第八章 最小二乘法与组合测量
最小二乘法基本原理
最小二乘法基本原理
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计数据中的未知参数。
其基本原理是通过最小化实际观测值与估计值之间的残差平方和，来找到一个最佳拟合曲线或者平面。
在进行最小二乘法拟合时，通常会假设观测误差服从正态分布。
具体而言，最小二乘法寻找到的估计值是使得实际观测值与拟合值之间的差的平方和最小的参数值。
也就是说，最小二乘法通过调整参数的取值，使得拟合曲线与实际观测值之间的误差最小化。
在回归分析中，通常会假设数据服从一个特定的函数形式，例如线性函数、多项式函数等。
根据这个假设，最小二乘法将找到最合适的函数参数，使得这个函数能够最好地拟合数据。
最小二乘法的步骤包括以下几个方面：
1. 根据数据和所假设的函数形式建立回归模型；
2. 计算模型的预测值；
3. 计算实际观测值与预测值之间的残差；
4. 将残差平方和最小化，求解最佳参数值；
5. 利用最佳参数值建立最优拟合曲线。
最小二乘法的优点是简单易用，并且在经济学、统计学和工程学等领域都有广泛应用。
但需要注意的是，最小二乘法所得到的估计值并不一定是真实参数的最优估计，它只是使得残差平方和最小的一组参数估计。
因此，在使用最小二乘法时，需要对模型的合理性进行评估，并考虑其他可能的回归分析方法。
最小二乘法的拟合
一、最小二乘法与最小一乘法1.什么时候用最小二乘法在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。
当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程.例如，在现实世界中，这样的情形大量存在着：两个变量X和Y（比如身高和体重）彼此有一些依赖关系，由X 可以部分地决定Y的值，但这种关系又是不确定的.人们常常借助统计学中的回归模型来寻找两个变量之间的关系，而模型的建立当然是依据观测数据.首先通过试验或调查获得x和Y的一组对应关系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(x n，Y n)，然后回答下列5个问题：1. 这两个变量是否有关系？(画出散点图，作直观判断)2. 这些关系是否可以近似用函数模型来描述？（利用散点图、已积累的函数曲线形状的知识和试验数据，选择适当的回归模型，如一元线性模型y=b0＋b1x，二次函数模型y=b0＋b1x＋b2x2等）3. 建立回归模型.4. 对模型中的参数进行估计，最小二乘法是这些参数的一种常用估计方法.5. 讨论模型的拟合效果.在上述第3步中，设所建立的回归模型的一般形式是，其中Y称为响应变量，x称为解释变量或协变量；是一个由参数决定的回归函数；是一个不可观测的随机误差.为了通过试验数据来估计参数的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的.由的估计值决定的方程称为经验回归方程或经验方程.教科书中涉及的回归模型是最简单的一元线性模型Y=b0+b1x+，此时模型的拟合效果可以通过Pearson相关系数来描述。
事实上，在线性回归模型中可以证明相关指数等于相关系数的平方.2.什么是最小二乘法思想简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小.例如，对于回归模型，若，…，为收集到的观测数据，则应该用来估计，这里是的估计值。
线性参数的最小二乘法处理
W1、 +1″, +10″, +1″, +12″,
W2、 +6″, +4″,
W3、
W4„
Wn
+2″ , -3″ , +4″ +12″, +4″ +3″, +4″
+12″, +12″, +12″
W12
2
12
W22
2 2
W32
32
最小值
3
即 ∑（PW2）=（P1W21）+（P2W22）+（P3W32）
的测量结果 yi 最接近真值，最为可靠，即： yi=∠i+Wi 由于改正数 Wi 的二次方之和为最小，因此称为最小二乘法。 二 最小二乘法理 现在我们来证明一下，最小二乘法和概率论中最大似然方法（算术平均值方法） 是一致的。 （一）等精度测量时 （1）最大似然方法 设 x1,x2„xn 为某量 x 的等精度测量列，且服从正态分布，现以最大似然法和最小 二乘法分别求其最或是值（未知量的最佳估计量） 在概率论的大数定律与中心极限定理那一章我们讲过，随着测量次数的增加，测 量值的算术平均值也稳定于一个常数，即
2 i 1
n
曾给出： vi2
i 1
n
n n 1 n 2 ，由此可知 x vi2 / i2 为最小，这就是最小二乘法的基本 i n i 1 i 1
含义。引入权的符号 P ，最小二乘法可以写成下列形式：
Pv
i 1
n
2 i i
最小
在等精度测量中， 1 2 ... ， P1 P2 ... Pn 即： 最小二乘法可以写成下列形式：
最小二乘法
最小二乘法原理
若随机误差为正态分布，且不存在系统误差，对一 个量 X进行等权n次测量，得到数据x1,x2,…xn时
x
n
xi
i 1
n
n
n 2
u x
2 v i
n
nn 1
i 1
上式表明， vi2 越小，不确定度越小，所得x测量结果的可 信赖程度越高。当 v 为最小时，所得的结果可信赖程度
i 1 i i 1
最高。
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值 （n次）中，寻找t个最佳估计值（n ＞t ） 的问题。
待测量： X 1 , X 2 ,..., X t
直接测量量： Y1 , Y2 ,..., Yn
, Xt ) l2 Y2 f 2 ( X 1 , X 2 , , X t ) M ln Y f ( X , X , , X ) n n 1 2 t
uD 2
对高度h 的测量不确定度影响显著的因素主要有： 高度的测量重复性引起的不确定度 uh1 测微仪示值误差引起的不确定度
uh 2
4. 不确定度评定：评定不确定度分量，并给出其数 值和自由度 （1）计算直径D的标准不确定度 uD
测量重复性引起的标准不确定度分量 uD1
uD1 sD
sD 6
yi fi x1, x2 ,
即
vi li fi x1, x2 , , xt
, xt
测量数据 l1 , l2 ,, ln 的残差为 vi li yi
称为残差方程。
实例：取6次不同温度，测定该不同温度下铜棒的长度 共6次，测量数据如下表，试估计0℃时的铜棒长度l0和铜 的线膨胀系数α。
测量数据处理的完整步骤
多参数最小二乘法
多参数最小二乘法
多参数最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于拟合数据点与数学模型之间的关系。
其基本原理是通过最小化误差平方和来确定模型参数。
误差平方和定义为所有数据点的预测值与实际值之差的平方和。
多参数最小二乘法的目标是找到能够使误差平方和最小的模型参数。
在实际应用中，多参数最小二乘法可以用于拟合各种不同类型的模型，例如线性模型、多项式模型、指数模型等。
这种方法的优点包括：简单且易于实现；对于线性模型，具有闭式解且计算速度较快；对数据中的噪声有一定的鲁棒性。
但也存在缺点，如对异常值敏感，可能会导致拟合结果不准确；只能用于线性模型，对于非线性模型需要进行线性化处理；在数据量较大时，计算复杂度较高。
为优化多参数最小二乘法，可以对数据进行预处理，去除异常值或使用鲁棒性更好的方法处理异常值；使用非线性回归方法对非线性模型进行拟合；引入正则化项来控制模型的复杂度，防止过拟合；使用矩阵运算和并行计算等技术，提高计算效率；通过交叉验证选择最优的模型参数，提高模型的泛化能力。
第8章 最小二乘法与组合测量
x1 x1 1 0.2777, x2 0.4613, x3 0.1918
1 1
2 0.0363
3 0.0418
主菜单
结束
8-19
误差理论与数据处理
表8-2
第八章 最小二乘法
6次迭代 结果
迭代 次数 0 1 2 3 4 5
1
0 -0.0473 -0.0713 -0.0472 0.00198 -0.00113
一、正规方程组
主菜单
结束
8-8
误差理论与数据处理
第八章 最小二乘法
线性测量方程组
线性测量方程组的一般形式为
yi ai1 x1 ai 2 x2 ait xt aij x j
j 1 t
矩阵形式
Ax = y
v1 v v 2 vn
迭 代
整理得正规方程组
328.254 190.785 1 1 22.4201 190.785 113.566 1 13.117 2 1 2 0 1 3
解出
1 0.0473
1 0
误差理论与数据处理
第八章 最小二乘法
第8章 最小二乘法与组合测量
作者：刘兆平 部门：机电设备系
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8-1
误差理论与数据处理
第八章 最小二乘法
教学目标
最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学 科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和 计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数 据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手 段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学 习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在 组合测量问题的数据处理中的应用 。
最小二乘法
数值分析作业最小二乘法最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得最佳”结果或最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y= a+ bx,对其进行n(n> 2)次观测而获得n对数据。
若将这n对数据代入方程求解a，b之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法，其基本思想就是寻找最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所说,最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”最小二乘法创立的历史过程充满着丰富的科学思想,这些对今日的数学创造仍有着重要的启示意义。
本文旨在全面认识最小二乘法的历史系统发育过程以及创立者的思路。
一先驱者的相关研究天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。
丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。
“天文学自古代至18 世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均,以及参数模型中的种种估计方法,以最小二乘法为顶峰。
” 这也说明了最小二乘法的显著地位。
有关统计计算思想记载的著作要首推天文学家罗杰柯茨的遗作,即1715年其所发论文中所蕴含的统计方法,亦即对各种观测值赋予加权后求其加权平均。
尽管当时得到认可,然而事实证明如此计算的结果不太精确。
1749年,欧拉(L. Euler,1707—1783)在研究木星和土星之间相互吸引力作用对各自轨道影响时,最后得到一个含8个未知量75个方程的线性方程组。
欧拉的求解方法繁杂而奇特,只能看作是一次尝试。
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法是一种在测量数据处理中广泛应用的方法，其基本思想是通过最小化误差平方和来估计未知参数。
在实际测量中，由于各种因素的影响，测量数据往往存在一定的误差。
为了得到更准确的结果，我们需要对这些数据进行处理，而最小二乘法就是一种非常有效的处理方法。
最小二乘法的核心思想是最小化误差平方和，即使得所有测量值与估计值之差的平方和最小。
这种方法可以应用于各种类型的数据处理，包括线性回归、曲线拟合、滤波等。
在线性回归中，最小二乘法可以用来估计回归系数，从而得到一条最佳拟合直线。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来估计曲线的参数，从而得到一条最佳拟合曲线。
测量平差最小二乘法的优点在于其简单性和通用性。
这种方法不需要对误差分布做出任何假设，只需要最小化误差平方和即可得到估计结果。
此外，最小二乘法还可以通过各种优化算法来实现，如梯度下降法、牛顿法等，从而提高了计算效率。
然而，测量平差最小二乘法也存在一些局限性。
首先，它对异常值非常敏感，因为异常值会对误差平方和产生很大的影响。
其次，当测量数据的误差分布不满足正态分布假设时，最小二乘法的估计结果可能会产生偏差。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的数据处理方法。
总之，测量平差最小二乘法是一种广泛应用的测量数据处理方法，其优点在于简单性和通用性。
然而，在实际应用中，我们需要注意其局限性，并根据具体情况选择合适的数据处理方法。
【文献综述】最小二乘法的原理和应用
文献综述数学与应用数学最小二乘法的原理和应用一、国内外状况天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。
有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。
他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。
勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。
从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。
要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求解a 、b 之值则无确定解。
最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用1．引言最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。
据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。
同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。
如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。
拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。
正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。
在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。
到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。
最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。
2. 最小二乘法所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小.用数学公式表示为：21022)()(mini i i i ix b b Y Y Y e 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例.iiix B B Y 10（一元线性回归方程）由于总体回归方程不能进行参数估计，我们只能对样本回归函数来估计即：i iie x b b Y 10)...2,1(n i从上面的公式可以看出：残差i e 是i Y 的真实值与估计值之差，估计总体回归函数最优方法是，选择10,B B 的估计量10,b b ，使得残差i e 尽可能的小.总之，最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y 的估计值与真实值差的平方和为最小，这种确定10,b b 的方法叫做最小二乘法。
采矿CAD智慧树知到课后章节答案2023年下太原理工大学
采矿CAD智慧树知到课后章节答案2023年下太原理工大学太原理工大学第一章测试1.CAD技术是一种人机一体化融合技术。
A:错 B:对答案:对2.采矿CAD软件通过编制绘图程序可以实现参数化绘图。
A:对 B:错答案:对3.移动硬盘、U盘等移动存储设备属于外存储设备。
A:对 B:错答案:对4.选择CAD系统时无需考虑系统的开放性与可移植性。
A:错 B:对答案:错5.显示器属于（）设备。
A:输入 B:打印 C:输出 D:软件答案:输出6.下列哪个不属于CAD系统的硬件系统（）A:主机 B:绘图仪 C:鼠标 D:Windows操作系统答案:Windows操作系统7.根据CAD系统中执行的任务和服务的对象不同，可将软件系统分为系统软件、支撑软件和（）三个层次。
A:绘图软件 B:图像软件 C:编辑软件 D:应用软件答案:应用软件8.下列软件哪个不属于采矿CAD软件（）A:采煤工艺设计 B:井田开拓设计 C:巷道支护设计 D:室内装饰设计答案:室内装饰设计9.以下属于CAD系统基本功能的是（）。
A:输入输出功能 B:交互功能 C:图形显示功能 D:网络功能答案:输入输出功能;交互功能;图形显示功能10.利用采矿CAD软件绘制矿山图纸有利于（）A:提高图纸设计质量 B:缩短设计周期 C:减少生产事故 D:生产部门之间的数据共享答案:提高图纸设计质量;缩短设计周期;生产部门之间的数据共享第二章测试1.计算机处理问题所经历的过程分为两步：第一步建立数学模型；第二步把数学模型程序化，变成二进制信息处理问题，存入计算机。
A:错 B:对答案:对2.设计要求和设计参数之间的函数关系，称为设计函数。
A:对 B:错答案:对3.采矿设计资料的程序化就是将设计函数程序化。
A:错 B:对答案:对4.线图公式化可以按照（）方法处理，然后再进行程序化。
A:从线图上用人工的方法或数字化仪读取离散结点数据，以分段折线的方式写出各段的线性方程，存入计算机供设计时调用。
误差理论及数据处理 复习题及答案
《误差理论与数据处理》一、填空题（每空1分，共20分）1．测量误差按性质分为 _____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。
答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段2．随机误差的统计特性为 ________、________、________和________。
答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。
答案：04″，3.1*10-54．在实际测量中通常以被测量的、、作为约定真值。
答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值5．测量结果的重复性条件包括：、、、、。
测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。
5g-0.1mg7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。
标准差极限误差8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。
引用9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。
0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15)10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。
平均值11．替代法的作用是_________，特点是_________。
消除恒定系统误差，不改变测量条件12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。
已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。
误差理论与数据处理 复习题及答案
《误差理论与数据处理》一、填空题（每空1分，共20分）1．测量误差按性质分为 _____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。
答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段2．随机误差的统计特性为 ________、________、________和________。
答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。
答案：04″，3.1*10-54．在实际测量中通常以被测量的、、作为约定真值。
答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值5．测量结果的重复性条件包括：、、、、。
测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。
5g-0.1mg7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。
标准差极限误差8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。
引用9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。
0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15)10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。
平均值11．替代法的作用是_________，特点是_________。
消除恒定系统误差，不改变测量条件12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。
已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。
三年级常用的测量方法
三年级常用的测量方法
1、直接测量、间接测量和组合测量
直接测量是将被测量与标准量进行比较，得到的测量结果。
间接测量是测得与被测量有一定函数关系的量，然后运用函数求得被测量。
组合测量是对若干同名被测量的不同组合形式分别测量，然后用最小二乘法解方程组，求得被测量。
2、绝对测量、相对测量
绝对测量是所用量器上的示值直接表示被测量大小的测量。
相对测量是将被测量同与它只有微小差别的同类标准量进行比较，测出两个量值之差的测量法。
3、接触测量、非接触测量
这是从对被测物体的瞄准方式不同加以区分的。
接触测量的敏感元件在一定测量力的作用下，与被测物体直接接触，而非接触测量敏感元件与被测对象不发生机械接触。
4、单项测量与综合测量
单项测量是对多参数的被测物体的各项参数分别测量，综合测量是对被测物体的综合参数进行测量。
5、自动测量和非自动测量
自动测量是指测量过程按测量者所规定的程序自动或
半自动地完成。
非自动测量又叫手工测量，是在测量者直接操作下完成的。
6、静态测量和动态测量
静态测量是对在一段时间间隔内其量值可认为不变的被测量的测量。
动态测量是为确定随时间变化的被测量瞬时值而进行的测量。
7、主动测量与被动测量
在产品制造过程中的测量是主动测量，它可以根据测量结果控制加工过程，以保证产品质量，预防废品产生。
被动测量是在产品制造完成后的测量，它不能预防废品产生，只能发现边挑出废品。
matlab组合测量的最小二乘法处理
matlab组合测量的最小二乘法处理最小二乘法是一种常用的数理统计方法，用于处理测量数据的组合。
在MATLAB中，可以使用最小二乘法来通过拟合一个数学模型来处理测量数据。
最小二乘法的目标是找到一条曲线（或者更一般的，一个函数），该曲线与样本数据点的残差的平方和最小。
这样做的目的是使拟合曲线尽可能地接近样本数据点，同时最小化拟合误差。
在MATLAB中，实现最小二乘法处理的一种常用方法是使用"polyfit"函数。
这个函数可以拟合一组数据点的多项式，并且返回多项式的系数。
具体的实现步骤可以按照以下方式进行：1. 准备测量数据点的x和y坐标。
2. 根据数据点的x和y坐标，使用"polyfit"函数拟合一个多项式。
例如，使用"polyfit(x, y, n)"来拟合一个n阶的多项式。
3. 根据拟合的多项式系数，可以计算拟合曲线的y值，用于与实际数据点进行比较。
4. 计算实际数据点与拟合曲线之间的残差，即实际y值与拟合曲线y 值之间的差值。
5. 计算残差的平方和，并将其最小化。
这可以通过调整拟合多项式的阶数来实现。
6. 根据最终调整的多项式系数，得到拟合曲线的方程。
需要注意的是，最小二乘法处理只能提供与拟合曲线最接近的预测结果，而无法保证其与实际测量值完全吻合。
此外，在使用最小二乘法处理时，还需要注意数据的误差来源，以及可能存在的附加假设和限制条件。
综上所述，可以使用MATLAB中的最小二乘法处理来拟合测量数据，并得到最佳拟合曲线的方程。
这一方法可以在实际数据分析和建模中起到重要的作用。
1.组合测量
0
1
2
3
x1
x2
x3
L1
L2
L4
L6
L3 L5
6
【解】 列出测量残差方程组
v1 L1 x1 v2 L2 x2 v3 L3 x3
v4 L4 x1 x2 v5 L5 x2 x3 v6 L6 x1 x2 x3
i 1
i 1
其中 为x最* 佳估计值
矩阵最小二乘法：
vT v L AxT L Ax min
vTv
若得最小值，则须：
0
x
即有： x AT A 1 AT L
8
解出
xˆ C1AT L AT A 1 AT L
0.500 C1 0.250
0
0.250 0.500 0.250
1.0125
0.985
ห้องสมุดไป่ตู้
1.020
L
2.016
1.981
3.302
1 0 0
0 1 0
0 0 1 A 1 1 0
0 1 1
1 1 1
v1
v2
v
vv34
v5
v6
写成矩阵形式： L - Ax = v
7
➢ 最小二乘法基本原理
即残余误差的平方和最小
n xi x* 2 n vi2 min
组合测量
制作者：
讲解者
1
➢ 测量方法的分类
直接测量： 它是指直接从测量仪表的读数来获取被测量的量值。
间接测量： 利用直接测量的量与被测量之间的函数关系，间接得到
被测量的量值。
实验二 组合测量的最小二乘法处理
实验二组合测量的最小二乘法处理一、实验目的1．了解组合测量的意义及方法；2．掌握组合测量的数据处理过程及其误差处理的特点；3．掌握LabVIEW 软件在误差处理方面的应用技术。
二、实验内容1．用普通万用表分别测量三个电阻的电阻值，并与其高精度测量值比较。
2．采用组合测量方法测得三只电阻的电阻值，看其经最小二乘法处理后精度是否有所提高。
3．基于LABVIEW 语言编写组合测量数据处理和精度估计程序。
三、实验设备1．三只电阻值不同的电阻；2．配有LabVIEW 软件的计算机一台；3．万用表两只（一只高精度的，一只普通表）。
四、实验原理1．组合测量方法及特点组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量，然后采用最小二乘法对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出精度估计。
它是最小二乘法在精密测试中的重要应用，有利于减小随机误差的影响，提高测量精度。
设组合测量方程（一般是等精度测量）为其中，为组合量测得值，是待估计量。
根据最小二乘法的矩阵形式，我们可以得到的估计值：并且得估计值的标准差：其中，，它是直接测量所得测量数据的精度。
2．LabVIEW 简介LabVIEW 是一个基于G（Graphic）语言的图形编程开发环境，包括三个部分：前面板、框图程序和图标连接器。
前面板主要用于设置输入量和观察输出量，模拟真实仪器的前面板；每一个前面板都有相应的框图程序相对应，框图程序用图形编程语言编写，可以把它理解成传统程序的源代码；框图中的部件都用连线连接，以定义框图内数据流动方向。
五、实验步骤1．设三只被测电阻分别为。
先用普通万用表测得组合量值，记入下表：2．用最小二乘法求各电阻测量的估计值及其精度，用LabVIEW编写如下处理程序（即框图程序）。
3．用高精度万用表对三只电阻进行直接测量，测得4．思考（1）用普通万用表测得的三个电阻值，经最小二乘法处理后其精度提高了吗？（2）组合测量在实际应用中有什么意义？六、实验要求1．记录电阻测量实验数据，并让老师检查。
组合测量
• 相邻牙在中径线上对应两点间的轴向距离称为螺 距P，在螺纹全长上，任意单个实际螺距对公称螺 距之最大差称为单个螺距误差∆P。单个螺距误差 是螺距累积误差、分螺距误差测量评定的基础。
• 螺距误差反映了丝杠精度，因此螺距测量是丝杠 测量的重点。为了减小随机误差对丝杠螺距误差 测• 最后，对采用组合测量法测得的数据，利用最小 二乘法进行处理即可。
• 组合测量法是从多次测量数个被测螺距的若干种 不同函数组合，求得被测螺距的最佳值。该法具 有测量精密度高、工作量少的优点，其测量误差 小于单次测量的传统测量法。因此采用组合测量 法可以提高丝杠螺距误差的测量精度。
组合测量示意图
• 可知，总共测量次数为15次。对螺距P1共测5次， 螺距P2共测8次，螺距P3共测9次，螺距P4共测8次， 螺距P5共测5次，即对于单个螺距而言，最少者测 5次，最多者测9次。 • 若不采用组合测量，且要提高测量精度，以最少 次数5次计算，就要对每个螺距各重复测量5次， 五个螺距共需测25次，这样就比采用组合测量多 测10次。
?若不采用组合测量且要提高测量精度以最少次数5次计算就要对每个螺距各重复测量5次五个螺距共需测25次这样就比采用组合测量多测10次
丝杠螺距的组合测量
152198 赵原 152163 盛奕达 152203 刘金成
丝杠
• 丝杠是应用很广泛的机械零件，它主要作为传动 和定位元件，有的还作为测量的标准元件。丝杠 的加工质量，直接影响到机械的传动精度、定位 精度、分度精度、加工精度和测量精度，对丝杠 的加工精度和测量精度也就相应地提高了。因此 研究精密丝杠的测量方法已成为测量技术中的一 项重要内容。
• 所谓组合测量，是对一组相互之间有依赖关系的 被测螺距在进行一系列间接测量后，再从一组函 数关系中求解各被测螺距的实际值。
最小二乘法算法
最小二乘法算法概述最小二乘法是一种常见的回归分析方法，用于估计线性回归模型中的未知参数。
该方法通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和来求解最优参数。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于数据拟合、回归分析、信号处理等领域。
算法原理线性回归模型最小二乘法的基础是线性回归模型，该模型基于以下假设： - 目标变量与自变量之间存在线性关系； - 自变量的观测值是准确的，不存在测量误差； - 目标变量的观测值是独立的，并且具有相同的方差。
线性回归模型可以表示为：y=β0+β1x1+β2x2+...+βn x n+ε其中，y是目标变量，x1,x2,...,x n是n个自变量，β0,β1,β2,...,βn是对应的参数，ε是误差项。
最小二乘法优化目标最小二乘法通过最小化残差平方和来求解最优参数。
假设有m个观测样本(x i1,x i2,...,x in,y i)，对于每个观测样本，可以计算出预测值y î，即：y î=β0+β1x i1+β2x i2+...+βn x in残差r i定义为观测值y i减去预测值y î，即r i=y i−y î。
那么，残差平方和RSS可以表示为：mRSS=∑(y i−y î)2i=1最小二乘法的目标是找到使RSS最小的参数值β0,β1,β2,...,βn。
最小二乘法解法最小二乘法的求解可以通过求解正规方程组来实现。
对于线性回归模型，正规方程组的解为：[β0̂β1̂β2̂...βn̂]=(X T X)−1X T y其中，X是一个m行n+1列的矩阵，每行为观测样本的自变量取值，第一列为全1向量；y是一个m行1列的向量，每行为观测样本的目标变量取值。
算法流程1.准备数据：收集观测样本的自变量和目标变量；2.构建设计矩阵X：将自变量和全1向量组合成一个设计矩阵；3.计算参数估计值：通过计算(X T X)−1X T y求解参数的最优估计值；4.进行预测：利用估计的参数进行目标变量的预测；5.评估模型：计算残差平方和RSS，分析模型的拟合程度。
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15
最小二乘法
第三节 非线性参数的最小二乘法
测量残差方程组 取 x 的初始似值 x 非线性函数
yi = ϕi ( x ) + vi
(0)
x = ( x1 , x2 ,⋯ , xt )
泰勒展开
j=t
yi′ = yi − ϕ i ( x )
∂ϕi yi = ϕi ( x ) + ∑ j=1 ∂x j (0)
(0)
ε j + vi
x
(0)
yi′ = ai1ε1 + ai 2ε 2 + ⋯ + ait ε t + vi
按线性参数最小 二乘法解得 ε = (ε1 , ε 2 ,⋯ , ε t )
x (1) = x (0) + ε
迭代直 至 ε满 足精度 为止
16
最小二乘法
【例8-2】
在例8-1的基础上，再增加一次测量串联电容 x1 x2 / ( x1 x2 ) ， 测得 y5 = 0.14 。试用最小二乘法求 x1 , x2 , x3 及其标准偏差。
即
x1 = 0.325, x2 = −0.425, x3 = 0.150
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最小二乘法
标准差的计算
代入残差方程组，计算
v1 = v2 = −v3 = v4 = −0.025 2 2 2 2 v1 + v2 + v3 + v4 = 0.0025
0.0025 s= 4−3 σ x1 = s ⋅ d11 = 0.0433 σ x 2 = s ⋅ d 22 = 0.0433
待解的数学模型
x1 x2 x1
= 0.3 ( y1 ) = −0.4 ( y2 ) + x3 = 0.5 ( y3 ) x2 + x3 = −0.3 ( y4 )
7
最小二乘法
一、正规方程组
8
最小二乘法
线性测量方程组
线性测量方程组的一般形式为
yi = ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋯ + ait xt = ∑ aij x j
迭 代
方程组
328.254 190.785 1 ε1 −22.4201 190.785 113.566 1 ε = −13.117 2 1 1 2 ε 3 0
出
ε1 = −0.0473
1 0
( ( x1( ) = x1( ) + ε1 = 0.2777, x2 ) = −0.4613, x3 ) = 0.1918
i = 1, 2,⋯ , n
y - Ax = v
9
最小二乘法
正规方程组
最小二乘法原理式
( y - Ax )T ( y - Ax ) = Min
不等权
( y - Ax )T w( y - Ax ) = Min
求导
AT Ax = AT y 正规方程组
ˆ 正规方程组解 x = C −1 AT y
AT wAx = AT wy
18
最小二乘法
写出线性化残差方程组
0 1 0 1 1 0 1 0 18.0625 10.5625 0 −0.025 − v1 0 ε1 −0.025 − v2 1 ε 2 = −0.025 − v3 1 ε 3 0.025 − v −1.24125 − v5 0
0 0 1 0 0 1 1 1
v1 v v = 2 v3 v4
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矩阵形式
y - Ax = v
最小二乘法
正规方程组
A Ax = A y
T T
0.3 1 0 1 0 0.8 0 1 0 1 −0.4 = −0.7 T A y= 0.5 0 0 1 1 −0.3 0.2
x1 x2 ( x1 + x2 )
17
最小二乘法
对前４个线性测量方程组，按例8-1求出解，作为初 x (0) = ( 0.325, − 0.425, 0.150 ) 次近似解 在 x (0) = ( 0.325, − 0.425, 0.150 ) 附近，取泰勒展开的一阶近似
′ y1 = y1 − ϕ1 ( x (0) ) = 0.3 − 0.325 = −0.025
最小二乘法
第8章 最小二乘法与组合测量
1
最小二乘法
教学目标
最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科 领域得到广泛应用的数学工具。 随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成 为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必 不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。 通过本章的学习，用户可以掌握最小二乘法的基本 原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用 。
【解】
列出测量残差方程组
0.3 −0.4 y= 0.5 −0.3
ν 1 = 0.3 − x1 ν 2 = −0.4 − x2 ν 3 = 0.5 − ( x1 + x3 ) ν 4 = −0.3 − ( x2 + x3 )
1 0 A= 1 0
j =1 t
矩阵形式
Ax = y
v1 v v = 2 ⋮ vn
含有随机误差
测量残差方程组
yi − ∑ aij x j = vi
j =1 t
a11 a12 ⋯ a1tt 1 y1 x1 y x a21 a22 ⋯ a2t 2 y= x = 2 A= ⋮ ⋮ ⋯⋯⋯⋯⋯ yn xt an1 an 2 ⋯ ant
第二节 线性参数的最小二乘法
6
最小二乘法
组合测量基本概念
组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值， 组合测量 从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被 测量的最佳估计值。
如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量
x1
y1 y3
x2
y2
x3
y4
待求量 测得值
为了获得更可靠 的结果，测量次 数总要多于未知 参数的数目
′ y2 = y2 − ϕ 2 ( x (0) ) = 0.4 + 0.425 = 0.025
a11 = 1 a21 = 0
a12 = 0 a13 = 0 a22 = 1 a23 = 0 a33 = 1
′ y3 = y3 − ϕ 3 ( x (0) ) = 0.5 − (0.325 + 0.150) = 0.025 a31 = 1 a32 = 0
1 1
ε 2 = −0.0363
ε 3 = 0.0418
19
最小二乘法
6次迭代 结果
迭代 次数 0 1 2 3 4 5
表8-2
ε1
0 -0.0473 -0.0713 -0.0472 0.00198
ε2
0 -0.0363 -0.0373 -0.0555 0.00105
ε3
0 0.0418 0.0543 0.0264 0.00628
ˆ x = ( AT wA)−1 AT wy
10
AT A = C
最小二乘法
三、标准差的估计
1、直接测量结果的标准差估计
s= vi2 ∑
i
残差
n−t
s=
wi vi2 ∑
i
n−t
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
σ xj = σ d jj
误差传播系数
( A A)
T T
−1
对角元素
直接测量量的标准差
3、待求量与的相关系数
ρij =
dij dii d jj
( A A)
−1
元素
11
最小二乘法
【例8-１】
为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 x1 , x2 , x3 ，进行 了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值 y1 = 0.3 ，2 号电容值 y2 = −0.4 ，1号和3号并联电容值 y3 = 0.5 ，2号和3号 并联电容值 y4 = −0.3 。试用最小二乘法求 x1 , x2 , x3 及其标准 偏差。
x 测得值i 落入( xi , xi + dx )的概率
vi2 1 pi = exp( − 2 )dx 2σ i σ i 2π
4
最小二乘法
最小二乘法原理
测得值 x1 , x2 ,⋯ , xn 同时出现的概率为
1 v 2 1 P = ∏ pi = exp − ∑ i (dx) n i ∏ σ i ( 2π )n 2 i σ i i
2
最小二乘法
教学重点和难点
最小二乘法原理 线性参数的最小二乘法 组合测量
3
最小二乘法
第一节 最小二乘法原理
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻 找最可信赖值的问题。 对某量 x 进行测量，得到一组数据 x1 , x2 ,⋯ , xn,不 存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正 态分布,其标准差为 σ 1 , σ 2 ,⋯ , σ n
1 1 0 1 0 0 C = AT A = 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 1 0 = 0 2 1 0 1 1 1 2 1 1
2 0 1 x1 0.8 0 2 1 x = −0.7 2 1 1 2 x3 0.2
′ y4 = y4 − ϕ 4 ( x (0) ) − 0.3 − ( −0.425 + 0.150) = −0.025 a41 = 0 a42 = 1 a43 = 1 −0.325 × 0.425 ′ y5 = y5 − ϕ 5 ( x (0) ) = 0.14 − = −1.24125 0.325 − 0.425 a51 = 18.0625 a52 = 10.5625 a53 = 0