高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第二节一元二次不等式及其解法文

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高考数学总复习专题06 第2节一元二次不等式及其解法课件理

点拨
a>0， 1. f(x)＝ax ＋bx＋c≥0(a≠0)对 x∈R 恒成立时，只要求满足即 Δ ≤ 0
2
可．另外：
a>0， (1)ax ＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ Δ<0；
解得－7≤a≤－6. 综合①，②，③得a∈[－7,2]．
方法二：f(x)＝x2＋ax＋3≥a，只要f(x)的最小值大于或等于a即可． a a2 2 2 f(x)＝x ＋ax＋3＝x＋2 ＋3－ 4 . a 当－2≤－2≤2，即－4≤a≤4时， a2 f(x)min＝3－ 4 . a2 令3－ 4 ≥a⇔－6≤a≤2，再结合－4≤a≤4，得－4≤a≤2.① a 当－2>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7. 令2a＋7≥a，则a≥－7， ∴－7≤a<－4.② a 当－2<－2，即a>4时， f(x)min＝f(－2)＝7－2a. 7 令7－2a≥a则a≤3，∴a∈∅.③ 由①，②，③，得－7≤a≤2. 即当a∈[－7,2]时，在x∈[－2，2]时，有f(x)≥a恒成立．
x－ax－b≤0， x －a ≤0等价于 x －b x－b≠0.
分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义，即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式的交集，然后求出其解集．
典例分析
考点一一元二次不等式及分式不等式的解法【例1】解下列不等式： 2 (1)－x2＋2x－3>0； (2)8x－1≤16x2； x＋5 (3) ≥2. x－12
第五单元不等式、推理与证明
第二节一元二次不等式及其解法
知识汇合
1. 一元二次不等式的解集如下表
2. 分式不等式与一元二次不等式的关系设a<b，则有 x －a >0等价于(x－a)(x－b)>0； x －b x －a <0等价于(x－a)(x－b)<0； x －b x－ax－b≥0， x －a ≥0等价于 x －b x－b≠0；

高三总复习数学优质课件第六章不等式第2节一元二次不等式及其解法

2
Δ=b -4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
2
y=ax +bx+c(a>0)的图象
2
ax +bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-

没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1} .
{x|x1<x<x2}
< ,
≥ ,
所以 f(x)>3⇔
或
- + > 3
+ > 3
≥ ,
< ,
≥ ,
< ,
⇔
或
⇔
或
⇒x>1.
(-)( + ) > - + < 0
< -或 >
∈⌀
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
答案:{x|x>1}
6<0},则A∩B等于( B
)
(A)(-2,3)
(B)(1,3)
(C)(3,4)
(D)(-2,4)
解析:由题意知A={x|1<x<4},B={x|-2<x<3},
所以A∩B=(1,3).故选B.
3.不等式2x2-x-3>0的解集为
.
2
解析:由 2x -x-3>0,得(x+1)(2x-3)>0,

高考讲一元二次不等式及其解法课件理

总结词
直接套用公式，简单快捷，但适用范围有限。
详细描述
在解决一元二次不等式问题时，公式法是一种直接套用公式的解题方法。这种方法简单快捷，但适用范围有限。对于一些简单的一元二次不等式，如2x²-4x<0，可以直接通过套用公式得到答案。然而，对于一些复杂的一元二次不等式，如x²-6x+9>0，则需要通过其他方法进行求解。
图像法
总结词
直观形象，易于理解，但计算量大。
详细描述
图像法是通过画出函数的图像来直观地解决一元二次不等式问题的方法。这种方法直观形象，易于理解，但计算量较大。通过观察图像，我们可以迅速得到一元二次不等式的解集。例如，对于二次函数 y=ax²+bx+c，可以通过画出其图像来直观地得到一元二次不等式的解集。然而，对于一些复杂的一元二次不等式，如x²-6x+9>0，则需要通过其他方法进行求解。
开口方向与判别式
开口方向
一元二次不等式的函数图像的开口方向与二次项系数 $a$ 的符号有关，如果 $a > 0$，则图像开口向上，如果 $a < 0$，则图像开口向下。
判别式
一元二次不等式的判别式 $\Delta = b^2 4ac$，当 $\Delta > 0$ 时，函数有两个实根；当 $\Delta = 0$ 时，函数有一个实根
一元二次不等式可以用于估计一个变量的取值范围。
VS
详细描述
在一些问题中，我们需要确定一个变量的取值范围，这时可以使用一元二次不等式来帮助我们进行估计。通过将已知条件代入不等式并求解，可以得到变量的取值范围。
优化问题
总结词
一元二次不等式可以用于解决一些优化问题。

高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件(理)

答案：A
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0
恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析：因为
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝
x2＋2x＋a x >0
恒成立，即
x2
＋2x＋a>0 恒成立．即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立．设 g(x)＝－
(1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解为－12<x<13，则不等式 2x2＋bx ＋a<0 的解集是________．
(2)不等式2xx－＋11≤0 的解集是________．解析：(1)由题意，知－12和13是一元二次方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根且 a<0，
所以－－1212×＋3311＝＝2a－，ba，解得ab＝＝－－122. ，
(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，
所以 g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3.
所以，实数 a 的取值范围是{a|a>－3}．
答案：{a|a>－3}
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－（12－10）×10 0<x<1，
000>0，即0－<6x<010，0x2＋2

高考数学总复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件文

【规律方法】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：
①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)； ②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)； ③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2)．
【互动探究】 2．已知不等式 ax2－3x＋6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}． (1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
考点 3 一元二次不等式的应用
例 3：(2014 年大纲)函数 f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在区间(1,2)上是增函数，求 a 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，令 f′(x)＝3ax2＋6x＋3＝0，其判别式 Δ＝36(1－a)，当 a≥1 时,Δ≤0,f′(x)≥0 恒成立，故 f(x)在 R 上是增函数；由于 a≠0，当 a<1 时，Δ>0，f′(x)＝0 有两个根，
第 2 讲一元二次不等式及其解法
考纲要求
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
考情风向标
1.不等式解法是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新， “三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点. 2.由于本节内容涉及的计算较多，因此学习时应注意运算能力的训练.
【互动探究】
1．(2014 年广东广州水平测试)关于 x 的不等式 2x2＋ax－

高考数学一轮复习第六篇不等式第2节一元二次不等式的解法课件文

答案：[－1，2]
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第2节一元二次不等式的解法第十四页，共五十页。
5．下列命题： ①若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0； ②若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根是 x1 和 x2；
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第2节一元二次不等式的解法第二十一页，共五十页。
(3)方法一：原不等式可化为x－1 1－1≤0，即2x－－1x≤0，故有xx－－21≥0，所以 x－2 与 x－1 同号或 x－2＝0，故有xx－－21≥＞00，或xx－－21≤＜00，，所以 x≥2 或 x＜1. 所以原不等式的解集为{x|x≥2 或 x＜1}．
解：(1)方法一：∵原不等式即为 16x2－8x＋1≥0，其相应方程为 16x2－8x＋1＝0，
Δ＝(－8)2－4×16＝0，
∴上述方程有两相等实根 x＝14，结合二次函数 y＝16x2－8x＋1 的图象知，原不等式的解集为 R.
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第2节一元二次不等式的解法第十九页，共五十页。
第2节一元二次不等式的解法第二十六页，共五十页。
(1)C 解析：由于不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|－13≤x≤2}，
得 a＜0，且－13，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，∴－13＋2＝
－ba，－13×2＝ac，∴b＝－53a，c＝－23a.
∴不等式 cx2＋bx＋a＜0，可化为－23ax2＋53ax＋a＜0.
方法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0 ⇔(4x－1)2≥0， ∴x∈R，∴不等式的解集为 R. (2)方法一：原不等式等价于xx2≥－03x＋2＞0，或xx2＜＋03. x＋2＞0，

高考一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法

第二讲一元二次不等式及其解法知识梳理·双基自测知识梳理知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的_判别式__.(3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集．知识点二三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0 Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有_两相异__实根x1，x2(x1<x2)有_两相等__实根x1＝x2＝－b2a_没有__实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|_x>x2或x<x1__}{x|x∈R且_x≠x1__}_R__ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__重要结论1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．简单分式不等式的解法(1)f x g x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0gx ≠0.5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，a f(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)．(2)若a>1，log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)>g(x)>0；若0<a<1，log a f(x)>log a g(x)⇔0<f(x)<g(x)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集为(x 1，x 2)，则必有a>0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为R.( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ＝b 2－4ac≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集一定不是空集．( √ )题组二走进教材2．(必修5P 26T2改编)不等式x(1－2x)>0的解集是( B ) A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 3．(必修5P 80A 组T4改编)已知集合A ＝{x|x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( B )A ．{x|－2<x<3}B ．{x|－2≤x≤3}C ．{x|x<－2}∪{x|x>3}D ．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}[解析] ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0， ∴x>3或x<－2，即A ＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x|－2≤x≤3}．故选B ．4．(必修5P 80A 组T2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是_⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞__.[解析] 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三走向高考5．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围是_⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23__.[解析] 3x 2＋x －2<0⇒(x ＋1)(3x －2)<0， ⇒(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23<0⇒－1<x<23，∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，23.考点突破·互动探究考点一一元二次不等式的解法——多维探究角度1 不含参数的不等式例1 解下列不等式 (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)x 2－2x ＋2>0.[分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x 2－x －3>0，求方程2x 2－x －3＝0的根，若无根，则解集为R ，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集．[解析] (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，∴(x ＋1)(2x －3)>0，即(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32>0，∴x>32或x<－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. (2)因为Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2>0的解集为R.名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．角度2 含参数的不等式例2 解下列关于x 的不等式： (1)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)； (2)x 2－2ax ＋2≤0(a∈R)；[分析] (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a 与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论1a与1的关系，故需分a<0，a ＝0,0<a<1，a ＝1，a>1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； [解析] (1)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1. 若a ＜0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1. (2)对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a ＝±2时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ＞0，即a ＞2或a ＜－2时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x≤a＋a 2－2}．综上，当a ＞2或a ＜－2时，解集为{x|a －a 2－2≤x≤a＋a 2－2}；当a ＝2时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2＜a ＜2时，解集为∅.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x 1＝x 2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·北京市海淀区期末)不等式x 2＋2x －3<0的解集为( D ) A ．{x|x<－3或x>1} B ．{x|x<－1或x>3} C ．{x|－1<x<3}D ．{x|－3<x<1}(2)(角度2)解不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0(a ∈R)[解析] (1)由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x<1.故选D ． (2)由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a)(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a>1时，x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集为{x|1<x<a}， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集为∅， ③当a<1时，x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集为{x|a<x<1}. 考点二三个二次间的关系——师生共研例 3 (1)(2021·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<－13，则不等式x 2－bx －a≥0的解集是( B ) A ．{x|2<x<3}B ．{x|x≤2或x≥3}C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13<x<12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤13或x ≥12(2)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235[分析] (1)利用根与系数的关系求解．(2)令f(x)＝x 2＋ax －2，Δ＝a 2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x 2＋ax －2≤0在区间[1,5]上恒成立的a 的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．[解析] (1)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x<－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B ． (2)令f(x)＝x 2＋ax －2，则Δ＝a 2＋8>0，∴方程f(x)＝0，有两个不等实根，又两根之积为负， ∴方程有一正根和一负根．解法一：不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，只要f(1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 5>0.解得a≥1或－235<a<1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞，故选A ．解法二：不等式x 2＋ax －2≤0在[1,5]上恒成立，只要f(5)≤0，即25＋5a －2≤0，解得a≤－235，∴不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解的a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.解法三：x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解⇔a>2x －x 在[1,5]上有解⇔a>f(x)min (记f(x)＝2x －x ，x ∈[1,5])，显然f(x)为减函数，∴f(x)min ＝f(5)＝－235，∴a>－235.[引申]若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是_(－∞，1)__.[解析] 由例3(2)的解析知，不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a<2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g(x)＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x)＝g(1)＝1，∴a<1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．〔变式训练2〕(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52 B ．72 C ．154D ．152(2)(2021·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)[解析] (1)解法一：由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.又x 2－x 1＝15，∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.∵a>0，∴a ＝156＝52，故选A ．解法二：由x 2－2ax －8a 2＝(x ＋2a)(x －4a)<0，∵a>0，∴不等式的解集为(－2a,4a)．又不等式的解集为(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a.∴x 2－x 1＝4a －(－2a)＝6a ＝15，∴a ＝52，故选A ．(2)解法一：由函数f(x)＝x 2－4x －2－a 图象的对称轴为x ＝2.∴不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A ．解法二：(分离参数法)不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2－4x －2)max ，令g(x)＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A ．考点三一元二次不等式恒成立问题——师生共研例4 已知f(x)＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若对于|m|≤1，f(x)<0恒成立，求实数x 的取值范围．[分析] (1)二次项系数含有字母m ，应分m ＝0和m≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m 2＋4m<0⇒－4<m<0.所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f(x)<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m<6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以m<6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3)将不等式f(x)<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x)m －1<0. 令g(m)＝(x 2－x)m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧g－1<0，g 1<0即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x<1＋52，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨一元二次不等式恒成立问题1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ＝b 2－4ac<0或≤0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c<0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝b 2－4ac<0或≤0.2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n]，f(x)＝ax 2＋bx ＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min ≥0即可； (2)当x ∈[m ，n]，f(x)＝ax 2＋bx ＋c≤0恒成立，只需f(x)max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f(x)<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f(x)>0的解集为∅”即“f(x)≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c>0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝b 2－4ac<0；ax 2＋bx ＋c<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c<0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ＝b 2－4ac<0.〔变式训练3〕(1)若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D ) A ．(－∞，3) B ．(－1,3) C ．[－1,3]D ．(－1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m≤－3B ．m≥－3C ．－3≤m<0D ．m≥－4(3)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x|1<x<3}B ．{x|x<1或x>3}C ．{x|1<x<2}D ．{x|x<1或x>2}[解析] (1)当a ＝3时，－4<0恒成立；当a≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧a<3，Δ＝4a －32＋16a －3<0，解得－1<a<3.所以－1<a≤3.故选D ．(2)令f(x)＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x ＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A ．(3)记g(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g1>0，g －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x<1或x>3，故选B ．名师讲坛·素养提升一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，记f(x)＝ax 2＋bx ＋c. (1)方程无根Δ＝b 2－4ac<0；(2)方程有两等根Δ＝b 2－4ac ＝0；(3)方程有两不等实根Δ＝b 2－4ac>0，记其根为x 1，x 2且x 1<x 2.①x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac>0，x 1＋x 2＝－b a >0，x 1x 2＝c a >0.或x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af 0>0，－b2a>0；②x 1<0<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac>0x 1x 2＝ca <0或x 1<0<x 2⇔af(0)<0； ③x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac>0，x 1＋x 2＝－b a<0，x 1x 2＝c a >0，或x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af 0>0，－b 2a<0. ④x 2>x 1>k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af k >0，－b 2a >k ，⑤x 1<k<x 2⇔af(k)<0；⑥x 1<x 2<k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af k >0，－b 2a <k.⑦m<x 1<n<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧af m >0，af n <0；x 1<m<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧af m <0，afn >0；m<x 1<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧af m >0，af n >0，m<－b 2a <n ，Δ>0.x 1<m<n<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧afm <0，af n <0.⑧m<x 1<n<x 2<p ⇔⎩⎪⎨⎪⎧fm ·f n <0，f n ·f p <0.例5 若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ＝0，分别满足下列条件时，求m 的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内； (2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内； (3)一根小于1，另一根大于2； (4)一根大于－1，另一根小于－1； (5)两根都在区间(－1,3)； (6)两根都大于0； (7)两根都小于1； (8)在(1,2)内有解．[解析] 设f(x)＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ，Δ＝4(m ＋1)2＋4m(m －1)＝8m 2＋4m ＋4＝4(2m 2＋m ＋1)>0.(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足⎩⎪⎨⎪⎧f 1f 2<0f 0f －1<0即⎩⎪⎨⎪⎧m 2m ＋1<0－2m －3－m <0，解得－12<m<0.(2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f(－1)f(1)<0，即(2m ＋1)(－2m －3)<0，∴m>－12或m<－32，又∵m －1≠0，∴m≠1， ∴m 范围⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1∪(1，＋∞)．(3)一根小于1，另一根大于2，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1f 1<0m －1f 2<0即⎩⎪⎨⎪⎧m －12m ＋1<0m －1m<0解得：0<m<1.(4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m －1)f(－1)<0，即(m －1)(－2m －3)<0，解得：m>1或m<－32.(5)两根都在(－1,3)内，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－1<－m ＋1m －1<3m －1f －1>0m －1f 3>0，解得：－32<m<314.(6)两根都大于0，应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－m ＋1m －1>0m －1f0>0，解得：0<m<1.(7)两根都小于1，应满足：⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－m ＋1m －1<1m －1f 1>0，解得：m>1或m<－12.(8)在(1,2)内有解应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥01<－m ＋1m －1<2m －1f 1>0m －1f 2>0或f(1)f(2)≤0解得－12≤m≤0，经检验m ＝－12及m ＝0都不合题意舍去，∴－12<m<0.〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是_(－2,1)__.(2)若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k 的取值范围为_－4＋23≤k<－12__.[解析] (1)记f(x)＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由题意可知f(1)＝m 2＋m －2<0，解得－2<m<1.(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f －1>0，f 1>0.解得－4＋23≤k<－12.。

第六章不等式第二节一元二次不等式及其解法课件理

(1)若 a<f(x),x∈D 恒成立,则 a<f(x)min,x∈D;
(2)若 a<f(x),x∈D 有解,则 a<f(x)max,x∈D.
第十四页，编辑于星期五：二十二点十九分。
第六章
第二节
一元二次不等式及其解法
-14-
【变式训练】
若(0,3)内的每一个数都是不等式 2x2+mx-1<0 的解,则 m 的取值
范围是
.
17
-∞,- 3
【解析】由题意可知不等式 22+ − 1 <
0 对(0,3)内的每一个数恒成立, 所以 <
1
− 2对(0,3)内的每一个数恒成立, 所以

1
1
−
2在(0,3)内单调递减,
故
≤
−6=

3
17
17
− , 故的取值范围是 -∞,- .
3
3
<
1
-2

min
, 而 =
第六章
第二节
一元二次不等式及其解法
-11-
考点 2 一元二次不等式恒成立、有解问题
典例 2
(2016·太原模拟)设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈
2
恒成立,则实数 m 的取值范围是 (
A.
C.
3 3
- ,
2 2
3
0,
2
B.
D.
3
,+∞
2
3
-∞,2
∪
3
,+∞
2
,f

-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)
)
3

高考数学大一轮复习第六章第2节一元二次不等式及其解法课件

③若 a＞2，则 a－1＞1,0＜a－1 1＜1,1－a＜0，解得 x＜0，或a－1 1≤x≤1；
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
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17
当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
D.xx≥1或x≤－12
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7
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
．
【答案】－14
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8
5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
得11＋ ×bb＝＝3a2a， .
解得ab＝＝12， .
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12
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
(2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或
x≥1；
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②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
.
当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1

高考数学复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法

第2讲一元二次不等式及其解法
课标要求
考情风向标
1.经历从实际情境中抽象出 1.不等式解法是不等式中的重要一元二次不等式模型的过程. 内容,它的应用范围几乎涉及高 2.通过函数图象了解一元二中数学的所有章节,且常考常新,
次不等式与相应函数、方程的 “三个二次”之间的联系的综合
联系.
应用等问题是高考的热点.
考点 2 含参数不等式的解法例 2：(1)解关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0； (2)解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0； (3)解关于 x 的不等式 x2－2ax＋2≤0(a∈R)； (4)解关于 x 的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解：(1)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当 a>1 时,原不等式的解集为(1,a)；当 a＝1 时,原不等式的解集为∅ ；当 a<1 时,原不等式的解集为(a,1).
答案：B
(3)(2019 年上海)不等式|x＋1|<5 的解集为________. 解析：由|x＋1|<5 得－5<x＋1<5,即－6<x<4. 答案：(－6,4)
(4)不等式3x－－24x<0 的解集是(
)
A.{x|x<4}
B.{x|3<x<4}
C.xx<32或x>4
3
D.x2<x<4
A.
x|－1<x<1 2
C.{x|－2<x<1}
B.
x|x<－1
或
x>1 2
D.{x|x<－2 或 x>1}
解析：由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根.

高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件

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满分策略 1．对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论 a ＝0 时的情形． 2．当 Δ<0 时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 R 还是∅ 由 a 确定，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
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4．若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，则不等式
b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0 的解集为( )
A.－34，1
B．(－∞，1)∪43，＋∞
C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，
知 a<0 且－4,1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
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【变式训练 1】解不等式：(1)2xx－＋51≥－1； (2)x2－(a2＋a)x＋a3>0. 解 (1)将原不等式移项通分得3xx－－54≥0，
等价于x3－x－5≠40x，－5≥0，
所以原不等式的解集为xx≤43或x>5
.
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触类旁通解决一元二次不等式恒成立问题的方法
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
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高考数学第六章第二节一元二次不等式及其解法课件文

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(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0.
由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论．
当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a；
当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
综上，a＜0
时，解集为x|x＜
5a，或x＞－a；a＞0
时，解
集为x|x＞5a，或x＜－a.
当 a＝1 时，解集为∅；
当 0＜a＜1 时，解为 1＜x＜1a.
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为x1＜x＜1a
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
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[例 2] 解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a ＜－1； ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a，解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．
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高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 C ∵x2＋ax＋1≥0，在 x∈0，12时恒成立， ∴a≥－x－1x. 又－x－1x＝－x＋1x≤－52， ∴a≥－52，即 amin＝－52.
第十三页，共14页。
[针对训练 2] 选 C 函数图象恒在 x 轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0 对于一切 x∈R 恒成立． ①当 a2＋4a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1.若 a＝－5，不等式化为 24x＋3>0，不满足题意；若 a＝1，不等式化为 3>0，满足题意． ②当 a2＋4a－5≠0 时，应有 a2＋4a－5>0， 16a－12－12a2＋4a－5<0. 解得 1<a<19. 综上可知，a 的取值范围是 1≤a<19.

2019年《·高考总复习》数学：第六章第2讲一元二次不等式及其解法

例 1：(1)(2015 年广东 ) 不等式－ x2 － 3x ＋ 4>0 的解集为 ________.(用区间表示)
解析：由－x2－3x＋4＞0，得－4<x<1.所以不等式－x2－3x ＋4>0的解集为(－4,1).
答案：(－4,1)
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
第2讲一元二次不等式及其解法
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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考纲要求
考点分布
考情风向标
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图
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当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意；当2a＜－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当 a＞0 时，不等式的解集为xx≥2a，或x≤－1 ；当－2＜a＜0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1 ；当 a＝－2 时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当 a＜－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a .
当 0<a<1 时，不等式的解集为x1<x<1a ；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a>1 时，不等式的解集为x1a<x<1

.

2019年7月10日
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(3)①当 k＝0 时，不等式的解为 x＞0. ②当 k＞0 时，若 Δ＝4－4k2＞0，即 0＜k＜1 时，不等式的解为1－ k1－k2＜x＜1＋ k1－k2；若 Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解. ③当 k＜0 时，若 Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0 时，x＜1＋ k1－k2或 x＞1－ k1－k2；若 Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R；

高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第二节一元

第二节一元二次不等式及其解法1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识梳理一、一元二次不等式的概念1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系三、求解一元二次不等式的程序框图四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号和b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，此时Δ＝b 2－4ac >0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集．五、高次不等式与分式不等式的解法1．高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集．数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； (2)各因式中x 的系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”； (4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内．2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集．f (x )g (x )>0(<0)可转化为f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.基础自测1．不等式x2>x的解集是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由x2>x得x(x－1)>0，所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.答案：D2．(2013·广州一模)“m＜2”是“一元二次不等式x2＋mx＋1＞0的解集为R”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：一元二次不等式x2＋mx＋1＞0的解集为R等价于：Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2.故选B.答案：B3．(2013·上海卷)不等式x2x－1＜0的解为________________．解析：原不等式等价于x (2x －1)＜0，所以0＜x ＜12.答案：(0，12)4．(2012·江西卷)若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为__________．解析：因为全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，所以∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：{x |0<x ≤2}1．(2013·江西卷) 下列选项中，使不等式x ＜1x ＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B. (－1,0) C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：用特殊值法，令x ＝－2，不等式成立．故选A. 答案：A2．(2013·重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )A.52B.72C.154D.152解析：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.答案：A1．(2013·韶关二模)已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则∁U A ∩B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(－2,3]解析：A ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以(∁U A )∩B ＝(2,3]，故选C.答案：C2．(2012·皖南八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －10，x ≤2，log3(x －1)－6，x >2，若f (6－a 2)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )为定义在R 上的单调递增函数，∴6－a 2>5a ，即a 2＋5a －6<0，解得－6<a <1. 答案：(－6,1)。

高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第六章第二节一元二次不等式及其解法精讲课件文

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解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题等价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调(dāndiào)递增， ∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即x2－x－2<0，解得－1<x<2. 答案：(－1,2)
第七页，共20页。
解含参数(cānshù)的一元二次不等式【例2】解关于(guānyú)x的不等式x2－x＋a>0.
自主(zìzhǔ)解答：解析：方程x2－x＋a＝0的判别式Δ＝1－4a.
(1)当Δ<0，即a> 时，方程x2－x＋a＝0无实根，此时不等式 x2－x＋a>0的解集为R；
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第十八页，共20页。
点评：(1)解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是函数性质法，借助相应的函数图象，构造含参数的不等式 (组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题．
(2)一元二次不等式在指定范围内的恒成立(或者不等式在指定范围内的恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定 (ɡěi dìnɡ)的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定(ɡěi dìnɡ)的区间上全部在x轴下方．
(2)当Δ＝0，即a＝时，方程x2－x＋a＝0有两个(liǎnɡ ɡè)相等的实根x1＝x2＝，此时不等式x2－x＋a>0的解集为
(3)当Δ>0，即a< 时，方程x2－x＋a＝0有两个不相等(xiāngděng)的实
根x1＝
，x2＝

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