数列的通项公式与求和问题等综合问题(学案)-备战2018高考高三二轮理数一本过精品(新课标版)(原卷版)

难点四 数列的通项公式与求和问题等综合问题数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n 项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等.数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n 项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.1.由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整． 例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式（1）-1,7，-13,19，…；（2）0.8,0.88,0.888，…；（3）－1,215132961,,,,, (48163264)--； 点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，(n >1)，则这个关系式称为数列的递推公式．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法．(2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法． (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0，p ≠1)型，转化为等比数列解决．例2.对于数列{}{},n n a b ()11111,1,32,n n n n a b a n a n b b n N *++==-+=+=+∈. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令()()21n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于n a 来说，化简题目给定的含有n S 的表达式后，得到121n n a a n +=++，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于n b 来说，由于132n n b b +=+，则采用配凑法求其通项公式，对于n c 来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和.3.由n S 与n a 的关系求通项n a数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．S n 与a n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n （n ＝1），S n －S n －1 （n≥2）. 例3. 【安徽省淮南市2018届第四次联考】已已知数列{}{},,n n n a b S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214,22,n n a b S a ==- ()()32*11n n nb n b n n n N +-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式点评：已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.注意：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．4.等差数列前n 项和的最值 等差数列的单调性与n S 的最大或最小的关系.（1）若0d >，则等差数列{}n a 中有10n n a a d --=>，即1n n a a ->，所以数列为单调递增；当10a ≥时，有1(2)n n S S n ->≥，所以n S 的最小值为S .当10a <时，有则一定存在某一自然数k ，使12310k k na a a a a a +<<<<<≤<< 或12310k k n a a a a a a +<<<<≤<<< ，则n S 的最小值为k S .（2）若0d <，则等差数列{}n a 中有10n n a a d --=<，即1n n a a ->，所以数列为单调递减； 当10a >时，有则一定存在某一自然数k ，使12310k k na a a a a a +>>>>>≥>> 或 12310k k na a a a a a +>>>>≥>>> ，则n S 的最大值为k S . 当10a ≤时，有1(2)n n S S n ->≥，所以n S 的最大值为S .例4.数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，121n n a S +=+（*n N ∈）．（1）t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +等比数列，求n T ．点评：求等差数列前n 项和的最值常用的方法;(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．二 数列的求和数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和． 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和． 常见类型及方法(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解；(2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解； (3)a n ＝b n ±c n ，数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(4) a n ＝b n ·c n ，数列{b n }，{c n }分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和1．公式求法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝1(1)2n n na d -+； (2)等比数列的前n 项和公式：111,(1)(1), 1.11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩例5. 【四川省内江市2018届高三第一次模拟】设n S 是数列{}n a 的前n 项和.已知11a =， 122n n S a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()1n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和.点评：本题考查等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.应用基本量法是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握.根据等差,等比数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算.2．分组求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．例6.【四川省内江市2018届高三第一次模拟】设数列{}n a 满足1123242n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2log n n a a +的前n 项和.点评：分组求和的解题策略：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和，即将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用这种方法的关键是通项变形．3.裂项相消求和法利用通项变形，把数列的通项分裂成两项或几项的差，在求和过程中，中间的一些项可以相互抵消，最后只剩下有限项的和，从而求得数列的和.这种求数列和的方法叫做裂项相消求和法. 常见拆项：111(1)1n n n n =---；1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+=1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；n ·n !=(n +1)!－n !；11(1)!!(1)!n n n n =-++；l og a （1＋1n）＝l og a (n ＋1)－l og a n ；等等 例7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55S =-，且346,,a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()*21231n n n b n N a a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 点评：裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．要注意的是裂项相消法的前提:数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消.4. 错位相减求和法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．例8.已知等差数列{}n a 满足:*11(),1n n a a n N a +>∈=，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且22log 1n n a b +=-.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b •的前n 项和n T .点评：本题考查等差数列的定义与性质、对数的性质、错位相减法求和，属中档题；错位相减法适合于一个由等差数列}{n a 及一个等比数列}{n b 对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的1-n 项是一个等比数列．三. 数列的探索性问题处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．例9. 【江西省南昌市2018届复习训练题】在数列{}n a 中，()*1123111232n n n a a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+∈＝，＝．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）若存在()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋成立，求实数λ的最大值．点评：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n 的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．从上面三方面可以看出，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．。