域关于原点对称时，我们可以称之为积分区域关于原点对称的二重积分。
在这种情况下，我们可以利用对称性进行简化计算。
二、积分区域关于原点对称的二重积分的性质
积分区域关于原点对称的二重积分具有以下性质：
1.对称性：若 f(x,y) 关于原点对称，即 f(x,y)=f(-x,-y)，则其二重积分也关于原点对称。
2.线性性：若 f(x,y) 和 g(x,y) 分别关于原点对称，则
f(x,y)+g(x,y) 和 f(x,y)-g(x,y) 的二重积分也关于原点对称。
三、积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法
对于积分区域关于原点对称的二重积分，我们可以采用以下方法进行计算：
1.变量代换：利用极坐标系或球坐标系进行变量代换，将二重积分转化为单重积分。
2.对称性利用：根据函数的对称性，将积分区间分为两部分，并对其
中一部分进行简化。
3.分部积分：利用分部积分公式，将二重积分转化为两个单重积分的和。
四、积分区域关于原点对称的二重积分的应用实例
积分区域关于原点对称的二重积分在物理、工程等领域具有广泛的应用，例如求解质心、转动惯量等问题。
通过运用对称性和合适的计算方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
对称性在积分中的应用
这是判断函数奇偶性的基本定理，也是积分计算中对称性判断的基础。
第二章 对称性在定积分中的应用
2.1 定积分的定义
定义 设函数 在 上有界，在 中随机插入 个分点： ，可将 分为 个小区间 ， ， 表示第 个小区间的长度，在每个小区间 上任意选取一点 ，作乘积 ，并作出和式 ，记 ，若极限 存在，则称此极限为 在 上的定积分，记为 ，并称 在 上可积，即
（2）同理可得，当 为偶函数时， ，即
，
得证。
例1 计算定积分 。
解 简化定积分
，
根据定理可知，被奇函数 是关于 的偶函数， 是关于 的奇函数，直接使用对称性定理，有
。
例2 计算 。
解 对于复杂的函数，我们考虑分步化简。首先我们知道 ，C为常数，令 ，则有
，
其中被积函数 是偶函数，所以由对称性理论可快速求解出来。
当定积分的积分限是关于原点对称时，我们要想到被积函数是否具有奇偶性，如果有，则可以利用对称性原理，更加方便快捷地求解积分。
第三章 对称性在重积分中的应用
一般的，我们知道，重积分的积分区域比定积分的积分区间要复杂得多，且被积函数是多元函数，如二重积分，被积函数是二元函数，而且重积分中的变量的奇偶性也比定积分中的一元函数多变许多。下面主要是讨论对称性在二重积分和三重积分中的应用。
3.1 对称性在二重积分计算中的应用
定义 设 ， 是有界闭区域，函数 在 上有意义，将区域 任意分割为n个子域 ， 的面积记为 ，在每个 上任取点 ，作和式 ，若分割的模 时，此和式的极限存在，且此极限值与分割的方式无关，与每个区域 上 的选取无关，则称 在区域 上的二重积分，记为
对称性在积分计算中的应用
目录承诺保证书 (I)1 对称性在定积分中的应用 (1)1.1 对称性在定积分应用中的重要结论 (1)1.2 对称性在定积分中的应用举例 (3)2 对称性在重积分中的应用 (5)2.1 对称性在重积分应用中的重要结论 (5)2.2 对称性在重积分中的应用举 (8)3 对称性在线积分中的应用 (10)3.1 对称性在线积分应用中的重要结论 (10)3.2 对称性在线积分中的应用举例 (12)4 对称性在面积分中的应用 (13)4.1 对称性在面积分应用中的重要结论 (13)4.2 对称性在面积分中的应用举例 (14)5 利用对称性构造积分 (16)5.1 对称性在积分应用中的其他重要结论 (16)5.2利用对称性构造积分的应用举例 (16)参考文献 (19)英文摘要 (20)I对称性在积分计算中的应用摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用. 关键词：奇偶函数 积分 对称性对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性.特别地,对于一元函数()D x x f y ∈=,(其中D 为关于原点对称的数集,即当D x ∈时,有D x ∈-),当()()x f x f -=-时,称()x f 为奇函数;当()()x f x f =-时,称()x f 为偶函数.将上述定义进行推广:对于二元函数()y x f z ,=,()D y x ∈,(其中D 为关于原点对称的数集,即当()D y x ∈,时，有()D y x ∈--,)，当()()y x f y x f ,,-=--时，称()y x f ,为奇函数;当()()y x f y x f ,,=--时，称()y x f ,为偶函数.奇偶函数的对称性(即本文所应用的)是对称性中的特例.它在积分的计算中很常见.如果能利用对称性就可以化简很多复杂的积分计算问题，有些题甚至可以直接得出结果.因此掌握用对称性计算积分的方法是大有益处的.本文讨论了对称性在定积分、重积分、面积分及线积分计算中的应用.（以下都在积分存在的条件下予以讨论，有关函数均满足通常条件）1 对称性在定积分中的应用1.1对称性在定积分应用中的重要结论在定积分的计算中经常用到如下的对称性定理： 引理 设函数()f x 在[],a b a b -+上连续，则有 ()()()0a bba bf x dx f a x f a x dx +-=++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ （1） 证 令x a t =+，有()()()()00a bb ba b bbf x dx f a t dt f a t dt f a t dt +---=+=+++⎰⎰⎰⎰ （2）令t v =-，则()()()00b bbf a t dt f a v dv f a v dv -+=--=-⎰⎰⎰ （3）将（3）式代入（2）式，并将积分变量统一成x ,则()()()0a bba bf x dx f a x f a x dx +-=++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 特别地，令0a =，就得公式()()()0bbbf x dx f x f x dx -=+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 由函数奇偶性的定义及上式，易得定理1 设函数()f x 在[],a a -连续，那么 1)若()f x 是偶函数，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰2)若()f x 是奇函数，则()0aaf x dx -=⎰我们也可以把定理1推广到更一般的情况.定理2 设函数()f x 连续，1)若()y f x =的图形关于直线x a =对称，即()()f a x f a x +=-，则对一切0b >,有()()2a ba ba baf x dx f x dx ++-=⎰⎰2)若()y f x =的图形关于点(),0a 对称，即()()f a x f a x +=--，则对一切0b >，有()0a ba bf x dx +-=⎰证 1)由（1）式及已知条件()()f a x f a x +=-，有()()()022a bb a ba baf x dx f a x dx f x dx ++-=+=⎰⎰⎰2)由（1）式及已知条件()()f a x f a x +=--，有()000a bba bf x dx dx +-==⎰⎰此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助. 1.2 对称性在定积分中的应用举例例1 求2263221cos 1x x I xdx x ππ-++=+⎰解 虽然被积函数非奇即偶，但可以把它分成两部分633cos 1x x x x ++和cos x ,前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理1的结论简化其计算.222226330cos cos 12cos 2x x I xdx xdx x xdx πππππ--+=++ ==⎰⎰⎰ 而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间[],a a -上求解. 这样的例子很多,应用定积分的性质进行拆项后,达到简化计算的目的. 例 2 设()P x 为任意不超过三次的多项式，证明在区间[],m n 上()P x 的平均值()()()()()()()()1331314011140242261462G G G G G G m m m m m G G p m n P m P P n -++=-++⎡⎤⎣⎦ =++ =+++⎡+⎤⎛⎫ =++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.证 （i ）先证[][],1,1m n =-时的特殊情况，取()320123G t m t mt m t m =+++，()G t 在[]1,1-上的平均值为()()13201231112n m G G t dt m t m t m t m dt n m -==+++-⎰⎰()()113202131012m t m t dt m t m dt -=+++⎰⎰1313m m =+而()()()()()()14011140G G G G G G -++=-++⎡⎤⎣⎦133124226m m m m m =++=+所以()()()114016G G G G =-++⎡⎤⎣⎦ (ii)再考察()P x 在任意区间[],m n 上的平均值()1n m P p x dx n m=-⎰ 设22m n n m x t +-=+， 这时()22m n n m P t G t +-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，于是()1n m P p x dx n m=-⎰111222m n n m n mP t dt n m -+--⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭⎰ ()()()()1111140126G t dt G G G -==-++⎡⎤⎣⎦⎰()()1462m n P m P P n ⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 例3 求20sin 1cos x xI dx x π=+⎰ 解 因为sin x 及211cos x +都关于2x π=对称，且2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭点中心对称.所以2sin 21cos x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭+关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，又区间[]0,π关于2x π=对称，故定理2有20sin 201cos x x I dx xππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+⎰ 于是22200sin sin 1cos 21cos 4x x x I dx dx x x ππππ===++⎰⎰利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.2 对称性在重积分中的应用2.1 对称性在重积分应用中的重要结论定理3 (1)若(),f x y 为关于x 的偶函数，即对(),x y S ∀∈（S 是关于y 轴对称的区域）,有()(),,f x y f x y -=，则()()1,2,SS f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中 ()(){}1,|,,0S x y x y S x =∈≥(2)若(),f x y 为关于x 的奇函数，即对(),x y S ∀∈（S 是关于原点对称的区域）有()(),,f x y f x y -=-则(),0Sf x y dxdy =⎰⎰证 记()(){}1,|,,0S x y x y S x =∈≤则()()()dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f S S S⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21,,, (4)令 x u =-，y v =， 则()()10,101,x y J u v -∂===-∂ 可得()()()()222,,,5S S S f x y dxdy f u v J dudv f u v dudv = -=- ⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中 ()(){}221,|,S u v u v S S =-∈=， 由()5 式得()()()211,,,S S S f x y dxdy f u v dudv f x y dxdy = -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰则由()4式得()()()()()111,,,,,SS S S f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdyf x y f x y dxdy=+- =+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰此时易得定理3的结论.由定理3易知：若(),f x y 为区域S 上的连续函数，且区域S 关于x 轴对称，(),f x y 为关于y 的奇函数或偶函数有类似的结论.推论 设(),f x y 为区域S 上的连续函数，且区域S 关于x 轴和y 轴均对称.()1 若(),f x y 为关于x 及y 的偶函数，即对(),x y S ∀∈有()()(),,,f x y f x y f x y -=-=，()()1,4,SS f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中 ()(){}1,|,,0,0S x y x y S x y =∈≥≥()2若(),f x y 为关于x 及y 的奇函数，即对(),x y S ∀∈有()(),,f x y f x y -=-或()(),,f x y f x y -=-，则(),0Sf x y dxdy =⎰⎰定理4 设(),f x y 为区域S 上的连续函数，且区域S 关于原点对称. (1) 若对(),x y S ∀∈，有()(),,f x y f x y --=，则()()1,2,SS f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中 ()(){}1,|,,0S x y x y S x =∈≥.()2若对(),x y S ∀∈，有()(),,f x y f x y --=-，则(),0Sf x y dxdy =⎰⎰定理5 设(),f x y 为区域S 上的连续函数，且区域S 关于直线y x =对称.()1若对(),x y S ∀∈，有()(),,f y x f x y =，()()1,2,SS f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中 ()(){}1,|,,S x y x y S y x =∈≤.()2若对(),x y S ∀∈，有()(),,f y x f x y =-，则(),0Sf x y dxdy =⎰⎰以下通过几个例题来说明利用上述定理可大大简化重积分的计算. 2.2 对称性在重积分中的应用举例例5 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图1），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数， 故25sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例6 设S 是xoy 平面上由()1,1，()1,1-，()1,1--为所围成的三角形区域（如图2），1S 是S 在第一象限的部分，则()3cos sin Sxy x y dxdy +⎰⎰等于_____.解 作辅助线OB,如图2所示，因为 ()3cos sin Sxy x y dxdy +⎰⎰()()3cos sin 3cos sin AOBBOCxy x y dxdy xy x y dxdy =+++⎰⎰⎰⎰而区域BOC 关于x 轴对称，且3cos sin xy x y +为关于y 的奇函数，所以()3cos sin 0BOCxy x y dxdy +=⎰⎰图2又()3cos sin AOBxy x y dxdy +⎰⎰3cos sin AOBAOBxydxdy x ydxdy =+⎰⎰⎰⎰而区域AOB 关于y 轴对称，3xy 为关于x 的奇函数，故30AOBxydxdy =⎰⎰，cos sin x y 为关于x 的偶函数，故1cos sin 2cos sin AOBS x ydxdy x ydxdy=⎰⎰⎰⎰.通过做辅助线构造出积分的对称区域,而后解题,这种方法对于给出函数图像求解积分的问题很有用处.3 对称性在曲线积分中的应用3.1 对称性在曲线积分应用中的重要结论定理 6 设(),f x y 为定义在光滑曲线S 上的函数，且S 关于原点对称，(),x y S∀∈，若()(),,f x y f x y --=-，则(),0Sf x y ds =⎰若()(),,f x y f x y --=，则()()1,2,SS f x y ds f x y ds =⎰⎰（或()22,L f x y ds ⎰）其中1S 和2S 是关于原点对称的两部分.证 由于12S S S =+关于原点对称，所以设()()[]1:,,,S x x t y y t t αβ==∈，则()()[]2:,,,S x x t y y t t αβ=-=-∈，于是()()()12,,,SS S f x y ds f x y ds f x y ds=+⎰⎰⎰()()(()()(,,f x t y t f x t y t ααββ=+--⎰⎰()()()()()(),,f x t y t f x t y t αβ⎡=+--⎣⎰ 所以，当()(),,f x y f x y --=-时，有(),0Sf x y ds =⎰当()(),,f x y f x y --=时，有()()()(()1,2,2,SS f x y ds f x t y t f x y ds αβ==⎰⎰⎰定理7 设(),f x y 在光滑或分段的平面曲线S 上可积，S 关于直线l 对称， 若(),f x y 为关于直线l 对称的奇函数，则有(),0Sf x y ds =⎰若(),f x y 为关于直线l 对称的偶函数，则有()()1,2,SS f x y ds f x y ds =⎰⎰其中1S 为S 在直线l 一侧的部分.定理8 设光滑或分段的空间曲线L 关于坐标平面对称,(),,f x y z 为曲线S 上的连续函数，若(),,f x y z 为关于相应坐标平面的奇函数，则(),,0Sf x y z ds =⎰若(),,f x y z 为关于相应坐标平面的偶函数，则()()1,,2,,SS f x y z ds f x y z ds =⎰⎰其中1S 为S 在坐标平面一侧的部分. 3.2 对称性在曲线积分中的应用举例例7 设L 为椭圆22152x y +=，其周长记为l ，计算()22225Lxy x y ds ++⎰ 解 因为L 关于x 轴对称，故20Lxyds =⎰所以，把椭圆方程222510x y +=代入被积函数()22225Lxy xy ds ++⎰1010Lds l==⎰.例8 计算2Sdx dyxy ++⎰，其中曲线S 为2x y +=，取逆时针方向.解 因为222S S Sdx dy dx dyxy xy xy +=++++⎰⎰⎰， 其中第一个积分，曲线S 关于x 轴对称，且走向相反，被积函数是y 的偶函数，第二个积分，曲线S 关于y 轴对称，且走向相反，被积函数是x 的偶函数.所以有：xO y图3-222-20222SS S dx dy dx dyxy xy xy +=+=+++⎰⎰⎰.如图所示,通过观察可以发现函数图像的对称区域,于是对积分进行分段计算.4 对称性在曲面积分中的应用4.1 对称性在曲面积分中应用的重要结论定理9 设分片光滑的曲面∑关于yoz 面对称，则()()()()()10,,,,,:,02,,,,,f x y z x f x y z ds x x y z f x y z ds f x y z x ∑∑⎧⎪= ∑=≥⎨ ⎪⎩⎰⎰⎰⎰是的奇函数其中是的偶函数证 设12∑=∑+∑，2∑为1∑关于yoz 面对称的曲面，2∑：(),x x y z =-，1∑、2∑在yoz 平面上的投影为yz D ，(),x x y z =，(),x x y z =-是yz D 上的单值函数，所以()()()12,,,,,,f x y z ds f x y z ds f x y z ds ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()(),,,,,,yzyzD D f x y z y z f x y z y z =+-⎡⎡⎣⎣⎰⎰⎰⎰()(){,,,,,,yzD f x y z y z f x y z y z =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰则1)若(),,f x y z 是x 的奇函数，即()(),,,,f x y z f x y z =--,有(),,0f x y z ds ∑=⎰⎰2)若(),,f x y z 是x 的偶函数，即()(),,,,f x y z f x y z =-,有()()1,,2,,f x y z ds f x y z ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰定理10 设分片光滑的闭曲面∑关于yoz 面对称，取外侧，则()()()()()10,,,,,:,02,,,,,p x y z x p x y z ds x x y z p x y z ds p x y z x ∑∑⎧ ⎪= ∑=≥⎨ ⎪⎩⎰⎰⎰⎰是的奇函数其中是的偶函数证 设12∑=∑+∑，1∑：(),0x x y z =≥取前侧，()2,x x y z ∑=-：取后侧,1∑、2∑在yoz 平面上的投影是yz D ，则()()()12,,,,,,p x y z dydz p x y z dydz p x y z dydz ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()(),,,,,,yzyzD D p x y z y z dydz p x y z y z dydz =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰()(){},,,,,,yzD p x y z y z p x y z y z dydz =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰则1)若(),,p x y z 是x 的奇函数，即()(),,,,p x y z p x y z =--,有()()()1,,2,,,2,,yzD p x y z dydz p x y z y z dydz p x y z dydz ∑∑==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2)若(),,p x y z 是x 的偶函数，即()(),,,,p x y z p x y z =-有(),,0p x y z dydz ∑=⎰⎰以上结论对(),,q x y z dydz ∑⎰⎰，(),,r x y z dxdy ∑⎰⎰同样成立，将外侧改为内侧依然成立.4.2 对称性在曲面积分中的应用举例例9 计算()xy yz zx ds ∑++⎰⎰，∑为锥面z =222x y px +=所截下的部分（如图4）.解 如图4，曲面∑关于zox 面对称，而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数，根据定理9知：()Dxyxy yz zx ds zxds ∑∑++== ⎰⎰⎰⎰⎰⎰又z =x z =，y z =ds = =所以原式2cos 3202cos a Dxyx d r dr πθπθθ-==⎰45422cos d ππθθ-==⎰例10 计算()Sx y z ds ++⎰⎰，其中S 为上半球面z =解 由于S 关于坐标面0x =和0y =均对称，而x 和y 分别关于变量x 和y 是奇函数，所以()0Sx y ds +=⎰⎰又S 在坐标面0z =上的投影为222x y m +≤且mds d zσσ==所以原式2223Sx y m zds md m σπ+≤===⎰⎰⎰⎰.分析例题找出对称关系,观察后得出部分积分为0，这样,不仅简化了计算而且节省了时间.例11计算积分sin x Se ydxdy +⎰⎰，其中()22:102S x z y +=≤≤的外侧.解 因为S 关于yoz 面对称，()(),,,,P x y z P x y z =--，1S 关于xoy 面对称，()(),,,,R x y z R x y z =-， 所以原式1212S Dyzz dydz =+=⎰⎰⎰⎰212120110482433ydy ydy ydy --====⎰⎰⎰⎰⎰. 利用积分区域对称的特点,大大简化了计算.5 利用对称性构造积分5.1 对称性在积分应用中的其他重要结论 定理11 设f 在区间[],a b a b -+上可积，则有()()()()()()0,2,2,2,a ba b a baf a x f x f x dx f a x f x f x dx ++- ⎧-=-⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 将上述定理进一步推广可得：定理12 若()0f x dx +∞⎰存在，则有()()()()02,0,f x f x dx f x dx f x +∞+∞-∞⎧⎪=⎨⎪ ⎩⎰⎰为偶函数,为奇函数, 5.2 利用对称性构造积分的应用举例例12 计算()125sin 3I x x dx --=+⎰.解 由于()sin 3y x =+是以3x =-为对称轴的奇对称函数且点-5，-1关于点-3的对称，作变换t x b =-，把积分变成对称区间上的奇、偶函数的积分.即作变换3t x =+把对称平移到点()0,0，故令3t x =+，则()()2222223sin sin 6sin 9sin I t tdt tt t t t dt --=-=-+⎰⎰()2212sin 12sin 2cos 2t tdt -==--⎰. 例13 计算()()8211dxI x x ∞-∞=++⎰. 解 ()()82211dxI x x ∞=++⎰ 令1s x=有 ()()82082122111111d dxs I x x s s +∞+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()()()8808282011221111s ds s ds s s s s +∞+∞-+-==++++⎰⎰ ()()28200122111ds ds ds s s s +∞+∞=-+++⎰⎰ 即()()28200122111ds I ds ds s s s +∞+∞=-+++⎰⎰ 221dsds I s +∞=-+⎰ 所以2012ds I ds s π+∞==+⎰. 此题按步骤计算会非常麻烦，但利用对称性把原积分重新构造后，计算由繁变简.由此可见，上述关于积分(定积分、重积分、线积分、面积分)对称性的定理对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多的干扰，所以在解题中注意积分区域是否具有某种对称性是简化题目的关键.如果对称性不明显的，有时也可以通过一定的方法，根据问题的特点构造对称性，则可减少一些繁琐的计算，提高解题效率，往往能收到事半功倍的效果.参考文献：[1] 华东师范大学.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 同济大学数学教研室.高等数学[M].北京: 高等教育出版社,2002.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京: 高等教育出版社,1993.[4] 徐小湛.对称性在积分计算中的应用[J].高等数学研究,2001，(1):25-28.[5] 周海清.对称性在曲面积分中的应用[J].青海大学学报,2002,20(6):55-57.[6] 孙军安,郑德印.对称性在定积分中的应用[J].南都学坛,1994,14(3):98-99.[7] 张晓华,曹玉升.对称性在第一型曲线积分中的应用[J].商丘职业技术学院学报,2009,8(5):10-12.THE APPLICATION OF SYMMETRY IN THEINTEGRAL CALCULATIONZHANG ChangAbstract: This paper summarizes the symmetry in the integral calculation of some important conclusions, use these conclusions, the relatively complicated computation became simple, and illustrated the application of these conclusions.Key words: singular and even function; integration; symmetry20。
对称性在重积分及曲面积分中的应用
学类）第 ３题 ） 计 算二 重积 分
Ｊ“ 【 ２ Ⅲ
０ ，
， 一一 ，
， 一 ， 一 ， ． ，
。 ｙ≤１ ＋ｚ
Ｊ（。ｘ＋＋— ）ｄ ９ ２＋２ ｚ ｄ ．ｚ ｙ ｚ．
，
解 先后利用性质 １ 和性质 ２ 最后化 为极坐 ，
标计 算 ， 可得
性 质 ２ 设 ｆ ｘ ） 区域 Ｄ上 可积 ， （， 在 Ｄ关 于直
Ｊ ｄ 』 蒯 ， 『 Ｄ ， 『 一Ｄ ，
特 别地 ， 有
ｘ，Ｓ ｆ（ ，Ｓ ， ）＝ ，ｚ ， ｙ ｄ ｆ ） ｚ ｆ ｄ
当 Ｆ（ Ｙ ｚ ｘ， ， ）一 Ｆ（ ， ， ｚ Ｙ ）时 ， 有
中 图 分 类 号 Ｏ１ ２ ２ ７ ． 文献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ４０ ９ —２ ０ ８ １ ９ （ ０ １ Ｏ — ０ ３０
性质 １ 。
设 ｆ ｘ， 在 区域 Ｄ上 可积 ， （ ） 若
Ｄ关 于 Ｘ轴对 称 ， Ｄ 是 Ｄ 在 ｚ轴上 边 的部分 ， 有 则
（ 州 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 ，江 苏 徐 州 ２ １ ０ ） 徐 ２ ０ ８
摘
要 在 积 分 区 域 具 有 某 种 对 称 性 时 ， 出重 积 分 及 曲面 积 分 所 具 有 的 相 应 性 质 ， 通 过 例 题 给 出 这 些 性 给 并
质 在重 积 分 及 曲 线 、 面 积 分 中 的应 用 方 法 ． 曲 关 键 词 对 称 性 ； 积 分 ； 重 曲面 积 分 ； 分 区 域 积
第１ ４卷 第 ４ 期
２１ ０ １年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩ Ｎ ０ＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
对称性在重积分计算中的应用
ｄ 甭 ｒ ｄ ｒ＝ 号 ｌ ｎ ２ ．
例３ Ｅ 。 Ｊ １ １ 。 计 算二 重积 分
３ ８
高 等 数 学 研 究
工一
（ ｚ＋ ） 。 ｄ ｚ ｄ ，
厂 ２ （ ｚ， ） 关于 ｚ或Ｙ都 是奇 函数 ． 显然 Ｄ不 是轴 对称
区域 ， 但 作 辅助 曲线 Ｏ Ｃ（ 图１ ） 可将 Ｄ划分 为 ／ ｋ ＡＯ Ｃ 和 △Ｂ Ｏ Ｃ 两部分 ， 分别 记 为 Ｄ 和 Ｄｚ ， 则Ｄ 关于 ｚ
所 围成．
分 析 在 Ｄ的边 界 曲线上 用 一ｚ代ｚ方程仍 成 立， 故 Ｄ 关 于 Ｙ轴对 称 ， 又 因为被 积 函数
ｆ （ ｘ ， ）＝ ｘ ｙ
显 著 的几何 特性 ． 虽 然这并 非 重积 分所 特有 ， 但 相对
于定 积分 ， 对 称性 在 重 积 分计 算 中 的应 用 有 更 丰 富
ｌ Ｊ ｘ ｙ ｄ ｘ ｄ ｙ ，
其 中 Ｄ 由 曲线
（ ｚ ＋ ） 。一 ２ （ ｘ 一 Ｙ 。 ）
公式 ， 也没 有分 部积 分 公 式． 在微积分教学中， 就 计 算 方 面而言 如果 说定 积 分 着 重 于 积 分 法 ， 而 对 重 积
分 的处 理 上 ， 则 带有 较强 的几 何色 彩 ， 对 称性 就 是最
分 析 区域 Ｄ是 右半 单位 圆盘 关 于 ３ ７ 轴对 称 ，
ｌ ｆ （ ） ｄ ｘ＝ ＝ ＝ ２ ｌ ＋ ， （ ｚ ） ｄ ｚ ，
其中Ｄ 是 Ｄ 对 应 于 Ｘ ＞ ０的部分 ．
被 积 函数 ｆ （ ｘ， ）关 于 ｚ， Ｙ都不 具奇 偶性 ， 但若 令
ｆｌ （ ， ）一 ｆｚ （ ３ ， 。 ’ ，
第１ ６卷 第 ２期
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为对称
f ( z, x, y )dxdydz ( ∃ ) 若积分区域 0 对称 ,
1
位于前半部分的区域为: = { (x, y, z ) & | x ∋ 0 } 则有: f ( x, y, z) dxdydz
( ∃ )f ( - x, - y, z ) = f (x, y, z ), 则 f ( x, y, z) dxdydz = 2
1
f (x, y )dxdy = 2 f (x, y )dxdy = 2 f (x, y )dxdy
D1 D2
收稿日期 : 2010 09 15 作者简介 : 马 利 ( 1967 ) , 男 , 吉林长春人 , 吉林建筑工程学院基础部 , 副教授。研究方向 : 高等数学。 朱颖莉 ( 1968 ) , 女 , 吉林长春人 , 长春市第二实验中学 , 高级教师 。研究方向: 基础教育。
D
f (y, x )dxdy
且有 ,
f (x, y )dxdy =
2 f (x, y )dxdy f (x, y ) = f (y, x )
D
( ∃ )f ( - x, u, - z ) = f ( x, y, z ), 则 f ( x, y, z) dxdydz = 2
1+
f (x, y, z )dxdydz
若 f ( - x, - y ) = f ( x, y ), (D = D 1 ∀ D 2 且 D 1、 D 2 关于原点对称 ), 则有:
D
( ∃ ) f ( x, - y, - z ) = f (x, y, z ), 则 f (x, y, z ) dxdydz = 2 f (x, y, z )dxdydz
1
f (x, y, z )dxdydz
1
= 为
2
1
f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z ) = f ( - x, y, z )
( 6) 当积分区域 xoy, x oz, xoz 面都对称, ( 在第一卦限部分 ) 则 f ( x, y, z) dxdydz = 8
1
f (x, y, z )dxdydz
例题略。 三、 轮换对称在重积分中的作用 ( 1) 二重积分的轮换对称性 若积分区域 D 关于 x, y 具有轮换对称性, 则 (# )
D
f ( x, y ) dxdy = )
D
f ( x, y ) dxdy =
1 2
版社 , 2007 . [ 2] 王式安主编 . 考研数学 基础教 程 [ M ]. 北京 : 航空工 业出版 社 , 2004 . [ 3] 曹荣荣 . 重积 分中 轮换 对称性 的应 用 [ J] . 高 等数 学研究 , 2006( 9) .
0 f ( x, y, z ) = - f ( - x, y, z ) 例题略。 综上所述 , 在计算重积分时, 若积分区域呈现某 种对称性 , 不妨考察被积函数是否具有其相应的奇 偶性 , 从而确定是否可以简化计算 , 以达事半功倍的 效果 , 提高解题效率。
[ 参考文献 ]
[ 1] 同济大学数学系 . 高等数学 ( 下册 ) [ M ]. 北京 : 高 等教育出
Abstrac t : T h is article g ives the genera l conc lusions for the use of the symm etry in the ca lculation o f the re - integra, l and illus! trates w ith examp les tha t the symm etry can si m plify the ca lcu lation o f the integra.l The au thor states that the appropr iate app lication in so lv ing proble m s can ach ieve m ore w ith less! e ffect . K ey word s : sy mm e try ; rota tion sy mm e try ; pa rity ; re- integ ral
[ f (x, y ) + f ( y, x ) ] dxdy
D
( ∃ ) 若积分区域 D 关于直线 y = x 对称, D 位于
The Application of Sy mm etry in the Re - in tegral
MA L i& ZHU Y ing li
(1 . The Basis D epartm ent of A rch itectural Eng ineering College of J ilin, Changchun J ilin 130017 Ch ina; 2 . Th e S econd Exp eri m en tal S chool of C hangchun C ity, Changchun Jil in 130022 Ch ina)
D D1 D2
二、 对称性在三重积分中的应用 下述结论中的被 积函数 f ( x, y, z) 在有 界闭区 域 上连续。 ( 1 ) 当积分区域 关于坐标面 y oz 对称, 若 f ( x, y, z) = - f ( x, y, z) 当积分区域 关于坐标面 x oy 对称, 若 f ( x, y, z ) = - f ( x, y, z ) 当积分区域 z ) = - f ( x, y, z ) 则有 关于坐标面 xoz对称, 若 f ( x, - y,
一、对称性在二重积分中的应用 根据被积函数的奇、 偶性和积分区域关于轴、 原 点及直线对称的不同情况给出以下结论 , 可以化难 为易, 化繁为简减少计算量。 注 : 下述结论中的被积函数在积分区域 D 上是 连续的。 ( 1) 当 D 关于 x 轴对称, 若 f ( x, - y ) = - f ( x, y ), 则 f ( x, y )dxdy = 0
D = D 1 ∀ D 2 且 D 1、 D 2 关于 y 轴对称。 ( 3) 当 D 关于原点对称, 若 f (- x, - y ) = - f (x, y ) 则有 f (x, y ) dxdy = 0 ;
D
( 即 f (x, y, z ) 关于 x, z, y 为奇函数 )。 ( 2 ) 当积分区域 关于 x 轴对称, ( 1 为对称 积分区域的一半 ) ( # ) f ( x, - y, - z ) = - f (x, y, z ), 则 f (x, y, z ) dxdydz = 0
139
( 3) 当积分区域 分区域的一半 ) 则
关于 y 轴对称, (
1
为对称积
直线 y = x 上半部分区域为 D 1 则有 ,
D
( # )f ( - x, y, - z ) = - f ( x, y, z ), f ( x, y, z) dxdydz = 0
D
f ( x, y ) dxdy =
1 2
( 1. 吉林建筑工程学院基础部, 吉林 长春 130117 ; 2 . 长春市第二实验中学, 吉林 长春 130022)
摘要 : 本文给出利用对称性计算重积分的一般性的 结论 , 且结 合实例说 明积分 对称性 可简化 重积分 计算 , 在解题 中适当 应用 , 能达到 事半功倍 ! 的效果 。 关键词 : 对称性 ; 轮换对称 ; 奇偶性 ; 重积分 中图分类号 : O 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 1580( 2011) 02 0139 02
x ydxdy = 0
2
当 D 关于 y 轴对称 , 若 f ( - x, y ) = - f ( x, y ), 则 f (x, y )dxdy = 0
D
( 2) 当 D 关于 x 轴对称, 若 f (x, - y ) = f (x, y ), 则 f ( x, y )dxdy = 2 f (x, y )dxdy = 2 f (x, y )dxdy
1
0 f (x, y ) = - f (y, x ) ( % ) 当 D 关于 y = - x 对称, 且 f (x, y ) = - f ( 则有 : f ( x, y ) dxdy = 0
D
( 4) 当积分区域 关于 z 轴对称, ( 分区域的一半 ) ( # )f ( - x, - y, z ) = - f ( x, y, z ), 则 f ( x, y, z) dxdydz = 0
1
f (x, y, z )dxdydz
1
f ( x, y, z) dxdydz =
f ( x, y, z ) + f ( y, z, x ) + 关于坐标面 x =
( 5) 当积分区域 关于原点对称, ( 积分区域的一半 ) ( # )f ( - x, - y, z ) = - f ( x, y, z ), 则 f ( x, y, z) dxdydz = 0
D = D 1 ∀ D 2 且 D 1、 D 2 关于 x 轴对称。 当 D 关于 y 轴对称, 若 f ( - x, y ) = f (x, y ), 则 f (x, y )dxdy = 2 f ( x, y ) dxdy = 2 f (x, y )dxdy
D D1 D2
f ( x, y, z) dxdydz = 0
2011 年第 02期 第 27卷 ( 总 254期 )
吉林省教育学院学报 JOURNAL O F EDUCAT I ONAL INST ITUTE OF JIL IN PROV INCE
N o 02, 2011 Vo l 27 T ota l N o 254
对称性在重积中的应用
马 利 , 朱颖莉
D
例 1 计算积分
|x |+ |y | 2
x ydxdy
2