高一年级下期第二次月考数学试题卷2

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福建省龙岩市漳平第二中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题(含解析)

漳平二中2023-2024学年下学期第二次月考高一数学试卷一、单选题1．若，则的虚部为（）A ．B ．C ．D ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果a =2，A =45°，B =30°，那么b =（）ABCD3．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知在正四面体中，M 为AB 的中点，则直线CM 与AD所成角的余弦值为（）A ．B C D ．5．掷一枚均匀的正六面体骰子，设表示事件“出现2点”，表示“出现奇数点”，则等于（）A ．B ．C ．D ．6．已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（）A ．B ．C ．D ．7．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①a 的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在棱长为a 的正方体中，P 在线段上，且，M 为线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．与点M 的位置有关i 1i z ⋅=+z ii-11-m αn ⊥βm n αβ⊥A BCD -1223A B ()P A B 122313253π12π27π48π1111ABCD A B C D -1BD 12BPPD =11B C M PBC -319a332a 313a二、多选题9．若复数z 满足（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为B ．z 的共轭复数为C ．zD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限10．有下列说法，其中错误的说法为（）.A ．、为实数，若，则与共线B ．若、，则C ．两个非零向量、，若，则与垂直D ．若，、分别表示、的面积，则11．在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为（）A ．直线与平面所成的角为B ．二面角C ．到面D ．作平面，垂足为，则为的重心第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．如图，直角梯形ABCD 是某个多边形的斜二测直观图，，，，则该多边形原本的面积为．13．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是．14．锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则面()1i 15i z -+⋅=+3-32i-λμa b λμ= a b//a b //b c// a ca b ||||a b a b -=+ a b230OA OB OC ++=AOC S ABC S AOC ABC :1:6AOC ABC S S =△△O ABC -1OA OB OC ===OA OB OC AB OBC 30︒O BC A --O ABC OM ⊥ABC M M ABC =45ABC ∠︒1AD DC ==DC BC ⊥ABC a b c -=2b =ABC积S 的取值范围 .四、解答题15．已知向量，.(1)若，求实数k 的值；(2)若，求实数k 的值.16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求三棱锥的体积.17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.()1,2a =r()3,b k = a b ∥()2a a b ⊥+P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2PA AD ==E PD //PB AEC ⊥AE PCD A PCE -[)40,50[)50,60L []90,100(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.18．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．19．如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使BE ⊥E C ．a [)50,60[)60,70z 2s ABC ∆,,A B C ,,abc sin sin 2A Ca b A +=B ABC ∆1c =ABC ∆(1)若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥A CDF 的体积的最大值，并求出此时点F 到平面ACD 的距离.参考答案1．D 【详解】由得，故的虚部为，故选：D.2．A 【详解】因为在△ABC 中，a =2，A =45°，B =30°，所以由正弦定理得，解得，故选：A.【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》3．A 【详解】因为直线平面，直线平面，当时，可得，即充分性满足；当时，不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：AAPPDi 1i z ⋅=+1i1i iz +==-z 1-2sin 45sin sin 30b bB ==b m αn ⊥βm n αβ⊥αβ⊥,m n m n αβ⊥4．C 【详解】设正四面体的棱长为2，取BD 的中点N ，连接MN ，CN ，如图，由M 是AB 的中点，得，则是CM 与AD 所成的角或其补角，显然MN 的中点E ，连接CE ，则，在中，，因此所以直线CM 与AD故选：C 5．B 【详解】掷一枚均匀的正六面体骰子,共有六个基本事件，因为A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，所以表示事件为出现2点、1点、3点、5点这四个基本事件，因此故选：B 6．B 【详解】几何体如图所示：因为轴截面是正三角形，所以.圆锥的侧面积等于，圆锥的体积等于，由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，得，得故圆锥的底面积为.故选：B.7．D 【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确；前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确；成绩高于80分的频率，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确；综上①②③④正确，故选：D8．A 【详解】由题意知，点到平面MBC 的距离为a ，又，所以点到平面MBC 的距离为，又点M 在上运动，所以，所以，故选：A.9．ACD 【详解】由，得，则的虚部为，故A 正确；的共轭复数为，故B 错误；C 正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D 正确．故选：ACD ．10．AB 【详解】解：对于A 选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A 错误，对于B 选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B 错，对于C 选项，若，所以，即，即A BCD -//MN AD CMN ∠MC NC ==CE MN ⊥CME △1122ME MN ==c s o ME CME CM ∠==A B ⋃42()63P A B == PAB 2,l r h ==2π2πrl r =231π3r h r =232πr r =23r =2π12πr =()10233651a a a a a a ⨯+++++=0.005a =[)70,80()0.010.015100.25+⨯=()0.0250.005100.3+⨯=10000.3300⨯=1D 12=3BP BD P 23a 11B C 21122MBC a S a a =⨯= 2312113329M PBC P MBC V V a a a --==⨯⨯=()1i 15i z -+⋅=+15i(15i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2z ++---====--+-+--z 3-z 23i +z =z (2,3)-0λμ==a b a b λμ= a ba c0b = ||||a b a b -=+()()22a ba b +=- 222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r，所以，∴与垂直，故C 正确，若，设，，可得为的重心，设，，，则，，，由，可得，故D 正确；故选：AB.11．BD 解：因为，，两两互相垂直，，平面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角为，故A 错误；取中点为，连接，因为，，，两两互相垂直，所以因为，所以平面，故为二面角的平面角，则B 项正确；因为，设到面的距离为，则，解得C项错误；因为为等边三角形，因为平面，则点为点在平面上的投影，又，即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等，故为的重心，故D 项正确.故选：BD.12．A 作，垂足为E ，易知为正方形，因为，，所以，所以，所以，根据斜二测画法还原后的平面图形，是上底为1，下底为2，高为.故答案为：13．【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数，出现向上的点数之和等于6包含的基本事件有：，共5个，∴出现向上的点数之和等于6的概率为．故答案为：．14．【详解】因为，所以由余弦定理有，又，所以，又，所以由正弦定理有为锐角三角形，所以且222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 0a b ⋅= a b230OA OB OC ++= 2OA OA '= 3OC OC '=O A BC ''△AOB S x =△BOC S y = AOC S z = 2A OB S x '= 3BOC S y '= 6A OC S z ''= 236x y z ==::()1:6AOC ABC S S z x y z =++= OA OB OC OB OC O = AO ⊥OBC ABO ∠AB OBC 1OA OB OC ===45ABO ∠=︒AB OBC 45︒BC D ,OD AD 1OA OB OC ===OA OB OC AB AC BC ===,,OD BC AD BC ⊥⊥OD AD D = BC ⊥AOD ODA ∠O BC A --tan OAODA OD∠=O BC A --AB AC BC ===AD =O ABC h 11111113232A OBC O ABC V V h --=⨯⨯⨯⨯==⨯h AB AC BC ===ABC OM ⊥ABC M O ABC 1OA OB OC ===O ABC ,,A B C M ABC ,,A B C M ABC AE BC ⊥AECD =45ABC ∠︒1AE DC ==sin 45AEAB ==︒1BE AE ==2BC =()1122⨯+⨯=5366636n =⨯=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)536p =536()1,2a b c -a b c -=222b c a +-=222cos 2b c a A bc +-===()0,πA ∈π4A =2b =3πsin sin 4sin sin b B b C c B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭===ABC π02B <<，所以，所以，则所以.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）由知，即.（2）由，，知.由知，故，即，从而.16．【详解】（1）连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，又点为线段的中点，故，又平面，平面，故平面；（2）由点为线段的中点，，故，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面；（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，故.17．【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，所以.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84.（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.18．【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】3ππ042B <-<ππ42B <<tan 1B >0<<<c <<()1sin 1,22S bc A ==∈()1,26114-a b ∥ 1230k ⋅-⋅=6k =()1,2a = ()3,b k = ()27,22a b k +=+()2a a b ⊥+ ()20a a b ⋅+= ()72220k ++=1140k +=114k =-BD AC O EO ABCD O BD E PD //OE PB OE ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC E PD PA AD =AE PD ⊥PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥ABCD AD CD ⊥AD PA ⊂PAD AD PA A ⋂=CD ⊥PAD AE ⊂PAD CD AE ⊥CD PD ⊂PCD CD PD D = ⊥AE PCD E PD P D AEC 1111222222323A PCE P ACE D ACE P ACD V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=0.050.10.2100.250.11a +++++=0.030a =[)40,800.050.10.20.30.65+++=[)40,900.050.10.20.30.250.9++++=(80,90)m ∈0.65(80)0.0250.75m +-⨯=84m =[)50,601000.110⨯=[)60,701000.220⨯=10612070671020z ⨯+⨯==+2221{10[7(6167)]20[4(7067)]}231020s =+-++-=+π222A C B π+=-sin sin 2A C a b A +=sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2B a b A =ABC 2sin ,2sin a R A b R B ==sin cos sin sin 2BA AB =cossin 2B B =cos 2sin cos 222B B B=3B π=cos B B ∠由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以面积的取值范围是．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在中，过点A 作，垂足为，作与交于点．sinsin 2A C B+=22sin sin 2A CB +=21cos()sin 2A CB -+=180A BC ++=︒cos()cos A C B +=-21cos 2sin B B +=22cos cos 10B B +-=1cos 2B =3B π=π,,A BC sinsin 2A C a b A +=sin sin sin sin 2A CA B A +=0A π<<sin 0A >sin A sinsin 2A C B +=0<B π<02A C π+<<2A CB +=2AC B π++=A B C π++=2A CB π++=2A CB +=A BC π++=3B π=3B π=ABC 3B π=,6262A C ππππ<<<<1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 2sin sin C a A c B c C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅===22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎭1tan C ∈ABC S ∈ ABC a ABC ABC S =△ABC 1,3c B π==22221cos 0,21cos 0,2b a A b b a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩，221b a a =+-220,20,a a a ->⎧⎨->⎩122a <<ABC S << ABC ABC 1AC BC ⊥1C 2AC AB ⊥BC 2C由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，所以点C 位于在线段上且不含端点，从而，即，即，故面积的取值范围是．19．【详解】（1）AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF，此时.理由如下：当时，，如图，过点P 作MP ∥FD 交AF 于点M ，连接ME ，则，∵BE ＝1，∴FD ＝5，∴MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，∴MP ∥EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，∴CP ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF，ME ⊂平面ABEF ，∴CP ∥平面ABEF .（2）设BE ＝x ，则AF ＝x (0<x ≤4)，FD ＝6－x ，故，∴当x ＝3时，VA -CDF 有最大值，且最大值为3，此时EC ＝1，AF ＝3，FD ＝3，.∴在△ACD 中，由余弦定理得,设到平面的距离为，，ABC ABC S =△ABC 1,3c B π==12C C cos cos cc B a B⋅<<1cos3cos 3a ππ<<122a <<ABC S << ABC 32AP PD =32AP PD =35AP AD =35MP AP FD AD ==()()21112633323A CDF V x x x -=⨯⨯⨯-⨯=--+DC =AD ==AC ==1cos 2ADC ∠==sin ADC ∠=1sin 2ACD S DC AD ADC =⋅⋅⋅∠= F ACD h A CDF F ACD V V --=133ACD S h h ⋅⋅=⇔=。

2023-2024学年甘肃省定西市临洮县文峰中学高一下学期第二次月考数学试题

2023-2024学年甘肃省定西市临洮县文峰中学高一下学期第二次月考数学试题1.设复数，则它的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．12.已知向量，它们的夹角为，则（）A．10B．C．D．133.若直线平面，则下列说法正确的是（）A．l仅垂直平面内的一条直线B．l仅垂直平面内与l相交的直线C．l仅垂直平面内的两条直线D．l与平面内的任意一条直线垂直4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A．16B．12C．D．5.已知，且，则（）A．B．C．D．或6.如图，在中，为的中点，则（）A．B．C．D．7.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（）A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数不确定8.如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（）A．B．C．D．9.已知i为虚数单位，复数，则（）A．的共轭复数为B．C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等11.如图为清代官员夏日所用官帽､凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤､竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色､黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（）A．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为B．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为C．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为D．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为12.已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为___________.13.已知，则__________．14.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要__________立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．15.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求的值（2）若，求的值.16.已知sinα+cosα．（1）求sin2α的值；（2）若cos（2α+β），α∈[，]，β∈[0，]，求β的值．17.在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点．(1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：平面．18.如图，在菱形中，，是的中点，且．(1)求；(2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值．19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.。

高一数学第二学期第二次月考试卷

3 2 , 2)( x 0
0) 上
f (x) 分别取得最大值和最小
值.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)在区间 [ 21 , 23 ] 上是否存在 f ( x ) 的对称轴？请说明理由。 44
23．已知定义在 R 上的函数 f ( x ) a sin x b cos x ( 0, a 0, b 0) 的周期为，
5
21. 239 729
22.（1） A
2,T
3,
2
,
这时
f (x)
2 sin(
2
x
)
3
6
3
6
（2） sin( 2 x ) [ 3 ,0], 故 sin( 2 x ) 1
3
6
2
3
6
即在[ 21 , 23 ] 上不存在 f ( x ) 44
23. 解：（1） f ( x )
则 AB AD BC BE CF
．
17．若 tan =2，则 2sin2 －3sin cos =
。
18．若 sin － cos 7 ， ∈（0，π），则 tan =
。
5
三、解答题（共 5 题，每题 12 分，共 60 分）
19．已知角是第三象限角，且 f ( ) sin( ) cos( 2 ) tan( ) tan( ) sin( )
高一数学第二学期第二次月考试卷
本试题分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷两部分。考试结束后，将答题卡和Ⅱ卷答题纸上交。本
试卷共 150 分，考试时间为 120 分钟。
一、选择题（每小题 5 分，共 65 分）
1． sin(
19

高一年级下学期第二次月考数学试题附答案

下学期第二次月考高一数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若F E O , , 是不共线的任意三点，则下列各式中成立的是（） A 、 OE OF EF += B 、 OE OF EF -= C 、 OE OF EF +-= D 、 OE OF EF --= 2．函数x y 2tan 5=是（） A 、周期为2π的奇函数 B 、周期为2π的偶函数 C 、周期为4π的奇函数 D 、周期为4π的偶函数 3.若α是ABC ∆的一个内角，且21=αSin 则α等于（） A 、︒30 B 、︒60 C 、︒30或︒150 D 、︒60或︒1504．如图所示，向量c OC b OB a OA === A 、B 、C 在一条直线上，且3CB AC -=，则（）A 、 2321 b a c +-=B 、 2 b a c +-=C 、 2123 b a c -=D 、 2 b a c +=5．21 , e e 是夹角为︒60的两个单位向量，则) 2 3( ) 2(2121e e e e +--等于（） A 、8- B 、29 C 、29- D 、8 6．若 ,3) 1()1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC λ= 则λ等于_______ A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7.与向量)4, 3( =a 垂直的单位向量是（）A 、)53, 54( B 、)53, 54(-C 、()54 , 53-或)54, 53(- D 、)53, 54(-或)53, 54(- 8．已知)2, 1(A )3, 2(B )5, 2(-C ，则ABC ∆是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、任意三角形 9.函数)4tan()(π+=x x f 的单调递增区间为（） A 、z k k k ∈+-)2, 2(ππππB 、z k))1(, (∈+ππk k C 、z k k ∈+- )4k , 43(ππππ D 、z k k k ∈+-)43， 4(ππππ103=， a 在 b 方向上的投影是23，则 b a ⋅是（） A 、3 B 、29 C 、2 D 、21 11.若)4tan()(π+=x x f ，则（）A 、)1()1()(f f o f >->B 、)1()1()(->>f f o fC 、)1()0()1(->>f f fD 、)1()()1(f o f f >>-12．已知点)7, 1( )2, 6(21M M ，函数7-=mx y 的图象与线段1M 2M 的交点M 分有向线段21M M 的比为3：2，则m 的值为（） A 、23- B 、32- C 、41D 、4二、填空题：（每题5分，共20分） 13．=--+-)1arctan(23cos3)21(2arc arcSin ______________。

高一下学期第二次月考数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析（2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。

天津市第一中学滨海学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

天津市第一中学滨海学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i -B ．1-C ．3i -D ．3-2．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）A ．15B ．12 C ．23 D ．253．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m 人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m ＝（）A ．50B ．60C ．64D ．754．已知直线m 和两个不同的平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（） A ．若,m αββ⊥⊂，则m α⊥B ．若//,//m αβα，则//m βC ．若//,//m m αβ，则//αβD ．若//,m αβα⊥，则m β⊥5．为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A ．直方图中x 的值为0.035B ．估计全校学生的平均成绩不低于80分C ．估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)60,70的学生数为106．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（）A ．14B ．38 C ．12 D ．347．如图，在直三棱柱111ABD A B D -中，1,45AB AD AA ABD ==∠=︒，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知向量()()1,2,3,1a b ==-r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影向量是（）A ．10b -rB ．10b r C ． D 9．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A ．“至少有1个红球”与“都是黑球”B ．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C ．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D ．“都是红球”与“都是黑球”10．若数据1x m +、2x m +、L 、n x m +的平均数是5，方差是4，数据131x +、231x +、L 、31n x +的平均数是10，标准差是s ，则下列结论正确的是（）A ．2m =，6s =B ．2m =，36s =C ．4m =，6s =D ．4m =，36s =11．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中不正确的是（）A ．2,30a A ==︒，则ABC V 的外接圆半径是2B ．在锐角ABC V 中，一定有sin cos A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 一定是等腰直角三角形D ．若sin cos sin B A C >，则ABC V 一定是钝角三角形12．已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为2，且二面角P AB C --外接球表面积为（）A ．16π3B ．6πC ．8πD ．28π3二、填空题13．在ABC V 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ππ1,,46a A B ===，则b =. 14．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为,a b ，则事件“1a b -≤”的概率为.15．某射击运动员在一次射击测试中，射靶10次，每次命中的环数如下：7,5,9,8,9,6,7,10,4,7，记这组数的众数为M ，第75百分位数为N ，则M N +=.16．在梯形ABCD 中，//,2,AB DC DC AB E =为AD 中点，若CE AD AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=..171，则此三棱锥的外接球的体积为；此三棱锥的内切球的表面积为.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1，底面ABC 为直角三角形，1AB AC ==，90BAC ∠=︒．则二面角1B AC B --的大小为；点A 到平面11BCC B 的距离等于．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1B C 上异于1B ，C 的动点，则下列四个命题：①平面11A ACC ⊥平面1A BD ；②二面角1A BD A --③设CM x =，则三棱锥1A ADM -的体积随着x 增大先减少后增大；④连接1D M ，总有1//D M 平面1A BD ．其中正确的命题是．20．已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且6A B A C A C -=+=u u u r u u u r 点D 是ABC V 的边AB 上的动点，则DB DC ⋅u u u r u u u r 的最小值为.三、解答题21．已知向量(,1)a m =-r ，(1,2)b =r .(1)若()+2a b b ⊥r r r ，求2a b +r r ； (2)若向量(2,1)c =-r ，a c ∥r r ，求a r 与2a b -r r 夹角的余弦值.22．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若分数在区间[60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．23．如图，四边形ABCD 是矩形，2AD =，1DC =，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，1EC =．点F 为线段BE 的中点．(1)求证：CE ⊥平面ABE ；(2)求证：//DE 平面ACF ；(3)求AC 和平面ABE 所成角的正弦值．24．如图，在ABC V 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．(1)若34ADC π∠=，求AD 的长；(2)若2BD DC =，ACD V sin sin BAD CAD ∠∠的值．。

高一数学第二次月考试卷(含答案)

高一数学第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、0150tan 的值为（ A ） A.33- B ．33 C ．3- D. 3 2、终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（B ）A 、{}0022545，B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k ，ππαα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k 2，ππαα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k 4k ，ππαα 3、若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos （ B ） A 、54 B 、53- C 、43 D 、43- 4、角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，1tan =γ，090+=αβ，则βsin =（A ） A.22 B ．22- C ．21 D. 21- 5、已知3)tan(=+απ，则)cos()sin()cos()sin(απαπααπ+-+-+-的值为（B ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 6、已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(,则B 中所含元素的个数为( D ) A.3 B.6 C.8 D.107、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足)()4(x f x f =+，当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则=)7(f （ A ） A.-2 B.2 C.-98 D.988、函数)23(log 21-=x y 的定义域是 ( D )A 、[)+∞,1B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛1,329、函数)1(log )1(log 22-++=x x y 在定义域上是（ C ）A 、偶函数B 、奇函数C 、增函数D 、减函数10、已知函数)91(,log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（C ） A.6 B.13 C.22 D.3311、设函数)0(,ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ D ） A.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点 B. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点 C. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点 D. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点 12、若方程0)5()2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是（A ）A 、(]4,5--B 、(]4,-∞-C 、()2,-∞-D 、()()4,55,---∞-二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设扇形的周长为8cm,面积为42cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 2 。

2023-2024学年新疆阿克苏市实验中学高一下学期第二次月考数学试题

2023-2024学年新疆阿克苏市实验中学高一下学期第二次月考数学试题1.，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．2.经过旋转可以得到图中几何体的是（）A．B．C．D．3.已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．4.如图，在平行四边形中，（）A．B．C．D．5.体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．B．C．D．6.设，向量，且，则()A．B．C．D．7.的内角所对的边分别为．若，则（）A．5B．6C．8D．108.在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（）A．B．C．D．9.设是复数，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则为纯虚数10.已知平面向量，则（）A．B．C．在上的投影向量的模为D．与的夹角为钝角11.已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（）A．如果，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，那么12.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．B．C．与成60°角D．与是异面直线13.若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________.14.已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于______．15.在中，角的对边分别为，且，，则的面积为_____．16.如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为__________.17.已知，，与的夹角为．(1)求；(2)若向量与相互垂直，求实数k的值．18.如图，已知正方体的体积为8.(1)求正方体的表面积;(2)设上底面的中心为，求三棱锥的体积;(3)求三棱锥内切球(与所有面均相切的球)的半径.19.已知分别为的三个内角的对边，且．(1)求的值；(2)若，且的面积为，求．20.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证：(1)平面；(2).21.如图，在中，，点满足．(1)若点是线段上一点，且，求实数的值；(2)若，求的余弦值．22.如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且，（1）求证：平面；（2）求直线AD与平面所成线面角．。

2023-2024学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学高一下学期第二次月考数学试题

2023-2024学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学高一下学期第二次月考数学试题1.已知复数且，其中为虚数单位，则（）A．－4B．－3C．－2D．02.在中，已知，，，则（）A．B．C．或D．或3.已知向量，它们的夹角为，则（）A．4B．12C．2D．4.下列说法正确的是（）A．等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥B．过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径C．棱锥的侧棱一定相等D．正三角形的平面直观图一定是等腰三角形5.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（）A．B．C．D．6.如图，已知四棱锥，底而ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7.已知为钝角，，则的值为（）A．B．-2C．D．8.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A．B．C．D．9.已知复数，则下列说法正确的有（）A．复数z的实部为3B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为D．复数z的模为510.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等11.不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张蓝色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色12.已知，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．13.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.14.如图所示的直观图，其中，，，则原平面图形的面积为______.15.已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为______.16.已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.17.已知向量，，，O为坐标原点.（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值.18.已知，，角β的终边过点.(1)求的值；(2)求的值.19.在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训610未参加赛会应急救援培训628(1)从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；(2)在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.20.如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．(1)求角B的大小；(2)若的面积为，求AC边上的中线长．22.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.。

高一数学下学期第二次月考试题含解析试题 2_1

第二中2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{}n a 为等差数列，假设232,3a a ==，那么5a=A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据23,a a 求出d ，进而求得5a . 【详解】设等差数列{}n a 公差为d那么321d a a =-= 532325a a d ⇒=+=+= 此题正确选项：B【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，属于根底题.2.ABC 中，假设a 1=，c 2=，B 60=，那么ABC 的面积为( )A.12B. 1C.2【答案】C 【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式S 1AB BC sin602=⋅⋅计算求解.【详解】由题得ABC 的面积11S AB BC sin602122=⋅⋅=⨯⨯=．应选：C.【点睛】此题主要考察三角形面积的计算，意在考察学生对该知识的理解掌握程度.3.数列：1，13-，15，17-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的一个通项公式为〔〕A. (1)21nn a n -=-B. 1(1)21n n a n +-=+C. (1)21nn a n -=+D.1(1)21n n a n --=-【答案】D 【解析】【分析】利用归纳法可得数列的一个通项公式. 【详解】数列的前4项可改写为：11，13-，15，17-，其中负号交替出现，且分母为奇数，故通项可为1(1)21n n a n --=-，应选D.【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，属于根底题，注意根据前假设干项归纳出通项公式.{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，那么数列{}n a 的公差是〔〕A.12B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】在题设条件32132S S -=的两边同时乘以6，然后借助前n 项和公式进展求解．【详解】解：32132S S -=， 1132212(3)3(2)622a d a d ⨯⨯∴+-+=，1166636a d a d ∴+--=，2d ∴=．应选：C ．【点睛】此题考察等差数列的性质和应用，解题时要注意前n 项和公式的灵敏运用，属于根底题．△ABC 中，，BC=2，B =60°，那么BC 边上的高等于〔〕D.【答案】B 【解析】2sin 60sin A A A =⇒===，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，那么BC 边上的高142h C ===，应选答案B.点睛：解答此题的思路是先运用正弦定理求出cos 7A =，再运用两角和的正弦公式求得sin 14C =，再解直角三角形可求得三角形的高h C ==，从而使得问题获解.{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3613S S =，那么69SS =〔〕 A.12B. 1C. 2D.52【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列前n 项和的性质可求69S S 的值. 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以36396,,S S S S S --成等差数列，设()30S a a =≠，那么63S a =，故632S S a -=，所以963S S a -=，所以96S a =，故6912S S =，应选A. 【点睛】一般地，假如{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，那么有性质：〔1〕假设,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，那么m n p q a a a a +=+；〔2〕()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；〔3〕2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；〔4〕232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.{}n a 中，1112,(2)1n n a a n a -==-≥- ，那么2019a =〔〕A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】C【解析】【分析】利用{}n a 为周期数列可得2019a 的大小. 【详解】因为1112,(2)1n n a a n a -==-≥-，所以21a =-，312a =，42a =，所以{}n a 是周期为3的周期数列，故2019312a a ==，应选C. 【点睛】此题考察数列的周期性，属于根底题.{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，对任意的n *∈N 都有2143n n S n T n -=-，那么426a b b +的值是〔〕A. 1B.1350C.12D.14【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质和前n 项和的性质可求426a b b +的值. 【详解】因为{}{},n n a b 都是等差数列，故264=2b b b +，且74747,7S a T b ==，所以()74426472711322247154S a a b b b T ⨯-====+⨯-，应选B.【点睛】一般地，假如{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，那么有性质：〔1〕假设,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，那么m n p q a a a a +=+；〔2〕()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；〔3〕2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；〔4〕232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.9.数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 那么数列{an}中的最大项为( ) A. 89B. 23C.6481D.125243【答案】A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或者a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.应选A.解法二＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得na n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或者a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.应选A.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，那么△ABC 的形状是( ) A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】B 【解析】∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴22tanC 1tan C -＝3tan C ，得tan C C ＝6π，B ＝2C ＝3π，A ＝2π，故△ABC 为直角三角形．应选B.{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，388(1)2019(1)aa +++=1，320122012(1)2019(1)1a a +++=- ，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 20190,2019d S <=B. 20190,2019d S >=C. 20190,2019d S >=-D. 20190,2019d S <=-【答案】D 【解析】【分析】由题设有()()8201211f a f a +>+且()()8201211f a f a +=-+，再利用函数()32019f x x x =+的单调性和奇偶性得到2012811a a +=--，且2012811a a +<--，再利用等差数列的定义和等差数列前n 项和的性质可得公差的正负和2019S .【详解】因为()32019f x x x =+是R 上的单调增函数，也是R 上的奇函数，而()()2201811f a f a +=-+且()()2201811f a f a +>+，所以2201811a a +=--且2201811a a +>+，所以0d <且220182a a +=-，而220182019201920192a a S +=⨯=-，应选D. 【点睛】此题考察了函数的奇偶性、单调性的应用以及等差数列的前n 项和的性质，属于中档题.ABC ∆的三边为,,,a b c 4sin sin 3B C +=，ABC ∆面积为S ,且222S b c a =+-,那么面积S 的最大值为〔〕【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理可得16b c +=，再根据面积公式和余弦定理可得tan 4A =，利用同角的三角函数的根本关系式可得sin A ，最后利用根本不等式可得bc 的最大值，从而可得面积的最大值. 【详解】因为外接圆的半径为6R =，所以4sin sin 3B C +=可化为： 2sin 2sin 16R B R C +=，即16b c +=，由余弦定理可得22212cos sin 2b c a bc A bc A +-==，因0bc >，故4cos sin A A =，即tan 4A =，而()0,A π∈，故sin A =，由16b c +=可以得到16≥，故64bc ≤，当且仅当8b c ==时等号成立，所以max 1642S =⨯=，应选C. 【点睛】此题考察解三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式以及根本不等式，属于中档题.二、填空题：把答案填在答卷的相应位置．{}n a 的通项公式12nan =-，那么其公差d =____.【答案】-2 【解析】【分析】利用等差数列的定义可求公差.【详解】因为{}n a 为等差数列且12n a n =-，所以()1121222n n d a a n n -=-=---+=-，所以公差为2-，填2-.【点睛】此题考察等差数列的定义，属于容易题.ABC ∆中，,,A B C 成等差数列，且3b =，那么sin sin sin a b cA B C++++=____.【答案】【解析】【分析】先算出B ，再利用正弦定理可得2R ，最后利用等比定理可得所求的值. 【详解】因为,,A B C 成等差数列且A B C π++=，所以3B =π即3B π=，所以外接圆的直径2sin b R B ===，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得2sin sin sin a b cR A B C ++==++填【点睛】此题考察正弦定理，属于根底题.15.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C ，从A 点测得M 点的仰角为60︒，从A 点测得C 点的仰角为45︒，且75MAC ∠=︒,60MCA ∠=︒，200BC m =，那么MN =____m ．【答案】300 【解析】【分析】在等腰直角三角ABC 中计算可得2002AC m =，分别在MAC ∆利用正弦定理和直角三角形MNA 中利用解直角三角形可得MN 的长度.【详解】在等腰直角三角ABC 中，因为45CAB ∠=︒，200BC =，所以2002AC =. 在MAC ∆中，由正弦定理有sin sin AM ACMCA AMC=∠∠，而=45AMC ∠︒，32=，故3AN 在直角三角形MNA 中，320033002MN m ==.填300. 【点睛】此题考察正弦定理的应用，属于根底题，注意此题的图形是空间图形.{}n a 的前n 和为n S ，且满足120n n n a S S -⋅+=(2)n ≥，112a =，那么n a =____. 【答案】1(1)21(2)2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩【解析】【分析】把120n n n a S S -⋅+=转化为1120n n n n S S S S --⋅-+=，求出{}n S 的通项后可求{}n a 的通项.【详解】因为120n n n a S S -⋅+=，所以1120n n n n S S S S --⋅-+=，即1112n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列，所以()12122n n n S =+-⨯=，故12n S n=，所以11(1)(1)22=111(2)(2)22(1)2(1)n n n a n n n n n n ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪-≥-≥--⎪⎪⎩⎩. 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的互相转化.三、解答题。

高一数学下学期第二次月考试题含解析_1_1

临渭区尚德中学2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕第一卷一、选择题 1.13sin 6π的值是 ( )A. 12-B.12C. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式可得所求之值. 【详解】131sinsin 2sin 6662ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，应选B. 【点睛】此题考察诱导公式，属于根底题. 2.假如()1cos 5π2+=-A ，那么cos A =〔〕B. C. 12-D.12【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】由()1cos 5π2+=-A ，那么()()1cos 5πcos cos 2A A A π+=+=-=-，即1cos 2A =. 应选：D【点睛】此题考察了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于根底题. 3.点()cos ,tan P αα在第二象限，那么角α在〔〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用角的象限符号即可求解.【详解】点()cos ,tan P αα在第二象限，那么cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以角α在第三象限.应选：C【点睛】此题考察了三角函数的象限符号，考察了三角函数的根本知识，属于根底题.4.化简22ππcossin 88-的值是〔〕A.12B.2D.4【答案】B 【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式即可得解.【详解】22ππcos sin cos 884π-==应选：B【点睛】此题考察两角和的余弦公式，属于根底题. 5.cos15︒的结果是〔〕A.2B.4C.4D.【答案】B 【解析】【分析】由()cos15cos 4530︒=︒-︒，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】()cos15cos 4530cos45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒12=+=. 应选：B【点睛】此题考察了两角差的余弦公式，需熟记公式，属于根底题. 6.角α的终边过点()1,2P -，那么cos α的值是〔〕B. D. 5-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求解.【详解】由角α的终边过点()1,2P -，所以cos α==应选：D【点睛】此题考察了三角函数的定义，考察了根本运算求解才能，属于根底题. 7.()3tan 5αβ+=，π1tan 42⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，那么πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是〔〕A.17 B.113C.1113D.117【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正切公式即可求解.【详解】由()3tan 5αβ+=，π1tan 42⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，()πtan tan 44πααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()31tan tan 4523111tan t 11an 5243παββπαββ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭===⎛⎫+⨯++⋅+ ⎪⎝⎭. 应选：B【点睛】此题主要考察了两家差的正切公式，掌握公式是解题的关键，属于根底题. 8.假设函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω的最小正周期为π，那么该函数的图像〔〕A. 关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线π3x =对称 D. 关于直线π4x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据周期公式求出ω即可求得()f x 的解析式，由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】2=2T ππωω=⇒=，()()π2sin 203f x x ω⎛⎫∴=+> ⎪⎝⎭，2π2sin 0333f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称. 应选：B【点睛】此题考察正弦型函数的周期性与对称性，属于根底题. 9.sin153a =︒，cos62b =︒，121log 3c =，那么〔〕 A. a b c >>B. c a b >>C. b c a >>D.c b a >>【答案】D 【解析】因lg3sin 27,sin 281,1lg 2a b a b c ︒︒==⇒<=，应选D. 10.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π3个单位，再将图像上各点的横坐标压缩到原来的12，那么所得到的图像的解析式为〔〕 A. sin y x =B. πsin 43y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据()sin y A ωx φ=+的图象变换规律逐步求解解析式. 【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移π3个单位得到函数sin[2]sin 2333y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上各点的横坐标压缩到原来的12得到函数πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.应选：C【点睛】此题考察三角函数的平移及周期变换，属于根底题. 11.假设1sin 24α=，42ππα<<，那么cos sin αα-的值是〔〕B. C.34D. 34-【答案】B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 422ππααα<<∴-=-，应选B. 12.ABC 中，4sin 5A =，5cos 13B =，那么cosC 为〔〕 A.3365 B.3365或者6365C. 3365-D. 3365-或者6365-【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数的根本关系以及正弦定理求出cos A 、sin B ，再利用三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解.【详解】ABC 中，5cos 13B =，那么12sin 13B ===，由sin sin B A >，所以b a >，即B A >，所以A 为锐角，由4sin 5A =，那么3cos 5A =， ()()cos cos cos C AB A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦3541233cos cos sin sin 51351365A B A B =-+=-⨯+⨯=.应选：A【点睛】此题考察了同角三角函数的根本关系、正弦定理的边角互化、两角和的余弦公式，考察了根本运算，属于根底题.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题13.圆心角为2rad ，半径为6cm 的扇形的面积为______．【答案】236cm 【解析】【分析】利用扇形的面积公式：212S R α=，即可求解. 【详解】扇形的圆心角为2rad ，半径为6cm 扇形的面积：22112363622S R cm α==⨯⨯=. 故答案为：236cm【点睛】此题考察了扇形的面积公式，需掌握扇形的面积公式，考察了根本运算求解才能，属于根底题.14.sin80cos 40cos80sin 40+等于______．【解析】【分析】利用两角和的正弦公式结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】()()3sin 80cos 40cos80sin 40sin 8040sin120sin 18060sin 602+=+==-==.【点睛】此题考察利用两角和的正弦公式求值，考察计算才能，属于根底题.15.α=______〔数值〕．【答案】0 【解析】【分析】利用二倍角公式及三角函数在各象限的符号进展化简求值. 【详解】因为α为第三象限的角，所以cos 0,sin 0αα<<，那么cos sin 0cos sin cos sin cos sin αααααααα-⎫-=-=+=⎪⎭. 故答案为：0【点睛】此题考察二倍角公式、三角函数在各象限的符号，属于根底题. 16.以下命题中，正确命题的序号是______． ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是π,2k k Z αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图像与函数cos y x =图像在[]0,2π内有1个公一共点； ④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴是ππ,122=+∈k x k Z ．【答案】①④ 【解析】【分析】利用平方差公式及二倍角公式化简函数解析式，求出周期可判断①正确；终边在y 轴上的角的集合是π,2k k Z ααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，②错误；根据正弦、余弦函数在[]0,2π上的图象可判断③错误；由正弦函数的对称性可求出此函数的对称轴，④正确. 【详解】①()()442222sin cos sin cos sin cos cos2y x x x x x x x =-=+-=-，∴此函数的最小正周期为2=2ππ，①正确； ②终边在y 轴上的角的集合是π,2k k Z ααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，②错误； ③根据正弦、余弦函数在[]0,2π上的图象知在同一坐标系中，函数sin y x =的图像与函数cos y x =图像在[]0,2π内有2个公一共点，③错误；④令π2()32x k k Z ππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈，所以函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴是ππ,122=+∈k x k Z ，④正确. 故答案为：①④【点睛】此题考察正弦、余弦函数的图象与性质、终边在特殊位置上的角的集合、二倍角公式，属于中档题. 三、解答题 17.()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.〔1〕化简()fα; 〔2〕假设α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值. 【答案】①. ②.【解析】【详解】本试题主要是考察了诱导公式和同角三角函数关系式，得到结论．〔1〕根据化简为．〔2〕根据α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得到，然后分析得到的值．解：①=②又为第三象限角，，18.π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan 3α=，tan 2β=-，求角αβ+的值．【答案】3π4αβ+= 【解析】【分析】利用两角和的正切公式求出()tan αβ+，再根据αβ+的范围求出αβ+.【详解】()()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ-++===---⨯-，又π3π,22⎛⎫+∈⎪⎝⎭αβ，故3π4αβ+=．【点睛】此题考察两角和的正切公式、正切值求角，属于根底题. 19.〔1〕5sin α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α；cos2α的值；〔2〕tan 2α=，求sin cos 2sin 5cos +-αααα的值；【答案】〔1〕4sin 25α=-；3cos 25α=．〔2〕3-.【解析】【分析】〔1〕利用22sin +cos =1αα，求出cos α，利用二倍角公式化简，代入求值；〔2〕分子分母同时除以cos α，代入求值.【详解】〔1〕∵5sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴225cos 1sin 5αα=--=-， ∴4sin 22sin cos 5ααα==-； ∴23cos212sin5αα=-=．〔2〕sin cos tan 12+132sin 5cos 2tan 545αααααα++===----．【点睛】此题主要考察同角三角函数的根本关系，二倍角公式和切弦互化求值，属于根底题. 20.函数()()sin f x A x =+ωϕ〔0A >，0>ω，π<ϕ〕的一段图像如以下图所示，〔1〕求函数()f x 的解析式；〔2〕求函数()f x 的单调增区间；【答案】〔1〕()3π2sin 24⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 〔2〕5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ，k Z ∈．【解析】【分析】〔1〕根据图象由最值求出A 、周期求出ω，再代入特殊点28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出ϕ即可求得函数解析式；〔2〕根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】〔1〕由题意知：2A =，23==2[()]88T ππππω⨯--=，∴2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，()f x 过点28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，2sin 2sin 1844f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=⇒-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2()42k k Z ππϕπ∴-+=+∈，解得32()4k k Z πϕπ=+∈，又π<ϕ，∴34πϕ=，那么()3π2sin 24⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .〔2〕令π3ππ2π22π242-≤+≤+k x k ，k Z ∈，解得5ππππ88-≤≤-k x k ，所以函数()f x 的单调增区间为5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ，k Z ∈．【点睛】此题考察正弦函数的图象与性质、根据图象确定正弦型函数的解析式，属于根底题. 21.求以下函数的定义域.〔1〕()=f x〔2〕()11tan =-f x x【答案】〔1〕π11π2π,2π66⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k ，k Z ∈．〔2〕ππ2x x k ⎧≠+⎨⎩，且ππ,4x k k Z ⎫≠+∈⎬⎭．【解析】【分析】〔12cos 0≥x 可得；〔2〕解不等式1tan 0-≠x 可得．【详解】〔12cos 0≥x ，cos 2≤x ，所以π11π2π2π66k x k +≤≤+ 所以()f x 的定义域为π11π2π,2π66⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k ，k Z ∈．〔2〕1tan 0-≠x ，tan 1x ≠，ππ4≠+x k ，k Z ∈，所以()f x 的定义域为ππ2x x k ⎧≠+⎨⎩，且ππ,4x k k Z ⎫≠+∈⎬⎭．【点睛】此题考察求函数的定义域，即使解析式有意义的自变量的取值范围，此题属于根底题．22.函数()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=〔1〕求函数2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 的值；〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；〔3〕假设ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．【答案】〔1〕2π23⎛⎫= ⎪⎝⎭f 〔2〕最小正周期是π．π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k k Z ∈．〔3〕⎡-⎣ 【解析】【分析】〔1〕直接代入计算；〔2〕利用二倍角公式化简函数解析式，由2=T πω求出最小正周期，整体代换法求正弦型函数的单调区间；〔3〕由x 的范围求出π26x +的范围，再根据正弦函数的单调性即可求得值域.【详解】〔1〕222π11232222f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；〔2〕因为()πcos 222sin 26⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭f x x x x ，所以()f x 的最小正周期2=2T ππ=．令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，k Z ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k k Z ∈．〔3〕由〔2〕知()π2sin 26⎛⎫=-+⎪⎝⎭f x x ，∵ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2π2,633⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，那么πsin 2[62x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为⎡-⎣．【点睛】此题考察二倍角公式、正弦型函数的周期性、单调性与值域，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期第二次月考试题含解析 2

卜人入州八九几市潮王学校百灵2021～2021第二学期第二次月考教学质量检测高一数学试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.0sin(30)-=〔〕A.12B.32C.12-D.32-【答案】C 【解析】分析：根据第四象限内正弦函数的诱导公式化简得到答案．详解：由诱导公式1sin(30)sin 302-=-=-所以选C点睛：此题考察了诱导公式的简单应用，属于根底题． 2.点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于〔〕 A.(－2，－4) B.(－4，－2)C.(2，4)D.(4，2)【答案】A 【解析】【分析】向量等于终点坐标减起点坐标. 【详解】M (－3，3)，N (－5，－1)，()=2,4MN ∴--.应选：A【点睛】此题考察平面向量的坐标表示，属于根底题. 3.假设角α是第二象限角，那么是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或者第三象限角D.第二或者第四象限角【答案】C【解析】【分析】由角α是第二象限角，得到＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z，，由此能求出-2α是第一或者第三象限角．【详解】∵α是第二象限角， ∴＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z， ∴＋k π＜＜＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，是第一象限角；当k 为奇数时，是第三象限角【点睛】此题考察角所在象限的求法，考察象限角等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于〔〕A.ABB.AC C.AM D.BC【答案】B 【解析】试题分析：()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=，应选B ．考点：平面向量的加法 5.在四边形ABCD 中，假设AC AB AD =+，那么四边形ABCD 一定是〔〕A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【答案】D 【解析】试题分析：因为,根据向量的三角形法那么，有,那么可知,故四边形ABCD 为平行四边形.考点：向量的三角形法那么与向量的平行四边形法那么. 6.在△ABC 中，M 是BC 的中点．假设AB ＝a ，BC ＝b ，那么AM＝()A.1()2a b + B.1()2a b - C.12a b + D.12a b +【答案】D 【解析】【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+，应选D.【点睛】该题考察的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 7.向量(3,4),(sin ,cos )ab αα==，且//a b ，那么tan α=〔〕A.34 B.34-C.43D.43-【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 应选A【点睛】1〕两向量平行，利用12210x y x y -=解答；〔2〕两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.8.向量(2,0)a=，||1b =，1a b ⋅=-，那么a 与b的夹角为〔〕A.6πB.4π C.3π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可.【详解】因为cos,a b a b a b<>=，所以a 与b 的夹角为23π. 应选：D.【点睛】此题主要考察向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模. 9.在ABC 中，∠ABC =600中，边长是AB =BC =4，那么AB ⋅BC 等于〔〕A.－16B.16C.－8D.8【答案】C 【解析】【分析】直接按向量数量积的定义计算.【详解】1cos1204482AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.应选：C【点睛】此题考察向量数量积，属于根底题. 10.ABC ∆中，5tan 12A，那么cos A =() A.1213B.513C.513-D.1213-【答案】D 【解析】【分析】由题易得A 为钝角，cos 0A <，由sin 5tan cos 12A A A ==-，22sin cos 1A A +=，联立解方程组即可得解．【详解】∵5tan012A =-<， ∴A 为钝角，cos 0A <，且sin 5tancos 12A A A ==-，22sin cos 1A A +=，联立解得5sin 1312cos 13A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.应选：D .【点睛】此题考察同角三角函数间的根本关系的应用，考察逻辑思维才能和运算求解才能，属于常考题.11.要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象〔〕A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度【答案】C 【解析】【分析】将所给函数化为3sin 26y x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数相位变换原那么可得结果.【详解】3sin 23sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴只需将3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度即可得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象应选：C【点睛】此题考察三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对x 的变化量的变换，遵循“左加右减〞原那么. 12.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，那么a b ⋅=()A.1B.2C.3D.5【答案】A 【解析】【详解】因为2222||()210a b a b a b a b +=+=++⋅=，22||()a b a b -=-=2226a b a b +-⋅=，两式相加得：228a b +=，所以1a b ⋅=，应选A.考点：本小题主要考察平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，纯熟根底知识与基此题型是解答好本类题目的关键．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕13.半径为2，圆心角为π4的扇形的面积为______．【答案】π2【解析】【分析】设扇形的圆心角大小为α〔rad 〕，半径为r ，那么扇形的面积为212Sr α=，由此得解．【详解】r 2=，πα4=， 2211ππS r α22242∴==⨯⨯=．故答案为π2．【点睛】此题主要考察了扇形的面积公式的应用，属于根底题． 14.向量(,4),(3,2),a m b a ⊥b ，那么m ＝__________.【答案】83【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】a b ⊥，038a b m ∴⋅==-，解得83m =.故答案为：83【点睛】此题考察向量垂直的坐标表示，属于根底题. 15.cos 23x a ，且x 是第二、三象限的角，那么a 的取值范围__________.【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据角所在象限判断余弦值的符号列出不等式求解即可. 【详解】因为x 是第二、三象限的角，所以31cos 23012x a a. 故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】此题考察三角函数在各象限的符号，属于根底题.()2sin 3f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[0，π]上的值域是．【答案】-2⎡⎣【解析】试题分析：令3t x π=-，因为[]0,x π∈，故2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，那么2sin y t =-的值域为-2⎡⎣. 考点：三角函数的值域.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17.向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，//b c ，求a b +和a b +与c 的夹角.【答案】=10a b +，a b +与c 的夹角为4π. 【解析】【分析】由向量一共线、垂直的坐标表示列出方程求出a 、b ，然后求出a b+、a b +，由()cos a b c a b cθ+⋅=+⋅求出a b +与c 的夹角的余弦值，即可根据余弦值及向量夹角的范围求得夹角. 【详解】因为a ⊥c ，所以024a c x ⋅==-，解得2x =，因为//b c ，所以24y =-，解得2y =-，所以()2,1a=，()1,2b =-，()3,1+=-a b ，所以(2=3a b ++=.设a b +与c 的夹角为θ，那么()3214cos 210a b c a b cθ+⋅⨯+-⨯-===+⋅，因为0θπ≤≤，所以4πθ=.【点睛】此题考察向量一共线的坐标表示、向量数量积的坐标表示、向量的夹角，属于中档题. 18.4sin ,(,)52πααπ=∈，53cos ,(,)132πββπ=-∈，〔1〕求cos()αβ-；〔2〕求sin()αβ+；【答案】〔1〕3365-；〔2〕1665. 【解析】【分析】〔1〕由所给条件求出cos α、sin β，利用两角差的余弦公式求解即可；〔2〕利用两角和的正弦公式求解.【详解】〔1〕4sin ,(,)52πααπ=∈，3cos 5α∴=-，53cos ,(,)132πββπ=-∈，12sin 13β∴=-， 3541233cos()51351365αβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴；〔2〕由〔1〕得4531216sin()51351365αβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】此题考察同角三角函数的平方关系、两角和与差的正弦、余弦公式，属于根底题.19.求()sin f x x x =+的最大值和周期.【答案】最大值为2，周期为2π. 【解析】【分析】由辅助角公式可得2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解.【详解】因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数的最大值为2，周期为2Tπ=【点睛】此题考察了辅助角公式和三角函数的最大值，周期公式，属于根底题. 20.要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形面积最大？【答案】当4AOB π∠=时，长方形面积最大【解析】【分析】在Rt AOB 中，设AOB α∠=，根据三角函数的定义，表示出AB ，OB ，进而得到面积S 的表达式，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】设圆心为O ，长方形面积为S ，AOB α∠=，那么=sin AB R α，=cos OB R α，所以面积22sin 2cos 2sin cos S AB OB R R R αααα=⨯=⨯==2sin 2R α又在RtAOB 中，02πα<<，所以02απ<<，故当22πα=，即4πα=时，长方形面积最大，最大值为2R 【点睛】此题考察三角函数定义的实际应用，题型新颖，考察学生分析理解，化简计算的才能，属根底题. 21.函数f 〔x 〕=2sinωxcosωx+cos2ωx〔ω>0〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕的单调递增区间.【答案】〔Ⅰ〕1ω=〔Ⅱ〕3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕．【解析】试题分析：〔Ⅰ〕运用两角和的正弦公式对f 〔x 〕化简整理，由周期公式求ω的值；〔Ⅱ〕根据函数y=sinx 的单调递增区间对应求解即可. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+．所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕．【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间确实定，一般先将函数式化为根本三角函数HY 式，然后通过同解变形或者利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．假设不是同名三角函数，那么应考虑化为同名三角函数或者用差值法〔例如与0比较，与1比较等〕求解． 22.函数()sin()f x A x ωφ=+，(0,0,)2A πωφ>><的局部图像如下列图，〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕将()y f x =图像上所有的点向左平移12π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =在R 上的单调区间.【答案】〔1〕()sin()f x x π=-223；〔2〕单调递增区间为[]()63k k k Z ππππ-++∈，，单调递减区间为5(,)()36k k k Z ππππ++∈. 【解析】【分析】〔1〕观察图象由最大值确定A ，求出周期由2=T πω求出ω，代入特殊点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求出φ，即可求得函数解析式；〔2〕根据三角函数图象变换规那么求出()y g x =的解析式，令222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解不等式即可求得函数()y g x =在R 上的单调增区间，同理可得单调减区间.【详解】〔1〕由图象可知，2A =，周期453123Tπππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2,0||ππωω∴=>，那么2ω=，所以()2sin(2)f x x φ=+，代入点5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，得5sin()16πφ+=，那么5262k ππφπ+=+，k Z ∈，即23k πφπ=-+，k Z ∈，又2πφ<，所以3πφ=-，所以()sin()f x x π=-223；〔2〕根据题意，2sin[2()]2sin 21)6(23y x g x x πππ⎛⎫+-=-= ⎝=⎪⎭，令222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，所以函数()y g x =在R 上的单调递增区间为[]()63k k k Z ππππ-++∈，，单调递减区间为5(,)()36k k k Z ππππ++∈. 【点睛】此题考察根据函数图象求函数解析式、正弦型函数的单调性，属于中档题.。

人教版高一数学下册第二次月考试题(2)

a
2
的
0
值为
(
)
A. 4
B.8
C.16
D.32
6.
若数列 an 的前 n项和 S n a1 a2 a3 an , 且满足 log 2Sn n, 那么 an 是 ( )
A.公比为 2 的等比数列 C.公差为 2 的等差数列
B. 公比为 1 的等比数列 2
D. 既不是等差数列也不是等比数列
高一数学下册第二次月考试题
命题者：万建中
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 60 分，第Ⅱ卷 90 分，共 150 分，答题时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1. 以下通项公式中,不是数列 3、5、9,…的一个通项公式的是( )
A. an 2 n 1
D. 最大项为 a4 , 最小项为 a3
12.
在等差数列 an中 ,已知 am
1 k , ak
1 m
,(m, k
N 且 m
k ),则数列 an
的前m项之和等于 ( )
mk A.
2
mk B. 1
2
mk C. 1
2
mk 1 D.
2
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
An Bn
3n 1 ,若 2n 1
ak bk
34 ,
21
则k 16、将正整数排成下表
1 23 56 10 11
4 789 12 13 14 15 16
……
则 430 应出现在表中的第
行

高一数学下学期第二次月考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校修远二零二零—二零二壹第二学期第二次阶段测试高一数学试题一、选择题(每一小题5分，一共60分．在以下四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题意的) 1.cos120︒=〔〕A.12 B.12-C.【答案】B 【解析】【分析】运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可。

【详解】00001cos120cos(18060)cos602=-=-=-，故此题选B 。

【点睛】此题考察了诱导公式，特殊角的三角函数，属于根底题. 2.圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，那么点P (3,2)满足〔〕 A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外【答案】C 【解析】把点的坐标代入到圆的方程中，因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3,2)在圆内，选C.590ax y --=与直线23100x y --=平行，那么实数a 的值是〔〕A.2B.5C.12-D.103【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行得到两条直线中参数的关系，构造出关于a 的方程，得到答案. 【详解】因为直线590ax y --=与直线23100x y --=平行，所以592310a --=≠--，解得103a =应选D 项.【点睛】此题考察两条直线平行的关系，属于简单题. 4.3sin 4α=，那么()cos 2απ-=()A.18 B.18-C.19【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式，2cos(2)cos 22sin 1απαα-=-=-，即可求解.【详解】由3sin 4α=，得cos(2)cos 2απα-=-，得21cos 22sin 18αα-=-= 答案选A【点睛】此题考察诱导公式和倍角公式，记准公式，正确计算是解题的关键.0x y -=的倾斜角是〔〕A.30B.45C.60D.135【答案】B 【解析】【分析】由直线方程求直线的斜率，再根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解.【详解】直线0x y -=的斜率1k =,设直线0x y --=的倾斜角为()0180αα≤<,那么tan 1α=,即45α=，应选B.【点睛】此题主要考察由直线方程求直线的斜率，考察直线的倾斜角与斜率的关系，属于根底题. 6.sin20°cos10°+cos20°sin10°=〔〕A.12B.2C.12-D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用两角和正弦公式计算即可.【详解】sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin 〔20°+10°〕＝sin30°12=，应选：A ．【点睛】此题主要考察两角和差的正弦公式的应用，属于中档题． 7.圆x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心坐标为(－2,3)，D ，E 分别为〔〕 A.4，－6 B.－4，－6C.－4,6D.4,6【答案】A 【解析】【分析】由题得2,322D E-=--=,解之即得D,E 的值. 【详解】圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又该圆的圆心坐标为(－2,3)，所以2,322D E-=--=. 所以D ＝4，E ＝－6．故答案为：A【点睛】此题主要考察圆的一般式方程，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.221:1C x y +=和圆222:6890C x y x y +--+=的公切线有且仅有〔〕条。

高一数学下学期第二次月考试卷

第 1 页，共 4 页第 2 页，共 4 页学校：班级：_______________ 姓名：_______________ 考号：_______________----------------请---------------------不---------------------要---------------------在---------------------密---------------------封---------------------线---------------------内---------------------答---------------------题--------------高一第二学期第二次月考测试题（数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )．A ．15B ．18C ．19D ．232．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )．A ．公差为2的等差数列B ．公差为3的等差数列C ．首项为3的等比数列D ．首项为1的等比数列3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-45．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，则下列关系正确的是 A.222cos C a b c =+-B.222cos C a b c =-+C.222cos 2a b c C ab+-=D.222cos a b c C ab+-=6．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是 A.12B.24C.36D.487．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2220a b c +-<，则△ABC 是A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 钝角三角形8.在△ABC 中，3,1,AB AC ==∠A ＝30︒，则△ABC 的面积等于A.32B.34C.3D.129．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )．A ．4B ．8C ．15D ．3110．等差数列{a n }中，已知a 1＝31，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )．A ．50B ．49C ．48D ．4711．△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若8,60,75a B C =∠=︒∠=︒,则b 等于A.42B.43C.46D.32312.已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( )(A)100101 (B)99101(C)99100 (D)101100二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知x 是4和16的等差中项，则x ＝． 14．数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为______.15．数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+（*n ∈N ）,则它的通项公式是_______.16.一个等比数列前11项和为10，前33项和为60.则前22项和为．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53．（8分） (1)求AC 的长； (2)求∠A 的大小．题号123456789101112答案第 3 页，共 4 页第 4 页，共 4 页----------------请---------------------不---------------------要---------------------在---------------------密---------------------封---------------------线---------------------内---------------------答---------------------题---------------------18、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？19．.根据下列条件，求相应的等差数列{a n }的有关未知数： d=2,n=15,a n=--10,求a 1及S n20.已知等差数列{a n }的前n 项的和记为S n ．如果a 4＝－12，a 8＝－4．（8分） (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及其相应的n 的值；。

四川省广安2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题含答案

广安2024年春高2023级第二次月考数学试题（答案在最后）满分：150分，时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简AB CB CD -+的结果是（）A.DAB.CAC.ACD.AD【答案】D 【解析】【分析】根据向量的加减法法则求解即可.【详解】AB CB CD AB BC CD AC CD AD -+=++=+=，故选：D2.若复数z 满足i 2i z =-，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据向量的除法运算化简，进而可得z 在复平面对应的点为()12--，.【详解】由i 2i z =-得2i=12i iz -=--，故z 在复平面对应的点为()12--，，该点在第三象限.故选：C3.在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且1,45a b A ===︒，B =（）A.30︒B.30︒或150︒C.60︒D.60︒或120︒【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理求得sin B ，结合边的大小关系即可得解.【详解】由正弦定理有sin sin a bA B=1sin 2B=，解得1sin 2B =，注意到b a <，由大边对大角有B A <，所以30B =︒.故选：A.4.如图所示，A B C ''' 是水平放置的ABC 的直观图，//A B y '''轴，//B C x '''轴，1A B ''=，3B C ''=，则ABC 中，AC =（）A.2B.5C.4D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法结合已知条件可知ABC 为直角三角形，求出,AB BC ，再由勾股定理可求出AC 的值.【详解】因为A B C ''' 是水平放置的ABC 的直观图，//A B y '''轴，//B C x '''轴，1A B ''=，3B C ''=，所以由斜二测画法可知，在ABC 中，2,3,AB BC AB BC ==⊥，如图所示，所以AC ===故选：D5.在矩形ABCD 中，AB =，2AD =，E 为线段BC 的中点，F 为线段CD 上靠近C 的四等分点，则AE AF ⋅的值为（）A.4B.8C.92D.5【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算得解.【详解】依题意，以点A 为原点，直线,AB AD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,0),(,2)2A E F ，(2AE AF == ，所以321282AE AF +⋅=⨯=.故选：B6.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1CC 的中点，则异面直线BM 与11A C 所成角的余弦值为（）A.105B.155C.1010D.31010【答案】A 【解析】【分析】根据正方体性质可将BM 平移到与11A C 相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为5.【详解】取1BB 的中点为N ，连接11,NA NC ，如下图所示：利用正方体性质可得1//BN C M ，且1BN C M =，所以可得1BNC M 是平行四边形，即1//BM C N ，所以异面直线BM 与11A C 所成的角的平面角即为11AC N ∠，不妨设正方体棱长为2a ，易知1111,A C A N C N ===；取11A C 的中点为O ，连接ON ，易知11A C ON ⊥，所以1111cos5OCAC NNC∠===.故选：A7.中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取30θ=︒，则下列结论正确的是（）A.正四棱锥的底面边长为48mB.正四棱锥的高为4mC.正四棱锥的体积为2D.正四棱锥的侧面积为2【答案】C【解析】【分析】在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为2a，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.【详解】如图，在正四棱锥S ABCD-中，O为正方形ABCD的中心，SH AB⊥，则H为AB的中点，连接,,SO OH AO，则SO⊥平面ABCD，OH AB⊥，则SHO∠为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为2a ．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，取30θ=︒，∴30SHO ∠=︒，则OH a =，33OS a =，233SH a =．在Rt SAH 中，(2223a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =，故底面边长为()24m ，正四棱锥的高为)123m ⨯=，侧面积为214241223S =⨯⨯⨯⨯=，体积3124243V =⨯⨯⨯=．故选：C ．8.已知ABC 所在平面上的动点M 满足222AM BC AC AB ⋅=- ，则M 点的轨迹过ABC 的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】B 【解析】【分析】先对题设中的等式222AM BC AC AB ⋅=- 进行变形，可得MC MB =，即M 在边BC 的垂直平分线，由此选出正确选项．【详解】()()()222AM BC AC AB AC AB AC AB AC AB BC ⋅=-=+⋅-=+⋅，()20AC AB AM BC ∴+-⋅=，()()0MC MB MC MB ∴+⋅-=，220MC MB -= ，即22MC MB = ，即MC MB =，M ∴在边BC 的垂直平分线上，由三角形外心的定义知，M 点的轨迹过ABC 的外心.故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量()21a =-，，()1,b t =- ，则下列说法正确的是（）A.若a b ⊥，则t 的值为2-B.若//a b，则t 的值为12C.若02t <<，则a 与b的夹角为锐角D.若()()a b a b +⊥-，则a b a b+=- 【答案】AB 【解析】【分析】根据向量共线和垂直的的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可．【详解】对于A ：若a b ⊥ ，则()2110a b t ⋅=-⨯-+⨯= ，解得2t =-，故A 正确；对于B ：若//a b，则211t -=-⨯，解得12t =，故B 正确；对于C ：当12t =时，a 与b 同向，此时a 与b的夹角为0︒，故C 错误；对于D ：若()()a b a b +⊥- ，则()()0a b a b +⋅-= ，即220a b -=，即2222(2)1(1)t -+=-+，解得2t =±，当2t =时，()21a =- ，，()12b =- ，，()33a b +=- ，，()11a b -=--，，显然a b a b +≠- ，当2t =-时，()21a =- ，，()12b =-- ，，()31a b +=-- ，，()13a b -=- ，，此时a b a b +=- ，故D 错误．故选：AB ．10.α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）A.若m n ⊥，m α⊄，n ⊂α，则m α⊥B.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC.若αβ⊥，n ⊂α，则n β⊥D.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥【答案】ABC 【解析】【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合面面平行的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，若m n ⊥，m α⊄，n ⊂α，则m α⊥或m 与α斜交或m 与α平行，该命题错误；对于B ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m 与n 异面，该命题错误；对于C ，若αβ⊥，n ⊂α，则n β⊥或n 与β斜交或n 与β平行，该命题错误；对于D ，若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，该命题正确.故选：ABC ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（）A.三棱锥1B EFG -的体积为定值B.线段1A D 上存在点G ，使1A C ⊥平面EFGC.线段1A D 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACDD.设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以()12,2,2A C =- ，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=--- ，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得()11,1,1n =设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩取21x =,得21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭,平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n设12n kn =,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤ ，不合题意∴线段1B C 上不存在点G ,使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =则sin FG n FG n θ⋅==因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以sin 3θ=≤=所以sin θ的最大值为3．故D 正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若一个圆锥的母线长为4π，则此圆锥的高为___________．【答案】【解析】【分析】利用圆锥的特征及底面积公式计算即可.【详解】设底面半径为r ，结合面积为4π得，2π4πr =，底面圆半径为2r =，所以圆锥的高为h ==.故答案为：13.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos c A C =，a b +=，8ab =，则边c 的值是_________.【答案】【解析】【分析】由sin cos c A C =结合正弦定理化简可求得π3C =，然后利用余弦定理结合a b +=，8ab =可求得结果.【详解】因为sin cos c A C =，所以由正弦定理得sin sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，所以sin C C =，所以tan C =因为(0,π)C ∈，所以π3C =，因为a b +=，8ab =，所以由余弦定理得2222cos c a b ab C=+-2()22cos a b ab ab C =+--21282882=-⨯-⨯⨯=，所以c =故答案为：14.已知A B C ，，为球O 的球面上的三个点，且AB BC ⊥，球心O 到平面ABC ，若球O 的表面积为12π，则三棱锥O ABC -体积的最大值为_________.【答案】3【解析】【分析】取AC 中点D ，得到OD =OC =O ABC -体积表达式，结合基本不等式求解即可.【详解】如下图所示，取AC 中点D ，因为AB BC ⊥，所以AD CD BD ==，即D 是ABC 外接圆圆心，所以球心O 到平面ABC 的距离为OD =因为球O 的表面积为24π12πr =，则球O 的半径r =，即OC =，在直角OCD 中，1CD ==，所以22AC CD ==，设,AB x BC y ==，则22224x y +==，三棱锥O ABC -体积为2231213266x y OD AB AC xy +⎛⎫⋅⋅=≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当x y ==时取等号，此时三棱锥O ABC -体积取得最大值为23.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何的综合问题.关键要找出AC 中点D 是ABC 外接圆圆心，进而结合棱锥体积公式进行计算.本题考查数形结合能力、转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC = ，过D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）.（1）用AB ，AC 表示AD ；（2）若AE AB λ= ，AF AC μ= ，求2λμ+的最小值.【答案】（1）1233AD AB AC =+ （2）83【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据（1）的结论，转化用AE ，AF 表示AD，根据D 、E 、F 三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；【小问1详解】因为2BD DC = ，所以22AD AB AC AD -=- ，化简得1233AD AB AC =+ ；【小问2详解】因为AE AB λ= ，AF AC μ= ，1233AD AB AC =+ ，所以3231A E D A A F μλ=+ ，由图可知0λ>，0μ>又因为D 、E 、F 三点共线，所以12133λμ+=，所以()124448223333333μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当433μλλμ=，即423μλ==时，2λμ+取最小值83.16.已知函数2π()sin(π)sin cos 2f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴．（2）设函数1()()2g x f x =-，若()g x 在(0,)α上恰有2个不同的零点12,x x ，①求α的取值范围；②求12()f x x +的值．【答案】（1）πT =；ππ,Z 28k x k =+∈（2）①7π11π,88⎛⎤⎥⎝⎦；②1【解析】【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简得π1()sin(2+)+242f x x =，从而可求出函数()f x 的最小正周期和对称轴．（2）①由()0g x =先求出()g x 在(0,)+∞上的零点，再由()g x 在(0,)α上恰有2个不同的零点12,x x ，可求出12,x x 和α的取值范围；②直接将12x x +的值代入π1()sin(2+)+242f x x =计算即可.【小问1详解】()()22πsin πsin cos sin cos cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭1112π1sin 2+cos 2++)+222242x x x ==，所以函数()f x 的最小正周期πT =；令ππππ2+π,,Z 4228k x k x k =+=+∈对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈；【小问2详解】①函数1()()2g x f x =-πsin(2+)24x =，由()0g x =，得πsin(2+)04x =，则π2+π,Z 4x k k =∈，得ππ,Z 28k x k =-∈，当0x >时，3π8x =，7π8x =，11π8x =，15π8x =，……，因为()g x 在(0,)α上恰有2个不同的零点12,x x ，所以13π8x =，27π8x =，7π11π88α<≤，即α的取值范围是7π11π,88⎛⎤⎥⎝⎦；②因为13π8x =，27π8x =，所以1254x x π+=所以125π5π1π1()()π)142242242f x x f +==++=+=17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，//BC AD ，22AD AB BC ==，E 是PD 中点.求证：（1）//CE 平面PAB ；（2）AC PD⊥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，进而证得线面平行；（2）由线面垂直得到PC AC ⊥，再由勾股定理的逆定理证得AC CD ⊥，进而证得AC ⊥平面PCD ，从而得证.【小问1详解】取线段AP 的中点F ，连接,EF BF ，,E F 分别为,PD AP 中点，//EF AD ∴，12EF AD =，又//BC AD ，12BC AD =，//EF BC ∴，EF BC =，∴四边形BCEF 为平行四边形，//CE BF ∴，BF ⊂ 平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，//CE ∴平面PAB .【小问2详解】PC ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PC AC ∴⊥；取线段AD 的中点M ，连接CM ，则//AM BC ，AM BC =，又AB BC =，AB AD ⊥，∴四边形ABCM 为正方形，设2AD =，则1AB BC CM AM DM =====，AC ==CD ==，222AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥；又PC CD C = ，,PC CD ⊂平面PCD ，AC ∴⊥平面PCD ，PD ⊂ 平面PCD ，∴AC PD ⊥.18.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是线段1AA的中点，平面α过点1D C E 、、.（1）画出平面α截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；（2）求（1）中截面多边形的面积；（3）平面α截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.【答案】（1）截面见解析，理由或作图步骤见解析（2）92（3）717【解析】【分析】（1）取AB 的中点F ，连接1EF A B CF 、、，利用平行线的传递性可证得1//EF D C ，可知1E F C D 、、、四点共面，再由于1E C D 、、三点不共线，可得出面1EFCD 即为平面截正方体所得的截面；（2）分析可知，四边形1CD EF 为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积；（3）利用台体的体积公式可求得三棱台1AEF DD C -的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果.【小问1详解】如图，取AB 的中点F ，连接1EF A B CF 、、.因为E 是1AA 的中点，所以1//EF A B .在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形，所以11//A B D C ，所以1//EF D C ，所以1E F C D 、、、四点共面.因为1E C D 、、三点不共线，所以1E F C D 、、、四点共面于平面α，所以面1EFCD 即为平面α截正方体所得的截面.【小问2详解】由（1）可知，截面1EFCD 为梯形，EF ==1CD =，1D E ==，同理可得CF =，如图所示：分别过点E F 、在平面1CD EF 内作1EM CD ⊥，1FN CD ⊥，垂足分别为点M N 、，则1D E CF =，1ED M FCN ∠=∠，190EMD FNC ∠=∠=︒，所以1EMD FNC △≌△，则1D M CN =，因为1//EF CD ，1EM CD ⊥，1FN CD ⊥，则四边形EFNM 为矩形，所以，MN EF ==，则11222CD MN D M CN -====，所以2EM ==，故梯形1CD EF 的面积为()11192222S EF CD EM =+⋅=⨯=.【小问3详解】多面体1AEF DD C -为三棱台，21111222AEF S AE AF =⋅=⨯=△，121112222DD C S DD DC =⋅=⨯=△，该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为(11117223323AEF DD C S S AD ⎛++⋅=+⨯= ⎝ ，故剩余部分的体积为717833-=.故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为717.19.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120︒时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120︒；当三角形有一内角大于或等于120︒时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos()()cos21B C B C A +--=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值.【答案】（1）π2A =（2）233-（3）2.【解析】【分析】（1）根据三角函数公式及正弦定理，勾股定理，即可求解；（2）根据费马点定义，等面积法思想，向量数量积的定义，即可求解；（3）根据费马点的性质，余弦定理，基本不等式，即可求解．【小问1详解】cos 2cos 2cos 21B C A +-= ，22212sin 12sin 12sin 1B C A ∴-+--+=，222sin sin sin A B C ∴=+，由正弦定理可得222a b c =+，ABC ∴∆直角三角形，且2A π=；【小问2详解】由（1）可得π2A =，∴三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设||,||,||PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= ，得111122222222xy yz xz ⋅+⋅+⋅=⨯，整理得3xy yz xz ++=，∴1111()()()222233PA PB PB PC PA PC xy yz xz ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯- ；【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，∴2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||PB m PA =，||||PC n PA =，||PA x =，0m >，0n >，0x >，|||||PB PC t PA += ，m n t ∴+=，由余弦定理得22222222π||2cos (1)3AB x m x mx m m x =+-=++，22222222π||2cos (1)3AC x n x nx n n x =+-=++，2222222222π||2cos()3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=，得2222222(1)(1)()n n x m m x m n mn x +++++=++，2m n mn ∴++=，而0m >，0n >，∴22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =时，又2m n m ++=，即1m n ==时，等号成立，又m n t +=，2480t t ∴--≥，解得2t ≥+2t ≤-舍去），故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点点睛；本题第（1）问的关键是结合解三角形知识即可解决，第（2）问的关键是结合费马点定义，把解三角形中的等面积法思想，和向量数量积定义进行综合应用，第（3）问阅读题干理解费马点的性质，把解三角形的余弦定理，进行综合运用，最后利用基本不等式建立关于t 的一元二次不等式.。

广西贺州市贺州第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

广西贺州市贺州第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是（）A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的10．已知m n l ，，为空间中三条不同的直线，a b g ，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A ．若,m m a b g Ç=^，则,a g b g ^^B ．若,m n a a ÌË，则m 与n 为异面直线C ．若,,l m n a b b g g a Ç=Ç=Ç=，且l m P =I ，则P n ÎD ．若,,//m m a b a g ^^，则//b g11．已知锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b，c ，且ABC V 的面积为(1)证明：平面ECD^平面(2)求二面角D EC B--的余弦值．22．设A是如下形式的2行3列的数表，1．D【分析】利用复数的运算，得到i z a b =+的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点(),Z a b ，从而判断出所在象限.【详解】由题得()()213i 1i 1i 3i 3i 1i 3i 342i z =-+=+--=+-+=-，则在复平面内对应的点的坐标为()4,2-，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 2．C【分析】（方法一）由,a b r r 的坐标，求得2a b +r r的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由()2a b b +^r r r化简，再代入,a b r r 得坐标计算即得.【详解】（方法一）由()1,a l =r ，()2,1b =-r ，得()25,2a b l +=-r r ．由()2a b b +^r r r ，得()20a b b +×=r r r，即()()52210l ´+-´-=，解得12l =．故选：C ．（方法二）由()2a b b +^r r r ，得()20a b b +×=r r r，即220a b b ×+=r r r ，将()1,a l =r，()2,1b =-r 代入得，()()221212210l éù´+´-+´+-=ëû，解得12l =．22．(1)0.7(2)1【分析】（1）根据题意，分别求（2）根据题意，结合1-比较得到其中的最小值，。

高一数学下学期第二次月考试题含解析试题 2

上高二中2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 的非负半轴重合，终边过点2(1,P ），那么sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔〕C. 5-D. 【答案】A 【解析】【分析】由三角函数定义得到cos α,然后由诱导公式即可得到答案.【详解】角α的终边过点()1,2P ，那么cosx r α===那么sin cos 2παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，应选：A【点睛】此题考察三角函数定义和诱导公式的应用，属于根底题.tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为〔〕A. ,06π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的对称中心为k π,0k Z 2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可求得函数y 图象的一个对称中心．【详解】由题意，令πk π2x 32+=，k Z ∈，解得k ππx 46=-，k Z ∈，当k 2=时，πππx 263=-=，所以函数πy tan 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭．应选：C ．【点睛】此题主要考察了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.a ，b 满足||1a =，||2b =，()()28a b a b +⋅-=-，那么a 与b 的夹角为〔〕A.2πB.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】将()()28a b a b +⋅-=-变形解出夹角的余弦值，从而求出a 与b 的夹角。

【详解】由()()28a b a b +⋅-=-得2228a a b b -⋅-=-，即22cos 28a a b bθ-⋅-=-又因为1a =， 2b ，=，所以12cos 88θ--=-，所以1cos 2θ=，3πθ= 应选B.【点睛】此题考察向量的夹角，属于简单题。

高一数学下学期第二次月考试题含解析试题

海淀区首都师范大学附属中学2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、单项选择题〔一共40分，每一小题4分，一共10小题〕 1.函数()1log 1a x f x x x +=+〔01a <<〕的图象的大致形状是〔〕 A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，应选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图象的上升(或者下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．()2log 2f x x a x =+-零点的近似值时，假如确定零点所处的初始区间为11(,)42，那么a 的取值范围为〔〕 A. (),2-∞B. 5(,)2+∞C. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5(,2)(,)2-∞⋃+∞【答案】C 【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得．考点：函数零点存在性定理的应用．3.二次函数f 〔x 〕＝x 2+bx +c ，假设对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f 〔x 1〕-f 〔x 2〕|≤6，那么b 的取值范围是〔〕 A. []5,5- B. []4,4-C. []3,3-D. []22-,【答案】C 【解析】【分析】由题意得，当x 1，x 2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．【详解】∵二次函数f 〔x 〕＝x 2+bx +c ＝22b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c ﹣24b ，对称轴x ＝﹣2b ，①﹣2b＜﹣1即b ＞2时，函数f 〔x 〕在[﹣1，1]递增， f 〔x 〕min ＝f 〔﹣1〕＝1﹣b +c ，f 〔x 〕max ＝f 〔1〕＝1+b +c ，故f 〔﹣1〕﹣f 〔1〕＝﹣2b ，|f 〔1〕﹣f 〔﹣1〕|＝|2b |≤6得23b <≤ ，②﹣2b＞1时，即b ＜﹣2时，|f 〔1〕﹣f 〔﹣1〕|＝|2b |≤6得32b -≤<-， ③当﹣1≤﹣2b ≤1，即﹣2≤b ≤2时，函数f 〔x 〕在[﹣1，-2b ]递减，函数f 〔x 〕在[﹣2b，1]递增，∴|f 〔1〕﹣f 〔﹣2b 〕|≤6，且|f 〔﹣1〕﹣f 〔﹣2b〕|≤6，即|24b +b +1|≤6，且|24b ﹣b +1|≤6，解得：﹣3≤b ≤3，又﹣2≤b ≤2，故b 的取值范围是[]3,3- 应选C ．【点睛】此题考察的知识点是二次函数的图象和性质，纯熟掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.4.假设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =<，那么()R A C B =〔〕A. {4,5}B. {3,4,5}C. {1,2,3}D. {1,2}【答案】B 【解析】【分析】先求得R C B ，然后求两个集合的交集.【详解】依题意{}|3R C B x x =≥，故(){}3,4,5R A C B ⋂=，应选B. 【点睛】本小题主要考察补集、交集的概念和运算，属于根底题.5.函数y = 〕 A. 11{|}22x x x ≥≤-或 B. 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11(,)22-D. 1{}2【答案】B 【解析】函数有意义，那么：22410140x x ⎧-≥⎨-≥⎩，求解不等式组可得：2141,2x x =∴=±，据此可得函数的定义域为11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 此题选择B 选项.6.设集合P ＝{m |－1＜m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，那么以下说法正确的选项是A. P 是Q 的真子集B. Q 是P 的真子集C. P ＝QD. P ∩Q ＝∅【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的恒成立，分类讨论，确定集合Q ，在根据集合之间的关系，即可求解. 【详解】当m ＝0时，－4＜0对任意实数x 恒成立；当m≠0时，由mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立可得216160m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得－1＜m ＜0．综上所述，Q ＝{m|－1＜m≤0}，所以P ＝Q ，应选C ．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的恒成立问题的求解及集合关系的断定，其中分类讨论求解一元二次不等式的恒成立问题，得到集合Q 是解答的关键，着重考察了分类讨论思想和推理、运算才能，属于中档试题.7.α是第二象限的角，角β终边经过点(sin ,cos )P αα，那么β为第几象限的角： A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先根据α所在的象限，判断出sin ,cos αα的符号，由此判断出P 点所在象限，进而求得β终边所在象限.【详解】由于α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以P 在第四象限，故β为第四象限角，应选:D.【点睛】本小题主要考察三角函数在各个象限的符号，属于根底题. 8.131log 4a =，154b=，，那么〔〕 A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b c a >>【答案】C【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比拟32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 应选：C.【点睛】此题考察利用指、对数函数的单调性比拟大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比拟大小时，注意数值的正负，对于同为正或者者负的情况可利用中间值进展比拟. 9.正实数a ，b 满足2a b +=，那么12a b+的最小值〔〕 A.32B. 3D. 3+【答案】C 【解析】【分析】化简1212112112()2()()(3)222b aa b a b a b a b a b+=+⨯⨯=+⨯+⨯=++，再利用根本不等式求解. 【详解】121211211211()2()()(3)(3(322222b a a b a b a b a b a b +=+⨯⨯=+⨯+⨯=++≥+=+当且仅当1),2(2a b ==时取等. 应选：C【点睛】此题主要考察利用根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.10.如图，A 、B 两点在双曲线4y x=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，S 阴影＝1，那么S 1＋S 2等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得4xy =，由此求得两个矩形的面积，用总面积减去叠加起来的两个阴影局部的面积，求得12S S +的值. 【详解】∵点A 、B 是双曲线4y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，那么根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于4k =，所以1244126S S +=+-⨯=，应选A.【点睛】本小题主要考察反比例函数的图像与性质，考察矩形面积的计算，属于根底题. 二、填空题〔一共25分，每一小题5分，一共5小题〕(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 一共线，那么x 的值是【答案】2- 【解析】试题分析：a b -(2,2)x =-，由a b -与b 一共线得2(2)x x =--，解得2x =-．考点：向量的一共线．12.假设a 10=12，a m 2，那么m =______．【解析】10521,522a a m ==== 13.如图①是反映某条公交线路收支差额〔即营运所得票价收入与付出本钱的差〕y 与乘客量x 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：给出以下说法：〔1〕图②的建议：进步本钱，并进步票价；〔2〕图②的建议：降低本钱，并保持票价不变；〔3〕图③的建议：进步票价，并保持本钱不变；〔4〕图③的建议：进步票价，并降低本钱．其中所有说法正确的序号是______．【答案】〔2〕〔3〕【解析】【分析】根据题意知图像反响了收支差额y 与乘客量x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当0x =的点说明公司的本钱情况，再结合图像进展说明．【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低本钱而保持票价不变，故〔2〕正确；由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即一样的乘客量时收入变大，即票价进步了，即说明了此建议是进步票价而保持本钱不变，故〔3〕正确. 故答案为〔2〕〔3〕【点睛】此题考察用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进展判断，考察了读图才能和数形结合思想，解题关键是对图形的理解．14.复数2(1+2i)34i-的值是____________.【解析】【分析】利用多项式乘法化简复数的分子，即可得出结果．【详解】复数()234(1+2i)34134i 3434i ii i---+===----．故答案为-1【点睛】此题考察了复数的运算法那么，属于根底题． 15.函数22x y a -=+〔0a >且1a ≠〕恒过定点(),m n ，那么m n +=________________.【答案】5 【解析】【分析】当20x -=时，函数值域与a 没有关系，由此求得恒过的定点(),m n ，并求得表达式的值. 【详解】当20x -=，即2x =时，函数值域与a 没有关系，此时3y =，故函数过定点()2,3，即2m =，3n =，所以235m n +=+=.【点睛】本小题主要考察指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为0的时候，01a =，由此求得恒过的定点，属于根底题. 三、解答题〔一共6小题，一共85分〕()2,,21xf x m x R m =+∈+为常数．〔1〕假设()f x 为奇函数，务实数m 的值；〔2〕判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性的定义予以证明; 〔3〕求()f x 在(],1-∞上的最小值．【答案】〔1〕1m =-〔2〕函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，证明见解析〔3〕()min 43f x m =+ 【解析】试题分析：〔1〕由x ∈R ，函数()f x 为奇函数，那么()00f =，或者根据奇函数的定义可务实数m 的值；〔2〕利用函数单调性的定义，计算()()12f x f x -，判断其符号正负，即可判断并证明()f x 在R 上的单调性；〔3〕由〔2〕易得()f x 在(],1-∞上的最小值．试题解析：〔1〕法一：由函数()f x 为奇函数，得()00f =即10m +=，所以1m =-法二：因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=∴()()22222121212112x x x x f x f x m m m -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭ ()2?212?2222220122112x x x x xm m m +⎛⎫=++=+=+= ⎪+++⎝⎭，所以1m =-〔2〕证明：任取12,x x R ∈，且12x x <那么有()()()()()21122112122?2222222121212121?21x x x x x x x x f x f x m m -⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∵12x x <，∴12220x x -<，∴2210x +>，∴1210x +>，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >所以，对任意的实数m ，函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数〔3〕∵函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数， ∴函数()f x 在(],1-∞-上为减函数， ∴当1x =-时，()()min 413f x f m =-=+ 考点：函数的单调性，奇偶性，以及函数的最值17.有一块铁皮零件，其形状是由边长为30cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE ，其中8,AF cm =6BF cm =，如下图.如今需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ，使得矩形相邻两边分别落在,CD DE 上，另一顶点P 落在边CB 或者BA 边上.设DM xcm =，矩形DMPN 的面积为2ycm .〔1〕试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；〔2〕试问如何截取〔即x 取何值时〕，可使得到的矩形DMPN 的面积最大？【答案】〔1〕230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，定义域(0,30]D =〔2〕先在DE 上截取线段934DM cm =，然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ，再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ，最后沿MP 与PN 截铁皮，所得矩形面积最大. 【解析】【分析】〔1〕分类讨论,当点P 分别落在线段CB 或者线段BA 上.根据矩形面积即可求得y 关于x 的函数解析式及其定义域.〔2〕根据〔1〕由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时x 的值,即可知截取矩形的方式.【详解】〔1〕根据题意并结合图形,可知： ①当点P 落在线段CB 上即024x <≤时,30y x =； ②当点P 在线段BA 上,即2430x <≤时,由PQ BFQA FA=, 得4403QA x =-. 于是y DM PM =⋅DM EQ =⋅24623x x =-. 所以230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩定义域(0,30]D =.〔2〕由〔1〕知,当024x <≤时,0720y <≤；当3040x <≤时,24623y x x =-2493288328833444x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当934x =时,等号成立. 因此,y 的最大值为28834. 答：先在DE 上截取线段934DM cm =,然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ,再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ,最后沿MP 与PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为228834cm . 【点睛】此题考察了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于根底题.18.函数22()cos sin cos =-+f x x x x x .〔I 〕求12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值和函数()f x 的最小正周期；〔II 〕求()f x 的单调递减区间及最大值，并指出相应的x 的取值集合.【答案】〔I 〕π；〔II 〕|6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用正弦函数的周期公式求出最小正周期；(Ⅱ)根据正弦函数函数的图象和性质,即可求函数()f x 的最大值,利用正弦函数的单调性，解不等式可得单调增区间.【详解】〔I 〕()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，2sin 2sin 12663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数()f x 的最小正周期22T ππ==；〔II 〕由〔I 〕知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最大值为2，相应的x 的集合为|6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭, 3222,62k x k k Z ππππ≤+≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题主要考察三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考察计算才能,此类题目的解答,关键是根本的三角函数的性质的掌握纯熟程度.19.解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或者1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得2x a≥或者1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭.当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤；当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意；当21a <-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或者1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.【点睛】此题考察含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原那么，同时最后记得把求得的结果进展综合表述. 20.()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．〔1〕求函数()g x 的定义域；〔2〕求函数()g x 的最大值及此时x 的值．【答案】〔1〕[1]4，；〔2〕4x =时，函数有最大值13．【解析】【分析】〔1〕由()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求〔2〕由可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：〔1〕()42log [116]f x x x =+∈，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，；〔2〕()42log ,[116]f x x x =+∈，，()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，那么[01]t ∈，，而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增，当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】此题主要考察了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，此题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．21.设:p “关于x 的不等式2504x ax a -++>的解析为R 〞，:q “函数()12x f x x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()1,2-上有零点〞. 〔1〕假设q 为真，求a 的取值范围；〔2〕假设p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围.【答案】(1)734a -<<.(2)7(,1][3,5)4--⋃. 【解析】试题分析：〔1〕由命题q 为真，那么(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，即可求解实数a 的取值范围.〔2〕根据p q ∧为假，p q ∨为真，得,p q 中一真一假，分类讨论即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：〔1〕函数()f x 是增函数，所以假设q 为真，那么()()1020f f ⎧-<⎪⎨>⎪⎩，解得734a -<<. 〔2〕假设p 为真，那么25404a a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即2450a a -+<，解得15a -<<，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以,p q 中一真一假，假设p 真q 假，那么35a ≤<；假设p 假q 真，那么714a -<≤-，综上，a 的取值范围是][7,13,54⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一年级下期第二次月考数学试题卷2

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