大学物理-动量定理

注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反p0则
pp0
0 0
二、动量守恒定理
由质点系的动量定理：
t
( Fi )dt P P0 ΔP
t0
其中P
mi vi
Pi
当
Fi 0 时 P P0 0
t2
F dt
F
t1
I
P2
P1
mv2
mv1
F
t2 t1 Δ t Δ t
Δt
Fm
如：打桩、小鸟与飞机相撞等
F
利用平均冲力可解释为何你会畏惧 砸向你的石块，而毫不在乎落下的树叶！
o t1
t
t2
冲力 impulsion
在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受的
合力称为此时刻质点上的冲力。
冲量定理：
r I
pr
即：合外力的冲量等于质点的动量增量。
为何你毫不在乎树上掉下的树叶，却很畏惧空 中掉下的大石块？
平均冲力
作用时间极短、但力的变化很快又极为复杂，并且可以达到很大的数值， 这种力称为冲力。
对涉及冲力的问题，由于力和加速度在极短时间内急剧变化，有时无 法知道力与时间的函数关系，不便于用牛顿第二定律求解，因此引入平均 冲力的概念，即力对时间的平均值定义为：
碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。
③小球所受绳子拉力的冲量大小。
解： ①小球运动一周动量变化为0。
②
r Img
mgrT
2 mgr
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等
于小球重力冲量的负值，即：
r I N
mgrT
2 mgr
1.8 质点系动量定理 动量守恒定律
一、质点系的动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
常引入平均冲力的概念。
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意 在 p 一定时
t 越小，则F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
mv
mv1
mv2
F
F
Fm
F
o t1
t
t2
例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打 在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。
明确几点：
1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能 变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总 和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参 考系。
2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，则在该方向上动量守恒。
例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。
例.一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块。第一块质量为m，速度 v1=800m/s，向西；第二块质量为m，速度v2=600m/s,向南；第三块 质量为2m，求：第三块弹片的速度大小和方向。
r v1 m
r v3
?
2m
m vr2
四、碰撞过程 colliding process
思考题
例1.质量分别为 mA 和 mB ( mA > mB )的两质点 A 和 B ,受到相等的 冲量作用,则：
(A) A 比 B 的动量增量少. (B) A 比 B 的动量增量多. (C) A 、 B 的动量增量相等. (D) A 、 B 的动能增量相等.
例2.质量为 20g 的子弹沿 x 轴正向以500m/s的速度射入一木块后，与 木块一起以50m/s 的速度仍沿 x 轴正向前进，在此过程中木块所受冲量 的大小为
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 F21
)dt )dt
m1v1 m2 v2
m1v10 m2 v20
F1
因为内力
F F 0
，故：
12
21
F2
F12
m1
F21
m2
t2
t1
(F1
F2 )dt
(m1v1
m2 v2
)
(m1v10
m2 v20
)
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量 和为零。
vx vox
K
r F
r I
t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。
解： 以人为研究对象，可分为两个运动过程，
1.自由下落过程—到达地面时的速率为：
v 2gh
2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 向上为坐标正向。
为 Δt 。 求：重锤对地的平均冲力。
解： 重锤受两力： mg和N 由动量定理： (mg N )Δt ΔP
0 mυ m 2gh
对地平均冲力为:
m 2gh
N' N
mg
Δt
注 这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当 意 前项远大于后一项时，才能不计自重。
例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度 下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时 间仅0.019s。 求：对地平均冲力。
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
px mi vix C x py mi viy C y pz mi viz Cz
3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果 系统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。在 碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力。
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在 小球转动一周的过程中，求： ①小球动量增量的大小。
②小球所受重力的冲量大小。
③小球所受绳子拉力的冲量大小。
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在 小球转动一周的过程中，求： ①小球动量增量的大小。
②小球所受重力的冲量大小。
静止状态，已知力 F 的大小与时间的关系为
2.5 104 t,0 t 0.02 F(t) 2.0 105 (t 0.07)2 ,0.02 t 0.07
式中 F 的单位是 N ，t 的单位是s 。
求：（1）上述时间内的冲量、平均冲力大小； （2）物体末速度的大小。
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中，
讨论
动量与冲量的区别
①.动量是状态量；冲量是过程量； ②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。
冲量定理的使用
①.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。
②.F为合外力，不是某一个外力。
③.动量定理的分量式： ④.平均冲力的计算由：
t
Ix K
to Fxdt px m
二、冲量定理 impulse theorem
由动量定理，有：
Fdt
d
(mv)
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
冲量 impulse
作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。
rr 元冲量 dI Fdt
r tr
冲量
I Fdt t0
冲量是矢量，其方向为合外力的方向。 单位：牛顿秒, N·s
x M l M m
X lx m l Mm
讨论
质点系的动量定理
1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系统的动量。
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队 力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
甲队
乙队
r
r
F1
F2
分析：
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用 力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只 有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩 擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以 增加系统外力。
poy m 2gh py 0
由： F yt py
即： N mg t m 2gh
N mg m 2gh t
t 1s, N 600N 600N 1200N t 0.1s, N 600N 6000N 6600N
y r N
o
mgr
可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲 击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。
解：篮球到达地面的速率
F
F(max)
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
对地平均冲力为:
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8102 N
t
0.019
相当于 40kg 重物所受重力! O
t
0.019s
例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞 来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为 0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。
4、注意区别 F外 0 与 F外dt 0
前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始 末时刻动量相同。
5、动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高 速范围仍适用，是自然界最普遍，最基本的定 律之一 。
例题：质量为m的人站在一质量为M、长为 l 的 小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小 车各移动了多少距离? ( 不计摩擦 )
推广到多质点系统，动量定理表达式为： 质点系的动量定理：
t2 t1
ΣFdt
n mi υi
i 1
n mi υi0
i 1
即：
I
p
Βιβλιοθήκη Baidup0
质点系总动量的增量等于作用于该 系统合外力的冲量
强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。 质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改 变无贡献，但内力会使系统内各质点的动量发 生变化。
υ
M V
解：水平方向上车和人系统不受外力作用，
故动量守恒；
υ
设车分和别人为相V对 地和面υ速度
m
M
MV
mv
0
V
即:
V
m M
v
——两者运动方向相反
人相对于车的速度为：
υ'
υ V
M
m
υ
M
设人在时间 t 内走到另一端，
υ
M V
t
Mm t
Mm
l 0 υ'dt M 0 υdt M x
（A） 9N s （B） 9N s （C） 10Ns （D） 10Ns
0.0250 500 9Ns
例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指 向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：
（A） mv （B） 0 （C） 2mv （D）2mv
mv v 2mv
Fx 6.1N Fy 0.7N
F Fx 2 Fy 2 6.14N
tan
Fy Fx
0.1148
6.54o
为平均冲力与 x 方向的夹
角
思考
r I
pr
例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤， 如果不是海棉垫子，而是大 理石板，又会如何呢？
例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力 大，所用时间短；如果牵引 力小，所用的时间就长。
2.动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，通过内力的 作用，动量在系统内的各个质点间进行转移。
3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果内力远大于外力， 或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。
4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可以 写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上的合 外力与动量变化之间的关系。
解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。
设挡板对球的冲力为
F
则
rr
rr
I Fdt mv2 mv1
取坐标，将上式投影：
y
v2 30º x 45º n
v1
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
r F
r dI
dt
F
平均冲力 mean impulsion
当变化较快时，力的瞬时值很 难确定，用一平均力代替该过 程中的变力，这一等效力称为 冲击过程的平均冲力。
r
F
r I
tr Fdt
to
t t to
F
o
to
t t
平均冲力与同段时间内变力等效。
例题 有一冲力作用在质量为0.30kg的物体上，物体最初出于
§1.7 质点的动量定理 一、动量定理 momentum theorem
动量 momentum
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
pr mvr
单位：千克·米/秒, kg·m/s
由Newton第二定律，得：F
ma
m
dv
d (mv)
即：
F
dp
dt
dt dt
这就是动量定理。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高 速运动情况下，只有动量定理成立。
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
rrr
r
r
I Ixi I y j 0.061i 0.007 j N s