有界变差函数

特别地，也f是I 差函数。
力上的有界变差 *:，则
"上的有界变
证明：任取I 的一个分划 /. ，": 1" . , • 对应到 的一个
分划 A:必：：布c:《c4 c兄w ：*「如以", 于是 r（A, /）＜ r（A,/）＜r/m,进 而 ,证毕。
性质6设f是W婀上的有界变差函 数，c 是*内任一数，则
得
，于是
ZJf V
的任意性得
i- ：2
rv j.
yH yc《r\ . u/ b z o (j )，! <
G
顷次Jf),证毕。
,所以
性质7若m｝是〔纯b\上的有界变 差
函数列，是有界数列， 且很妙处处 收敛到 心,则g也 是矿上的有界变差函数，且
证明：记
的一个分划
i- 协
：“lira.〉
k-》诚)/, i
性质1若f是角例上的有界变差函 数， 则/必为有界函数。
证明：若不然，则存在
使
，由/是有界变差函数知
对任意S作 的分划, 则
由""":j「;"一，得 2|/3>«(/)|.|/(砌山|/(切1。 这与 矛盾，故必为有界 函数，证毕。
性质2若K都是 的有界变 差函数，则对任意常数 L 矿;您 也 是IW的上的有界变差函数，且
证明：由性质1知存在使得
§|M <• Il <x)91 g(x) | < M < • li
<x)9
设为 的任一分划：
i-』
£： ：］1
故
证毕。
是，上的有界变差函数, 且， U <,则r是常数。
证明：若/不为常数，贝IJ存在 II"』
使得 或 ，作
的分划
，贝U
,这与
矛盾，故/必为常数，证毕。
性质5设f是 函 数，：||.饥
:liiiM V k ><K)''
所以
，任取 ，则
*
，证毕。
定义：设 是 上的有限函数, 对 的任一分划
A: o 记
：、＜x拟
灌
称 为/关于分划的变差。
若存在常数使对一切分划，都有 ,则称
为 上的有
界变9;
，z
其中取遍 的所有分划，称 为f在 上的
总变差。
由定义不难看出， 上有限单调函 数/都是有界变差函数，且
0
二.有界变差函数的性质
匕？ (/) F (/) • I ■ K： (f)o . 证明：由全变差定义，对任意 ， 可以找到分划 及分划/ 项此诚使得
，
0
将 合并起来得 的一个分划
反之，对任意 ，设
A 1o <6?： ： xo v %" v A《xoU1
是 的一个分划，满足
♦（八」项卜「'、a \ j J） - ， 则对任意 ，存在， 使
有界变差函数的定义
问题：［彖］上单调函数除了跳跃度 总
和不超过 ,其任一分划所 对应分点 的函数值之差的总和是否 必有限？
前面已经看到，单调函数的导数虽然 可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹 公式，或者说，单调函数不能通过其 导数的积分还原。那么，何种函数能 满足牛顿一莱尼兹公式呢（当然，这 里 是 相 对 于 Lebesgue 积 分 而 言 ） ? 这 正是下面要讨论的问题。
辎矿顷沪加M项MU）。
证明：设
I
为
的任一分划，则
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%S I 匕。）＜l P \ 右加）
所以
「I m-\r\ ,证毕。
性质3设 是"上的有界变差 函数，则也是有界变差函数。